直与平行教材分析及思维导图

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小学数学_平行与垂直教学设计学情分析教材分析课后反思

《平行与垂直》教学设计一、情境导入师：大家喜欢猜谜语吗？这是一个只有4个面的长方体，每个面上都写了1个字，大家觉得这样看起来，方便吗？那我现在把它展开，大家看，现在这4个字在几个面上了？（同一个平面内）我们一起来读一读谜面：无始无终，请大家猜一个我们学过的图形。

生：直线（板书）师：他猜的对吗？你是怎么想的？生：直线可以向两端无限延长。

师：画过直线吗？大家想想我们画在纸上的直线，你能画出无限延伸的直线吗？这时我们就可以“想象”，把它想象成向两端无限延伸。

看来大家对一条直线的特征已经了解清楚了，今天我们来研究两条直线的位置关系（板书）。

我们一起来读一遍：同一个平面内，两条直线的位置关系。

你说怎么研究好呢？生回答。

师：请看要求：画一画把纸看做平面，请你用笔和直尺在纸上任意画出两条直线。

二、探究新知（一）展示交流，自主分类师：画完了吗？课前老师发给每个小组一个信封，信封内有三幅作品，和你们组内的6幅作品放在一起，现在每组有几幅作品？请看：（PPT出示，找一名同学读）分一分：将作品进行分类，可以分几类？把同类的画法摆在一起，并说一说为什么这么分？（每组选出两人汇报）学生活动、汇报。

师：这就是你们的观点。

同学们，他们说的观点都听到了吗？你怎么看呢？学生汇报时出现“交叉”“碰到一起”等词时，随即解释：在数学上把这种交叉的关系也称为相交，相交成的这一点叫做交点。

（板书：相交交点）①这两条直线看似不相交，但我们画出来的只是直线的一部分，继续画下去，可以看到实际上是相交的。

可以理直气壮的把它放在相交这一类了。

②这几个你们认为是不相交的，那延长以后呢？老师来画一画，大家注意观察，两条线之间的“宽窄”会改变吗？看来，它们确实不能相交，而且是永不相交。

③而相交成直角是相交后的一种特殊的位置关系，也是相交。

达成共识：这样，我们经过验证、调整，就把这几条直线按照它们的位置关系分成了相交与不相交的两类，这次同意了吗？（板书：相交，不相交以及分类结果）（二）认识平行1、揭示平行的定义及平行符号师：像这样在同一平面内永不相交的两条直线，我们就说这两条直线“互相平行”（板书）。

四年级上册数学课件2.10垂直与平行浙教版共21张PPT

是
如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足.
如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足.
判断下面图形中的两条直线垂直吗？
不垂直
如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足.
判断下面图形中的两条直线是平行线吗？
不是
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
判断下面图形中的两条直线是平行线吗？
不是
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
判断下面图形中的一条直线是平行线吗？
不是
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
判断下面图形中的两条直线是平行线吗？
在同一平面内相交的
图①
两条直线
在同一平面内相交的
图②
两条
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
也可以说这两条直线互相平行。
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。也可以说这两条直线互相平行。
判断下面图形中的两条直线是平行线吗？
不是
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。也可以说这两条直线互相平行。
判断下面图形中的两条直线垂直吗？
垂直
如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足.
判断下面图形中的两条直线垂直吗？
垂直
生活中我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举几个例子吗？
摆一摆
1、把两根小棒都摆成和第三根小棒平行。看一看，这两根小棒互相平行吗？

平行与垂直-完整版PPT课件

探究新知
平行四边形和梯形
交流：你能举出生活中一些有关互相垂直的例子吗？
从图中找出两条互相垂直的线。
课堂练习
平行四边形和梯形
下面的各组直线,哪组互相平行哪组互相垂直
互相平行互相垂直已知直线的平行线只能画一条。 ×
在同一平面内,只要两条直线永不相交,就称这两条直线是互相平行的。
人教版数学四年级上册
平行四边形和梯形
5 平形四边形和梯形
平行与垂直
情境导入说一说：直线有哪些特征？
平行四边形和梯形
直线没有端点，向两端无限延伸。
探究新知
平行四边形和梯形
交流：在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？
①
②
③
④
⑤
⑥
探究新知
平行四边形和梯形
交流：在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？
课堂小结
平行四边形和梯形
这节课你们都学会了哪些知识？平行与垂直
垂直
1两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。概念:
2其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 3这两条直线的交点叫做垂足。上图中a与b互相垂直，表示方法:垂直可以用符号“⊥”表示。记作a⊥b，
读作a垂直于b。
没有相交：
①
②
⑤
相交：
③
④
⑥
探究新知
平行四边形和梯形
交流：把没有相交的两条直线再画长一些会怎样？
没有相交
①
②
延伸后相交
⑤
延伸后相交
探究新知认识平行线：
平行四边形和梯形
在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
探究新知平行线的表示方法：

家教辅导师高级证书培训思维导图-空间中的平行关系和垂直关系 doc

空间中的平行关系和垂直关系思维导图是家教辅导师高级培训标准中的一个能力要求,获得家教辅导师高级培训证书的家教老师都经过思维导图的训练,并能把思维导图运用到教学活动中。

