不等式的解集与区间 (1)
让你识别不等式的意义
让你识别不等式的意义不等式是数学中常见的概念，它以不等于号（>、<、≥、≤）来表示两个数之间的大小关系。
通过学习不等式，我们可以在实际问题中判断大小关系，并进行相应的分析和求解。
本文将就不等式的意义进行详细的阐述和讨论。
一、不等式的基本定义不等式是一种数学表达式，它将两个数或者两个代数表达式进行比较。
不等式的意义在于揭示了两个数之间的大小关系。
我们可以通过不等式来表示一个数大于另一个数（例如：a > b），也可以表示一个数小于等于另一个数（例如：c ≤ d）等等。
二、不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
根据不等式的类型和特性，解集可以是一个区间、一个点或者无解。
我们可以通过求解不等式来确定其解集，并进一步分析问题。
三、不等式的意义1. 在代数运算中的应用不等式在代数运算中具有重要的意义。
它可以帮助我们判断一组代数式的大小关系，并进行相应的计算和推导。
例如，当我们需要求解一个多项式的根时，可以通过不等式关系判断多项式的根的范围，进而缩小求解的范围，提高计算效率。
2. 在函数图像中的应用不等式在函数图像中也有广泛的应用。
通过不等式关系，我们可以确定函数图像的增减性、极值点、拐点等重要的性质。
这些信息可以帮助我们更好地理解和分析函数图像，并且在实际问题中进行应用。
3. 在实际问题中的应用不等式在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在经济学中，我们常常需要分析收入与消费之间的关系，可以通过不等式来确定经济状况是否平衡或者是否存在盈亏；在物理学中，不等式可以用来判断物体运动的范围和方向；在生活中，我们可以通过不等式来优化时间规划，合理安排工作和休息时间等等。
四、不等式的解法和求解策略对于不等式的求解，我们可以采用不同的策略和方法。
常见的求解方法包括图像法、试探法、代数方法等。
根据问题的具体情况和要求，选择合适的方法来求解不等式，可以更好地理解问题和得到准确的结果。
五、总结通过学习和理解不等式，我们可以在实际问题中应用数学知识进行分析和求解。
不等式的解集求解方法
不等式的解集求解方法不等式是数学中常见的一类问题，涉及到不等关系的确定和解的范围。
本文将介绍一些常见的不等式求解方法，帮助读者更好地理解和应用不等式解集的确定方法。
一、一元不等式的求解方法对于一元不等式，我们可以通过一些基本的规则和性质来确定其解集。
以下是一些常用的方法：1. 图像法：将不等式转化为图像的形式，从图像上确定解集。
例如，对于线性不等式ax + b > 0，可以将其转化为对应的直线ax + b = 0，并确定直线上方的部分为解集。
2. 数轴法：将不等式对应的解集在数轴上表示出来。
例如，对于不等式x > a，可以在数轴上标记点a，并将大于a的部分标记为解集。
3. 区间法：将解集表示为区间的形式。
例如，对于不等式x ∈ (a,b)，可以表示解集为开区间(a, b)。
4. 符号法：通过符号的变化来确定不等式的解集。
例如，对于不等式(ax + b)(cx + d) > 0，可以通过判断(ab + cd)的符号来确定解集。
若ab + cd > 0，则解集为x < -b/a 或 x > -d/c；若ab + cd < 0，则解集为 -b/a < x < -d/c。
二、多元不等式的求解方法对于多元不等式，其解集的确定需要考虑到各个变量之间的关系。
以下是一些常见的方法：1. 图形法：将多元不等式转化为在坐标系中的图形，通过观察图形的交点和区域来确定解集。
例如，对于二元不等式系统{ax + by > c，dx + ey > f}，可以将其转化为对应的两条直线，并观察两条直线的交点及其相对位置来确定解集。
2. 消元法：通过消去其中一个变量，将多元不等式转化为一元不等式。
例如，对于二元不等式系统{ax + by > c，dx + ey > f}，可以通过消去y变量，转化为关于x的不等式，然后再根据一元不等式的求解方法来确定解集。
第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间
集的规定可知a＝6.
