关于极点的留数的一个定理

关于极点的留数的一个定理：

若为0z ()f z 的阶极点，则

m ()()()(010011Re lim 1!m m m z z d sf z z z f z m dz −−→⎡⎤=−⎣

⎦−) ()()()01011lim ,1!n n n z z d z z f z n m n dz −−→⎡⎤=−⎣

⎦−>。 证：因为为0z ()f z 的阶极点，所以m ()f z 在点的罗朗展开式为

0z ()()()10100

0m

m a a f z a a z z z z z z −−=++++−−−""+)1+， 从而

()(0n z z f z −

()()()()()11010100010n m n m n n n m m a z z a z z a z z a z z a z z −−+−−−+−=−+−++−+−+−+""， ()()()()()101011!12n n n d z z f z n a n n a z z dz −−−⎡⎤0∴−=−+−−⎣

⎦""+， ()()()()(01011lim 1!1!Re n n n z z d z z f z n a n sf z dz

−−−→⎡⎤)0∴−=−=−⎣⎦， ()()()(010011Re lim 1!n n n z z d sf z z z f z n dz −−→⎡⎤)∴=−⎣⎦−。 ＃