高中数学对数函数练习题突破训练

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对数函数经典练习题

高中45分钟过关检测§2.8 对数函数一、选择题(每小题3分，共15分)1.图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取101,53,54,3四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为A.101,53,34,3 B.53,101,34,3 C.101,53,3,34 D.53,101,3,34 2.函数y =)12(log 21-x 的定义域为 A.(21,+∞) B.［1,+∞) C.( 21,1] D.(－∞,1］ 3.函数y =lg(x+12－1)的图象关于 A.x 轴对称B.y 轴对称C.原点对称D.直线y =x 对称 4.已知031log 31log >>b a ，则a 、b 的关系是 A.1＜b ＜a B.1＜a ＜bC.0＜a ＜b ＜1D.0＜b ＜a ＜15.已知A ={x |2≤x ≤π}，定义在A 上的函数y =log a x (a ＞0且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值为 A.π2B.2π C.π－2 D. 2π或π2 二、填空题(每小题3分，共15分)6.设函数f (x )=)12(log 12+-x a 在区间(－21，0)上恒有f (x )>0,则a 的取值范围是__________. 7.函数y =(0.2)x －1的反函数是__________.8.已知log a 32<1,则a 的取值范围是__________.9.函数f (x )=|lg x |，则f (41),f (31),f (2)的大小关系是__________. 10.函数f (x )=x 2－2ax +a +2，若f (x )在［1，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是__________，若f (x )在［0，a ］上取得最大值3，最小值2，则a =__________.三、解答题(共20分)11.(6分)已知m >1,试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小.12.(7分)已知f (x )=(3－2x －x 2)21，求y =f (lg x )的定义域、值域、单调区间.13.(7分)已知函数f (x )=log a (a －a x )且a >1，(1)求函数的定义域和值域；(2)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(3)证明函数图象关于y =x 对称.参考答案一、1.A 2.C 3.C 4.D 5.D二、6.－2＜a ＜－1或1＜a ＜27.y =log 0.2(x +1)(x ＞－1)8.a ＞1或0＜a ＜32 9.f (41)＞f (31)＞f (2) 10.(－∞,1］ 1三、11.解：当lg m ＞1即m ＞10时，(lg m )0.9＞(lg m )0.8；当lg m =1即m =10时，(lg m )0.9=(lg m )0.8；当0＜lg m ＜1即1＜m ＜10时,(lg m )0.9＜(lg m )0.8.12.定义域［3101，10］，值域［0，2］，增区间［3101，101］，减区间［101，10］ 13.(1)定义域为(－∞,1)，值域为(－∞,1)(2)解：设1＞x 2＞x 1∵a ＞1,∴12x x a a，于是a －2x a ＜a －1x a则log a (a －a 2x a )＜log a (a －1x a ) 即f (x 2)＜f (x 1)∴f (x )在定义域(－∞,1)上是减函数(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)则a －a x =a y ,x =log a (a －a y )∴f －1(x )=log a (a －a x )(x ＜1)故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x )(x ＜1)图象关于y =x 对称.。

高中数学人教A版必修第一册课时训练分层突破对数函数的图象和性质的应用(习题课)

第2课时对数函数的图象和性质的应用(习题课)选题明细表基础巩固1.函数y=ln x，x∈(1，e3]的值域是( B )A.(0，+∞)B.(0，3]C.(-∞，3]D.[3，+∞)解析:由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数，当x∈(1，e3]时，ln 1<ln x≤ln e3，即0<ln x≤3，因此，函数y=ln x(x∈(1，e3])的值域是(0，3].故选B.2.设函数f(x)=log2x，若f(a+1)<2，则a的取值范围为( A )A.(-1，3)B. (-∞，3)C. (-∞，1)D. (-1，1)解析:由题意知，log2(a+1)<2，即log2(a+1)<log24，所以0<a+1<4，解得-1<a<3.即a的取值范围是(-1，3).故选A.3.a=lo g 13π，b=log 3π，c=log 4π，则( A )A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a解析:由已知a=lo g 13π<lo g 131=0，又b=log 3π=1log π3>0，c=log 4π=1log π4>0，因为log π3<log π4，所以1log π3>1log π4，即b>c.综合得a<c<b. 故选A.4.(2021·四川成都期中)已知函数f(x)=log a x+2(a>0，且a ≠1)在区间[12，4]上的最大值为4，则a 的值为( D )A.12B.2C.√22D.2或√22解析:当a>1时，f(x)在[12，4]上单调递增，f(x)max =f(4)=log a 4+2=4，所以a=2.当0<a<1时，f(x)在[12，4]上单调递减，f(x)max =f(12)=log a 12+2=4，所以a=√22. 综上，a 的值为2或√22.故选D.5.已知函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( B ) A.0<a<12B.12<a<1C.0<a<1D.a>1解析:y=x 2-1在区间(2，+∞)上是增函数，所以2a-1∈(0，1)时，函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数，所以12<a<1.故选B.6.(2021·云南玉溪高一期中改编)已知函数f(x)=log2(2x-1)，函数f(x)的单调递增区间是;若x∈[1，92]，则函数f(x)的值域是.解析:因为函数f(x)=log2(2x-1)的定义域为(12，+∞).令t=2x-1，易知t=2x-1在(12，+∞)上单调递增，而y=log2t在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间是(12，+∞).因为函数f(x)=log2(2x-1)在[1，92]上是增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(92)，所以0≤f(x)≤3，故所求函数的值域为[0，3].答案:(12，+∞) [0，3]能力提升7.已知函数f(x)=log2(1+4x)-x，则下列说法正确的是( D )A.函数f(x)在(-∞，0]上为增函数B.函数f(x)的值域为RC.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)是偶函数解析:根据题意，函数f(x)=log2(1+4x)-x，其定义域为R，有f(-x)=log2(1+14x)+x=log2(1+4x)-x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则D正确，C错误;对于A，f(-1)=log252>1=f(0)，f(x)不是增函数，A错误;对于B，f(x)=log2(1+4x)-x=log2(12x +2x)，设t=12x+2x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22=1，即函数的值域为[1，+∞)，B错误.故选D.8.(多选题)已知a=log32，b=ln 2，c=lo g132，d=12，则( AD )A.a<bB.b<cC.a<dD.b>d解析:对于A，因为log3e<log33=1，所以a=log32<log32log3e=ln 2=b，故A正确;对于B，因为b=ln 2>ln 1=0，c=lo g132<lo g131=0，所以b>c，故B错误;对于C，因为2>√3，所以a=log32>log3√3=12=d，故C错误;对于D，因为2>√e，所以b=ln 2>ln √e=12=d，故D正确.故选AD.9.已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(xy)+1对任意的x∈(0，+∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)= . 解析:不妨设f(x)=-log3x+b，因为f(x)+f(y)=f(xy)+1，所以-log3x+b-log3y+b=-log3(xy)+b+1，所以b=1，所以f(x)= -log3x+1.答案:-log3x+1(答案不唯一)10.已知函数f(x)=lo g12(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3，求f(x)单调区间;(2)是否存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数?若存在，求出a 的范围;若不存在，说明理由.解:(1)因为f(-1)=-3，所以a=2.因为f(x)=lo g12(x2-4x+3)，x2-4x+3>0，x<1或x>3.设m(x)=x2-4x+3，对称轴为直线x=2，所以m(x)在(-∞，1)上为减函数，在(3，+∞)上为增函数，所以f(x)在(-∞，1)上为增函数，在(3，+∞)上为减函数.(2)设t(x)=x2-2ax+3，则y=lo g12t在(0，+∞)上是减函数，t(x)在(-∞，a)上为减函数，在(a，+∞)上为增函数，因为f(x)在(-∞，2)上为增函数，则需t(x)在(-∞，a)上为减函数，且t(2)≥0，所以{a≥2,4-4a+3≥0,所以a≥2，且a≤74，不可能同时成立.所以不存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数.11.设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x)，且19≤x≤9;(1)求f(3)的值.(2)令t=log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数;并由此，求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.解:(1)因为函数f(x)=log3(9x)·log3(3x)，且19≤x≤9，故f(3)= log327·log39=3×2=6.(2)令t=log3x，19≤x≤9，则-2≤t≤2，且f(x)=(log3x+2)(1+log3x)=t2+3t+2，令g(t)=t 2+3t+2=(t+32) 2-14，t ∈[-2，2]，故当t=-32时，函数g(t)取得最小值为-14，即函数f(x)的最小值为-14，此时求得x=3-32=√39;当t=2时，函数g(t)取得最大值为12，即函数f(x)的最大值为12，此时求得x=9.应用创新12.已知f(x)=ln(e x +a)是定义域为R 的奇函数，g(x)=λf(x). (1)求实数a 的值;(2)若g(x)≤xlog 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围. 解:(1)函数f(x)=ln(e x +a)是定义域为R 的奇函数，则f(0)=0，即ln(1+a)=0，解得a=0，故函数f(x)=ln e x =x.显然有f(-x)=-f(x)，函数f(x)=x 是奇函数，满足条件，所以a=0. (2)由(1)知f(x)=x ，g(x)=λx ，则λx ≤xlog 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，即λ≤log 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，因为函数y=log 2x 在x ∈[2，3]上单调递增，最小值为log 22=1，所以λ≤1，即λ的取值范围为(-∞，1].。

