高中的绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印
高考数学总复习第三节 绝对值不等式
解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3.
因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，
即x－a2＋12－x≥3－2 a. 又x－a2＋12－xmin＝12－a2， 所以12－a2≥3－2 a，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
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[即时应用] 已知 x，y∈R ，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14， 求证：|x＋5y|≤1. 证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y) －2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y| ≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.
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2．解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6. 解：法一：当 x＞12时，原不等式转化为 4x≤6⇒12＜x≤32； 当－12≤x≤12时，原不等式转化为 2≤6，恒成立； 当 x＜－12时，原不等式转化为－4x≤6⇒－32≤x＜－12. 综上知，原不等式的解集为x|－32≤x≤32.
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法二：原不等式可化为x－12＋x＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过 3 的点 的集合，数形结合知，当 x＝32或 x＝－32时，到12，－12两点的 距离之和恰好为 3，故当－32≤x≤32时，满足题意，则原不等 式的解集为x|－32≤x≤32.
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[小题纠偏]
1．设 a，b 为满足 ab＜0 的实数，那么
A．|a＋b|＞|a－b|
B．|a＋b|＜|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b||
D．|a－b|＜|a|＋|b|
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绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x－6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12}(2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234xx -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2(x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高中数学 高三二轮专题复习——高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
常见的七种含有绝对值的不等式的解法类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当0>a 时，a x f a a x f <<-⇔<)()(a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)(2、当0=aa x f <)(，无解⇔>a x f )(使0)(≠x f 的解集3、当0<a 时，a x f <)(，无解⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集.例1 不等式22<-x x 的解集为（ ）A.)2,1(-B.)1,1(-C.)1,2(-D.)2,2(-解：因为22<-x x ，所以222<-<-x x .即⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-020222x x x x ， 解得：⎩⎨⎧<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A.类型二：形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()( 或a x f b -<<-)(需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(例2 不等式311<+<x 的解集为（ ）A ．)2,0( B.)4,2()0,2( -C ．)0,4(- D.)2,0()2,4( --解：311311<+<⇔<+<x x 或11,3-<+<-x20<<⇔x 或24-<<-x ，故选D类型三：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解，即：)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<，)()()()(x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<例3 设函数312)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 解：53125)(≤++-⇔≤x x x f2122212+-≤-≤-⇔+-≤-⇔x x x x x⎩⎨⎧+-≤--≥-⇔212212x x x x 1111≤≤-⇔⎩⎨⎧≤-≥⇔x x x ，故填：[]1,1-. 类型四：形如)()(x g x f <型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：22)()()()(x g x f x g x f <⇔<0)]()()][()([0)]([)]([22<-+⇔<-⇔x g x f x g x f x g x f 例4 不等式0212<---x x 的解集为解：2120212-<-⇔<---x x x x0)2()12(2122222<---⇔-<-⇔x x x x0)]2()12)][(2()12[(<----+-⇔x x x x 11<<-⇔x 所以原不等式的解集为{}11<<-x x 类型五：形如)()(),()(x f x f x f x f ><型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：)()(x f x f <，无解0)()()(<⇔>x f x f x f例5 解关于x 的不等式a x x a x x +-->+--1111 解：0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011 （1） 当0=a 时，原不等式等价于：1011<⇔<-x x （2） 当0>a 时，原不等式等价于：111011<<-⇔<-<-x ax a （3） 当0<a 时，原不等式等价于：01<-x 或a x 11->-1<⇔x 或a x 11-> 综上所述（1） 当0=a 时，原不等式的解集为： {}1<x x（2） 当0>a 时，原不等式的解集为： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x （3） 当0<a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或 类型六：形如使c n x m x c n x m x ≥-+-≥---,恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：b a b a b a +≤±≤-，结合极端性原理即可解得，即：()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≥⇔---≥max ；()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ； 例6 不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)+∞-∞-,41, B.(][)+∞-∞-,52,C.