12代数结构-同态与同构12-8

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线性空间的同构与同态

线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。

当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。

一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。

它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。

更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。

对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。

2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。

则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。

其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。

同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。

关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。

（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。

（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。

通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。

只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。

因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。

二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。

它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。

离散数学-同态和同构

离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法，如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$，有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。

同态和同构

8.3.1 同态、同构的定义
定义 5-22 设 G1, 和 G2 , 是两个群，映射 : G1 G2 ，如果对 a,b G1 ，有
(a b) (a) (b)
则称是群 G1 到 G2 的同态映射，简称同态。例 5-23 设 G1 Z, 是整数加群，G2 {Zn, }是模 n 整数加
循环群和置换群
循环群和置换群是两类重要的群，在计算机密码学中都有着重用的应用。
定义 5-25 设 G, 为群，如果存在一个元素 a G ，使 G {ak | k Z}，则称 G 为循环群，记作 G a ，称 a 是 G 的生成元。
例 5-28 (1) Z, 是一个循环群，1 或-1 是生成元，1 与-1 互为逆元。
群。令 : Z Zn ，( x) (x) mod n
则是 G1 到 G2 y) mod n ( x) mod n ( y) mod n (x) ( y)
例 5-24 设 G1 R, 是实数加群， G2 R {0}, 是非零实数乘法群。令
证明首先根据同态的定义，易证是满足结合律的。其次，由定理 1 的性质(1)，知
G2 , 中存在单位元 e2 (e1) ，其中 e1 为 G1 的单位元。对于任意的 t G2 ，由于是 G1 , 到 G2 , 的满射，于是存在 g G1 ，使
( g) t 。令( g1 ) t ' ，于是( g1 g) (e1) e2 。另一方面，( g1 g) ( g1 ) ( g) t ' t ，所以t ' t e2 。同理可证 t t' e2 。因
定理 5-13 设是 G1, 到 G2 , 的同态映射， H G1 ，则 (H ) G2 。
证明任取 x, y (H ) ，则存在 a,b H ，使得 x (a) ， y (b) ； x y (a)(b) (a b)(H ) ，所以 (H ) 对于运算封闭。又 (e) 是 G2 的单位元， x (H) 存在 a G1 ，使得 x (a) ，从而 x1 (a1) ( H) 。综上， (H ) 是 G2 的子群。

代数系统间的同构与同态

则称A和B是两个同类型的代数系统。
例3 < I, ＋,×> 和< 2X,∩,∪>是两个同类型的代数系统，因为这两个代数系统都具有两个运算，且＋和∩都是二元运算， ×和∪也都是二元运算。
定义2 设< X，f >和< Y，g >是两个代数系统，f 和 g 分别是 X 和 Y 上的 n 元运算。若存在一个函数 h：X→Y，使得 ( x1,x2,…,x n ) X n ，有 h (f(x1,x2,…,x n ))=g(h(x1),h(x2),…,h(x n)) ①
则称函数 h 对 f 和 g 保持运算，同时称①式为同态公式。
❖ h对 f 和 g保持运算的含义是指在 h 的作用下，元素运算结果的象等于元素象的运算结果。
❖ 当 h 对 f 和 g 保持运算时，也称 h 满足同态公式。
2.2 代数系统间的同构关系
定义3 设 A= < X,f1,f2,···,fm > 和 B= < Y,g1,g2, ···,g m > 是两个同类型的代数系统。若存在一双射函数 h：X→Y，对于A 和B 中的每一对相应的运算fi和gi(i=1,2,…,m)满足同态公式，则称 h 是从 A 到 B 的同构函数，同时称 A 和 B 同构。
定理1 代数系统间的同构关系R是X上的等价关系, 其中 X=｛A | A是代数系统}。由等价关系的定义知要证R是 1）自反的； 2定义4 设A1= < X,f1,f2,···,fm> 和A2= < Y,g1,g2, ···,gm> 是两个同类型的代数系统。若存在函数h：XY，对A1 和A2 中每一对相应的运算满足同态公式，则称 h 是从 A1到 A2的同态函数，并称< h(X),g1,g2, ···,gm> 是A1的同态象。

