有限元第2讲：加权余量法
加权余量法的基本原理
加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用于工程设计中的计算方法，其基本原理是在设计时考虑各种偏差因素，通过对这些因素进行加权，得出可靠的设计参数。
加权余量法的主要思想是在设计时加入一定的安全余量，以应对可能存在的各种不确定因素，如材料强度、加工精度、负荷变化等。
这样，在实际使用时，即使存在一些误差或者随机因素，也能保证设计的可靠性和安全性。
在具体的计算中，加权余量法通常采用统计学方法，对各种偏差因素进行量化，并按照其权重进行加权。
这样，可以得到一个综合的设计余量，即在各种偏差因素都存在的情况下，仍能保证设计的可靠性和安全性。
总之，加权余量法是一种在工程设计中广泛应用的计算方法，其基本原理是考虑各种偏差因素，通过加权计算得出可靠的设计参数，以保证工程的可靠性和安全性。
- 1 -。
三维Biot固结有限元方程的加权余量法推导
三维 B i o t 固结有限元方程的加权余量法推导李 伟 马 骏 安延云(天津市海岸带公司, 天津 300192)摘 要本文从土的平衡微分方程和连续性方程出发, 采用加权余量法推导出便于应用的土体三维 B i o t 固结有限元方程。
关键词 B i o t 固结理论 加权余量法 有限元 中图分类号: P 75文献标识码: B前言1 土体的固结是指土体在荷载作用下, 内部含水缓慢渗出, 体积逐渐缩减的现象。
对于一维 固结问题, T e rzagh i 固结方程是精确的, 对于多维固结问题并不严格。
B i o t 固结方程从较严格 的固结机理出发, 能正确反映孔隙应力消散与土骨架变形间相互关系, 在工程实践中得到普遍 应用。
目前已经提出了许多建立 B i o t 固结理论有限元方程的方法, 其中变分法在数学上严格但 物理概念不太明确 1 ; 虚位移原理和流量平衡方法在物理概念上明确, 易于为工程界接受, 但 难以推广到任何网格情况 2 ; 加权余量法也是一种数学物理方法, 比变分法有更大的灵活性, 在解固结问题中比变分法易于理解。
B io t 固结理论2 B i o t 固结理论的基本公式包含平衡微分方程和连续性微分方程两部分, 对于空间问题, 土体中任一点的平衡微分方程为:5Ρx y 5Ρx z 5p + + 5x = 05y 5z 5Ρy 5Ρy z 5p (1)5y + + + 5y = 0 5z 5Ρz y 5Ρz 5p5y + 5z ++ 5z = - Χ式中 Ρ, Σ为有效应力, p 为孔隙水压力, Χ为土体饱和容重。
此外, 由达西定律, , , :第 4 期三维 B i o t 固结有限元方程的加权余量法推导73(2)将式 (2) 代入则得: 5Εv - 2 2 5 p + k 5 p + k k x y z 5x 2 5y 25t假设土的渗透性各向相同, 即 k x = k y = k x = k , 并将 Εv 用位移表示出来, 则上式可写为以位 :5Εv 5 5u 5v 5w 52 p 52 p (3)5t 5x + 5y + 5z = - 5y 2 +5z 2式 (1) 和式 (3) 联立即为 B i o t 固结方程。
有限元原理加权余量法和变分法PPT课件
• 3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数的函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R)
j
R
d
j R
d，
令 Fj(R) 0 则余数最小， 趋于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
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• 3. 加权余量法－－例1
d
3(
2 3
d )C2 10d 2
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0
• 3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
解得：C1＝10 / d；C2＝0
2
近似解： （）＝
i 1
Ci xi＝C1x1
C2
x
2＝10 d
x
加权余量法求解流程：
1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
数个数
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
系数矩
阵n×n
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
矩阵元素值：
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
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• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
03加权余量法
dx u0 u1 0
解： （1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2
积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法 取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0
例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。 例（同前）： 步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2
x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
加权余量法 ppt课件
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。 实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~
