北京大学 高等代数(I)期末考试 2011
北京大学2022-2023-1实验班高等代数I年期中考试试题
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8北京大学2022-2023-1实验班高等代数I年期中考试试题
1.(8分)考虑实线性空间R2到自身的(非线性)映射
φ:R2ÑR2,φ(x,y)=(x+1,y).
对下面四种方式给出的子集SĂR2,分别回答:是否存在线性映射T:R2ÑR,使得T(S)=φ(S)?
(1)S=␣
(x,y)P R2;x´2=y´1,1ďxď2
(
,
(2)S=␣
(x,y)P R2;(x´2)2=(y´1)2
(
,
(3)S=␣
(x,y)P R2;(x´2)2+(y´1)2=1
(
,
(4)S=␣
(x,y)P R2;(x´2)2=y´1
(
.
fl:线性空间与线性变换
2.(8分)设F是任意域,n是正整数,称F nˆn的子空间M是“优美”的,如果它满
足:对任意A P F nˆn和B P M,总有AB P M.求F nˆn的“优美”子空间维数的所有可能值.fl:线性空间与线性变换
3.(8分)设F是任意域,n为正整数,A P F nˆn,B=A n,αP F nˆ1.假设B3α=B2α.
证明:B2α=Bα.fl:矩阵
4.(6分)考虑有限域F2上的线性空间F2022
2
.求满足如下条件的最小正整数k:存在
F2022 2的k个互不相同的2021维子空间W1,¨¨¨,W k,使得对F2022
2
的任意2021维
子空间M,总有
M=
kÿ
i=1
M X W i. fl:线性空间与线性变换。
北京大学数科学学院期末试题
北京大学数学科学学院期末试题2009 -2010学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2010 年 1 月 8 日 姓 名 学 号 注：本试题共 6 道大题，满分 100 分. 填空题答案抄在答题本上.一．（42分）填空题 (多选 ) .1．已知3阶矩阵A 的特征值为 1, 2, - 1, 相应的特征向量为[ 1 0 0 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 3 0 1 ] T , 则 A 9 = .2．设 A 是5阶矩阵. 若 A 2 = 5 A , 且 A 秩 = 2 , 则 A 的特征值 是 , 对应的特征子空间的维数分别是 .3．设 , 则 A T A 的秩为 , A T A 的特征值 为 , AA T 的特征值为 , ( AA T )-1 = .4. 若n 阶实对称矩阵A 满足条件 A 3 = - A , 则 | I + A 2 | = .5. 当t = 时, 二次型 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 2 t x y + 2 y z 正定; 当t = 2 时, 该二次型的正、负惯性指数分别是 .6. 以下诸矩阵分成几个相似等价类 , 它们分别是 ; 以下 四个矩阵中又有哪些与A 合同 , 哪些与D 相抵 .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001050100,100020202,210111012,100020002D C B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21001011A二.（10分）已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=402211111A , 解矩阵方程 A X A -1 + A X = I . 三.（10分）设 α1 = [ 2 0 1 3 ] T , α2 = [ 0 1 0 1 ] T , α3 = [ 2 0 1 3 ] T 与 α4 = [ 3 2 1 5 ] T . 求子空间V = < α1 , α2 , α3, α4> 的一组基底, 并判 断β = [ 4 3 1 6 ] T 是否在V 中; 如果在, 求β 在此基底下的坐标.四.（10分）求欧氏空间R 4 中一点 [ 0 0 0 1 ] T 到线性子空间 V = < α1 , α2 > 的最短距离. 这里α1 = [ 1 1 0 0 ] T , α2 = [ 1 0 1 1 ] T .五.（20分）设二次型 f = x 12 + x 32 + x 32 + 4 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 .(1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量;(2) 求正交矩阵C 及对角矩阵D , 使得A = C D C T .(3) 求函数 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在单位球面 x 12 + x 22 + x 32 = 1 上取到的 最大、最小值, 并确定在何处取到.六．（8分）设2阶方阵A 在复数域上有两个相同特征值 λ , 且A ≠λ I . 证明: A 与矩阵 相似.⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλ01。
北京大学数学科学学院高等代数(II)期末考试题
试题1（北京大学高等代数(I)期末考试题）一、（本题共40分）给定有理数域Q 上的多项式42()3 3.f x x x =++1．（本题5分）证明()f x 为Q 中的不可约多项式.2．（本题5分）设α是()f x 在复数域C 内的一个根，定义[]{}2012.Q a a a a αα=++证明：对于任意的[]()g x Q x ∈，有[]()g Q αα∈；又对于任意的[],Q βγα∈，有[]Q βγα∈.3．（本题5分）接上题，证明：若[]Q βα∈，0β≠，则存在[]Q γα∈，使得1βγ=.4．（本题5分）找出()f x 的一个sturm 序列, 判断()f x 有几个实根.5．（本题5分）求下面三阶方阵在有理数域Q 上的最小多项式：0 031 000 13A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、（本题10分）在欧氏空间4R 内求下列齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间的正交补空间的一组标准正交基.三、（本题15分）给定数域P 上的多项式3()f x x px q =++.设()f x 在复数域C 内的三个根是123,,ααα.求P 上的首1三项式()F x ，它以222123,,ααα为三个根. 四、（本题15分）设σ是n 维酉空间V 内的一个Hermite 变换.1．（本题5分）证明i σε-可逆，这里i 为虚单位.2．（本题10分）证明1()()i i τσεσε-=-+为酉变换.五、（本题10分）设σ是n 维酉空间V 内的一个线性变换.如果σ的特征向量都是*σ的特征向量，证明σ是正规变换.六、（本题5分） 证明在n 维欧氏空间V 中两两夹钝角（即夹角大于2π）的向量不能多于1n +个.七、（本题5分）考察复数域上全体n 阶方阵所成的集合()n M C ，它关于矩阵的加法及实数与矩阵的数乘组成实数域R 上的线性空间.设M 为其子空间，且满足：（i ）若,A B M ∈，则,A B M ∈；（ii ）若,0A M A ∈≠ ，则A 可逆，且1A M -∈.1．证明：任给A M ∈，则()A aE a R =∈或A aE B =+，这里a R ∈，且2(,0)B b E b R b =∈<. 2．令{}2|,,0N A M A bE b R b =∈=∈<，证明N 是M 的子空间.。
高等代数期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。
a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
北京大学数学科学学院《高等代数I》期末试题及答案【完整版】
北京大学数学科学学院期末试题考试科目 高等代数I 考试时间 姓 名 学 号一．（10分）设F 4 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111, F 2 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111, D 2 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡i 001.1) 求矩阵C , 使得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222D I D I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22F 00F C = F 4 ; 2) 求F 4 的逆矩阵.解: 1) 比较 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222D I D I⎥⎦⎤⎢⎣⎡22F 00F =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=222222F D F F D F ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i i 111111i i 111111 与 F 4 得 C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001001000001. 2) 由 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4000040000400004知 414F 41F =-.二. （10分）设n 阶方阵A n = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010010100110010 . 