第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
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隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
的隐函数，则 F[ x, y( x)] 0 ( x D)；
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
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2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
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14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
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2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
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结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参 数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求 导.
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
隐函数与参数式函数的求导
ex y(x) ey(x) x .
4
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx
解 上述过程亦可如下表述：
方程两边关于x求导，注意y是x的函数
ey ex xy 0.
ey y ex y xy 0.
(ey x) y ex y
第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的求导法则
1、隐函数的定义
函数 y f (x) 刻画了变量 y 与 x 的对应关系.
这种对应关系可以有多种表示方式. 常见的表示方式为
y sin x, y ln(x x2 a2 ), .....
上述函数称为显式函数.
此外, y 与 x 的对应关系还可以通过方程 F(x, y) 0 来
ln
y
ln
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
dx 解 y y(x) 是方程 ey ex xy 0 确定的隐函数
ey(x) ex xy(x) 0.
上述方程两边关于x求导，得
ey(x) ex xy(x) 0.
ey(x) y(x) ex y(x) xy(x) 0.(ey(x)x) y(x)ex
y(x)
y( x)
但因为 (ln | x |) 1 / x ,故省略绝对值.
x 0 , (ln x) 1 ; x
x 0 , [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
所以 (ln | x | ) 1 . x
12
例5 求函数 y (x 1) 3 x 1 的导数. (x 4)2 ex
解 等式两边取对数,化简得
2， 6
所以所求切线方程为：
y 4 2 2 (x 1) ， 即 x 3 2 y 9 0 . 36
高数第二章第4节
17
首页 上页 7 求 椭圆 在t = 相应 的点 处 4 y = b sin t 的切 线 方程 . π 解 当 t = 时, 椭圆上的相应点M 0的坐标是： 4 y
a 2 x0 = a cos = , 4 2 π b 2 y0 = b sin = 4 2
y
3
0
(2,
•
3 3) 2
4 x
3 dy 将x = 2, y = 3代入上式,得切线的斜率 2 dx 3 3 3=− ( x − 2), 故切 线 方 程 为 y − 2 4
x=2
3 =− , 4
即 3 x + 4 y − 8 3 = 0.
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6
1 例4 求由方程x − y + sin y = 0所确定的隐函 2 2 d y 数 y 的二 阶 导数 2 . dx 解 由隐函数求导方法，得 dy 2 dy 1 dy 1− + cos y = 0 ⇒ dx = 2 − cos y dx 2 dx dy −2sin y 2 d y d 2 dx ( )= 所以 2 = 2 dx 2 − cos y （2 − cos y） dx 2 −2sin y −4sin y 2 − cos y = = 3 2 （2 − cos y） （2 − cos y） 7
3
而有些隐函数不能表为显函数的形式
例如 : 方程e y − xy = 0就不能化成显函数 y = f ( x ) 的 形式 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
3
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隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
首页 上页 7 求 椭圆 在t = 相应 的点 处 4 y = b sin t 的切 线 方程 . π 解 当 t = 时, 椭圆上的相应点M 0的坐标是： 4 y
a 2 x0 = a cos = , 4 2 π b 2 y0 = b sin = 4 2
y
3
0
(2,
•
3 3) 2
4 x
3 dy 将x = 2, y = 3代入上式,得切线的斜率 2 dx 3 3 3=− ( x − 2), 故切 线 方 程 为 y − 2 4
x=2
3 =− , 4
即 3 x + 4 y − 8 3 = 0.
