边界层分析求解共52页
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边界层问题的应用
边界层问题的应用一、引言边界层问题是指在流体力学中，液体或气体流动时与固体表面的相互作用所形成的薄层区域。
这个问题在工程领域中具有广泛的应用，如飞机翼、汽车外壳、船舶表面等。
本文将详细介绍边界层问题的应用。
二、边界层问题的概念1. 边界层的概念边界层是指流体靠近固体表面处速度变化很小，温度和浓度变化很大，粘性阻力很大的一个薄层区域。
2. 边界层分为哪几种类型？边界层分为两种类型：黏性边界层和无黏性边界层。
黏性边界层是指在固体表面附近速度变化很小，粘性阻力很大；无黏性边界层是指在固体表面附近速度变化很大，粘性阻力很小。
3. 边界层厚度如何计算？边界层厚度可以通过Reynolds数（Re）计算得出。
公式如下：δ = 5 * x / sqrt(Re)其中，δ表示边界层厚度，x表示距离固体表面的距离，Re表示雷诺数。
三、边界层问题的应用1. 飞机翼表面设计飞机翼表面设计是边界层问题的一个重要应用。
在飞行过程中，空气流经翅膀表面时会形成边界层，这会对飞机的飞行性能产生影响。
因此，在设计飞机翼表面时需要考虑边界层问题。
为了减小阻力和提高飞行效率，通常采用凸起型翅膀来改善边界层流动。
同时，在翅膀前缘处加入细小的颗粒可以使得边界层更加稳定。
2. 汽车外壳设计汽车外壳设计也是边界层问题的一个重要应用。
汽车在行驶过程中会遇到空气阻力，因此需要优化汽车外壳设计以减小阻力并提高油耗效率。
在汽车外壳设计中，需要考虑空气流动时形成的边界层。
通过优化汽车外壳形状和表面处理方式可以改善空气流动并降低阻力。
3. 船舶表面涂料设计船舶表面涂料设计也是边界层问题的一个重要应用。
在海洋中行驶的船只会遇到水阻力，因此需要优化船舶表面设计以减小阻力并提高速度。
通过在船舶表面涂上特殊的涂料，可以改善水流动并降低阻力。
同时，在船首处加入凸起物可以改善边界层流动并提高速度。
四、结论边界层问题在工程领域中具有广泛的应用。
通过优化设计和处理方式，可以改善空气或水流动并降低阻力，从而提高飞行、行驶或行驶速度。
高等流体-第六讲,边界层理论
1940年，在第三届国际数学学会上，L.Prandtl在他的
论文中提出，对于像水和空气那样粘性很小的流体，粘性对 流动的影响实际上仅限于贴近固体表面的一个薄层，这一薄 层以外，粘性完全可以忽略，即使应用无粘性流体力学理论 来解释流动也可以达到较高的精确性。 由于不管Re多大，据表面无滑移条件，固体边界上的流速必 为零，所以，在边界的外法线方向流体流动的速度从零迅速 增大。于是，在边界附近的流动区域存在着相当大的流速梯
二．附面层微分方程式
1、基础
dux 1 p 2 x x u x dt duy 1 p 2 N S方程 y u y y dt 1 p duz 2 u z z dt z
2、 假设条件（N－S 方程条件简化） u y u x 0 0 （1）稳定流 t t （2）层流边界层 粘性力与惯性力在同一数量级 （3）质量力不计 X＝0 Y＝0 （4）不可压缩流体 ＝c
即为
2
或
0
u u
u 1－ u dy
0
2
u u
u 1－ u dy
3 C、边界层动量损失厚度 3 其定义与动量损失厚度相似，即理想情况下通过
的流体动
能等于实际情况下整个流场中动能的欠缺量：
3 u2 u2 u 3 u － dy 0 2 2 2
Re
ux
5 6
Rec 3 10 ~ 3 10
3、 边界层的特征综述 a)边界层内，沿厚度方向
du 很大； dy
b)边界层以外，粘性力不计，N-S方程简 Eulerian程； c)附面层内粘性力与惯性力具有相同的量级，均不能忽略； d)附面层的厚度 ，相对于物体特征长度L很小，属于微量；
边界层
dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界 层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向 的动量变化，不引入y方向的流速υ。
+ = 0 ，u~1， 并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较 时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue
第四章 边界层
ux ux 1 p μ 2ux ux uy x y ρ x ρ y 2
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体 的势流。
分为两个截然不同的区域 外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。 边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体 的势流。
分为两个截然不同的区域 外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。 边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0
边界层分析求解
5
对于管内的流动运 动，取临界雷诺数 2300
粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内
粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。 紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较 小，流体具有紊流的特点。 边界层厚度=粘性底层+紊流支层
底 =29.4 x w
9
9 1 10
m
t∞ u
流体流过固体壁面的流场就 人为地分成两个不同的区域。
δ 0
t
δ
tw x
其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共 同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里 流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动， 也就是势流流动。
2）边界层的厚度
当速度变化达到 u u 0.99 时的空间位置为速度边界层的 外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 x
0
x
x x 5.0 w x
1
2
5.0 Re
1
2
要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 x x 1 )， 也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够 Re 1 的大,即
因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷 诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或 在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
3) 临界雷诺数
随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流 场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。 把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc， 其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 Re c u xc
流体平行流过平板的 临界雷诺数大约是
第五章边界层理论解读
第三节
以二维绕平面 流动为例来导出边 界层积分方程，如 固5-2所示。 首先对控制体 （单元体）做动量平 衡计算（在计算过程 中取垂直于纸面 z 方 向为单位长度）：
边界层内积分方程
1）流体从AB面单位时间流入的动量记为 Mx 。由 图5-2知，从 AB 面单位时间流入的质量为
(5-10) 2）流体从 CD 面单位时间流出的动量记为 Mx+∆x： 从 CD 面单位时间流出的质量为
（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex ＞ 3×106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界 层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。
应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层 最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流 底层，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该 层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特 别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。 层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是 根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动 既可以为层流，也可以为湍流。
(5-14)
由动量守恒可得结
本章重点叙述了边界层的概念、特点，建立了边界 层的微分方程、积分方程，并介绍了求解方法。对平板 绕流摩擦阻力的计算也进行了简要介绍。实际上，边界 层理论是在数值模拟技术没有发展起来之前，人们为了 运用流体流动的控制方程去解决工程实际问题的一部分 重要工作。尽管现在数值模拟技术已经能够处理某些真 三维实际流体的运动规律，但是通过边界层理论的学习， 仍然可以领略前人在处理实际流体流动问题上的输妙简 化与抽象思考，这是科学方法最突出的特征，这是精确 的数值模拟所不能替代的。
（1）层流区：流体统流进入平板后，当进流长度不是 很长，x＜xc(xc为对应Rex＝2×105的进流深度)，这时 Rex ＜ 2×105，边界层内部为层流流动，这一个区域称 为层流区。
边界层基本介绍
(5) 在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。
(6) 边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
边界层的基本概念
一、边界层的概念 1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德 国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念。他认 为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体 流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中， 而在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一 薄层称为边界层。普朗特的这一理论，在流体力学的发展 史上有划时代的意义。 图5-1所示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动， 根据普朗特边界层理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面 的流场划分为三个区域，即边界层、外部势流和尾涡区。
根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着层 流和紊流两种流动状态，若全部边界层内部都是层流，称为 层流边界层，若在边界层起始部分内是层流，而在其余部分 内是紊流，称为混合边界层，如图5-2所示，在层流变为紊流 之间有一过渡区。在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄 的层流底层。判别边界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数， 但雷诺数中的特征尺寸用离前缘点的距离x表示之，特征速度 V 取边界层外边界上的速度 ，即
边界层外边界
II尾部流区域 I边界层 边界层外边界
图1 翼型上的边界层
在边界层和尾涡区内，黏性力作用显著，黏性力和惯性力 有相同的数量级，属于黏性流体的有旋流动区；在边界层和尾 涡区外，流体的运动速度几乎相同，速度梯度很小，边界层外 部的流动不受固体壁面的影响，即使黏度较大的流体，黏性力 也很小，主要是惯性力。所以可将这个区域看作是理想流体势 流区，可以利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来 研究流场的速度分布。普朗特边界层理论开辟了用理想流体理 论和黏性流体理论联合研究的一条新途径。实际上边界层内、 外区域并没有明显的分界面，一般将壁面流速为零与流速达到 来流速度的99％处之间的距离定义为边界层厚度。边界层厚度 沿着流体流动方向逐渐增厚，这是由于边界层中流体质点受到 摩擦阻力的作用，沿着流体流动方向速度逐渐减小，因此，只 有离壁面逐渐远些，也就是边界层厚度逐渐大些才能达到来流 速度。
边界层理论
19世纪中，随着航海、水利工程等的迅速发展，流体力学的另一个重要分支，研究不可压缩粘性流体流动的 水力学得到很大的发展。它是建立在大量实验测量的基础上。当时如哈根、泊肃叶、雷诺等用实验研究水和其他 粘性流体在管道和槽渠中流动时的阻力和压强损失问题、得到的有关粘性流体的实验研究成果，有助于解决某些 工程实际问题。但由于水力学在理论指导上的不足，由实验成果得出的经验公式和半经验理论公式有一定的局限 性。于是在19世纪中叶产生了粘性流体运动的理论，1827年，纳维尔在欧拉运动微分方程中加上粘性项，第一个 得到粘性流体运动微分方程。1846年，斯托克斯严格地导出了这个方程，称为纳维尔-斯托克斯方程，简称N-S方 程。虽然N-S方程对粘性流体流动问题的研究分析有所帮助，但对这个方程数学上的求解是十分复杂和困难的。 1851年，斯托克斯对N-S方程作了某些简化，略去方程中的惯性项，也就是在非常缓慢的流体流动条件下，计算 出球体在流动的粘性流体中所受到的阻力。
边界层方程组
边界层方程组
不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体 壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重 力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不 变，从而得到层流边界层方程组为：
发展
1907年，布拉修斯成功地应用边界层理论计算在流体中运动物体的摩擦阻力。1921年，卡门和波耳豪森提 出了边界层动能积分方程，以计算边界层问题，这个方程经霍尔斯坦-博伦（1940）和瓦茨进行简化和改进，到 现在还被广泛应用。另外边界层动能积分方程和热能积分方程分别由莱本森和弗兰克尔提出。这三个边界层的近 似计算方法使边界层理论在工程界中很快地推广开来。1925年，普朗特提出的混合长度理论和1930年卡门提出的 相似性理论，将边界层理论推广到紊流边界层、射流和物体后的尾迹流中去。从层流向紊流的转捩现象是流体动 力学中的基本现象。早在19世纪末，雷诺就首先对转捩现象进行了研究。1914年，普朗特做了著名的圆球实验， 正确地指出：边界层中的流动可以是层流的，也可以是紊流的，还指出边界层分离的问题，因此计算阻力的问题 是受这种转捩支配的。从层流向紊流的转捩过程的理论研究，是以雷诺的假设为基础的，即承认紊流是由于层流 边界层产生不稳定性的结果。1921年，普朗特开始进行转捩的理论研究，1929年获得成功。当时托尔明从理论上 算出零冲角平板转捩的临界雷诺数，后被别人所进行非常仔细的实验所证实。稳定性理论能够考虑到对转捩有影 响的压强梯度、抽吸、马赫数和传热等许多因素。这个理论已得到很多重要的应用，如设计阻力非常小的层流翼 型。
边界层方程组
边界层方程组
不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体 壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重 力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不 变，从而得到层流边界层方程组为：
发展
1907年，布拉修斯成功地应用边界层理论计算在流体中运动物体的摩擦阻力。1921年，卡门和波耳豪森提 出了边界层动能积分方程，以计算边界层问题，这个方程经霍尔斯坦-博伦（1940）和瓦茨进行简化和改进，到 现在还被广泛应用。另外边界层动能积分方程和热能积分方程分别由莱本森和弗兰克尔提出。这三个边界层的近 似计算方法使边界层理论在工程界中很快地推广开来。1925年，普朗特提出的混合长度理论和1930年卡门提出的 相似性理论，将边界层理论推广到紊流边界层、射流和物体后的尾迹流中去。从层流向紊流的转捩现象是流体动 力学中的基本现象。早在19世纪末，雷诺就首先对转捩现象进行了研究。1914年，普朗特做了著名的圆球实验， 正确地指出：边界层中的流动可以是层流的，也可以是紊流的，还指出边界层分离的问题，因此计算阻力的问题 是受这种转捩支配的。从层流向紊流的转捩过程的理论研究，是以雷诺的假设为基础的，即承认紊流是由于层流 边界层产生不稳定性的结果。1921年，普朗特开始进行转捩的理论研究，1929年获得成功。当时托尔明从理论上 算出零冲角平板转捩的临界雷诺数，后被别人所进行非常仔细的实验所证实。稳定性理论能够考虑到对转捩有影 响的压强梯度、抽吸、马赫数和传热等许多因素。这个理论已得到很多重要的应用，如设计阻力非常小的层流翼 型。
边界层的微分方程式
层流边界层 v∞ 过渡区 湍流边界层 v∞ vx 紊流核心区
v∞
vx
缓冲区
层流底层
2018/11/4
4
一般平板 :
Re c 3 105
4.1.3 管流边界层:
Le起始段
实验表明 :
L
1 Re
层流
湍流
层流：当 Re Re c, 即层流边
湍流： Re Re c，层 湍过渡边
界层在流过一段距离后其（x) 界层仍未达管轴，即向湍流过渡， 已达到或超过管轴，以后整个 近壁面为层流底层，大部分为 管截面上均保持层流流动 vx呈抛物线分布
y 0
0.33206 v 0.332 v
v x v x
v x 即 0 y 总摩阻D :
y 0
(b为板宽)
L
D 0 dA b 0dx 0.664 vb Re L
A 0
总阻力系数 : Cd : Cd D 1.328 2 0.5 v A Re L
2018/11/4 16
内粘性力的作用使得层内流体速度减慢，因得不到势流的能 量的补充，于是，在壁面某处流速为零。此处的压强又小 于下游，则下游的流体质点在压力梯度的作用下，向该点 流动形成回流，同时，上游的流体质点又不断向此处流来， 使得该处流体越聚越多，由于回流的作用而将流体质点挤 向主流，从而使边界层脱离壁面，这种现象即为边界层的 脱离，边界层脱离壁面后就形成了大大小小漩涡，向下游 流去。如图中的D点即为脱离点。脱离点的压力梯度为零。
2018/11/4 12
摩擦力： BD面：
0dx
dP d dx P dx 0dx dx dx
v∞
vx
缓冲区
层流底层
2018/11/4
4
一般平板 :
Re c 3 105
4.1.3 管流边界层:
Le起始段
实验表明 :
L
1 Re
层流
湍流
层流：当 Re Re c, 即层流边
湍流： Re Re c，层 湍过渡边
界层在流过一段距离后其（x) 界层仍未达管轴，即向湍流过渡， 已达到或超过管轴，以后整个 近壁面为层流底层，大部分为 管截面上均保持层流流动 vx呈抛物线分布
y 0
0.33206 v 0.332 v
v x v x
v x 即 0 y 总摩阻D :
y 0
(b为板宽)
L
D 0 dA b 0dx 0.664 vb Re L
A 0
总阻力系数 : Cd : Cd D 1.328 2 0.5 v A Re L
2018/11/4 16
内粘性力的作用使得层内流体速度减慢，因得不到势流的能 量的补充，于是，在壁面某处流速为零。此处的压强又小 于下游，则下游的流体质点在压力梯度的作用下，向该点 流动形成回流，同时，上游的流体质点又不断向此处流来， 使得该处流体越聚越多，由于回流的作用而将流体质点挤 向主流，从而使边界层脱离壁面，这种现象即为边界层的 脱离，边界层脱离壁面后就形成了大大小小漩涡，向下游 流去。如图中的D点即为脱离点。脱离点的压力梯度为零。
2018/11/4 12
摩擦力： BD面：
0dx
dP d dx P dx 0dx dx dx
第五章 边界层
对于实际流体的流动，无论流动形态是层流还是紊流，真正能求解的问题很少。
这主要是由于流体流动的控制方程本身是非线性的偏微分方程，处理非线性偏微分方程的问题是当今科学界的一大难题，至今还没有找到一套完整的求解方案。
但在实际工程中的大多数问题，是流体在固体容器或管道限定的区域内的流动，这种流动除靠近固体表面的一薄层流体速度变化较大之外，其余的大部分区域内速度的梯度很小。
对于具有这样特点的流动，控制方程可以简化。
首先，由于远离固体壁面的大部分流动区域流体的速度梯度很小，可略去速度的变化，这部分流体之间将不考虑粘性力的存在，视为理想流体，用欧拉方程或伯努利方程就可求解。
而靠近固体壁面的一个薄层——称为流动边界层，在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用，但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程简化后再去求解。
这样对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。
第一节边界层理论的基本概念一、边界层的定义流体流经固体表面时，靠近表面总会形成一个薄层，在此薄层中紧贴表面的流体流速为零，但在垂直固体表面的方程（法向）上速度增加得很快，即具有很大的速度梯度，甚至对粘度很小的流体，也不能忽略它表现出来的粘性力。
（因此，流体在绕流过固体壁面流动时，紧靠固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层称为边界层。
）而在此边界层外，流体的速度梯度很小，甚至对粘度很大的流体，其粘性力的影响也可忽略，流体的流速与绕流固体表面前的流速v0一样。
可以把这部分在边界层外流动的流体运动视为理想流体运动，不考虑粘性力的影响。
边界层内、外区域间没有明显的分界面，而把边界层边缘上的流体流速v x视为v x=0.99v0，因此从固体表面至v x=0.99v0处的垂直距离视为边界层的厚度δ。
二、边界层的形成与特点边界层内的流动可以是层流，也可以是带有层流底层的紊流，还可以是层流、紊流混合的过渡流。
评判边界层层流或紊流的参数为雷诺数Re=vxρ/η，式中v为边界层外边界上流体流速，x为距边界层起点的距离（即流体进入平板的长度）。
第七章 边界层理论
其中 Re = ρV∞ L μ
因为δ * = δ L ~ 1
Re ，所以当Re很大时， ∗ δ
<< 1
根据这点，来估计N-S方程中的各项量级大 * x * ~ O (1), Vx ~ O (1)，这样 ∂Vx* ∂x* ~ O (1， ) 小。首先假设 又因为 y* ~ O (δ * )，所以按照连续方程，可得
∫
δ
0
ρu (U − u )dy
不可压流
=
∫
δ
0
u U
u⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ ⎝ U⎠
◎能量损失厚度 能量损失为
1 δ (ρ0 uU 2 − ρu 3 )dy 2 ∫0
主流在单位时间内通过某个厚度δ 3 的能量为
1 2 ρ 0U 3δ 3 因此能量(损失)厚度为
不可压流 δ u 1 δ δ3 = ρu (U 2 − u 2 )dy = ∫ 0 U ρ 0U 3 ∫0
关于湍流边界层中的速度分布，形式和经 验公式都很多。 有时，着眼于边界层内的流速与外部主流 流速的差额，因此可采用所谓的亏损律分布形 式。所谓亏损，是主流流速减去边界层内的流 速，而亏损律是把这个差值通过摩擦速度和无 量纲离壁距离表示的函数。 对于湍流边界层的外层，因为湍流是间歇 性的，所以采用另一个分布函数形式，称为尾 迹律。 请参见Schlishting的《边界层理论》。
[5]边界层的厚度 ◎位移厚度——由于边界层的存在，实际流过 边界层内的流体质量比理想情况时的减小，其 δ 减小量为
∫ (ρ U − ρu )dy
0 0
设这个减小量与主流流过的厚度为δ 1 的流层内 的流量 ρ 0Uδ 1 相等，则
1 δ1 = ρ0U
∫ (ρ U − ρu )dy
第五章边界层理论解读
式(5-1)中的第一式为连续性方程；第二式为x方向 的动量传输方程，可简化为
(5-2) 式(5-1)中的第三式为 y 方向的动量传输方程，因为 边界层厚度δ 很小，除 1/ρ(∂p/∂y)项外，其它各项与 x 方 向上的动量传输方程相比可略而不计，可简化为 (5-3)
因为∂p/∂y=0．故x方向动量中 ∂p/∂x 可以写为全微 分dp/dx。应用上述方程组去求解边界层内流动问题时， 特别是式中 ∂p/∂x 成为全微分后，其值可由主流区的运 动方程求得。对主流区同一 y 值，不同 x 值的伯努利 方程可写为 (5-4)
4）AD 面上的动量 由于 AD 是固体表面，无流体 通过 AD 流入或流出，即质量通量为零，但由粘性力决 定的粘性动量通量是存在的，其量值为 τ0 ，所以在控 制体内由 AD 面单位时间传给流体的粘性动量为 τ0∆x。 沿 x 方向一般来说可能还会存在着压力梯度，所以 作用在 AB 面与 CD 面上的压力差而施加给控制体的冲 量为 (5-13) 由讨论边界层微分方程时我们知道 ∂p/∂y=0，所以：
而靠近固体壁面的一个薄层——称为流动边界层， 在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用， 但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程 简化后再去求解。
这种对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内 理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。
第一节
边界层理论的基本概念
一、边界层的定义
（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex ＞ 3×106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界 层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。
应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层 最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流 底层，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该 层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特 别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。 层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是 根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动 既可以为层流，也可以为湍流。
边界层
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂ 2v x ∂ 2v x ∂ 2v x ∂v x ∂v x ∂v x ∂v x ∂p N-S方程： ρ ∂t + v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z = − ∂x + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y ∂p ρ ∂t + v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z = − ∂y + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z ∂p ρ ∂t + v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z = − ∂z + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2
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二、边界层的形成和发展
u∞
层流边界层
过渡区
湍流边界层
Re x= ρu∞ x/µ
x流 底 层 层 边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rec=2×105∼3×106
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1.5 边界层及边界层理论
一、边界层概念及普兰特边界层理论
普兰特边界层理论的主要内容：
∂ 2v x ∂ 2v x ∂ 2v x ∂v x ∂v x ∂v x ∂v x ∂p N-S方程： ρ ∂t + v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z = − ∂x + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y ∂p ρ ∂t + v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z = − ∂y + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z ∂p ρ ∂t + v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z = − ∂z + µ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2
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二、边界层的形成和发展
u∞
层流边界层
过渡区
湍流边界层
Re x= ρu∞ x/µ
x流 底 层 层 边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rec=2×105∼3×106
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1.5 边界层及边界层理论
一、边界层概念及普兰特边界层理论
普兰特边界层理论的主要内容：
边界层分析
流体外掠平板时的层流边界层与紊流边界层
临界距离：由层流边界层开始 xc 向紊流边界层过度的距离：
临界雷诺数： Rec
惯性力 Rec 粘性力 u xc u xc v
平板： Rec 2 105 ~ 3106 ; 取Rec 5 105
紊流边界层： 为何是一个范围？ 层流底层：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对优势，使粘附于壁的一 层薄层仍然会保持层流特征，具有最大的速度梯度。
流动边界层的厚度与流速、流体的运动粘度 和离平板前缘的距离x的关系
δcm
平板长度l (cm) 空气沿平板流动时边界层增厚的情况
x, 空气速度 u 10m / s :
x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
由牛顿粘性定律：
u y
速度梯度越大，粘滞应力越大。
流动边界层的几个重要特征： 1. 边界层厚度 与壁的定型尺寸L相比极小
L
2. 边界层内存在较大的速度梯度。
3. 边界层流态分层流和紊流，紊流边界层紧靠壁面处仍有 层流特征，层流底层。
4. 流场可以分为边界层区和主流区。
边界层区：由粘性流体运动微分方程组描述。 主流区：由理想流体运动微分方程—欧拉方程描述。 边界层理论的基本论点： 边界层概念也可以用来分析其他情况下的流动和换热。 如流体在管内的受迫流动，流体外掠圆管流动，流体在竖直
层流靠流体导热换热，紊流 依靠流体微团脉动对流换热
故：紊流换热比层流换热强。
与t 的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量和热
扩散的深度
t
Pr
1 3
0.6 Pr 50 层流：
壁面加热流体时热边界层的形成和发展
第11章边界层理论分析
第11章边界层理论分析第11章边界层理论（Boundary Layer ~）课堂提问：高尔夫球表面粗糙还是光滑一杆打的远？为什么龙舟的形状是细长体？本章内容：1.边界层基本概念2.边界层基本微分方程3.边界层动量方程4.边界层排挤厚度和动量损失厚度5.平板层流边界层6.平板湍流边界层7.平板混合边界层8. 船体摩擦阻力计算9.曲面边界层分离现象形状阻力10. 绕流物体的阻力11.减少粘性阻力的方法§11-1 边界层的概念N-S方程理论上完备但求解困难。
解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。
高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。
1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性完全可以忽略。
从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl 率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一个分支——边界层理论。
均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图：在固体壁面附近，显著地受到粘性影响的这一薄层。
边界层：均匀来流速度平板上u=0边界层内粘性力不可忽略这一薄层内速度梯度很大yvx与来流速度相同的量级,U99％边界层外边界U99％外边界上流速达到U99％的边界层名义厚度点到物面的法向距离。
边界层厚度根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：一、边界层二、边界层外部区域边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计，可认为边界层外部的流动是理想流体无旋势流。
这一薄层内速度梯度很大。
xv y ??边界层内的流动是有旋流动1()2y x x z v v v x y yω=-=-。
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在离平壁前端x处用热线风速仪，测得沿壁面
方向方向上各点的流速，这一分布呈现类似抛 物线型。在u=0.99u∞ 处以外的流体，可以认为 不受流体粘性的影响，称其为主流区。而
u=0.99u∞以内的区域，存在明显速度梯度，称
为边界层区。
热线风速仪
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性， 在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向 上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。
t∞ u
δt δ
tw
x
xx 5 .0 w x 1 2 5 .0 R e 1 2
要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 xx)，也 1
就是所R说e的边1界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的
大,即
因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷 诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或 在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
2. 热（温度）边界层（Thermal boundary layer）
1）定义
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等
时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为 热边界层。
Tw
2）热边界层厚度
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的 0.99倍时，即 (twt)/t(wt，)此位0.9 置就9是边界层的外边缘， 而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度,记为
t x
层流：温度呈抛物线 分布
故：湍流换热比层流换热强！
湍流：温度呈幂函数 分布
湍流边界层贴壁处的 温度梯度明显大于层 流
3）速度边界层厚度与热边界层厚度的关系
在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与 流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散特性和动量 扩散特性的相对大小有关。
tx
✓对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温
度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而 在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速度脉动引起的对 流混合作用。
t∞ u
δt δ
tw
0
x
普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等， 在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显 著变化的流体层是非常薄的。
边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大 满足牛顿粘性定律：
wy
式中：τ——粘滞力，N/m2; μ——动力粘度, kg/(m·s)
底 =29.4x9
w9 110
m
由以上两式可以发现，流体的主流速度w∞越大，层流边 界层厚度δ层以及粘性底层的厚度δ底越薄；x增大时，层流边 界层厚度δ层随x0.5成正比增加，而粘性底层则随x0.1成正比增 加，这表明当x增大时，δ底增与壁的定型尺寸L相比极小，δ << L • (2) 边界层内存在较大的速度梯度 • (3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面 处仍有层流特征，粘性底层（层流底层） • (4) 流场可以划分为边界层区与主流区（纵向） • 层流边界段：Re数很小，粘性力占优势，忽略惯性力 • 过度边界段： Re数处于之间，粘性力和惯性力相当 • 紊流边界段：Re数很大，惯性力主导，忽略粘性力
2）边界层的厚度
