动量定理及动量守恒定律

规定m0=1千克（kg），则有
m v 2 / v1 kg
2.动量 · 动量守恒定律 将气桌上两物体的碰撞抽象为两个质点m1和m2的相互作用， 则有
令 v10和v 20
m1v1 m2 v 2
分别表示两质点相互作用后的末速度，则
分别表示两质点相互作用前的初速度，v1和v 2
T cos d / 2 0 N T dT cos d / 2 0
因 d 很小 sin d / 2 d / 2, cos d / 2 1 得到 N Td , dT 0 N dT / T 0 d 4 , 0 0.5, T 积分得 dT / T 0 d ln T / T0 0 T0 5 N ,
d F 21 k m1 v1 dt


d , F 12 k m2 v 2 dt


式中k为常数。在SI中k=1，力的量纲为LMT-2，于是 d d F 21 m1 v1 , F 12 m2 v 2 dt dtFra bibliotek
d 或一般的可写作 F mv dt
r d Fi m dt ma 回旋加速器 （劳伦斯 1930） 2 动力学方程 qvB mv / r v qBr / m
Fin m
粒子运动半周的时间 t r / v m / qB 频率为 qB / 2 m 最早的回旋加速器
R 0.18m, B 1.7T , mD 3.35 1027 kg , q 1.6 1019 C 频率 1.3 107 H 速度 v 1.46 107 m / s z
yl 2
gt 2
N 3 g (l y)
v2 l y 2g
2．变力作用下的直线运动
d 2x dx 动力学方程为 m F (t , x, ) 2 dt dt
[例题3] 已知一质点从高空落下，设重力加速度为常量， 质点所受空气阻力与其速率成正比，求质点速度并与自由下 落比较。 [解] 动力学方程为
F i ma
i
即，物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外 力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与和外 力的方向相同。
3) 牛顿第三定律 F21 F 12
即，两物体之间的相互作用力和反作用力沿同一直线， 大小相等，方向相反，分别作用于两个不同物体上。
2. 伽利略相对性原理 不可能在惯性系内部进行任何物理实验来确定该系统 作匀速直线运动的速度。 由此可推出：对于力学规律来说，一切惯性系都是等效的。 也即，牛顿运动定律在任何惯性参照系都成立。 若惯性系S’相对另一惯性系S沿x轴方向以速度V运动， 则两惯性系间坐标和时间的变换关系为
p pi mvi 恒矢量
动量守恒定律是自然界最基本的定律之一。
原子核的β 衰变可写为AB+e，但实验显示B核和e电子的 径迹不在一条直线上，违背动量守恒定律。为此泡利（W.Pauli） 于1930年提出中微子假说来维护动量守恒定律。1956年终于在 实验中发现了中微子。 在电磁学中研究两个运动带电粒子，人们发现两者动量的 矢量和似乎不守恒，后来考虑了电磁场的动量，总动量又守恒 了。
3．惯性系
我们将孤立粒子相对它静止或作等速直线运动的 参考系称为惯性参考系，简称惯性系。
相对于惯性系作等速直线运动的参考系也为惯性系。
注意，惯性系是一个理想概念，实际上不存在严格 意义上的惯性系。研究地球表面附近的许多现象时，地球 可以看作是惯性系。
牛顿第一定律仅在惯性系中成立
§3.2 惯性质量 • 动量和动量守恒定律
m1m2 1）万有引力 F12 G r12 2 r12 W M 地m M 地 2）重力 W mg g G 2 r G 2 r
3）弹性力
f x kx
m
r m
r
4）静电场力和洛仑兹力 静电场力 Fe qE
F m q B 磁场力 洛仑兹力 F qE q B
§3.1 牛顿第一定律和惯性参考系
1.惯性运动 伽利略的实验与推理 demo 实验结果：小球总是力图回到原来的高度 推理：运动的小球若不受阻力会一直保持运动状态
伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人类思想史 上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端。 —爱因斯坦
2．惯性定律 “任意物体都要保持其静止或匀速直线运动状态， 直到外力迫使它改变运动状态为止。” “一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。” （自由粒子是指不受任何相互作用的粒子） 以上叙述就是牛顿第一定律（惯性定律）。
解以上方程，得到
F N1 sin m1a, N 2 sin m2 a, m2 g N 2 cos 0
F arctg m1 m2 g
一个有趣的例子： 谁先到达？
一个现代的例子： 直线加速器
例：一柔软绳长 l ，线密度 ，一端着地开始自由下落， 下落的任意时刻，给地面的压力为多少？ 解：在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）。 y 设压力为 N
得到 m1 g T m1a1x ,
最后解出
m2 g T m2 a2 x m2 a1x
m1 m2 2m1m2 T g m1 m2
a1x a2 x
m1 m2 g ,
[例题2] 斜面上的滑块 [解] 根据牛顿第二和第三定律，有
其投影式为
F N W1 N1 m1a , W2 N 2 m2 a , N1 N 2
动量守恒定律有许多重要的应用，例如火箭的发射。
§3.3 牛顿运动定律 ·伽利略相对性原理
1. 力 · 力的独立作用原理
1)由动量变化引入力的概念 实验表明两质点相互作用时动量连续发生变化，但总动量 仍然守恒，即 m1 v1 m2 v 2 ，在单位时间内两质点交换的 动量为
a ~ 3.4 cm/s2 a ~ 0.6 cm/s2 a ~ 3 10-8 cm/s2
1. 直线加速参考系中的惯性力
若参考系O‘相对参考系O作加速直线运动，则在参 考系O'中牛顿运动定律失效。在参考系O'中引入惯性力 * f ma , 则仍可沿用牛顿第二定律的形式。 由上图可见，在参考系O'和参考系O之间有
2) 力的独立作用原理

