动量定理及动量守恒定律

规定m0=1千克（kg），则有
m v 2 / v1 kg
2.动量 · 动量守恒定律 将气桌上两物体的碰撞抽象为两个质点m1和m2的相互作用， 则有
令 v10和v 20
m1v1 m2 v 2
分别表示两质点相互作用后的末速度，则
分别表示两质点相互作用前的初速度，v1和v 2
d p F ma 或 F dt
运动的变化有何规律？
问题：式中各量如何定义？ 定律是如何建立的？ 1．惯性质量 “质量的操作型定义” 实验室气桌上两个滑块的碰撞实验给出
v 2 v1 或 v 2 / v1
取国际千克原器为标准物体，以m0标记，将它与某 物体作用，记为m/m0，有 m m0 v 2 / v1
m1 v1 m2 v 2 m1 v10 m2 v 20 引入一个物理量 p mv p1 p 2 p10 p 20
以上结果就是两质点系统的动量守恒定律
推广到多个质点组成的质点系，可以证明，若质点系不受 该质点系以外其他物体的作用，则质点系动量守恒，可表示为
§3.1 牛顿第一定律和惯性参考系
1.惯性运动 伽利略的实验与推理 demo 实验结果：小球总是力图回到原来的高度 推理：运动的小球若不受阻力会一直保持运动状态
伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人类思想史 上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端。 —爱因斯坦
2．惯性定律 “任意物体都要保持其静止或匀速直线运动状态， 直到外力迫使它改变运动状态为止。” “一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。” （自由粒子是指不受任何相互作用的粒子） 以上叙述就是牛顿第一定律（惯性定律）。
d ( yv ) 2 yg v dt yg 2( l y ) g
dp N gl p dt dp d ( yv) p yv dt dt 0 d ( yv) N gl dt dy
y
l
v
v gt
dt
dv g dt 1
T cos d / 2 0 N T dT cos d / 2 0
因 d 很小 sin d / 2 d / 2, cos d / 2 1 得到 N Td , dT 0 N dT / T 0 d 4 , 0 0.5, T 积分得 dT / T 0 d ln T / T0 0 T0 5 N ,
d F 21 k m1 v1 dt


d , F 12 k m2 v 2 dt


式中k为常数。在SI中k=1，力的量纲为LMT-2，于是 d d F 21 m1 v1 , F 12 m2 v 2 dt dt




d 或一般的可写作 F mv dt
m1 v1 t

d d m1 v1 m2 v 2 将时间间隔取极限 t 0 ，则有 dt dt
m v
2 2
t




若分别考察两质点，它们各自的动量都发生了变化，而变化 的原因是相互作用，这种相互作用可以称之为力，于是可以 引入力的概念：
力是一物体对另一物体的作用，将受力物体视为质点时， 力可用受力物体动量的变化率来量度
解以上方程，得到
F N1 sin m1a, N 2 sin m2 a, m2 g N 2 cos 0
F arctg m1 m2 g
一个有趣的例子： 谁先到达？
一个现代的例子： 直线加速器
例：一柔软绳长 l ，线密度 ，一端着地开始自由下落， 下落的任意时刻，给地面的压力为多少？ 解：在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）。 y 设压力为 N
m1m2 1）万有引力 F12 G r12 2 r12 W M 地m M 地 2）重力 W mg g G 2 r G 2 r
3）弹性力
f x kx
m
r m
r
4）静电场力和洛仑兹力 静电场力 Fe qE
F m q B 磁场力 洛仑兹力 F qE q B
动量守恒定律有许多重要的应用，例如火箭的发射。
§3.3 牛顿运动定律 ·伽利略相对性原理
1. 力 · 力的独立作用原理
1)由动量变化引入力的概念 实验表明两质点相互作用时动量连续发生变化，但总动量 仍然守恒，即 m1 v1 m2 v 2 ，在单位时间内两质点交换的 动量为
第三章 动量定理及动量守恒定律
本章研究质点动力学，要给出质点运动和质点相互作
用（力）的关系。为此先给出质量、动量、力等的定义， 然后由动量守恒定律得出牛顿运动定律，最后将定律推广 到非惯性系和质点系。 请特别注意定律建立过程中实验和理性思维的作用。
§3.1 牛顿第一定律和惯性参考系 §3.2 惯性质量 动量和动量守恒定律 §3.3 牛顿运动定律 伽利略相对性原理 §3.4 自然界中常见的力 主动力与被动力 §3.5 牛顿运动定律的应用 §3.6 非惯性系中的力学 §3.7用冲量表示的动量定理 §3.8 质点系动量定理和质心运动定理 §3.9 经典力学中动量守恒定律的常见形式 §3.10 火箭的运动
a ~ 3.4 cm/s2 a ~ 0.6 cm/s2 a ~ 3 10-8 cm/s2
1. 直线加速参考系中的惯性力
若参考系O‘相对参考系O作加速直线运动，则在参 考系O'中牛顿运动定律失效。在参考系O'中引入惯性力 * f ma , 则仍可沿用牛顿第二定律的形式。 由上图可见，在参考系O'和参考系O之间有
p pi mvi 恒矢量
动量守恒定律是自然界最基本的定律之一。
原子核的β 衰变可写为AB+e，但实验显示B核和e电子的 径迹不在一条直线上，违背动量守恒定律。为此泡利（W.Pauli） 于1930年提出中微子假说来维护动量守恒定律。1956年终于在 实验中发现了中微子。 在电磁学中研究两个运动带电粒子，人们发现两者动量的 矢量和似乎不守恒，后来考虑了电磁场的动量，总动量又守恒 了。
dv m W v dt
可解得
t mg m vy 1 e
3．质点的曲线运动
在自然坐标系中，牛顿第二定律为
2 Fin m ,
式中 特例：圆周运动
ds 为曲率半径 d
d Fi m dt
2
m 2 r ,
2) 力的独立作用原理