400浅谈代数系统上的同态与同构

400浅谈代数系统上的同态与同构何东东(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西汉中 723000)指导教师:郑红梅[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构1 预备知识同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.定义1.1]1[设集合A 到A 各有代数运算和 ,且ϕ是A 到A 的一个映射.如果ϕ保持运算，即对A 中任意元素a ,b ,在ϕ之下由a a →,b b →总可得b a b a →,亦即b a b a =或)()()(b a b a ϕϕϕ =,则称ϕ为代数系统A 到A 的一个同态映射,若ϕ又是满射,则称ϕ为同态满射.如果A 到A 存在同态满射,则简称A 与A 同态,记为A A ~.定义 1.2]1[设ϕ是A 到A 的一个(关于代数运算及 )同态满射.如果ϕ又是单射(即ϕ是双射),则称ϕ是A 到A 的一个同构映射.如果A 到A 存在同构映射,就说A 与A 同构,记为A A ≅.否则,即若A 到A 不存在任何同构映射,则称A 与A 不同构.A 到自身的同态映射,称为A 的自同态映射,简称A 的自同态.同样,A 到自身的同构映射,叫做A 的自同构映射,简称A 的自同构.定义1.3]2[设(S ,≤)是序列集,S T ⊆.如果存在S u ∈,使得)(T t u t ∈∀≤,则称u 为T 的一个上界.如果T 的一个上界u 具有如下的性质:对于T 的任一上界u ',都有u u '≤,则称u 为T 的一个最小上界,记为lub T .如果存在S l ∈使得)(T t T l ∈∀≤,则称l 为T 的一个下界.如果T 的一个下界l 具有以下性质：对于T 的任一个下界l ',都有l l ≤',则称l 为T 的一个最大下界,记为glb T .S 的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0.由偏序的反对称性可知:偏序集中任意指定的两个元素的最小上界和最大下界有唯一性(如果它们存在).设），（≤L 是一个偏序集,如果L 中的任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称），（≤L 是一个格.只含有有限多个元素的格称为有限格,否则称为无限格.定义 1.4]2[设R 是幺环,M 是一个交换群,如果映射(称R 在M 上的作用)M M R →⨯,ax x a ),(.满足下列条件:(1);,,,)(M y x R a ay ax y x a ∈∈∀+=+(2);,,,)(M x R b a bx ax x b a ∈∈∀+=+(3);,,),()(M x R b a bx a x ab ∈∈∀=(4),,1M x x x ∈∀=则称M 为环R 上的一个左模,或左R 模.如果将(3)改为;,,),()(R b a M x ax b x ab ∈∈∀=其余条件不变,则称M 为环R 上的一个右模,或右R 模.理论上讲,右模和左模没有本质的区别.如果M 为环R 上的一个右模,令R '为R 的反同构的环,则M 构成R '上的左模,当然,若R 是交换环,则R 上的左模和右模没有区别.定理1.1]3[设代数系统),( A 和)( ，A 同态，则（1）若适合结合律, 也适合结合律;（2）若适合交换律, 也适合交换律.定理 1.2]3[设⊗,⊕为集合A 的代数运算,⊗,⊕为集合A 的代数运算,且存在A 到A 的满射φ,使得A 与A 对于代数运算⊗,⊗来说同态,对于代数运算⊕,⊕来说也同态,那么（1）若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合左分配律;（2）若⊗,⊕适合右分配律,⊗,⊕也适合右分配律. 2 主要内容下面将分别讨论群,环,格,模上同态同构在其中的应用以及比较它们在同态同构中的不同.2.1 群同态与同构定义2.1.1]4[设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律成立,即对G 中任意元素c b a ,,都有)()(c b a c b a =;(2)G 中有元素e ,叫做G 的左单位元,它对G 中每一个元素a 都有a a e = ;(3)对G 中每一个元素a ,在G 中都有元素1-a ,叫做a 的左逆元,使e a a =- 1;则称G 对代数运算为一个群.定义 2.1.2]4[设G 和1G 是群,映射1:G G →ϕ称为由G 到1G 的群同态,如果ϕ保持群运算,即∀G b a ∈,,都有)()()(b a ab ϕϕϕ=.如果ϕ为单(满)射,则称ϕ为单(满)同态.定义 2.1.3]4[既单又满的同态称为同构.如果存在由G 到1G 的一个同构,则称G 同构于1G ,也说G 和1G 是同构的,记为1G G ≅.群G 到自身的同态及同构具有重要的意义,称之为群G 的自同态和自同构.)(End G 表示G 的全体自同态构成的集合,)(Aut G 表示G 的全体自同构构成的集合.对于映射的乘法,)(End G 构成一个有幺元的半群,而)(Aut G 构成一个群,称为G 的自同构群.定义2.1.4]4[像通常的映射一样,)(G ϕ称为ϕ的像,记为ϕim .