指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练一、单选题1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数()()2lg 35f x x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．50,3⎛⎫⎪C ．()5,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪D ．5,3⎛⎫+∞ ⎪【答案】C【详解】由题意知，2350x x ->，即(35)0x x ->，所以0x <或53x >.故选：C.2．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数()327x f x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪D ．()2,3【答案】B【详解】∵3x y =和27y x =-均在R 上单调递增，∴()327x f x x =+-在R 上单调递增；又()12f =-，327402f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点，故选：B.3．（23-24高一上·云南昆明·期末）滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为23 1.65x y -=⨯．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：671.6520.2,1.6533.3≈≈）（）A ．水华面积占比每月增长率为1.65B ．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到60%左右C ．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用D ．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理【答案】B【详解】对于A ，由于模型23 1.65x y -=⨯呈指数增长，故A 错误；对于B ，当8x =时，8220.63 1.605326.y -⨯==⨯≈，故B 正确；对于C ，因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用，故C 错误；对于D ，由两函数模型放在同期进行比较的图象可知，7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理，故D 错误.故选：B.4．（23-24高一上·云南昭通·期末）()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点M ，幂函数()g x 过点M ，则12g ⎛⎫⎪⎝⎭为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】()()1log 14a f x x =-+，令11x -=，得2x =，()124f =，则()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点12,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，设()g x x α=，则124α=，即2α=-，即()2g x x -=，∴142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知0.320.3lo g 3,2,lo g 2a b c -===，则（）A ．c b a <<B ．<<b c aC ．<<c a bD ．a b c<<【答案】A【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A6．（23-24高一上·云南·期末）若()21()ln 1||f x x x =+-，设()0.3(3),(ln2),2a f b f c f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【详解】由题意知()(),00,x ∈-∞⋃+∞，由()()()21ln 1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，由复合函数的单调性法则知()f x 随x 的增大而增大，即()0,x ∈+∞，()21()ln 1||f x x x =+-单调递增，因为()()33a f f =-=，()0.3(ln2),2b f c f ==，且00.3112222=<<=，0ln2lne 1<<=，所以0.3ln 223<<，所以()()()0.3ln223f f f <<-，即b c a <<，也就是a c b >>.故选：D7．（23-24高一下·云南·期末）设222,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,2B ．(2,3]C ．()2,+∞D ．()3,+∞【答案】B【详解】方程2[()](2)()20f x a f x a -++=化为[()2][()]0f x f x a --=，解得()2f x =或()f x a =，函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，函数值的集合为(2,3]，在(0,1]上单调递减，函数值的集合为[0,)+∞，在[1,)+∞上单调递增，函数值的集合为[0,)+∞，在同一坐标系内作出直线2,y y a ==与函数()y f x =的图象，显然直线2y =与函数()y f x =的图象有两个交点，由关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，此时23a <≤，所以实数a 的取值范围是(2,3].故选：B8．（23-24高一下·云南昆明·期末）若()12:lo g 11,:39a p a q --<<，则p 是q 的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【详解】对于()22:log 11log 2p a -<=，则012a <-<，解得13a <<；对于1:39a q -<，则12a -<，解得3a <；因为{}|13a a <<是{}|3a a <的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知函数()()2ln 2f x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B ．函数()f x 的值域是RC ．函数()f x 的图象关于1x =对称D ．不等式()ln 3f x <的解集是()1,3-【答案】BC【详解】对于A ，当1x =时，2210x x -=-<，此时()()2ln 2f x x x =-无意义，故A 错误；对于B ，由于()22y g x x x ==-的值域为[)1,-+∞，满足()[)0,1,+∞⊆-+∞，所以函数()f x 的值域是R ，故B 正确；对于C ，由题意()()()22ln 2ln 11f x x x x ⎡⎤=-=--⎣⎦，且定义域为()(),02,-∞+∞ ，它满足()()()21ln 11f x x f x+=-=-，即函数()f x 的图象关于1x =对称，故C 正确；对于D ，由于()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ，故D 错误.故选：BC.10．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234fx fx fx fx ===，则下列结论中正确的是（）A ．122x x +=-B ．1204x x <<C ．()41,4x ∈D ．342x x +的取值范围是332,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BC【详解】作出函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩的图像如图.对于选项A,根据二次函数的对称性知，12()224x x +=⨯=--，故A 项错误；对于选项B ，因120x x <<，由上述分析知124x x +=-，则21212120()()()42x x x x x x --<=-⋅-≤=，因12x x ≠，故有1204x x <<，即B 项正确；对于选项C ，如图，因0x ≤时，2211()2(2)2222f x x x x =--=-++≤，0x >时，2()|log |f x x =，依题意须使20|log |2x <<，由2|log |0x >得1x ≠，由2|log |2x <解得：144x <<，故有3411,144x x <<<<，即C项正确；对于选项D ，由图知2324log log x x -=，可得341x x =，故431x x =，则343322x x x x ++=，3114x <<，不妨设21,(,1)4y x x x =+∈，显然函数2y x x =+在(1,14)上单调递减，故23334x x <+<，即342x x +的取值范围是(333,4)，故D 项错误.故选：BC.11．（23-24高一上·云南昆明·期末）关于函数()ln f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈B ．对,0,()()()x y f xy f x f y ∀>=+恒成立C ．对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()1212f x f x x x ->-D ．对12,0x x ∀>，均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪【答案】AC【详解】A 选项，由于1y x =在R 上单调递增，2ln y x =在()0,∞+上单调递增，故()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，又()11ln 30,11033f f ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，故由零点存在性定理可得，方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈，A 正确；B 选项，()ln f xy xy xy =+，()()ln ln ln f x f y x x y y x y xy +=+++=++，显然,0x y ∀>，由于xy 与x y +不一定相等，故()()f x f y +与()f xy 不一定相等，B 错误；C 选项，由A 选项可知，()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()12120f x f x x x ->-，C 正确；D 选项，12,0x x ∀>，均有121212ln 222x xx x x x f +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()12112212121212ln ln ln ln 22222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++++==+=+，由于12122x x x x +≥，当且仅当12x x =时，等号成立，故1212ln ln 2x x x x +≥，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，D 错误.故选：AC 三、填空题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为.【答案】[]2,5【详解】因为在R 递增，则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩＞，解得：25a ≤≤，故答案为：[]2,513．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数()ln(1)f x x =+，2()g x x a =-+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【答案】(0,)+∞【详解】当0x ≥时，()ln(1),f x x =+当0x <时()ln(1),f x x =-+函数图象示意图为则2()g x x a =-+与()ln (1)f x x =+有两个零点知a 的取值范围是(0,)+∞.故答案为：(0,).+∞14．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z ，则lg lg (0lg 1)N n a a =+≤<，这样我们可以知道N 的位数为1n +.已知正整数M ，若10M 是10位数，则M 的值为.（参考数据：0.9 1.1107.94,1012.56≈≈）【答案】8或9【详解】依题意可得910101010M ≤<，两边取常用对数可得91010lg10lg lg10M ≤<，即910lg 10M ≤<，所以0.9lg 1M ≤<，即0.91010M ≤<，又M 为正整数，所以8M =或9M =.故答案为：8或9四、解答题15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠．(1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．【答案】(1)10(,)3+∞(2)2a =或12a =【详解】（1）由(12)3f =可得log (123)13a -+=，解得3a =，即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>，则()0f x >，即3log (3)10x -+>，即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩，故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞；（2）由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，故log 11(log 21)1a a +-+=，即log 21,2a a =∴=或12a =，即a 的值为2a =或12a =.16．（23-24高一上·云南昭通·期末）化简求值：(1)()13103420.027π4160.49--++；(2)ln22311lg125lg40.1e log 9log 1632-+++⨯.【答案】(1)8(2)9【详解】（1）()13103420.027π4160.49--++()()()1313423420.3120.7⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.3180.78=-++=；（2）ln22311lg125lg4lg 0.1e log 9log 1632-++++⨯3211112lg34lg2lg5lg23222lg2lg3=+-++⨯lg 5lg28=++9=.17．（23-24高一上·云南·期末）已知定义域为R 的函数()11333xx m f x +-⋅=+是奇函数．(1)求m 的值并利用定义证明函数()f x 的单调性；(2)若对于任意t ∈R ，不等式()()22620f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1m =，证明见解析(2)3k <-【详解】（1）因为()f x 是奇函数，函数的定义域为R ，所以(0)0f =，所以1033m-=+，所以1m =，经检验满足()()f x f x -=-易知()11312133331x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭设12x x <，则2112122(33)()()3(31)(31)x x x x f x f x --=++因为3x y =在实数集上是增函数，故12()()0f x f x ->．所以()f x 在R 上是单调减函数（2）由（1）知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．又因为()f x 是奇函数，所以()()22620f t t f t k -+-<等价于()()2262f t t f k t-<-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2262t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2360t t k -->，从而判别式361203k k ∆=+<⇒<-．所以k 的取值范围是3k <-．18．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知函数1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （0a >且1a ≠）．(1)讨论()f x 的单调性（不需证明）；(2)若2a =，（ⅰ）解不等式3()2≤f x x；（ⅱ）若21()(22))2(x g f x t x x f +=-+在区间[]1,1-上的最小值为74-，求t 的值．【答案】(1)答案见解析(2)（ⅰ）(](],10,1-∞-⋃；（ⅱ）2t =-或2t =【详解】（1）若1a >，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递增；若01a <<，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递减．（2）（ⅰ）3()2≤f x x ，即132()022xx x --≤，设13()2()22xx g x x=--，则(1)0g =，()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，当0x >时，()g x 单调递增，由()(1)g x g ≤，解得01x <≤，根据奇函数的性质，当0x <时，()(1)g x g ≤的解为1x ≤-，综上所述，3()2≤f x x的解集为(](],10,1-∞-⋃．（ⅱ）2122()2(2)2()222(22)x x x x x g x f x tf x t +--=-+=++-，令22x x m --=，因为[]1,1x ∈-，则33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2()()22g x h m m tm ==++，其图象为开口向上，对称轴为m t=-的抛物线，①当32t -≤-，即32t ≥时，min 39177()()3232444h m h t t =-=-+=-=-，解得2t =．②当3322t -<-<，即3322t -<<时，222min 7()()2224h m h t t t t =-=-+=-+=-，解得1152t =，2152t =-矛盾．③当32t -≥，即32t ≤-时，min 39177()()3232444h m h t t ==++=+=-，解得2t =-．综上所述，2t =-或2t =．19．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数()e (0)x f x mx m =-<．(1)求(1)f -和(0)f 的值，判断()f x 的单调性并用定义加以证明；(2)设0x 是函数()f x 的一个零点，当1em <-时，()02f x k >，求整数k 的最大值．【答案】(1)1(1)e f m --=+，(0)1f =，()f x 在定义域R 上单调递增，证明见解析，(2)整数k 的最大值为1-【详解】（1）1(1)e f m --=+，(0)1f =，判断()f x 在定义域R 上单调递增，证明如下：在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121212()()e (e )(e e )()x x x x f x f x mx mx m x x -=---=---，因为12x x <，0m <，所以12e e x x <，120x x -<，0m ->，所以12e e 0x x -<，12()0m x x --<，所以1212(e e )()0x x m x x ---<，即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，所以()f x 在定义域R 上单调递增．（2）由题意得0()0f x =，即00e 0x mx -=，1em <-，则10e m +<，即0(1)0()f f x -<=，由()f x 是R 上的增函数，所以01x -<，又0(0)10()f f x =>=，所以010x -<<，0200(2)e 2x f x mx =-002e 2e x x =-，令01e (ext =∈,1)，则22()2(1)1g t t t t =-=--，所以()g t 在1(e ,1)上单调递减，所以()()11g t g >=-，即0(2)1f x >-，当1em <-时，0(2)f x k >，所以1k ≤-，所以整数k 的最大值为1-．。

高一数学同步练习——对数函数练习题及解答解析

对数资料（1）对数与对数函数测试题一、选择题： 1．已知3a=5b= A ，且a 1＋b1= 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x= lg(10a)＋lga1，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2) lg x ＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)．61 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值范围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21，1) (D)．(1，＋∞) 5．已知x =31log 121＋31log 151，则x 的值属于区间( )．(A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lgba )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a= 4b= 6c，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )．(A)．20 (B)．19 (C)．21 (D)．22 10．若log 7[ log 3( log 2x)] = 0，则x 21为( )．(A)．321 (B)．331 (C)．21 (D)．42 11．若0＜a ＜1，函数y = log a [1－(21)x]在定义域上是( )． (A)．增函数且y ＞0 (B)．增函数且y ＜0 (C)．减函数且y ＞0 (D)．减函数且y ＜012．已知不等式log a (1－21+x )＞0的解集是(－∞，－2)，则a 的取值范围是( )． (A)．0＜a ＜21 (B)．21＜a ＜1 (C)．0＜a ＜1 (D)．a ＞1 二、填空题13．若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________． 14．已知a = log 7.00.8，b = log 1.10.9，c = 1.19.0，则a ，b ，c 的大小关系是_______________．15．log12-(3＋22) = ____________．16．设函数)(x f = 2x(x ≤0)的反函数为y =)(1x f -，则函数y =)12(1--x f 的定义域为________．三、解答题17．已知lgx = a ，lgy = b ，lgz = c ，且有a ＋b ＋c = 0，求xcb 11+·yac 11+·xba 11+的值．18．要使方程x 2＋px ＋q = 0的两根a 、b 满足lg(a ＋b) = lga ＋lgb ，试确定p 和q 应满足的关系． 19．设a ，b 为正数，且a 2－2ab －9b 2= 0，求lg(a 2＋ab －6b 2)－lg(a 2＋4ab ＋15b 2)的值． 20．已知log 2[ log 21( log 2x)] = log 3[ log 31( log 3y)] = log 5[ log 51( log 5z)] = 0，试比较x 、y 、z 的大小．21．已知a ＞1，)(x f = log a (a －a x)．⑴ 求)(x f 的定义域、值域； ⑵判断函数)(x f 的单调性，并证明； ⑶解不等式：)2(21--x f＞)(x f ．22．已知)(x f = log 21[ax2＋2(ab)x －bx2＋1]，其中a ＞0，b ＞0，求使)(x f ＜0的x 的取值范围．参考答案：一、选择题：1．(B)．2．(B)． 3．(D)．4．(C)．5．(D)．6．(C)．7．(B)．8．(A)． 9．(A)．10．(D)．11．(C)．12．(D)．提示：1．∵3a＋5b= A ，∴a = log 3A ，b = log 5A ，∴a 1＋b1= log A 3＋log A 5 = log A 15 = 2，∴A =15，故选(B)．2．10x= lg(10 a)＋lga 1= lg(10a ·a1) = lg10 = 1，所以 x = 0，故选(B)． 3．由lg x 1＋lg x 2=－(lg3＋lg2)，即lg x 1x 2= lg 61，所以x 1x 2=61，故选(D)．4．∵当a ≠1时，a 2＋1＞2a ，所以0＜a ＜1，又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，即a ＞21，综合得21＜a ＜1，所以选(C)． 5．x = log 3121＋log 3151= log 31(21×51) = log 31101= log 310，∵9＜10＜27，∴ 2＜log 310＜3，故选(D)．6．由已知lga ＋lgb = 2，lga ·lgb =21，又(lg ba )2= (lga －lgb)2= (lga ＋lgb)2－4lga ·lgb = 2，故选(C)．7．设3a= 4b= 6c= k ，则a = log 3k ，b= log 4k ，c = log 6k ，从而c 1= log k 6 = log k 3＋21log k 4 =a 1＋b 21，故c 2=a 2＋b1，所以选(B)． 8．由函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则函数u(x) = ax 2＋2x ＋1应取遍所有正实数，当a = 0时，u(x) = 2x ＋1在x ＞－21时能取遍所有正实数；当a ≠0时，必有⎩⎨⎧≥-=∆.44,0a ＞a ⇒0＜a ≤1．所以0≤a ≤1，故选(A)．9．∵lga = lg(27×811×510) = 7lg2＋11lg8＋10lg5 = 7 lg2＋11×3lg2＋10(lg10－lg2) = 30lg2＋10≈19.03，∴a = 1003.19，即a 有20位，也就是M = 20，故选(A)．10．由于log 3( log 2x) = 1，则log 2x = 3，所以x = 8，因此 x 21-= 821-=81=221=42，故选(D)． 11．根据u(x) = (21)x 为减函数，而(21)x ＞0，即1－(21)x ＜1，所以y = log a [1－(21)x]在定义域上是减函数且y ＞0，故选(C)． 12．由－∞＜x ＜－2知，1－21+x ＞1，所以a ＞1，故选(D)．二、填空题13．21a ＋23b 14．b ＜a ＜c ． 15．－2． 16．21＜x ≤1 提示： 13．lg 54=21lg(2×33) =21( lg2＋3lg3) =21a ＋23b ． 14．0＜a = log 7.00.8＜log 7.00.7 = 1，b = log 1.10.9＜0，c = 1.19.0＞1.10= 1，故b ＜a ＜c ．15．∵3＋22= (2＋1)2，而(2－1)(2＋1) = 1，即2＋1= (2－1)1-，∴log 12-(3＋22) =log 12-(2－1)2-=－2．16．)(1x f-= log 2x (0＜x ≤1＝，y =)12(1--x f 的定义域为0＜2x －1≤1，即21＜x ≤1为所求函数的定义域．三。

