传染病模型数学建模论文
数学建模_传染病模型
数学建模_传染病模型第一篇：数学建模_传染病模型传染病模摘要: 本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。
因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。
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描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
数学建模问题重述问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。
现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。
2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。
单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。
（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
传染病感染数学模型论文---精品管理资料
传染病感染问题研究一、 摘要:面对严重影响人类生活甚至生存的传染病感染问题，越来越多的人意识到研究其传染的严峻性和重要性。
许多学者和专家都投入了巨大的精力花费了许多时间来研究各种传染病的传播规律和预防手段,目的就是争取将其对人类的损害降到最低.利用数学模型，建立适当的假设然后对传染病感染问题进行适模拟然后进行研究,找出适当的预防手段是目前研究传染病传播比较流行的做法。
诚然对于现实的复杂和不可预测性我们在建立模型时是无法进行完整的模拟，只能对现实进行适当合理的假设。
因此本文就是就是在对传染病感染进行简单假设(孤岛疾病问题)的基础上对传染病感染问题进行数学建模并根据给出数据验证建模的准确性，分析模型的优缺点并给出改进方案。
二、 关键词：传染病 数学模型 微积分三、 引言:在人类生活中,一直受到各种传染病的困扰，造成各种影响范围巨大人数众多的死亡事件,如十四世纪四十年代肆虐欧洲的“黑死病”，共造成了全世界大约7500万人死亡，其中2500万为欧洲人约占欧洲总人口的三分之一,期间让整个欧洲出现了许多“空城"“死城”影响巨大。
虽然随着医学的进步，诸如霍乱、天花等曾肆虐全球的疾病已经得到了有效的控制，但是一些全新的,不断变异升级的传染病却不间断的向人类袭来,如二十世纪八十年代开始迅速传播艾滋病;以及2003年席卷全球肆虐整个中国的“非典型肺炎（SARS ）"和此后陆续出现的疯牛病、禽流感和猪流感都给人们的生活和生命带来极大的危害和困扰.长期以来，建立传统的传染病模型，模拟和描述传染病的传播过程，解释传播规律，分析受感染人群以及人数的变化规律，探索抑制和制止传染病传播和蔓延手段等,都是世界各国政府和专家学者们关注的课题之一。
研究传染病模型不可能通过实验获得数据，而且从医疗部门和卫生组织得到资料也是十分有限的，而且这些资料绝大多数是不完全和不充分的，同时由于不同的传染病传播的过程方式传染源各有不同，所以，我们只能按照一般的机理建立简单的模型。
数学建摸论文例子-传染病模型
传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。
而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。
并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。
运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合MATLAB编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。
同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。
关键词：微分方程 SARS 数学模型感染率1问题的重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。
2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件1提供的数据供参考。
3)说明建立传染病数学模型的重要性。
2 定义与符号说明N …………………………………表示为SARS 病人的总数；K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数；L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数；dt dN(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数；N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数；t …………………………………表示时间；R 2………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型3.1模型假设1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。
数学模型在传染病传播中的应用
数学模型在传染病传播中的应用传染病一直以来都是人类所关注的重要问题之一。
科学家们通过建立数学模型来研究传染病的传播规律和探索防控策略。
这些数学模型可以帮助我们更好地理解传染病的传播过程，并为疫情预测、防控决策提供科学依据。
本文将就数学模型在传染病传播中的应用进行探讨。
一、基本传染病模型在传染病传播的数学模型中，最经典的就是SIR模型。
SIR模型将人群分为易感染者(Susceptible)、感染者(Infectious)和恢复者(Recovered)，并假设人群之间的传染关系符合一定的规律。
通过建立这个动力学模型，可以研究传染病的传播速度、传播规律以及潜在的控制策略。
SIR模型的基本假设是人群之间的传染是随机发生的，并且传染速率和康复速率是常数。
这种模型虽然简单，但却能很好地描述一些常见的传染病，如流感和麻疹等。
二、改进的传染病模型尽管SIR模型在某些情况下可以很好地描述传染病的传播，但在现实中，很多传染病的传播机制并不完全符合SIR模型的假设。
因此，一些研究者提出了各种改进的传染病模型。
例如，SEIR模型将易感染者和感染者之间引入了潜伏期(Exposed)，即人群已感染但尚未具备传染性。
这种模型适用于研究一些具有较长潜伏期的传染病，如艾滋病和乙肝等。
此外，还有一些模型考虑了空间因素和人口流动的影响。
比如，扩散模型中引入了空间变量，可以研究传染病在不同地理区域的传播规律。
流行病学模型则可以通过分析人口流动的网络结构来研究传染病的传播路径和风险。
三、预测和控制利用数学模型可以对传染病的传播过程进行预测，为疾病防控提供决策依据。
研究人员通过对传染病模型的参数进行估计，结合实际疫情数据，可以预测疫情的发展趋势。
此外，数学模型还可以评估不同的防控策略的有效性。
例如，可以通过模拟研究来比较不同干预措施对传染病传播速度和规模的影响，以及个人防护和社区隔离等措施的有效性。
四、数学模型的局限性尽管数学模型在研究传染病传播中发挥了重要作用，但也存在一些局限性。
数学模型数学论文指导传染病模型
1)
这时病人增加得最快，预示着传染病
高潮的到来， 是医疗部门关注的时
刻。 tm 与 成反比。说明 的
值越大，该地区的卫生水平越高，传
染病高峰期的到来越迟。
模型2（SIS模型）（控制后的传播模型） 有些传染病如伤风、痢疾等，病人治愈后 又成为病人，所以应考虑治疗情况。设每
天治愈的病人数占病人总数的比例为
水平和医疗水平外，另一控制传染病
蔓延的途径是降低 ，s0从而提高 ，
即通r0过群体免疫，使开始时的移出者
增大。
6、实际中，, 的值很难估计，
在（7）式中求得：
ln s0 ln s
1 s
可以通过此式来分析传染病的蔓延过 程。
7、（被传染比例的估计）令，则由
（6）式得：
2x
