函数单调性和奇偶性的综合应用题
函数单调性和奇函数性质的综合应用题
函数单调性和奇函数性质的综合应用题题目描述给定函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，请回答以下问题：1. 函数 $f(x)$ 的定义域是什么？2. 函数 $f(x)$ 的奇偶性如何？3. 在开区间 $(0, 3)$ 上，函数 $f(x)$ 的单调性如何？4. 在闭区间 $[-1, 2]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大最小值分别是多少？解答1. 函数 $f(x)$ 的定义域是所有实数集 $(-\infty, +\infty)$，因为对任意实数 $x$，$f(x)$ 的定义都存在。
2. 函数 $f(x)$ 的奇偶性是奇函数。
为了验证函数的奇偶性，我们需要检查函数是否满足 $f(-x) = -f(x)$。
对于函数 $f(x) = x^3 -3x^2 + 2x + 1$，我们有 $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2(-x) + 1 = -x^3 +3x^2 - 2x + 1$。
可以看到 $f(-x) = -f(x)$ 成立，所以函数 $f(x)$ 是奇函数。
3. 在开区间 $(0, 3)$ 上，函数 $f(x)$ 是递增函数。
为了验证函数的单调性，我们需要检查函数在该区间上的导数是否大于等于零。
计算函数的导数 $f'(x)$，我们有 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。
将其带入$0 < x < 3$，我们可以看到 $f'(x) > 0$。
因此，函数 $f(x)$ 在开区间$(0, 3)$ 上是递增的。
4. 在闭区间 $[-1, 2]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大值是 $f(2) = 11$，最小值是 $f(-1) = -1$。
为了找出最大最小值，我们可以求函数在该区间内的驻点和区间的端点处的函数值。
计算导数 $f'(x) = 3x^2 -6x + 2$ 的根，可得 $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。
函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用
函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用一、单选题1．已知()f x 是R 上的奇函数 且满足(6)()f x f x += 当(0,4)x ∈时 2()2f x x = 则f (2021)等于（ ） A ．-2B ．-98C ．98D ．22．已知()()()1f x x x b =+-是偶函数 且其定义域为[]21,a a - 则a b +的值是 （ ）A ．13-B ．43C ．23D ．23-3．已知函数321()21x x f x x -=++ 则不等式(2)(1)0f a f a +->的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,0)-4．函数y ＝f (x )在区间[0 2]上单调递增 且函数f (x ＋2)是偶函数 则下列结论成立的是（ ）A ．57(1)22f f f⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．已知函数()f x 的定义域为R ()54f = ()3f x +是偶函数 任意[)12,3,x x ∈+∞满足()()12120f x f x x x ->- 则不等式()314f x -<的解集为（ ）A ．2,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,3D ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知函数()f x 为R 上的奇函数 且()(2)f x f x -=+ 当[0,1]x ∈ ()22x xaf x =+则(2019)(2022)f f +的值为（ ）A ．32-B ．0C ．32D ．2147．已知函数()(ln sin 2f x a x b x =++ 若()37f -= 则()3f （ ）A ．等于7-B ．等于5-C ．等于3-D ．无法确定8．设()'f x 是奇函数()f x 的导函数 (1)0f -= 当0x >时 ()2()xf x f x '> 则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1- 0)(0⋃ 1) B ．(-∞ 1)(1-⋃ )+∞ C ．(1- 0)(1⋃ )+∞D ．(-∞ 1)(0-⋃ 1)1．定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x 且(1)()f x f x +=-．当(0,1)x ∈时3()31xxf x =+． （1）求()f x 在[1,1]-上的解析式；（2）若关于x 的方程()2f x m =在区间[0,1]上有实数解 求实数m 的取值范围．2．函数()f x 对于任意实数m n 有()()()f m n f m f n +=+ 当0x >时 ()0f x >． （1）求证：()f x 在(),-∞+∞上是增函数；（2）若()11f = ()22log 2f x x m +⎡⎤⎣⎦-<对任意实数[]0,2x ∈恒成立 求实数m 的取值范围．3．定义在R 上的函数()f x 满足：①()00f ≠；②当0x >时 ()1f x >；③对任意实数xy 都有()()()f x y f x f y +=⋅.（1）证明：当0x <时 ()01f x <<； （2）判断()f x 在R 上的单调性； （3）解不等式()()221f x f x x ⋅->.4．已知定义域为R 的函数()1221x af x =-++是奇函数.（1）求a 的值 并判断函数()f x 的单调性（只需简单说明 不需证明）；（2）若关于 m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解 求实数t 的取值范围参考解析1．A【解析】∵(6)()6f x f x T +=⇒= ()()()()20213366551f f f f =⨯+==- 又∵()f x 是R 上的奇函数 ∴()()()2021112f f f =-=-=-.故选：A. 2．B【解析】()()21f x x b x b =+-- 因为函数是偶函数 所以满足()()f x f x -= 得1b =偶函数的定义域关于原点对称 所以210a a -+= 得13a = 所以43a b +=.故选：B3．C【解析】332121()()2121x x x x f x x x f x -----=-=--=-++ 则函数()f x 为奇函数32()121x f x x =+-+ 则函数()f x 在R 上单调递增(2)(1)f a f a >-- (2)(1)f a f a ∴>- 即21a a >- 1a >- 故选：C4．B【解析】因为函数f (x ＋2)是偶函数 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2) 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称 又因为函数y ＝f (x )在区间[0 2]上单调递增 所以函数y ＝f (x )在区间[2 4]上单调递减.因为()()13f f =75322>> 所以()75322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B. 5．D【解析】因为()3f x +是偶函数 所以()f x 的图像关于直线3x =对称 则()()514f f == 因为任意[)12,3,x x ∈+∞满足()()12120f x f x x x ->-所以()f x 在[)3,+∞上单调递增 在(),3-∞上单调递减 故()314f x -<等价于1315x <-< 解得223x <<.故选：D 6．A【解析】根据题意,函数()f x 为R 上的奇函数 则(0)=0f 又由[0,1]x ∈时()22xxaf x =+则有(0)10f a =+= 解可得:a =-1 则有1()22x xf x =-.又由()(2)f x f x -=+即()()2f x f x +=- 则有()()()42f x f x f x +=-+= 即函数()f x 是周期为4的周期函数. 则3(2019)(14505)(1)(1)2f f f f =-+⨯=-=-=-(2022)(24505)(2)(0)(0)0f f f f f =+⨯==-==所以33(2019)(2022)=0=22f f +-+-.故选：A7．C【解析】设(()ln g x x = 显然定义域为R又((22()()ln ln ln ln10g x g x x x x ⎛⎫+-=+-+=-==⎪⎝⎭则()()g x g x -=- 所以(()ln g x x =是R 上的奇函数；又sin y x =也是R 上的奇函数 所以()2f x -也是R 上的奇函数 因此()(3)2(3)2f f --=-- 则(3)4(3)473f f =--=-=-.故选：C. 8．D【解析】令2()()f x g x x =则3()2(())xf x x x f x g '-=' 当0x >时 有()2()xf x f x '> 即()2()0xf x f x '-> ()0g x '∴>即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增．又()f x 是R 上的奇函数 ()()f x f x ∴-=-2()()()f x g x g x x -∴-==- 故函数()g x 为奇函数 由奇函数的对称性可得()g x 在(),0-∞上单调递增． 又()10f = ()10f ∴-= ()(1)101f g == ()()110g g ∴-=-=． 所以当1x >时()0g x > 当01x <<时()0g x < 当10x -<<时()0g x > 当1x <-时()0g x < 由()0f x <可得 2()()f x g x x=即要使()0f x <成立 只需()0<g x 成立； 所以()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃。
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f （x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.答案1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|【答案】B【解析】∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对；y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，故C不对；D中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，只有B对.2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数【答案】D3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数【答案】C【解析】因为f（－x）＝－3x＋＝－（3x－）＝－f（x），又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数.4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数【答案】A【解析】因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）为偶函数，且在[1,2]上是增函数，所以f（x）在[－1,0]上是增函数.5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数【答案】C【解析】A错误.设f（x）＝x，是增函数，但f（x）＋f（－x）＝x－x＝0是常数函数；同理B错误；C正确.设g（x）＝f（x）－f（－x），则g（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－g（x），函数g（x）是奇函数.任取x1，x2∈R，且x1<x2，则－x1>－x2,g（x1）＝f（x1）－f（－x1）,g（x2）＝f（x2）－f（－x2），因为f（x）是定义在R上的增函数，所以f（x1）<f（x2），f（－x1）>f（－x2），即－f（－x1）<－f（－x2）.所以f（x1）－f（－x1）<f（x2）－f（－x2），即g（x1）<g（x2）.所以函数g（x）＝f（x）－f（－x）是增函数；D错误.故选C.6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）【答案】D【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x＋1是增函数，∴f（1）<f（2），又∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），f（2）＝f（－2），7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）【答案】B【解析】∵对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，∴函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，∴f（－2）>f>f（－1）.