本节主要是运用思维导图来解析空间中的平行关系和垂直关系,这是高中数学最基础的内容,同时也是高考的重点。

一、空间中的平行关系线线平行平行线面平行面面平行 1、直线与平面平行定义：直线与平面没有公共点，则直线与平面平行。

判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

符号语言表示：ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄证法一：∵a ∥b ，∴a 、b 确定一个平面，设为β. ∴a ⊂β，b ⊂β∵a ⊄α，a ⊂β ∴α和β是两个不同平面. ∵b ⊂α且b ⊂β ∴α∩β＝b 假设a 与α有公共点P则P ∈α∩β＝b ，即点P 是a 与b 的公共点，这与已知a ∥b 矛盾 ∴假设错误，故a ∥α.证法二：假设直线a 与平面α有公共点P ，则点P ∈b 或点P ∉b若点P ∈b ，则a ∩b ＝P ，这与a ∥b 矛盾. 若点P ∉b ，又b ⊂α，a ∩α＝P由于与平面相交的直线和这个平面内不过交点的直线是异面直线 ∴a 、b 异面，这与a ∥b 也矛盾综上所述，假设错误，故a ∥α.证法三：假设a ∩α＝P . ∵a ∥b ， ∴P ∉b在面α内过P 作c ∥b 则c ∥a ，这与a ∩c ＝P 矛盾. ∴假设错误，故a ∥α. 证法四：∵a ∥b ，∴a 、b 确定一个平面，设为β∴a ⊂β，b ⊂β ∵a ⊄α，a ⊂β∴α、β是两个不同的平面∵b ⊂α，又b ⊂β ∴α∩β＝b∵a 与b 没有公共点 ∴a 与α没有公共点 (若有公共点，公共点必在b 上，则与a ∥b 矛盾). ∴a ∥α.性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.符号语言表示：b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂αββαα⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂=⋂⇒⎭⎬⎫⊂⇒=⋂ββφααβαb a b a a b b // 证明：⇒a ∥b2、平面与平面平行定义：两个平面没有公共点就叫做两个平面平行。

七年级下册数学第一单元思维导图图片

七年级下册数学第一单元思维导图图片_七年级数学下册思维导图第五章相交线与平行线思维导图?邻补角? ?两条直线相交对顶角?相交线两条直线被第三垂条直直线所截(三线八角)?内同同错旁位角内角角相交线与平行平行线?定判平义定行?公—12、、理—同内?公在推位错理同论角角一相相经平若等等a过面，/，/直内b两两，线不直直b外相/线线/ c一平交平，的点行行则，两a有条// 且c直只线有平一行条，直用线“//与”已表知示直线平行? ?3、同旁内角互补，两直线平行线? ? ?1、两直线平行，同位角相等? ?性质2、两直线平行，内错角相等? ?3、两直线平行，同旁内角互补?命题与定理—?—命题?假真命命题题((正错确误的的命命题题))——公理，定理? ?定义平移作基图本性质思维导图第六章实数?定义?平方根（开平方）算平术方平根?方定求性根义法质性?—负正0的质—数数平?负正双0用没的的方数数重定有平算根a没非义平方的术是有负和方根0算平算性计根有术方术算两平根平器个方是方求，0根它根是们互a 为相反数?定义实数?立方根（开立方）求性法质?—负正0的—数数立用的的方定立立根义方方是和根根0 计是是算负负器数数求?正有理数? ?有理数0? ?分类?负有理数实数性质?及无运理算数?实实?负正数数无无的的理理运相数数算反性数质、、绝运对算值法、倒则数、与运有算理律数与相有同理数相同七年级下册数学第一单元思维导图图片_七年级数学下册思维导图(超全) 第五章第六章相交线与平行线思维导图邻补角? ?两条直线相交对顶角?相交线两条直线被第三垂条直直线所截(三线八角)?内同同错旁位角内角角相交线与平行平行线?定判平义定行?公—12、、理—同内?公在推位错理同论角角一相相经平若等等a过面，/，/直内b两两，线不直直b外相/线线/ c一平交平，的点行行则，两a有条// 且c直只线有平一行条，直用线“//与”已表知示直线平行? ?3、同旁内角互补，两直线平行线? ? ?1、两直线平行，同位角相等? ?性质2、两直线平行，内错角相等? ?3、两直线平行，同旁内角互补?命题与定理—?—命题?假真命命题题((正错确误的的命命题题))——公理，定理? ?定义平移作基图本性质第七章实数思维导图。

七年级数学下册思维导图(超全)(可编辑修改word版)

第5章相交线与平行线
思维导图
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧作图基本性质定义平移错误的命题假命题—公理，定理—正确的命题真命题—命题—命题与定理角互补、两直线平行，同旁内相等、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同位角性质线平行、同旁内角互补，两直平行、内错角相等，两直线平行、同位角相等，两直线判定，则，推论：若已知直线平行，有且只有一条直线与公理：经过直线外一点平行公理”表示的两条直线平行，用“—在同一平面内不相交—定义平行线同旁内角内错角同位角三线八角所截两条直线被第三条直线垂直对顶角邻补角两条直线相交相交线线行平与线交相)()(321321//////a //)(c a c b b。