记θ = π / ( n+1 ) .1) 对1 ≤ j ≤ n, 证明 α j = [ sin( j θ ) sin( 2 j θ ) . . . sin( n j θ ) ] T是A n 的特征向量 ;2) 对 a ∈ R , 求矩阵a I + A n 的行列式. 解: 1) 对每个 1 ≤ j ≤ n, 我们有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)θj n sin()θj 3sin()θj 2sin()θj sin(θ)2cos(j )θj 1)(n sin()θj 4sin()θj 2sin()θj 3sin()θj sin()θj sin(2)θj n sin()θj 3sin()θj 2sin()θj sin(01001010011001即 A n α j = 2cos( j θ ) α j .于是α j ( 1 ≤ j ≤ n ) 是A n 的特征向量, 它们对应的特征值2cos( j θ ) ( 1 ≤ j ≤ n )互异.2) a I + A n 的特征值为a + 2cos( j θ ) ( 1 ≤ j ≤ n ) , 故| a I + A n | = ( a + 2cos θ ) ( a + 2cos( 2θ ) ) ...( a + 2cos( n θ ) ) .三. （10分）设A : XA X 是R 4到R 3的线性映射, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110110101101.1) 求A 的秩 r 及可逆矩阵P , Q , 使得 A = P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0I rQ , 这里 I r 是r 阶单位矩阵.2) 求R 4的一组基α 1 , α 2 , α 3 , α 4 与 R 3的一组基β 1 , β 2 , β 3 ,使得 A α i = β i , ∀ 1 ≤ i ≤ r 且 A α i = 0 , ∀ i > r . 解: 1)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010010101101000000100001101010001000010101101101010001110110101101于是A 的秩为 2 , 可取 P = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001, Q = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010010101101. 2) 在上式两边右乘Q -1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1000010*********, 得A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000001000011010100011000010010101101. 令α 1 , α 2 , α 3 , α 4 依次为Q -1的列向量, β 1 , β 2 , β 3 依次为P 的列向量, 则有 A α 1 = β 1 , A α 2 = β 2 , A α 3 = 0 , A α 4 = 0 . 三.（32分）填空题 .1．设 B, C, D 是n 阶矩阵, 其中D 可逆, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-D CB C D B 1的秩 = n . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D C 00D C B C D B I 0D B I 11,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-D 000I D C 0ID C 0012. 当t < - 1/4 时, 二次型 f = 5 t x 2 + t y 2 – z 2 + 2 t xy + 2 x z 负定 ; 当t >0 时, 二次型 f 的正、负惯性指数分别是 2 与 1 . 通过成对行列变换, 二次型 f 的矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000t 0001t 41000t t 0t 1t 51010t t 1t t 5f 负定 ⇔ 4 t + 1 < 0 且t < 0 ⇔ t < – 1 / 4f 的正、负惯性指数分别是 2 与 1 ⇔ 4 t + 1 > 0 且t > 0 ⇔ t > 0 .3. 已知 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12222121231 是行列式为1的正交矩阵, 则线性变换X A X 是绕单位向量α = 的旋转, 旋转角为 .解特征方程组 ( A – I ) X = 0 , 得特征值1 的特征子空间基底 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011. 于是α = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡±01121. 取与α垂直的向量β = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011, 由A β =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-41131 求得β与A β 夹角的余弦值为 ( β, A β )/ ( | β| | A β| )= 1/3 . 故旋转角为 arccos( 1 / 3 ).4. 在欧氏空间R 4中,子空间 < ( 1,0,0,0) T, ( 0,1,0,0 ) T> 到⎩⎨⎧==+1x 2x x 321的解集合的最小距离是 1 .四. （18分）设f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 8 x 12 –7 x 22 + 8 x 32 + 8 x 1 x 2 – 2 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 . (1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量; (2) 求正交矩阵 P 及对角矩阵D , 使得 A = P D P T .解: (1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==321321Tx x x 841474148x x x X A X f8λ4147λ49λ09λ8λ4147λ4148λ|A λI |---+-+--=---+---=-)9λ()9λ()3249λ()9λ(7λ4187λ4009λ22+-=---=---+--=A 的特征值为λ = 9 (二重), – 9 . 对λ = 9解齐次方程组 ( A – 9 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0000001411414164141 通解为x 1 = 4 x2 - x3 , x 2 、x 3为自由变量. 解的向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101x 014x x x x 4x x x x 323232321于是α1 = [ 1 0 -1 ] T , α2 = [ 4 1 0 ] T 构成λ = 9特征子空间的一组基. 对λ = -9解齐次方程组 ( A + 9 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--00041010100036901741000212174117414241417 通解为 x 1 = x 3 , x 2 = - 4 x 3 , x 3为自由变量. 解的向量形式:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141x x 4x x x x x 3333321于是α3 = [ 1 -4 1 ] T 构成λ = -9特征子空间的一组基. (2) 将α1 = [ 1 0 -1 ] T , α2 = [ 4 1 0 ] T 正交化: 令 β1 = α1 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=21210124014β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==21231β||β||1γ,10121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 -4 1 ] T 也单位化: .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=141231γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--23132212343102313221为正交矩阵, 且.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==T 3T 2T1321Tγγγ999]γγγ[P D P A五.（10分）设β是欧氏空间R n 的单位向量, V 是子空间 < β > 的正交补. (1) 求矩阵A , 使得对任意列向量X ∈ R n , AX 是X 向V 所作的正交投影; (2) 求正交矩阵B , 使得线性变换 X B X 是R n 关于V 的镜面反射. 解: (1) 对任意列向量X ∈ R n , X 在一维子空间 < β > 上的正交投影为 ( X , β ) β = β βT X .于是X 在正交补 < β >⊥上的正交投影为X – ( X , β ) β = X – β βT X = ( I – β βT ) X .故所求矩阵为A = I – β βT .(2) 向量X ∈ R n , 关于 < β >⊥ 的镜面反射为X – 2 ( X , β ) β = X – 2 β βT X = ( I – 2 β βT ) X . 故所求正交矩阵为B = I – 2 β βT .六.（10分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 若A 是实对称矩阵, B 是实反对称矩阵, 则A + i B 的特征多项式在复数域上的根都是实数. 正确.证明: 设λ是A + i B 在复数域上的特征值, α是属于λ的复特征向量, 即 ( A + i B ) α = λ α , α ≠ 0 .则有 αT ( A – i B ) = λ αT , TT αλ)B i A (α=+.于是 ααλα)B i A (αααλTTT=+=, 由α ≠ 0 知0ααT≠, 于是 λλ=, λ 为实数.2) 在数域K 上, 若 n 阶方阵A 有 n + 1 个特征向量, 且其中任意 n 个都线性无关, 则 A 一定是数量矩阵. 正确.若A 不是数量矩阵, 则A 的特征子空间维数都小于n. 又因为A 有 n 个 线性无关的特征向量, A 可对角化, 故A 的特征子空间的维数之和等于n. 任给n + 1 个特征向量, 必存在A 的一个特征子空间 V , 包含其中至少 dim V + 1≤ n 个特征向量, 这dim V + 1 个特征向量线性相关, 矛盾!。