同步精练
9．若不等式组
2x 1 3
1,
的解集{x|x>2}，则a的取值范围
x a
是___a_≤__2__．
【提示】
解不等式组
2x 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 x a
1,
得
x x
2,要
a,
使解集是{x|x>2}，需a≤2.
10．不等式x－3≥1＋5x的解集可用区间表示为(_－__∞_，__－__1_]．
解：解不等式4x＋6＞0，得x＞ 3 ;
2
解不等式3x－5<0，得x＜ 5 .
3
∴原不等式的解集是
3 2
,
5 3
.
同步精练
13．已知不等式组 数a，b的值．
2x 2x
a a
b b
的解集是(－5，4)，求实
解：不等式2x－a＞－b等价于2x＞a－b，解得x＞ a b ;
2
不等式2x－a＜b等价于2x＜a＋b，解得x＜ a b .
知识梳理
(3)一元一次不等式组的解法 若a＜b，则不等式组
①
x a x b
的解集为__{_x_|_x＞__b_}____；
②
x a x b
的解集为_{_x_|_a_＜__x_＜__b_}_；
③
x a x b
的解集为__{_x_|_x＜__a_}____；
④
x a x b
的解集为_____∅_______．
|
x
5 3
典例解析
(2)去分母得2(x－2)≤3x－6，去括号2x－4≤3x－6，移项、 合并同类项得－x≤－2，化系数得x≥2，所以不等式的解集 为{x|x≥2}．
职高数学《区间(1)》
例2 用集合的描述法表示下列区间：
(1) 2,1; (2)3,5.
解：(1)x | 2 x 1; (2)x | 3 x 5.
1.用区间表示下列不等式的解集， 并用数轴表示这些区间：
(1)x 2; (3)x 2;
(2)2 x 5; (4)R.
2.用集合的描述法表示下列区间：
(1)2,3; (2) 3,1; (3) ,2; (4)1,.
的所有实数集合， 叫做半开半闭
区间， 分别记做a,b或a,b.
a, b
x
a
b
a, b
x
a
b
实数集R也可以用区间(,)表示， “”读做“无穷大”， 但它不是一个具体的数，
只是一个记号.它的前面的“”和“”号表示方
向， 例如，“”表示数在数轴上向正的方向无
限变大.
满足不等式x a, x b和x a, x b的
作业： 用区间表示下列不等式的解集，
并在数轴上表示这些区间：
(1) 2 x 3; (2) 3 x 4;
(3) 2 x 3; (4) 3 x 4;
(5)x 3;
(6)x 4.
集合表示.
(a, b)
x
a
b
闭区间 满足不等式a x b的所有实数集合，
叫做闭区间， 记做a,b.
在数轴上用介于a, b两点之间并包括端
点在内的一线段上所有的点的表示， 如
下图， 也可以用形如x | a x b的集合
表示.
a, b
x
a
b
半开半闭区间 满足不等式a x b或a x b
简述不等式的基本性质。
2.比较下列各对实数的大小：
(1) 6 与 11；
13 25 (2) 5 与 7 .
不等式的解集与区间
数轴表示：
a
b
x
a
b
x
练习：用区间表示－1≤x＜3，－1＜x≤3， 并在数轴上表示出来。
区间
注：
（1）a与 b (a＜ b )分别叫做区间的左端点和右端点，a 必须写在区间左端，b写在右端。
（2）数轴表示区间时，属于这个区间的实数所对应的端 点，用实心点表示，不属于这个区间的实数所对应的端 点，用空心点表示。
区间
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ） -∞ 读作： 负无穷大 +∞ 读作： 正无穷大
区间
(4)无穷区间
解集表示 区间表示
数轴表示
{x|x≥a} [a,+ ∞)
{x|x > a} (a,+ ∞)
{x|x≤b} {x|x＜b}
( －∞,b] (－∞,b)
• 不等式解集的名称及数轴表示，归纳起来可分为 两种情形：
区间
（1）a、b∈ R，a＜ b。
集合
区间
｛ x︱a ≤x≤ b ｝ a,b
｛x︱a ＜x＜ b｝ a,b
｛x︱a ≤ x＜ b｝ a,b
｛x︱a＜ x≤ b｝ a,b
数轴表示
区间
（2）a ∈ R.