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,解：设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f所以4)(max =x f而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或，故选择A类型七：形如,)()(a x g x f <-()为常数a a x g x f >-)()()()()(x h x g x f <-，)()()(x h x g x f >-,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()()()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7 解不等式112+<-x x分析：找出零点：21,0==x x 确定分段区间： 21,210,0≥<≤<x x x 解：（1）当0<x 时，原不等式可化为：112+-<+-x x解得：0>x因为 0<x ，所以 x 不存在（2）当210<≤x 时，原不等式可化为： 112+<+-x x解得：0>x又因为21<≤x x ， 所以21<<x x （3）当21≥x 时，原不等式可化为： 112+<-x x ，解得：2<x又21≥x ， 所以221<≤x 综上所述，原不等式的解集为：{}20<<x x2、特别地，对于形如,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()()()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：⇔<+)()()(x h x g x f⎪⎩⎪⎨⎧<-<+)()()()()()(x h x g x f x h x g x f )()()(x h x g x f >+⇔)()()(x h x g x f >+或)()()(x h x g x f >-例8 设函数a x x x f -+-=1)(（1）若1-=a ，解不等式3)(≥x f（2）如果,2)(,≥∈∀x f R x 求a 的范围解：（1） 当时，1-=a11)(++-=x x x f由3)(≥x f 得：311)(≥++-=x x x f即：()()311≥++-x x 或 ()()311≥+--x x解得：32≥x ，即：23-≤x 或 23≥x 故不等式3)(≥x f 的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2323x x x 或 （2）由2)(≥x f 得：x2-ax1≥-+即：()()2--axx1≥-+x或()()2-a-1≥x即：()21≥x或2-a+12≥-a因为2fRx恒成立，∀x)∈(,≥-a成立，解得：1≥所以2≥a≤a或31-故a的取值范围为：(][)1,-,3∞-+∞绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.。
【高中数学】秒杀秘诀MS绝对值不等式(高考版)
绝对值不等式（一）秒杀秘籍：绝对值不等式c b x a x cb x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故ba b x a x -≥-+-利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤-II.当0＜c 时，不等式解集为：空集c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数例1：若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
最新整理高中绝对值不等式 (精华版) 适合高三复习用 可直接打印备课讲稿
绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
高考绝对值不等式(j基本全了)
高考绝对值不等式（j基本全了）绝对值不等式解绝对值不等式1.不等式x?1?x?3≥0的解集是．[1,??)．x?1?x?3≥0 ?x?1≥x?3?(x?1)2≥(x?3)2?x≥12.对于x?R，不等式x?10?x?2?8的解集为_______ 答案：{xx?0} 解析：两种方法，方法一：分三段，（1）当x??10时，不等式为(?x?10)?(2?x)?8，此时不等式无解；（2）当?10?x?2时，不等式为(x?10)?(2?x)?8，解得：0?x?2 （3）当x?2时，不等式为(x?10)?(x?2)?8，解得：x?2x?0 综上：方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点?10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到?10的距离为d1?10，到2的距离为d2?2，d1?d2?8，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的范围是x?0. 3.x?|2x?1|?3．11??141?x??x?解：原不等式可以化为?2，或?2，解得?x?或?2?x?232??3x?41?x?3??综合得：?2?x?4?，所以原不等式的解集是?x|?2?x?3?4??。
3?24.已知函数f(x)?|x?2|?|x?5|。
（1）证明：?3?f(x)?3；（2）求不等式f(x)?x?8x?15的解集。
??3,x?2?解;(1)f(x)?|x?2|?|x?5|??2x?7,2?x?5,?3,x?5?当2?x?5时，?3?2x?7?3所以?3?f(x)?32（2）由（1）知，当x?2时，f(x)?x?8x?15等价于x?8x?18?0此时不等式无解；222当2?x?5时，f(x)?x?8x?15等价于x?10x?22?0即5?3?x?5?3，所以5?3?x?5；22当x?5时，f(x)?x?8x?15等价于x?8x?12?0，解得2?x?6，所以5?x?6，所以不等式f(x)?x?8x?15的解集为x|5?3?x?6。
高三第一轮复习绝对值不等式
绝对值不等式【提纲挈领】 主干知识归纳1.含有绝对值的不等式的解法 （1）()(0)()()f x a a f x a f x a >>⇔><-或； （2）()(0)()f x a a a f x a <>⇔-<<；（3）(0)x a x b c c -+-≥>和(0)x a x b c c -+-≤>型不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想。
2.绝对值三角不等式 定理1：若b a ,为实数，则b a b a +≤+，当且仅当0≥ab 时，等号成立。
定理2：设c b a ,,为实数，则cb b ac a -+-≤-，该式等号成立0))((≥--⇔c b b a ，即b 落在c a ,之间。
推论1：a b a b-≤+；推论2：a b a b -≤-。
方法规律总结1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 （1）求零点。
（2）划区间、去绝对值号。
（3）分别解去掉绝对值的不等式（组）。
（4）取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值。
2.图像法求解不等式用图像法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法。
[指点迷津][类型一]绝对值不等式的性质【例1】：(1) 已知∀x ∈R ，使不等式log 2(4－a )＋3≤|x ＋3|＋|x －1|成立，则实数a 的取值范围是________．(2) 若∃x ∈R ，|x －a |＋|x －1|≤4成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】： (1)令g (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，则g (x )≥|x ＋3＋1－x |＝4，所以g (x )min ＝4.因为∀x ∈R ，使不等式log 2(4－a )＋3≤|x ＋3|＋|x －1|成立，所以log 2(4－a )＋3≤g (x )min ，即log 2(4－a )＋3≤4，所以log 2(4－a )≤1，即0<4－a ≤2，解得2≤a <4.所以实数a 的取值范围是[2，4)．(2)在数轴上，|x －a |表示坐标为x 的点P 到坐标为a 的点A 的距离，|x －1|表示点P 到坐标为1的点B 的距离．因为(|PA |＋|PB |)min ＝|a －1|，所以要使不等式|x －a |＋|x －1|≤4成立，只需|a －1|≤4，解得－3≤a ≤5.故实数a 的取值范围是[－3，5]．[类型二]绝对值不等式的解法【例2】： (1)设函数f (x )＝|2x －1|＋|2x －3|，则不等式f (x )≤5的解集为________．(2)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，则a 的值为________． 【解析】： (1)由原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <12，4－4x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤32，2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，4x －4≤5，解得－14≤x <12或12≤x ≤32或32＜x ≤94，因此不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－14，94.(2)由f (x )≤0，得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，解得a ＝2.