4.3对数(AB分层训练)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破

4.3 对数考点一对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.考点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1).(一) 求对数型函数的定义域问题例1．（1）、下列对数式中，与指数式79x =等价的是（）A ．7log 9x =B ．9log 7x =-C ．7log 9x =D ．log 97x =【答案】C【分析】根据指数式与对数式的关系直接判断即可.【详解】对于A ，7log 9x =等价于97x =，A 错误；对于B ，9log 7x =-等价于79x -=，B 错误；对于C ，7log 9x =等价于79x =，C 正确；对于D ，log 97x =等价于()790,1x x x =>≠，D 错误.故选：C.（2）．（2021·全国·高一专题练习）（多选）下列选项中错误的是（）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【分析】对于A ：由对数的定义即可判断；对于B ：用对数的定义即可判断；对于C ：由常用对数的定义即可判断；对于D ：由自然对数的定义即可判断.【详解】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log x a a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式训练1-1】、（2021·江西省吉水中学高一阶段练习）使式子()211log 2x x --有意义的x 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．1,22⎛⎫ ⎪C ．(),2-∞D ．()1,11,22⎛⎫ ⎪(二) 对数与指数互化例2．（1）、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（）A ．45625=与4log 6255=B ．2100.01-=与lg 0.012=-C ．41162-⎛⎫= ⎪⎝⎭与41log 162-=D ．1293=与91log 32=（2）、（多选题）（2021·全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是( )A ．0101=与lg 1＝0B ．1327-＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与129＝3D ．log 55＝1与51＝5【答案】ABD【分析】根据指数式与对数式互化的结论逐个分析可得答案.【详解】对于A ，0101=lg10⇔=，A 正确；对于B ，132711127log 333-=⇔=-，B 正确；对于C ，23log 9239=⇔=，C 不正确；对于D ，15log 5155=⇔=，D 正确.故选：ABD.(三) 解对数方程例3．（1）、（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）若2log 3x =-，则x =_______.【答案】18##0.125【变式训练3-2】、（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））方程()3ln log 0x =的解是（）A ．1B ．2C ．eD ．3【答案】D【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.【详解】∵()3ln log 0x =，∴03log e 1x ==，∴3x =.故选：D.例4．（2023·全国·高一假期作业）求下列各式中x 的值．(1)()()345log log 1log x =(2)()()345l 0log lo og g x =【答案】(1)645x =；(2)625.【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可；（2）利用对数式与指数式的关系化简即可.【详解】（1）由()()345log log 1log x =可得，()453log log x =，则354l 6g 4o x ==，所以645x =.（2）由()()345l 0log lo og g x =可得，()45log log 1x =，(四) 用对数型公式及换底公式化简求值例5．（1）、（2020·全国高一课时练习）log513＋log53等于（）A．0B．1C．－1D．log510 3【答案】A【解析】因为555511log log 3log 3log 1033⎛⎫+=⨯== ⎪⎝⎭.故选：A.【变式训练5-2】、（2021·上海市行知中学高三开学考试）已知实数,x y 满足：32272x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11x y +=________．(五) 与对数有关的条件求值问题例7、（2020·浙江高一课时练习）已知二次函数2()(lg )24lg f x a x x a =++的最小值为3，求()2log 5a +log 2log 50a a ⋅的值.【答案】1.【解析】∵2()(lg )24lg f x a x x a =++的最小值为3，∴lg 0a >，min 21111()lg 24lg 4lg 3lg (lg )lg lg f x f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=⨯+⨯-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24(lg )3lg 10a a --=，∴(4lg 1)(lg 1)0a a +-=，则lg 1a =，∴10a =.∴()222log 5log 2log 50(lg5)lg 2lg50(lg5)lg 2(lg51)lg5(lg5lg 2)lg 21a a a +⋅=+⋅=++=++=.例8、（2021·安顺市第三高级中学（文））（1）已知2lg(2)lg lg x y x y -=+，求x y 的值．（2）设1x 满足2ln 3x x +=，2x 满足ln(1)21x x --=求12x x +的值．【答案】（1）4x y =；（2）1.【分析】（1）利用对数运算化简已知条件，因式分解然后求得x y的值.（2）利用换元法化简已知条件，结合函数()2ln f x x x =+的单调性求得121x x =+.【详解】（1）由2lg(2)lg lg x y x y -=+得2lg(2)lg()x y xy -=，∴2(2)x y xy-=∴22540x xy y -+=，∴()(4)0x y x y --=，即1x y=或4．又0,0,20x y x y >>->， ∴1x y =舍去，故4x y=．（2）由题意得()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，()()22ln 1213x x -+-=，令21x t -=，则2ln 3t t +=．∵()2ln f x x x =+在(0,)+∞单调递增，∴1t x =，∴121x x =+．【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数型函数的单调性，属于中档题.(六) 对数的综合应用例11．（1）、（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为()12013%34.711+≈，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为()12013%0.026-≈，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：lg103 2.013≈，lg 97 1.987≈）（）A ．28B ．38C ．60D ．100【答案】B（2）、（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足0lg lg(1)lg n X n p X =++，其中0X 为DNA 的初始数量，p 为扩增效率.已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p 约为（）（参考数据：0.250.2510 1.778,100.562-≈≈）A ．22.2%B ．43.8%C ．56.2%D ．77.8%()2429a a ∴＝＝；故答案为：9.【变式训练11-2】．（2022·江西·高二开学考试）《中华人民共和国国家标准污水综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L ．某企业生产废水中的氨氮含量为450mg/L ，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少13，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数为（）（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A ．8B ．9C ．10D ．11。

高中数学对数函数经典练习题及答案(优秀4篇)

高中数学对数函数经典练习题及答案（优秀4篇）对数函数练习题篇一一、选择题1、下列函数(1)y= x (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、A 、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点，若则( )A.t0 C.t>1 D. t≤13、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的三角形最多有( )A. 5个B.6个C.7个D.8个4、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )A.11 D.m0的解集是( )A.x>3B.-2-29.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点，那么a:b等于( )A. B.C. D.以上答案都不对10、函数y=kx+b，那么当y>1时，x的取值范围是：( )A、x>0B、x>2C、x212、在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(-2，4),B(4，2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是( )A.5B.-5C.-2D.3二、填空题13、如果直线y = -2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____.14、平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4.则m的值是。

15、直线y=kx+2经过点(1,4),则这条直线关于x轴对称的直线解析式为：。

16、已知一条直线经过点A(0，2)、点B(1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 .17、点A的坐标为(-2，0)，点B在直线y=x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________。

18、已知三个一次函数y1=x,y2= x+1,y3=- x+5。

高一对数函数题型练习(全)

对数函数知识梳理一、对数函数的定义一般地，函数(，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．二、对数函数的图象与性质图象定义域值域性质过定点，即时，减函数增函数特别提醒：当且时，函数的与的图象关于轴对称．三、底数对对数函数图象的影响底数对对数函数图象的影响：当时，“底大图低”，当时，“底大图高”．设，，，的图象，则必有．题型训练题型一对数函数的定义1.函数是对数函数，则实数2.已知函数(，且)满足，则3.下列函数是对数函数的是（）A．B．（，且）C．D．（，且）4.已知对数函数过点，则的解析式为？5.函数为对数函数，则等于（）A．B．C．D．题型二图像问题1.图中曲线是对数函数的图象，已知值取，，，，则相应于，，，的值依次为（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，2.如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则，，，与的大小关系为？3.已知，且，函数，，在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4.函数，则使的集合是（）A．B．C．D．5.已知，且，则函数与的图象只能是（）A．B．C．D．6.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．题型三过定点1.函数（，且）的图象必经过点（）A．B．C．D．2.函数（，且）的图象恒过点？3.函数的图象必经过定点的坐标为（）A．B．C．D．4.已知函数恒过定点，则5.函数的图象恒过定点？6.函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则．题型四对数函数定义域和值域1.求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)；(4)．2.函数的值域为（）A．B．C．D．3.函数，的值域是？4.函数的定义域为？5.求下列函数的定义域．(1)．(2)；(3)；(4)（，且）．6.若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（）A．B．C．D．7.函数的定义域为（）A．B．C．D．8.若函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为，则？9.设函数（，）在上的最大值是，最小值是，且，则实数（）A．B．C．或D．或10.求下列函数的定义域、值域：(1)；(2)．题型五比大小1.比较大小：和，和．2.设，，，则（）A．B．C．D．3.比较下列各组中两个值的大小．(1)，；(2)，(，且)；(3)，；(4)，．4.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．5.设，，则（）A．B．C．D．6.设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．7.已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．题型六解不等式1.不等式的解集为（）A．B．C．D．2.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．或3.满足不等式的所有实数的取值范围是（）A．B．C．D．4.不等式的解集为（）A．B．C．D．题型七含参问题1.若（，且），则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.若，则取值范围是（）A．B．C．D．或3.设，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．4.在中，实数的取值范围是（）A．或B．或C．D．5.(1)已知，则的取值范围为；(2)已知，则的取值范围为；(3)当时，，则的取值范围是．题型八复合函数1.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．2.求函数的定义域、值域和单调区间．3.若函数，则函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．。