作业
谢谢，再见！
不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不 等式成立的未知数值的全体所构成的集合，叫做不 等式的解集。
解不等式：求不等式的解集过程。
不等式的解集
用集合的性质描述法写出下列不等式的解集：
（1）x-3≥0
{x| x≥3 }
x-3＞0 {x| x>3 }
不等式与区间的表示
不等式与区间的表示不等式是数学中常见的一种数值关系表示方式，用于表示一系列数值之间的大小关系。
区间则是表示一定范围内所有数值的集合，是不等式中常用的一种形式。
本文将介绍不等式的基本概念以及如何使用区间来表示不等式。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表示方式。
常见的不等式符号有：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）等。
例如，对于任意两个实数a和b，可以用不等式来表示它们的大小关系：- a > b 表示a大于b；- a < b 表示a小于b；- a ≥ b 表示a大于等于b；- a ≤ b 表示a小于等于b；- a ≠ b 表示a不等于b。
不等式可以通过运算来推导和解决问题，如加减乘除、开方、对数等运算。
在解决不等式问题时，我们需要明确每个不等式的含义和限制条件，并找出满足所有不等式的解集。
二、区间的表示区间是一种表示数值范围的方式，可以使用数轴上的箭头表示。
常见的区间符号有：开区间（a, b）、闭区间[a, b]、半开半闭区间[a, b)和(b, a]等。
- 开区间表示不包括端点，例如(a, b)表示大于a小于b的一组实数；- 闭区间表示包括端点，例如[a, b]表示大于等于a小于等于b的一组实数；- 半开半闭区间表示包括左侧端点但不包括右侧端点，例如[a, b)表示大于等于a小于b的一组实数；- (b, a]表示大于a小于等于b的一组实数。
区间可以用来表示不等式的解集，同时也可以用于表示函数的定义域和值域等概念。
三、使用区间表示不等式在数学中，我们常常需要求解不等式的解集，而区间的表示方式可以方便地表示不等式的解集。
下面以几个例子来说明如何使用区间来表示不等式。
例1：求解不等式x > 2的解集。
解：不等式x > 2表示x的取值大于2。
根据区间的表示方式，解集可以表示为(2, +∞)，表示从2开始，一直到正无穷的数值范围。
不等式组的解集与区间
{x| x≥3 }
{x| x>3 } {x| x≤2 } {x| x<2 }
（3）x-2≥0
x-3≤0 （4）x-2＞0
{x| 2≤x≤3 }
{x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
x-3＜0
（5）x-2≥0
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
1、一元一次不等式（组）的解集
2、一元一次不等式（组）的解集的表示方法
（1）集合描述法 （2）区间：闭区间 开区间 半开半闭区间 无限区间
x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
区间是指一定范围内的所有实数所 构成的集合。也就是数轴上某一“段” 所有的点所对应的所有实数。
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
（1）满足不等式a ≤ x ≤ b 的实数x的集 合叫做以 a , b 为端点的闭区间，记作[a,b]
数轴表示
a
b
x
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
b
x
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ）
-∞ 读作： 负无穷大
+∞ 读作： 正无穷大
x
填
表：
区间表示 数轴表示 a a b b x x x x
解集表示
{x|x≥a}
[a,+ ∞) (a,+ ∞)
{x|x > a} {x|x≤b}
{x|x＜b}
( －∞,b]
（－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞）
不等式的解集及区间
x
a
b
x
a
b
(1)含有两个端点的数轴区域设 设a＜x＜b
a bx a≤x≤b {x| a≤x≤b} [a，b]
a bx
a bx a bx
a＜x＜b
a＜x≤b
a≤x＜b
{x| a＜x＜b} {x| a＜x≤b}
(a，b)
(a，b]
{x| a≤x＜b} [a，b)
• 开区间 满足不等式a＜x＜b 的所有实数的集 合，叫做开区间，记做（a,b)，在数轴上用介 于a,b两点之间而不包括端点的一条线段上所 有的点表示。如图：
x
a
b
• 闭区间 满足不等式a≤x≤b的所有实数的集合， 叫做闭区间，记做[a，b]，用数轴表示为：
x
a
b
半开半闭区间
不等式满足a＜x≤b 或 a≤x＜b
成的一元一次不等式组的解集。
思考：如果各个不等式的解集的交集是空集呢？
求解不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
例2：解不等式组
{x -5 2 x -4 3 x 1< 9- x
解：由不等式得 x-2x≤5-4， -x≤1， x≥-1. 所以不等式的解集是{x|x≥-1}. 由不等式得 3x+x<9-1， 4x<8， x<2. 所以不等式的解集是{x|x≤2}。 取交集得到元不等式的解集是{x|-1≤x<2}. 请同学们自己在数轴上表示出来.