高等代数(北大版)第二学期考试卷2
阜阳师范学院信息与计算科学 专业 一 2010 级 年级 二 高等代数 三 四——课程，共 3 页， 第 1 页，共印刷 五 六 七 30学年度第 二 学期考试卷份, 2011 年 06 月 29 日 8：00 — 9：40 考试，任课教师 八 九 十 十一 十二 刘俊同 总 分 拟题 教研室 备 注学号…………….……………..装……………………订………………..线……………题 得号 分阅卷教师签名一、判断题（每题 2 分，共 20 分） 1、 在一般数域内， 二次型的标准形是唯一的， 且与所作的非退化线性替换无关。
（ 2、线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。
（ ） ） ） ） ）5、如果 n 级矩阵 A 满足关系式__________，则称 A 为正交矩阵；欧氏空间 V 中的线性 变换 对 、 V满足关系式____________，则称 为对称变换。
3、若 n 阶实方阵 A 是正定矩阵，则 A 的主对角线上的元素均大于零。
（ 4、若 V 1 与 V 2 都是线性空间 V 的子空间且 V1 V 2 ，则 V 1 V 2 V 2 。
5、若 W A P n n | A T A ，则 dim W n ( n 1) 2（ （ 1 1, 0, 0 6、 P 中， 2 0, 0, 2 在 0,1, 0 3 3姓名是 P 3 中的一组基， 对任意向量 ( a1 , a 2 , a 3 ) ， 在基 1 , 2 , 3 则。
下的坐标为____________。
4 ） 7、在 P 中，已知 班6、特征向量是被特征值所唯一决定，但特征值不是被特征向量所唯一决定。
（ 7、反对称实数矩阵的特征值皆为纯虚数。
8、若矩阵 A 与矩阵 B 有相同的特征多项式，则 A 与 B 相似。
高等代数北大编第1章习题参考答案
第一章多项式一、习题及参考解答1 .用g(x)除了(x),求商g(x)与余式r(x)：1 ) f (x) = x3 - 3x2 - x -1, g(x) = 3x2 - 2x +1;2 ) f(x) = x4 -2x + 5,g(x) = x2 - x + 2。
解1)由带余除法,可得q(x) =L-Z,“x) =-竺x-2 ；2)同理可得g(x) = / +x-l,r(x) = -5x + 7。
2. 〃?,PM适合什么条件时，有1 ) X2 +/?1¥-1 I X3 + px + c/ 92) x2 + nix + 11 x4 + px2 +q。
解1 )由假设,所得余式为0,即(〃 + l + 〃?2)x + (q-〃?) = O,所以当 1 + 。
时有 /+〃a-11 X* + px +g 0q _ in = 0 .2)类似可得= 于是当〃? = 0时，代入(2)可得〃=夕+ 1;q + 1 —〃一" = 0而当2- 〃 -J = 0时，代入(2)可得4 = 1 04 = ] _, 时，皆有 / + + 1 I X，+ px2 + 9。
综上所诉，当p + nr = 23 .求g(x)除f(x)的商q(x)与余式:1 ) /(x) = 2«?-5x3-8x,g(x) = x + 3 ;2) f(x) = x3-x2 - xg(x) = x-l + 2i o解[)q(x) = 2x4 - 6x3 +13x2 - 39A+ 109 ,r(x) = -327 '2)= x2 -2LV-(5+2/)r(x) = -9 + 8/ °4 .把/1(X)表示成x-%的方幕和，即表成c()+ G(X —“0)+。
2(X — X。
)~ + …+ C n(X — X。
)” + …的形式：1)/(x) = x',x()= 1 ；2) /(X)= X4-2X2+3,X0 =-2 ;3) f (x) = x4 + 2汉3 -(1 + i)x2 -3x + 7 + i,x0 =-i o解 1 ) 由综合除法，可得f(x) = l + 5(x-l) + 10(x-l)2 + 10(x-1)3+5(X-1)4 + (x-1)5 ;2 ) 由综合除法，可得X4-2X2+3=11-24(X + 2) + 22* + 2)2 -8(.r + 2)3 + (x + 2)，;3）由综合除法，可得『+2立3_（1 +82_3工+ （7 +，）= (7 + 5i)-5(x + i) + (-l-i)(x + i)2 -2i(x + i)3 + (x + i),。
北京西城区2011届高三第一学期期末考试数学(理)试题及答案
北京市西城区2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（ ）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//ABa ，则实数y 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3．已知ABC ∆中，1,a b =45B =，则角A 等于 （ ）A ．150B ．90C ．60D ．304．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是（ ）A ．cos ρθ=B ．sin ρθ=C ．cos 1ρθ=D ．sin 1ρθ=5．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ）A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ） A ．A C BD '⊥B ．90BA C'∠=C ．CA '与平面A BD '所成的角为30D ．四面体A BCD '-的体积为138．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2xf x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <． 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是A ．①B ．②C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 为虚数单位，则22(1i)=+______．10．在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____．AB CD11．若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____．12．如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点．已知圆C 的半径为2，30CAB ∠= ,则PT =_____．13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____．14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-．（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域．16．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC,点D 是棱11B C 的中点． （Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的余弦值．17．（本小题满分13分） 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 18．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．A BC C 1B 1A 1D（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点．若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围．19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n = ． （Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求首项1a 应满足的条件．参考答案（理科） 2011．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C D CB D B D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i - 10．80 11．412．3 13．0x y ±=，3± 142注：13、14题第一问2分，第二问3分． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2(3222=-⨯-⨯-=-． ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1AA ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱． ………………1分 因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11CC A D ⊥， ………………2分又因为1111A B AC =，D 为11B C 中点， 所以111A D B C ⊥． ……………3分 因为1111CC B C C = ,所以1A D ⊥平面11BB C C ． ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1AC 于点O ，连结OD ， 因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点，又D 为11B C 中点，所以OD 为11ABC ∆中位线， 所以1//AB OD ， ………………6分 因为OD ⊂平面1A DC ，1AB ⊄平面1A DC ， 所以1//AB 平面1A DC ． ………………8分（Ⅲ）解： 因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 90BAC ∠=， 所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -．设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，．1111(,,0),(0,11)22A D AC ==- ，， ………………9分 设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有1100A D A C ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n ． ………………10分 又因为AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为(1,00)AB =，，………11分cos ,AB AB AB⋅〈〉===n n n ， ………………12分 因为二面角1D AC A --是钝角， 所以，二面角1D AC A --的余弦值为 ………………13分 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536． ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C ==．………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=． ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6． (9)分33361(3)20C P X C ===， 23363(4)20C P X C ===，243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====． ………………12分所以，随机变量X 的分布列为:X 3 45 6P120 320 310 12………………13分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a = (2)分结合222a b c =+，解得212a =，23b =． ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+y x ． ………………4分 （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=．设1122(,),(,)A x y B x y ．所以2212122220,a b x x x x b a k -+==+， ………………6分依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分因为211(3,)F A x y =- ，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=． ………………8分 即 222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-． ………………10分因为2322≤<e ，所以a ≤<21218a ≤<． ………………11分所以218k ≥，即(,](]44k ∈-∞-+∞ ． ………………13分 19．（本小题满分14分）解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >． ………………2分（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =． ………………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． (5)分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ………………6分②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．…………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a． ………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <． ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---． 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-． ………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n n n n -⨯=+=-+． ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n n na =-+．………………4分（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，………………5分所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥， 所以数列}{n c 为等差数列． ………………7分 （ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列． ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k i i i k a a a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++， （其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 76=； ………………10分 当76i ia ≠时， 17771166()()6(1)666(1)6i i k k ii ia a i f f a k i k i k i k i+---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i ia >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调减数列； ②若76i ia <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调增数列； ………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =-- 74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{na n中必有某数重复出现无数次． 当B a ∉1时，}6{6ik a ik ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最 多出现一次，所以数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次……14分。
(完整word版)2011(1)高等代数1期末考试试卷(A卷)
2011学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷) 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 设()[],f x P x ∈ 如果α是()f x 的一阶导数()f x '的m 重根, 则（ ） A . α是()f x 的1m +重根 B . α不是()f x 的1m +重根 C . α可能是()f x 的1m +重根 D . α是()f x 的单根 2. 已知方阵33()ij A a ⨯=的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ， 且知A 的伴随矩阵*732537425A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A =（ ） A . 0 B . -1 C . 1 D . 以上答案都不对 3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．．的是（ ） A . 0A ≠ B . ()R A n =C . 方程组0Ax =有非零解D . A 的行（列）向量组线性无关4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（ ）A . AB A B +=+ B . AB BA =C . ()T T T AB B A =D . ()T T T A B A B +=+5. 设A 为5级方阵，且()4R A =，12,αα是0AX =的两个不同的解向量，则0AX = 的通解为（ ）A . 1k αB . 2k αC . 12()k αα+D . 12()k αα-二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 以1－i 为根的次数最低的实系数多项式是 .2. 设,A B 均为3阶方阵，且1,12A B ==-，*A 为A 的伴随矩阵, 则12A B *-=.3. 若矩阵12345(,,,,)A ααααα=经过初等行变换化为10312011010001100000⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，那么向量组12345,,,,ααααα的秩为 ，它的一个极大线性无关组为 .4. 当x = 时, 向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-线性表出.5. 若二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x t x x x x x x =+++-+是正定的， 则t 的取值范围为 .三、判别题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”）1. 每一个多项式都有唯一确定的次数. （ ）2. 有理系数多项式()f x 没有有理根，则()f x 在有理数域上不可约. （ ）3. n 级排列中奇排列的个数为2!n 。