故实数a 的值为2.【例3】： (1) 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为________．(2) 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x －2|，g (x )＝x ＋3，则不等式f (x )＜g (x )的解集为________． 【解析】： (1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，两边平方得4x 2－4ax ＋a 2≤36－12a ＋a 2，即x2－ax ＋3a －9≤0.由题意可知，－2与3为方程x 2－ax ＋3a －9＝0的两个根，则有－2＋3＝a ，所以a ＝1.(2)不等式f (x )<g (x )可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．[类型三]绝对值不等式的参数范围问题【例4】：. 设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，(1)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178.证明 (1)方法一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54.[3分]∴若|a |≤1，则|f (x )|≤54.[5分]方法二 设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x . ∵－1≤x ≤1， ∴当x ＝±1，即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54；当－1<x <1即x 2－1<0时，g (a )＝(x 2－1)a ＋x 是单调递减函数．∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1，∴g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54；g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54.∴|f (x )|＝|g (a )|≤54.(2)当a ＝0时，f (x )＝x ，当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不满足题设条件， ∴a ≠0.又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1. 故f (1)和f (－1)均不是最大值，∴f (x )的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得，∴命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧a <0－1<－12a <1f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝178，解得⎩⎨⎧a <－12a ＝－2或a ＝－18，∴a ＝－2.即当a ＝－2时，函数f (x )有最大值178.[同步训练][一级目标]基础巩固组一、选择题1．不等式|x 2－x |<2的解集为( )A ．(－1,2)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－2,2)【解析】： [∵|x 2－x |<2，∴－2<x 2－x <2，即⎩⎨⎧ x 2－x ＋2>0x 2－x －2<0，∴⎩⎨⎧x ∈R －1<x <2.∴－1<x <2.] 答案 A 2．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小 【解析】：方法一 把a 当作变量，要去掉绝对值符号，分区间进行讨论，如图所示．不妨设b >0 (b <0时同理)．(1)当－1<a ≤－b 时，|a ＋b |＋|a －b |＝－a －b －a ＋b ＝－2a <2， (2)当－b <a ≤b 时，|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b －a ＋b ＝2b <2， (3)当b <a <1时，|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b ＋a －b ＝2a <2. 综上可知|a ＋b |＋|a －b |<2.方法二 (|a ＋b |＋|a －b |)2＝2a 2＋2b 2＋2|a 2－b 2|＝⎩⎨⎧4a 2，a 2>b 2，4b 2，a 2≤b 2，∴|a ＋b |＋|a －b |<2.] 答案B3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 【解析】： 由|x ＋3|－|x －1|的几何意义知，|x ＋3|－|x －1|∈[－4,4]，即|x ＋3|－|x －1|的最大值是4，要使|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≥4恒成立即可．所以a ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．答案A4．若不等式|8x ＋9|<7和不等式ax 2＋bx >2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为( )A ．a ＝－8，b ＝－10B ．a ＝－4，b ＝－9C ．a ＝－1，b ＝9D ．a ＝－1，b ＝2 【解析】：由|8x ＋9|<7，得－7<8x ＋9<7，即－16<8x <－2，∴－2<x <－14.由题意知－2，－14为方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎨⎧－b a ＝－2－14，－2a2⎝⎛⎭⎫－14.∴⎩⎨⎧a ＝－4b ＝－9.答案 B5．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >3B ．－1<a <3C ．－1<a <2D ．1<a <3 【解析】：由|x －1|＋|x －3|的几何意义知|x －1|＋|x －3|≥2，即|x －1|＋|x －3|的最小值为2.当a 2－2a －1<2时满足题意，∴a 2－2a －3<0，即(a ＋1)(a －3)<0，∴－1<a <3. 答案B 二.填空题6．给出以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪x y <23.其中所有正确命题的序号是________________．【解析】： |a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1； |a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a | ＝|b －a |＝|a －b |；∵|y |>3，∴1|y |<13，∴|x ||y |<23，即|x y |<23.故①、②、③都正确．7．不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．【解析】： 原不等式可化为：⎩⎨⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎨⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎨⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．8．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________________________________________________________．【解析】： 由|x ＋1|＋|x －3|的几何意义知，|x ＋1|＋|x －3|∈[4，＋∞)，∴a ＋4a≤4.当a >0时，a ＋4a≥4，当且仅当a ＝2时，取等号，当a <0，显然符合题意． 三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】： 方法一 (1)由f (x )≤3 得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎨⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )min ≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得， g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )min ≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．10．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． 【解析】：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3.