又∵f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f（2）.∴f（－1）<f<f（2）.8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f （x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式（）①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④【答案】C【解析】因为函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，所以函数g（x）在[0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上是减函数.a>b>0，f（a）>f（b），g（a）>g（b），所以f（a）＋g（a）>f（b）＋g（b）;对于①：f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b），即f（b）＋f（a）>g（a）－g（b）.正确；则②错误；对于③：f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a），即f（a）＋f（b）>g（b）－g（a）.正确；则④错误.9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）【答案】C【解析】由（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＞0，得f（x）在x∈（－∞，0]上为增函数.又f（x）为偶函数，∴f（x）在x∈[0，＋∞）上为减函数.又f（－n）＝f（n）且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f（n＋1）＜f（n）＜f（n－1），即f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）.10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）【答案】A【解析】因为函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，所以可画出符合条件的奇函数f（x）的图象，如图所示.因为x·f（x）＜0，所以或结合图象，得到答案为A.11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）【答案】C【解析】g（x）＝f（x－2）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）＝f（0），f（－4）＝g （－2）＝－g（2）＝0，f（－2）＝g（0）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（－2,0）对称，所以当x ≤－4或x≥－2时xf（x）≤0成立.12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）【答案】C【解析】因为函数f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）内也是减函数，且f（2）＝0.则不等式x·f（x）<0可化为或解得x<－2或x>2.13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f（x）＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为（－∞，0].14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.【答案】③【解析】将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.【答案】m≥n【解析】因为a2＋2a＋＝（a＋1）2＋≥，又f（x）在[0，＋∞）上是减函数，所以f≤f＝f.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.【答案】（－∞，0]【解析】∵f（x）为偶函数，∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f（x）＝－x2＋3，其单调递增区间为（－∞，0].17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.设x<0，则－x>0，因为x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.于是有f（x）＝（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式. 【答案】∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；（①－②）÷2，得g（x）＝2x.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.【答案】（1）显然f（x）的定义域是R.设任意x∈R，因为f（－x）＝－（－x）3＋3（－x）＝－（－x3＋3x）＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数.（2）在区间（－1,1）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝－（x2－x1）（＋x2x1＋）＋3（x2－x1）＝（x2－x1）（3－－x2x1－）.因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，（3－－x2x1－）＞0，所以f（x2）＞f（x1）.所以函数f（x）＝－x3＋3x在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.又∵f（1）＝，f（2）＝，∴∴a＝2，b＝.综上，a＝2，b＝，c＝0.（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.函数f（x）在区间上为减函数.证明如下：任取0<x1<x2<，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－＝（x1－x2）＝（x1－x2）.∵0<x1<x2<，∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.∴f（x）在上为减函数.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.【答案】（1）如图.单调增区间：[－1,0]，[1，＋∞），单调减区间（－∞，－1]，[0,1].（2）在同一坐标系中同时作出y＝f（x），y＝－2a的图象，由图可知f（x）＋2a＝0有两个解，须－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－.（3）当x<0时，－x>0，所以g（－x）＝（－x）2－（－2x）＋1＝x2＋2x＋1，因为g（x）为奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝－x2－2x－1，且g（0）＝0，所以g（x）＝22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当a＝0时，f（x）＝，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1），1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数.（2）任取x1＞x2≥3，f（x1）－f（x2）＝ax1＋－ax2－＝a（x1－x2）＋＝（x1－x2）（a－）. ∵x1－x2＞0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，∴a＞，即a＞＋在[3，＋∞）上恒成立.∵x1＞x2≥3，＋＜＋＝，∴a≥.。
函数单调性和奇偶性的综合应用题
函数单调性和奇偶性应用【巩固练习】⑴函数y=（2k+1)x+b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围是 ______⑵函数f(x)=2x 2-mx+3当x ∈[2，+∞）时是增函数，则实数m 的取值范围 _____⑶设f （x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7）＝－17，求f(7）的值。
⑷已知f （x)是奇函数，g(x)是偶函数,且f （x ）－g(x ）＝ ,求f(x)、g(x).【学习探究】 一、函数单调性的判断及应用 例1、试讨论函数 上的单调性【变式训练】试讨论函数f(x) 上的单调性，其中a 为非零常数.例2、函数f （x)＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上单调，则（ ）A ．a ∈（－∞，1］B ．a ∈［2,＋∞）C ．a ∈［1，2］D ．a ∈(－∞，1]∪［2，＋∞)【变式训练】 已知函数f （x)＝x 2＋2（a －1)x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数,求实数a 的取值范围．例3、已知f （x)是定义在[－1，1]上的增函数,且f （x －2)〈f （1－x ），求x的取值范围二、函数奇偶性的判断和应用例4.判断下列函数的奇偶性(1）f （x)=5x+3 （2）f （x)=x －2+x 4（3） (4）【例5】已知)(x f 是定义域R 为的奇函数，当0<x 时，2)(2-+=x x x f ， 求11+x ),0()0(,)(+∞≠+=在a x a x x f ）在（1,1-12-=x ax 2211)(x x x f -++=⎪⎩⎪⎨⎧>++-=<-+=)0(32)0(0)0(32)(22x x x x x x x x f的解析式.三、单调性和奇偶性的的综合应用例1： 设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数,则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序练习：1：()y f x =在(0,2）上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则157(),(),()222f f f 的大小关系2：若函数2()f x x mx n =++，对任意实数x ,都有(1)(3)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f - 的大小关系3、已知函数21()4f x ax bx a b=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b4、若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。
函数的奇偶性和单调性综合训练
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则 称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数， 有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则 称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训 练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正 负来判断。如果导数大于0，则为 增函数；如果导数小于0，则为减 函数。
函数的单调性奇偶性综合应用练习
函数的单调性、奇偶性综合应用一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －32. (1)判断并证明f(x)在R 上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y 可得：f(－x)= －f(x)，在R 上任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f(x 2) －f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2－x 1).因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0。
又因为x>0时f(x)<0，所以f(x 2－x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1).由定义可知f(x)在R 上是减函数.(2)因为f(x)在R 上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.所以f(－3)最大，f(3)最小。
所以f(－3)= －f(3)=2即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
二、复合函数单调性例2、求函数y=322--x x 的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=322--x x 的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.解：设u=x 2－2x －3，则y=u .因为u ≥0，所以x 2－2x －3≥0.所以x ≥3或x ≤－1.因为y=u 在u ≥0时是增函数，又当x ≥3时，u 是增函数，所以当x ≥3时，y 是x 的增函数。