空间的平行与垂直关系(思维导图)高考资料高考复习资料中考资料

面面平行面面垂直
平行与垂直的相互转化关系 1
平行
线线平行
线面平行
平几知识垂直
线线垂直
线面垂直
三垂线定理及逆定理
射影
注：虚线部分为考试大纲中不要求的部分！
面面平行
面面垂直斜线段定理
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
空间的平行与垂直关系
高二数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上
知识结构
第1页共1页
平行与垂直相互转化关系 3
平行
平几知识
垂直
线线平行线线平行线面平行面面平行线线线线垂垂直直
线面平行线面垂直
面面平行面面垂直
平行与垂直相互转化关系 2
平行
平几知识
垂直
线线平行线线平行线面平行面面平行线线线线垂垂直直
线面平行线面垂直

小学四年级上册数学思维导图

行
互行相垂垂
长方形正方
平行四边
平行四边形：两组对边足平行直
形高、底
形和梯形
的梯四形边：行一组对边平行的四边形（平行
的对边不相等）
腰、等高腰梯
形
除数是两位数的除法其它
口算：消
零笔算：竖
式数位复式柱状图：统
数位数位
数位
小学四年级数学上册思维导图
大数的认识
读和写
读：先分级再写读;从最高位开
数级和数位始写射器线计、线段和算角角的度量
量角器的使点用、线得合，读数
四年
角的分类
锐准确直
级
角钝
上册思
平角
口
周角角
维导图
三位数乘二
笔算算
角
位数
垂直与平互相平垂线

高中数学知识框架思维导图(整理版)

柯西不等式
第四部分
位置关系
截距
解析几何
斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化: = tan ， =
倾斜角和斜率
重合
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1＝0
平行
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0
相交
A1B2－A2B1≠0
垂直
直线的方程
z 的几何意义：
过可行域内一点（, ）
向直线 = ， = 作
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
对称性
y＝Asin(x＋)＋b
化简、求值、
证明（恒等变形）
）
值域
图象
对称轴（正切函数除外）经过函数图象
的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，
对称中心是正余弦函数图象的零点，正

切函数的对称中心为( ，0)（k∈Z）.
最值
2
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1
2+1 −1

直线平行与垂直课件PPT课件

直线平行与垂直课件ppt课件
contents
目录
• 直线平行与垂直的基本概念 • 直线平行与垂直的判定定理 • 直线平行与垂直的应用 • 直线平行与垂直的作图方法 • 直线平行与垂直的习题及解析
01 直线平行与垂直的基本概念
直线平行的定义
总结词
同一平面内，不相交的两条直线
详细描述
直线平行是指两条直线在同一平面内，且不相交。这意味着它们没有交点，并且始终保持相同的距离。
05 直线平行与垂直的习题及解析
基础习题
基础习题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。如果错误，请给出反例。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线平行。
基础习题2：已知直线a和b平行，点A在直线a上，点B、 C、D在直线b上，且AB=BC=CD=DE，那么线段AE是点 A到直线b的什么线？
交通
在道路和交通标志的设计中，直线平行和垂直的性质也得到了广泛应用。例如，在道路交叉口的设计中，需要确保各个道路相互垂直或平行，以确保交通的顺畅和安全。
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，为了确保机器的稳定性和功能性，常常需要利用直线平行和垂直的性质。例如，在设计和制造机器零件时，需要确保各个部分相互垂直或平行，以确保机器的正常运转和安全性。
VS
电子工程
在电子工程中，直线平行和垂直的性质也得到了广泛应用。例如，在电路板的设计中，需要确保各个线路相互垂直或平行，以确保电流的顺畅流通。
04 直线平行与垂直的作图方法
平行线的作图方法
1. 确定一个点
选择一个已知点作为起点。
3. 画出直线
根据确定的方向和起点，画出直线。
平行线的定义

2024年新高二数学讲义两条直线平行与垂直的判定(思维导图+2知识点+6考点+过关检测)(解析版)