偏微分方程求解有限元法的原理加权余量法和变分法共52页
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
52
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
加权余量法
0 x
dx 1 2
1 2
1
11 6
a1
0
W2 1 由④式得到：
1 2
x
12
1/2
1/ 2
R2 xdx x a1
解得：0
a1
0
0.1876
2 x x2 a2 a2 0.1702
2 6x x2 x3
加权余量法
4. 例题解析
为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：
一项近似解，n=1：
u1 a1x1 x
⑤
代入，得余量为：
R1x x a1 2 x x2
⑥
两项近似解，n=2：
u2 x1 xa1 a2 x
⑦
余量为：
R2 x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
将余量的二次方 R2 在域中积分：
I R2d
选择近似解的待定系数ai，使余量在全域的积分值达到极小。为此必须有：
I 0
i 1,2,, n
对ai求导，得到：
ai
R R d 0
ai
i 1,2,, n
由此得到n个方程，由此求解n个待定系数ai，将上式与式④比较可得，最
②
当x=1时，u=0
取它的近似解为
u x1 xa1 a2x
③
其中ai为待定参数，试探函数 N1 x1 x ，N2 x1 xx ，...显然近似解满
足边界条件，但是不满足微分方程，所以会产生余量。余量的加权积分为
零：
j
第三章有限元法基础通常将有限元法分为两大类变分法和加权余量法
第三章 有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。
两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。
§3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。
（2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯∇μ1J LA =⇒（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL3.1.2 泛函 1、泛函的概念泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如()()[]x y I x I =也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。
例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。
曲线长度 ()[]⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=2121x x dx dx dy x y I曲线所围面积 ()[]()⎰=21x x dx x y x y I不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积()[]x y I 构成了函数空间H 。
2、泛函连续若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。
3、线性泛函若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。
4、函数的变分y δ泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分()[]y x y L I δδ,=()[]y x y o δ,是误差项。
加权余量法的基本原理
加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用的风险控制方法，其基本原理为在投资决策时考虑一个适当的余量，以应对不确定性因素带来的风险。
具体来说，加权余量法的应用步骤如下：
1. 确定投资目标和预期收益率。
2. 评估投资组合中的风险，并计算出组合的标准差。
3. 根据投资者的偏好和风险承受能力，确定适当的加权余量。
这个余量通常是投资者的风险承受能力的一个百分比。
4. 通过将余量与标准差相乘，得出组合的最大净亏损额。
如果该净亏损额超过了投资者能够承受的最大亏损额，就需要对组合进行调整。
5. 确定投资组合中每个资产的权重，并根据加权余量的原则，对其进行调整。
加权余量法的基本原理是在保证投资者的收益率目标的同时，尽可能地降低风险。
通过合理的加权余量设置，投资者可以在保证收益的前提下，有效地控制风险，从而获得更加稳健的投资回报。
- 1 -。
有限元的基础理论包括哪几部分
有限元的基础理论包括哪几部分1.加权余量法加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weighted residual method WRM）加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2. 里兹方法里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的性质，那么它不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近似求解方法。
自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分为零，亦即泛函取驻值。
反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微分方程和边界条件。
而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金法而得到，我们称这样得到的变分原理为自然变分原理。
对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到与它相等效的变分原理以后，可以用来建立求近似解，这一过程即里兹方法。