又当 x ≤－1时，u 是减函数，所以当x ≤－1时，y 是x 的减函数。
所以y=322--x x 的单调递增区间是[3,+ ∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。
证明略三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定 思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x 轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x 1+x 2+x 3+x 4=0.答案：C四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m 的取值范围。
有关函数单调性、奇偶性的综合应用
有关函数单调性、奇偶性的综合应用函数的单调性是对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质，它反映了函数()f x 在区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性．作为函数的两个最重要的性质，我们往往将二者结合起来研究．本文将针对这一方面的综合应用举例说明．例1 已知()y f x =是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <，试问1()()F x f x =在(,0)-∞上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【分析】根据函数的单调性的定义，可以设210x x x ∆=-<，进而判断21()()Y F x F x ∆=-2111()()f x f x =-=1212()()()()f x f x f x f x - 的正负号． 【解析】任取12(,0)x x ∈-∞、，且210x x x ∆=-<，则有21()()0x x x -∆=--->． ()y f x =在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <，∴12()()0f x f x ---<，又 ()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-所以12()()0f x f x ->．于是21()()Y F x F x ∆=-2111()()f x f x =-=1212()()()()f x f x f x f x - 0>， ∴1()()F x f x =在(,0)-∞上是减函数． 【评析】本题最容易发生的错误是一开始就在(0,)+∞内任取21x x <，展开证明，这样就不能保证12,x x --在(,0)-∞内的任意性而导致错误．例2 已知函数()y f x =，(1,1)x ∈-，即是偶函数又是减函数，解不等式(1)(23)0f x f x -+-<．【解析】先求(1)(23)f x f x -+-的定义域：1111231x x -<-<⎧⎨-<-<⎩得0212x x <<⎧⎨<<⎩，∴定义域为{|12}x x <<∴不等式(1)(23)0f x f x -+-<即可写为：(1)[(23)]0f x f x ----<， 因为函数()y f x =是偶函数，有(23)(23)f x f x --=-，原不等式就是(1)(23)0f x f x ---<，已知函数是减函数，所以(1)(23)0x x x ∆=--->，即43x <， 由于x ∈{|12}x x <<，所以原不等式解集为：4{|1}3x x <<． 【评析】利用函数的性质，将不等式(1)(23)0f x f x -+-<中函数符号f 去掉，化为普通的不等式，同时要注意函数的定义域对x 的限制．。
函数单调性与奇偶性的综合应用
解：原不等式化为 f(1－3a)＜－f(1－a)． ∵f(x)是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)． ∴原不等式化为 f(1－3a)＜f(a－1)． ∵f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
三、抽象函数的奇偶性与单调性的综合
【例3】已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－12， 试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
三、抽象函数的奇偶性与单调性的综合
跟踪训练 3 已知函数 f(x)，当 x，y∈R 时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－12，试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
递减．若f(a)＜f(2)，求实数a的取值范围.
迁移与应用 1．B 解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)． 又 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)＞f(1)＞f(0)， 即 f(－2)＞f(1)＞f(0)． 2．解：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)． ∵f(a)＜f(2)，∴f(|a|)＜f(2)， ∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴|a|＞2，即 a＞2 或 a＜－2. ∴实数 a 的取值范围是 a＜－2 或 a＞2.
(1)证明 ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称． ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x， 则f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0， 则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0. ∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
函数单调性与奇偶性综合运用
函数单调性与奇偶性综合运用例1；设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a−1)＜f(a) ∴f(|a−1|)＜f(|a|)而|a−1|，|a|∈[0，3].例2；定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)−f(−a)＞g(a)−g(−b)；②f(b)−f(−a)＜g(a)−g(−b)；③f(a)−f(−b)＞g(b)−g(−a)；④f(a)−f(−b)＜g(b)−g(−a).答案：①③.例3；设a为实数，函数f(x)=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为.小练习；选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．函数f(x)是定义在[−6，6]上的偶函数，且在[−6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(−3)−f(2)＜0C. f(−2)+f(−5)＜0D. f(4)−f(−1)＞0 7．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D．8．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________. 4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为−1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.6．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.解答题1. 已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[−1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a).解：(1)∵f(x)=(x−a)2−1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜−1时，如图1，g(a)=f(−1)=a2+2a2°当−1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=−13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2−2a，如图2. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x−2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x−2)≤3可转化为：f[x(x−2)]≤f(8).3. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1−x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2−1＜0∴f(x1)−f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2−1的符号的确定，如何分段.4．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.解：，则，5．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.6．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数且，求和的解析式.解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.7．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式. 解：(1)令，则(2)，则.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值. 解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是（）A。
$y=x^3$B。
$y=|x|+1$C。
$y=-x^2+1$D。
$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。
不是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$，则函数（）A。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数B。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数C。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$，则函数$f(x)$A。
在$[-1,0]$上是增函数B。
在$[-1,0]$上增函数，在$(-\infty,0]$上是减函数C。
在$[1,0]$上是减函数D。
在$[-1,0]$上是减函数，在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$，下列大小关系正确的是（）A。
$f(1)>f(2)$B。
$f(1)>f(-2)$C。
$f(-1)>f(-2)$D。
$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$，都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$，则下列关系式中成立的是（）A。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
22. 函数的单调性与奇偶性的综合运用
拓展延伸： f ( x ) x
a x
a 0
例2.已知函数f(x)对一切x1, x2∈R , 都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2), 且当x>0时有f(x)<0. (1)求证：f(x)是奇函数; (2)判断f(x)在R上的单调性; (3)解不等式f(1+x)+f(3-2x)<0; (4)若f(1)=3 , 求f(x)在[－4 , 4]上的最值.
f ( x1 )
x1
x2
x
单调减函数的定义 单调减函数 设函数y=f(x)的定义域为A, 区间I⊆A． 如果对于区间I内的任意两 个值x1,x2，若当x1<x2时，都 有f(x1)>f(x2),那么就说y=f(x) 在区间I上是单调减函数， I称为y=f(x)的单调减区间． y
f ( x1 )
f ( x2 )
练2.如果奇函数y=f(x) (x≠0)在 x∈(－∞,0)时, f(x)=x+2, 求使 f(x+1)<0的x的取值范围.
作业.已知函数
x 2, x 0 f (x) , x 2, x 0
2的解集. 求不等式f(x) x
练3.如果函数f(x)=x2+bx+c , 对任意实 数x都有f(2+x)=f(2－x), 试比较f(1) , f(2) , f(4)的大小.