2024年新高二数学提升精品讲义两条直线平行与垂直的判定（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直；3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.知识点1两条直线平行1、直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在条件1290︒=≠αα1290︒==αα对应关系1212//＝⇔l l k k 12//⇔l l 两条直线斜率都不存在图示2、对直线平行判定的理解（1）2121//k k l l =⇔成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②21l l 与不重合．（2）1212k k l l =⇒//或21l l 与重合．（3）1212l l k k ⇒=//或两条直线的斜率都不存在．（4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行．知识点2两条直线垂直1、直线垂直的判定对应关系1l 与2l 的斜率都存在，分别为12,k k ，则12121⊥⇔⋅=-l l k k 1l 与2l 中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则1l 与2l 的位置关系是12⊥l l图示2、对直线垂直判定的理解（1）12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；（2）当两条直线的斜率都存在，且121k k ⋅=-时，两条直线垂直；（30，则两条直线也垂直．考点一：两条直线平行的判定例1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【解析】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．【变式1-2】（23-24高二上·山西临汾·月考）下列各对直线互相平行的是（）A ．直线1l 经过点()0,1A ，()10B ,，直线2l 经过点()1,3M -，()2,0N B ．直线1l 经过点()1,2--A ，()1,2B ，直线2l 经过点()2,1M --，()0,2N -C ．直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D D ．直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，直线2l 经过点()1,1M -，()3,2N 【答案】A【解析】对于A ，因为1201301,11012l l k k --==-==----，所以12//l l ；对于B ，因为()12122212,11202l l k k -----====-----，所以直线12,l l 不平行；对于C ，由直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D ，得直线12,l l 的斜率都不存在，且两直线重合；对于D ，因为直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，所以直线直线1l 的斜率不存在，而2123132l k --==-，所以直线12,l l 不平行.故选：A.【变式1-3】（23-24高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．(1)1l 经过点()2,3A ，()4,0B -，2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；(2)1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；(3)1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；(4)1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合【解析】（1）301242AB k -==+，21123MN k -==-+，AB MN k k ≠，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2231422k -==--，12k k =，所以l 1与l 2平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不与y 轴重合，2l 的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以12l l //.（4）由题意，知11120EF k --==--，43132GH k -==-,EF GH k k =，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，23114FG k --==--.所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．考点二：两条直线平行关系的应用例2.（23-24高二上·贵州黔西·月考）已知直线1l 过()1,4A -，()2,0B ，且12//l l ，则直线2l 的斜率为（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】由题意直线1l 的斜率为1404123k -==---，又因为12//l l ，所以直线2l 的斜率为2143k k ==-.故选：C.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点(3,),(5,)A n B m 的直线1l 与经过点()()2,0,0,(0)P m Q n mn -≠的直线2l 平行，则mn的值为（）A ．－1B ．－2C ．－1或2D ．－2或1【答案】C【解析】由题意得122,2l l m n n k k m-==，因为12//l l ，所以12l l k k =，即22m n nm-=，化简得2220m mn n --=，所以m n =-或2m n =，又由0mn ≠得mn＝－1或2，故选:C .【变式2-2】（22-23高二上·福建漳州·期中）过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，则m =（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】A【解析】过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以1m ≠-，因此过()(),3,1,A m B m -两点的直线的斜率为31m m---，因为过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以有3tan 45111m m m-==⇒=-- ，故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4-重合，点()2023,2024与点(),a b 重合，则a b +=（）A ．4046B ．4047C ．4048D ．4049【答案】B【解析】设()2,0A ，()2,4B -，则点A ，B 所在直线的斜率为40122AB k -==---，由题意知，过点()2023,2024，(),a b 的直线与直线AB 平行，所以202412023b a -=--，整理得：202320244047a b +=+=.故选：B考点三：两条直线垂直的判定例3.（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且12,k k 是方程210x x +-=的两根，则1l 与2l 的位置关系为（）A ．平行B ．相交且垂直C ．重合D ．相交且不垂直【答案】B【解析】由题意121k k =-，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B ．【变式3-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中12l l ⊥的是（）A ．1l 的倾斜角为45 ，2l 的斜率为1B ．1l 的斜率为2l经过点()2,0A ，(B C ．1l 经过点()2,1P ，()4,5Q --，2l 经过点()1,2M -，()1,0N D ．1l 的方向向量为()1,m ，2l 的方向向量为11,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】对A ，1tan 451l k =︒=，21l k =，121l l k k ⋅≠-，所以A 不正确；对B ，2l k ==，121l l k k ⋅=-，故B 正确；对C ，151142l k --==--，220111l k -==---，121l l k k ⋅=-，故C 正确；对D ，因为()1,m 11,110m ⎛⎫⋅-=-= ⎝，所以两直线的方向向量互相垂直，故12l l ⊥，故D 正确.故选：BCD【变式3-2】（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析【解析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k ∴⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x ∥轴，∴12l l ⊥．【变式3-3】（23-24高二上·全国·课堂例题）判断直线1l 与2l 是否垂直．(1)1l 的斜率为10-，2l 经过点()10,2A ，()20,3B ；(2)1l 经过点()3,4A ，()3,10B ，2l 经过点()10,40M -，()10,40N ；(3)1l 经过点()1,2A -，()5,1B -，2l 经过点()1,0C ，()4,6D ．