当阈值1/ 提高时，这个比例会降低。
3、在开始时刻病人数为 i0
模型1（SI模型）（控制前自然传播） 每个病人每天可使 s(t) 个健康人变 为病人，所以有：
di si
dt
i(t) s(t) 1
i(0) i0
（此模型为阻滞增长 logistic）模型）
解此微分方程组得
1 i(t)
1 ( 1 1)et i0
i(t)
1
1 ( 1 1)et
i0
此式中当 t 时， i(t) 1
，说明
在不进行控制的情况下，最终所有人全
变为病人。同时由（1）式知，当 i 1 时， di 达到最大，这个时刻为 2
dt
tm
1 ln( 1
i0
1)
tm
1 ln( 1
一类具有双线性发生率的传染病模型 毕业设计论文
一类具有双线性发生率的传染病模型摘 要：本文研究了一类具有因病死亡因素的SIR 传染病模型和一类具有接种免疫的SIR 传染病模型. 具有因病死亡因素的SIR 传染病模型中，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov 函数, 得到如下结论：当01R ≤时，无病平衡点0E 是全局渐近稳定的；当01R >时，0E 不稳定；当01R >时，正平衡点E +是全局渐近稳定的.同时，在经典SIR 模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR 传染病模型，利用数值分析的方法对其传播过程进行研究，通过理论分析证明其渐近稳定性．与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流行过程中的一些全局性态．关键词：SIR 传染病；无病平衡点；全局渐近稳定性；接种免疫An Sis Epidemic Model With Bilinear Incidence RateAbstract: We investigate an SIR epidemic model with disease-reduced death rate. Then the stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium is discussed. By the linearization method and using Lyapunov functions, we obtain the following results: when the basic reproduction number 01R ≤, the disease-free equilibrium 0E is globallyasymptotically stable; while 01R >，0E is unstable, and the endemic equilibrium E + is globally asymptotically stable. At the same time, based on the traditional SIR model to construct a SIR epidemic model with vaccination, using the numerical analysis method to study the propagation process, through theoretical analysis proves the asymptotic stability. Compared with the traditional statistical methods, using the model to better understand the epidemic process in some global behavior.Key words: SIR model ； Disease-free equilibrium ；Global stability ；Vaccination目录1 绪论 (1)1.1 论文研究的背景及意义 (1)1.1.1 研究的背景 (1)1.1.2 国内外研究现状 (4)1.2 研究的主要内容 (4)1.3 采用的方法、手段以及步骤等 (4)2 SIR模型简介 (5)2.1 传染病动力学的基本概念 (6)2.1.1 传染病动力学模型的提出 (6)2.1.2 SIR仓室模型 (6)2.2 相关定义和理论 (8)2.3 本章小结 (10)3 具有因病死亡因素SIR模型及稳定性分析 (11)3.1 具有因病死亡因素SIR模型的建立 (11)3.1.1 模型概述 (11)3.1.2 传染病流行的框图 (12)3.1.3 SIR传染病模型的建立 (12)3.2 无病平衡点的稳定性 (12)3.3 正平衡点的稳定性 (13)3.4 本章小结 (16)4 带有接种免疫的传染病模型 (17)4.1 带有接种免疫的传染病模型的建立 (17)4.1.1 模型概述 (17)4.1.2 相关参数 (17)4.2 对带有接种免疫的传染病模型的稳定性分析 (19)4.2.1 对时滞微分系统的分析 (19)4.2.2 对无病平衡点的稳定性分析 (19)4.2.3 对地方平衡点的稳定性分析 (20)4.3 本章小结 (21)5 总结 (22)参考文献 (22)致谢 (23)1 绪论1.1 论文研究的背景及意义1.1.1 研究的背景世界卫生组织(WHO)发表的世界卫生报告表明，传染病依然是危害人类健康的第一杀手.传染病对人类的生产生活产生了巨大影响.回顾传染病的历史，传染病给人类带来的死亡，或者创伤比战争的总和还要大.首先从历史上看，最严重的瘟疫是古希腊在雅典发生的瘟疫；然后是六世纪的时候，东罗马拜占庭发生鼠疫；接下来是十二、十三世纪的时候，欧洲又兴起一个麻风病，到了十四世纪的时候，欧洲发生了一次非常大的鼠疫，也称为黑死病，当时整个欧洲流行鼠疫，死亡了两千万人，造成非常恐怖的一种景象.在记忆当中，我们国家也发生过大的流感，1957年有一次非常大的流行，到了1968年又有一次，到1998年又有一次，都是全世界范围的，相当大范围的一种流行.那么，究竟传染病的传播规律是什么?它是如何持续下去并发展成为地区性疾病的?此种疾病怎样才会最终消亡，染病个体怎么样才能恢复健康等一系列问题都是人们十分关注的问题.由此可见我们必须对生态及传染病进行研究，对于我们的研究方向来说，就是用动力学的方法对种群生态学和传染病的传播规律进行研究，研究种群、传染病随时闻的演变规律以及种群、传染病与周围环境之间的关系.具体地说就是研究随着时间的推移种群是持续生存还是走向灭绝，传染病是继续传播还是消失，种群的规模和传染病的传播是否具有平衡态，这种平衡态是否稳定，是动平衡还是静平衡？环境的变迁(如污染、病菌和人为的破坏)将对种群和传染病产生怎样的影响等问题，这些问题用动力学的方法来研究就转化为种群动力学模型和传染病动力学模型(包括微分动力系统模型和时滞微分系统模型)解的存在唯一性、渐近性、振动性、稳定性和极限环等问题，而分支的存在性，就使得自然界的变化规律显得更加复杂，其实这也是符合客观事实的，从某种意义上说全局稳定是一种理想化的结果，分支和混沌的存在才是自然界发展变化的规律，疾病的传播也是如此.所以，对分支的研究就更加必要.通过对种群生态动力系统和传染病动力系统的研究，我们可以对种群进行合理的开发、利用、控制和保护，对传染病进行合理的控制、预防和治疗.因此，研究种群动力系统和传染病动力系统，不论在理论上还是实际生活中都有重要的指导意义.随着社会经济的发展和人民生活水平的提高，传染病仍然是威胁人类健康的第一大杀手.从卫生部公布的全国法定报告传染病疫情中就能看出端睨. 2004年全国甲、乙类传染病发病总数为318万多例，死亡7151例.发病数居前5位的病种为：肺结核、乙型肝炎、痢疾、淋病、甲型肝炎，占发病总数的85.01%，死亡数居前五位的病种依次为：狂犬病、肺结核、乙型肝炎、艾滋病、新生儿破伤风，占死亡总数的82.65%.卫生部公布的05年3、4季度法定传染病疫情甲、乙类发病数居前五位的病种为肺结核、乙肝、痢疾、淋病、梅毒.死亡数居前五位的病种依次为：肺结核、狂犬病、艾滋病、乙肝、乙脑或出血热.发病数和死亡数居前五位的传染病，均是危害民众健康主要的和重大的传染病.尽管从中央到地方各级政府和卫生管理、医疗部门采取一系列重大措施加以防治，但每位公民从自身做起，主动健康和主动防治是必不可少的.