【高中数学专项突破】专题26对数函数（含答案）

【⾼中数学专项突破】专题26对数函数（含答案）【⾼中数学专项突破】专题26 对数函数题组1 对数函数的概念1.给出下列函数：①y ＝23log x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列函数，是对数函数的是( ) A.y=lg10x B.y=log 3x 2 C.y=lnxD.y=log 13（x –1）3.下列各函数中，表⽰同⼀函数的是（） A.与y=x+1B.y=x 与（a ＞0且a≠1）C.与y=x ﹣1D.y=lgx 与题组2 对数函数的定义域4.函数y =1g （1-x ）+22x x -++的定义域是（） A.[]2,1B.[)1,1- C.[]1,2-D.(]1,2 5.已知函数y =f （x +1）的定义域为[-2，6]，则函数y =f （3-4x ）的定义域是（） A.[]1,1-B.[]3,5-C.35 ,44??-D.13 ,226.函数y=的定义域是（）A.（1，2]B.（1，2）C.（2，+∞）D.（﹣∞，2） 7.函数y ＝＋lg （2－x ）的定义域是（）A.（1，2）B.[1，4]C.（1，2]D.[1，2）8.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x ＋1)是偶函数，(x －1)f′(x)<0.若x 12，则f(x 1)与f(x 2)的⼤⼩关系是（）A.f(x 1)B.f(x 1)＝f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.不确定9.已知全集U ＝R ，集合?U A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |x >2}，则A ∪B ＝( ) A.{x |x >2} B.{x |22} 10.函数f(x)264x -log 2(2sin x －1)的定义域是________.11.设函数f （x ）=-x +2，则满⾜f （x -1）+f （2x ）＞0的x 的取值范围是______.12.已知全集U =R ，集合A ={x |x ＜a }，B ═{x |-1＜x ＜2}，且A ∪?U B =R ，则实数a 的取值范围是______.题组3 对数函数的实际应⽤13.某种动物繁殖数量 y (只)与时间x (年)的关系为 y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )A.300只B.400只C.500只D.600只14.⼀个容器装有细沙3acm ，细沙从容器底下⼀个细微的⼩孔慢慢地均速漏出， min t 后剩余的细沙量为()3bt y ae cm -=，经过8min 后发现容器内还有⼀半的沙⼦，则再经过（）min ，容器中的沙⼦只有开始时的⼋分之⼀. A.8B.16C.24D.3215.我们处在⼀个有声世界⾥，不同场合，⼈们对声⾳的⾳量会有不同要求.⾳量⼤⼩的单位是分贝（dB ），对于⼀个强度为I 的声波，其⾳量的⼤⼩η可由如下公式计算：010lgII η=（其中0I 是⼈⽿能听到的声⾳的最低声波强度），则60dB 的声⾳强度1I 是50dB 的声⾳强度2I 的（） A.7610倍C.10倍D.7ln 6倍16.对于任意实数x ，符号[]x 表⽰x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最⼤整数，例如[]22=；[]2.12=；则[][][][]3333log 1log 2log 3log 27++++的值为（） A.42B.43C.44D.4517.已知某种药物在⾎液中以每⼩时20%的⽐例衰减，现给某病⼈静脉注射了该药物2500mg ，设经过x 个⼩时后，药物在病⼈⾎液中的量为ymg .()1y 与x 的关系式为______；()2当该药物在病⼈⾎液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；⽽低于500mg ，病⼈就有危险，要使病⼈没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______⼩时(精确到0.1).(参考数据：0.30.20.6≈， 2.30.80.6≈，7.20.80.2≈，9.90.80.1)≈18.2012年9⽉19⽇凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中⼼⽤“长征三号⼄”运载⽕箭，以“⼀箭双星”⽅式，成功将第14和第15颗北⽃导航卫星发射升空并送⼊预定转移轨道.标志着中国北⽃卫星导航系统快速组⽹技术已⽇臻成熟.若已知⽕箭的起飞重量M 是箭体(包括搭载的飞⾏器)的重量m 和燃料重量x 之和，在不考虑空⽓阻⼒的条件下，假设⽕箭的最⼤速度y 关于x 的函数关系式为：[ln()2)]5ln 2y k m x m =+-+ (其中k≠0).当燃料重量为(1)e m 吨(e 为⾃然对数的底数，2.72e ≈)时，该⽕箭的最⼤速度为5km ／s.(1)求⽕箭的最⼤速度y(千⽶／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式()y f x = .(2)已知该⽕箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该⽕箭的最⼤飞⾏速度达到10千⽶／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道?专题四不同函数增长的差异19.图中曲线是对数函数log ay x =的图象，已知a 取3，43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，3520.在天⽂学中，天体的明暗程度可以⽤星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满⾜212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的⽐值为( ) A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110-21.函数()1ln f x x x ??=-的图象⼤致是（） A. B.C. D.22.函数2ln 2()||x f x x x =的图象⼤致为（）A. B.C. D.23.⾼为H 、满缸⽔量为V 的鱼缸的轴截⾯如图所⽰，现底部有⼀个⼩洞，满缸⽔从洞中流出，若鱼缸⽔深为h 时⽔的体积为v ，则函数()v f h =的⼤致图像是（）A. B.C. D.25.已知()()1log 011axf x a a x+=>≠-，(1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围.26.（1）求满⾜不等式()20.50.52log 9log 90x x ++≤的x 的范围. （2）当x 在（1）中求得的范围内变化时，求函数22()log log 24x xf x =?的最⼤值和最⼩值. 专题26 对数函数题组1 对数函数的概念1.给出下列函数：①y ＝23log x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有⾃变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数. 故选A2.下列函数，是对数函数的是( ) A.y=lg10xB.y=log 3x 2C.y=lnxD.y=log 13（x –1）【答案】C【解析】由对数函数的定义，形如y=log a x （a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x =x ，y=23log x =23log x 、y=()13log 1x -都不是对数函数，只有y=lnx 是对数函数.故选C.3.下列各函数中，表⽰同⼀函数的是（） A.与y=x+1【解析】对于选项A ：函数的定义域不包含1，⽽⼀次函数y=x+1的定义域是R ，显然不是同⼀个函数.对于选项B ：因为=xlog a a=x ，且定义域都为R ，所以为同⼀个函数.对于选项C ：函数=|x|﹣1与⼀次函数y=x ﹣1的对应法则不同，故不是同⼀个函数.对于选项D ：函数y=lgx 的定义域为x ＞0，⽽函数y=lgx 2的定义域是x≠0，显然不是同⼀个函数. 故选B.题组2 对数函数的定义域4.函数y =1g （1-x ）22x x -++的定义域是（） A.[]2,1 B.[)1,1- C.[]1,2-D.(]1,2 【答案】B【解析】要使原函数有意义，则：210,20x x x ->??-++≥? 解得-1≤x ＜1；∴原函数的定义域是[-1，1）. 故选B.5.已知函数y =f （x +1）的定义域为[-2，6]，则函数y =f （3-4x ）的定义域是（） A.[]1,1- B.[]3,5-C.35 ,44??-D.13 ,22-【答案】A【解析】∵函数y=f（x+1）的定义域为[-2，6]，即-2≤x≤6，得-1≤x+1≤7，∴f（x）的定义域为[-1，7]，由-1≤3-4x≤7，可得-1≤x≤1.∴函数y=f（3-4x）的定义域是[-1，1].故选：A.D.（﹣∞，2）【答案】B【解析】∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1根据，得出x≤2，⼜在分母上不等于0，即x≠2∴函数y=的定义域是（1，2）故选B.7.函数y＝＋lg（2－x）的定义域是（）A.（1，2）B.[1，4]C.（1，2]D.[1，2）【答案】D【解析】由得，由得，两部分取交集为.8.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(x)<0.若x12，则f(x1)与f(x2)的⼤⼩关系是（）A.f(x1)B.f(x1)＝f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.不确定【答案】C【解析】由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数递减.当x<1时，f′(x)>0，函数递增；因为函数f(x ＋1)是偶函数，所以f(x ＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数的对称轴为x＝1.所以若1f(x2).若x1<1，则x2>2－x1>1，此时由f(x2)f(x2)9.已知全集U＝R，集合?U A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝( )A.{x|x>2}B.{x|2C.RD.{x|x<0或x>2}【答案】D【解析】∵?U A ＝{x |0≤x ≤4}，∴A ＝{x |x <0，或x >4}.∴A ∪B ＝{x |x <0，或x >4}∪{x >2} ＝{x |x <0，或x >2}.选D10.函数f(x)--?? ? ? ???????【解析】由题意，得2640210x sinx ?-≥?->?，①，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得6π＋2k ππ＋2k π(k ∈Z). 所以不等式组的解集为117513,,,866666πππππ--?? ? ?11.设函数f （x ）=-x +2，则满⾜f （x -1）+f （2x ）＞0的x 的取值范围是______. 【答案】5,3?-∞【解析】根据题意，函数()2f x x =-+，则(1)(2)[(1)2][(2)2]35f x f x x x x -+=--++-+=-+，若(1)(2)0f x f x -+>，即350x -+>，解可得：53x <，即x 的取值范围为5(,)3-∞；故答案为：5(,)3-∞.12.已知全集U =R ，集合A ={x |x ＜a }，B ═{x |-1＜x ＜2}，且A ∪?U B =R ，则实数a 的取值范围是______. 【答案】a ≥2【解析】∵全集U=R ，B={x|-1＜x ＜2}，∴?U B={x|x≤-1或x≥2}，∵A={x|x ＜a}，A ∪（?U B ）=R ，∴a≥2，则a 的取值范围为a≥2. 故答案为：a≥2题组3 对数函数的实际应⽤13.某种动物繁殖数量 y (只)与时间x (年)的关系为 y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )A.300只B.400只C.500只D.600只【答案】A【解析】由题意，繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y=alog 2（x+1），这种动物第1年有100只∴100=alog2（1+1），∴a=100，∴y=100log 2（x+1），∴当x=7时，y=100 log 2（7+1）=100×3=300. 故选A.14.⼀个容器装有细沙3acm ，细沙从容器底下⼀个细微的⼩孔慢慢地均速漏出， min t 后剩余的细沙量为3bt y ae cm -=，经过8min 后发现容器内还有⼀半的沙⼦，则再经过（）min ，容器中的沙⼦只有开始时的⼋分之⼀. A.8 B.16C.24D.32【答案】B 【解析】依题意有8bae-= 12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln228t b b y ae--==-∴=∴= 当容器中只有开始时的⼋分之⼀，则有ln2ln2881188t t aea e --=∴= 两边取对数得ln21ln 3ln22488t t -==-∴=，所以再经过的时间为24-8=16min .故选B. 15.我们处在⼀个有声世界⾥，不同场合，⼈们对声⾳的⾳量会有不同要求.⾳量⼤⼩的单位是分贝（dB ），对于⼀个强度为I 的声波，其⾳量的⼤⼩η可由如下公式计算：010lgII η=（其中0I 是⼈⽿能听到的声⾳的最低声波强度），则60dB 的声⾳强度1I 是50dB 的声⾳强度2I 的（）A.76倍 B.7610倍C.10倍D.7ln 6倍【答案】C【解析】解：由题意，令106010I lgI =，解得，61010I I =?，令2210I I = 故选：C.16.对于任意实数x ，符号[]x 表⽰x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最⼤整数，例如[]22=；[]2.12=；则[][][][]3333log 1log 2log 3log 27++++的值为（） A.42 B.43 C.44 D.45【答案】D【解析】由题意可知：3[log 1]0=，3[log 3]1=，3[log 27]3=[]33333[log 1][log 2][log 3][log 26log 27]+++?++00111111222223=++++++++++++?+++，(6个1，18个2) 62183=+?+45=.故选：D .17.已知某种药物在⾎液中以每⼩时20%的⽐例衰减，现给某病⼈静脉注射了该药物2500mg ，设经过x 个⼩时后，药物在病⼈⾎液中的量为ymg .()1y 与x 的关系式为______；()2当该药物在病⼈⾎液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；⽽低于500mg ，病⼈就有危险，要使病⼈没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______⼩时(精确到0.1).(参考数据：0.30.20.6≈， 2.30.80.6≈，7.20.80.2≈，9.90.80.1)≈【答案】25000.8xy =? 7.2【解析】()1由题意知，该种药物在⾎液中以每⼩时20%的⽐例衰减，给某病⼈注射了该药物2500mg ，经过x 个⼩时后，药物在病⼈⾎液中的量为()2500(120%)25000.8x xy mg =?-=?，即y 与x 的关系式为25000.8xy =?；()2当该药物在病⼈⾎液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；⽽低于500mg ，病⼈就有危险，令25000.8500x ?≥，0.80.2x ∴≥，7.20.80.2≈，0.8xy =是单调减函数，7.2x ∴≤，所以要使病⼈没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2⼩时. 故答案为()125000.8xy =?，()27.2.18.2012年9⽉19⽇凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中⼼⽤“长征三号⼄”运载⽕箭，以“⼀箭双星”⽅式，成功将第14和第15颗北⽃导航卫星发射升空并送⼊预定转移轨道.标志着中国北⽃卫星导航系统快速组⽹技术已⽇臻成熟.若已知⽕箭的起飞重量M 是箭体(包括搭载的飞⾏器)的重量m 和燃料重量x 之和，在不考虑空⽓阻⼒的条件下，假设⽕箭的最⼤速度y 关于x 的函数关系当燃料重量为1)m 吨(e 为⾃然对数的底数，2.72e ≈)时，该⽕箭的最⼤速度为5km ／s.(1)求⽕箭的最⼤速度y(千⽶／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式()y f x = .(2)已知该⽕箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该⽕箭的最⼤飞⾏速度达到10千⽶／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道? 【答案】(1) 10ln()m x y m+= (2) 应装载516吨【解析】(1)依题意，把)1,5x m y ==代⼊函数关系())ln ln5ln2y k m x ??=+-+?，解得k=10，所以所求的函数关系式为())10ln ln5ln2y m x ??=+-+=?10ln m x m +?? ???(2)设应装载x 吨燃料⽅能满⾜题意，此时816,10m x y =-=，代⼊函数关系式10ln m x y m +??= ?，得816ln1816x =-，解得516x =吨，故应装载516吨燃料⽅能顺利地把飞船发送到预定的轨道.专题四不同函数增长的差异19.图中曲线是对数函数log a y x=的图象，已知a取3，43，35，110四个值，则相应于1C，2C，3C，4C的a值依次为()343，35，110343，35C.433，35，110D.433110，35【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数log a y x=的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C，2C，3C，4C的a值从⼩到⼤依次为：C，2C，1C，由a343，35，110四个值，故1C，2C，3C，4C的a3，43，35，110，故选：A.20.在天⽂学中，天体的明暗程度可以⽤星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满⾜212152–lgEm mE=，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的⽐值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110-【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满⾜12125lg2Em mE-=,令211.45,26.7m m=-=-,()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E Em mE E=?-=-+==.故选A.21.函数()1ln f x x x ??=-的图象⼤致是（） A. B.C. D.【答案】B【解析】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数⽆意义，可排除D ；⼜∵当1x >时，函数1 y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ?=-单调递增，可排除C ；故选B.22.函数2ln 2()||x f x x x =的图象⼤致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，⼜()()()2222ln ()||ln x x x f x f x x x x---===---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ；⼜因为11()2ln 024f =<，故排除D. 故选：B23.⾼为H 、满缸⽔量为V 的鱼缸的轴截⾯如图所⽰，现底部有⼀个⼩洞，满缸⽔从洞中流出，若鱼缸⽔深为h 时⽔的体积为v ，则函数()v f h =的⼤致图像是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意知，函数的⾃变量为⽔深h ，函数值为鱼缸中⽔的体积，所以当0h =时，体积0v =，所以函数图像过原点，故排除A 、C ；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着⽔深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.24.下列散点图中，估计有可能⽤函数lg (0)y a b x b =+>来模拟的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于函数lg y x =在定义域内单调递增，且是上凸的，⼜0b >，所以当0x >时，lg (0)y a b x b =+>的图象是单调递增且上凸的. 故选：C.25.已知()()1log 011axf x a a x+=>≠-， (1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围.【答案】（1）()1,1-；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】(1)由>0 ，解得x ∈(－1,1).(2)f(－x)＝log a＝－f(x)，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f(x)是奇函数.(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－126.（1）求满⾜不等式()20.50.52log 9log 90x x ++≤的x 的范围. （2）当x 在（1）中求得的范围内变化时，求函数22()log log 24x xf x =?的最⼤值和最⼩值. 【答案】（1）228x ≤≤；（2）max ()2f x =.min1()4f x =-.【解析】（1）令0.5log t x =，则原不等式可化为22990t t ++≤，由⼆次函数图象解得332 t -≤≤-，即0.533log 2x -≤≤-.⼜30.53log 0.5--=，320.53log 0.52--=，∴3320.50.5x --≤≤，即8x ≤≤.（2）将()f x 变形为关于2log x 的形式：()()22222()log 1log 2log 3log 2f x x x x x =-?-=-+2231log 24x ?=--.由（1）知23log 32x ≤≤.∴当23log 2x =，即x =min 1()4f x =-；当2log 3x =，即8x =时，max ()2f x =.。