①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎨⎧ x ≤－1，f x3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32.②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，不等式组⎩⎨⎧－1<x ≤1f x3的解集为∅.③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3. 不等式组⎩⎨⎧x >1，f x3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞.综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2xa ＋1x ≥1.f (x )的最小值为1－a .若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2xa ＋1x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R .f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【二级目标】能力提升题组 一、选择题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是( )A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)【解析】： ∵⎪⎪⎪⎪x －2x＞x －2x ，∴x －2x＜0，∴0＜x ＜2.答案A2．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ：命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】： |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案 C 二、填空题3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.【解析】： |x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 三、解答题4．对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．【解析】： 由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |恒成立．故|x －1|＋|x －2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值．∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号， ∴|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2.∴x 的取值范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解．解不等式得12≤x ≤52.5、设函数).0(1)(>-++=a a x ax x f （1）证明：2)(≥x f ；（2）若5)3(<f ，求a 的取值范围。
高三复习第一讲 绝对值不等式
选修4－5 不等式选讲第一讲 绝对值不等式【考纲速读吧】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a ＋b|≤| a |＋|b|； ②| a －b|≤| a －c|＋|c －b|．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： | a x ＋b|≤c ；| a x ＋b|≥c ； |x －a |＋|x －b|≥c ．【要点集结号】个重要公式| a ±b|≤| a |＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值． 绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当点必须注意1．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b|>m 或|x －a |＋|x －b|<m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式| a ＋b|≤| a |＋|b|及推广形式 |a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |进行放缩．1．分离参数法：运用“f （x ）≤a ⇔f （x ）max≤a ，f （x ）≥a ⇔f （x ）min≥a ”可解决恒成立中的参数范围问题．2．更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．3．数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．【课前自主导学】011．绝对值不等式的解法（1）形如| a x ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（1） 形如| a x ＋b|≤c （c>0）和|ax ＋b|≥c （c>0）型不等式① 绝对值不等式|x|>②|a x ＋b|≤c （c>0）和|b|≥c ⇔__________（c>0）．（1）不等式|2x ＋1|≤3的解集是________． （2）不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的解集是________． 2．绝对值不等式的应用（1）定理：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a |＋|b|，当且仅当________时，等号成立．（2）如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤|a －b|＋|b －c|．当且仅当（a －b ）（b －c ）≥0时，等号成立．（3）由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. ②||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. ③||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.（1）函数y ＝| x －1|＋|x －2|的最小值为________．（2）函数y ＝|x |－|x －3|的最大值为________．【自我校对】1． {x |－a <x <a } {x |x >a 或x <－a } －c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c想一想：提示：关键是根据绝对值的意义或性质去掉绝对值．填一填：（1）{x |－2≤x ≤1} （2）{x |x ≤－32，且x ≠－2} 2．a b≥0想一想：提示：关键是根据含绝对值不等式定理或性质转化，消去自变量x ．填一填：（1）1 （2）3【核心要点研究】02【考点一】绝对值不等式的解法例1 [2012·湖南高考]不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．【审题视点】应用零点分段法，不等式分情况讨论去掉绝对值符号；也可移项两边平方解不等式．[解析] 方法一：原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－3>0或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <1，4x >1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3>0， ∴∅或14<x <1或x ≥1，∴不等式解集为{x |x >14}． 方法二：由|2x ＋1|－2|x －1|>0，得|2x ＋1|>2|x －1|，平方，得12x >3，x >14．∴解集为{x |x >14}． [答案] {x |x >14} 【师说点拨】1．形如|x ＋a|±|x －b|≥c 不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为（1）求零点；（2）划分区间、去绝对值号；（3）分别解去掉绝对值的不等式；（4）取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．上述不等式也可用|x －a 1|±|x －a 2|的几何意义去求解集【变式探究】 若不等式|2x －a|＋a ≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值．解：由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ．所以a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3．