【答案】(1)12l l ⊥；(2)12l l ⊥；(3)12l l ⊥【解析】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，2321201010k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥．（2）由点A ，B 的横坐标相等，得1l 的倾斜角为90︒，则1l x ⊥，设直线2l 的斜率为2k ，则()2404001010k -==--，所以2l x ∥轴．故12l l ⊥．（3）方法一：直线1l 的斜率()1121512k --==---，直线2l 的斜率260241k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =- ，直线2l 的方向向量()3,6CD =，因为0AB CD ⋅= ，所以AB CD ⊥，所以12l l ⊥．考点四：两条直线垂直关系的应用例4.（23-24高二上·河南郑州·月考）已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点()()2,1,3,P Q m --．若12l l ⊥，则实数m 为（）A ．6B ．－6C ．5D ．－5【答案】B【解析】因为1tan 451l k =︒=，()()211325l m m k --+==--，且12l l ⊥，所以121115l l m k k +⋅=⨯=-，解得6m =-，故选：B.【变式4-1】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知点(3,2),(24,4),(,),(3,32)A m B m C m m D m -----+，若直线AB CD ⊥，则m 的值为（）A ．1或1-B ．3-或1-C ．1-或3D ．3或3-【答案】A【解析】∵A ，B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行.∵AB CD ⊥，则CD 与x 轴不垂直，∴3m -≠，即3m ≠-.当AB 与x 轴垂直时，324m m --=--，解得1m =-，此时，点C ，D 的纵坐标均为1-，则//CD x 轴，此时AB CD ⊥，满足题意；当AB 与x 轴不垂直时，42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+，∵AB CD ⊥，∴1AB CD k k =-，即()()212113m m m +⨯=--++，解得1m =.综上，m 的值为1或1-，故选：A .【变式4-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.【变式4-3】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点()0,2A -，()6,0B ，()0,C a ，且点C 在线段AB 的垂直平分线上，则=a （）A ．2B ．2C ．8D ．8-【答案】C【解析】由点()0,2A -，()6,0B ，可得线段AB 的中点()3,1D -，所以得：线段AB 的斜率为021603AB k +==-，所以得：线段AB 垂直平分线的斜率为1303a k +=-=-，解之得：8a =.故选：C.考点五：直线平行、垂直的综合应用例5.（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点()()()()4,2,6,4,12,6,2,12P Q R S --，则下列结论正确的是（）A ．//PQ SRB ．PQ PS⊥C ．//PS QRD ．PR QS⊥【答案】ABCD【解析】由斜率公式知423645PQ k --==-+，12632125SR k -==--，122532435PS k -==≠-+，PQ SR k k =，且,,,P Q R S 四点不共线，则//PQ SR ，A 选项正确；35153PQ PS k k =⨯⋅-=-，PQ PS ⊥，B 选项正确；6(4)51263QR PS k k --===-，//PS QR ，C 选项正确；124426QS k +==--，6211244PR k -==+，1414QS PR k k ⋅=-⨯=-，PR QS ⊥，D 选项正确．故选：ABCD ．【变式5-1】（22-23高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线12,l l 的斜率12,k k 是关于k 的方程2240k k m -+=）A ．若12l l ⊥，则2m =-B ．若12l l ⊥，则=2mC ．若12//l l 则2m =-D ．若12//l l ，则=2m 【答案】AD【解析】直线1l ，2l 的斜率1k ，2k 是关于k 的方程2240k k m -+=的两根，∴122m k k ⋅=，若12l l ⊥，则1212mk k ==-，得2m =-；若12//l l ，则12k k =，∴1680m ∆=-=，得=2m ，故选：AD【变式5-2】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线1l 经过()(),1,4,3A m B m ---+，直线2l 经过点()()1,2,4,2C D m --+.(1)若1l //2l ，求m 的值；(2)若12l l ⊥，求m 的值.【答案】(1)1或6；(2)3或4-【解析】（1）由题可知直线2l 的斜率存在且()222143m mk -+==--+，若则直线1l 的斜率也存在，由()2113244m mk k m m --+-+===-+-+，得243m m m -+=--+，即2760m m -+=解得1m =或6，经检验，当1m =或6时，12//l l ；（2）若12l l ⊥，当20k =时，此时10,m l =斜率12142k -==-存在，不符合题意，当20k ≠时，直线2l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的斜率也存在，且121k k ×=-，即2134m mm -+-⋅=--+，即2120m m +-=，解得3m =或4-，所以当3m =或4-时，12l l ⊥.【变式5-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线1l 经过()(),3,1,A m B m 两点，2l 经过()()2,1,4,2P Q 两点．(1)若12//l l ，求m 的值；(2)若12,l l 的倾斜角互余，求m 的值．【答案】(1)73m =；(2)53m =【解析】（1）211422PQ k -==-，因为12//l l ，所以3112AB PQ m k k m -===-，得73m =，经检验，符合题意，所以73m =；（2）因为12,l l 的倾斜角互余，设1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为π2α-，所以3121AB PQ m k m k -===-，得53m =．考点六：几何图形的特征的应用例6.（23-24高二上·江苏盐城·期中）以()()()5,1,1,1,2,3A B C -为顶点的三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形【答案】D【解析】直线AB 的斜率1(1)1152AB k --==--，直线BC 的斜率31221BC k -==-，由1AB BC k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，故ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形．故选：D【变式6-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C 三点，试判断ABC 的形状.【答案】直角三角形.【解析】如图所示，边AB 所在直线的斜率111512--==--AB k ，边BC 所在直线的斜率13212BC k -==-.由1AB BC k k ⋅=-，得AB BC ⊥，即90ABC ∠=︒，所以ABC 是直角三角形.【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为()0,0O ，()1,3A ，()3,2B -，()4,1C --．试判断四边形OABC 的形状，并说明理由.【答案】平行四边形，理由见解析【解析】如下图示：OA 边所在直线的斜率3OA k =，AB 边所在直线的斜率14AB k =，BC 边所在直线的斜率3BC k =，CO 边所在直线的斜率14CO k =．由BC CO k k ≠知：点O 不在BC 上，则OA 与BC 不重合，又OA BC k k =，得//OA BC ．同理，由AB CO k k =且AB 与CO 不重合，得//AB CO ．因此四边形OABC 是平行四边形．【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为()()()()0,0,1,,12,2,2,2O P t Q t t R t -+-，其中0t >.试判断四边形OPQR 是否为矩形.【答案】四边形OPQR 为矩形，理由见解析.【解析】由斜率公式得010OP t k t -==-，()()222121RQ t t t t k t ----+-===-20120OR k t t -==---,2211122PQ t t t k t t-==-=--所以OP RQ k k =，OR PQ k k =，从而OP ∥RQ ，OR ∥PQ .所以四边形OPQR 为平行四边形.又1OP OR k k ⋅=-,所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形.