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6
1 例4 求由方程x − y + sin y = 0所确定的隐函 2 2 d y 数 y 的二 阶 导数 2 . dx 解 由隐函数求导方法，得 dy 2 dy 1 dy 1− + cos y = 0 ⇒ dx = 2 − cos y dx 2 dx dy −2sin y 2 d y d 2 dx ( )= 所以 2 = 2 dx 2 − cos y （2 − cos y） dx 2 −2sin y −4sin y 2 − cos y = = 3 2 （2 − cos y） （2 − cos y） 7
3
而有些隐函数不能表为显函数的形式
例如 : 方程e y − xy = 0就不能化成显函数 y = f ( x ) 的 形式 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
3
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隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
2-4-隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数-初等函数的导数
x y
(t), (t),
(t T ) 所 确
定，如果函数 x (t) 具有单调连续反函数t 1(x) ，那
么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数y (x) ，
t 1(x) 复 合 而 成 的 函 数 y ( 1(x)) . 因 此 ， 当
x (t), y (t) 都可导且(t) 0 时，利用复合函数求导
内容小结
1. 隐函数的导数
直接对方程两边求导 对数求导法
*2. 参数方程求导法 3. 初等函数的导数
作业
P94 2(2), (4), 3(2), (3), 4(4), (6), 5
1 t2
例8
求星形线
x y
acos3t, asin3t,
(a 0,0 t 2π) 在t π 4
处的切线方程.
解 dx 3acos2tsint, dy 3asin2tcost,所以
dt
dt
dy dx
3asin 2tcost 3acos2tsint
tant
于是，在t
π 处的切线斜率为k 4
例 5 设 y xsin x (x 0), 求 y.
解 这是所谓的幂指函数，等式两边同时取对数，得 ln y sin x ln x,
上式两边同时对 x 求导，得
y cos x ln x sin x ,
y
x
于是
y xsin x (cos x ln x sin x ).
x
有时幂指函数也可写成 y esin xln x ，于是有
则
dy dx
2 y2 6xy 3x2 4xy 12 y2
,
dy dx
x1 y1
3
2 12 6 11 12 4 1112
2(4)隐函数求导
作业
习题2-4 (111页)
1.(3) 2. 3.(3) 4.(2) 5.(2) 7.(2) 8.(1) (4) 10.
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t 3a cos2 t( sin t)
tan
t
dt
d2 y dx 2
d dx
( dy dx
)
d dt
(dy ) dx
dt dx
d dt
(dy ) dx
dx dt
( (a
tan t ) cos3 t )
dt
500时,
500 tan
dt 1,sec2
2
d
dt
1 2
1 140 500
0.14(弧度/ 分)
仰角增加率
练习 ( P112页11题）
注水入深8cm上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为 4m3 / min .当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？
2、作业集第37页第1、3、4（2）、7
对数求导法 作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍
对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单.
对数求导法
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导法求出导数.
例 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x 上式两边对x求导得
其速率为140米 / 分.当气球高度为500米时,观察
员视线的仰角增加率是多少?
隐函数及由参数方程所确定的函数
院 数 理 系
y x x ln y x ln x 1 y ln x 1 y x x (ln x 1) y
2021/4/22
用性质 用对数
11
高
等 数
y u(x)x y u(x)x ln（u x） x（u x）x1u（ x）
学 电 子
u(x)x[ln u(x) x u(x)] u(x)
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
2021/4/22
3
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ln y v ln u (ln y v ln u) 1 y vln u v u
y (x) (x)[(x) (x) (x) (x) ln (x)]
1
2 (x) (x)
6
高 等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
数
学
1,y x(x 1)(x 2); 2, y 3(1 2x)3; 3, y 5x2 3x x ;
电
x
子 教 案
4, y ln a bx ; a bx
子 教
设函数的参数式为x=φ(t), y=ψ(t),
dy (t ) dx (t )
案
则它们的二阶导数
d 2 y d [ (t) ] d [ (t) ] dt dx 2 dx (t) dt (t) dx
武
汉 科
(t) (t) (t) (t) 1
技
[ (t)]2
3.4 隐函数及参数方程所确定函数的导数
dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y 由原方程知 x 0 时 , y 0 , 解得 , dx x e y
dy dx
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
x2 y 2 3 例3 求椭圆 1在点(2, 3 )处的切线方程. 16 9 2
sec2
dt
作业 P88 T1(3) T2(3) T4(3) T5(1)
于是
即
4x 4x 2x y ' y( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1
( x 2) 4x 4x 2x y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
2 2 3
3
二、参数方程所确定的函数的导数 若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的函数 关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，应用复合函数的求
导法可得一个含有 y 的方程，解出 y 即得隐函数 的导数.