北京大学高等代数16
北京大学数学科学学院期末试题2015 -2016学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2016 年 1 月 5 日姓 名 学 号一.（20分）已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1111211a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=22112a a B . 当a 取何值时，矩阵方程A X =B 无解, 有唯一解, 有无穷多解 ? 在A X = B 有解时给出一个解X .二.（14分）作变量替换 X = C Y , 将三元二次型f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = a x 12 + x 22 + 3 x 32 + 6 x 1 x 2 + 10 x 1 x 3 – 2 x 2 x 3化为标准型, 并确定当a 取何值时，f 正定 ; 当a 取何值时，f 不定 .三.（12分）当a 取何值时，矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡51010432a 相似于对角矩阵.四.（27分）设实二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 3 x 12 + 4 x 1 x 2 – 4 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 .(1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求实对称矩阵A 的特征值与特征向量;(2) 求正交矩阵P 及对角矩阵D , 使得A = P D P T ; 用正交替换X = P Y 将f 化为标准型;(3) 证明: 对任意 X = [ x 1 x 2 x 3 ] T ∈ R 3 , 有f ( X ) = X T A X ≤ 4 || X ||2 , 并确定等号在何时取到.五.（12分）设 β1, β2, β3, β4 分别是矩阵C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111的列向量. 1) 证明: βi βj T ( 1 ≤ i ≤ 4 , 1 ≤ j ≤ 4 ) 是全体4级实矩阵构成的实线性空间M 4(R) 的一组基;2) 求矩阵X =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000在以上基底下的坐标, 即求矩阵A = [ a i j ] , 使得 Tj 4j i,1i ij ββX ∑≤≤=a . 六.（10分）设A 是3 ⨯ 4矩阵，且A 的任何一个3级子式都不等于零. 证明：存在可逆矩阵C 与对角矩阵D ，使得A = D C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110010101001 .七.（ 5分）判断对错. 正确的请给出证明, 错误的请举出反例.若A 是行列式为1的n 级正交矩阵 , 则A 的每个r 级子式 ( 1 ≤ r ≤ n ) 一定等于此子式的代数余子式 .。
北京大学高等代数 I_2011 期末答案
北京大学数学学院期末试题2011－2012学年第一学期考试科目 高等代数I 考试时间 2012年1月3日姓 名 学 号一. （10分）已知n 阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011001 , B =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n 321332122211111 . 求矩阵X , 使得 A X = B .解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1n 2101110022101101110001011110001n 3211111033211112221001111110001⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→100010000110010011100010111100012n 1001100011001001110001011110001故 X =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100110111 .二.（15分）设 A : X A X 是R 3上的线性变换, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200211011.(1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基;(2) 求矩阵A 的特征值与特征向量;(3) 判断矩阵A 能否对角化并说明理由.解: (1) 在标准基下, A 像空间就是矩阵A 的列空间, 它的一组基为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡220011,, 维数是2 .(2)A 的特征值为λ = 2 (代数二重), 0 .对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100011000211011通解为x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110222321x x x x x x α1 = [ 1 1 0 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.22)2λ(λ)λ2λ()2λ(1λ111λ)2λ(2λ0021λ1011λλ-=--=-----=------=-|A I |对λ = 0解齐次方程组 A X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100011200211011通解为x 1 = - x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110222321x x x x x xα1 = [ -1 1 0 ] T 构成λ = 0特征子空间的一组基.(3) 由于特征值 λ = 2特征子空间的维数1小于其代数重数2,A 不能否对角化.三．（35分）填空题 (多选) .1．已知3阶矩阵A 的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为[ 1 0 1 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 1 2 0 ] T , 则 2 A 3 – 3 A 2 = .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101121010100121010100002100010012101011// 2. 设A = . 当t 取 不等于1的值 时, 存在矩阵B ,使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵C , 使得 C A = 0 .3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定.4. 设α是n 维欧氏空间里的单位列向量 , 则 | I – 5 α αT | = - 4 . 注: 可计算行列式或利用 | I m –A B | = | I n –B A | .5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {A,B,D},{C},⎥⎦⎤⎢⎣⎡+421211t t相似分类是 {A,D},{B},{C} , 合同分类是 {A},{B},{C},{D}.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000010212D 103010001C 010131010B 101010101A ,,,6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) (多选).a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;b) 实方阵都能写成P Q 的形式, 其中P 是实对称矩阵, Q 是正交矩阵 c) 每个矩阵都能写成P J 的形式, P 是可逆矩阵, J 是行简化阶梯矩阵 d) 实方阵都能写成Q R 的形式, Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵四.