它的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”解。
显然，近似解的精度与试探函数（形函数或试函数）的选择有关，如果知道所求解的一般性质，那么可以通过选择反映此性质的试探函数来改进近似解，提高近似解的精度。
3.虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。
虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。
虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。
虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。
加权余量法简介
伽辽金法解 此时， N1 = x5 + lx 4 − 14l 2 x3 + 26l 3 x 2 消除余量的条件为:
∫
由此可得:
0.00908q EIl
l
0
N1RI dx = 0
C=
∆B
( 4)
0.1262ql 4 = EI
矩法解 由于只有一个待定常数，因此消除余量条件只需零次矩即可, 此时显然与子域法完全相同。
3．最小二乘法(Least Square Method) 本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余 量的条件。 I (C ) = ∫ RI2 dV = ∫ RIT RI dV 若记余量平方和为I(C)，即 V V 则极值条件为:
∂ I (C ) ∂RI T = 2∫ ( ) RI dV = 0 V ∂C ∂C
RI = EIc (120 x + 24l ) − q
因此本问题属内部法。下面分别用基本方法进行求解。 子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域）即 可，消除余量的条件为:
∫ EIc (120 x + 24l ) − q dx = 0
l 0
由此可解得:
c=
q 84 EIl
5.1 加权余量法的基本概念 加权余量法(Method of Weighted Residuals)或称加权残值 法或加权残数法，是一种直接从所需求解的微分方程及边 界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。 早在20世纪30年代就在数学领域得到应用，随着计算机 的发展，它受到了国内外学者的普遍重视，得到了迅速的 发展。自1982年召开“全国加权残数法学术会议”后，我 国加 权余量法在结构分析领域内的应用已从静力发展到动力、 稳定、材料非线性和几何非线性等各方面。
有限元法基础2理论基础
有限元法基础
2.5 Ritz法
Ritz法应用中的难点 求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生 难以克服的困难； 为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解 的复杂性；
有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地 避免上述困难
有限元法基础
令
w1 v S
q
T W kv T d W W v Q d W Sq vq d ST kv n d 0
若使v 0 在Sq上，积分方程更简捷
有限元法基础
2.3 加权余量法
由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解 假设未知场函数u可用近似解表示
象的集合称为T的值域。 算子方程 设算子T的定义域为D，u D ，值域为T(D), f T ( D) , 等式 Tu f 称为算子方程。
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式 将算子方程及边界条件在各自的定义域中积分，有
对任意函数 v 有 对任意函数 v 有
W
v ( Au f )d W 0
W
v ( Bu ) d 0
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式
进一步改写为
W
v ( Au f )d W v ( Bu ) d 0
W
可以证明在积分方程对任意的v 都成立的话，则积分项 在域内每一点都满足算子方程和边界条件。 称为算子方程的等效形式 特点 v 和 v 是单值函数并且在定义域上可积 u的选择取决于算子A和B
2.4 变分原理
微分方程为
Au f B u W 0
在W内
利用线性自伴随算子的性质
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
加权余量法和变分法建立有限元方程
加权余量法和变分法建立有限元方程 分片定义试函数和有限元法直接法只能用来推导比较简单的有限元方程。
例如假设温度、位移是线性变化的，因此在单元边界上热流、应力、表面力是常数，容易化成等效的节点热流和端点力。
直接法形式上把连续区域化为有限元网格，对每个有限元用直接法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。
这种方法对计算结果的收敛性、误差和试函数选取的要求没有进行讨论。
0=+p ϕL 在D 内0=+γϕM 在Γ 上用加权余量方法，选取近似函数m Mm m a N ∑=+=≅1ˆψϕϕ建立加权余量公式()∫∫=+++ΓDl lW dD p W 0ˆ(ˆ)M L γϕϕ该方法在整个区域定义试函数和建立加权余量公式，只能求解比较简单的问题。
可以设想把整个求解区域 D 划分为若干个互相既不重合，也不分离的子区域e D 之和。
这些子区域叫做有限元。
然后在每个有限元内部分别构造近似函数e ϕˆ、选取加权函数。
当然在不同的有限元内部可用不同的方法构造近似函数，对整个区域建立的加权余量公式，就可以写成各个子区域公式之和，即()∑∫∫∑∫==+==Ee D eel DE e D eDel D l eedD p W dD R W dD R W 11ˆϕL()∑∫∫∑∫=ΓΓ=ΓΓΓΓ+=Γ=ΓEe e el Ee e el l eed W d R W d R W 11ˆγϕM 由于上式把全域的积分写成子域积分之和，所以对被积函数提出了一定的要求，要求被积函数在子域之间的边界上满足一定的连续性。