结核病是历史上对人类健康危害最大的疾病之一.在19世纪，“白色瘟疫”—肺结核（痨病）曾无情地夺走了无数人的生命.直到1945年特效药链霉素的问世才使肺结核不再是不治之症.随着抗生素、卡介苗和化学药物的问世，肺结核一度得到很好控制.但是近年来肺结核却在全球死灰复燃.自2000年以来全球每年有200万人死于肺结核，近千万人新感染结核病.我国目前约有5.5亿人感染过结核菌，感染率达44.5%.全国有活动性肺结核病人达500多万人，居世界第二，且80%患者在农村.每年全国新发生患者约145万人，有13万死于结核病及其并发症，约有1/4患者呈耐药性.自05年3月份起肺结核首次超过狂犬病成为甲、乙类传染病死亡率最高的病种.由于肺结核病菌的抗药性和结核杆菌的变异，提高了这种疾病的威胁，让肺结核成为致命的传染病.没有治疗过的结核病人是最危险的传染源，而结核病患者一经治疗其传染性可迅速降低.因此，发现和及时治疗结核病人是防治的头等大事.讲究卫生，不随地吐痰，儿童期接种卡介苗，劳逸结合，加强锻炼等均可较好地预防结核病.我国是乙肝高发区，人群感染率达60%左右，其中10%成为慢性乙肝病毒携带者.因此全国大约有7亿多人曾经感染过乙肝病毒，其中约1.3亿人是乙肝病毒携带者.在乙肝病毒携带者中，约25%的人最终将转化为慢性肝炎，包括肝硬化和肝癌，每年因此死亡约30万例，其中一半是因肝癌而死亡.因无特效药治疗乙肝，一旦发病只能对症治疗，全国一年用于肝炎治疗直接费用超过1000亿元.一个人如果感染了乙肝病毒，不仅严重影响身心健康，干扰正常生活，影响升学、就业、婚姻，还给家庭带来沉重的经济负担.同时慢性乙肝病毒携带者外表上看不出有病的样子，本人也没有不舒服的感觉，但这些人可以把病毒传给健康人.乙肝病毒主要通过血源性传播、母婴传播、医源性传播、性接触传播和密切性传播等途径传播疾病.只要及早接种乙肝疫苗，注意切断传播途径，乙肝是可以很好的预防的.狂犬病又称疯狗病、恐水症，是由狂犬病毒感染人引起的疾病，表现为急性、进行性、几乎不可逆转的脑脊髓炎.犬伤者经过二至八周潜伏期才会发病，也有的长达数十年才发病，一旦发病，病死率高达100%.狂犬病毒是人畜共患的急性传染病，除狗和猫可以传染外，狐狸、狼、猪、鼠、兔、牛和蝙蝠等很多动物都可传染狂犬病，一些表面上“健康”的狗可能带有狂犬病毒.近年来我国狂犬病发病数持续快速上升，一个主要的原因是城乡各地养犬数大量增加，而犬的免疫接种率却很低，管理中漏洞多，犬伤人事件时有发生，且有相当多的人在被犬伤后没有按规范处理伤口，没接种狂犬病疫苗和抗血清，致使狂犬病成为传染病死亡的主要疾病之一.在05年3月以前，连续7年狂犬病死亡率一直处于我国法定传染3 病的第一位.每年我国因被动物咬伤接种狂犬病疫苗人数约800—1000万人，处理伤口、注射疫苗与抗血清等直接药费约15—20亿元.狂犬病的流行不仅是一个健康的问题，更与社会的文明和法规健全有直接的关系.要防止狂犬病的流行，首先要做到狗的管理和免疫工作，家养宠物应定期注射动物疫苗.人被动物咬伤或抓伤应立即处理伤口并注射疫苗.狂犬病是“可防不可治”的疾病，做好预防工作尤为重要.例如艾滋病是一种病死率极高的严重传染病，目前还没有治愈的药物和方法，但可以预防.艾滋病医学名称为“获得性免疫缺陷综合征”（AIDS），是由艾滋病毒（HIV）引起的一种严重传染病.艾滋病毒通过性接触、血液及其制品、母婴传播疾病，病毒侵入人体后破坏人的免疫功能，使人体发生多种难以治愈的感染和肿瘤，最终导致死亡.艾滋病病毒感染者的血液、精液、阴道分泌液、乳汁、伤口渗出液中均含有大量艾滋病毒，具有很强的传染性.感染者经过7—10年间的潜伏期可发展为艾滋病病人，在此之前外表看上去正常，可以没有症状的生活和工作，但能将病毒传染给其他人.我国于1985年发现首例艾滋病到现在已达84万.艾滋病感染者年增长速度40—58%.与国家和各级政府提出的艾滋病感染率年增长10%的控制目标相距甚远.如果控制不好到2010年我国将有 1000万艾滋病毒感染者.艾滋病带来的早死和残疾、期望寿命降低、沉重的家庭和社会负担以及严重损害综合国力的提高和国家的国际声誉已是不争的事实.而艾滋病更是一个关系民族振兴乃至国家安全的政治问题，每一位公民应该以高度的社会责任感和政治责任感来重视和开展预防工作，才能遏制艾滋病的传播.性病是一种通过性传播的疾病，包括淋病、梅毒、生殖器疱疹、艾滋病等.新中国成立后，由于政府十分重视性病的防治工作，性病曾在20世纪50年代中期迅速减少和消失.但从1980年以来，性病在我国重新出现，并迅速蔓延.性病是危害人类最严重、发病最广泛的一种传染病，它不仅危害个人健康，也殃及家庭，遗害后代，同时还危害社会.性病的流行已对人们的健康和社会发展构成了严重威胁.性病对人体健康的损害是多方面的，得病后若不能及时发现并彻底治疗，可损害人的生殖器官，导致不育，还可损害心脏、脑甚至死亡.有些性病一旦染上难以治愈.还有相当一部分性病患者症状较轻或没有任何明显症状，却可以通过性病传播途径传给其他健康人.性病防治是一项社会性很强的工作，在动员社会各方面齐抓共管，综合治理同时，加强性病知识的普及教育，提高人们的自我防护能力，是预防和控制性病的有效方法.人类跟传染病做斗争的历史，到现在这个阶段取得了非常大的胜利.从传染病的历史，以及人跟传染病做斗争的历史里边我们得到这样三个方面的启示：第一个，传染病是将长期存在，一定要有这个思想准备.因为我们人类和微生物和其他的生物都是在这个自然界共存的，它们之间是一个相生相克的这样互相制约的这样一个作用，所以应该说是一个长期存在的.第二个启示，就是现代科学的发展，根本改变了人类与传染病力量的对比.那么最后我要讲的第三个启示，充分重视传染病，了解它们，用科学的方法去对抗，例如传染病动力学.目前全球60亿人口中约有半数受到各种不同传染病的威胁.因此对各种传染病的传播机理的研究就显得极其紧迫.1.1.2 国内外研究现状目前，对传染病的研究主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究.传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略，为人们防制决策提供理论基础和数量依据. 与传统的统计方法相比，动力学方法能更好地从疾病的传播机理方面来反映流行规律，能使人们了解流行过程的一些全局的性态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真等方法相互结合、相辅相承，能使人们对传染病流行规律的认识更加深入全面，能使所建立的理论与仿控策略更加可靠和符合实际.近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题.这些数学模型大多使适用于各种传染病的一般规律的研究.1.2 研究的主要内容本文旨在结合基本的SIR 模型，引入因病死亡因素构造新的SIR 模型，并考虑基于经典的双线性传染率的SIR 模型，建立一类具有接种的SIR —V 传染病模型，并进行定性分析.主要是平衡点的全局稳定性分析.1.3 采用的方法、手段以及步骤等本文研究了一类具有双线性发生率的SIR 传染病模型，考虑了疾病的因病死亡因素，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov 函数，得到如下结论：当01R ≤时，无病平衡点0E 是全局渐近稳定的，当01R >时，0E 不稳定；当01R >时，正平衡点E +是全局渐近稳定的.同时考虑基于经典的双线性传染率的SIR 模型，建立一类具有接种的SIR —V 传染病模型，讨论模型的无病平衡点和地方病平衡点.通过线性化方法和Lyapunov 函数，得到如下结论：存在无病平衡点111(,)(,0)(1)d A P S I d pe -τ=+-.当11R >时还存在唯一的地方病平衡点22211(,)(,(1))d A P S I d R +α+γ=-β+α+γ，当11R ≤时1P 在D 上是全局渐近稳定的；当11R >时2P 在D 内是全局渐近稳定的．