(－∞ ，a]
a
x
x＞a
{x| x ＞ a}
(a，＋∞)
ax x＜a {x| x ＜ a}
(－∞，a)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
1解下列不等式并用区间表示不等式的解集
1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集： （1）74<-x ； （2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ； （4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ； （6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ； 4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得a x x a x δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2） ， (∞+⋃--∞.6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）x y =与x y lg 10=； （2）x y 2cos 1+=与x cos 2； （3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =； （5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ；（6）xxy +-=11lg与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞-Y 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立；4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）1)4lg(--=x x y ； （2）45lg2x x y -=； （3）xxy +-=11； （4）)5lg(312x x x y -+-+-=；（5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=； （7）x y x-+=1 lg arccos 21； （8）6712arccos2---=x x x y ． 解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(. 3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃-8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210, 30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(- 3)0(==y 8)3(==y .图略 2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ； （2）x y sin 2=； （3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。
认识不等式及不等式的解集表示法
认识不等式及不等式的解集表示法不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。
在解决实际问题和证明数学定理时，不等式经常被使用。
本文将从认识不等式的基本概念开始，探讨不等式的解集表示法，以帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的基本概念不等式是描述数值大小关系的数学式子。
常见的不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
例如，2x + 3 > 7就是一个不等式，表示2x + 3的值大于7。
在解决不等式问题时，我们需要找到不等式的解集，即满足不等式的数值集合。
解集可以是实数集、整数集、有理数集或其他特定的数集，具体取决于不等式的条件和问题的要求。
二、不等式的解集表示法1. 区间表示法区间表示法是表示不等式解集的常用方法。
它使用数轴上的区间来表示解集。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以通过求解得到x > 2。
这个解集可以用开区间(2, +∞)表示，其中“+∞”表示正无穷大。
除了开区间，还有闭区间和半开半闭区间等不同的表示方式。
闭区间用方括号表示，例如[2, +∞)，表示包括2在内的所有大于2的数；半开半闭区间用一个方括号和一个圆括号表示，例如[2, +∞)，表示包括2在内的所有大于2的数。
2. 集合表示法集合表示法是另一种常见的不等式解集表示方法。
它使用集合的形式来表示解集。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，解集可以用集合{x | x > 2}表示，其中“|”表示“满足”的意思。
集合表示法可以更清晰地描述解集的特征。
例如，对于不等式x^2 - 4 < 0，我们可以通过求解得到解集为(-2, 2)。
用集合表示法表示为{x | -2 < x < 2}，更明确地表达了解集的范围。
3. 图形表示法图形表示法是一种直观的不等式解集表示方法。
它使用图形来表示解集。