高一数学对数函数练习题

高一数学对数函数练习题高一数学对数函数练习题在高中数学中，对数函数是一个非常重要的概念。

它在各个领域都有广泛的应用，尤其是在科学和工程领域。

对数函数的特点是可以将复杂的指数运算转化为简单的加减运算，从而简化计算过程。

为了帮助同学们更好地理解和掌握对数函数，下面将给出一些高一数学对数函数练习题。

练习题一：已知log2(x) = 3，求x的值。

解析：根据对数函数的定义，log2(x) = 3 可以转化为2^3 = x，即x = 8。

练习题二：已知log3(a) = 2，求a的值。

解析：根据对数函数的定义，log3(a) = 2 可以转化为3^2 = a，即a = 9。

练习题三：已知log5(b) = -2，求b的值。

解析：根据对数函数的定义，log5(b) = -2 可以转化为5^(-2) = b，即b = 1/25。

练习题四：已知log4(c) = 1/2，求c的值。

解析：根据对数函数的定义，log4(c) = 1/2 可以转化为4^(1/2) = c，即c = 2。

练习题五：已知loga(1/8) = -3/2，求a的值。

解析：根据对数函数的定义，loga(1/8) = -3/2 可以转化为a^(-3/2) = 1/8，即a = (1/8)^(-2/3) = 2。

练习题六：已知logb(27) = 1/3，求b的值。

解析：根据对数函数的定义，logb(27) = 1/3 可以转化为b^(1/3) = 27，即b = 27^3 = 19683。

练习题七：已知log2(x) + log2(x + 8) = 4，求x的值。

解析：根据对数函数的性质，log2(x) + log2(x + 8) = log2(x(x + 8))。

所以，log2(x(x + 8)) = 4 可以转化为2^4 = x(x + 8)，即16 = x^2 + 8x。

整理得到x^2 + 8x - 16 = 0，解这个二次方程可以得到x的值。

专题09 对数与对数函数(重难点突破)原卷版附答案.pdf

ab 2b
2
.
11
（2）. 求下列函数的定义域： 1
(1)f(x)＝lg(x－2)＋x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．【解析】 (1)要使函数有意义,需满足Error!解得 x>2 且 x≠3, 所以函数定义域为(2,3)∪(3,＋∞)． (2)要使函数有意义,需满足Error!解得－1<x<0 或 0<x<4, 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
底数,N 叫做真数.
重难点二对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0,且 a≠1). (2)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；
M ②loga N ＝logaM－logaN；
B． y ln(2 x) C． y ln(1 x)
D．
3
y ln(2 x)
（3）．函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是( )
A．a>1,b<0
B．a>1,b>0
C．0<a<1,b>0
D．0<a<1,b<0
（4）．当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象为( )
例 2 求下列函数的定义域：
1
1
(1)f(x)＝
；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
1
2－x
log x＋1
2
1
1
【解析】(1)要使函数 f(x)有意义,则 log x＋1>0,即 log x>－1,解得 0<x<2,即函数 f(x)的定义

对数函数练习题(有答案)

对数函数【1】练习题(有答案)1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( )A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫23，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－x }，且 x ∈A ，则有( )A ．1＞x 2＞xB ．x 2＞x ＞1C ．x 2＞1＞xD ．x ＞1＞x 23．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( )A ．1＜a ＜bB ．1 ＜b ＜aC ．0 ＜a ＜b ＜1D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( )7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]8．若函数f(x)＝log12()x3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________．10．不等式⎝⎛⎭⎫1310－3x＜3－2x 的解集是_________________________． 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x－x 的图象．(2)函数，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为．13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________．14．当0＜x ＜1时，函数y ＝log (a2－3)x 的图象在x 轴的上方，则a 的取值范围为________． 15．已知 0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a logb(x －3)＜1，则 x 的取值范围为． 16．已知 a ＞1，求函数 f (x )＝log a (1－a x )的定义域和值域．17．已知 0＜a ＜1，b ＞1，ab ＞1，比较log a 1b ，log a b ，log b 1b的大小．18．已知f (x )＝log a x 在[2，+ ∞ )上恒有|f (x )|＞1，求实数a 的取值范围．19．设在离海平面高度h m 处的大气压强是x mm 水银柱高，h 与x 之间的函数关系式为：h ＝k ln x c，其中c 、k 都是常量．已知某地某天在海平面及1000 m 高空的大气压强分别是760 mm 水银柱高和675 mm 水银柱高，求大气压强是720 mm 水银柱高处的高度．20．已知关于x 的方程log 2(x +3)－log 4x 2＝a 的解在区间(3，4)内，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C2．B3．A4．D 5．A 6．B 7．D 8．A9．(3,4) 10．{x |_x ＜2} 11．右，2；(－∞，1)， 12．25613．2π14．a ∈(－2，－3)∪(3，2) 15．(3，4) 16．解 ∵ a ＞1，1－a x ＞0，∴ a x ＜1，∴ x ＜0，即函数的定义域为(－∞ ，0)．∵ a x ＞0且a x ＜1，∴ 0＜1－a x ＜1 ∴log a (1－a x )＜0，即函数的值域是(－∞ ，0)．17．解 ∵ 0＜a ＜1，b ＞1，∴ log a b ＜0，log b 1b ＝－1，log a 1b ＞0，又ab ＞1，∴ b ＞1a ＞1，log a b ＜log a 1a＝－1，∴ log a b ＜log b51b ＜log a 1b． 18．解由|f (x )|＞1，得log a x ＞1或log a x ＜－1．由log a x ＞1，x ∈[2，+∞ )得 a ＞1，(log a x )最小＝log a 2，∴ log a 2＞1，∴ a ＜2，∴ 1＜a ＜2；由log a x ＜－1，x ∈[2，+ ∞ )得 0＜a ＜1，(log a x )最大＝log a 2，∴ log a 2＜－1，∴ a ＞12， ∴12＜a ＜1．综上所述，a 的取值范围为(12，1 )∪(1，2)． 19．解 ∵ h ＝k ln x c，当 x ＝760，h ＝0，∴ c ＝760．当x ＝675时，h ＝1 000，∴ 1 000＝k ln 675760＝k ln0.8907 ∴ k ＝1000ln0.8907＝1000lge lg0.8907当x ＝720时，h ＝1000lge lg0.8907ln 720760＝1000lge lg0.8907·ln0.9473＝1000lge lg0.8907·lg0.9473lge≈456 m ． ∴ 大气压强为720 mm 水银柱高处的高度为456 m ．20．本质上是求函数g (x )＝log 2(x +3)－log 4x 2x ∈(3，4)的值域．∵g (x )＝log 2(x +3)－log 4x 2＝log 2(x +3)－log 2x ＝log 2＝log 2∈∴a ∈．。

对数函数拓展提升(附答案详解)

