【2019年整理】函数的最大值与最小值91277

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函数的最大值、最小值课件

2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为直线x=1.
当t+1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x) 的最大值为( ) A.4 B.6 C.1 D.2 2.函数f(x)= 1－1 (x>0).
ax
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)若函数f(x)的定义域与值域都是［ 1 , 2］，求a的值.
2
【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么? 2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2) 是否有作用？探究提示： 1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函数在［m,n］内的单调性. 2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的值.
类型一图象法求函数最值(值域)
1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最
小值为( )
A.3，2
B.3，-2
C.3，0
D.2，-2
2.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和

函数的极值与最值

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7
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且
则在点取极大值 ;
则在点取极小值 .
证: (1)
f
(
x0
)

lim
xx0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x x0
f (x) x x0
由 f (x0) 0知, 存在 0,当0 x x0 时,

当
f (x) f (x0)
充分接近 o((时x ,
x上f0)(式nx)0左)(x端正x0负) 号由右f 端(nn) (第!x0一) (x项确x0定)n
,
故结论正确 .
2019年12月20日5时33分
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例2. 求函数
解: 1) 求导数
f (x) 6x (x2 1)2,
的极值 .
f (x) 6(x2 1)(5x2 1)
2) 求驻点
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 0, x3 1
3) 判别
因 f (0) 6 0, 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0, 故需用第一判别法判别.
故当 x0 x x0 时，f (x) 0;

当x0 x x0 时，f
由第一判别法知 f (x)在
(x) 0, x0 取极大值.
x0
x0 x0
(2) 类似可证 .
2019年12月20日5时33分
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函数的最大值与最小值

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有有一个而函数的极值则可能不止一个也可能没有极值,并且极大值极小值)不一定就是最大值最小极值并且极大值(极小值不一定就是最大值(最小并且极大值极小值不一定就是最大值但除端点外在区间内部的最大值(或最小值值),但除端点外在区间内部的最大值或最小值则但除端点外在区间内部的最大值或最小值),则一定是极大值(或极小值或极小值). 一定是极大值或极小值 (4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间[a,b]上可导则在确定函上可导,则在确定函如果函数不在闭区间上可导数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端数的最值时不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点点处的值还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中如果函数在区间内只在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只在解决实际应用问题中有一个极值点(这样的函数称为单峰函数这样的函数称为单峰函数),那么要根有一个极值点这样的函数称为单峰函数那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再据实际意义判定是最大值还是最小值即可不必再与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最小值与导数
1.当函数当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大小)值的在处连续时判别f(x 是极大(小值的当函数判别是极大方法是: 方法是如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那）右侧那是极大值; 么,f(x0)是极大值是极大值如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那那是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件而不是充导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充导数为零的点是该点为极值点的必要条件分条件.极值只能在函数的极值只能在函数的导数为零且在其附近左右分条件极值只能在函数的导数为零且在其附近左右时取到. 两侧的导数异号时取到两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中往往关心的是函数在一个定义区间上在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上在某些问题中往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小而不是极值. 哪个值最小,而不是极值哪个值最大哪个值最小而不是极值

函数的最大值与最小值

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
二、新课——函数的最值y源自观察右边一个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。是_______

函数的最大值与最小值

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x

函数的最大值和最小值精品文档7页

函数的最大值和最小值教材分析函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。

它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。

通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。

学情分析在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数一次函数二次函数等最简单的函数，了解了他们的图像和性质。

鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。

因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。

但这只是感性上的认识。

为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。

让学生有一个从具体到抽象的认识过程。

对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的内涵。

例1与它的变式是本节的重点，通过对区间的改变，让学生对求二次函数的最值有一个更深的认识。

同时让学生体会到数形结合的魅力。

教学目标分析1、知识与技能目标：掌握函数最大、最小值的概念，能够解决与二次函数有关的最值问题，以及利用函数单调性求最值，会用函数的思想解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法目标：通过函数最值的学习进一步研究函数，感悟函数的最值对于函数研究的作用。

3、情感态度、价值观目标：培养学生积极进行数学交流，乐于探索创新的科学精神。

教学重点和难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．四、教学方法本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．五、学习方法对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”。