例3.已知f(x)是奇函数, 在[-b,-a](b>a>0) 上是一个恒大于0的减函数, 试问 F(x)=|f(x)|在[a,b]上是增函数还是减函 数? 并证明你的结论.
练1.若f(x)为偶函数, g(x)为奇函数, x 且f(x) —g(x)= , 求f(x)及g(x) .
专题18 函数单调性和奇偶性的综合应用(解析版)
专题17 函数单调性和奇偶性的综合应用1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|【答案】B【解析】∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对；y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，故C不对；D中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，只有B对.2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数【答案】D3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数【答案】C【解析】因为f（－x）＝－3x＋＝－（3x－）＝－f（x），又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数.4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数【答案】A【解析】因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）为偶函数，且在[1,2]上是增函数，所以f（x）在[－1,0]上是增函数.5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数【答案】C【解析】A错误.设f（x）＝x，是增函数，但f（x）＋f（－x）＝x－x＝0是常数函数；同理B错误；C正确.设g（x）＝f（x）－f（－x），则g（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－g（x），函数g （x）是奇函数.任取x1，x2∈R，且x1<x2，则－x1>－x2,g（x1）＝f（x1）－f（－x1）,g（x2）＝f（x2）－f（－x2），因为f（x）是定义在R上的增函数，所以f（x1）<f（x2），f（－x1）>f（－x2），即－f（－x1）<－f（－x2）.所以f（x1）－f（－x1）<f（x2）－f（－x2），即g（x1）<g（x2）.所以函数g（x）＝f（x）－f（－x）是增函数；D错误.故选C.6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）【答案】D【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x＋1是增函数，∴f（1）<f（2），又∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），f（2）＝f（－2），∴D对.7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）【答案】B【解析】∵对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，∴函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，∴f（－2）>f>f（－1）.又∵f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f（2）.∴f（－1）<f<f（2）.8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f（x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式（）①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④【答案】C【解析】因为函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，所以函数g（x）在[0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上是减函数.a>b>0，f（a）>f（b），g（a）>g（b），所以f（a）＋g（a）>f（b）＋g（b）;对于①：f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b），即f（b）＋f（a）>g（a）－g（b）.正确；则②错误；对于③：f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a），即f（a）＋f（b）>g（b）－g（a）.正确；则④错误.故选C.9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f（x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）【答案】C【解析】由（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＞0，得f（x）在x∈（－∞，0]上为增函数.又f（x）为偶函数，∴f（x）在x∈[0，＋∞）上为减函数.又f（－n）＝f（n）且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f（n＋1）＜f（n）＜f（n－1），即f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）.10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）【答案】A【解析】因为函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，所以可画出符合条件的奇函数f（x）的图象，如图所示.因为x·f（x）＜0，所以或结合图象，得到答案为A.11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）【答案】C【解析】g（x）＝f（x－2）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）＝f（0），f（－4）＝g（－2）＝－g（2）＝0，f（－2）＝g（0）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（－2,0）对称，所以当x≤－4或x≥－2时xf（x）≤0成立.12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）【答案】C【解析】因为函数f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）内也是减函数，且f（2）＝0.则不等式x·f（x）<0可化为或解得x<－2或x>2.13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f（x）＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为（－∞，0].14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.【答案】③【解析】将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n 的大小关系是________.【答案】m≥n【解析】因为a2＋2a＋＝（a＋1）2＋≥，又f（x）在[0，＋∞）上是减函数，所以f≤f＝f.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.【答案】（－∞，0]【解析】∵f（x）为偶函数，∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f（x）＝－x2＋3，其单调递增区间为（－∞，0].17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.设x<0，则－x>0，因为x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.于是有f（x）＝（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式. 【答案】∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；（①－②）÷2，得g（x）＝2x.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.【答案】（1）显然f（x）的定义域是R.设任意x∈R，因为f（－x）＝－（－x）3＋3（－x）＝－（－x3＋3x）＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数.（2）在区间（－1,1）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝－（x2－x1）（＋x2x1＋）＋3（x2－x1）＝（x2－x1）（3－－x2x1－）.因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，（3－－x2x1－）＞0，所以f（x2）＞f（x1）.所以函数f（x）＝－x3＋3x在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.又∵f（1）＝，f（2）＝，∴∴a＝2，b＝.综上，a＝2，b＝，c＝0.（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.函数f（x）在区间上为减函数.证明如下：任取0<x1<x2<，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－＝（x1－x2）＝（x1－x2）.∵0<x1<x2<，∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.∴f（x）在上为减函数.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.【答案】（1）如图.单调增区间：[－1,0]，[1，＋∞），单调减区间（－∞，－1]，[0,1].（2）在同一坐标系中同时作出y＝f（x），y＝－2a的图象，由图可知f（x）＋2a＝0有两个解，须－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－.（3）当x<0时，－x>0，所以g（－x）＝（－x）2－（－2x）＋1＝x2＋2x＋1，因为g（x）为奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝－x2－2x－1，且g（0）＝0，所以g（x）＝22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当a＝0时，f（x）＝，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1），1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数.（2）任取x1＞x2≥3，f（x1）－f（x2）＝ax1＋－ax2－＝a（x1－x2）＋＝（x1－x2）（a－）. ∵x1－x2＞0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，∴a＞，即a＞＋在[3，＋∞）上恒成立.∵x1＞x2≥3，＋＜＋＝，∴a≥.。
函数的单调性和奇偶性的综合应用
精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性的综合应用知识要点：对称有点对称和轴对称：O点对称：对称中心O轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若y f ( x) 是增函数， f ( x1 )应用：若y f ( x) 是减函数， f ( x1 )f (x2 )x1x2 f (x2 )x1x2相关练习：若 y f (x) 是R上的减函数，则 f (1) f ( a2 2 a 2 )2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b 、y k、 y ax2bx cb在 (x相关练习：若 f ( x) ax ，g ( x),0) 上都是减函数，则 f (x)ax 2bx 在 (0,) 上是函x数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称， f (x) f (x) f (x) 是偶函数定义域关于原点对称， f (x) f ( x) f ( x) 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好f ( x) f ( x) ，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（ 1）已知函数f ( x)ax2bx4a1是定义在 [a 1,2a] 上的奇函数，且 f (1) 5 ，求 a 、bb(2) 若f ( x)(K2) x2( K1)x 3 是偶函数，则 f ( x) 的递减区间是。