例1
设y y ( x)是由方程 sin xy ln( x y ) 0所确定
dy 的隐函数，求 . dx 解 方程两边对x求导，注意到y是x的函数，有
1 y cos( xy)( y xy) 0 x y
x ( t ), y ( t ), t ( , )
所确定的函数． 例如，不计空气阻力时，抛射体的运动轨迹 可表示为 x v t
1 1 2 y v2 t gt 2
若消去参数t, 有
v2 g 2 y x x 2 v1 2v1
隐函数及参数方程所确定的函数的导数
1 y
y
=
lnarc tan x
x 1 arctan
x
1
1 x
2
y
=
ylnarctan x
(1
x
x
2
)
arctan
x
y
=
(arctan x)x
lnarctan x
(1
x
x
2
)
arctan
x
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9
练习 1. 设函数 y = x x ( x 0) , 求 y 解 等式两边取自然对数得
x = a(t sin t )
y
=
a(1
cos t )
在t
p =
2
处的切线方程
解 由参数方程的求导方法 , 得
dy dx
=
a(1 a(t
cos t ) sin t)
= sin t 1 cos t
= cot t 2
当 t = p 时 , x = a(p 1) y = a 摆线上点
2
2
a(p
y |x=0
=
ex y x ey
x=0
=
e0 0 0 e0
=1
y=0
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5
例 3 求由方程 x2 xy y2 = 4确定的曲线上点(2, 2)
处的切线方程和法线方程，
解 方程两边对x求导 , 得 2x y xy 2 y y = 0 于是 y = 2x y 故曲线上在点 (2, 2) 处切线的
2
1),a
处切线斜率为
k
=
dy dx
=
t =p 2
cot
t 2
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数-文档资料
观察函数
对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数 求导。
例6 y = x x (x > 0), 求 y . 解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对
x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,
1 y ln x 1, y
于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
例3 设 xy ex ey 0 确定了函数 y = y (x), 求 dy .
dx x0
解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有
y xy ex ey y 0,
解得
dy ey y dx x ey ,
再由原方程知 x 0 时，y 0. 代入上式，得
dy dx
x0
ey y x ey
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y cos x ln ln x sin x 1 1 ,
y
ln x x
y
ln
x sin x
cosxlFra bibliotek lnx
sin x x ln x
.
例8 设 x > 1, x 2, 3, 4, y (x 1)(x 2) , 求 y.
(x 3)(x 4)
2sin y y (2 cos y)2
对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数 求导。
例6 y = x x (x > 0), 求 y . 解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对
x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,
1 y ln x 1, y
于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
例3 设 xy ex ey 0 确定了函数 y = y (x), 求 dy .
dx x0
解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有
y xy ex ey y 0,
解得
dy ey y dx x ey ,
再由原方程知 x 0 时，y 0. 代入上式，得
dy dx
x0
ey y x ey
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y cos x ln ln x sin x 1 1 ,
y
ln x x
y
ln
x sin x
cosxlFra bibliotek lnx
sin x x ln x
.
例8 设 x > 1, x 2, 3, 4, y (x 1)(x 2) , 求 y.
(x 3)(x 4)
2sin y y (2 cos y)2
高等数学上册第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
速度的水平分量为
vx
dx dt
，垂直分量为
vy
dy dt
vx
dx dt
v0
cos,
vy ddyt v0singt0
故炮弹速度大小：
v v x 2 v y 2(v 0 c o s)2 (v 0 s in g t0 )2
v022v0gtsing2t2
©
三、相关变化率
dx dt
v1
,
的导数。
解: 两边取对数 , 化为隐式
lny1lnx 2 3lnx 1 2ln4x 3
两边对求导得
y 1 3 2 y 3(x2) x1 4x
y(x3 1 )x 3( 42 x)2 3 (x 1 2)x3 14 2x
©
又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
©
按幂函数求导公式
2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
dx dy
1
1 e
x
方法2 等式两边同时对 y求导
1 ex
d d
x y
1 1 ex
©
例2 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
高等数学(上)04-隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数 答案详解
解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
2x 2 yy x2 y2
1
1 y x
2
yx x2
y
y 2x y x 2y
4． ey 6xy x2 1 0
解：方程两边同时对 x 求导有， ey y 6y 6xy 2x 0
y
6y ey
2x 6x
y x
dx
e yln x ln x exln y x
y
七、求下列参数方程所确定的函数 y y(x) 的导数 dy ： dx
1．
x y
t3 3t
3t 1 5 5t3
1
解： dx 3(t2 1) ， dy 15t2 (t2 1)
dt
dt
dy
dy dx
f (t) tf (t) f (t)
f (t)
t
d2 dx
y
2
1 f (t)
注：计算参数方程二阶导前先对一阶导化简
则该曲线在 (1, 1) 点的切线斜率为1 由两曲线在该点相切，有 2 a 1 a 1，从而 b 1
五、求下列函数的导数：
1． y x x
解：法一（对数求导法）： ln y x ln x
1 y l nx y 2x
2.4隐函数及由参数方程确定的函数的导数
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题
一、 填空题：
1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确 定 了 y 是 x 的 函
数 ， 则 dy =________， d 2 y ________.