又将1e 的原像称为ϕ的核,记为ϕker ,即})(|{ker 1e a G a =∈=ϕϕ.定理2.1.1]4[设1:G G →ϕ是群同态.则ϕϕim G ≅ker /.证明记H =ϕker ,定义映射,im /:ϕψ→H G ).(a aH ϕ验证ψ是良定义的,即)(aH ψ与陪集代表a 的选取无关.如果bH aH =,即aH b ∈,则存在H h ∈使得ah b =.故)()()()()()()(aH a h a ah b bH ψϕϕϕϕϕψ=====,即ψ良定义.下面证明ψ是群同构，也就是证明ψ是单射,并且ψ也是满射. )()()()()()()))(((bH aH b a ab abH bH aH ψψϕϕϕψψ====,所以ψ是群同态.又设1)(e aH =ψ(1G 的幺元),即1)(e a =ϕ,故H a ∈,即)/(的幺元H G H aH =,所以ψ是单射.最后设ϕim g ∈,则存在G a ∈使得g a =)(ϕ.于是g a aH ==)()(ϕψ,这说明ψ必是满射.所以ψ同构.定理 2.1.2]3[设G 是一个群,G 是一个代数运算(也称为乘法)的集合.如果G G ~,那么G 也是一个群. 证明因为G G ~,G 是群,其乘法满足结合律,故由定理1.1得,G 的乘法也满足结合律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设ϕ是G 到G 的满同态,且在ϕ之下e e →，a a → 于是a a e =,但是a ea =,故a a e = ,即e 是G 的单位元.又设1-a →1-a,则a a a a 11--→.但是e a a =-1,故e a a =-1,即1-a 是a 的逆元.因此,G 也是一个群. 本定理的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群时,可找到一个已知群,并通过同态来实现.定理 2.1.3]4[设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射(不一定是满射),则群G 的单位元的像是群G 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元,即11--=a a 或11)()(--=a a ϕϕ.应该注意,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G G ~,则当G 为群时,G 却不一定是群.例 1 令G ={全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又}1,1{-=G 关于数的普通乘法作成群,令ϕ:正奇数1→,负奇数-1→.则易知ϕ是G 到G 的一个同态满射,故G G ~.G 是群,但G 却不是群.当然,若G 与G 为各有一个代数运算的代数系统,且G G ≅,则当G 与G 中有一个是群时,另一个必然是群.例2 设G 是一个群,N 是G 的正规子群.令G a aN a f ∈∀=,)(.显然f 是群G 到商群N G 的满同态,这个满同态称为群G 到商群N G 的自然同态.定理2.1.4]4[设是G 到G 的同态映射(不一定是满映射),则1）当G H ≤时,有G H ≤)(ϕ且H ～)(H ϕ;2）当G H ≤时,有ϕG H ≤)(-1ϕ,且在ϕ之下诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.证明 1）任取a ,b ）（H ϕ∈且在ϕ之下令a a →,b b →.其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且b a ab →. 从而)(H b a ϕ∈,即）（H ϕ对G 的乘法封闭,且 )(~H H ϕ.但H 是子群,从而)(H ϕ也是群且是G 的子群.2）当G H ≤时,由于)(-1H ϕ显然非空,任取)(,1H b a -∈ϕ,且在ϕ之下令a a →,b b →则11--→b a ab ,其中,H b a ∈，.而G H ≤,故H b a ∈-1,从而1-b a )(-1H ϕ→,即G H ≤)(-1ϕ且显然ϕ诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.定理2.1.5]3[群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充要条件,群G 的单位元e 的逆象只有e .证明必要性显然,下证充分性.设ϕ是群G 到群G 的任一同态映射,且在ϕ之下e 的逆象只有e .又设在ϕ之下a a →,b b →,当b a ≠时,必有b a ≠:又若b a =,则由于e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,ϕ是单射.定理 2.1.6]3[设f 是群G 到G '的一个满同态.若N 是G 的正规子群,则)(N f 是G '的正规子群.证明设N 是G 的正规子群,可得,)(N f 是G '的子群.对于任意的)(N f n ∈'和任意的G a '∈',去N n ∈和G a ∈,使得n n f '=)(,a a f '=)(. 于是,有 )()())()(()()(111N f ana f a f n f a f a n a ∈=='''---,所以)(N f 是G '的正规子群.