有限元法分片选取试函数，它们在各自的子区域中一般都具有足够的连续性，使被积函数满足要求，关键是在子区域之间的交界面上能否满足要求。
分片选取的试函数需要满足：1 如果在积分中只含未知数本身，不含导数，在有限元之间试函数本身可存在有限间断；2 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是一阶，在有限元之间试函数本身连续，一阶导数可存在有限间断，称为C0阶问题；3 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是二阶，在有限元之间试函数本身及其一阶导数连续，二阶导数可存在有限间断，称为C1阶问题；4 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是 n 阶，在有限元之间试函数本身及直至其 (n-1) 阶导数连续，n 阶导数可存在有限间断，称为C n−1阶问题。
1 有限元法的理论基础 加权余量法和变分原理
∂σ x
∂x
+
∂τ yx
∂y
+
∂τ zx
∂z
+
fx
= 0
∂τ xy
∂x
+
∂σ y
∂y
+
∂τ zy
∂z
+
fy
= 0
∂τ xz
∂x
+
∂τ yz
∂y
+
∂σ z
∂z
+
fz
= 0
弹性力学预备知识
2. 弹性力学问题的矩阵表示 (2) 平衡方程
Aσ + f =0 (在V内)
∂
∂x
0
0
0
∂ ∂y 0
0
0 ∂ ∂z
∂ ∂y ∂ ∂x
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
∂ σ x
∂z 0
∂ ∂x
σ y
τσxzy
τ τ
yz zx
+
f f f
x y z
0 = 0
0
弹性力学预备知识
ν 1−ν
ν 1−ν
1
称
0
0 0
1 − 2ν
2(1−ν )
0
0 0 0
1 − 2ν
2 (1−ν )
D-弹性矩阵
0
0 0 0
0
εx
ε
y
γεxzy
γ γ
yz zx
加权余量法
0……………………………………...others
基变换
矩法的工作量 1.求矩阵L的元数
Lmn wm , L(n )
N2 个元素，每个两次积分。 2.求解矩阵方程
La间的变换
mx1
mxn nx1
a Z a
带入矩法方程
mxm mx1 mxm mxn nx1
加权余量法算子方程近似解空间中展开解带入算子方程余量为内积范数内积的意义fg的夹角内积fg之间的相互投影ds检验函数空间检验函数的基支撑该空间的一个方向矢量表示余量在上的投影应为矩法的基本含意所构造的近似解在检验空间w的各个方向上的投影均为零变分解释表示l的值域表示由张成的空间表示由张成的空间矩量法的公式意味着精确值在上的投影等于近似值在上的投影
Lf
精确 近似
误差 Lfn
投影
Lwn
常用整域基
正弦 sinx,sin2x….. 余弦 cosx,cos2x….. 切比雪夫 T1(x),T2(x)….. 幂函数 x,x2,x3…….
常用子域基
脉冲基
P1,P2,P3…
1...............x n Pn 0...............o. thers
分段三角形基 l1,l2.. 分段正弦基 s1,s2..
ax.....................n 1 x n ln 1 ax...............n. x n 1
0........................others
sn sin(x xn ) /(xn1 xn )........ xn x xn1
逼近极小的准则
1. 高斯意义下的极小（最小二乘）
R2 min (R2) 0 an
n 1....N
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注意：对于二维问题，当i，j取到n时，其未知系数和权函数有(n+1)2个。
三维问题权函数怎么取？
有限单元法
崔向阳
12
加权余量法
最小二乘法(Least Square Method)
本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余量的条件。
若记余量平方和为I(a) :
则极值条件为:
I (a) RTRd
W1 1, 0 x 1/ 2在子域1内
W2 1, 1/ 2 x 1在子域2内
余量加权的积分为零
1/2 0
R2
x
dx
1/2 0
x
a1
2 x x2
a2
2 6x x2 x3
dx
1 8
11 12
a2
+
53 192
a2
0
1 1/2
R2
x
dx
1 1/2
x
a1
2 x x2
广泛。 ai 可以为任意值
有限单元法
崔向阳
14
例题解析
为说明上述方法，我们对一个二阶常微分方程进行求解：
控制方程:
d 2u dx2
u
x
0
0 x 1
当x=0时，u=0 边界条件: 当x=1时，u=0
若近似场函数为: u x 1 xa1 a2x =1a1 2a2
其中ai为待定参数，近似场函数的基函数为：1 x1 x， 2 x1 x x，
近似场函数对结果的影响如何？ 近似场函数如何取？
有限单元法
崔向阳
6
加权余量法
根据选取近似场函数的不同，余量 RI 和 RB 可有如下三种情况：
1）近似场函数满足边界条件：
RB B(u) g 0
消除余量的积分方程可改写为: WIiRI d 0 (i 1, 2, , n)
内部法
2）近似场函数满足控制方程：
(i 1, 2, , n)
上式实际意义是通过选定待定系数ai，强迫余量的加权积分值等于零， WIi及WBi 称为权函数 ， 这种方法就叫做加权余量法。
有限单元法
崔向阳
5
加权余量法
对上式展开，可得到一组余量的加权积分方程组:
WI1RI d WB1RBd 0
A11 A12
WI 2RI d WB2RBd 0 展开
它们反映了试函数与真实解之间的偏 差，它们分别称做内部和边界余量。
用n个规定的函数来代替任意函数W及V: W WIi ，V WBi ，近似场函数的
微分方程组及其边界条件的等效积分形式:
积分形式: WIi L(u) f d WBi B(u) g d=0 (i 1, 2, , n)