22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 1. 22
所求切线方程为
y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例4
设
y 2 x ( x y) ln( x
y) ，
求
d2y dx 2
解
两边求导：
y'2 (1 y') ln( x y) ( x
dx 2
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数. --------对数求导法
适用范围:
(1)幂指函数y u( x)v( x)的情形.
(2)多个函数相乘: y f1( x) f2 ( x) fn ( x)的情形.
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知
x
0,
y
0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2
设 arctan y ln
第四节、隐函数求导
( x +1)3 x 1 ( x +1) x 1 ln | y | =ln| |, | y | =| |, 2 x 2 x ( x + 4) e ( x + 4) e
3
1 ln | y |= ln | x +1| + ln | x 1| 2ln | x + 4 | x 3 d ln | y | d ln | y | dy 1 dy 上式两边对x 上式两边对 求导得 注意: = =
∴ y′
33 ( , ) 22
y x2 = 2 y x
33 ( , ) 22
= 1.
3 3 所求切线方程为 y = ( x ) 即 x + y 3 = 0. 2 2 3 3 显然通过原点. 法线方程为 y = x 即 y = x, 显然通过原点 2 2
例3 设 x4 xy + y4 = 1, 求 ′′在点(0,1)处的值. y 解 方程两边对 求导得 x
1 ∴ y′ = y(cos x ln x + sin x ) x sin x sin x ) = x (cos x ln x + x
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
∵ ln f ( x) = v( x) lnu( x)
上式两边对x 上式两边对 求导得
注意 d 1 d ln f ( x) = f ( x) dx f ( x) dx
由原方程知 x = 0时, y = 1,
dy dy 1 ) = 0 + 0 (0 + + cos 0 dx x=0 dx x=0 0 +1
dy =1 dx x=0
d2 y 1 5 例 求由方程 x y + sin y = 0所确定的隐函数的二阶 导数 2 . 2 dx
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,
1 2
gt 2
,
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 .
解 先求速度的y大小.
y
速度的水平分量为
dx dt
v1 ,
速度的铅直分量为
dyx dty
6t v220t
gt, 5t
2
x 6t
y
20t
5t
2
所以速度的大小为O
Ox
x
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
一、隐函数的导数
1. 定义
由 y = f (x) 表示的函数称为显函数， 二元方程 F(x , y) = 0 在一定的条件下 能确定一个 以 x为自变量以 y 为因变量的函数，称之为 隐函数．
2 摆线动画(t 2nπ , n Z) .
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
例8 *求求曲曲线线xyxy(c1o(c1ss2oinss22in2),在) ,在对对应应于于参参数数 = = 的的
点处的切线方程 .
解 dy ( cos 2 ) cos2 2 sin 2 .
dx [ (1 syin 2 )] 1 sin 2 2 cos2
上于式是两边y对 xxsin求2x 导co，s x得ln
x
sin x
x
.
一般地，
1(yuyv )12uv
11 xlnu1v xvu2v1
1 xu .3
x
1
4
,
1 (x 1)(x 2) 1 1 1 1
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
二、由参数方程所确定的函数的导数
定义
若参数方程
如果能从方程 F(x , y) = 0 中解出因变量 y，则称该 隐函数能显化.