性质1]4[任何群G 与自身同构;证明首先,对于任何群G ,单位变换G I 就是G 到自身的一个同构,因此G G ≅.所以性质成立.性质2]4[若群1G 与群2G 同构,则群2G 与群1G 同构;证明 1G 和2G 是两个群,并且1G 2G ≅,我们有b a b a f f ''=''-))((1,b a b f f a f f b fa f f ''=''=''----))(())(())()((1111,从而)()()(111b f a f b a f''=''---.因此1-f 是群2G 到群1G 的同构,从而12G G ≅,所以性质成立. 性质3]4[若群1G 与群2G 同构,群2G 与群3G 同构,则群1G 与群3G 同构;证明假设1G ,2G 和3G 都是群,并且21G G ≅,32G G ≅,不妨设f 是群1G 到2G 的同构,g 是群2G 到3G 的同构.容易验证,gf 是群1G 到3G 的同构,因此31G G ≅,所以性质成立.定理2.1.7]2[设G 是一个群,N 是G 的正规子群.（1）若H 是G 的子群,则 N HN N H H )()(≅ .（2）若H 是G 的正规子群且H N ⊆,则H G N H H G ≅)()(.推论2.1.8]4[设1:G G →ϕ是群同态,则ϕϕim G ≅ker /. 定理2.1.9]4[(Cayley 定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明设G 是群.对与每一个G a ∈,定义G 的变换a σ如下： G x ax x a ∈∀=,)(σ.显而易见,a σ是G 的一一变换. 令{}G a G a ∈='σ.下面我们来阐明G '是G 上的一个变换群. 事实上,显然,我们有G I e G '∈=σ.此外对于任意的a σ,G b '∈σ,我们有)())((x abx x ab b a σσσ==,)())((11x I x x aa x G a a ===--σσ, )())((11x I x ax a x G a a ===--σσ,G x ∈∀,从而,G ab b a '∈=σσσ,G a a a a I ==--σσσσ11,所以,G '是G 上的一个变换群.现在考察由下式定义的G 到G '的映射fa a f σ=)(,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.对于任意的G b a ∈,我们有b a b f a f σσ=⇒=)()( b a e e b a =⇒=⇒)()(σσ.因此f 是单射,从而,f 是双射.此外,我们有)()()(b f a f ab f b a ab ===σσσ,G b a ∈∀,.所以f 是G 到G '的同构,从而G G '≅.推论2.1.10]4[任何一个有限群都与某个置换群同构.2.2 环同态与同构由于环是有加,乘两种运算的代数系统,因此,定义同态映射时必须同时保持加,乘的同态性.定义2.2.1]5[设R 是一个环,S 是有加法和乘法的两种运算的代数系统,称R 到S 中的一个映射σ是环R 到S 中的一个同态映射,如果 )()()(b a b a σσσ+=+,)()()(b a ab σσσ=.若R 到R '上有一个同态映射,则称R 到R '同态,记为R ～R '.定义 2.2.2]5[如果σ是环R 到R '的一个同态映射,并且σ又是双射时,则称σ为环R 到R '的一个同构映射,当R 与R '之间存在同构映射时,称环R 与R '同构,记为R R ≅,特别的,当R R =时,称σ为环的一个自同构.定理2.2.1]5[设R 是一个环，S 是一个有加法和乘法的运算系统,若σ是R 到S 中的同态映射,则)(R R σ='也是一个环;)0(σ为R '的零元0';)()(a a σσ-=-;若R 有幺元而R '不止有一个元素,则R '有幺元且,σ（1）就是R '的壹1'；若R a ∈可逆,则)(a σ在R '中可逆而且)(1-a σ就是1)(-a σ.设σ是R 到R '上的同态映射,R '的零0'的逆映像)0(1'-σ叫σ的核. 定理2.2.2]5[(环同态基本定理)设R 和R 是两个环,且R R ~.则1）这个同态的核N ,即零元的全体逆像,是R 的一个理想;2）R N R ≅/证明设ϕ是环R 到环R 的一个同态满射.1)易知,核N 首先是环R 的一个子加群;其次,设R r N a ∈∈,,则r r a →→,0.于是在ϕ之下有00,00=→=→r ar r ra ,故N ar ra ∈,,即N 是R 的理想.2)令)(:a N a ϕσ→+,则由群同态基本定理知,作为加群,σ是N R /到R 的一个同构映射.又由于N ab N b N a +=++))((,而)()()(b a ab ϕϕϕ=,因此σ是N R /到环R 的一个同构映射,从而R N R ≅/.此定理表明,在同构意义下,每个环能而且只能与商环同态.推论2.2.3]6[设1:R R →ϕ是环同态,则1ker /R R ≅ϕ.定理 2.2.4]6[同态映射σ的核N 是R 的理想,设a '是R '的任意元素,则a '的逆映像})({)(1a a R a a '=∈='-σσ是N 的一个剩余类. 证明因为σ是R 的加法群到R '的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核)0(1'=-σN 是R的一个子群,且a '的逆映象)(1a '-σ是模N 的一个剩余类.