一、单选题1．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知直线1l 过()2,3A ，()0,4B ，且12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．2B ．12-C ．2-D ．12【答案】A【解析】由题设1431022l AB k k -===--，又12l l ⊥，则直线2l 的斜率为2.故选：A 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【解析】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l 经过点()2,1A a --和()2,1B a --，且与斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值是（）A ．23-B ．32C ．23±D ．32±【答案】A【解析】由题意得，直线l 的斜率必存在，且1112(2)AB k a a a=－－＝－－－－－()0a ≠.因为直线l 与斜率为23-的直线垂直所以2113a ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭－，解得23a =-.故选：A .4．（22-23高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l a 的值为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【解析】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ≠时，直线2l 的斜率()221120a ak a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121aa a-⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.5．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB ∠为直角，则点P 坐标为（）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【解析】由题意，设点()0,P y ，APB ∠ 为直角，AP BP ∴⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -⎛⎫∴⋅=-=- ⎪⎝⎭，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B6．（23-24高二上·全国·课后作业）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D 【解析】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-∴=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+ ，AD BC AD ====≠，所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.二、多选题7．（23-24高二上·青海西宁·月考）下列各组直线中1l 与2l 一定平行的是（）A ．1l 经过点()()2,1,3,5AB -，2l 经过点()()3,3,8,7CD --B ．1l 经过点()()0,1,2,1EF --，2l 经过点()()3,4,2,3GH C ．1l 的倾斜角为60 ，2l 经过点(2,M N --D ．1l 平行于y 轴，2l 经过点()()0,2,0,5P Q -【答案】AD【解析】对于A ．由题意知12514734,325835k k --+==-==----，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，又5(3)443335BC k --==-≠---，故12//l l ，A 选项正确；对于B ．由题意知1211341,12023k k ---====---，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，4(1)13(2)FG k --==--，故直线1l 与直线2l 重合，B 选项错误；对于C ．由题意知12tan 60k k = ，12k k =，所以直线1l 与直线2l 可能平行可能重合，C 选项错误；对于D ．由题意知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12//l l ，D 选项确．故选：AD8．（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考月考）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【解析】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-≠--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-⨯=-，所以AB AC ⊥，所以ABC 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅≠-，所以D 错误，故选：AC三、填空题9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若经过点(),3m 和()2,m 的直线l 与斜率为-4的直线互相平行，则m 的值是．【答案】53/213【解析】由题意32l mk m -=-，又因为直线l 与斜率为-4的直线互相平行，所以342m m -=--，解得53m =.10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为．【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【解析】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以73231AC k -==-，131512AB k -==--，71335BC k -==--，设D 的坐标为(),x y （1x ≠且5x ≠且3x ≠），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，解得75x y =⎧⎨=⎩，即(7,5)D ；②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =，所以331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--，解得19x y =-⎧⎨=⎩，即(1,9)D -；③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k =所以132351BD AD y y k k x x --====---，，解得33x y =⎧⎨=-⎩，即(3,3)D -；所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.11．（22-23高二上·北京丰台·月考）在平面直角坐标系中，直线1l 经过()()1,,4,5M m N -两点，2l 经过()6,0,(1,3)R S --两点，若12l l ⊥，则m =；若12l l ∥，则m =．【答案】0345-【解析】由已知()2303165l k -==---，当12l l ⊥时，所以155413l m k --==--，解得0m =，当12l l ∥时，153415l m k --==-，解得345m =-，经验证：当345m =-时，12,l l 不重合.四、解答题12．（23-24高二上·四川·期中）已知()4,0A ，()1,2B ，(),C m m ，()7,1D -.(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；(2)若ABC 为直角三角形，求m 的值.【答案】(1)115；(2)1-或12【解析】（1）依题意可得AB CD k k =，即201147m m---=--，解得115m =.又202143AB k -==--，101743AD k --==--，所以AB AD k k ≠，所以A 、B 、C 、D 四点不共线，所以115m =.（2）若A 为直角，则1AB AC k k =-，即2001144m m --⨯=---，解得12m =.若B 为直角，则1AB BC k k =-，即2021141m m --⨯=---，解得1m =-.若C 为直角，则1AC BC k k =-，即02141m m m m --⨯=---，解得m =综上，m 的值为1-或1213．（22-23高二上·广东广州·期中）已知四边形MNPQ 的顶点(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -.(1)求斜率MN k 与斜率PQ k ；(2)求证：四边形MNPQ 为矩形.【答案】(1)1,1MN PQ k k =-=-；(2)证明见解析【解析】（1）因为(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -，所以1,111203124MN PQ k k ---=-==--=-，即1,1MN PQ k k =-=-.（2）因为1,1MN PQ k k =-=-，所以//MN PQ .又因为01,12112134MQ NP k k -=--=--==，所以//MQ NP ，所以四边形MNPQ 为平行四边形，又因为1MN MQ k k ⋅=-，所以MN MQ ⊥，所以四边形MNPQ 为矩形.。