(3) 若函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，则 f (0)。
(4)函数 y f (x) 的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像奇函数偶函数奇函数奇函数y y y yo x o x o x o x精品资料欢迎下载例题分析：4、单调性和奇偶性的综合应用【类型 1转换区间】相关练习：（ 1）根据函数的图像说明，若偶函数y f ( x) 在 (,0) 上是减函数，则 f ( x) 在 (0,) 上是函数（增、减）(2)已知 f ( x) 为奇函数，当x0时， f ( x)(1x) x ，则当x0 时， f (x)=(3)R 上的偶函数在(0,) 上是减函数， f (3) f ( a2a 1 )4(4) 设f (x)为定义在（(,) 上的偶函数，且 f (x) 在 [0,) 为增函数，则 f (2) 、 f () 、f (3) 的大小顺序是（）A. f () f (3) f (2)B. f () f (2) f (3)C. f () f (3) f (2)D. f () f (2) f (3)(5)如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7] 上的最小值是5，那么 f ( x) 在区间 [ 7, 3]上 ()A.最小值是 5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是 5(6)如果偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数，且最小值是－５那么 f (x) 在 [ 7,3]上是( )A.增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C.减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7)已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在(, 0)上 f (x) 是单调增函数，那么当x10 ， x20 且x1x20 时，有（）A. f (x1) f ( x2 )B. f ( x1 ) f (x2 )C. f ( x1) f ( x2 )D. 不确定(8)如果 f ( x) 是奇函数，而且在开区间( ,0) 上是增函数，又 f (2)0 ，那么 x f ( x) 0的解是（）A. 2 x 0 或 0 x2B. 2 x 0 或 x 2C. x 2 或 0 x 2D. x 3 或 x 3(9)已知函数f ( x)为偶函数，xR ，当 x0 时，f ( x)单调递增，对于x1，x2，有| x1|| x2|，则（）A. f ( x1)f ( x2)B.f ( x1) f ( x2)C.f ( x1)f ( x2 ) D. | f ( x1 ) | | f ( x2 ) |精品资料 欢迎下载5、单调性和奇偶性的综合应用【类型 2利用单调性解不等式】(1 相关练习： (1)已知y f ( x)是( 3,3)上的减函数，解不等式f (x 3) f (2 x)1 ,)2(0, 2 (2) 定义在( 1,1)上的奇函数f ( x)是减函数，且满足条件 f (1 a) f (1 2a) 0)，求 a的取值范围。
函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性(解析版)
函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性目录一、常规题型方法1题型一函数的单调性1题型二函数的奇偶性4题型三单调性与奇偶性的综合应用10题型四函数的周期性13题型五函数的对称性18题型六周期性与对称性的综合应用22二、针对性巩固练习26练习一函数的单调性26练习二函数的奇偶性28练习三单调性与奇偶性的综合应用30练习四函数的周期性32练习五函数的对称性34练习六周期性与对称性的综合应用36常规题型方法题型一函数的单调性【典例分析】典例1-1．(2020·天津·高一期末)函数f (x )=log 13-x 2+6x -5 的单调递减区间是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(1,3]D.[3,5)【答案】C 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由f x =log 13-x 2+6x -5 ，则-x 2+6x -5>0，x -5 x -1 <0，解得1<x <5，即函数f x 的定义域1,5 ，由题意，令g x =log 13x ，h x =-x 2+6x -5，则f x =g h x ，易知g x 在其定义域上单调递减，要求函数f x 的单调递减区间，需求在1,5 上二次函数h x 的递增区间，由h x =-x 2+6x -5=-x -3 2+4，则在1,5 上二次函数h x 的递增区间为1,3 ，故选：C .典例1-2．(2022·湖北武汉·高一期中)若二次函数f x =ax 2+a +6 x -5在区间-∞，1 为增函数，则a 的取值范围为( )A.-2，0B.-2，0C.-2，0D.-2，0【答案】A 【分析】根据条件确定二次函数的图象应开口向下，再利用端点值和对称轴比较大小.【详解】当a <0时，-a +62a≥1，解得：a ≥-2，所以-2≤a <0，当a >0时，不满足条件，综上可知：-2≤a <0故选：A典例1-3．(浙江省台州山海协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1ax ,x >1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,2B.1,2C.1,+∞D.0,1【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1a x,x >1 是定义在R 上的减函数，所以a ≥1a >01-2a +52a ≥a解得1≤a ≤2，即a ∈1,2 .故选：A .【方法技巧总结】1.函数单调性的判断方法有：定义法、性质法、图像法、导数法。
高考数学之函数专项重点突破-专题10 函数的单调性和奇偶性综合(解析版)
专题10函数的单调性和奇偶性综合1．下列函数中，既是偶函数又在(0,2)上单调递减的是（）A ．24y x =-B ．3y x =-C ．cos y x=D ．1||||y x x =+【解析】24y x =-在(0,2)单调递增，A 错误；3y x =-为奇函数，B 错误；cos y x =为偶函数，且在()0,π上单调递减，()(0,2)0,π⊆，故符合题意，C 正确；1||||y x x =+为偶函数，当0x >时，1y x x =+为对勾函数，在()0,1单调递减，在()1,2上单调递增，故不合题意，D 错误.故选：C2．已知奇函数()f x 是定义在区间()2,2-上的增函数，且()()210f t f t ++>，则实数t 的取值范围是（）A ．1,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】依题意奇函数()f x 是定义在区间()2,2-上的增函数，()()()()()210,21f t f t f t f t f t ++>+>-=-，211122322212t tt t t +>-⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩.故选：B 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，()30f -=，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．()(),30,3-∞-⋃B ．()(),33,-∞-+∞ C ．()()3,00,3- D ．()()3,03,-⋃+∞【解析】依题意函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上递增，()()330f f =-=.画出()f x 的大致图象如下图所示，由图可知，不等式()0xf x >的解集为()(),30,3-∞-⋃.故选：A4．设()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，(1)0f =，则()0f x x<的解集是（）A ．{10x x -<<或}01x <<B ．{1x x <-或}01x <<C ．{10x x -<<或}1x >D ．{1x x <-或}1x >【解析】当0x <时，()0f x x<得出()0(1)f x f >=-，因为()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以1x <-；当0x >时，()0f x x<得出()0(1)f x f <=，因为()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以1x >即()0f x x<的解集是{1x x <-或}1x >，故选：D 5．若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,1]-【解析】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--，所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-，因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，所以142x x +≥-，解得1≥x ，故选：A.6．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【解析】对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数在(,0]-∞上为增函数，又因为函数()f x 在R 上的偶函数，所以函数在[)0,+∞上为减函数，且()()f n f n -=，因为11n n n -<<+，所以(1)()(1)f n f n f n ->>+.所以(1)()(1)f n f n f n ->->+.故选：A7．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围（）A ．[]1,3B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+，2ln(1)y x =+和11y x=-+在()0,∞+上递增，所以()f x 在()0,∞+上递增，而()f x 是偶函数，故()f x 在(),0-∞上递减.依题意313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，即33(log )(log )2(1)f a f a f +-≤，即332(log )2(1)(log )(1)f a f f a f ≤⇔≤，所以331log 11log 133a a a ≤⇔-≤≤⇔≤≤，所以a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D8．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，若0.52(log 0.2),(2),(3)===a f b f c f ，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c<<【解析】由题得0.522(log 0.2)(log 5),(2)(3)a f f b f f c f =-====，因为函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，且23log 5>>，所以b a c <<.故选：B9．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(],2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-【解析】依题意：函数()f x 的图象关于2x =对称，则()()402f f ==，且()f x 在(],2-∞上单调递增，故()412f x ->⇒0414x <-<，所以1544x <<，故选：A.10．