现在再证N 做成理想.即证：若N a ∈，R x ∈,则N ax ∈,N xa ∈,事实上,0)()()('==x a ax σσσ,故N ax ∈,同样可证N xa ∈.对于R 的任意理想N ,是否有一个环R '而且有R 到R '的一个同态映射σ使N 刚好就是σ的核呢?答案也是肯定的.由群中已证的结果,模N 的所有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法群,就是R 对于N 的商群N R ,规定N a a +=)(σ,即N a a +→:σ这样规定的σ便是群R 到群N R 上的一个同态映射,其核为N .规定剩余类的乘法,以使σ成为环R 到系统N R 上的同态映射.设A ,B 是N 的两个剩余类,任取A a ∈，B b ∈,规定包含ab 的剩余类N ab C +=为A 与B 的积,而AB C =,))((N b N a N ab ++=+.若另取A a ∈',B b ∈',则包含a 'b '的剩余类和包含ab 的剩余类是一样的,可见上面的乘法规定由A ，B 完全确定,与b a ,的选择无关.由σ的定义,N a a +=)(σ,N b b +=)(σ,N ab ab +=)(σ.但由上面的剩余类乘法的定义,))((N b N a N ab ++=+,故)()()(b a ab σσσ=.所以,σ是环R 到运算系统N R 上的一个同态映射.因此,N R 是一个环,于是有：定理 2.2.5]7[按照上述剩余类的加法和乘法,R 对于理想N 的所有剩余类的集合N R 是一个环,规定N a a +=)(σ,则σ是R 到N R 上的一个同态映射,其核为N .N R 叫做R 对于N 的剩余环,前面定理所说的加法和乘法的同态性,其实是说剩余环N R 中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关.剩余环N R 有了这加法和乘法两种运算,就与环R 同态.定理 2.2.6]7[(第一同构定理)设R 是环,是R 的理想,则在自然同态I R R /:→π,I r r + .下,(1)R 的包含I 的子环与I R /的子环一一对应.(2)在此对应下,理想对应理想.(3)若J 是R 的理想且I J ⊇,则)/)(/(/I J I R J R ≅.定理 2.2.7]7[(第二同构定理)设R 是环,I 是R 的理想,S 是R 的子环,则(1)I S ⋂是S 的理想.(2))(/)(I S S I S I ⋂≅+.定理 2.2.8]8[若σ是环R 到R '上的一个同态映射,其核为N ,则R '与N R 同构：R '≅N R . 证明设a '是R '的任意元素,则)(-1a 'σ是N 的一个剩余类A .规定R '的a '和这个N R 的A 对应.这样,我们规定了R '到N R 上的一个一对一映射τ,τ：N R R /→',a ' A .下面证明τ是同构,即证明：若R b a '∈'',,则)()()(b a b a '+'='+'τττ,)()()(b a b a ''=''τττ.事实上,若A a =')(σ,B b =')(τ,即N a A a +=='-)(1τ,N b B b +=='-)(1σ,其中,A a ∈B b ∈,则因b a b a '+'=+)(σ,b a ab ''=)(σ,故N b a b a ++='+'-)(1σ,N ab b a +=''-)(1σ,B A b a +='+'-)(1σ,AB b a =''-)(1σ.于是)()()(b a B A b a '+'=+=''ττσ,)()()(b a AB b a ''==''τττ.故τ是R '到N R 上的一个同构对应.定理 2.2.9]8[设环R 同态于R '：R R '~于是R 与N 间的子环与R '的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想.2.3 其他代数系统上的同态与同构定义 2.3.1]9[(模同态与同构)设M 和T 都是R 模,T M →:ϕ是映射.如果ϕ满足下述两个条件:(1)M y x y x y x ∈∀+=+,),()()(ϕϕϕ.(2)M x R a x a ax ∈∈∀=,),()(ϕϕ.则称ϕ为M 到T 的一个R 模同态.如果ϕ又是单(满)射,则称ϕ为R 模的单(满)同态.定义 2.3.2]9[如果,ϕ既单又满,则称ϕ为模同构.此时,也称为M 和T 是同构的,记作T M ≅,由M 到T 的所有R 模同态构成的集合记为),(Hom T M R ;如果M T =,记),(Hom T M R 为)(End M R ,其元素称为M 的自同态.定义 2.3.3]10[(格同态与同构)设21:L L f →,1,L y x ∈∀有)()()(y f x f y x f ∧=∧，)()()(y f x f y x f ∨=∨则称f 为1L 到2L 的同态.如果f 是双射的,就称f 是1L <，1∨，>∧1到>∧∨<222,,L 的格同构,也称格>≤<11,L 和>≤<22,L 同构. 定理2.3.4]9[(同态基本定理)设T M →:ϕ是模同态.ϕϕim ker /→M ,)(x x ϕ是模同构,其中ϕker +=x x 是x 所代表的陪集.