（12分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性 无关, 则整个向量组也线性无关.解: 此命题错误. 例如, 考察向量组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0201,, 其中由任意一个 向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.2) 设A 是m ⨯ n 矩阵. 若存在矩阵B 与C, 使得 BA = I n , AC = I m , 则必有m = n , 且 B = C .解: 此命题正确. 由矩阵乘法的结合律, 有C = ( BA ) C = B ( AC ) = B , 于是 m = n.五.（20分）设 f = 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 是三元二次型.(1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量;(2) 求正交矩阵P 及对角矩阵D, 使得A = P D P T ;(3) 求二次齐次函数 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在单位球面 x 12 + x 22 + x 32 = 1上的最大、最小值, 并确定在何处取到.解: (1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==321321T AX X f x x x x x x 011101110A 的特征值为λ = - 1 (代数二重), 2 .对λ = - 1解齐次方程组 ( A + I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000111111111111通解为x 1 = - x 2 - x 3 , x 2 、x 3为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011323232321x x x x x x x x xα1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 构成λ = -1特征子空间的一组基. 对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000110101000112121211121112通解为 x 1 = x 3 , x 2 = x 3 , x 3为自由变量. 向量形式:)2λ()1λ()2λλ()1λ(1λ0011λ112λ1λλ101λ111λλ111λ111λλ22-+=--+=+-----=+------=------=-|A I |⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1113333321x x x x x x x 于是α3 = [ 1 1 1 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.(2) 将α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 正交化:令β1 = α1 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=2112101121101β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==21161β||β||1γ,01121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 1 1 ] T 也单位化: .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11131γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] 为正交矩阵, 且.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==T 3T 2T 1321γγγ211]γγγ[T P D P A (3) 做正交替换X = P Y ,f = X T A X = Y T P T A P Y = Y T D Y = - y 12 - y 22 + 2 y 32 . 由于P 正交, x 12 + x 22 + x 32 = 1 当且仅当 y 12 + y 22 + y 32 = 1.当 y 12 + y 22 + y 32 = 1时,f = - y 12 - y 22 + 2 y 32 ≤ 2( y 12 + y 22 + y 32 ) = 2,等号成立当且仅当 y 3 = ±1, y 1 = y 2= 0, 即X 取λ = 2特征子空间中的单位向量 ± γ3时成立.类似地, 当 y 12 + y 22 + y 32 = 1时,f = - y 12 - y 22 + 2 y 32 ≥ - ( y 12 + y 22 + y 32 ) = -1,等号成立当且仅当X 取λ = -1特征子空间中的单位向量时成立.六.（8分）设 A 是一个n 阶正定矩阵, 其 ( i , j ) 元记为a i j .证明: a 11 a 22 . . . a nn ≥ | A | .证法1. 对 n 应用数学归纳法.当 n = 1 时, A = a 11 = | A | , 命题成立.以下设命题对n -1成立, 考察A 是n 阶矩阵的情况.记A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn αT αα1n A , 其中A n-1是n - 1阶正定矩阵, α是 n - 1 维列向量. 对 A 做成对的行,列分块运算, 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----αααααα1-1-n 1n 1-1-n 1n 1n 1-1-n 1n A 00A 1A 0I A 1A 0I T T T T nn T nn αα 于是 | A | = | A n-1 | ( a nn - αT A n-1-1 α ) .由归纳假设, | A n-1 | ≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 . 又由A n-1 正定知A n-1 的特征值都 > 0, 于是实对称矩阵A n-1-1的特征值也都大于0, 故A n-1-1 也正定. 特别地, 有αT A n-1-1 α ≥ 0 .综上所述, | A | = | A n-1 | ( a nn - αT A n-1-1 α )≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 a nn .故命题对所有n ≥成立.证法2. 利用Cholesky 分解: 每个正定矩阵A都可写成A = L T L,其中L是对角元都> 0的实上三角矩阵.设L 的( i , j ) 元为b i j , 则有a j j = b1 j2+ b2 j2 + … +b j j2 ≥b j j2 .故 a 11 a22 . . . a nn ≥b112 b222. . . b nn2 = | L T L | =| A |.。
(2021年整理)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案
（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准（A 卷）考试(考查）：考试 时间：200 年 月 日 本试卷共7页，满分100 分； 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。
1．在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k 【 C 】A ．4B ．3C ．2D ．13．A ,B 是n 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。
0A A O =⇔=C ．0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4．设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。
2A I +B 。
A I +C ．A I -D .A5．设A 为3阶方阵，且1)(=A r ，则 【 A 】 A 。
高等代数北大版习题参考答案
高等代数北大版习题参考答案CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
北京大学数学系《高等代数》配套模拟试题及详解【圣才出品】
1+22 , 22 +33,33 +1
1 0 1
1
,
2
,
3
2
2
0
0 3 3
1,2,3 A
因为∣A∣＝12≠0，所以向量组 α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1 线性无关．
2．若 α1，α2，α3，β1，β2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式∣α1α2α3β1∣＝m，∣α1α2β2α3 ∣＝n，则∣α3α2α1（β1＋β2）∣＝（ ）．
AP（1，2）P（2，3（1））＝C
因此
Q P 1, 2 P 2,31
1 0 0 0 1 1
P
1,
2
0
1
1
1
0
0
0 0 1 0 0 1
3 / 13
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A．E B．－E C．A
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D．－A
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【答案】A