若在一质点上同时作用几个力，则这些力各自产生自己 的效果而不相互影响。 3) 质点的动量定理
d F i dt mv i

2．牛顿运动定律 1) 牛顿第一定律 一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。 （自由粒子是指不受任何相互作用的粒子）
2) 牛顿第二定律
3．惯性系
我们将孤立粒子相对它静止或作等速直线运动的 参考系称为惯性参考系，简称惯性系。
相对于惯性系作等速直线运动的参考系也为惯性系。
注意，惯性系是一个理想概念，实际上不存在严格 意义上的惯性系。研究地球表面附近的许多现象时，地球 可以看作是惯性系。
牛顿第一定律仅在惯性系中成立
§3.2 惯性质量 • 动量和动量守恒定律
4．质点的平衡 平衡条件 Fi 0 其投影式
F
ix
0
F
iy
0
F
iz
0
[例题5] 木桩上栓牛绳的张力。
' [解] 平衡方程为 T T N f 0 0
将上式向x、y方向投影，并注意 f 0 f 0max 0 N 有 N T sin d / 2 T dT sin d / 2 0,
得到 m1 g T m1a1x ,
最后解出
m2 g T m2 a2 x m2 a1x
m1 m2 2m1m2 T g m1 m2
a1x a2 x
m1 m2 g ,
[例题2] 斜面上的滑块 [解] 根据牛顿第二和第三定律，有
其投影式为
F N W1 N1 m1a , W2 N 2 m2 a , N1 N 2
x ' x Vt ' y y ' z z t ' t
这就是伽利略变换，可看作是 伽利略原理的数学形式。
y
S
y
o
r
V
o
S
P
r
x
§3.4 自然界中常见的力 ·主动力与被动力
1．主动力 有其“独立自主”的方向和大小，不受其它力的影响， 处于“主动”地位的力。
r d Fi m dt ma 回旋加速器 （劳伦斯 1930） 2 动力学方程 qvB mv / r v qBr / m
Fin m
粒子运动半周的时间 t r / v m / qB 频率为 qB / 2 m 最早的回旋加速器
R 0.18m, B 1.7T , mD 3.35 1027 kg , q 1.6 1019 C 频率 1.3 107 H 速度 v 1.46 107 m / s z
' r r r o'
F i ma
i
即，物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外 力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与和外 力的方向相同。
3) 牛顿第三定律 F21 F 12
即，两物体之间的相互作用力和反作用力沿同一直线， 大小相等，方向相反，分别作用于两个不同物体上。
2. 伽利略相对性原理 不可能在惯性系内部进行任何物理实验来确定该系统 作匀速直线运动的速度。 由此可推出：对于力学规律来说，一切惯性系都是等效的。 也即，牛顿运动定律在任何惯性参照系都成立。 若惯性系S’相对另一惯性系S沿x轴方向以速度V运动， 则两惯性系间坐标和时间的变换关系为
W1 T1 m1a1 , W2 T2 m2 a2
因绳子不伸长，有
T1 T2 T , x1 x2 R l 恒量 a1x a2 x ，又因 W1 m1 g1 , W2 m2 g 2 求导，得
yl 2
gt 2
N 3 g (l y)
v2 l y 2g
2．变力作用下的直线运动
d 2x dx 动力学方程为 m F (t , x, ) 2 dt dt
[例题3] 已知一质点从高空落下，设重力加速度为常量， 质点所受空气阻力与其速率成正比，求质点速度并与自由下 落比较Biblioteka Baidu [解] 动力学方程为
T0 0
也即
T T0e 0 , Tmax T0e 0
Tmax 2.7 103 N
§3.6 非惯性系中的力学
E 在 E 参考系，
a
a
S
运动符合牛顿定律，在 S 则不然
牛顿定律只在惯性系成立 近似惯性系 地面参考系，自转加速度 地心参考系，公转加速度 太阳参考系，绕银河系加速度
2．被动力或约束反作用力 物体间的挤压力，绳内张力和摩擦力常没有自己独立 自主的方向和大小，要看质点受到的主动力及运动状态而 定，从而处于“被动地位”。 1）绳内的张力 2）支承面的支撑力 3）摩擦力
f 0 f 0max 0 N
f N
§3.5 牛顿运动定律的应用
1. 质点的直线运动 [例题1] 阿特伍德机 可求得加速度 与物体质量以及重力加速度的关系，用 于验证牛顿定律。 [解] 由牛顿第二定律