二次函数平行四边形存在性问题例题

二次函数平行四边形存在性问题例题

一．解答题(共９小题)

1．如图，抛物线经过A（﹣1,0),B（５,0）,C(0，)三点.

（１)求抛物线的解析式；

（2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PＡ＋ＰC的值最小,求点P的坐标;（３）点Ｍ为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C，Ｍ,Ｎ四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在,请说明理由.

2.如图,在平面直角坐标系中,直线ｙ＝﹣3x﹣3与ｘ轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线ｙ=ｘ2+ｂｘ+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B（点Ｂ在点A右侧）. (1）求抛物线的解析式及点B坐标;

（2)若点M是线段BC上一动点,过点Ｍ的直线EＦ平行y轴交ｘ轴于点Ｆ,交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F，Ｂ,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点P的坐标;若不存在，试说明理由．

3．已知:如图,在平面直角坐标系xOｙ中，直线与x轴、y轴的交点分别为Ａ、B两点,将∠OBA对折,使点Ｏ的对应点Ｈ落在直线AB上，折痕交x轴于点

C.

(1)直接写出点C的坐标,并求过A、Ｂ、C三点的抛物线的解析式；

（2）若(1）中抛物线的顶点为D，在直线ＢC上是否存在点P，使得四边形ＯDAP 为平行四边形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由；

(3）若把(1)中的抛物线向左平移3．5个单位，则图象与x轴交于F、N(点F在点N的左侧)两点，交ｙ轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Ｑ，使点Q到Ｅ、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由．

4．已知:如图，在平面直角坐标系ｘＯy中，直线与x轴、y轴的交点分别为Ａ、B,将∠ＯBA对折,使点O的对应点H落在直线AＢ上,折痕交x轴于点Ｃ．

（1)直接写出点C的坐标，并求过Ａ、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点Ｐ，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Ｑ为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣ＱＯ|的取值范围.

5.如图，Rt△OＡＢ如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与ｘ轴重合，∠OＡＢ=９0°，OA=４，AB=2,把Rt△OＡＢ绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到

点C的位置，一条抛物线正好经过点O,C，Ａ三点.

（１）求该抛物线的解析式；

(2）在x轴上方的抛物线上有一动点Ｐ，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点Ｐ，点Ｍ作ｘ轴的垂线，交ｘ轴于E,F两点，问：四边形ＰＥFM的周长是否有最大值?如果有,请求出最值,并写出解答过程;如果没有，请说明理由.（３）如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使O(原点）、C、H、N四点构成以ＯＣ为一边的平行四边形？若存在,求出N点的坐标；若不存在,请说明理由．

6．如图，直线y=﹣x＋3与ｘ轴交于点C,与y轴交于点B，抛物线y=ax2+ｘ+c经过B、C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（２）如图，点E是直线BＣ上方抛物线上的一动点,当△BＥC面积最大时，请求出点E的坐标和△ＢＥC面积的最大值?

(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、Ｍ为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

7．如图,抛物线y=aｘ2+bx+2与坐标轴交于A、Ｂ、C三点,其中B（４,0）、C（﹣2,0），连接AB、ＡC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作ＤE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．

（１）求此抛物线的解析式;

(2)在DE上作点G，使G点与D点关于Ｆ点对称,以G为圆心，ＧD为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；

(3)过D点作直线DH∥ＡＣ交AB于Ｈ,当△DHF的面积最大时,在抛物线和直线AB上分别取M、Ｎ两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．

8.已知直线ｙ=kｘ+ｂ（k≠0)过点F(0,1),与抛物线y=x2相交于Ｂ、C两

点．

（1）如图1,当点C的横坐标为１时,求直线ＢC的解析式；

（2)在(１）的条件下,点Ｍ是直线BC上一动点，过点Ｍ作ｙ轴的平行线，与抛物线交于点Ｄ,是否存在这样的点M,使得以M、Ｄ、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由;

（３)如图2,设B(m.n)(m<0),过点E（0．﹣１)的直线l∥ｘ轴，BR⊥l于R,ＣS⊥l 于S，连接ＦＲ、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由.

９．抛物线y＝x２+bｘ+ｃ经过A（0,2)，B（３,2）两点，若两动点D、E同时从原点Ｏ分别沿着x轴、y轴正方向运动,点Ｅ的速度是每秒１个单位长度，点Ｄ的速度是每秒２个单位长度．

（1）求抛物线与ｘ轴的交点坐标；

(2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形?若存在，求点D的坐标；若不存在,说明理由；

（3)问几秒钟时,B、Ｄ、E在同一条直线上?

2017年0５月03日1５87830199的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题(共9小题）

1．(2０16•安顺)如图，抛物线经过Ａ（﹣1，0)，B(５，0），C（0，）三点.（1)求抛物线的解析式；

（2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小,求点P的坐标；

（3)点Ｍ为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点Ｎ，使以A，Ｃ,M，N四点构成的四边形为平行四边形?若存在，求点N的坐标；若不存在,请说明理由.

【解答】解:(１)设抛物线的解析式为y＝ａx2+bx＋c（ａ≠0），

∵Ａ（﹣1,0),Ｂ(5，０)，C（0,）三点在抛物线上，

∴,

解得.

∴抛物线的解析式为:y＝x２﹣2x﹣；

（2)∵抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣,