2013届高三理科数学综合训练题一

2013届高三第一学期理科数学综合训练题一

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． ⒈已知集合{}是虚数单位 , , )1(|2i R a i a a x x A ∈-+==，若R A ⊆，则=a

A ．1

B ．1-

C ．1±

D ．0

⒉若四边形ABCD 满足 0=+CD AB ，0)(=⋅-AC AD AB ，则该四边形一定是 A ．直角梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形

⒊某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为

A ．20

B ．24

C ．30

D ．36 ⒋直线3

π

=

x ，2

π

=

x 都是函数) , 0)(sin()(πϕπωϕω≤<->+=x x f 的对称轴，且函数)(x f 在

区间]2

, 3

[π

π

上单调递减，则

A ．6=ω，2

π

ϕ= B ．6=ω，2

π

ϕ-= C ．3=ω，2

π

ϕ=

D ．3=ω，2

π

ϕ-

=

⒌一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱， 上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示， 则这个几何体的体积=V A ．3054+π B ．π69

C ．π66

D ．2454+π

⒍a 、b 、0>c ，“a ln 、b ln 、c ln 成等差数列”是“a

2

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

⒎在平面直角坐标系xOy 中，0=++c by ax 与c by ax =+22所 表示的曲线如图2所示，则常数a 、b 、c 之间的关系可能是 A ．0<b B ．0<>c a 且0

⒏已知平面区域{}21 , 21|) , (≤≤-≤≤-=y x y x D ，y ax z +=（a 是常数），

D y x P ∈∀) , (00，记2

500≥

+=y ax z 为事件A ，则使8

1)(=

A p 的常数a 有

D

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）

⒐已知) , (~2σμN X ，68.0)(=+≤<-σμσμX P ，

95

.0)22(=+≤<-σμσμX P ，某次全市20000人

参加的考试，数学成绩大致服从正态分布)100 , 100(N ， 则本次考试120分以上的学生约有 人． ⒑图3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入

)( 11

sin

+∈=N i i a i π，则输出=i ．

⒒设抛物线C ：x y 42

=的准线与对称轴相交于点P ， 过点P 作抛物线C 的切线，切线方程是 ．

⒓在平面直角坐标系中，四边形ABCD 在映射f ：)1 , 2() , (x y y x -→作用下的象集为四边形////D C B A ，若ABCD 的面积1=S ，则////D C B A 的面积=/S ． ⒔以下命题中，真命题的序号是 （请填写所有真命题的序号）．

①回归方程x y

5.12ˆ+-=表示变量x 增加一个单位时，y 平均增加5.1个单位． ②已知平面α、β和直线m ，若α//m 且βα⊥，则β⊥m ．

③“若12x ，则12>x ”．

④若函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象关于直线x y =对称，b a f =)(，若2)(/=a f ，则

2

1)(/

=

b g ．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕（坐标系与参数方程选做题）若直线⎩

⎨⎧=-=t y t x 21（R

t ∈为参数）与圆⎩

⎨⎧+==a y x θθ

sin cos （π

θ20<≤，

θ为参数，a 为常数且0>a ）相切，则=a ．

⒖（几何证明选讲选做题）如图4，P 是圆O 外 一点，直线PO 与圆O 相交于C 、D ，PA 、PB 是圆O 的切线，切点为A 、B ．若1==CD PC ， 则四边形PADB 的面积=S ．

A

B

C

D

E

F

1

A 1

B 1

C 1

D

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

⒗（本小题满分14分）如图5，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距km 680的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成o 45角的方向直飞到达B 处．已知13

5sin =θ．

⑴在飞行路径ABC ∆中，求C tan ； ⑵求新的飞行路程比原路程多多少km ．

（参考数据：414.12=，732.13=）

⒘（本小题满分12分）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错

3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3

题者则被淘汰．已知选手甲答

对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为9

1． ⑴求选手甲可进入决赛的概率；

⑵设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

⒙（本小题满分14分）如图6，1111D C B A ABCD -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、

BC

上的动点，且BF AE =．

⑴求证：E C F A 11⊥；

⑵当1A 、E 、F 、1C 共面时，求： ①1D 到直线E C 1的距离；

②面DE A 1与面DF C 1所成二面角的余弦值．

⒚（本小题满分14分）已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点)0 , 1(1-F 、)0 , 1(2F 的距离之和

为常数，曲线C 的离心率2

1=e ．

⑴求圆锥曲线C 的方程；

⑵设经过点2F 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A 、B ，试证明在x 轴上存在一个定点