2 SIR 模型简介2.1 传染病动力学的基本概念2.1.1 传染病动力学模型的提出传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性，疾病发生和种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性定量分析和数值模拟来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预和控制的最优策略，为人们防止疾病提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比，动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律，能使人们了解传染病中的一些全局动态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成，能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面，能使所建立的理论与防治策略更加可靠和切合实际.早在1760年，D．Bernoulli曾用数学研究过天花的传播．但是20世纪初确定性的传染病模型的研究才开始．1906年Hamer为了研究荨麻疹的反复流行，构造了一个离散型的时间模型．获得两次诺贝尔奖的Ross博士利用微分方程研究了痢疾在蚊子和人类之问传播的动态行为．1926年．Kermack和McKendrick为了研究1665到1666年的黑死病在伦敦的流行规律以及1906年的瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，又在1932年提出了SIS模型，在分析模型的基础上提出了区分疾病流行与否的“阀值理论”，为传染病动力学的发展奠定了基础.传染病动力学的建模和研究于二十世纪中叶开始蓬勃发展，作为标志性的著作是Bailey于1957年出版的专著《数理流行病学》.优化控制的方法也常被用于传染病动力学的研究.近年来，国际上传染病动力学的研究被用于分析各种各样的传染病问题.这些数学模型大多适用于各种传染病的一般规律的研究，也有部分是针对诸如麻疹、疟疾、肺结核、天花等诸多具体疾病的模型.在传染病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”(compartment)模型，它的基本思想是由Kermack与McKendriok创立于1927年，但一直到现在仍然被广泛的使用和不断的发展着，由于历代科学家的不断努力，这种思想现在越来越完善.2.1.2 SIR仓室模型下面简要介绍SIR仓室模型：SIR仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：(1)易感者(susceptibles)类其数量记为()S t，表示在时刻为染病但可能被该类疾病传染的人数.(2) 染病者(infectives)类 其数量记为()I t ，表示在时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数.(3) 移出者(removed)类 其数量记为()R t ，表示在时刻已从感染者类移出的人数. Kermack —McKendrick 模型基于下面三种假设：1) 设总人口为()N t , 则有()()()()N t S t R t I t =++. 不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素，这意味着考虑一个封闭的环境且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时问变化明显很多，从而后者可以忽略不计，这样，这个环境的总人口()N t 就始终保持一个常数C ：()()()()N t S t R t I t C =++= ，K-M 的SIR 模型是一个十分简单粗糙的模型.2) 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力，我们假设时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()S t 成正比，比例系数为β, 从而在时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为()()S t R t β.3) t 时刻，单位时间内从感染者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，从而单位时间内移出者数量为()I t γ. 显然，γ是单位时间内移出者在病人中所占的比例，称为移出率系数，当不致混淆时也简称为移出率.当移出者中包括康复者时，移出者系数又称为恢复率系数或简称为恢复率[1]. 在以上假设下，其过程如图1-1所示：图1-1 SIR 传染病基本模型框图模型是比SIR 模型较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持.后来很多研究人员对SIR 模型做了推广.在不考虑出生和死亡等种群动力学因素的情况下，传染病若无潜伏期，动力学模型可表示为：SI 模型，患病后难以治愈；SIS 模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力；SIR 模型，患病者治愈后可获得终身免疫力；SIRS 模型，病人康复后有暂时的免疫力，单位时间内将有部分患者丧失免疫力而可能被再次感染.若考虑传染病的潜伏期，在三类人群中增加一类，感染而未发病者（Exposed ），可在SIR 或SIRS 模型的基础之上得到更为复杂的SEIR 或SEIRS 模型.若考虑种群动力学、疫苗接种、隔离以及密度制约、年龄结构等更为复杂的因素，模型的参数和复杂程度也将增加.2.2 相关定义和理论定义2.1考虑自治系统：()dxf x dt = （2-1）其中[,]n n f C D R R ∈⨯.设D Ω∈是一开子集,1(,)V C R ∈Ω,若(2-1)的轨线有全导数： ().()0dvgardV x f x dt =≤ 则称V 是系统（2-1）的Lyapunov 函数. 定理2.2 Lyapunov 定理设方程(,)x F t x =,当0t t >时, 在原点临域:||||x H Ω<内解存在且唯一，如果在原点临域Ω存在一个正（负）定函数(,)0((,)0)V x t V x t ><它沿着解得全导数1(,)n i i i d v d x V VF t x d v d y t x =∂∂==+∂∂∑是常负（常正）或恒等于零，则方程平凡解是稳定的.由于特征根实部的符号在稳定性问题中有关键性的作用，这里列出Hurwitz 准则. 它给出特征方程根由负实部的充分必要条件. 定理2.3 Hurwitz 判据 考虑多项式方程121210n n n n n a a a a λλλλ---+++⋯⋯++=，其中00a =.作Hurwitz 行列式10101123321325430,,,a a a a H a H H a a a a a a a a ===⋯⋯,上式延伸得：10321121000,.k n n n k ka a a a a a H H a H a a --==(1) 所有特征根具有负实部的充分必要条件是，所有的Hurwitz 行列式的值大于零，既()01,2,...,;i H i n >=(2) 所有特征根具有负实部的必要条件是，特征方程的所有系数()00,...,i a i n >=. 定义1.4假设A 是一个n×n 常数矩阵，使得关于u 的线性代数方程组()E A u λ-= (2-2)具有非零解的常数λ称为A 的一个特征值.（2-2）的对应于任一特征值λ的非零解u 成为A 的对应于特征值λ的特征向量.N 次多项式()()det p E A λλ≡-称为A 的特征多项式，n 次代数方程 ()0p λ= (2-3)称为A 的特征方程. 定义2.5广义Jacobi 矩阵是指如下矩阵形式：1112111n n n n a b c a J a b c a ---⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2-4) 其中，()()01,2,...,1,1,2,...,i i i cb i n a R i n >=- ∈=. 