定理2.3.5]9[(第一同构定理)设N 为M 的子模,N M M /:→π是典范同态,则在π下的包含N 的子模与N M /一一对应,对于M 的包含N 的子模H ,有同构 )//()/(/N H N M H M →,)/()(N H x H x ++π .定理2.3.6]9[(第二同构定理)设H 和N 为M 的子模,则有同构)(/)(N H H N N H ⋂→+,)()(N H h N n h ⋂+++ ),(N n H h ∈∈∀.可以想象:环上的模的性质依赖与环的性质.环的性质越丰富,其上的模的结构就越简单.定理2.3.7]10[f 是格1L 到2L 的同态,则1,L b a ∈,)()(b f a f b a ≤⇒≤.证明 b a ≤)()()()()()()(b f a f a f b f a f a f b a f a b a ≤⇒=∧⇒=∧⇒=∧⇒.注意 )()(b f a f ≤不一定推出b a ≤.定理3.2.8]10[f 为双射.f 为格1L 到2L 的同构当且仅当)()(,,1b f a f b a L b a ≤⇔≤∈∀. 证明必要性:)()(b f a f b a ≤⇒≤显然成立,若)()(b f a f ≤成立,则)()()(a f b f a f =∧,因为f 是同构,有)()(a f b a f =∧,由单射性a b a =∧,所以b a ≤.充分性:只须证明f 是同态映射,即：)()()(b a f b f a f ∧=∧,)()()(b a f b f a f ∨=∨.b a b b a a ∨≤∨≤,)()(),()(a f b f b a f a f ≤∨≤⇒)()()(b a f b f a f ∨≤∨⇒,2)()(L b f a f ∈∨))()()((1b f a f d f L d ∨=∈∃⇒,d b d a d f b f d f a f ≤≤⇒≤≤,)()(),()()()()(b f a f b a f d b a ∨≤∨⇒≤∨⇒)()()(b a f b f a f ∨=∨∴同理)()()(b a f b f a f ∧=∧.3 小结同态只保持两个代数系统的部分性质,而同构却能使两个代数系统的结构完全相同.但同态关系比同构易建立.虽然同态比起同构有其不足，但它的确是比同构应用更广泛也更灵活的一种研究代数系统的有效方法.在我们学习的过程中应该加强它们之间的联系与区别，这对于技术人员,工程人员,高等理工科院校本科生,研究生是必不可少的基础数学知识,有着重要的学习意义以及应用价值.参考文献[1].杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社.2011.21-107.[2].赵春来,徐明曜.抽象代数Ⅰ[M].北京:北京大学出版社.2008.143-153.[3].张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].高等教育出版社.1978.31-48.[4] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.[5].杨子胥.近世代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.81-105.[6].张禾瑞,郝炳新.近世代数基础[M].高等教育出版社.1988.30-42.[7].刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社.1999.45-52.[8] 杨树生.代数系统的同态与同构[J].内蒙古民族大学学报,2004,6(19):1-2.[9] J.M.Howie:An Introduction to semigroup theory[M].London:Published for the London Mathematical Society by Academic prees Inc,1975.1-156.[10] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.A Tentative Discussion on the Homomorphism and Isomorphism of the Algebraic SystemDongdong He(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Speciality, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Hongmei ZhengAbstract : One of the most important and elementary concept in algebra is homomorphism and isomorphism.The application of the homomorphism and isomorphism on several algebraic systems is summarized in this paper,which shows the importance on the algebra.Key words: Semigroup; Group; Ring; Lattic; Homomorphism; Isomorphism。