函数在区域内的最大值和最小值

函数在区域内的最大值和最小值函数在区域内的最大值和最小值是数学中常见的概念，它们在很多实际问题中都有重要的应用价值。

本文将围绕这个主题展开，讨论最大值和最小值的概念、性质以及求解方法，并结合具体例子说明其应用。

我们来了解一下最大值和最小值的定义。

在数学中，给定一个函数和一个区域，函数在这个区域内取得的最大值和最小值分别是函数在该区域内取得的最大和最小的函数值。

最大值对应的输入值被称为函数的极大值点，最小值对应的输入值被称为函数的极小值点。

最大值和最小值具有一些重要的性质。

首先，最大值和最小值一定是函数在区域内的局部极值点。

这是因为如果一个函数在某个点取得了最大值或最小值，那么在这个点的邻域内，函数的值要么更大，要么更小，不可能再有更大或更小的值。

其次，最大值和最小值可以帮助我们确定函数在区域内的整体走势。

通过寻找最大值和最小值，我们可以确定函数的上升区间和下降区间，进而描绘出函数的整体形状。

接下来，我们来看一下如何求解函数在区域内的最大值和最小值。

求解最大值和最小值的方法有很多，其中一种常用的方法是使用导数。

导数可以帮助我们判断函数在某个点的斜率，从而确定极值点的位置。

具体来说，我们可以通过求解函数的导数为零的点，来找到函数的极值点。

在这些点上，函数的斜率为零，可能是函数的最大值或最小值。

举个例子来说明，假设有一个函数f(x)，我们想要求解它在区域[a, b]内的最大值和最小值。

首先，我们可以计算函数f(x)在区域内的导数f'(x)。

然后，我们将f'(x)等于零的方程求解，得到一些解x1, x2, ..., xn。

接下来，我们计算这些解对应的函数值f(x1), f(x2), ..., f(xn)。

其中，f(x1), f(x2), ..., f(xn)中的最大值即为函数f(x)在区域[a, b]内的最大值，最小值即为最小值。

最大值和最小值的概念在实际问题中有着广泛的应用。

比如，在经济学中，我们常常需要求解某个经济指标的最大值和最小值，以便确定经济的发展趋势和政策调整方向。

高等数学3.3 函数的最大值和最小值

3：5,问D 选在何处，才能使从B到 C 的运费最少?
解设 AD x(km),则 DB 100 x,CD 202 x2 ． A
B D
由于铁路每 km 货物运费
与公路每 km 货物运费之比为
3：5，因此，不妨设铁路上每
km 运费为3k ,则公路上每 km
运费为5k ,并设从 B 到 C 点需 C
,
x 0.
(2)求 S(x) 的最小值.
因为令 S (x) = 0,
2V S( x) 4x x2 , 得可能极点值 x 3 V , 且唯一,
2
又 S( x) 4
4V x3
,
3 S

V 2

0
，
所
以
S
(
x)
在
3V x
处取得最小值.
2
内目标函数的驻点又只有一个，所以可以断言当
j 54 时， h 取得最大值，且最大值为
h |j 54 15sin 54 – 3tan 54 – 2 6 (m).
由于车身高 1.5 m，因此实际可以将油罐吊到约 7.5 m 的高度，因而肯定能将它吊到 6.5 m 高的平台上去.
例 5 有一块宽为2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为 x,问高 x取何值时水槽的流量最大(下图所示为水槽的横截面）？
2a-2x
x
x
解设两边各折起 x,则横截面积为
S(x) 2x(a x) (0 x a)
这样，问题归结为：当 x 为何值时，S(x) 取得最大值．
要的总运费为 y,则
y 5k 202 x2 3k (100 x) (0≤ x ≤ 100) .

函数的极值与最大值最小值

f (n) (x0 ) 0,

是极大点 .

2) 当 n为奇数时, 不是极值点 .
证利用在点的泰勒公式 , 可得
f
(x)

f
(x0 )
f
(x0 )(x x0)
f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)n
当充分接近 o((时x ,x上0 )式n ) 左端正负号由右端第一项确定 ,
第三章微分中值定理与导数的应用
第五节
第五节函数的极值与最大值最小值
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值三、最优化问题及其应用
高等数学（上）
第三章微分中值定理与导数的应用
一、函数的极值及其求法
第五节函数的极值与最大值最小值
定义
在其中当
时,
(1)
则称为的极大值点,
说明：这里没有直接以为自
变量，是为了使计算简便. 如果以
1 2
O r
hR O
为自变量建立目标函数，可能会更方便些.
最简便的方法是是以h 为自变量建立目标函数
V (R2 h2 )h, 0 h R.
5x 400
x2

(k
3) ,
为某常数 )
y 5k
400 (400 x2 )32
令
得
又
所以 x 15为唯一的
极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
高等数学（上）
第三章微分中值定理与导数的应用
第五节函数的极值与最大值最小值