由不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}，知a －3＝－2，所以a ＝1．【考点二】绝对值不等式的证明例2 [2012·江苏高考]已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518． [证明] 因为3|y |＝|3y |＝|2（x ＋y ）－（2x －y ）|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518． 奇思妙想：本例条件不变，问题改为“|x －5y |<43”，该如何证明？ 证明：令x －5y ＝m （x ＋y ）＋n （2x －y ），则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，m －n ＝－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝2，∴|x －5y |＝|－3（x ＋y ）＋2（2x －y ）|≤3|x ＋y |＋2|2x －y |，由题知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而|x －5y |<43． 【师说点拨】含绝对值不等式的证明题主要分两类，一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．【变式探究】 设a ∈R ，函数f （x ）＝ax 2＋x －a （－1≤x ≤1），若|a |≤1，求证：|f （x ）|≤54． 证明：证法一：∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1． 又∵|a |≤1，∴|f （x ）|＝|a （x 2－1）＋x |≤|a （x 2－1）|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54．、 证法二：设g （a ）＝f （x ）＝ax 2＋x －a ＝（x 2－1）a ＋x ．∵－1≤x ≤1，当x ＝±1即x 2－1＝0时， |f （x ）|＝|g （a ）|＝1≤54； 当－1<x <1即x 2－1<0时，g （a ）＝ax 2＋x －a 是单调递减函数． ∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1．∴g （a ）max ＝g （－1）＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54； g （a ）min ＝g （1）＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54． ∴|f （x ）|＝|g （a ）|≤54． 【考点三】绝对值不等式的综合应用例3 [2012·辽宁高考]已知f （x ）＝|ax ＋1|（a ∈R ），不等式f （x ）≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．（1）求a 的值； （2）若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f (x 2)≤k 恒成立，求k 的取值范围． 【审题视点】 （1）先解绝对值不等式，注意对字母a 的讨论，然后利用集合相等求a ；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，将原函数转化为分段函数求最大值．[解] （1）由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2．又f （x ）≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时， －4a ≤x ≤2a，得a ＝2． （2）记h （x ）＝f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫x 2＝|2x ＋1|－2|x ＋1|，则h （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，【师说点拨】 不等式有解是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面（如f （x ）>m 的解集是空集，则f （x ）≤m 恒成立）也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f （x ）<a 恒成立⇔a >f （x ）m a x ，f （x ）>a 恒成立⇔a <f （x ）min ．【变式探究】 已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a （其中a >0）．（1）当a ＝4时，求不等式的解集；（2）若不等式在[－π2，＋∞）内有解，求实数a 的取值范围． 解：（1）当a ＝4时，不等式即为|2x ＋1|－|x －1|≤2，当x <－12时，－x －2≤2，得－4≤x <－12，当－12≤x ≤1时，3x ≤2，得－12≤x ≤23， 当x >1时，x ≤0，此时x 不存在．∴不等式的解集为{x |－4≤x ≤23}．（2）∵设f （x ）＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1， ∴f （x ）∈[－32，＋∞），即f （x ）的最小值为－32．若f （x ）≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32， 解得a ≥24，即a 的取值范围是[24，＋∞）． 【经典演练提能】04 1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为（ ） A ．（－4，－2） B ．（0,2） C ．（－4,2） D. (－4，－2)∪(0,2)答案：D解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|>1|x ＋1|<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>1或x ＋1<－1－3<x ＋1<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－2－4<x <2⇒－4<x <－2或0<x <2． 2．[2013·皖南八校联考]不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[－1,4]B ．（－1,4]C ．[－1,4）D ．（－1,4）答案：A 解析：y ＝|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，∴a 2－3a ≤4．∴－1≤a ≤4，选A 项．3．[2012·广东高考]不等式|x ＋2|－|x|≤1的解集为_______．答案：{x |x ≤－12} 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋2－x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <0，x ＋2＋x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－x －2＋x ≤1，解之得x ≤－12． 所以不等式的解集为{x |x ≤－12}． 4．[2012·陕西高考]若存在实数x 使| x －a |＋| x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．答案：－2≤a ≤4解析：在数轴上确定点1，再移动点a 的位置，观察a 点的位置在－2和4的位置时是边界位置，所以－2≤a ≤4．5．[2013·宝鸡统考]已知函数f （x ）＝|x －a |．（1）若不等式f （x ）≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若f （x ）＋f （x ＋5）≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3．又已知不等式f （x ）≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2． （2）∵a ＝2∴f （x ）＝|x －2|．设g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋5）， 于是g （x ）＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g （x ）>5；当－3≤x ≤2时，g （x ）＝5；当x >2时，g （x ）>5．综上可得，g （x ）的最小值为5． 从而，若f （x ）＋f （x ＋5）≥m ，即g （x ）≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为（－∞，5]．【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题1．[2013·株洲模拟]不等式（1＋x ）（1－|x |）>0的解集是（ ）A ．{x |0≤x <1}B ．{x |x <0且x ≠1}C ．