定理2.6 Lasalle 不变原理设D 是一有界闭集，从D 内出发的自治统：()dxf x dt = (2-5)的解()0,,x t x D θ⊂(停留在D 中)若存在():V x D R →,具有一节偏导数，使得()120Dv dt -≤,又设()120,,dVE x D M E dt -⎧⎫⎪⎪=≤∈⊂⎨⎬⎪⎪⎩⎭是最大不变集，则当t →∞时，有()0,,x t x M θ→，特别的，若{}0M =则(2-5)式得平凡解是渐近稳定的.定理2.7考虑n 阶常系数线性微分方程组 dxAx dt = (2-6) 其中1λ为方程组(1-6)的系数矩阵Ａ的特征方程()det 0A E λ-= (2-7)若特征方程(2-7)的根均具有负实部，则方程组(2-6)的零解是渐近稳定的.若特征方程(2-7)具有正实部的根，则方程组(2-6)的零解是不稳定的，若特征方程(2-7)没有正实部的根，但有零根和零实部的根，则方程组(2-6)的零解可能是稳定的也可能是不稳定,这样看零根或具零实部的根其初级因子的次数是否等于1而定. 定义 2.8设f 是一个实对称双线性函数，而且对任意非零向量(),,0V f ααα∈<，则称f 是负定的. 定义2.9 lipschitz 条件若存在常数K,使得对定义域D 的任意两个不同的实数12,x x 均有：()()1212f x f x K x x -≤-成立，则称()f x 在D 上满足lipschitz 条件. 定理及推论 2.10 比卡存在和唯一性定理 设初值问题()()()00,,dyF f x y y x y dx==其中，(),f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤内连续，而且对y 满足lipschitz 条件，则(F )在区间[,]I t h t h =-+上有且只有一个解，其中()()3,min ,,max ,t P R n h m M f t P M +∈⎛⎫=> ⎪⎝⎭由上述定理我们可以得到一下推论：满足局部Lipschitz 条件的(),f t P 的解在大范围3R +上存在且唯一. 2.3 本章小结本章主要是简要介绍传染病动力学的提出及运用，并介绍了基本的SIR 仓室模型.在此基础之上列举了在以后的计算中将要运用到的定理与推论，如lipschitz 条件、比卡存在和唯一性定理等等.。
传染病数学建模论文
甲型H1N1流感传播模型研究摘要本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。
一、问题重述近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。
二、问题分析甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。
在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。
SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。
本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。
美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：三、建立模型（一）、不考虑潜伏期的数学模型1、模型假设（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。
（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。
病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。
治愈的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。
（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。
2、模型构成易感者和发病者有效接触后成为发病者者。
设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。
所以有：()()()dS t S t I t dtλ=- （1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即()()dR t I t dtν= （2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即()()()()dI t S t I t I t dtλν=- （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。
数学建模论文sars
数学建模论文论文题目：北京SARS的传播研究姓名:熊坤学号:********* 专业:机械设计制造及其自动化姓名: 何红学号:********* 专业:信息与计算科学姓名:劳洁琼学号:********* 专业:通信工程摘要SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中北京感染2847，给我过社会和经济带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS 的认识，疫情分析及对北京疫情走势的预测研究也变得尤为重要。
为提高人们对疾病的SARS的认识并通过数学方法控制疫情的传播，本文对北京市的SARS传播问题建立了数学模型，针对疫情传播特点，构建控前模型和控后模型。
针对问题一：本文研究附件一的模型N(t)=NO(1+K)，分析得出模型是基于现实中的自然状态，描述出了SARS传染病最核心最本质的变化趋势。
因此该模型具有的合理性。
针对问题二：对于附件1的模型建立优于它控前模型和控后。
根据定义与假设列出相应的所需的方程组，由直接拟合推导各个参数存在较大的困难，因此采用整体拟合。
再通过相应式子计算预测每日新增的隔离的SARS病毒感染者，整理相应的数据；最后预测北京最终的累计感染非典人数。
据此，在后标题“模型的评论与改进”中阐述对卫生部门锁采取的措施的评论。
针对问题三；通过对早期模型和实际情况的分析，我们认为影响SARS传播因素众多，大致可分为时域因素和地域因素。
列举如下：(1)时域因素a．政府干预：初期疫情较轻，政府介入不足，后期疫情较重，政府加强干预（如：强行隔离，公共场所消毒等行为）。
b．媒体宣传：初期疫情较轻，媒体宣传强度很弱，导致民众的自我保护意识不足，容易感染；后期疫情较重，媒体宣传强度很大，民众的自我保护意识大大加强。
c．认识程度：当一种新的传染病出现时，初期因为研究人员的认识程度不足，没有及时设计并采取有效的预防和治疗措施，但随着研究的深入，认识程度会越来越高。
(2)地域因素a．人口密度和人口流动：人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市严重。
基于数学模型的传染病传播与控制优化
基于数学模型的传染病传播与控制优化传染病是指通过直接接触或间接传播等方式传播给人群的一类疾病。
在人群中的传播速度和范围，直接影响到传染病的控制和防治工作。
为了有效控制和防止传染病的蔓延，数学模型成为传染病传播与控制优化的重要工具。
一、传染病的传播模型传染病传播模型是数学模型研究的重点之一，根据传播方式的不同，传染病传播模型可以分为直接接触传播模型和间接传播模型。
直接接触传播模型常用的数学模型有SIR模型、SEIR模型等。
S代表易感人群（Susceptible），I代表感染人群（Infectious），R代表恢复人群（Recovered）。
通过建立基于这些模型的微分方程，可以描述传染病在人群中的传播过程，进而预测传染病的爆发高峰期、感染规模等重要参数，为制定针对性的防控策略提供依据。
间接传播模型的研究中，常用的模型有矩阵模型和网络模型等。
矩阵模型通过构建传染病的接触矩阵，描述人群之间的接触情况和传播风险，可以定量评估传染病的传播速度和范围。
网络模型则通过建立人群之间的联系网络，研究传染病在网络结构中的传播规律，以便为传染病的防控提供科学的意见和建议。
二、传染病控制优化传染病的控制优化是指根据传播模型的描述和参数，通过优化策略和手段，最大程度地减少传染病的传播速度和范围。