已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()1g x f x =-，则关于x 的不等式()()3270g x g x -+->的解集为（）A ．()4,+∞B ．(),4-∞C ．()4,5D ．(【解析】由已知可得()()34g x f x -=-，()()2728g x f x -=-，由()()3270g x g x -+->可得()()4280f x f x -+->，因为奇函数()f x 在R 上单调递增，则()()()2844f x f x f x ->--=-，所以，284x x ->-，解得4x >.故选：A.11．若()f x 是定义在R 上的偶函数，对(]12,,0x x ∀∈-∞，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则()sin 3a f =，1ln 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.52c f =的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c b a>>【解析】因为12(0]x x ∀∈-∞，，且12x x ≠，有1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(]0-∞，上单调递增，由()f x 为偶函数，得函数()f x 在[0)，+∞上单调递减，因为 1.50sin 311ln 3222<<<<<，，，1(ln )(ln 3)(ln 3)3f f f =-=，所以 1.5(sin 3)(ln 3)(2)f f f >>，即a b c >>.故选：A12．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(]2,7B ．[)(]7,22,7--C ．[)(]2,00,2-UD ．()(]2,02,7- 【解析】当07x <≤时，()26x f x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃，故选：D13．已知对于任意的x ∈R ，都有()()242f x f x =-成立，且()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()()2log 1f x f >-的解集为（）A ．1(,32)4B ．1(,8)2C ．1(,32)2D ．1(,16)4【解析】因为()()242f x f x =-，所以()f x 关于2x =对称，因为()f x 在(),2-∞上单调递增，所以()f x 在()2,+∞上单调递减，因为()()2log 1f x f >-，所以()2log 221x -<--，即22log 233log 23x x -<∴-<-<，，所以21log 5x -<<，即15222log log lo 2g 2x -<<，解得1322x <<，故选：C.14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对任意的[120)x x ∞∈+，，，且12x x ≠，都有()()112212x f x x f x x x -<-成立，则不等式()()()21210mf m m f m --->的解集为（）A ．(13，1)B ．(－∞，1)C ．()1,∞D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴()()g x xf x =为定义在R 上的偶函数，又∵()()1122120x f x x f x x x -<-，∴()()g x xf x =在[0)∞+，上递减，则()g x 在(),0∞-上递增，()()()21210mf m m f m --->即()()()2121mf m m f m >--，则21m m <-解得：()1,1,3m ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭．故选：D ．15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于任意(]12,,0x x ∈-∞，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()1(1)f x f -<的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,2C ．()(),02,-∞+∞ D ．()2,+∞【解析】对于任意(]12,,0x x ∈-∞，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，即对于任意(]12,,0x x ∈-∞，不等式()()()()12120x x f x f x --<恒成立，所以()f x 在(,0]-∞上单调递减，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，且()1(1)-<f x f ，则11-<x ，解得02x <<，故选：B16．若()f x 在定义域内的任意x 都满足()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，可知奇函数的图象关于原点中心对称；若()g x 在定义域内的任意x 都满足()()g x g x -=，则()g x 称为偶函数，可知偶函数的图象关于y 轴对称.知道了这些知识现在我们来研究如下问题：已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,0,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．()0,∞+C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意，2()()2f x g x ax x +=++，则2()()2f x g x ax x -+--=+，两式相加可得2()()()()24f x f x g x g x ax +-++-=+，又由()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，所以22()24g x ax =+，即2()2g x ax =+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，变形可得112212[()2][()2]0g x x g x x x x +-+>-，令()()2h x g x x =+，则()()2h x g x x =+在(1,2)上单调递增；所以2()()222h x g x x ax x =+=++，若0a =，则()22h x x =+在(1,2)上单调递增，满足题意；若0a ≠，则2()22h x ax x =++是对称轴为1x a=-的二次函数，若()h x 在(1,2)上单调递增，只需011a a >⎧⎪⎨-⎪⎩ 或012a a <⎧⎪⎨-⎪⎩ ，解得0a >或102a -<，综上，12a - ．即a 的取值范围为：1[2-，)∞+．故选：C ．17．已知函数())2022202220222log x xf x x -=-++，则关于x 不等式()()224f x f x +->的解集为（）A ．(),0∞-B ．(),1-∞C ．(),2-∞D ．()1,+∞【解析】设()20222022x xg x -=-，则函数()g x 的定义域为R ，()()20222022x x g x g x --=-=-，即函数()g x 为奇函数，因为函数2022x y =、2022x y -=-均为R 上的增函数，故函数()g x 为R 上的增函数，设())2022log h x x =，R x ∀∈x x >≥±0x >，故函数()h x 的定义域为R ，且()()))()22202220222022log log log 10h x h x x x x x +-=++=+-=，所以，()()h x h x -=-，则函数()h x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，由于内层函数u x +为增函数，外层函数2022log y u =为增函数，所以，函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，由奇函数的性质可知，函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，令()()()()2m x f x g x h x =-=+，则函数()m x 在R 上为增函数，且()()()()()()m x g x h x g x h x m x -=-+-=--=-，即函数()m x 为奇函数，由()()224f x f x +->可得()()2222f x f x ->--，即()()()2222m x m x m x >--=-，所以，22x x >-，解得2x <.因此，不等式()()224f x f x +->的解集为(),2-∞.故选：C.18．已知函数()322sin 16xf x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()3,3x ∈-，则不等式()()()121f x f f x -+<+的解集为（）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,2-D ．()1,2【解析】由题意()3232sin1(2cos )63x x f x x x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，()3,3x ∈-，由于()3()()[2cos()]()3x f x x x f x -=-+---=-，故()f x 为奇函数，当()0,3x ∈时，3,2cos3x y x y ==-递增，故()3(2cos )3x f x x x =+-递增，故当()3,0x ∈-时，()3(2cos 3x f x x x =+-递增，而(0)0f =，故函数()3(2cos )3x f x x x =+-在()3,3-上单调递增，且()0,3x ∈时，()3(2cos )03x f x x x =+->，()3,0x ∈-时，()0f x <，故对于()()()121f x f f x -+<+，当0x =时，即为()()()121f f f +<，即()()200f f <=，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C 错误；当32x =-时，不等式即(5112(222f f f f ⎛⎫⎛⎫+<-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()51120,()0222f f ff ⎛⎫⎛⎫+>-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()5112(222f f f f ⎛⎫⎛⎫+<-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立,说明32x =-不是不等式()()()121f x f f x -+<+的解，故A 错误,故选：D19．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()y f x =为奇函数，且当0x <时，()()0f x xf x '+<成立（()f x '是函数()f x 的导函数），若()1a f =--，()()ln 2ln 2b f =，1212log 4c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．a b c>>【解析】构造函数()()g x xf x =，则该函数的定义域为R ，()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以，函数()g x 为偶函数，当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，所以，函数()g x 在(),0∞-上为减函数，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，因为()()()111a f g g =--=-=，()()()ln 2ln 2ln 2==b f g ，()1212log 24c f g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且21ln 20>>>，所以，c a b >>.故选：C.20．