两条直线平行和垂直PPT课件

则l1∥l2的充要条件是 a1 ≠ a2
y
0 l2
x l1
当直线l1和l2有斜截式方程： l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时，
直线l1∥l2的充要条件是 k1=k2 且b1≠b2
例1.已知直线方程 l1: 2 x-4 y +7=0 ,
l2: x-2 y +5=0，证明 l1∥l2.
证明：把的方程写成斜截式：
l1
:
y
1 2
x
7 4
,
l2
:
y
1 2
x
5 2
.
k1 k2 , b1 b2 ,
l1 // l2
设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0，（A1B1 C1 ≠0） l2: A2x+B2 y +C2=0. （A2B2 C2≠0），
A1 B1 C1 则l1∥l2 的充要条件是___A_2___B_2___C_2_____.
于 9/8
4、已知三条直线3x-y+2=0,2x+y+3=0,mx+y=0 不能构成三角形，则值m为 -3或 2 或 -1
复习引入：
（1）直线上的向量线的方向向量.
P1
P2
及与它平行的非零向量都是直
当k存在时，向量(1，k）为直线P1P2 的方向向量，其中k是直线P1P2的斜率.
a b （2）两非零向量、互相垂直的充要条件是什么?
解：（1）若直线l1的斜率不存在，即 a 0时
满足l1 l2
当a
0时，l1
:
y
1 a
x
2a a
2

第四讲-空间中的平行关系

第四讲空间中的平行关系【学习目标】知识点一平行定理和性质的定理认识知识点二直线与平面平行的判定知识点三线面平行的性质运用知识点四线面平行的性质运用知识点五平面与平面平行的判定与性质知识点六线面平行中的探索性问题【知识区】1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂αl⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交∵α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b，知识点一平行定理和性质的定理认识【例1】．(2015·嘉兴月考)对于空间的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【实践区】1．(2015·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l22.已知平面α，β和直线a，b，a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α与β的关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交4.α，β，γ为三个平面，a，b，c为三条直线，且α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∥b，则c和a，b的位置关系是()A.c和a，b都异面B.c与a，b都相交C.c与a，b都平行D.c至少与a，b中的一条相交知识点二直线与平面平行的判定【例2】(1)►如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.【思维导向】关键是找平面内与已知直线平行的直线-------中位线一移：用尺子将PB平移到平面平面ACM，可以初步找出与PB 平行的直线OM 二连/作：将OM、BD连起来，三选：根据OM与PB长度相差较大或者O/M是两个中点，选择中位线的方法(2) 如图，若在四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.【思维导向】关键是找平面内与已知直线平行的直线-------构造平行四边形一移：用尺子将AF 平移到平面PCE ，可以初步找出AF 与平行的直线二连/作：取PC 得中点，链接其他线三选：根据两线长度接近大或者E 是端点，另一个是中点，选择构造平行四边形的方法(3)已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ (如图)．求证：PQ ∥平面CBE .，【思维导图】利用相似比证明线线平行---线面平行【方法总结】线面平行→→线线平行→⎪⎩⎪⎨⎧）示关键词：线段的比例三角形中的相似比（提中点，长度一样）关键词：一个端点一个构造平行四边形（提示长度差一半键词：两个中点，两线三角形中位线（提示关.3.2..1 注意：可以用尺子把线平移到平面内，找出平行线，在按上面方法证明【实践区】1. (2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.①求证：AB1∥平面BC1D；②若BC＝3，求三棱锥D-BC1C的体积．知识点四线面平行的性质运用【例3】(2015·秦皇岛模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.【方法总结】线面平行→→线线平行→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧线面平行的性质）示关键词：线段的比例三角形中的相似比（提中点，长度一样）关键词：一个端点一个构造平行四边形（提示长度差一半键词：两个中点，两线三角形中位线（提示关.4.3.2..1 注意：可以用尺子把线平移到平面内，找出平行线，在按上面方法证明【实践区】1.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别为棱A 1B 1，D 1C 1上的点，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ，求证：FG ∥平面ADD 1A 1.2.如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ．求证：CD ∥平面EFGH ．【强化区】----线面平行的判定与性质1.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.2.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝DC＝12AB＝1，M是PB的中点．(1)求证：AM＝CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.3.(2013·盐城模拟)如图，P为▱ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN与平面P AD的位置关系，并证明你的结论．知识点五平面与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β面平行⇒面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b，∴a∥b【例5】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A1C1B；【方法总结】证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【实践区】1. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.2.(2013·高考陕西卷) 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O 是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：底面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.．4.。

