高中的绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印

绝对值不等式

绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |

基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|

y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5

所以函数的最小值是5,没有最大值

|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5

由|y| < 5 得-5 < y < 5

即函数的最小值是-5 ,最大值是5

也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5

［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) |

f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转

化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)

1 1

解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}

⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X

即

『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*

[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 6

2< X<6

所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}

2 2I 3x I

1 .解不等式(1 )1 x-x 2-

2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <

1

解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.

原不等式等价于：

x-x 2-2>x 2-3X-4①

或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②

解①得：1- - 2 v X<1+ 2

解②得：x>-3

故原不等式解集为{ x | x>-3 }

分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |

1

7

而 x -x+2 = (x-

) + . >0

4 4

所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .

故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3

•••原不等式解集为{ x>-3 }

3x

(2)分析

不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过

x - 4

程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后 求解.

二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)

=x 4-17x 2+16> 0

二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4

注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值 的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .

第2变含两个绝对值的不等式

［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +

I x+3 I >5.

［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

(2)题可采用零点分段法去绝对值求解。

［解题］(1)由于|x - 1| > 0, | x + a | >0,所以两边平 方后有：

2 2

原不等式等价于 3x

x 2

- 4

I x -1| 2<| x + a|

即有x2-2X+Ii-

1 当2a+2>0即a>- 1时，不等式的解为x>2(1 - a)；

当2 a +2=0即a = - 1时，不等式无解；

1当2a+2<0即a<- 1时，不等式的解为X V-(1-a)

2

(2)解不等式丨x-2 | + | x+3 | >5.

解：当x < -3 时，原不等式化为

(2-x)-(x+3)>5 = -2x>6 = x<-3.

当-35 - 5>5无解.

当x >2 时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5 - 2x>4= x>2.

综合得：原不等式解集为{ x | x>2或x<-3 }.

1 解关于x 的不等式|log a(V x)| |log a(1 x) I ( a>0 且a工1)

解析：易知—1< x <1 ,换成常用对数得：

I lg(1 - x) | | lg(1 x) |

lga Ig a

.•.|lg(1- x)|2 |lg(1 x)|2于是lg2(1 - x)「lg2(1 x) 0

o

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=gcl —

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