对数函数拓展提升1. 函数f(x)=√1−log 2(x +2)的定义域为 ( )A. [−2,0]B. (−2,0)C. (−2,0]D. (0,+∞)2. 已知p ：log 2(x −1)<1，q ：(x −2)2<1，则p 是q 的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若函数f(x)=2log 3√x 在区间[2,2a]上的最大值比最小值大12，则实数a = ( )A. √3B. 2C. 2√2D. 44. 若2x >2x >log 2x ，则x 的取值范围为 ( )A. (3,4)B. (4,+∞)C. (0,2)D. (1,2)5. 函数f(x)={lnx1+x ,x >0ln(−x)1−x,x <0的图象大致是 ( )A.B.C.D.6. 设a ，b ，c 均为正数，且2a=log 13a ，(13)b =log 12b ，(12)c =log 3c ，则 ( ) A. b <a <c B. c 0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ( )A. (0,1)B. [13,1)C. (0,13]D. (13,1)8. 若不等式log a (ax 2−2x +1)>0(a >0，且a ≠1)在x ∈[1,2]上恒成立，则a 的取值范围是 ( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (0,1)∪(2,+∞)D. (0,12)9. 关于函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)，下列说法正确的是 ( )A. 定义域为(−1,4)B. 最大值为2C. 最小值为−2D. 单调递增区间为(32,4)10. 已知函数f(x)=log a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点(9,2)，则下列说法正确的是 ( )A. a =2B. 函数f(x)为增函数C. 若x >3，则f(x)>1D. 若0<x 1<x 2，则f(x 1)+f(x 2)2>f(x 1+x 22)11. 设函数f(x)的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃y ∈D 使得f(y)=−f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”.下列函数中是“美丽函数”的有 ( )A. y =x 3B. y =2x +1C. y =ln(2x +3)D. y =2x −512. 已知实数a ，b 满足log 3a −log 3b <(13)a −(13)b ，则下列结论正确的是 ( )A. a <bB. 1a <1bC. 2a−b <1D. ln(b −a)>013. 若函数y =f(x)与y =10x 互为反函数，则y =f(x 2−2x)的单调递增区间是． 14. 函数f(x)=(3m −1)log 2x −3m(m ∈R )的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为，若点A 在函数g(x)=x −ax −5的图象上，则g(x)在(0,+∞)上的最小值为． 15. 已知f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，若f(lgx)>f(1)，则x 的取值范围是．16. 已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m <n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2，则m n = ．17. 已知集合A ={x|log 5(ax +1)<1,a >0}，B ={x|2x 2−3x −2<0}．(1)求集合A ，B ；(2)已知p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的________条件，求实数a 的取值范围．请在①必要不充分，②充分不必要，③充要这三个条件中选择一个填在横线上(若多选，按第一个给分)，补全第(2)题，并根据所选条件解答该题．18.已知函数f(x)=log13(x2−2mx+5)．(1)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；(2)若f(x)在(−∞,2]内单调递增，求实数m的取值范围．19.已知函数y=12⋅log2x4⋅log2x2(2≤x≤8)．(1)令t=log2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；(2)求函数的值域，并求y取得最小值时x的值．20.已知函数f(x)为增函数，当x，y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)是否存在m，使f(2(log2x)2−4)+f(4m−2log2x)>0对于任意x∈[1,2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=log2x−1的定义域为[1,16]，函数g(x)=[f(x)]2+af(x2)+2，a∈R．(1)求函数g(x)的定义域；(2)求函数g(x)的最小值M(a)的表达式．22.对于定义在区间[m,n]上的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意的x∈[m,n]，均有|f(x)−g(x)|≤1成立，则称函数f(x)与g(x)在[m,n]上是“友好”的，否则称为(a>0,a≠1)．“不友好”的．已知函数f(x)=log a(x−3a)，g(x)=log a1x−a(1)若f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上都有意义，求a的取值范围；(2)讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是否“友好”．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查求函数的定义域，属于基础题，较易．根据{1−log 2(x +2)≥0x +2>0可以得出答案，【解答】解：由题意可得{1−log 2(x +2)≥0x +2>0，解得−2<x ≤ 0，所以函数f(x)的定义域为(−2,0]，故选C ．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．化简即p ，q ，结合充分条件和必要条件的判断方法即可得出答案．【解答】解：由题意得p:1<x <3，q:1<x <3，所以p 是q 的充要条件，故选C ．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性的应用，对数方程的求法，直接利用对数函数的单调性，通过最值的差，求出a 的值即可．log3x=log3x，且在区间[2,2a]上单调递增，解：因为f(x)=2log3√x=2×12，解得a=√3.故选A．所以f(2a)−f(2)=log3(2a)−log32=log3a=124.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数、对数函数的图象和性质及不等式，函数的图象的应用．在同一坐标系中作出函数y=2x，y=2x，y=log2x的图象，然后进行求解即可得．【解答】解：在同一坐标系中作出函数y=2x，y=2x，y=log2x的图象，如图所示．数形结合可知当1<x<2时，2x>2x>log2x，故x的取值范围为1<x<2．故选D．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及函数值的对应性，结合排除法是解决本题的关键．先根据函数的的定义域，结合函数奇偶性的对称性以及函数值的对应性进行排除即可．解：当x >0时，−x <0，f(−x)=lnx1+x =f(x);同理，当x <0时，f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，排除选项B ，D ．又当x ∈(0,1)时，lnx <0，1+x >0，所以f(x)<0，排除选项A .故选C ．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用对数函数与指数函数的性质比较大小．根据指数函数与对数函数的性质得出a ，b ，c 的取值范围即可得出答案．【解答】解：因为a >0，所以2a=log 13a >1，可得0<a <13; 因为b >0，所以0<(13)b=log 12b <1，可得120，所以(12)c =log 3c >0，可得c >1．所以a 0且a ≠1)是R 上的减函数， ∴{3a ≥log a (0+1)0<a <1，∴0<a <1，故选A ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式恒成立问题的解法，对数函数的性质，考查分类讨论思想．当a>1时，将不等式log a(ax2−2x+1)>0在x∈[1,2]上恒成立转化为ax2−2x+1> 1在x∈[1,2]上恒成立，即可求解；当0<a<1时，将不等式log a(ax2−2x+1)>0在x∈[1,2]上恒成立转化为0<ax2−2x+1<1在x∈[1,2]上恒成立，利用二次函数在闭区间上的最值求法讨论求解即可．【解答】解：当a>1时，由不等式log a(ax2−2x+1)>0在x∈[1,2]上恒成立，得ax2−2x+1>1在x∈[1,2]上恒成立，可得a>2．当0<a<1时，由不等式log a(ax2−2x+1)>0在x∈[1,2]上恒成立，得0<ax2−2x+1<1在x∈[1,2]上恒成立，令f(x)=ax2−2x+1，当0<a<12时，f(x)图象的对称轴方程为x=22a=1a∈(2,+∞)，f(x)在[1,2]上单调递减，所以0<f(2)<f(1)<1，即0<4a−3<a−1<1，无解;当12≤a<1时，1a∈(1,2]，f(x)在[1,2]上的最小值为f(1a)=1−1a，所以1−1a>0，解得a>1，矛盾．综上，a的取值范围是(2,+∞).故选B．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查函数性质的研究，属于中档题．对各选项逐一判定正误，即可得到答案．【解答】解：令−x 2+3x +4>0，得−1<x <4，即函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的定义域为(−1,4)，故A 正确;∵−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，∴−x 2+3x +4∈(0,254]，∴y =log 0.4(−x 2+3x +4)∈[−2,+∞)，故B 错误，C 正确;令t =−x 2+3x +4，则其在(−1,32)上单调递增，在(32,4)上单调递减，又y =log 0.4t 在(0,+∞)上单调递减，由复合函数的单调性得y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调递增区间为(32,4)，故D 正确．故选ACD ．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，基本不等式，属于中档题．把点(9,2)代入函数解析式f(x)=log a x ，即可解得a 的值，从而确定A 错误．B 正确．当x >3时，f(x)=log 3x >log 33=1，故C 正确．由对数的运算性质得f(x 1)+f(x 2)2−f(x 1+x 22)=log 32√x 1x 2x 1+x 2，在结合基本不等式得2√x 1x 2<x 1+x 2，log 32√x 1x 2x 1+x 2<0，推出f(x 1)+f(x 2)2<f(x 1+x 22)，故D 错误．【解答】解：由题意知，log a 9=2，解得a =3，所以f(x)=log 3x ，所以函数f(x)为增函数，故A 错误，B 正确;当x >3时，f(x)=log 3x >log 33=1，所以f(x)>1，故C 正确; 因为f(x 1)+f(x 2)2=log 3x 1+log 3x 22=log 3√x 1x 2，f(x 1+x 22)=log 3x 1+x 22，所以f(x 1)+f(x 2)2−f(x 1+x 22)=log 3√x 1x 2−log 3x 1+x 22=log 32√x 1x 2x 1+x 2，又0<x 1<x 2，所以2√x 1x 2<x 1+x 2，所以0<2√x 1x 2x 1+x 2<1，所以log 32√x 1x 2x 1+x 2<0，即f(x 1)+f(x 2)2 <f(x 1+x 22)，故D 错误．故选BC ．11.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，分析可得“美丽函数”的值域关于原点对称，据此分析选项可得答案．本题考查函数的值域，关键是分析“美丽函数”的值域上的性质【解答】解：由题意知，函数f(x)的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D 使得f(y)=−f(x)成立，所以函数f(x)的值域关于原点对称．对于A ，函数y =x 3的值域为R ，关于原点对称，故A 正确;对于B ，函数y =2x +1的值域为(1,+∞)，不关于原点对称，故B 不正确;对于C ，函数y =ln(2x +3)的值域为R ，关于原点对称，故C 正确;对于D ，函数y =2x −5的值域为R ，关于原点对称，故 D 正确．故选ACD ．12.【答案】AC【解析】【分析】构造函数f(x)=log 3x −(13)x ，判断其在(0,+∞)上单调递增，可得0<a 0，b >0，由log 3a −log 3b <(13)a −(13)b 变形得log 3a −(13)a <log 3b −(13)b ，令函数f(x)=log 3x −(13)x ，因为y =log 3x ，y =−(13)x 都在(0,+∞)上单调递增，所以函数f(x)=log 3x −(13)x 在(0,+∞)上单调递增，所以由log 3a −(13)a <log 3b −(13)b ，即f(a)<f(b)，可得0<a 1b ，故A正确，B错误;因为a−b<0，函数y=2x在(−∞,+∞)上单调递增，所以2a−b<20=1，故C正确; b−a>0，ln(b−a)的符号可正可负，故D错误．故选AC．13.【答案】(2,+∞)【解析】【分析】先求出函数f(x)的解析式，确定内外函数的单调性，即可求得函数f(x2+2x)的单调递增区间．本题考查函数图象的对称性，考查复合函数的单调性，确定内外函数的单调性是关键．【解答】解：由题意知，f(x)=log10x=lgx在(0,+∞)上单调递增，设g(x)=x2−2x，令x2−2x>0，解得x<0或x>2，由二次函数的性质知，g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，则y=f(x2−2x)的单调递增区间是(2,+∞).14.【答案】(2,−1)−1【解析】【分析】本题考查了对数函数的图象与性质，函数的最值，属于中档题．根据对数函数的性质求出A的坐标，继而求出a的值，确定g(x)的最小值．【解答】解：f(x)=(3m−1)log2x−3m=(3log2x−3)m−log2x，令3log2x−3=0，解得x= 2，代入f(x)的表达式可得f(2)=−1，所以函数f(x)的图象恒过定点A(2,−1)．−5的图象上，得a=−4，由点A在函数g(x)=x−ax−5≥2√4−5=−1，当且仅当x=2时，等号成立，所以g(x)=x+4x故g(x)在(0,+∞)上的最小值为−1．,10)15.【答案】(110【解析】【分析】本题考查偶函数的定义，函数单调性，属于中档题．方法一:对x的取值进行分类讨论，然后再进行求解即可得；方法二：由f(x)是偶函数，f(lgx)>f(1)，可得f(|lgx|)>f(1)，又由f(x)在[0,+∞)上单调递减，建立不等式求解即可．【解答】解：方法一：当x≥1时，lgx≥0，因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，所以由f(lgx)> f(1)，得0≤lgx<1，得1≤x<10;当0<x<1时，lgx<0，因为函数f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递减，由f(lgx)> f(1)，得f(−lgx)>f(1)，<x<1．所以0<−lgx<1，得110<x<10．综上，可知110方法二：因为f(x)是偶函数，f(lgx)>f(1)，所以f(|lgx|)>f(1)，又f(x)在[0,+∞)上单调递减，所以|lgx|<1，即−1<lgx<1，<x<10．所以11016.【答案】14【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质．根据f(x)的单调性得出m ，n 的关系和范围，求出f(x)的最大值为f(m 2)=2，从而可求出m ，n 的值．【解答】解：根据函数f(x)=|log 2x|的图象，得0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1．结合函数图象，易知当x =m 2时f(x)在[m 2,n]上取得最大值，所以f(m 2)=|log 2m 2|=2，又0<m <1，所以m =12，再结合f(m)=f(n)，可得n =2，所以m n =14．17.【答案】解：(1)log 5(ax +1)<1⇔0<ax +1<5且a >0，解得−1a <x <4a ，即A ={x|−1a <x <4a ,a >0}，2x 2−3x −2<0⇔(x −2)(2x +1)<0，解得−12<x <2，即B ={x|−12<x <2}．(2)若选①：因为p 是q 的必要不充分条件，则B ⫋A ，故{−1a ≤−124a ≥2a >0(等号不能同时取到)，解得0<a <2，即实数a 的取值范围是(0,2);若选②：因为p 是q 的充分不必要条件，则A ⫋B ，故{−1a ≥−124a ≤2a >0(等号不能同时取到)，解得a >2，即实数a 的取值范围是(2,+∞);若选③：因为p 是q 的充要条件，则A =B ，故{−1a =−124a =2a >0，解得a =2，即实数a 的取值范围是{a|a =2}．【解析】(1)利用对数不等式的解法求出集合A ，利用一元二次不等式的解法求出集合B ；(2)若选①：将p 是q 的必要不充分条件转化为B ⫋A ，利用真子集的定义列出不等式组，求解即可得到a 的取值范围；若选②：将p 是q 的充分不必要条件转化为A ⫋B ，利用真子集的定义列出不等式组，求解即可得到a 的取值范围；若选③：将p 是q 的充要条件转化为A =B ，利用集合相等的定义列出方程组，求解即可得到a 的值．本题考查了对数不等式以及一元二次不等式的解法，主要考查了充分条件与必要条件的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)由f(x)的值域为R ，可得u =x 2−2mx +5能取(0,+∞)内的一切值，故函数u =x 2−2mx +5的图象与x 轴有公共点，所以4m 2−20≥0，解得m ≤−√5或m ≥√5．故实数m 的取值范围为(−∞,−√5]∪[√5,+∞).(2)因为f(x)在(−∞,2]内单调递增，所以u =x 2−2mx +5在(−∞,2]内单调递减且恒正，所以{m ≥29−4m >0，解得2≤m <94．故实数m 的取值范围为[2,94).【解析】本题考查对数函数及其性质，函数的值域，函数的单调性，属于中档题．(1)由题意得函数u =x 2−2mx +5的图象与x 轴有公共点，进而即可得结果；(2)根据函数的单调性并结合二次函数的性质求解即可．19.【答案】解：(1)y =12⋅log 2x 4⋅log 2x 2=12(log 2x −log 24)(log 2x −log 22)=12(log 2x −2)(log 2x −1)．∵t =log 2x ，∴y =12(t −2)(t −1)，即y =12t 2−32t +1，又2≤x ≤8，∴1≤log 2x ≤3，即1≤t ≤3，∴t 的取值范围为[1,3]．(2)由(1)知，y =12t 2−32t +1=12(t −32)2−18，1≤t ≤3，当t =32时，y min =−18，当t =3时，y max =1．∴函数的值域为[−18,1]．当y min =−18时，t =32，即log 2x =32，∴x =2√2．【解析】(1)换元法直接代入求出；(2)配方，利用二次函数的特点求出最大值和最小值考查了换底公式，换元法、配方法，二次函数闭区间求最值等，中档题．20.【答案】解：(1)令x =0，y =0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0，令y =−x ，则f(0)=f(x)+f(−x)，∴f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数．(2)∵函数f(x)为奇函数，∴不等式f(2(log 2x)2−4)+f(4m −2log 2x)>0可化为f(2(log 2x)2−4)>f(2log 2x −4m)，又∵f(x)为增函数，∴2(log 2x)2−4>2log 2x −4m ．令t =log 2x ，当x ∈[1,2]时，0≤t ≤1，问题转化为2t 2−4>2t −4m 在t ∈[0,1]上恒成立，即4m >−2t 2+2t +4对任意t ∈[0,1]恒成立．令y =−2t 2+2t +4(0≤t ≤1)，只需4m >y max ，而y =−2t 2+2t +4=−2(t −12)2+92，∴当t =12时，y max =92，则4m >92，解得m >98，∴m 的取值范围是(98,+∞).【解析】本题以对数函数与复合函数为背景，考查对数函数与二次函数的图象和性质、不等式恒成立等问题，意在考查逻辑推理、直观想象和数学运算素养．破解此题的关键是会转化，即会把恒成立问题转化为最值问题或转化为图象的具体位置．(1)通过赋值法，令x =0，y =0，得f(0)=0，令y =−x ，得f(−x)=−f(x)，即可证明；(2)借助函数的奇偶性转化不等式为f(2(log 2x)2−4)>f(2log 2x −4m)，再借助单调性转化为解2(log 2x)2−4>2log 2x −4m ，换元令t =log 2x ，问题转化为2t 2−4>2t −4m 在t ∈[0,1]上恒成立，分离参数求解即可．21.【答案】解：(1)因为{1≤x ≤161≤x 2≤16，所以1≤x ≤4，所以函数g(x)的定义域为[1,4]．(2)f(x)=log 2x −1，x ∈[1,16]，则g(x)=[f(x)]2+af(x 2)+2=(log 2x)2+(2a −2)log 2x −a +3，x ∈[1,4]．令t =log 2x ，F(t)=t 2+(2a −2)t −a +3=[t −(1−a)]2−a 2+a +2，t ∈[0,2]．当a ≥1时，F(t)在[0,2]上是增函数，所以当t =0时，F(t)min =3−a;当−1<a <1时，F(t)在[0,1−a]上单调递减，在[1−a,2]上单调递增，所以当t =1−a 时，F(t)min =−a 2+a +2;当a ≤−1时，F(t)在[0,2]上是减函数，所以当t =2时，F(t)min =3a +3．综上，M(a)=g(x)min={3−a,a ≥1−a 2+a +2,−1<a <1.3a +3,a ≤−1【解析】本题考查函数的定义域及函数的最值的求法，(1)由{1≤x ≤161≤x 2≤16即可求解， (2)由题意得g(x)=(log 2x)2+(2a −2)log 2x −a +3，x ∈[1,4].令t =log 2x ，F(t)=t 2+(2a −2)t −a +3=[t −(1−a)]2−a 2+a +2，t ∈[0,2].对a 分情况讨论，进而可得答案。