新教材苏教版四年级上册《垂直与平行》教材分析

“垂直”或“平行”是同一平面内两条直线的特殊位置关系，是认识常见平面图形不可缺少的基础知识。

认识平行四边形和梯形的特征，建立平行四边形、三角形、梯形的高的概念，都离不开垂直和平行的知识。

从这一点来说，本单元是直观认识几何形体向形成线、角、形、体等几何概念的重要转折点。

全单元编排10 道例题，内容的具体安排如下表：例 1 射线、直线的概念，两点之间的距离例 2 角的概念，表示角的方法例 3 用量角器测量角的大小例 4 锐角、直角、钝角、平角、周角的概念例 5 用量角器或三角尺画角例 6 两条直线相互垂直例7 点到直线的距离例8 用三角尺画垂线例9 两条直线相互平行例10 画已知直线的平行线单元整理与练习从表格里可以看到，全单元内容分成两大部分。

第一部分是线与角的知识，编排五道例题和两个练习教学，这些知识为认识垂直和平行作准备。

如，认识两条直线的相互位置关系，需要先建立直线的概念；认识两条直线相互垂直，需要先认识直角和会画直角……学生在第一学段仅直观认识了线段和角，经过本单元前五道例题的学习，将获得比较系统的“线”与“角”的知识，形成相应的数学概念。

第二部分是垂直和平行的知识，编排五道例题和一个练习教学。

不仅教学两条直线相互垂直、相互平行的概念，还教学使用工具画已知直线的垂线和平行线的方法。

垂线和平行线这两个知识的教学安排，有些教科书里先讲平行线、再讲垂线，有些教科书里先讲垂线、再讲平行线。

本单元把垂线放在平行线的前面先教，是因为学生在生活中接触垂直现象的机会稍多些，积累的关于垂直的感性认识比平行线多。

而且，学生认识了垂直关系，学会了画垂线，有助于他们体会两条直线的“不相交” ，会适当降低建立平行线概念的难度。

（一）从生活中的直观现象引出射线和直线，以线段为生长点揭示射线和直线的概念学生在第一学段已经认识了线段，知道线段是有两个端点的直线，其长度是有限的，可以用尺度量。

本单元教材以线段概念为生长点，继续教学射线和直线。

新教材人教A版选择性必修第一册第2章 2.1 2.1.2两条直线平行和垂直的判定课件(48张)

( )课
时
(
)
分层
作
业
返首页
·
11
·
情景
2．已知 A(2,0)，B(3,3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k 等于(
)
课堂
导
小
学
探
A．－3
B．3
C．－13
D．13
·
结提
新
素
知
养
合
作探究
B [kAB＝33－－02＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.]
课时分
层
释
作
疑
业
难
返首页
返首页
·
5
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你提
新
素
知尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽 8 分米，长养
合作
21 分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳
课
探
时
究闷哩，这是什么回事呢？
分层
释
作
疑
业
难
返首页
4．(教材
P58T6(1)改编)l1
的斜率为－23，l2
经过点
A(1,1)，B(0，m)，
堂小结
·
探
提
新知
当 l1⊥l2 时，m 的值为________．
素养
合
作
课
探究
释
－12 [由条件 l1⊥l2 得－23×m－－11＝－1，解得 m＝－12.]

新教材高中数学第一章两条直线的平行与垂直pptx课件北师大版选择性必修第一册

答案：1
解析：由题意：a·(a＋1)－2×1＝0，∴a＝1或a＝－2，当a＝1时，则l1：x＋2y－1＝0， l2：x＋2y＋12＝0，∴l1∥l2 当a＝－2时，则l1：－2x＋2y－1＝0， l2：x－y＋12＝0， ∴两直线重合(舍去)．故a＝1.
(3)与直线3x－2y＝0平行，且过点(4，－3)的直线方程为________．
(1)判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等．课本中的结论只有在斜率都存在的情况下方可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．(2)判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件：若同位角相等，则两直线平行．
(3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合．
∴l1⊥l2.
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)， D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________．
答案：5或－6
解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， ∵直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，且2≠－1， ∴l2的斜率存在．当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，由k1·k2＝－1，得a−−32−−a3·a−−12−−23＝－1，解得a＝－6. 综上可知，a的值为5或－6.
A．－3
B．3
C．－13
D．13
答案：B 解析：kAB＝33−−02＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.故选B.
3．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－12，则l1与l2(
)
A．平行
B．垂直
C．重合