雷电流数学模型MATLAB仿真分析

显的改善，即雷电流的上升沿较陡，从雷电流峰值衰减到
1999, 14(2): 399-404.
电流最小值需要的时间较长。其中，Heidler 函数模型相
[3] 张飞舟，陈亚洲，魏明, 等，雷电电流的脉冲函数表示[J]. 电
对于其他两个函数模型，雷电流的各项特征值均可以在
波科学学报, 2002, 17(1):51-53.
参考文献
n=1 时，脉冲函数就是双指数函数。所以，可以把脉冲函
[1] C. E. R. Bruce and R. H. Golde. The lightning discharge[J].
数理解为是双指数函数的修正。
Inst. Elec. Eng.-Pt. 2, 1941（88）: 487-520.
比较图 1（b）和图 1（c）三个波形中雷电流的上升沿，
[2] F. Heidler, J. M. Cvetic, and B. V. Stanic. Calculation of
可发现 Heidler 函数和脉冲函数相对于双指数函数有明
lightning current parameters [J]. IEEE. Trans. Power Delivery,
（c）半峰值对比图 图 1 雷电流数学模型的仿真对比图
SAFETY & EMC No.1 2012
·电磁仿真·
通过对三种模型不同波形的仿真可知：三种模型得
研究中得到进一步的改进，尤其是在模型的计算精度、模
出的雷电流波形是比较相似的，尤其是在 n 值较小时；双
型与雷电真实特性的拟合等方面。
指数函数和脉冲函数的波形是比较接近的，实际上在
为了得出三种函数模型在雷电电磁场计算中的适用
式（6）是基于霍德勒模型和传输线模型提出的，适用
范围，本文利用 Matlab 软件进行了仿真，将三幅图仿真
于首次雷击（ 10/350 μs）和后续雷击（ 0.25/100 μs）。式
于同一坐标系中。依据 GB 50057- 94，为了方便对比分
中，I0 为峰值电流，η
峰 值 修 正 系 数 。 为 了 计 算 结 果 的 精 度 和 便 于 仿 真 ，取
n= 2 , [14] τ1 =10 μs，τ2 =350 μs，I0= 20 kA。
（a）全波对比图 （b）波头对比图
4 三种函数模型对比分析
通过对三种模型解析式的分析，可以得出，在三个函 数的衰减项中，双指数函数的 exp（- αt）决定了函数波形 的衰减部分，exp（- βt）决定了其上升沿陡度；脉冲函数和 Heidler 函数对应衰减项相同，指数项 exp（- t/τ2）决定了
为 1×103～8×104 A·μs-1。 （3）峰值时间:典型值约为 2 μs,变化范围为 1～30 μs。
-
Im =I0（e
α β- α
ln
β α
-
-e
β β- α
） ln
β α
（3）
（4）半峰值时间 （雷电流随时间衰减到峰值 50%的 时间)：典型值约为 40 μs，变化范围为 10～250 μs。
为 电 流 修 正 因 子 ，η=exp [-
τ 1（n × τ2
τ
2
1
）n
τ
]，n
为电流陡度因子，τ1 为波头时间常数，τ2
为波
析，三个函数均采用首次雷击的雷电流参数（10/350 μs）， 依次得到雷电流数学模型的全波、波头和半峰值仿真对 比图，如图 1 所示。
尾时间常数，式中的各个参数允许独立选取，只要所得
2 He id le r 函数模型
1995 年发表的 IEC 1312- 1 中，提出了供分析用的雷
电流解析表达式[11]：
（
t
n
）
（i t）= I0 · τ1
-t
·e τ2
η
1+（
t
n
）
τ1
（6）
值均在表达式中得到很好的反映，并且该模型可以利用 变换式中的相应参数来得到雷电流的特征参数，如电流 峰值等。但是，它的最大缺陷是不可积分，即没有明显的 时间积分式，这对于雷电研究来讲，是一个极大的缺陷； 脉冲函数克服了上述两种模型的缺点，可作为较为理想 的雷电流计算表达式。
荷密度、回击速度及回击过程中的先导电荷复合率。
带来了很大的困难，文献[6]把雷电流等效为静电电荷，文 献[7]将雷电流等效为恒流源，而这两种方法均不能准确 地用于雷电流特性的研究，通过专家学者不懈的观测和 研究，终于统计出了雷电流的几个特征参数[8]：
针对式（1），假设峰值时间为 Tp，峰值为 Im，半峰值时
Heidler 函数模型作为雷电流随时间变化关系的数学模
lines:Theory [J]. IEEE Transactions of Power App System ,
型比选用其他模型更符合雷电流发展的规律。
1984, 103(9): 2502-2518.
但是，雷电的发展过程与雷电的作用时间密不可分，
在放电最初始时刻，波形与实际中得到的观测波形较相
tions on power delivery,2007,22（1）：547-556.