2025高考数学一轮复习-对数与对数函数-专项训练【含解析】

课时过关检测(十)对数与对数函数【原卷版】1．已知a＝log23，b＝log25，则log415＝()A．2a＋2b B．a＋bC．ab D．12a＋12b2．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝()A．－5B．－6C．5D．63．已知函数f(x)＝ln x－1x＋1＋a sin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝()A．－5B．－3C．－1D．34．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系表达式为v＝212km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是()A．M＝e6m B．Mm＝e6－1C．ln M＋ln m＝6D．Mm＝e6－15．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()6．(多选)已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是()A．y＝f(x)＋1B．y＝f(x＋1)C．y＝－f(x)D．y＝|f(x)|7．(多选)关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是()A．f(x)在(－1,3)上单调递增B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称D．f(x)的值域为R8．已知a>0，且a≠1，函数y＝log a(2x－3)＋2的图象恒过点P．若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．9．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围．11．已知函数f(x)＝|log2x|，当0<m<n时，f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝()A．2B．52C．3D．412．(多选)函数f(x)＝log a|x－1|在(0,1)上是减函数，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．∃a＝2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数13．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)．写出一个满足上述条件的函数f(x)＝________．14.已知函数f(x)＝log a(3－ax)(a>0，且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．15．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a ，b ]上的值域为a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，求t 的取值范围．课时过关检测(十)对数与对数函数【解析版】1．已知a ＝log 23，b ＝log 25，则log 415＝()A ．2a ＋2bB ．a ＋bC ．abD ．12a ＋12b解析：Dlog 415＝12log 215＝12(log 23＋log 25)＝12a ＋12b ，故选D ．2．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，g (x )为奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )－x ，则g (－8)＝()A ．－5B ．－6C ．5D ．6解析：C由已知，函数y ＝f (x )与函数y ＝2x 互为反函数，则f (x )＝log 2x ．由题设，当x＞0时，g (x )＝log 2x －x ，则g (8)＝log 28－8＝3－8＝－5．因为g (x )为奇函数，所以g (－8)＝－g (8)＝5，故选C ．3．已知函数f (x )＝ln x －1x ＋1＋a sin x ＋2，且f (m )＝5，则f (－m )＝()A ．－5B ．－3C ．－1D ．3解析：C 根据题意，函数f (x )＝ln x －1x ＋1＋a sin x ＋2，则f (－x )＝ln －x －1－x ＋1＋a sin(－x )＋2＝－lnx －1x ＋1－a sin x ＋2，则有f (x )＋f (－x )＝4，故f (m )＋f (－m )＝4，若f (m )＝5，则f (－m )＝－1，故选C ．4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)的函数关系表达式为v ＝212km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是()A ．M ＝e 6mB ．Mm ＝e 6－1C ．ln M ＋ln m ＝6D ．Mm ＝e 6－1解析：D 依题意可知v ＝212000，可得6，即1＋Mm＝e 6，可得M m ＝e 6－1．如果火箭的最大速度达到12km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是M m ＝e 6－1．故选D ．5．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是()解析：D 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1，∴g (x )的图象应为D ．6．(多选)已知函数f (x )＝log 2x 的定义域是[4,8]，则下列函数中与f (x )值域相同的函数是()A ．y ＝f (x )＋1B ．y ＝f (x ＋1)C ．y ＝－f (x )D ．y ＝|f (x )|解析：BD 函数f (x )＝log 2x 在[4,8]单调递增，f (4)＝log 24＝2，f (8)＝log 28＝3，所以f (x )值域为[2,3]．对于选项A ：y ＝f (x )＋1值域为[3,4]，故选项A 不正确；对于选项B ：因为f (x )＝log 2x 的定义域是[4,8]，所以4≤x ＋1≤8，可得3≤x ≤7，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)∈[2,3]，所以y ＝f (x ＋1)值域为[2,3]，故选项B 正确；对于选项C ：y ＝－f (x )值域为[－3，－2]，故选项C 不正确；对于选项D ：y ＝|f (x )|的值域为[2,3]，故选项D 正确．故选B 、D ．7．(多选)关于函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(3－x )，下列结论正确的是()A ．f (x )在(－1,3)上单调递增B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称D ．f (x )的值域为R 解析：ACD函数f (x )的定义域是(－1,3)，f (x )＝lnx ＋13－x ．令t (x )＝x ＋13－x ＝－4x －3－1(x ≠3)，易知t (x )在(－1,3)上单调递增，所以t (x )>t (－1)＝0，所以f (x )＝ln t (x )在(－1,3)上单调递增，且值域为R ．故A 、D 正确．当x ∈(－2,2)时，1＋x ∈(－1,3)，1－x ∈(－1,3)，f (1＋x )＝ln 2＋x2－x，f (1－x )＝ln2－x2＋x，所以f (1＋x )＝－f (1－x )，f (1＋x )≠f (1－x )．所以y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．故B 错误，C 正确．故选A 、C 、D ．8．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P ．若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12．答案：x129．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．解析：＋2>0，－x >0，得－2<x <4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8)＝ln [－(x －1)2＋9]，设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间为(1,4)．答案：(1,4)10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )a (x ＋1)，x ≥0，a (－x ＋1)，x <0(a >0，且a ≠1)．(2)∵－1<f (1)<1，∴－1<log a 2<1，∴log a 1a<log a 2<log a a ．①当a >1，，解得a >2；②当0<a <1，，解得0<a <12．综上，实数a (2，＋∞)．11．已知函数f (x )＝|log 2x |，当0<m <n 时，f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝()A ．2B ．52C ．3D ．4解析：D如图所示，根据函数f (x )＝|log 2x |的图象，得0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1．结合函数图象，易知当x ＝m 2时f (x )在[m 2，n ]上取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0<m <1，所以m ＝12，再结合f (m )＝f (n )，可得n ＝2，所以nm＝4．故选D ．12．(多选)函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么()A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值C ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．∃a ＝2020，满足f (x )在(0,1)上是减函数解析：ACD由题意，函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，即f (x )＝log a (1－x )在(0,1)上是减函数，因为y ＝1－x 是减函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得a >1，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝log a |x －1|＝log a (x －1)，因为y ＝x －1是增函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，所以A 正确，B 错误；又由f (2－x )＝log a |2－x －1|＝log a |x －1|＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以C 正确；由a >1可知，当a ＝2020时，函数f (x )在(0,1)上是减函数，所以D 正确．故选A 、C 、D ．13．已知函数f (x )满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R ；③f (－x )＝f (x )．写出一个满足上述条件的函数f (x )＝________．解析：f (x )＝ln|x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ，且f (－x )＝ln|－x |＝ln|x |＝f (x )，因此f (x )＝ln|x |符合题意．答案：ln|x |(答案不唯一)15.已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，∴a <32．又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0,1)(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上单调递减，∴y ＝log a t 在区间[1,2]上单调递增，∴a >1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴－2a >0，a (3－a )＝1，<32，＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1．15．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．解析：由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴－lg a ＝lg b ．即ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)16．函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使f (x )在[a ，b ]上的值域为a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，求t 的取值范围．解：∵函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，且定义域为R ，当a ＞1时，z ＝a x ＋t 2在R 上单调递增，y ＝log a z 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )为R 上的增函数；当0＜a ＜1时，f (x )仍为R 上的增函数，∴f (x )在定义域R 上为增函数，∴方程log a (a x ＋t 2)＝12x 有两个不同的根，∴a x ＋t 2＝a 12x ，即a x －a 12x ＋t 2＝0，令u ＝a 12x ，u ＞0，即u 2－u ＋t 2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t 2＞0，且t 2＞0，1 2，解得t－。

对数的运算高中练习题及讲解

对数的运算高中练习题及讲解# 对数的运算高中练习题及讲解## 练习题### 题目1：求值\[ \log_{2}8 - \log_{2}4 \]### 题目2：化简\[ \log_{10}(1000) + \log_{10}(0.1) \]### 题目3：解方程\[ \log_{3}x + \log_{3}2 = 2 \]### 题目4：判断如果 $ \log_{4}16 = b $，求 $ \log_{2}8 $。

### 题目5：证明证明 $ \log_{a}b \cdot \log_{b}a = 1 $。

## 讲解### 题目1 解析：根据对数的性质，我们可以将 $ \log_{2}8 $ 和 $ \log_{2}4 $ 转换为指数形式，然后进行计算。

\[ \log_{2}8 = 3 \]\[ \log_{2}4 = 2 \]所以：\[ \log_{2}8 - \log_{2}4 = 3 - 2 = 1 \]### 题目2 解析：利用对数的乘法法则，可以将两个对数合并为一个：\[ \log_{10}(1000) + \log_{10}(0.1) = \log_{10}(1000 \times0.1) \]\[ = \log_{10}(100) \]\[ = 2 \]### 题目3 解析：根据对数的加法法则，我们可以将方程简化：\[ \log_{3}x + \log_{3}2 = \log_{3}(2x) \]由于等式右边等于2，我们可以得出：\[ \log_{3}(2x) = 2 \]\[ 3^2 = 2x \]\[ x = \frac{9}{2} \]### 题目4 解析：根据对数的定义，我们可以得出：\[ \log_{4}16 = b \]\[ 4^b = 16 \]\[ b = 2 \]现在我们需要求 $ \log_{2}8 $，由于 $ 8 = 2^3 $，所以：\[ \log_{2}8 = 3 \]### 题目5 解析：设 $ x = \log_{a}b $ 和 $ y = \log_{b}a $，根据对数的定义，我们有：\[ a^x = b \]\[ b^y = a \]将两个等式相乘，我们得到：\[ a^x \cdot b^y = ab \]由于 $ a^x = b $ 和 $ b^y = a $，我们可以将 $ a^x $ 替换为 $ b $，将 $ b^y $ 替换为 $ a $：\[ b \cdot a = ab \]这意味着 $ x \cdot y = 1 $，即：\[ \log_{a}b \cdot \log_{b}a = 1 \]## 结论通过对数的基本运算法则，我们可以解决各种对数问题。

4.3对数(重难点突破)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破

4.3 对数
故选：D.
4．（2021秋·高一课时练习）给出下列说法:①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以e 为底的对数叫作自然对数.其中正确的个数为（）A ．1B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】零和负数没有对数，命题①正确；
()
2
11-=，不能写成对数式，命题②错误，；
以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确；以e 为底的对数叫作自然对数，命题④正确；故正确命题是①③④，故选：C.
5．（2023·江苏·高一假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（）
A ．3-
B ．3
C ．1-或3
D ．1或3
-【答案】B
【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0.【详解】由()()2
lg 1lg 22x x -=+，得22122
10220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩
，
即22
23010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩
，解得3x =，所以方程()()2
lg 1lg 22x x -=+的根为3.
故选：B
可用算筹表示为
1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则2log32
3的运算结果可用算筹表示（A．B．
C．D．
【答案】A。

突破14 对数与对数函数(重难点突破)(原卷版)

