解直角三角形讲义

解直角三角形讲义
归纳
已知
两边
两直角边 一斜边，一直角边
一边一角
一锐角，一直角边 一锐角，一斜边
解直角三角形讲义
优选关系式
已知斜边求直边，正弦余弦很方便； 已知直边求直边，正切余切理当然； 已知两边求一角，函数关系要选好； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知锐角求锐角，互余关系要记好； 已知直边求斜边，用除还需正余弦； 计算方法要选择，能用乘法不用除．
a 4.8.
bc2 a 2 解直8 角2 三 角4 形.讲8 2 义6 .4
【例2 】在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，
b
11
，求∠A、∠B、c边． B
a
c
┓ Cb
A
解：ca2b252( 11)26
sinAa50.8 c6
∴∠A≈56.1°， ∴∠B＝90°－解5直6角.1三°角形＝讲义32.9°．
B
a
c
┓ Cb
Ⅰ． b＝ 3 2 1 c＝15
tan A 2 21 21
Ⅱ．a 2 6 ,c 1 0 ,
A
3
3
sin B 12 26 13
解直角三角形讲义
（3Fra Baidu bibliotek 在△ABC中，∠C为直角，∠A、 ∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个三角形．
∠A＝47°54′． a≈213．3． b≈192．7．
解直角三角形讲义
解直角三角形讲义
教学目标
【知识与能力】
1．掌握直角三角形的边角关系； 2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐 角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两 个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐 步分析问题、解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
小练习
（1）在△ABC中，∠C＝90°，b＝30，c＝40，
解直角三角形． B
a
c
┓ Cb
A
a 10 7 ∠A＝41.4° ∠B＝48.6°
解直角三角形讲义
（2） △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别
为∠A、∠B、∠C的对边，
Ⅰ．a＝6，sinA＝
2 5
，求b，c，tanA；
Ⅱ．a＋c＝12，b＝8，求a，c，sinB．
解直角三角形讲义
当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交 会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运 用“勾股定理”的基本原理，推算出峰顶相对 于这几个点的高程差．
最后，通过进行重力、大气等多方面的改 正计算，确定珠峰高程．GPS测量，则是将 GPS测量设备带至峰顶直接获取数据，然后通 过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程．
新课导入
回顾
B 锐角三角函数
sinA 、cosA、tanA 、
cotA分别等于直角三角形 中哪两条边的比？
C┓
A
解直角三角形讲义
珠穆朗玛峰，海拔8844.43米，为世界第一高 峰，位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀 则地区定日县正南方．峰顶终年积雪，一派圣洁景 象．珠峰地区拥有4座8000米以上、38座7000米以 上的山峰，被誉为地解球直角第三角三形讲级义 ．
BC＝ 3 3
┓ C
B
解直角三角形讲义
（2）根据AC=3，斜边AB=6，试求 出这个直角三角形的其他元素？
∠B＝30°；
A
∠A＝60，
BC＝ 3 3
┓ C
B
解直角三角形讲义
结论
在直角三角形的六个元素中，除直角外， 如果再知道其中的两个元素（至少有一个是 边），就可求出其余的元素．
解直角三角形讲义
B
（2）锐角之间的关系
c
a
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
┓
（3）边角之间的关系
A
b
C
sin A a c
cos A b c
tan A a b
b cot a a 解直角三角形讲义
探究
在下图的Rt△ABC中， （1）根据∠A=60°，斜边AB=6，试求出这 个直角三角形的其他元素．
∠B＝30°；
A
AC＝3，
解直角三角形讲义
仰角和俯角
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
在进行测量时： 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
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方向角
如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北A
30°
西
B
O
东
45°
南
解直角三角形讲义
【例3 】 如图， 在上海黄埔江东岸，矗立 着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生 在黄埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°， 后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设 塔底C与A、B在同一直线上，试求该塔的高 度．
珠穆朗玛峰那 么高，它的高度是 怎样测出来的？
解直角三角形讲义
测量珠峰高程，首先确定珠峰海拔高程起算 点．我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零起 始点（水准原点），因为测绘人员已取得西藏拉孜 县相对青岛水准原点的精确高程，测量队只需要从 拉孜起测．前半程仍采用传统而精确的水准测量法， 每隔几十米竖立一个标杆，通过水准仪测出高差， 一站一站地将高差累加起来就可得出准确数字．这 样一直传递到珠峰脚下6个峰顶交会测量点．
通过本节的学习，渗透数形结合的数学思 想，培养良好的学解习直角习三角惯形讲．义
教学重难点
重点：
直角三角形的解法．
难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
解直角三角形讲义
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、 b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量 关系呢？
B
c
a
┓
A
C
b
解直角三角形讲义
B
c
知识要点
解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求未知 元素的过程，叫解直角三角形．
解直角三角形讲义
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，c＝8， ∠B＝40°，解这个直角三角形(精确到0.1) ．
B
a
c
┓ Cb
A
解：∠A＝90°－ 40°＝50°．
sin A sin40 0.6,
sin A a a 0.6, c8
D
A
30°
45° C
B
解直角三角形讲义
解: 设塔高CD=x m 在Rt△BCD中，∵∠DNC=45° ∴BC=x ∴CA=400+x 在Rt△ACD中，
∵∠DAC=30° ∴AC=xtan60°=400+x
a
┓
A
C
b
6 个
元
三边
5
两个锐角 个
素 一个直角（已知）
解直角三角形讲义
△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且b＝3，∠A＝30°， 求∠B，a，c．
B
c?
? a?
30° 3
┓
A
C
b
解直角三角形讲义
解直角三角形的依据
（1）三边之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；