例如，对于不等式x^2 - 4 < 0，我们可以画出对应的二次函数图像，并标出函数图像下方的区域，即解集(-2, 2)。
最新23不等式的解集与区间
a
x
a
x
{x|xa } 或 a ,) {x|xa}或 (a, )
a
x
{x|xa}或 ( ,a]
பைடு நூலகம்
ax
{x|xa}或 (, a)
三、学习例题
例1：用区间记法表示下列不等式的解集：
（1）、 9x10
(2)、x0.4
解:(1) [9,10] (2) ( ,0.4]
例2：用集合描述法表示下列区间： （1）[-4，0] （2）（-8，7]
解 :(1)x {|4x0} (2){ x|8x7}
例3、在数轴上表示集合 {x|x2或 x1}
解：
-2
01
x
课堂练习：
1、用区间法表示下列集合：
（1）{x|4x2} (2){ x|5x2}
(3){ x|x4} (4){x|x4}
2、用区间法表示下列不等式的解集，并在 数轴上表示这些区间。
(1)5x3 (2 )4x4 (3)x3 (4) 2x4
3、做书本练习B第一题
小结： （1）会用集合表示不等式的解集 （2）会用区间法表示不等式的解集 （3）会在数轴上表示不等式的解集
布置作业：练习A第2、3
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不等式的绝对值法与区间表示
不等式的绝对值法与区间表示不等式是数学中常见的概念，它描述了数值的大小关系。
在解决不等式问题时，我们常常会用到绝对值法和区间表示。
本文将介绍不等式的绝对值法和区间表示的概念、应用以及解题方法。
一、绝对值法绝对值是指一个数与零之间的距离，通常用两个竖线“| |”表示。
绝对值法用来处理不等式中含有绝对值符号的情况。
1. 绝对值的定义对于任意实数x，其绝对值表示为| x |，当x ≥ 0时，| x | = x；当x < 0时，| x | = -x。
2. 绝对值法的原理当在不等式中遇到含有绝对值符号的表达式时，我们可以根据绝对值的定义将该不等式拆分为两个不等式，分别讨论x ≥ 0和x < 0两种情况，然后求解得到结果。
3. 绝对值法的应用绝对值法常用于求解不等式中含有绝对值符号的问题，如|x + 3| > 5、|2x - 1| ≤ 3等。
通过拆分不等式，我们可以得到具体的解集，进而解决问题。
二、区间表示区间表示是一种将不等式的解集用区间的形式表示的方法。
区间表示通常用[a, b]表示闭区间，用(a, b)表示开区间。
1. 区间的定义对于给定的两个实数a和b，若对于任意的x，a ≤ x ≤ b，则称[a, b]为闭区间；若对于任意的x，a < x < b，则称(a, b)为开区间。
2. 区间表示的原理在求解不等式问题时，我们可以将其解集表示为一个或多个区间的交集或并集，以便更好地描述解的范围。
3. 区间表示的应用区间表示常用于求解不等式的解集，并在实际问题中具有广泛的应用。
例如，对于不等式2 ≤ x ≤ 5，其解集可以表示为闭区间[2, 5]；对于不等式x > 3或x < -2，其解集可以表示为开区间(-∞, -2)∪(3, +∞)。
通过区间表示，我们可以清晰地描述解的范围。
三、不等式的解题方法在和不等式相关的问题中，解题方法的选择十分重要。
根据具体的问题情境，我们可以选择使用绝对值法或区间表示，或者综合运用这两种方法。
9不等式的解法—不等式的解集、区间
课题：2.2不等式的解法—不等式的解集、区间教学目的：1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；2．能正确地运用区间表示不等式的解集.教学重点：“区间”、“无穷大”的概念教学难点：正确地运用区间表示不等式的解集授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：为了简便起见,在表示不等式的解集时,常常要用到区间.下面我们来学习区间的概念和记号二、讲解新课：1．区间的概念和记号在表示不等式的解集时,常常要用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式a≤x<b 或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.端点间的距离称为区间的长.实数集R可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.满足x≥a的所有实数x的集合表示为[a，+∞);满足x>a的所有实数x的集合表示为（a，+∞）;满足x≤b的所有实数x的集合表示为(- ∞,b];满足x<b的所有实数x的集合表示为(- ∞,b).注意：书写区间记号时：，x>a，，①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开. 三、讲解范例：例1:用区间记法表示下列不等式的解集:(1)50x ->;(2)2160≥-x ;(3)630x ->;(4)390≤+x ;(5)22x >-;(6)9≤x ≤10. 例2:用集合的性质描述法表示下列区间,并在数轴上出来:(1)[-4,0]; (2)[3,2)-; (3) (,1]-∞-. 例3:用区间记法表示下列集合运算的结果:(1) 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝,求A B.(2) 设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x ≤3｝,求A ∪B.(3) 已知A={x |-2≤x ≤2}, B={x |x>a },若A ∩B=Ф,求实数a 的取值范围. (4) 已知集合A={y |y=x 2-4x+5},B={x |y=x -5}.求A ∩B,A ∪B. 五、小结:本节课学习了区间的概念和记号. 六、课后作业：1.用集合的性质描述法和区间记法分别表示下列不等式的解集:(1)23-<<x ;(2)42≤≤x ;(3)25≤<x ;(4)10≤<x ;(5)4≥x ;(6)8<x . 2.已知(,2)∈-∞x ,试确定下列各代数式值的范围: (1)2+x 的取值范围是 ;(2)2-x 的取值范围是 ; 七、板书设计:八、课后记：。