{x |－1<x <1}D ． {x |x <1且x ≠－1}答案：D解析：当x ≥0时，（x ＋1）（x －1）<0，∴0≤x <1．当x <0时，（x ＋1）2>0，∴x ≠－1，综上可知，选D 项．2．[2013·西安质检]已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为（－12，12），则t ＝（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：B解析：∵|2x －t |<1－t ，∴t －1<2x －t <1－t ．∴2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0． 3．[2013·淮安模拟]设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足（ ）A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3答案：D解析：由题意可得集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，集合B ＝{x |x <b －2或x >b ＋2}，又因为A ⊆B ，所以有 a ＋1≤b －2或b ＋2≤a －1，即a －b ≤－3或a －b ≥3．因此选D ．4．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是（ ）A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．（－∞，－5]∪[7，＋∞）D ．（－∞，－4]∪[6，＋∞）答案：D解析：|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是（－∞，－4]∪[6，＋∞）．故应选D ．5．[2013·大连模拟]已知命题p ：∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥m ，命题q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0，那么，“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由绝对值不等式的几何性质可知，∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥|（x ＋2）－（x －1）|＝3，故若命题p 为真命题，则m ≤3；当命题q 为真命题时，方程x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0有根，则Δ＝（－2m ）2－4（m 2＋m －3）＝12－4m ≥0，解得m ≤3；所以“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的充要条件．6．[2013·江门模拟]设函数f （x ）＝|x －a |＋3x ，其中a >0．若不等式f （x ）≤0的解集为{x |x ≤－1}，则a 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案：B解析：由f （x ）≤0，得|x －a |＋3x ≤0．此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}．由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2． 二、填空题7．已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为________． 答案：4解析：∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |对于任意的a ，b 恒成立，∴最小值为4．8．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．答案：（－∞，－3]∪[3，＋∞）解析：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|（x ＋1）－（x －2）|＝3，所以只需|a |≥3即可，所以a ≥3或a ≤－3．9．[2013·天津模拟]已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈（0，＋∞）}，则集合A ∩B ＝________．答案：{x |－2≤x ≤5}解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－（x －4）≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－（x －4）＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5．综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t －6，t ∈（0，＋∞），∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 三、解答题10．[2013·贵阳模拟]设函数f （x ）＝|x －a |＋x ，其中a >0．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥x ＋2的解集；（2）若不等式f （x ）≤3x 的解集为{x |x ≥2}，求实数a 的值．解：（1）当a ＝1时，f （x ）≥x ＋2可化为|x －1|≥2，解得x ≥3或x ≤－1．故不等式f （x ）≥x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． （2）由f （x ）≤3x ，得|x －a |≤2x ，此不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ≤2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a －x ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，－a ≤x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a 3≤x ，因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≥13a }，由题设可得a ＝6． 11．[2013·郑州模拟]设f （x ）＝2|x |－|x ＋3|．（1）求不等式f （x ）≤7的解集S ；（2）若关于x 不等式f （x ）＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．解：（1）f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x >0.如图，函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝7相交于横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点，由此得S ＝[－4,10]．（2）由（1）知f （x ）的最小值为－3，则不等式f （x ）＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0， 解得0≤t ≤3，所以t 的取值范围是[0,3]．12．[2013·南宁模拟]已知函数f （x ）＝log 2（|x ＋1|＋|x －2|－m ）．（1）当m ＝5时，求函数f （x ）的定义域；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：（1）由题意知，|x ＋1|＋|x －2|>5，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2>5，解得x <－2或x >3． ∴函数f （x ）的定义域为（－∞，－2）∪（3，＋∞）．（2）由对数函数的性质知，f （x ）＝log 2（|x ＋1|＋|x －2|－m ）≥1＝log 22，不等式f （x ）≥1等价于不等式 |x ＋1|＋|x －2|≥2＋m ，∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|（x ＋1）－（x －2）|＝3，而不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ， ∴m ＋2≤3，故m 的取值范围是（－∞，1]．。
高考数学复习3-3绝对值不等式及其解法
ax＋b>c或ax＋b<－c
t>c或t<－c
②
分
段
讨
论
法
：
如
|ax
＋
b|≤c(c>0)
⇔
ax＋b≥0 ax＋b≤c
或
ax＋b<0 －ax＋b≤c
求解．
③形如|x－a|＋|x－b|＞c 等不等式的解法．常用零点分段
讨论法．
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＝
x12－x22
1＋x12＋ 1＋x22
＝ |x11＋－xx122＋|·|x1＋1＋x2x| 22.