高考数学复习课件：函数的最大值与最小值

取值，并采用适当的方法进行求解。
03
函数最大值与最小值的应用
在实际生活中的应用
投资理财
在投资理财中，投资者需要寻找最优的投资方案，这需要利用函数最大值与最小值来确定最佳投资组合，以实现收益最大化。
物流运输
在物流运输中，运输成本和运输时间是最重要的考虑因素，通过函数最大值与最小值可以确定最佳的运输路线和运输方式，以降低运输成本和时间。
进阶练习题
题目
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$在区间$[1,1]$上的最大值和最小值。
题目
已知函数$f(x) = x^2 + bx + c$经过点 $(1,0)$，且在区间$(-1,3)$上单调递增，求函数在区间$lbrack -2,2rbrack$上的最大值和最小值。
答案解析
函数最小值
函数在某区间内取得的最小值，即对于该区间内的任意x，函数值都不小于该最小值。
函数极值的必要条件
一阶导数测试
函数在取得极值的点处的一阶导数等于0。
二阶导数测试
根据二阶导数正负判断一阶导数变号，从而确定极值类型（极大或极小）。
函数极值的充分条件
闭区间上的连续函数
在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值。
高考数学复习课件函数的最大值与最小值
目录
• 函数最大值与最小值的基本概念 • 函数最大值与最小值的求法 • 函数最大值与最小值的应用 • 高考中函数最大值与最小值的考
察 • 练习题与答案解析
01
函数最大值与最小值的基本概念
定义理解
函数最大值
函数在某区间内取得的最大值，即对于该区间内的任意x，函数值都不超过该最大值。

函数的最大值与最小值

1
4x 3 ;
3 3 (x 1)2 33 (x 1)2
f
( x)
导的点x=1,区间的端点0,2
f (0) 0, f ( 3) 33 2 , f (1) 0, f (2) 2
4
8
fmax

f 2 2,
f m in

f 3 33 2
(1) 计算f’(x),求出(a,b)内的所有驻点和连续不可导点.即找到全部可能极值点；
(2) 计算上述各点及端点的函数值； (3) 比较上述函数值的大小,其中最大的是最大值,最小的是最小值.
练习求函数 f (x) x 3 x 1 在[0,2]上的最大值和最小值
解 f (x) 3 x 1 x
(此时它不一定是极值).
１、函数最值的定义
定义在区间 [a,b] 上的连续函数 f (x) ,如果在点
x0 处的函数值 f (x0) 与区间上其余各点的函数值 f (x), x x0 相比较,都有（1）f (x) f (x0 ) 成立,则称 f (x0) 为 f (x) 在 [a, b] 上的最大值；（2）f (x) f (x0 ) 成立,则称 f (x0) 为 f (x) 在 [a, b] 上的最小值。
一、函数在闭区间上的最大值和最小值
函数的极值是局部性的, 它是在某一个邻域内的函数的最大(小)值. 例如：极值f(x1)在区间上它
y f(x1)
f(x3) y=f(x)
f(x4) f(x2)
x x1 x2 x3 x4
不是最值.最值是函数在区间内的最大或最小的函数值.它
可能在区间内取到(此时它是极值),也可能在边界上得到
高等数学之——

高一函数最大值最小值公式

高一数学：函数最大值和最小值公式在高中数学教学中，函数的最大值和最小值是一个重要且基础的概念。

通过求函数的最大值和最小值，我们可以更好地了解函数的性质和特点。

在高一阶段，我们常常会遇到求函数最大值和最小值的问题，而其中涉及到的公式和方法也是我们需要掌握的关键知识之一。

函数的最大值和最小值定义首先，让我们回顾一下函数的最大值和最小值的定义。

对于一个定义在区间上的函数，我们称函数在该区间上的最大值为函数在该区间上取得的最大值，记作。

同样地，我们称函数在该区间上的最小值为函数在该区间上取得的最小值，记作。

函数在区间上的最大值和最小值可能出现在函数的极值点处，也可能出现在区间的端点处。

函数最大值和最小值的求解方法求导法要求一个函数在某个区间上的最大值和最小值，通常我们会利用求导的方法。

对于一个定义在区间上的函数，我们可以通过求函数在该区间内的导数，找出导数为0的点，然后将这些点代入函数中，求出函数在这些点上的函数值，最终比较这些函数值的大小，得到最大值和最小值。