1. 接种疫苗：疫苗是预防传染病的有效手段之一。
在数学模型中，可以通过调整疫苗接种率和覆盖率等参数，优化控制策略，最大限度地减少感染人数。
例如，针对流感病毒，研究人员可以通过传播模型的优化，制定疫苗接种策略，提高疫苗覆盖率，以减少流感的传播速度和规模。
2. 提高卫生意识：公众卫生教育和个人卫生意识的提高，是控制传染病传播的重要手段之一。
通过数学模型，可以评估传染病防控策略的效果，并提供相应的建议。
例如，建立基于传染病传播模型的盲人质量模型，可以有效评估公众卫生教育和个人卫生行为的影响因素，为优化相关策略提供科学参考。
3. 减少人群接触：控制人群接触是传染病传播控制的重要手段之一。
麻疹的传播数学建模优秀论文
麻疹的传播数学建模优秀论文
麻疹是一种高度传染的疾病，对公共卫生和社会稳定造成了严
重威胁。
为了更好地理解和控制麻疹的传播，许多学者进行了数学
建模的研究。
下面简要介绍一篇优秀的麻疹传播数学建模论文。
论文标题：《麻疹传播的数学建模与分析》
该论文通过数学建模的方法，对麻疹的传播进行了深入的分析
与研究。
论文的主要内容包括以下几个方面：
1. 麻疹的基本传播模型：论文首先介绍了麻疹的基本传播模型，包括传播率、感染率、康复率等关键参数的定义和计算方法。
作者
将传染病学理论与数学模型相结合，建立了一个准确且可靠的麻疹
传播模型，为后续的研究奠定了基础。
2. 麻疹传播的时空特征：论文通过对麻疹传播的时空特征进行
分析，揭示了其传播规律和趋势。
作者运用数学方法对不同地区、
不同时期的麻疹传播数据进行了建模和预测，为公共卫生部门提供
了重要的决策依据。
3. 基于数学模型的防控策略：论文还探讨了基于数学模型的麻
疹防控策略。
作者通过对不同防控措施的模拟和仿真实验，评估了
各种策略的有效性和可行性，并提出了相应的建议和改进方案。
该论文在麻疹传播数学建模领域取得了显著的成果，对于预防
和控制麻疹的传播具有重要的理论和实际意义。
通过对该论文的深
入研读和借鉴，我们可以更好地理解和应对麻疹这一公共卫生问题。
传染病问题的模型-建模论文
传染病问题的模型参赛选择题号： 1 参赛报名组号： 95 参赛队员姓名：1. 孟高阳2. 白由田3. 王英杰传染病问题的模型【摘要】随着医学的发展，我们已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发，危害人们的健康和生命。
经济、环境、地理位置等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
本文通过详细分析、合理假设，对传染病问题建立模型，分析被传人数多少与初始被感染人数和传播时间等因素有关，同时我们运用最浅显的初等几何知识、微分方程的求解以及利用Matlab软件上机运算等方法，得到了该模型的优缺点，并做出了改进方案。
【关键词】传染病 Matlab AutoCAD 微分方程阈值相轨线分析Ⅰ、问题重述在一个人口数量N 的孤岛上，一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。
请预测在某时刻t 将会被感染的人数X 。
考虑一下模型，其中k ＞0为常数：)(X N kX dtdX-= (1) 本文主要通过以下四个方面对本问题进行分析：1、找出本模型所隐含的两条主要假设；2、利用所给模型的函数，做出关于被感染人数和传播时间的图形；3、根据(f)所给数据，计算得出结论是否支持该模型；4、通过进一步分析，提出对本模型的改进方案。
Ⅱ、模型一一、模型假设1、在疾病传播期内该岛总人数N 不变，不考虑人的生死、迁移、治愈以及具有免疫力的情况。
2、每天每个病人有效接触的平均人数为常数k 。
二、假设依据根据题目给出方程可知，在t 时刻共有)(X N kX -个健康者被感染，而没有死亡的、迁移的、治愈的以及具有免疫力的人。
孤岛上的总人数没有发生改变，旅游回来的居民携带着传染病，每天由于人员的流动性，并且没有对岛上的居民进行有效的宣传，因此随着时间的推移，岛上得病的人将会越来越多，而每天每个病人有效接触的平均人数基本稳定，因此k 为常数。
SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文
SARS传播的数学模型（轩辕杨杰整理)摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足。
第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据,具有一定的主观性.针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后,把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期,高峰期和衰退期4个阶段。
将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型。
采用离散化的方法对本模型求数值解得到:北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合。
应用SARS传播模型,对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析,得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数;“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间。
在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难。
本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23。
22亿元人民币损失,并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常。
最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.1．问题的重述SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.（2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因;说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型,并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施,如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响。
传染病数学模型
传染病数学模型传染病是一种严重的公共卫生问题，它可以通过空气、水和食物等媒介传播，对人类社会造成极大的危害。
为了有效地控制传染病的传播，需要对传染病进行数学建模，以便更好地预测和控制其传播。
一、引言传染病数学模型是一种利用数学工具来模拟传染病的传播和扩散的模型。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
二、传染病数学模型的建立1、确定模型的基本假设和参数建立传染病数学模型需要先确定模型的基本假设和参数。
这些假设和参数包括：传染病的传播途径、潜伏期、感染期、易感人群的数量、人口的流动等。
2、建立数学方程基于上述假设和参数，可以建立传染病传播的数学方程。
常用的方程包括：SIR（易感者-感染者-康复者）模型、SEIR（易感者-暴露者-感染者-康复者）模型、SEIRD（易感者-暴露者-感染者-康复者-死亡者）模型等。
这些模型可以描述传染病的传播过程，并预测其未来的发展趋势。
三、传染病数学模型的应用1、预测和控制传染病的传播通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
例如，通过模拟不同防控措施的效果，可以找到最有效的防控策略，减少传染病的传播。
2、评估疫苗接种的效果通过建立数学模型，可以评估疫苗接种的效果。