符，并且雷电流波形上升速率最快, 上升前沿最陡，到达
[5] MIL-STD-1757A Lightning Qualification Test Techniques for
了雷电流理论计算的表达式[9- 10]：
!0，t<0
（i 0，t）= I0 [exp（- αt）- exp（- βt）]，t≥0
（1）
式中，（i t）为雷电的瞬时电流，常数 α 和 β 的大小可以由闪
的研究热情一直不减。
电的三个特性得到（一般 α 远小于 β），即沿先导通道的电
雷电的发生随机性较大，所以，这给雷电数据的采集
函数模型[3]，用以描述雷电流波形。1994~1997 年，日本曾
的数学表达式，在 ITU- T 推荐的防雷标准中，把它作为
用 Rogowski 线圈测量雷电流参数[4]；美军标 MIL 1757A 中定义了模拟雷电流的 4 个电流分量和 1 个电流波形[5]； 1992 年的 IEC 1024- 1- 1 和 1995 年的 IEC 1312- 1 文件 中，相继公布了雷电流参数。由于其重要性，学者们对它
波形图中得到较好的反映，波形可以很好地解释雷电流
[4] Jun Takami ,Shigemitsu Okabe．Observational Results of
最大陡度出现时间为放电一段时间后的峰值前，并不是
Lightning Current on Transmission Towers [J]. IEEE Transac－
为波头和波尾时间常数 ，在仿 真 中 分别 取 τ1=10 μs， τ2=350 μs，则 α= 1/ τ2, β= 1/ τ1, I0= 20 kA。
其波形的衰减部分。对双指数函数，令α= 1/τ2，β=1/τ1，则 三个波形走向很相似。
双指数函数模型的表达较为简洁，便于积分和微分 运算，可是它有两个明显的缺点：第一，I0、α、β 的物理意 义不明确，与峰值、峰值时间和半峰值时间的关系不明 确。第二，式（1）的函数表达式在 t=0 时没有连续的一阶 导数，这明显不符合闪电过程的物理特性；Heidler 函数 模型克服了双指数函数模型的缺点，雷电流的各项特征
Ke yw o rd s
current waveform of lightning; mathematic model; matlab simulation; distinctions; characteristic of lightning
引言
别及其适用范围。
雷电的危害效应与雷电的峰值电流及其波形有密切
间为 Th ，对式（1）两边求导，令导数为零。即：
di dt
-βt
-αt
=I0（βe - αe ）=0
（1）雷电流峰值:典型值约为 2×104 A,变化范围为 2× 103～2×105 A。
得：Tp
=
1 β- α
ln
β α
Βιβλιοθήκη Baidu
（2）
（2）雷电流上升率:典型值约为 104 A·μs-1 ,变化范围
将式（2）代入式（1），得：
53
的关系，雷电流作为雷电特性的主要特征，为雷电防护研
1 双指数函数模型
究提供重要的参考依据。为深入研究雷电流特性，学者们
大量的观测表明，雷电流随时间的变化呈指数函数
先后提出了双指数函数模型[1]、Heidler 函数模型[2]和脉冲
的规律，1941 年 Bruce 和 Golde 提出了双指数函数模型
[7] 盛剑霓. 电磁场数值分析 [M]. 西安: 西安交通大学出版社,
在进行雷电电磁场计算时，其静电场项和时间的积分有
1994.
关，所以，考虑到双指数函数在 t=0 时没有连续的一阶导
[8] 和伟. 雷电对通信电源线的影响及通信局站的过电压保护
数，Heidler 函数又没有明显的时间积分式，在雷电电磁
函数模型和脉冲函数模型，利用 Matlab 软件进行了仿真分析，得出了三种模型间的特性异同性及其各自的 适用范围，这有助于进一步研究雷电特性、减小雷电危害。 关键词
雷电流波形；数学模型；Matlab 仿真；特性异同性；雷电特性 Ab s t ra ct
According to the characteristics of lightning current, and combining with some parameters of lightning current, three main lightning current mathematic models such as bi- exponential function model，Heidler model and impulse function model were analyzed by MATLAB and distinctions among different models and their applicability were obtained, which is helpful in doing research on characteristics and reducing the harm effects of lightning.
算，所以有学者提出了脉冲函数模型 ： [13]
-t
-t
（i t）=
I0（1-
e
τ1
n
）·e
τ2
η
（7）
式（7）中，I0 为峰值电流，η 为电流修正因子，n 为电流陡
度因子，τ1 为波头时间常数，τ2 为波尾时间常数，定义峰
值修正系数
η=（1-
n
q）
qτ1 /
τ2 ，q=τ1 （/ τ1
+nτ2），以此来计算
本文结合雷电流的特征，对以上提出的三种雷电流
代入半峰时间 Th，即有：
1 2
Im
-
=I0（e
αTh
-
-
e
） βTh
（4）
数学模型进行 Matlab 仿真，得出了不同模型间的特性差
再将式（3）代入式（4），可得：
2012 年第 1 期 安全与电磁兼容
·EMC SIMULATION·
-
e
α β- α
ln
54
雷电流特性与实际相符即可。本文仿真时取 n=10，τ1 =
10 μs，τ2 =350 μs，I0 = 20 kA。
3 脉冲函数模型
雷电可定义为路径长达数千米的瞬时大电流放电[12]，
而国内外进行雷电的相关研究时，都将雷电的电流回击
通道看作是天线模型，那么，在电磁场计算时静电场项就
和时间的积分有关，这就带来了巨大的计算量和积分运
峰值的时间最短，到达最大值后，需要较长的时间才会下
Aerospace Vehicles and Hardware [S].1980.
降到最小值，可真实地反映出雷电的干扰作用。因此，用
[6] Halder M.K.,M.A Uman. Lightning induced voltage on power
·电磁仿真·
雷电流数学模型 MATLAB 仿真分析
Analys is Current Mathematic Models of Lighting by MATLAB S imulation
解放军第二炮兵工程大学 赵玉龙 刘光斌 余志勇
摘要 根据雷电流的特点，结合雷电流的相关参数，主要对三种雷电流数学模型，即双指数函数模型、Heidler
β α
-
e-
β β- α
ln
β α
-
=2（e
αTh
-
-
e
） βTh
（5）
从式（3）~式（5）可见，Im 不仅与 I0 有关，也和 α、β 相 关，而且 Tp、Im、Th 与 I0、α、β 之间有复杂的数学关系。
参照 GB 50057- 94《建筑物防雷设计规范》，文章仿
真选取首次雷击的雷电流波形 10/ 350 μs ,τ1 和 τ2 分别