有限元第2讲：加权余量法

使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数，并将边界与内部
的权函数取符号相反，可得:
n
u aii i 1
WIi i ,
其加权余量方程可表示为:
WBi i ,
(i 1, 2, , n)
i RI d i RBd 0
(i 1, 2, , n)
定义近似解 u 的变分为：
由敛残性值，方还程使 u和得试伽i函辽n1 数金i中法a的精i 每度一高个而基计函算数工正作u交量R这又I d一不性算质太，大不，uR仅所Bd保以证该了方0解法的应收用
配点法 子域法 矩法 最小二乘法 伽辽金法
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加权余量法
配点法(Collocation Method)
配点法是使余量在指定的n个点上等于零，这些点称为配点。此法的权函
数为:
Wi （P Pi）
为Dirac(犹拉克) 函数，它的定义为:
(
x
xi
)
0
x xi x xi
配点法实质是强迫余量在n个点上为零
W1 x0 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
2 x x2
dx
1 2
11 6
a1
0
解得： a1 3 /11
可以得一项近似解为：
u1
3 11
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
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例题解析
矩法(Method of Moment)
W1 1, 0 x 1/ 2在子域1内
W2 1, 1/ 2 x 1在子域2内
余量加权的积分为零
1/2 0
R2
x
dx
1/2 0
x
a1
2 x x2
a2
2 6x x2 x3
dx
1 8
11 12
a2
+
53 192
a2
0
1 1/2
R2
x
dx
1 1/2
x
a1
2 x x2
近似场函数对结果的影响如何？ 近似场函数如何取？
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加权余量法
根据选取近似场函数的不同，余量 RI 和 RB 可有如下三种情况：
1）近似场函数满足边界条件：
RB B(u) g 0
消除余量的积分方程可改写为: WIiRI d 0 (i 1, 2, , n)
内部法
2）近似场函数满足控制方程：
a2
2 6x x2 x3
dx
3 8
11 12
a2 +
229 192
a2
0
解得： a1 0.1876
a2 0.1702
可以得两项近似解为：u2 0.1876x1 x 0.1702x2 1 x
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例题解析
矩法(Method of Moment)
考虑一项近似解：
权函数为：
注意：对于二维问题，当i，j取到n时，其未知系数和权函数有(n+1)2个。
三维问题权函数怎么取？
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加权余量法
最小二乘法(Least Square Method)
本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余量的条件。
若记余量平方和为I(a) :
则极值条件为:
I (a) RTRd
I (a) 2 (R )T Rd 0
a
a
由此可见，本法权函数为:
Wi
R ai
(i 1, 2, , n)
注意最小二乘法的实质是使余量取最小。这个方法一般计算精度高，但运
算较为繁琐。
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加权余量法
伽辽金法(Galerkin Method)
伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名的方法，本法是
高斯
微分方程的等效积分形式
对于一个问题，可以归结为在一定的边界条件(或动力问 题的初始条件)下求解微分方程的解，这些微分方程为问 题的控制方程
边界Γ
在问题域Ω内 L(u) f 0 在边界Γ上 B(u) g 0
问题域Ω
微分算子
待求的未知 函数
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与未知函数u无关的 已知函数域值
欲求解问题
Wi
1 0
在i内 不在i内
子域法实质是强迫余量在n个子域Ωi上的积分为零
i Rid 0
(i 1, 2, , n)
=0
=0 =0
=0
=0
=0
需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。若各子域 的试函数互不相同时，则必须考虑各子域间的连接条件。
来自百度文库
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加权余量法
矩法(Method of Moment)
广泛。 ai 可以为任意值
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例题解析
为说明上述方法，我们对一个二阶常微分方程进行求解：
控制方程:
d 2u dx2
u
x
0
0 x 1
当x=0时，u=0 边界条件: 当x=1时，u=0
若近似场函数为: u x 1 xa1 a2x =1a1 2a2
其中ai为待定参数，近似场函数的基函数为：1 x1 x， 2 x1 x x，
总之，对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程， 复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合 法较好。这三种方法中，内部法一般应用较多。
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加权余量法
加权余量法是利用权函数对余量进行加权令其在问题域的积分为零。
权函数怎么取？
常用的权函数的选择有以下几种：
dx
1 2
11 6
a1
0
解得： a1 3 /11
可以得一项近似解为：
u1
3 11
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
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例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
(i 1, 2, , n)
上式实际意义是通过选定待定系数ai，强迫余量的加权积分值等于零， WIi及WBi 称为权函数 ， 这种方法就叫做加权余量法。
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加权余量法
对上式展开，可得到一组余量的加权积分方程组:
WI1RI d WB1RBd 0
A11 A12