例如，通过比较接种疫苗和不接种疫苗的传播情况，可以得出疫苗接种对控制传染病传播的作用。
四、结论传染病数学模型是一种有效的工具，可以帮助我们更好地理解和控制传染病的传播。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
通过评估疫苗接种的效果，可以为制定合理的疫苗接种策略提供支持。
标题：数学模型在数学论文指导传染病模型1中的应用在当今世界，传染病的爆发和传播已经成为全球面临的共同挑战。
为了有效控制疾病的传播，我们需要对传染病模型进行深入研究。
传染病动力学的数学建模与研究论文
ｒｅ酉ｏｎ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ
ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｃｕｌｌ ｒａｔｅ
ｃａｎ
ｏｒｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎｒａｔｅ
ＳＯ
ｔｈａｔ ｉｎｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｔｅ ｋｉｌｌｉｎｇ ｏｆ ｄｏｇｓ
ｂｅ ａｖｏｉｄｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｎｕ－
ｍｅｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ｃｈｏｉｃｅ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｍｅａｓｕｒｅｓ， ｗｈｉｌｅ ｃｕｌｌｉｎｇ ｉｓ ｔｈｅ ｗｏｒｓｔ。Ａｔ ｌａｓｔ ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｓｕｇｇｅｓｔｓ ｔｈａｔ ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｔｈｅ ｍａｉｎ
ｏｎ
ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓ ｄｉｓｅａｓｅｓ
ａｎｄ ｓｏｍｅ
ｂａｓｉｃ ｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｆｏｒｍｓ ａｎｄ ｓｔｕｄｙ
ｐｒｏｇｒｅｓｓ ｏｆ ｅｐｉｄｅｍｉｃ
ｄｙｎａｍｉｃｓ．
Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｐａｒｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｄｏｎｅ ｉｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｐｉｄｅｍｉｃａｌ ｍａｃｒｏ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ Ｃｈｉｎａ’Ｓ ａｃｔｕａｌ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ、ｔｗｏ ｏＤＥ ｍｏｄｅｌｓ ｍｉｓｓｉｏｎ ｏｆ ｒａｂｉｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｄｏｇｓ ａｎｄ
ｍｅａｓｕｒｅ ｉｎ ｕｒｂａｎ ａｒｅａｓ，ｗｈｉｌｅ ｃｕｌｌｉｎｇ＋ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ
Ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｐａｒｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｄｏｎｅ ｉｎ
ｉｎ ｒｕｒａｌ
ａｒｅａｓ ｆｏｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ
传染病模型数学建模论文
甲型H1N1流感传播模型研究摘要本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。
一、问题重述近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。
二、问题分析甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。
在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。
SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。
本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。
美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：三、建立模型（一）、不考虑潜伏期的数学模型1、模型假设（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S，发病人群I和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。
（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。
病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。
治愈的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。
（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。
2、模型构成易感者和发病者有效接触后成为发病者者。
设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。
所以有：()()()dS t S t I t dtλ=- （1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即()()dR t I t dtν= （2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即()()()()dI t S t I t I t dtλν=- （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。
Modeling_传染病的数学建模与分析
传染病的数学建模与分析
一、
时间：2010 年 9 月 7 日 地点：2 楼阶梯教室
染病高潮到来的时刻；预防传染病蔓延的手段。
二、 基本的传染病动力学模型
在传染病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”（compartment） 模型，它的基本思想由 Kermack 与 McKendrick 创立于 1927 年，但一直到现在仍然被广泛 的使用和不断地发展着。下面我们以他们提出的一个经典的基本模型为例，来阐述建立仓室
糙的模型。它的建立基于以下三个基本假设：
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。这意味着考虑一个封闭环境而 且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多，从而后者可以忽略不计。这
样，此环境的总人口始终保持为一个常数，即 N(t) K ，或 S(t) I (t) R(t) K 。
图 1-3 SARS 传播的 SIR 框图
dS (t ) dt
bN
(t)
S (t
)
(t)S
(t)I
(t)
dI (t) dt
(t )S (t ) I
(t)
(
(t)
(t))I
(t)
dR(t) dt
(t)
I
(t)
数学建模论文-传染病模型)
传染病模型摘要“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。