突破14 对数与对数函数重难点突破一、基础知识【知识点一、对数】 1．对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作_______，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ．（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把e log N 记为ln N ． 2．对数与指数的关系当a >0，且a ≠1时，log ba a Nb N =⇔=．即3．对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即0N >；（2）1的对数等于0，即log 10a =；（3）底数的对数等于1，即log 1a a =．【知识点二、对数的运算】 1．基本性质若0,1,0a a N >≠>且，则（1）log a Na=______；（2）log ba a =______．2．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：（1）log _________a (M N)=⋅；（2）log ________aM=N；（3）log _______()n a M =n ∈R ．【知识点三、换底公式及公式的推广】 1．对数的换底公式log log (0,1;0,1;0)log c b c NN b b c c N b=>≠>≠>且且．【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．2．公式的推广（1）1log log a b b a=（其中a >0且1a ≠；b >0且1b ≠）；（2）log log n na ab b =（其中a >0且1a ≠；b >0）；（3）log log n m a a mb b n=（其中a >0且1a ≠；b >0）；（4）1log log a ab b =-（其中a >0且1a ≠；b >0）；（5）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=（其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0）．【知识点四、对数函数】 1．对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是_____． 2．对数函数(0,1)xy a a a =>≠且的结构特征（1）对数符号前面的系数是1；（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；（3）对数的真数仅有自变量x ．【知识点五、对数函数的图象与性质】1．一般地，对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质如下表所示：01a << 1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R奇偶性非奇非偶函数过定点过定点(1,0)，即1x =时，0y =单调性在(0,)+∞上是___函数在(0,)+∞上是___函数函数值的变化情况当01x <<时，0y >；当1x >时，0y <当01x <<时，0y <；当1x >时，0y >【注】速记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1了可不行；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过（1，0）点．2．对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且中的底数对其图象的影响在直线x =1的右侧，当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．【知识点六、反函数】根据指数与对数的关系，将指数式(0,1)xy a a a =>≠且（其中x 是自变量，且x ∈R ，y 是x 的函数，(0,)y ∈+∞）化成对数式，即log a x y =，于是对于任意一个(0,)y ∈+∞，通过式子log a x y =都有唯一一个x ∈R 与之对应，这样将y 看成自变量，x 是y 的函数，这时我们就说log ((0,))a x y y =∈+∞是函数()x y a x =∈R 的反函数．由于习惯上将x 看成自变量，而将y 看成因变量，因此，我们将log a x y =中的x ，y 互换，写成log ((0,))a y x x =∈+∞，即对数函数log ((0,))a y x x =∈+∞是指数函数()x y a x =∈R 的反函数，它们的图象关于直线y x =对称．二、题型分析1．对数的概念解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系．【例1】在对数式(1)log (3)x x --中，实数x 的取值范围应该是 A ．1<x <3B ．x >1且x ≠2C ．x >3D ．1<x <3且x ≠2【变式训练1】在M ＝log （x ﹣3）（x +1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为（） A ．（﹣∞，3] B ．（3，4）∪（4，+∞） C ．（4，+∞）D ．（3，4）【变式训练2若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为．2．对数运算性质的应用对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：（1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如log a a =1(0,1)a a >≠且，log log 1a b b a ⋅=等．【例2】计算：（1）9log 32162)23(log --+；（2）2(lg 5)lg 2lg 5lg 2+⨯+．【变式训练1】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg+（）lg 1（2）lg 52+lg 8+lg 5lg 20+（lg 2）2【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．3．换底公式的应用换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数．【例3】已知711,log 473ab ⎛⎫== ⎪⎝⎭，试用,a b 表示49log 48．【变式训练1】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c •log c a ；（2）log 23•log 34•log 45•log 52；（3）（log 43+log 83）（log 32+log 92）．【变式训练2】利用对数的换底公式化简下列各式：（log 43+log 83）（log 32+log 92）4．对数方程的求解解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解．【例4】方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为．【变式训练1】求下列各式中x 的值：（1）log 4x ＝﹣，求x ；（2）已知log 2（log 3x ）＝1，求x ．【变式训练2】求下列各式中x 的值：（1）log x 27＝；（2）4x ＝5×3x ．【变式训练3】先将下列式子改写指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝﹣ ②log x 3＝﹣．5．与对数函数有关的函数的定义域和值域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等．求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．【例5】已知函数33()log (2)log (6)f x x x =-++．（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的最大值．【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（） A ．B ．C ．D ．【变式训练2】（2018秋•宜宾期末）函数y ＝的定义域是（）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）【变式训练3】（2018春•连城县校级月考）函数y ＝的定义域是（）A ．[1，+∞）B ．（，+∞）C ．（1，+∞）D ．（，1]6．对数函数的图象对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的,x y ，即可得到定点的坐标．当底数1a >时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的增函数，当1x >时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数01a <<时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的减函数，当01x <<时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y =1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．【例6】设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是 A ．(1,2)- B ．(2,1)- C ．(3,2)-D ．(3,2)【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）若当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，则函数y ＝log a ||的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式训练2】（2018秋•船营区校级月考）函数f （x ）＝的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【变式训练3】（2019秋•洛南县期末）函数y ＝|lg （x +1）|的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较．（2）解简单的对数不等式：形如log log a a x b >的不等式，常借助=log a y x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况进行讨论；形如log a x b >的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解．【例7】已知13212112,log ,log 33a b c -===，则 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >>【变式训练1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（） A ．B ．C ．D ．8．对数型复合函数的性质及其应用（1）对数复合函数的单调性复合函数y =f [g （x ）]是由y =f （x ）与y =g （x ）复合而成，若f （x ）与g （x ）的单调性相同，则其复合函数f [g （x ）]为增函数；若f （x ）与g （x ）的单调性相反，则其复合函数f [g （x ）]为减函数．对于对数型复合函数y =log a f （x ）来说，函数y =log a f （x ）可看成是y =log a u 与u =f （x ）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．（2）对于形如y =log a f （x ）（a >0，且a ≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y =log a u ，u =f （x ）两个函数； ②求f （x ）的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y =log a u 的单调性求解．【例8】讨论函数()2log 32()1a f x x x =--的单调性．【变式训练1】（2018秋•宜宾期末）函数y ＝的定义域是（）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）【变式训练2】（2018春•连城县校级月考）函数y ＝的定义域是（）A ．[1，+∞）B ．（，+∞）C ．（1，+∞）D ．（，1]【变式训练3】（2019秋•南昌校级期中）函数y ＝log 4（2x +3﹣x 2）值域为．【变式训练4】函数y ＝（x ）2﹣x 2+5 在 2≤x ≤4时的值域为．9．忽略真数大于0【例9】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值．10．忽略对底数的讨论【例10】不等式1log (4)log a ax x ->-的解集是_______．三．课后作业1．222log log 63+等于 A ．1B ．2C ．5D ．62．实数01()lg42lg52-++的值为 A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数f （x ）=log 2（3+x ）+log 2（3–x ），则f （1）= A ．1 B ．log 26C ．3D ．log 294．若212log log 2a b +=，则有A ．a =2bB ．b =2aC ．a =4bD ．b =4a5．设()()2log 20xf x x =>，则f （3）的值是A ．128B ．256C ．512D ．86．log 513+log 53等于 A ．0 B ．1C ．–1D ．log 51037．若a =3412（），b =1234（），c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是 A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c C ．ln （a –b ）>0D ．3a –b <111．函数y =__________．12．函数y =lg x 的反函数是__________．13．函数f （x ）的定义域为__________． 14．设2x =5y =m ，且11x y+=2，则m 的值是__________． 15．方程log 2（2–x ）+log 2（3–x ）=log 212的解x =__________． 16．已知f （x ）=lg （10+x ）+lg （10–x ），则f （x ）是 A ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是增函数 B ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是增函数 C ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是减函数 D ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是减函数 17．设正实数a ，b 满足6a =2b ，则A ．01ba <b >c B ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a20．若正实数x ，y 满足log 2（x +3y ）=log 4x 2+log 2（2y ），则x +3y 的最小值是 A ．12 B ．10C ．8D ．621．对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是 A ．lg y –lg x =lg y xB ．lg （x +y ）=lg x +lg yC ．lg x 3=3lg xD ．lg x =ln ln10x22．设函数y =f （x ）的图象与y =log 2（x +a ）的图象关于直线y =–x 对称，且f （–2）+f （–1）=2，则a = A ．3B ．1C ．2D ．423．已知函数f （x ）=ln （–x 2–2x +3），则f （x ）的增区间为 A ．（–∞，–1） B ．（–3，–1）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）24．已知函数()()212log 45f x x x =--，则函数f （x ）的减区间是A ．（–∞，2）B ．（2，+∞）C ．（5，+∞）D ．（–∞，–1）25．已知R 上的奇函数f （x ）满足当x <0时，f （x ）=log 2（1–x ），则f （f （1））= A ．–1 B ．–2C ．1D ．226．若实数a ，b 满足a >b >1，m =log a （log a b ），2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为A ．m >l >nB ．l >n >mC ．n >l >mD ．l >m >n27．函数f （x ）=log a （3–ax ）（a >0且a ≠1）在区间（a –2，a ）上单调递减，则a 的取值范围为__________． 28．已知函数f （x ）=a •2x +3–a （a ∈R ）的反函数为y =f –1（x ），则函数y =f –1（x ）的图象经过的定点的坐标为__________．29．若函数f （x ）=log a （x 2–ax +1）（a >0且a ≠1）没有最小值，则a 的取值范围是__________． 30．（1）5log 3333322log 2log log 8259-+-；（2）7log 23log lg 25lg 47+++．31．求函数f（x）=log13（x2–3）的单调区间．32．已知函数f（x）=lg（x+1）–lg（1–x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性．33．已知函数f（x）=log a（1+x）–log a（1–x），其中a>0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（35）=2，求使f（x）>0成立的x的集合．34．（2018•天津）已知a=log2e，b=ln2，c=121log3，则a，b，c的大小关系为A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b35．（2018•天津）已知a =log 372，b =1314（），c =131log 5，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b36．（2018•新课标Ⅲ）设a =log 0.20.3，b =log 20.3，则 A ．a +b <ab <0 B ．ab <a +b <0C ．a +b <0<abD ．ab <0<a +b37．（2018•上海）设常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．若f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），则a =__________．38．【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=__________．。

对数与对数函数高三练习题

对数与对数函数高三练习题1. 计算下列对数值：(a) $log_2 8$(b) $log_4 \frac{1}{2}$(c) $log_{10} 1$(d) $log_6 36$2. 化简下列对数表达式：(a) $log_3 27^{\frac{1}{2}}$(b) $2log_4 2 - \frac{1}{3}log_4 16$(c) $log_5 x^3 - 2log_5 y + log_5 z$3. 解下列方程：(a) $log_2 x = 3$(b) $2log_5 x + 3 = 1$(c) $log_3 (3x-5) = 2$4. 求下列对数函数的定义域：(a) $f(x) = log_2 (x-1)$(b) $g(x) = log_3 x + log_3 (x-2)$(c) $h(x) = \frac{1}{log_4 x}$5. 求下列对数函数的值域：(a) $f(x) = log_2 (x+3)$(b) $g(x) = log_5 (x^2-9)$(c) $h(x) = log_6 (\frac{1}{x})$6. 证明下列恒等式：(a) $log_b (xy) = log_b x + log_b y$(b) $log_b (\frac{x}{y}) = log_b x - log_b y$(c) $log_b x^n = n log_b x$7. 求下列指数方程的解：(a) $3^x = 27$(b) $5^{x+2} = 125$(c) $2^{2x-1} = 8$8. 化简下列指数表达式：(a) $(2^3)^4$(b) $2^{3x} \cdot 2^{4x}$(c) $\frac{2^{2x}}{2^x}$9. 解下列指数方程：(a) $2^{x+1} = 16$(b) $3^{2x} = \frac{1}{9}$(c) $4^{2x-1} = 64$10. 综合练习：(a) 解方程 $log_2 (x+1) - log_2 x = 3$(b) 求函数 $f(x) = log_3 (x+2)$ 的反函数。

突破对数函数难题的高质量练习题

突破对数函数难题的高质量练习题对数函数是高中数学中一个重要的概念，学生们在学习过程中常常遇到对数函数的难题。

为了帮助学生更好地掌握对数函数并解决难题，本文将提供一些高质量的练习题，以帮助学生突破对数函数的难点。

1. 练习题一已知函数 f(x) = 2^x，求解方程 f(x) = 16。

解析：将 f(x) = 16 代入函数 f(x) = 2^x 中，得到 2^x = 16。

进一步化简为 2^x = 2^4，即 x = 4。

因此，方程 f(x) = 16 的解为 x = 4。

2. 练习题二已知函数 g(x) = log2(x + 1)，求解不等式g(x) ≤ 2。

解析：将 g(x) = 2 代入函数 g(x) = log2(x + 1) 中，得到 log2(x + 1) = 2。

进一步化简为 x + 1 = 2^2，即 x + 1 = 4。

解方程得到 x = 3。

由于log2(x + 1) 是递增函数，因此当x ≤ 3 时，g(x) ≤ 2 成立。

所以解不等式g(x) ≤ 2 的解集为x ≤ 3。

3. 练习题三已知函数 h(x) = log10(x^2 + 3x)，求解方程 h(x) = log10(12)。

解析：将 h(x) = log10(12) 代入函数 h(x) = log10(x^2 + 3x) 中，得到log10(x^2 + 3x) = log10(12)。

由于对数函数是单调函数，得到 x^2 + 3x= 12。

化简方程得到 x^2 + 3x - 12 = 0。

进一步分解为 (x - 3)(x + 4) = 0。

解方程得到 x = 3 或 x = -4。

因此，方程 h(x) = log10(12) 的解为 x = 3或 x = -4。

通过以上三道高质量的练习题，我们可以看到对数函数的题目并不是难题，只要掌握好对数函数的性质和运算规则，就能够轻松解决这类题目。

希望同学们在学习对数函数过程中，多加练习，深入理解对数函数的概念和应用，从而能够轻松应对各种对数函数难题。