不等式的解集与区间的概念
因式分解得
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) < 0
解集表示为
{ x | -2 < x < -1 或 1 < x < 2 }
利用数轴穿根法，解得解集为
-2 < x < -1 或 1 < x < 2
拓展应用：不等式组与区间综合问题
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PART.01
不等式组定义及性质
(a, b) - (c, d) = (a-d, b-c)
区间表示方法及运算规则
区间表示方法
减法运算
乘法运算
除法运算
加法运算
区间运算规则
除了使用圆括号和方括号表示开区间和闭区间外，还可以使用无穷大符号表示包含正无穷大或负无穷大的区间，如(a, +∞)、(-∞, b)等。
对于任意两个实数a、b（a < b）以及实数c、d（c < d），有以下运算规则
根据判别式确定解的情况，将解集在数轴上表示为开区间、闭区间或半开半闭区间。
解集与区间对应关系分析
解集与区间的区别
03
解集是具体的数值集合，而区间是数轴上的连续区域，两者在表现形式和性质上有所不同。
不等式的解集可以表示为区间，而区间也可以用来描述不等式的解集。
解集与区间的定义
01
解集是满足不等式的所有解的集合，而区间是数轴上的一段连续区域。
一元二次不等式案例解析
案例一
解析不等式 x^2 - 4x + 3 < 0
因式分解得
(x - 1)(x - 3) < 0
根据一元二次不等式的解法，解集为
1 < x < 3
区间表示
区间表示 数轴表示 。 。 (a , b) [a , b] . . 。 [a , b) . 。 . (a , b] 。 (－∞, a) . (－∞, a] 。 (b , +∞) . [b , +∞) (－∞,+∞) 数轴上所有的点
闭区间
a b x
开区间
a b x
半开半闭区间：实数集的子集{x|a≤x<b}
或 {x| a < x ≤ b}叫做以a,b为端点的半开半
闭区间，记作：[a,b)，(a,b] 数轴表示
a b
x
abx源自在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ）
-∞ 读作： 负无穷大
1、{x|-3<x ≤ 4}
2、 {x|x ≥ 2} 3、 {x|x < 0} 4、{x|2≤x≤4}
5、{x|x≥-5}
6、{x|x＜7}
7、{x|-2＜x＜3}
集合表示 {x a＜x＜b} {x a≤x≤b} {x a≤x＜b} {x a＜x≤b}
{x x＜a} {x x≤a} {x x＞b} {x x≥b} {x x∈R}
不等式的解集与区间
（1）x-3≥0 x-3＞0 （2）x-2≤0 x-2＜0
{x| x≥3 }
{x| x>3 } {x| x≤2 } {x| x<2 }
（3）x-2≥0
x-3≤0 （4）x-2＞0
{x| 2≤x≤3 }
{x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
x-3＜0
-1
0
3
x
（2）{x|-2≤x<2}
解：{x|-2≤x<2}表示为[-2，2)
不等式的解集与区间
其中a是左端点，b是右端点，a<b
实数集R可以用区间表示为 记号“∞”读作 “无穷大”
(-∞, +∞) 正无穷大 无限 区间
-∞ 为 负无穷大 ，+∞ 为
集合表示 {x x＜a} {x x≤a} {x x＞a} {x x≥a}
区间表示 (－∞, a) (－∞, a] (a , +∞) [a , +∞)
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫 做闭区间，表示为 [a,b] (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做 开区间，表示为 (a,b) (3)满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做 左闭右开区间，表示为 [a,b) (4)满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做 左开右闭区间，表示为 (a,b]
LOGO
LOGO
解集为
（1）x-3 ≤ 0 （2）x-2 ≥ 0
（3 ） x-2≥0
{x| x ≤ 3 }
{x|
x≥2 }
｛x-3≤0
{x| 2 ≤ x ≤3 }
除了用集合的方法表 示解集外还有没有其 他的表示方法呢？
区间
区间的概念:
介于两个实数之间的所有实数的集合叫做区间， 这两个实数叫做区间的端点。
用集合的性质描述法表示下列区间,并在 数轴上表示: (1) [4,12] (2) (-∞,-6)
利用数轴来表示下列不等式的解集. (1)x＞-1
-1
0
1
练一练
(2)x＜
1 2
0
1
2
变 式: 已知x的取值范围如图所示,你能写出x的 取值范围吗?