余量形式: WIi RI d WBi RBd 0
a2 0.1731
可以得两项近似解为： u2 0.1948x1 x 0.1731x2 1 x
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
2 x x2
2
微分方程的等效积分形式
由问题描述可知：
边界Γ
在问题域Ω内： L(u) f 0
（1）
对于任意函数W有： W L(u) f d 0 （2）
问题域Ω
(2)式是( 1)式的完全等效积分形式
欲求解问题
在边界Γ内：
B(u) g 0
（3） 保证式(5)可积的条件：
对于任意函数V有： V B(u) g d 0 （4） 1）W 和V以函数自身
我们采用前面介绍的不同权函 数对此问题进行求解！
有限单元法
崔向阳
16
例题解析
配点法(Collocation Method)
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
总之，对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程， 复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合 法较好。这三种方法中，内部法一般应用较多。
有限单元法
崔向阳
8
加权余量法
加权余量法是利用权函数对余量进行加权令其在问题域的积分为零。
权函数怎么取？
常用的权函数的选择有以下几种：
W1 x0 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
2 x x2
dx
1 2
11 6
a1
0
解得：
3 11
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
20
例题解析
矩法(Method of Moment)
使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数，并将边界与内部
的权函数取符号相反，可得:
n
u aii i 1
WIi i ,
其加权余量方程可表示为:
WBi i ,
(i 1, 2, , n)
i RI d i RBd 0
(i 1, 2, , n)
定义近似解 u 的变分为：
由敛残性值，方还程使 u和得试伽i函辽n1 数金i中法a的精i 每度一高个而基计函算数工正作u交量R这又I d一不性算质太，大不，uR仅所Bd保以证该了方0解法的应收用
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
第2讲: 加权余量法
崔向阳
从微分到积分
前面说过，微分方程不太容易直接求解，只好另觅蹊径！ 高老爷子有办法，微分方程难搞，积分容易啊 把微分方程弄成积分形式试一下？
不难验证其满足边界条件，即： RB 0
但不满足控制方程，其内部余量不为0，其加权余量为零：
i RI d 0
(i 1, 2, , n)
有限单元法
崔向阳
15
例题解析
为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：
考虑一项近似解，即n=1：
近似场函数为: u x 1 x a1
d 2u u x 0 dx2
容易的。并且，由于边界条件已经满足，所以计算工作量较少。但是对 于复杂的边界，这一方法就很不方便。
边界法：由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而 计算工作量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的 泛定解，比较困难。
混合法：对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适 应，缺点是计算工作量较大。
边界Γ
在边界Γ上 B(u) g 0
当我们面对复杂的实际问题时，精确解往往
问题域Ω
是很难找到，怎么办？
欲求解问题
我们可以采用近似场函数替代精确场函数，进而得到具有
一定精度的近似解，这种近似场函数叫做试函数。
假设u为精确场函数，u 为近似场函数，则未知场函数可表
示为：
基函数的要求：
待定系数，真
问题的自 正的求解目标 由度
n
u u aii i 1
基函数
1）取自完备函数集；
2）线性独立；
3）要满足强制边界条件 和连续性的要求。
有限单元法
崔向阳
4
加权余量法
近似场函数带入原问题的控制方程，由于近似解是不能满足精确微分方程式
或全部边界条件式的，他们将产生残差(也叫余量) ：
在问题域Ω内 RI L(u) f 在边界Γ上 RB B(u) g
此法的权函数取xi-1 (i=1，…n) :
对一维问题 Wi xi-1
(i 1, 2, , n)
对二维问题 Wij xi-1 y j-1
(i, j 1, 2, , n)
矩法实质是强迫余量的各阶次矩等于零
xi1Rd 0 i
(i 1, 2, , n)
xi1 y j1Rd 0 i
(i, j 1, 2, , n)
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
a2
0
R
2 3
2 3
- 16 9
a1
-
50 27
a2
0
u x1 x a1 x2 1 x a2
R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
解得： a1 0.1948
RI L(u) f 0
消除余量的积分方程可改写为: WBiRBd 0 (i 1, 2, , n)
边界法
3）近似场函数既不满足控制方程，也不满足边界体检
消除余量的积分方程为: WIi RI d WBi RBd 0
混合法
(i 1, 2, , n)
有限单元法
崔向阳
7
加权余量法
这三种方法各有自己的优点，当然也存在不足： 内部法：对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较
形式出现；
(4)式是( 3)式的完全等效积分形式
2）在Ω和Γ上为单值可 积函数；
对于整个问题都满足的等效积分形式为：
W L(u) f d V B(u) g d=0 （5）
3）u可以以导数和偏 导数形式出现，取 决于微分算子L和 B 的最高阶次