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(),0x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式()()1223f x f x x +-+≥+的解集为（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(],3-∞-【解析】因()f x 为定义在R 上的偶函数，则2()()()()g x f x g x x -=-+=-，即()g x 是R 上的偶函数，又()g x 在(),0∞-上单调递增，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，()()()()2212231(1)2(2)f x f x x f x x f x x +-+≥+⇔+++≥+++，即(1)(2)(|1|)2|)g x g x g x g x +≥+⇔+≥+，因此，|1||2|x x +≤+，平方整理得：230x +≥，解得32x ≥-，所以原不等式的解集是3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B21．(多选)已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，若()()1g x f x =-，则下列结论一定成立的是（）A ．()10g =B ．()122g =-C ．()()0g x g x -+>D ．()()0g x g x -+<【解析】由题，()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，又()()1g x f x =-，所以()()100g f ==，故A 成立；又函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，所以()2(1)(0)f f f <<，故()12(1)0g f -<=<，故B 不一定成立；()()(1)(1)(1)(1)g x g x f x f x f x f x -+=--+-=-++-，因为11x x +>-，故(1)(1)0f x f x -++->，故()()0g x g x -+>，故C 成立，D 不成立；故选：AC22．()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足以下两个条件：()1对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+；()2当0x >时，()()0,12f x f <=-，且，则函数()f x 在[]3,3-上的最大值为__________．【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，设12x x >，则()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-，因为120x x ->，所以()120f x x -<，所以()()12f x f x <，即函数在R 上单调递减，∴函数()f x 在[]33-，上也单调递减，因为()12f =-，所以()()2214f f ==-，()()()()312126f f f f =+=+=-，所以函数的最小值为()36f =-，函数的最大值为()()336f f -=-=．23．若函数()||1xf x a x =-+为奇函数，则关于x 的不等式2()(23)f x f x a ->＋的解集为______．【解析】()()f x f x -=-，得0a =，即(),011,01x x x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪+=-=⎨+⎪-<⎪-+⎩0x ≥时，1()11f x x =-++，在[)0,∞+上单调递减，又()f x 为奇函数，故()f x 在R 上单调递减，2()(23)0f x f x ->＋，由()f x 为奇函数可化为2()(32)f x f x >-，得232x x <-，解得(3,1)x ∈-24．已知函数()e e sin 2x xf x x -=-+，11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()()5120f a f a -+>，则实数a 的取值范围是______.【解析】11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()e e sin 2()()x xf x x f x --=-+-=-，得()f x 是定义域上的奇函数，函数e e x x y -=-在11(,)22-上单调递增，2(1,1)(,)22x ππ∈-⊆-，sin 2y x =在11(,)22-上单调递增，因此，函数()f x 在11(,22-上单调递增，则()()()()5120512f a f a f a f a -+>⇔->-，等价于1125122a a -<-<-<，解得1174a <<，所以实数a 的取值范围是11(,74.25．若函数()()2212lg 1f x x x =--+，则不等式()1ln 2ln 300f x f x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集为______．【解析】∵()()()2212lg 1f x x x f x -=--+=且定义域为R ，∴()f x 为偶函数，则()()()()1ln 2ln ln 2ln 3ln f x f f x f x f x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，由()1ln 2ln 300f x f x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即()ln 10f x ≤-，又()310f =-，令21u x =+，lg y u =，由[)0,x ∈+∞，21u x =+单增，[)1,u ∈+∞，lg y u =单增，故()2lg 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，又21y x =-在[)0,+∞上单调递减，由函数单调性的加减法则，所以[)0,x ∈+∞时()f x 单调递减，所以()()ln 3f x f ≤，得：ln 3x ≥，即ln 3x ≤-或ln 3x ≥，解得310ex <≤或3e x ≥．故答案为：()330,e e ,-⎤⎡⋃+∞⎦⎣．26．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意m ，[)0,n ∈+∞都有()()()0f m f n m n m n->≠-，且()11f =.若()313log (log )2f a f a +≥，则实数a 的取值范围是______.【解析】对任意m ，[)0,n ∈+∞都有()()()0f m f n m n m n->≠-,可知()f x 在[)0,∞+是单调递增函数，由()313log (log )2f a f a +≥可得：()()33log log 2f a f a +-≥，又根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，即有()32log 2f a ≥，即()3log 1(1)f a f ≥=，所以3|log |1a ≥，即3log 1a ≥或3log 1≤-a ，解得3a ≥或103a <≤，故答案为：[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦27．已知()sin xxf x e e x x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围___．【解析】因为()()sin x xf x e e x x f x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-.故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.28．已知函数()f x 的定义域(,0)(0,)D =-∞+∞ ，且对任意12,x x D ∈，恒有()()()1212f x x f x f x =+，当1x >时，()0f x <，若2(21)()341f m f m m m ->+-+，则m 的取值范围为__________.【解析】()()()1212f x x f x f x =+中，取121x x ==得(1)0f =，取121x x ==-得1(1)(1)02f f -==，取1x x =，21x =-，得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，设120x x >>，则121x x >，120xf x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()()()11122222x x f x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在(0,)+∞上是减函数，设2()()g x f x x =-，()g x 是偶函数，且()g x 在(0,)+∞上是减函数，()()()22(21)212121441g m f m m f m m m -=---=--+-，()()22()g m f m m f m m =-=-，所以2(21)()341(21)()f m f m m m g m g m ->+-+⇔->，⇔221(21)()0210(21)13g m g m m m m m m ->⇔≠-<⇔≠-<⇔<<且12m ≠，所以m 的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，()xf x e x =+．(1)求0x <时，()f x 的解析式；(2)写出函数()y f x =的单调增区间；(3)若()()21f x f x >-，求x 的取值范围．【解析】(1)由题意，函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，()xf x e x =+设0x <，则0x ->，可得()()()x xf x f x e x e x --=-=+-=-，即当0x <时，函数()f x 的解析式为()xf x e x -=-.(2)当0x ≥时，()xf x e x =+，因为x y e =和y x =都是增函数，可得()xf x e x =+在[0,)+∞上为增函数，又因为函数()y f x =为R 上的偶函数，所以函数()f x 在区间(,0)-∞上为减函数，所以函数()f x 的单调递增区间为[0,)+∞.(3)由函数()y f x =为R 上的偶函数，且函数()f x 在区间为[0,)+∞上单调递增，在区间(,0)-∞单调递减，则不等式()()21f x f x >-，即为21x x >-，解得113x <<，即不等式的解集为1(,1)3.30．已知函数()1221x x bf x ++=+为R 上的奇函数．(1)求b 的值，并用定义证明函数()f x 的单调性；(2)求不等式()104f f x f ⎛⎫+<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭的解集；(3)设()2ln g x x mx =+，若对任意的[]11,e x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为()f x 为奇函数，所以1122(21)(2)2021212()()1x x x x x x b b f x b f b x +-+-+++++==+-=+=+++，得2b =-，所以()124221212x x x f x +==--++，下面用定义法证明单调性：12,x x ∀∈R ，且12x x <，则()()12121212444(222(2)2121(21)(21))x x x x x x f x f x -=--+--=+++，因为12x x <，所以211202,10,2122x x x x >+>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递增.(2)由（1）知()f x 在R 上单调递增，且为奇函数，故不等式()11110[()]()()()4444f f x f f f x f f f x ⎛⎫+<⇔<-=-⇔<-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭即412214x-<-+，整理得49214x >+，即729x <，解得27log 9x <，故不等式解集为27(,log )9-∞(3)因为()f x 在R 上单调递增，所以在区间[0,2]上，max 6()(2)5f x f ==，min ()(0)0f x f ==，故6()[0,]5f x ∈当0m <时，(1)ln10g m =+<，不存在符合题意的2x ；当0m ≥时，()2ln g x x mx =+在区间[1,e]上为增函数，要使对任意的[]11,e x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12g x f x =成立则需(1)(0)(e)(2)g f g f ≥⎧⎨≤⎩，即2061e 5m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得2105e m ≤≤，即210,5e m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦31．