-2
-1
0
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叫做闭区间,记作
叫做开区间,记作
叫做半开半闭区间,分别 记作
知识点三:
a 与b叫做区间的
端点
在数轴上表示区间时,
端点属于这个区间,用实心点表示,不属于这个区间,用空心 点表示.
-1 0 1 2 3
-1 0 1 2 3
X>1
X≤2
实数集R,也可用区间表示为(-∞,+ ∞) ,
符号” ,+ ∞”读作 “正无穷大” 符号” ,- ∞”读作 “负无穷大”
-2
-1
0
课
堂
感
悟
用不等式表示生活中数量关系.
一元一次不等式的概念
这节课 我学会了
生活中不等关系无处不在 不等式的解及其解集
练习1：用区间表示下列集合。 （1）{x | 2 x 3} 解:1) 2,3
（2）{x | 3
3) 2,3 x 3} { （4） x | 3 x 4} 4) 3,4 （5）{x | x 3} 5) 3, 。 3 { （6） x | x 4} 6) ,4
用区间法表示下列不等式的解集:
例4
3 x 8 .5
x 10
例5
用集合的性质描述法表示下列区间,并在 数轴上表示: (1) [4,12] (2) (-∞,-6)
利用数轴来表示下列不等式的解集. (1)x＞-1
-1
0
1
练一练
(2)x＜
1 2
0
1
2
变 式: 已知x的取值范围如图所示,你能写出x的 取值范围吗?
满足 x a 的全体实数,可记作
[a,+∞)
. a
满足x a的全体实数,可记作 a 满足 x a 的全体实数,可记作 (a ,+∞) (-∞, a]
.
a 满足x a 的全体实数,可记作 a (-∞, a)
知 识 回 顾
不等式(组)的解集
在含有未知数的不等式中，能使不等 式成立的未知数的值的全体所构成的集合， 叫做不等式的解集。 几个不等式可以组成不等式组，这几 个不等式的解集的交集，叫做不等式组的 解集。
1,7
,5
{x | 1 x 7}
{x | x 5}
4)
.
5
例2：解不等式组 7+3x ≤ 9+5x (1)
｛6 ＋x ＞4x－3 (2)
[-1 ，3)
解：原不等式组的（1）（2）的解集分别为 {x|x≥-1}，{x|x<3} 所以原不等式组的解集是: {x|x≥-1}∩{x|x<3}=
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
(1，+∞)
知识点一:
新 知
探
究
由不等式的所有解组成的集合，我们把它叫做不等式的解集. （solution set)
注：(1)解集中包括了每一个解
(2)解集是一个范围
求不等式解集的过程叫做解不等式。
例1
2 求不等式 x 50的解集 3
解： 原不等式两边乘以3去分母得 2 x 150 两边同除以2得 x 75 所以原不等式的解集是{x | x 75}
求解步骤
大于向右
用数轴表示
空心圆圈表示
75不在解集内
0
75
（3）x-2≥0
x-3≤0 （4）x-2＞0
{x| 2≤x≤3 }
{x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
-2 -1
0
1
2
x
（3）{x|x>-1}
解： {x|x>-1}表示为（-1，+∞）， 数轴表示
-2 -1 0 1 x
（4）{x|x≤3}
解: {x|x≤3}表示为（- ∞ ，3]，数
轴表示
3
0 1
2
x
练习1：用区间表示下列集合。 （1）{x | 2 x 3} 解:1) 2,3
（2）{x | 2 （3）{x | 3 （4）{x |
x 3}
2) 3) 4)
2,3
3,4 3,
x 4}
x 3} 。 3
练习2：用集合描述法表示下列区间 1) 2) 3)
3,1
2,4
{x | 3 x 1}
{x | 2 x 4}
（3）{x | 2
x 4}
2)
3,4
.