若在一质点上同时作用几个力，则这些力各自产生自己 的效果而不相互影响。 3) 质点的动量定理
d F i dt mv i

2．牛顿运动定律 1) 牛顿第一定律 一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。 （自由粒子是指不受任何相互作用的粒子）
2) 牛顿第二定律
m1 v1 t

d d m1 v1 m2 v 2 将时间间隔取极限 t 0 ，则有 dt dt
m v
2 2
t




若分别考察两质点，它们各自的动量都发生了变化，而变化 的原因是相互作用，这种相互作用可以称之为力，于是可以 引入力的概念：
力是一物体对另一物体的作用，将受力物体视为质点时， 力可用受力物体动量的变化率来量度
W1 T1 m1a1 , W2 T2 m2 a2
因绳子不伸长，有
T1 T2 T , x1 x2 R l 恒量 a1x a2 x ，又因 W1 m1 g1 , W2 m2 g 2 求导，得
d ( yv ) 2 yg v dt yg 2( l y ) g
dp N gl p dt dp d ( yv) p yv dt dt 0 d ( yv) N gl dt dy
y
l
v
v gt
dt
dv g dt 1
x ' x Vt ' y y ' z z t ' t
这就是伽利略变换，可看作是 伽利略原理的数学形式。
y
S
y
o
r
V
o
S
P
r
x
§3.4 自然界中常见的力 ·主动力与被动力
1．主动力 有其“独立自主”的方向和大小，不受其它力的影响， 处于“主动”地位的力。
2．被动力或约束反作用力 物体间的挤压力，绳内张力和摩擦力常没有自己独立 自主的方向和大小，要看质点受到的主动力及运动状态而 定，从而处于“被动地位”。 1）绳内的张力 2）支承面的支撑力 3）摩擦力
f 0 f 0max 0 N
f N
§3.5 牛顿运动定律的应用
1. 质点的直线运动 [例题1] 阿特伍德机 可求得加速度 与物体质量以及重力加速度的关系，用 于验证牛顿定律。 [解] 由牛顿第二定律
m1 v1 m2 v 2 m1 v10 m2 v 20 引入一个物理量 p mv p1 p 2 p10 p 20
以上结果就是两质点系统的动量守恒定律
推广到多个质点组成的质点系，可以证明，若质点系不受 该质点系以外其他物体的作用，则质点系动量守恒，可表示为
T0 0
也即
T T0e 0 , Tmax T0e 0
Tmax 2.7 103 N
§3.6 非惯性系中的力学
E 在 E 参考系，
a
a
S
运动符合牛顿定律，在 S 则不然
牛顿定律只在惯性系成立 近似惯性系 地面参考系，自转加速度 地心参考系，公转加速度 太阳参考系，绕银河系加速度
dv m W v dt
可解得
t mg m vy 1 e