设12()2x x a f x b+-+=+（,a b为实常数）.(1)当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；(2)设()f x 是奇函数，求a 与b (3)在（2）的条件下，当0a >时，若实数t 满足()()2122log log 10f t f t f ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.【解析】(1)当1a b ==时，11221()221x x x x a f x b ++-+-+==++，()()()()111211211,112455f f f f -+-+-====--≠-，所以()f x 不是奇函数.(2)若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即112222x x x x a a b b --++-+-+=-++，1222222x xx x a ab b-+⋅-=+⋅⋅+，()()()()2122222xx x x a b a b ⋅-⋅+=-+⋅，()()222222222222x x x x x x a ab b a ab b =+-⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅-+，()()()20242222x x a b ab b a -⋅++-⋅-=恒成立，所以20240a b ab -=⎧⇒⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=-⎩.(3)由于0a >，由（2）得12a b =⎧⎨=⎩，所以()121221111()22221221x x x x x f x +-++-+==⋅=-++++，所以()f x 是定义在R 上的奇函数，且在R 上递减，()()2122log log 10f t f t f ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即()()()222log log 10f t f t f +-+≤，即()()2log 1f t f ≤-，所以1221log log 212t t -≥=-⇒≥.所以t 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.32．已知函数()()2log 1f x x =+，()g x 是定义在[]3,3-上的奇函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，当31x -≤≤时，()()2g x g x +=-.(1)若()()sin 12sin 0f x f x -+<成立，求x 的取值范围；(2)求()g x 在区间[]3,1--上的解析式，并写出()g x 的单调区间（不必证明）；(3)若对任意实数x ，不等式321822xx t g g +⎛⎫-⎛⎫≥- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围.【解析】(1)由()()sin 12sin 0f x f x -+<，得()()()2222log sin log 2sin 1log 2sin sin 0x x x x ++=+<，则202sin sin 1,sin 02sin 10x x x x ⎧+<⎪>⎨⎪+⎩＜＞.解得10sin 2x <<，所以x 的取值范围是52,22,266k k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫+⋃++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈.(2)当32x --≤≤时，021x ≤--≤；则()()()()()222log 1g x g x g x f x x =-+=--=--=--；当21x -<≤-时，021x <+≤，则()()()()222log 3g x g x f x x =-+=-+=-+.所以()()()22log 1,32,log 3,2 1.x x g x x x ⎧---≤≤-⎪=⎨-+-<≤-⎪⎩因为()g x 是定义在[]3,3-上的奇函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，所以222222log (1),32log (3),21log (1),10()log (1),01log (3),12log (1),23x x x x x x g x x x x x x x ---≤≤-⎧⎪-+-<≤-⎪⎪--+-<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪-+<≤⎪--<≤⎪⎩所以()g x 的单调递减区间是[]3,1--，[]1,3，递增区间是[]1,1-.(3)因为()()2g x g x +=-，所以133,222155,222g g g g g g ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩由()12g x g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得32x =-或12x =-或52x =.由()g x 的图象知，521822x x t g g +⎛⎫-⎛⎫≥- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭恒成立3233822x x t +-⇔-≤≤-+或31252822x x t +--≤≤+，即()()33338228222x xx x t ++-++≤≤-++或()()331582282222x x x x t ++-++≤≤++.即2423212112x x t --⨯≤≤--⨯或43220212x x t --⨯≤≤+⨯恒成立因为()12112,12x--⨯∈-∞-，则12112x t ≤--⨯不恒成立.因为()432,4x --⨯∈-∞-，()2021220,x+⨯∈+∞，则43220212x x t --⨯≤≤+⨯恒成立420t ⇔-≤≤，所以t 的取值范围是[]4,20-.。
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函数单调性和奇偶性
【巩固练习】
⑴函数y=(2k+1)x+b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围是 ______ ，实数b 的取值范围是 _____
⑵函数f(x)=2x 2-mx+3当x ∈[2，+∞）时是增函数，则实数m 的取值范围 _____ ⑶设f(x)＝ax 7
＋bx ＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值.
⑷已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝
，求f(x)、g(x).
一、函数单调性的判断及应用 例1、试讨论函数 上的单调性
【变式训练】试讨论函数f(x) 上的单调性，其中a 为非零常数。
例2、函数f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则( )
A ．a ∈(－∞，1]
B ．a ∈[2，＋∞)
C ．a ∈[1,2]
D ．a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)
【变式训练】已知函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．
例3、已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x －2)<f(1－x)，求x 的取值范围
11+x ),0()0(,)(+∞≠+=在a x a x x f ）在（1,1-12-=x ax
二、函数奇偶性的判断和应用
例4.判断下列函数的奇偶性
（1）f(x)=5x+3 （2）f(x)=x －2+x 4
【例5】已知)(x f 是定义域R 为的奇函数，当0<x 时，2)(2-+=x x x f ， 求的解析式.
三、单调性和奇偶性的的综合应用
例1： 设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序
练习：
1：()y f x =在(0,2)上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则157(),(),()222
f f f 的大小关系
2：若函数2()f x x mx n =++，对任意实数x ，都有(1)(3)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f - 的大小关系
3、已知函数21()4f x ax bx a b
=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b
4、若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。
例2：已知()y f x =在定义域(1,1)-上是增函数且为奇函数，(1)(21)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围.
例3：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-,
求()f x 的解析式.
例4：函数()y f x =是[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，解不等式(1)()f x f x -<。
练习：已知()f x 是定义在(1,1)-的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若(2)(3)f a f a -<-，求a 的取值范围。
例5：已知函数()f x 是R 上的奇函数且是增函数，解不等式(45)0f x -+>。
练习：1.()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x f f x f y y
=-。
(1)求(1)f 的值； (2)若(6)1f =，解不等式1(3)()23
f x f +-<。
2.R +上的增函数满足()()()f xy f x f y =+，且(8)3f =，解不等
式(2)(2)f f x +-≥6
【课后作业】
1．若2(3)21f x x =-，则()f x 的解析式为 。
2．求函数定义域(1)5()||3
x f x x -=- (2)11y x x =-+- 3.已知2211()1f x x x x
-=++，则函数()f x 的解析式 4.函数822+--=x x y 的单调增区间为
5.已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，则实数m 的值
6．已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，则(2)f 的值
7．定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ，∈，有f x y f x y f x f y ()()()()++-=2且
f ()00≠.（1）求证f ()01=；
（2）求证：y f x =()是偶函数。
8.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <，求x 的取值
范围.
9. 函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12()25
f =. (1)确定函数()f x 的解析式；
(2)用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；
(3)解不等式(1)()0f t f t -+<.
例6：定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)<0，求实数a 的取值范围．
【变式练习】
已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 ____ 函数，且最_____值是_________ .
【课后作业】
1.已知函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (2)＝1，且f (x＋5)＜1，求x的取值范围
2.已知函数f (x)是R上的偶函数，在[0，＋∞）上是减函数，且f (2)＝0，求不等
式x f (x)＜0的解.
3.已知函数f (x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f (3x)＜f (x＋1)，求x的取值范围.。