利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。
由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。
问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。
问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。
如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。
为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。
先把问题简化，建立相应的数学模型。
将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
从而使模型逐步完善。
下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一．问题的提出描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。
问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
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甲型H1N1流感传播模型研究
摘要
本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。
一、问题重述
近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。
二、问题分析
甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。
在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。
SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。
本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。
三、建立模型
（一）、不考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不
考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。
（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。
病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。
治愈
的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。
（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为发病者者。
设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。
所以有： ()()()dS t S t I t dt
λ=- （1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即
()()dR t I t dt
ν= （2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即
()()()()dI t S t I t I t dt
λν=- （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。
3、模型求解
方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 /σλν=，于是可以求出方程的解为：
000
1()ln s i s i s s σ=+-+ （4） 下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况：
a 、不论初始条件0S 、0R 如何，病人最终将消失，即0i ∞=。
b 、最终未被感染者的健康者的比例是s ∞，是方程
0001()ln 0s s i s s σ
+-+=在(0,1/)σ内的根。
C 、若01/s σ>，则开始有：()i t 先增加。
当01/s σ=时，()i t 达到最大值，然后()i t 减小且趋于零，()s t 则单调减小至s ∞。
d 、若01/s σ≤，则()i t 单调减小至5，()s t 则单调减小至s ∞。
我们发现人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越高，于是σ越小，所以提高卫生水平和医疗水平有利于传染病的蔓延。
结合美国的具体情况和假设条件进行分析：
根据所得的数据画出美国患病人数变化曲线和治愈人数变化曲线：
根据图形来看，甲型h1n1流感在美国呈现出蔓延的形式，即现在属于01/s σ> 的情况，即 0/1/s σλν=>。
由假设条件可知λ的取值范围在1.4~1.6之间。
现在我们取λ=1.6，则表示0/(1/) 1.6s νλ<=，即美国每天平均治愈的人数最多为1.6人，这与美国疾病预防与控制中心所发布的数据不同。
如果美国平均每天治愈1.6个人的话，那么从4月23日期，治愈的总人数为1.6*2336.8=人，这与实际的情况相差甚远。
产生这个问题的原因有以下几个方面：
第一：对每个病人每天有效接触的平均人数估计值偏小。
不是简单的成正比关系，应该是成多次方关系，甚至是指数关系。
第二：美国疾病预防与控制中心所得到的数据具有滞后性。
第三：在美国00s ≈不一定成立。
可以把那些身体强壮的、注意自己个人卫生的人排除在外。
（二）、考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，病毒潜伏人群E,发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为()()()()s t e t i t r t 、、、。
（2）、每个病人每天有效接触的平均人数为λ，称为日接触率，当已感染者与易感染者有效接触时，使易感染者变为病毒潜伏人群，病毒潜伏人群过一段时间再转换成发病人群，发病人群被治愈。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者。
设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()()t S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()()t S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。
所以有()()()()dS t N
t S t NI t dt λ=-
化简得： 病毒潜伏人群的变化等于易感人群转入数量减去转化为发病人群的数量，即
α表示潜伏期日发病率，即每个潜伏者平均有效发病的人数。
其中()t
单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即
ν表示日退出率，即每个病人平均有效病情结束的人数。
其中()t
发病人群的变化等于潜伏人群转入的数量，即
初始时刻易感染者，已感染者与病愈免疫者的比例分别是
3、模型求解
由于潜伏期的人群数量不能确定，所以可视为是易感人群的一部分，因此求解过程跟忽略潜伏期的一样。
四、模型的改进
就如何确定日接触率λ的值。
就如何确定日接触率可以进行改进，根据以前的流感疫情治愈率，加权平均得到值，而不是简单的是一个正比关系。
病毒在人群中的传播刚开始阶段一个有一个爆发阶段，该阶段的日接触率λ很大，可设为是一个冲激变量。
参考文献：
[1]姜启源谢金星叶俊数学建模（第四版）高等教育出版社
[2]数据来源：美国疾病预防控制中心。