当速度变化达到 u u 时0.9的9空间位置为速度边界层的外边
缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 x
小：空气外掠平板， u=10m/s：x 1m 00 m 1 .8 m ; m x 2m 00 m 2 .5 mm
理论关系式为 ：
层=5.0xv w 12
层 x=5.0wx12 5.0ux 12=5.0Rex12 0
惯性力
指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的 倾向，若是以该物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相 反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实 际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因 此惯性力又称为假想力。
惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体. 非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体.
当Pr<1时，Pr=υ/a，υ<a，粘性扩散 <热量扩散，速度边 界层厚度<温度边界层厚度。
也可以从公式得出
tx
x 1 Pr13
1.026
u∞ T∞ δt δ
T∞ u∞ δ δt
0
x
0
x
(a)Pr<1
(b)Pr>1
要点：
✓热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在
热边界层中才有温度变化，而在热边界层以外可以认为温度梯 度为零，当做等温流动区。
x 1 Pr13
1.026
由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了 Re×足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常 小时（Pr<<1）,热边界层相对于速度边界层就很厚，反之 则很薄。
普朗特数Pr 的物理意义: 表征流体的热扩散特性和动量扩散特 性的相对大小
当Pr>1时，Pr=υ/a，υ>a，粘性扩散 >热量扩散，速度边 界层厚度>温度边界层厚度。
粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内 粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。
紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较 小，流体具有紊流的特点。
边界层厚度=粘性底层+紊流支层
底 =29.4x9
w9 110
m
紊 =0.37w 15x45m
紊 x=0.37Re1x5
层=5.0xv w 12
在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力也 较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团只 能沿着壁面平行地分层流动，称为层流边界层。
流体流过固体壁面的流场就 人为地分成两个不同的区域。
0
t∞ u
δt δ
tw
x
其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共 同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里 流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动， 也就是势流流动。
3) 临界雷诺数
随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流场的
控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。
把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc，
其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 Rceuxc
流体平行流过平板的 临界雷诺数大约是
Rec 5105
对于管内的流动运 动，取临界雷诺数 2300
方向方向上各点的流速，这一分布呈现类似抛 物线型。在u=0.99u∞ 处以外的流体，可以认为 不受流体粘性的影响，称其为主流区。而
u=0.99u∞以内的区域，存在明显速度梯度，称
为边界层区。
热线风速仪
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性， 在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向 上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。
t∞ u
δt δ
tw
x
xx 5 .0 w x 1 2 5 .0 R e 1 2
要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 xx)，也 1
就是所R说e的边1界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的
大,即
因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷 诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或 在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
2. 热（温度）边界层（Thermal boundary layer）
1）定义
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等
时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为 热边界层。
Tw
2）热边界层厚度
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的 0.99倍时，即 (twt)/t(wt，)此位0.9 置就9是边界层的外边缘， 而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度,记为
t x
层流：温度呈抛物线 分布
故：湍流换热比层流换热强！