WI 2RI d WB2RBd 0 展开
形式出现；
(4)式是( 3)式的完全等效积分形式
2）在Ω和Γ上为单值可 积函数；
对于整个问题都满足的等效积分形式为：
W L(u) f d V B(u) g d=0 （5）
3）u可以以导数和偏 导数形式出现，取 决于微分算子L和 B 的最高阶次
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近似场函数
返回我们的问题：
在问题域Ω内 L(u) f 0
边界Γ
在边界Γ上 B(u) g 0
当我们面对复杂的实际问题时，精确解往往
问题域Ω
是很难找到，怎么办？
欲求解问题
我们可以采用近似场函数替代精确场函数，进而得到具有
一定精度的近似解，这种近似场函数叫做试函数。
假设u为精确场函数，u 为近似场函数，则未知场函数可表
示为：
基函数的要求：
待定系数，真
问题的自 正的求解目标 由度
容易的。并且，由于边界条件已经满足，所以计算工作量较少。但是对 于复杂的边界，这一方法就很不方便。
边界法：由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而 计算工作量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的 泛定解，比较困难。
混合法：对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适 应，缺点是计算工作量较大。
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
a2
0
R
2 3
2 3
- 16 9
a1
-
50 27
a2
0
u x1 x a1 x2 1 x a2
R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
解得： a1 0.1948
此法的权函数取xi-1 (i=1，…n) :
对一维问题 Wi xi-1
(i 1, 2, , n)
对二维问题 Wij xi-1 y j-1
(i, j 1, 2, , n)
矩法实质是强迫余量的各阶次矩等于零
xi1Rd 0 i
(i 1, 2, , n)
xi1 y j1Rd 0 i
(i, j 1, 2, , n)
不难验证其满足边界条件，即： RB 0
但不满足控制方程，其内部余量不为0，其加权余量为零：
i RI d 0
(i 1, 2, , n)
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例题解析
为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：
考虑一项近似解，即n=1：
近似场函数为: u x 1 x a1
d 2u u x 0 dx2
n
u u aii i 1
基函数
1）取自完备函数集；
2）线性独立；
3）要满足强制边界条件 和连续性的要求。
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加权余量法
近似场函数带入原问题的控制方程，由于近似解是不能满足精确微分方程式
或全部边界条件式的，他们将产生残差(也叫余量) ：
在问题域Ω内 RI L(u) f 在边界Γ上 RB B(u) g
RI L(u) f 0
消除余量的积分方程可改写为: WBiRBd 0 (i 1, 2, , n)
边界法
3）近似场函数既不满足控制方程，也不满足边界体检
消除余量的积分方程为: WIi RI d WBi RBd 0
混合法
(i 1, 2, , n)
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加权余量法
这三种方法各有自己的优点，当然也存在不足： 内部法：对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较
我们采用前面介绍的不同权函 数对此问题进行求解！
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例题解析
配点法(Collocation Method)
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
A21
A22
整理
An1
An 2
A1n a1 b1
A2n Ann
a2 an
b2 bn
WInRI d WBnRBd 0
解方程组，得到近似解的待定系数ai，从而得到原问题的近似解答。
近似函数所取试探函数的项数n越多，近似解的精度将越高；若n趋于无穷，
近似解将收敛于精确解。
考虑两项近似解： 权函数为：
a2 0.1731
可以得两项近似解为： u2 0.1948x1 x 0.1731x2 1 x
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例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
2 x x2
它们反映了试函数与真实解之间的偏 差，它们分别称做内部和边界余量。
用n个规定的函数来代替任意函数W及V: W WIi ，V WBi ，近似场函数的
微分方程组及其边界条件的等效积分形式:
积分形式: WIi L(u) f d WBi B(u) g d=0 (i 1, 2, , n)
余量形式: WIi RI d WBi RBd 0
R xi 0
配点法只在配点上保证余量为零，不需要作积分计算，所以是加权残值法
中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
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加权余量法
子域法(Sub-domain Method)
此法首先将求解域Ω划分成n个子域Ωi，划分的子域总数应等于待定系数ai 的总数,在每个子 域内令权函数等于1，在子域之外取权函数为零，也即:
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
第2讲: 加权余量法
崔向阳
从微分到积分
前面说过，微分方程不太容易直接求解，只好另觅蹊径！ 高老爷子有办法，微分方程难搞，积分容易啊 把微分方程弄成积分形式试一下？
2
微分方程的等效积分形式
由问题描述可知：
边界Γ
在问题域Ω内： L(u) f 0
（1）
对于任意函数W有： W L(u) f d 0 （2）
问题域Ω
(2)式是( 1)式的完全等效积分形式
欲求解问题
在边界Γ内：
B(u) g 0
（3） 保证式(5)可积的条件：
对于任意函数V有： V B(u) g d 0 （4） 1）W 和V以函数自身
代入微分方程，其余量为： R1x x a1 2 x x2
0 x 1
若考虑两项近似解，即n=2：
近似场函数为: u x 1 x a1 x2 1 x a2
代入微分方程，其余量为：R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
若考虑n项近似解，n>2： 以此类推，此处不再讨论！