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数 例如， y sin x , y ln x 1 x2 , y x ln x 1 sin x 都是显函数.
方程 x y3 1 0 能确定一个隐函数 y = y(x)，它能显 化：y 3 1 x .
3
y
2
y
3x2(y4 x4) 3x2
y7
y7
.
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
3. 显函数的对数求导方法
对显函数无法直接求出其导数（如幂指函数）或 计算很复杂，这时可用对数求导法简化计算.
对数求导法步骤： 先在 y = f (x) 的两边取对数， 然后用隐函数方法求一阶导数.
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
方程 y5 3x2 y2 5x4 12 0 能确定一个隐函数y = y(x) 但它不能显化.
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
2. 隐函数的求导方法
方程 F(x , y) = 0 两边对自变量 x 求导。 把 y函数 视为复合函数，利用复合函数求导法则求导. 求导后解得一阶导数。
第第四四节节 隐隐函函数数及及参参数数方方程程所所确确定定函函数数的的导导数数
y
例解第3 5求方四dydyx4椭程节dd圆yx两隐边xax2函22对ddye数yxybxy及(221求x参导21e数1在y，x方6点得0程)0(x.所,00 ,确y0定) 处函的数O切的线导O方数程.
x x
解
解之得
在椭圆d方y 程2两1x边6 对1 .x 求导，得 dx 5 y24x 22 yy
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数 第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
解
dy
ydy dx
dt dx
a sin t a(1 cost)
sin t 1 cost
cot t 2
(t
2nπ
,
n Z) .
x dta(t sin t)
d2 y dx 2
yd
dt
ac (o1t2t cosdt1)x
1 2 s in 2
t
1 a(1 cost
O
2dt a x
例例44*求求由由方方程程x4x4++y4y4==1所1所确确定定的的隐隐函函数数的的二二阶阶导导数数
dd22 yy ddxx22
..
解 所给方程两边对 x 求导，得
解之得
4x3 4 y3 dy 0 , dx
dy x3 . dx y3
上式两边再对 x 求导，得
d2 y dx 2
3x
2
y
3
x3 ( y3 )2
x y
(t) , (t)
确定 y 与 x 之间的函数
关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数.
例如，xy
t t
cost sin t
,
所确定的函数 y
y
=
y(x)
的图形如下:
阿基米德螺线
O
x
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
设函数 x (t) , y (t) 都二阶可导，并且 (t) 0 ,
y 切线斜率为 k dy 1 ,
dx π 1 2π
当 = 时对应的点的坐标为
O
x
( , )，故切线方程为
O
x
y π 1 (x π) . 1 2π
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
例9 已 * 已知知抛抛射射体体的的运运动动轨轨迹迹的的参参数数方方程程为为
x
y
v1t v2t
则由参数方程
x
y
(t) , (t)
所确定的函数
y=
y(x)
的一阶
导数和二阶导数的计算公式分别为
第第四四节节 隐隐函函数数及及参参数数方方程程所所确确定定函函数数的的导导数数
例7
计算由摆线的参数方程
x y
xa(t a(stints)in, t) ,
ya(1a(c1osct)ost
)
所确定的函数 y = y(x) 的二阶导数.
例1 求由方程exy + xy – e = 0所确定的隐函数的导数 dy .
dx
解第方四程节两隐边函对数x及求参导数，方得程所确定函数的导数
例例22 求求由由方e方y 程程dy yy55y22xyydyxx033,xx77 00 所所确确定定的的y 隐隐函函数数在在
xx解==之00得处处的的导导数数dddddxyxyx xx00 .. dx
例5 求 y = xsin x (x > 0) 的导数.
第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数
解 两边取对数，得
例例66
求 求
y y
(x 1)(x 2) ((xxlny13)=)((xxsin24x))
的的 lnx导导, 数数..
上式解两边两ln对边y x取1y求1对y([导lxn数(，xc3(o)假得(s1xx)定ln4lxn)x(>x4si)n，2)x得 1lxn(, x 3) ln(x 4)],