湍流：温度呈幂函数 分布
湍流边界层贴壁处的 温度梯度明显大于层 流
3）速度边界层厚度与热边界层厚度的关系
在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与 流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散特性和动量 扩散特性的相对大小有关。
tx
✓对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温
度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而 在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速度脉动引起的对 流混合作用。
t∞ u
δt δ
tw
0
x
普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等， 在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显 著变化的流体层是非常薄的。
边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大 满足牛顿粘性定律：
wy
式中：τ——粘滞力，N/m2; μ——动力粘度, kg/(m·s)
底 =29.4x9
w9 110
m
由以上两式可以发现，流体的主流速度w∞越大，层流边 界层厚度δ层以及粘性底层的厚度δ底越薄；x增大时，层流边 界层厚度δ层随x0.5成正比增加，而粘性底层则随x0.1成正比增 加，这表明当x增大时，δ底增与壁的定型尺寸L相比极小，δ << L • (2) 边界层内存在较大的速度梯度 • (3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面 处仍有层流特征，粘性底层（层流底层） • (4) 流场可以划分为边界层区与主流区（纵向） • 层流边界段：Re数很小，粘性力占优势，忽略惯性力 • 过度边界段： Re数处于之间，粘性力和惯性力相当 • 紊流边界段：Re数很大，惯性力主导，忽略粘性力
2）边界层的厚度
当速度变化达到 u u 时0.9的9空间位置为速度边界层的外边
缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 x
小：空气外掠平板， u=10m/s：x 1m 00 m 1 .8 m ; m x 2m 00 m 2 .5 mm
理论关系式为 ：
层=5.0xv w 12
层 x=5.0wx12 5.0ux 12=5.0Rex12 0
惯性力
指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的 倾向，若是以该物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相 反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实 际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因 此惯性力又称为假想力。
惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体. 非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体.
当Pr<1时，Pr=υ/a，υ<a，粘性扩散 <热量扩散，速度边 界层厚度<温度边界层厚度。
也可以从公式得出
tx
x 1 Pr13
1.026
u∞ T∞ δt δ
T∞ u∞ δ δt
0
x
0
x
(a)Pr<1
(b)Pr>1
要点：
✓热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在
热边界层中才有温度变化，而在热边界层以外可以认为温度梯 度为零，当做等温流动区。
x 1 Pr13
1.026
由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了 Re×足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常 小时（Pr<<1）,热边界层相对于速度边界层就很厚，反之 则很薄。
普朗特数Pr 的物理意义: 表征流体的热扩散特性和动量扩散特 性的相对大小
当Pr>1时，Pr=υ/a，υ>a，粘性扩散 >热量扩散，速度边 界层厚度>温度边界层厚度。
粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内 粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。
紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较 小，流体具有紊流的特点。
边界层厚度=粘性底层+紊流支层
底 =29.4x9
w9 110
m
紊 =0.37w 15x45m
紊 x=0.37Re1x5
层=5.0xv w 12
在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力也 较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团只 能沿着壁面平行地分层流动，称为层流边界层。
流体流过固体壁面的流场就 人为地分成两个不同的区域。
0
t∞ u
δt δ
tw
x
其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共 同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里 流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动， 也就是势流流动。
3) 临界雷诺数
随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流场的
控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。
把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc，
其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 Rceuxc
流体平行流过平板的 临界雷诺数大约是
Rec 5105
对于管内的流动运 动，取临界雷诺数 2300