由|f(x1)－f(x2)|≤L|x1－x2|，
即 |1x＋1－xx12＋2|·|x1|＋1＋x2x| 22|≤L|x1－x2|. 当 x1≠x2 时，得 L≥ 1＋|xx121＋＋x21| ＋x22. ∵ 1＋x12＞|x1|， 1＋x22＞|x2|， 且|x1|＋|x2|≥|x1＋x2|， ∴ 1＋|xx121＋ ＋x21| ＋x22＜|x|x11|＋＋x|x22||≤1. ∴要使|f(x1)－f(x2)|≤L|x1－x2|对任意 x1，x2∈R 都成立，只 要 L≥1. 当 x1＝x2 时，|f(x1)－f(x2)|≤L|x1－x2|恒成立． ∴L 的取值范围是[1，＋∞)．
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解法二：(零点分区间法)由|x－1|＝0，|x＋2|＝0 得 x＝1， －2
第一节 绝对值不等式 高考数学(文科)总复习精品专题PPT课件
1．(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件 当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|；当 (a－b)(b－c)≥0 时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|. (2)对于求 y＝|x－a|＋|x－b|或 y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利 用绝对值三角不等式更方便． 2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论 是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．
∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2. 又|x|＋|y|＋|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－1|＋|y－1|≤2. ∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2， 此时 x∈[0，1]，y∈[0，1]， ∴x＋y 的取值范围是[0，2]．
已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝－3 时，不等式 f(x)≥3 化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若 x≤2 时，由(*)式，得 5－2x≥3，∴x≤1. 若 2<x<3 时，由(*)式知，解集为∅. 若 x≥3 时，由(*)式，得 2x－5≥3，∴x≥4. 综上可知，f(x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}．
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a－ 3 1，0，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)．
因此△ABC 的面积 S＝12|AB|·(a＋1)＝23(a＋1)2 由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨 论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思 维方法．
高中数学绝对值不等式公式大全
高中数学绝对值不等式公式大全1、绝对值不等式：（1）一般表示式：|x|≠|y|（2）相等情况：|x|=|y|（3）不相等情况：|x|≠|y|2、绝对值不等式的特殊形式：（1）x≠0：|x|=a，a>0（2）x=m：|x|≠m（3）|x|<b：x<b（4）|x|≤b：x≤b（5）|x|>a：x>a（6）|x|≥a：x≥a3、绝对值不等式的解法：（1）把绝对值当作不计符号类型的线性方程，即把等号左边的绝对值画成两个相反数的图形，等号右边的绝对值也可以画成两个相反数的图形。
即可确定有解的条件，然后求出所有的可行解。
（2）将绝对值拆分成幂函数求解。
绝对值不等式=ax2 + bx + c≠d可以拆分成（x-x1）2+4dFalse=b2-4ac， b2-4ac>0时有解，反之无解。
（3）利用中值定理来求解。
设绝对值不等式|x-a|=|x-b|，按照中值定理，即可得到可解解 x = （a+b）/ 2。
（4）通过几何方式来求解。
即直线 y=|x-a| 的图形和y=|x-b|的图形有相等的两个交点，将这些交点的 x 坐标求出即可。
4、绝对值不等式的特殊问题：（1）当x=a时：绝对值不等式|x-a|≠|x-b|可解成x=（a+b）/2（2）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|=|x-b|可解成x=a或x=b（3）当x=0时：绝对值不等式|x|=|y|可解成x=y（4）当x≥b时：绝对值不等式|x-a|<|x-b|可解成x≥b（5）当x≤a时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x≤a（6）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x<a或x>b（此处的a和b指的是参数值）5、绝对值不等式的应用：绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们看起来结构简单，而求解又显得很有技巧。
其在涉及数理计算机科学，物理电学、金融学等方面具有重要价值。
高中绝对值不等式
高中绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，它们与绝对值的性质和不等式的求解密切相关。
在解决绝对值不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的技巧和方法，才能准确地得出不等式的解集。
本文将介绍如何解决高中中常见的绝对值不等式题目，并给出一些例题来加深理解。
一、绝对值的定义绝对值是数学中常用的一种运算符号，用两个竖线表示，例如|a|，表示a的绝对值。
绝对值的定义如下：当a ≥ 0时，|a| = a。
当a < 0时，|a| = -a。
二、基本性质绝对值具有以下的基本性质：1. |a| ≥ 0，即绝对值一定大于等于零。
2. |a| = 0 当且仅当 a = 0。
3. |a × b| = |a| × |b|，即两个数的乘积的绝对值等于这两个数绝对值的乘积。
三、绝对值不等式的解法1. 形如 |ax + b| > c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为 x < - (b + c)/a 或 x > (c - b)/a。
情况2：当c < 0时，不等式解集为 x < (c - b)/a 或 x > - (b + c)/a。
2. 形如 |ax + b| < c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为 (c - b)/a < x < - (b - c)/a。
情况2：当c < 0时，不等式解集为 - (b - c)/a < x < (c - b)/a。
3. 形如|ax + b| ≤ c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为x ≤ - (b + c)/a 或x ≥ (c - b)/a。