【解析】由题设（E－A）B＝E，所以有 B（E－A）＝E．又 C（E－A）＝A，故（B－
C）（E－A）＝E－A，结合 E－A 可逆，得 B－C＝E．
4．设 A 是 3 阶方阵，将 A 第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 第 2 列加到第 3 列得 C，
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北京大学数学系《高等代数》配套模拟试题及详解
一、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1．设向量组 α1，α2，α3，线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）． A．α1＋α2，α2＋α3，α3－α1 B．α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3 C．α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1 D．α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3 【答案】C 【解析】方法 1：对 C，令 k1（α1＋2α2）＋k2（2α2＋3α3）＋k3（3α3＋α1）＝0 则有 （k1＋k3）α1＋2（k1＋k2）α2＋3（k2＋k3）α3＝0 由 α1，α2，α3 线性无关知
北京大学高等代数 I_2012 期末答案2
北京大学数学科学学院期末试题2012 -2013学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2013 年 1 月 9 日 姓 名 学 号一．（10分）设F 4 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111, F 2 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111, D 2 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡i 001. 1) 求矩阵C , 使得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222D I D I⎥⎦⎤⎢⎣⎡22F 00F C = F 4 ; 2) 求F 4 的逆矩阵.解: 1) 比较 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222D I D I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22F 00F =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=222222F D F F D F ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i i 111111i i 111111 与 F 4 得 C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001001000001. 2) 由 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4000040000400004知 414F 41F =-.二. （10分）设n 阶方阵A n = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010010100110010. 记θ = π / ( n+1 ) .1) 对1 ≤ j ≤ n, 证明 α j = [ sin( j θ ) sin( 2 j θ ) . . . sin( n j θ ) ] T是A n 的特征向量 ;2) 对 a ∈ R , 求矩阵a I + A n 的行列式. 解: 1) 对每个 1 ≤ j ≤ n, 我们有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)θj n sin()θj 3sin()θj 2sin()θj sin(θ)2cos(j )θj 1)(n sin()θj 4sin()θj 2sin()θj 3sin()θj sin()θj sin(2)θj n sin()θj 3sin()θj 2sin()θj sin(01001010011001即 A n α j = 2cos( j θ ) α j .于是α j ( 1 ≤ j ≤ n ) 是A n 的特征向量, 它们对应的特征值2cos( j θ ) ( 1 ≤ j ≤ n )互异.2) a I + A n 的特征值为a + 2cos( j θ ) ( 1 ≤ j ≤ n ) , 故| a I + A n | = ( a + 2cos θ ) ( a + 2cos( 2θ ) ) ...( a + 2cos( n θ ) ) .三. （10分）设A : XA X 是R 4到R 3的线性映射, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110110101101.1) 求A 的秩 r 及可逆矩阵P , Q , 使得 A = P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0IrQ , 这里 I r 是r 阶单位矩阵.2) 求R 4的一组基α 1 , α 2 , α 3 , α 4 与 R 3的一组基β 1 , β 2 , β 3 ,使得 A α i = β i , ∀ 1 ≤ i ≤ r 且 A α i = 0 , ∀ i > r . 解: 1)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010010101101000000100001101010001000010101101101010001110110101101于是A 的秩为 2 , 可取 P = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001, Q = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010010101101. 2) 在上式两边右乘Q -1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1000010010101101, 得A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000001000011010100011000010010101101. 令α 1 , α 2 , α 3 , α 4 依次为Q -1的列向量, β 1 , β 2 , β 3 依次为P 的列向量, 则有 A α 1 = β 1 , A α 2 = β 2 , A α 3 = 0 , A α 4 = 0 . 三.（32分）填空题 .1．设 B, C, D 是n 阶矩阵, 其中D 可逆, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-D CB C D B 1的秩 = n . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D C 00D C B C D B I 0D B I 11,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-D 000I D C 0ID C 0012. 当t < - 1/4 时, 二次型 f = 5 t x 2 + t y 2 – z 2 + 2 t xy + 2 x z 负定 ; 当t >0 时, 二次型 f 的正、负惯性指数分别是 2 与 1 . 通过成对行列变换, 二次型 f 的矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000t 0001t 41000t t 0t 1t 51010t t 1t t 5f 负定 ⇔ 4 t + 1 < 0 且t < 0 ⇔ t < – 1 / 4f 的正、负惯性指数分别是 2 与 1 ⇔ 4 t + 1 > 0 且t > 0 ⇔ t > 0 .3. 已知 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12222121231 是行列式为1的正交矩阵, 则线性变换X A X 是绕单位向量α = 的旋转, 旋转角为 .解特征方程组 ( A – I ) X = 0 , 得特征值1 的特征子空间基底 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011. 于是α = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡±01121. 取与α垂直的向量β = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011, 由A β =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-41131 求得β与A β 夹角的余弦值为 ( β, A β )/ ( | β| | A β| )= 1/3 . 故旋转角为 arccos( 1 / 3 ).4. 在欧氏空间R 4中,子空间 < ( 1,0,0,0) T, ( 0,1,0,0 ) T> 到⎩⎨⎧==+1x 2x x 321的解集合的最小距离是 1 .四. （18分）设f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 8 x 12 –7 x 22 + 8 x 32 + 8 x 1 x 2 – 2 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 . (1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量; (2) 求正交矩阵 P 及对角矩阵D , 使得 A = P D P T .