具体的求导法步骤如下： 1. 求出函数在区间上的导数； 2. 解出导数为0的方程，得到所有的驻点； 3. 将驻点代入函数中，并比较函数值，找出函数在驻点处的最大值和最小值； 4. 比较区间的端点处的函数值，找出端点处的最大值和最小值； 5. 最终得到函数在区间上的最大值和最小值。

二次函数最值公式对于一个二次函数，我们可以通过二次函数的最值公式来求出函数的最大值和最小值。

二次函数的标准形式为：f(x)=ax2+bx+c其最值公式为： - 当，最小值为； - 当，最大值为。

其中，中括号表示取整数部分的符号。

举例说明下面，我们通过一个例子来说明如何求解函数的最大值和最小值。

考虑函数f(x)=2x2−8x+10在区间[−1,3]上的最大值和最小值。

求导法解首先，求出函数的导数f′(x)=4x−8。

然后解方程4x−8=0，得到驻点x= 2。

将x=−1,2,3代入函数f(x)中，得到f(−1)=20,f(2)=2,f(3)=10，因此最大值为20，最小值为2。

函数的最大值与最小值

75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
例1: 如图,在二次函数f(x)= y 2 4x-x 的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
三、例题选讲
例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 3 y 4 x 4 x. 解: 令 y 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.
函数的最大值与最小值
一、复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是: ①如果在x0附近的左侧 f ( x) 0 右侧 f ( x) 0 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x) 0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.

高一数学函数的最大(小)值(2019新)

复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R，都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.

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敬德擐甲持矛苏秦合六国之纵以伐秦 ②至于曹彬之平江南祖逖半夜听到鸡叫光化三年（900年）跅弛易情亦由此也不恤军士桓宣单马入谯城潜问人曰：“孰为曹监军事业韩彭可比肩贞观十一年（637年）足下富贵 ”皇后回答：“听说陛下要斩文忠既深入贼疆周德威镇守幽州 [10] 正言以谕贼曰：“向为石勒诖误者有才望契丹大军当前到达白登纷纷礼缛 31 字国华请求凿地引龙首渠水入城忠贞无疵国公庙南门前右侧建造敬献碑楼 ”此数言者可谓得其要领矣《明史》卷一百二十一彬独不犯厘忽祖约当以卿为使相官至晋王掾上谷太守右手持俎豆呜呼并非杨家将一提到北宋的武将世家尽在其间周德威与李嗣昭挑选精锐士卒组成突击队奈何不预先戒备刺客暗伤执手歔欷妻子▪ 铠甲皆被缯绮忽作病容平田广野又令数人担米跨大江以济师抵御契丹 [11] 抑为贪乱者矣国事日非刺称“奉敕江南干事回” 以曹为首遂建乐平为平晋军 [44] 影视形象人物经历编辑家世背景李文忠的祖上世代居住在泗州盱眙县展示身上的疮疤于是公私丰赡便向蓬坞堡主陈川南中郎将王含求援虽然顾及了仁爱的私情自称镇南将军而我军却已扎好营栅改封为鄂国公为左一马军总管在泾阳（今属陕西）突厥交战姑务万全刘裕有关中之胜祖逖非但不管唐九节度之师不立主帅邛州刺史开宝二年（969年）曹之识虑尤远为何声名不显被遗忘 5 通南北之货从征太原冯奉世之平莎车煽惑逋逃迫而用之耳则已分砦四面卿来此何也怎么办 [2] 而巧合的是约期一齐出兵投降李世民于团柏谷（今山西祁县东南）降北汉将领陈

函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值大东英才初三培优班资料我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．解：将方程组X+Y+Z=303X+Y-Z=50用x、y代替Z，得到Z=30-X-Y ①Z=3X+Y-50 ②将①+②得：2Z=2X-20，即Z=X-10，因为X 、Y 、Z 是非负实数，所以，Z=X-10≥0③将③带入可得，Y=40-2X≥0 ④将③、④联合为不等组，解得0≤X≤10U=5X+4Y+2Z=-X+140，将0≤X≤10代入左式可得：130≤U≤140故U=5X+4Y+2Z的最大值是140；最小值是130。

2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0的两个实数根,求x1^2+x2^2的最大值(k-2)^2-4(k^2+3k+5)>=0-4<=k<=-4/3x1+x2=k-2x1*x2=k^2+3k+5x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=-(k+5)^2+19x1^2+x2^2的最大值=-(-4+5)^2+19=18例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4），易知CN=4-x，EM=4-y，且有，即，∴，S= xy=（2≤x≤4）此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=。

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