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绝对值不等式绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5,没有最大值|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函数的最小值是-5 ,最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | <g(x) = -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)1 1解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X即『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}2 2I 3x I1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3X-4①或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②解①得：1- - 2 v X<1+ 2解②得：x>-3故原不等式解集为{ x | x>-3 }分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |17而 x -x+2 = (x-) + . >04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3•••原不等式解集为{ x>-3 }3x(2)分析不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过x - 4程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后 求解.二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x 4-17x 2+16> 0二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值 的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +I x+3 I >5.［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
(2)题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］(1)由于|x - 1| > 0, | x + a | >0,所以两边平 方后有：2 2原不等式等价于 3xx 2- 4I x -1| 2<| x + a|即有x2-2X+I<X2+2ax+a2，整理得(2 a+2)x>i-1 当2a+2>0即a>- 1时，不等式的解为x>2(1 - a)；当2 a +2=0即a = - 1时，不等式无解；1当2a+2<0即a<- 1时，不等式的解为X V-(1-a)2(2)解不等式丨x-2 | + | x+3 | >5.解：当x < -3 时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5 = -2x>6 = x<-3.当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>5 - 5>5无解.当x >2 时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5 - 2x>4= x>2.综合得：原不等式解集为{ x | x>2或x<-3 }.1 解关于x 的不等式|log a(V x)| |log a(1 x) I ( a>0 且a工1)解析：易知—1< x <1 ,换成常用对数得：I lg(1 - x) | | lg(1 x) |lga Ig a.•.|lg(1- x)|2 |lg(1 x)|2于是lg2(1 - x)「lg2(1 x) 0oo=gcl —X)十_g (.x )=_g u ■X)丄g (-tX)」*1—X••• _g (：)_g「二_k +2• • O A V -——X A V -••• _g (1——X 2A 0••• _g1—XXA oO A X A^X2・X +3H 2X —1A 5+1S孺»R ____________贾_X+3H2X —1IT4I x(xM 1)2〈4X +2(—3<x<——) -2.x —4(x 讥—3)-xB 13A X A MI卑4X +2A51B x z—卑XV2•• —3AX A — —2综上x<~7或x>2解：因为对数必须有意义，即解不等式组'x = 0丄 0，解得0 ” x3 - x30 x 乞—4。
(2)当 1<x < 2 时，即 log 3x log 33 - x - log 33.2x 3x 3' 0 x ox 3 时，log 3x log 33 - x - log 33(2) x - 3 3 - x2故填（八广7）「（Z ）3.求不等式iog x + log 3 -3- x-1的解集. 又原不等式可化为log3X（i ）当 0x^1 时-log 3 x log 3 3 x1log 3 3 x - log 33x3 一 x 3xIog 3（ 3- x ） z 1不等式化为 即3 x综合前提得：4（1）当 2x - 4,结合前提得:（3］_9综合得原不等式的解集为1°刁U历,3丿［变题3］解关于x的不等式\ x2 - 4mx • 4m2 m3［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。
若化简成|x-2m「m 3，则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对m • 3的正负进行讨论。
［解题］原不等式等价于I x - 2m「m 3当m • 3 • °即m • -3 时 ,x - 2m m 3或x~ 2m -（m 3）••• x 3m 3或x m - 3当m 3 = °即m …3 时，| x 6 | °/. x—6当m • 3 7即m ” -3时，x R［请你试试4—3］2a21.解关于x的不等式:分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。
本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当a 「X A ax-a时，不等式可转化为2即 2 2l9x(x- a)兰2a i9x - 9ax- 2a 兰03+ Vl7a乞x abx £a x £a当a时不等式可化为2即 2 2iax(a -x)兰2a i9x - 9ax+2a 0』a十2a』x 或x a3 3故不等式的解集为C L空,3‘^a3 . 3 6 一。
2.关于x的不等式| kx - 1| < 5的解集为｛x| —3< x < 2｝，求k的值。
按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k值的不确定，要以k的不同取值分类处理。
解：原不等式可化为—4w kx W 64 6 当k >0时，进一步化为x，依题意有k kk =3，此时无解k = 3当k =o 时，显然不满足题意当k <o 时， ［丄2厂X 一匚，依题意有 6k 2k k 3I k综上，k =- -2。
第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题［变题4］若不等式I x — 4|+|3 - X |V a 的解集为空集， 求a 的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采 用零点分段法，即令每一项都等于o ,得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集 的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较 大。
若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义 用数形结合方法或联想到绝对值不等式| a + b | < I a |+|b |，便把问题简化。
［解题］解法一（1）当a < o 时，不等式的解集是空集。
⑵当a >o 时，先求不等式| x —4|+|3 — x |< a 有解k二时a 的取值范围令 X — 4=0 得 X =4,令 3 — X =0 得 X =3①当X 》4时，原不等式化为 X — 4+ X — 3<a ,即2 X —7<ag47 + a解不等式组：2x-7<a 八*〒，二a>12X <aa >i综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0<a < 1时，原不等式解集为空集。
由⑴⑵知所求a 取值范围是a < 1解法二由| X — 4|+|3 — X |的最小值为1得当a >1时，| x —4|+|3 — X |v a 有解 从而当a < 1时，原不等式解集为空集。
解法三：••• a >| X — 4|+|3 — x | > | X — 4+3 — x |=1 •••当 a >1 时，| x — 4|+|3 — x |< a 有解 从而当a < 1时，原不等式解集为空集。
②当3vx<4时，原不等式化为 4—X + X — 3< a 得a>1 ③当X < 3时，原不等式化为 4 — X +3 — X < a 即 7 —解不等式37 - 2x a标准实用1. 对任意实数X，若不等式| X+1| - | X —2|> k恒成立，求k的取值范围。