解: (1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==321321Tx x x 841474148x x x X A X f8λ4147λ49λ09λ8λ4147λ4148λ|A λI |---+-+--=---+---=-)9λ()9λ()3249λ()9λ(7λ4187λ4009λ22+-=---=---+--=A 的特征值为λ = 9 (二重), – 9 . 对λ = 9解齐次方程组 ( A – 9 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0000001411414164141 通解为x 1 = 4 x2 - x3 , x 2 、x 3为自由变量. 解的向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101x 014x x x x 4x x x x 323232321于是α1 = [ 1 0 -1 ] T , α2 = [ 4 1 0 ] T 构成λ = 9特征子空间的一组基. 对λ = -9解齐次方程组 ( A + 9 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--00041010100036901741000212174117414241417 通解为 x 1 = x 3 , x 2 = - 4 x 3 , x 3为自由变量. 解的向量形式:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141x x 4x x x x x 3333321于是α3 = [ 1 -4 1 ] T 构成λ = -9特征子空间的一组基. (2) 将α1 = [ 1 0 -1 ] T , α2 = [ 4 1 0 ] T 正交化: 令 β1 = α1 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=21210124014β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==21231β||β||1γ,10121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 -4 1 ] T 也单位化: .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=141231γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--23132212343102313221为正交矩阵, 且.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==T 3T 2T1321Tγγγ999]γγγ[P D P A五.（10分）设β是欧氏空间R n 的单位向量, V 是子空间 < β > 的正交补. (1) 求矩阵A , 使得对任意列向量X ∈ R n , AX 是X 向V 所作的正交投影; (2) 求正交矩阵B , 使得线性变换 X B X 是R n 关于V 的镜面反射. 解: (1) 对任意列向量X ∈ R n , X 在一维子空间 < β > 上的正交投影为 ( X , β ) β = β βT X .于是X 在正交补 < β >⊥上的正交投影为X – ( X , β ) β = X – β βT X = ( I – β βT ) X .故所求矩阵为A = I – β βT .(2) 向量X ∈ R n , 关于 < β >⊥ 的镜面反射为X – 2 ( X , β ) β = X – 2 β βT X = ( I – 2 β βT ) X . 故所求正交矩阵为B = I – 2 β βT .六.（10分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 若A 是实对称矩阵, B 是实反对称矩阵, 则A + i B 的特征多项式在复数域上的根都是实数. 正确.证明: 设λ是A + i B 在复数域上的特征值, α是属于λ的复特征向量, 即 ( A + i B ) α = λ α , α ≠ 0 .则有 αT ( A – i B ) = λ αT , TT αλ)B i A (α=+.于是 ααλα)B i A (αααλTTT=+=, 由α ≠ 0 知0ααT≠, 于是 λλ=, λ 为实数.2) 在数域K 上, 若 n 阶方阵A 有 n + 1 个特征向量, 且其中任意 n 个都线性无关, 则 A 一定是数量矩阵. 正确.若A 不是数量矩阵, 则A 的特征子空间维数都小于n. 又因为A 有 n 个 线性无关的特征向量, A 可对角化, 故A 的特征子空间的维数之和等于n. 任给n + 1 个特征向量, 必存在A 的一个特征子空间 V , 包含其中至少 dim V + 1≤ n 个特征向量, 这dim V + 1 个特征向量线性相关, 矛盾!。
北京大学2010-2011高数D期末试卷答案
课程名称：高等数学（D ）2010 -2011 学年第（1）学期期末 试卷 本试卷共 九 道大题，满分 100 分 答案请写在答题本上，试卷上答题无效。
考试结束后请将试卷、答题本一起交给监考老师。
一、 判断题（给出简单解释，每题3分，共5题）1. 对于多元函数，可导必可微，可微必可导。
（错，需要偏导数连续）2. 所有的初等函数在其定义域的任意子集上都是可求定积分的。
（错，广义积分）3. 若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处偏导数都为0，则函数在该点处必取得极值。
（错）4. 若函数()f x 在 [a,b]上可导，则函数在[a,b]上有最大值与最小值。
（对）5. 若区间[,][,]c d a b ⊆，则必有()()bda c f x dx f x dx ≥⎰⎰。
（对）二、选择题（不需要写过程，每题3分,共5题）1. 当0x +→ B ）（A ） 1- （B ）ln(1 （C 1 （D ）1-2.设1D I σ=,222()D I x y d σ=+⎰⎰,2223()D I x y d σ=+⎰⎰,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（D ）（A ） 123I I I >> （B ）213I I I >>（C ）312I I I >> （D ）321I I I >>3. 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(= （D ） （A ）在x=0处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点x=0（C ）在x=0处右极限不存在 （D ）有可去间断点x=04. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续, 则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于( B ). (A) ().f x (B) ().f x dx (C) ().f x C + (D) ().f x dx '5. 设43()()()d d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=++⎰⎰⎰存在, 则I =( D ). (A) 0. (B) ().f x (C) 2().f x (D) 2().f x C +三、填空题（（不需要写过程，每题3分,共5题））1. 设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(= a 2 2.设()f x =在[1, 4]上使Lagrange(拉格朗日)中值定理成立的ξ=___9/4__.3. 二元函数22a r c s i n (2)l n ()z x y x y =--+-的定义域为：{}222(,)|13,D x y x y x y =≤+≤>4. 函数22(,)2()f x y x y x y =-+-的驻点为： （-1，-1）5. ()()1ln cos 1lim1sin 2x x x π→-=- 24π- 四、计算下列不定积分（每题4分，共20分）1. ()3cos x x dx -⎰=C x x x x d x xdx ++-=--⎰⎰322sin 31sin 2sin )sin 1( 2.⎰C x x x dx +-=--⎰2222111)1(213.dx=2222sec cos sin 1tan sec sin sin sin tdt t d t dt C C t t t t t ===-+=+⎰⎰⎰ 4. 32sin 1cos x x dx x ++⎰2234sin cos 322sec 2tan 2222cos 23(tan )2tan 3tan 3tan 2tan 22222sin 23tan 23tan ln cos 2222cos 2x x x x x dx x dx dx x x x x x x xd dx x dx dx x x x x x x d x C x +==+=+=-+=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5. 3sin 2cos sin cos x x x x e dx x--⎰=C xe xe dx e x e dx e xe dx e x e xde x d e x xd ex x x x x x x x x x x +--=--+-=---=------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos cos cos cos 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 五、求抛物线22y px =及其在点(,)2p p 处的法线所围成的图形的面积。