4
练习2：用集合描述法表示下列区间。
1) 2) 3) 4)
3,1
2,4
{x | 3 x 1}
{x | 2 x 4}
1,7
1,6
。 2
{x | 1 x 7}
5) 6)
2,
{x | 1 x 6} {x | x 2}
-1
0
3
x
(1)｛x|x≤-1或x≥2｝, 用区间如何表示？ (2) {x|-2≤x<2且x≠0}, 用区间如何表示？ 解:用区间分别表示为 （－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞） [-2 ，0) ∪（0 , 2）
1、区间的概念 2、区间的表示方法：
闭区间 开区间 半开半闭区间 无穷大区间
P27T2(3)(4)T3(2)(3)
这个不等式组包含两不等式,因此,求这个 不等式组的解集,实际上就是求这两个 不等式的解集的交以在数轴上表示出来..
试 一 试
1 1 x 5 1 x 3 2
解不等式
解不等式组
x 3 7 x 5 2 x 9 x
知识点三:
设a, b R, 且 a b, 则：
x-3＜0
（5）x-2≥0
x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
例2:
2x 3 x 1 解不等式 1 5 2
知 识 点 二
几个一元一次不等式的解集的交集,叫做由 它们组成的一元一次不等式组的解集.
求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
解不等式组
例3
x 5 2x 4 3 x 1 9 x
LOGO
LOGO
解集为
（1）x-3 ≤ 0 （2）x-2 ≥ 0
（3 ） x-2≥0
{x| x ≤ 3 }
{x|
x≥2 }
｛x-3≤0
{x| 2 ≤ x ≤3 }
除了用集合的方法表 示解集外还有没有其 他的表示方法呢？
区间
区间的概念:
介于两个实数之间的所有实数的集合叫做区间， 这两个实数叫做区间的端点。
LOGO
集合表示 {x a≤x≤b} {x a＜x＜b} {x a≤x＜b} {x a＜x≤b}
区间表示 [a , b] (a , b) [a , b) (a , b]
数轴表示
。 a 。 a
. a . a
。 b 。 b
. b
. b
注意： 有限 1.区间左端点通常比右端点 小 。 区间 2.两个端点之间用 “ 隔开 3.闭区间用 中 括号表示，开区间用 小 括号表示 ，”
数轴表示
。 a
。 a
. a . a
例1：用区间表示下列数集，并在数轴上表示 （1）{x|-1<x<3} （3）{x|x>-1} （2）{x|-2≤x<2} （4）{x|x≤3}
解:（1）{x|-1<x<3}表示为（-1，3）数轴表示
-1
0
3
x
（2）{x|-2≤x<2} 解：{x|-2≤x<2}表示为[-2，2) 数轴表示
其中a是左端点，b是右端点，a<b
实数集R可以用区间表示为 记号“∞”读作 “无穷大”
(-∞, +∞) 正无穷大 无限 区间
-∞ 为 负无穷大 ，+∞ 为
集合表示 {x x＜a} {x x≤a} {x x＞a} {x x≥a}
区间表示 (－∞, a) (－∞, a] (a , +∞) [a , +∞)
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫 做闭区间，表示为 [a,b] (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做 开区间，表示为 (a,b) (3)满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做 左闭右开区间，表示为 [a,b) (4)满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做 左开右闭区间，表示为 (a,b]
,5 {x | x 5}
.
5
（1）x-3≥0 x-3＞0 （2）x-2≤0 x-2＜0
{x| x≥3 }
{x| x>3 } {x| x≤2 } {x| x<2 }
作业：书本P30
4
课后思考题： 我们班如果要
组织同学去玉黛湖公园开展活动，该 如何买票更加合算？（玉黛湖公园的 票价是：每人1５元；一次购票满３ ０张，每张票可少收１元。）