同态和同构的关系

同态和同构的关系
在数学中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了两个代数结构之间的关系。

1.同态（Homomorphism）：同态是指将一个代数结构映射到另一个代数结构的映射，保持运算结构的性质。

如果存在两个代数结构A 和B，以及一个映射f：A→B，对于A中的任意元素a和b，满足f(a*b)=f(a)*f(b)，其中"*"表示A和B上的运算，而"="表示两个代数结构中的相等关系。

简而言之，同态保持了代数结构中的运算规则。

2.同构（Isomorphism）：同构是指两个代数结构之间存在一种双射关系，使得双射保持了运算结构和元素之间的关系。

如果存在两个代数结构A和B，以及一个映射f：A→B，满足以下条件：-f是一个双射，即对于A中的每个元素a，都存在唯一的元素b 在B中与之对应；
-对于A中的任意两个元素a1和a2，满足a1*a2=a3，则f(a1)*f(a2)=f(a3)；
-对于B中的任意元素b1和b2，满足b1*b2=b3，则存在A中的元素a1和a2，使得f(a1)=b1，f(a2)=b2，f(a1*a2)=b3。

简而言之，同构保持了代数结构中的运算规则和元素之间的一一对应关系。

因此，可以将同构看作是一种更严格的同态关系。

如果两个代数结构之间存在一个同构映射，那么它们在结构和性质上是完全相同的，只是元素的表示不同而已。

需要注意的是，在数学中，同态和同构的概念不仅仅适用于代数结构，还可以应用于其他领域，如拓扑学、图论等。

1/ 1。

4.2 代数系统的同构与同态

4
第四章例设V1=<S1,o>,V2=<S2,*>,其中S1={a,b,c,d}, S2={0,1,2,3},二元运算o和*的运算表如下
o a b c d a a b c d b c d d d d d * 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3 0 1 2 3
2
第四章定义3 设h是V1=<S1,o>,V2=<S2,*>的同态，如果 h是满射的,单射的，双射的，则称h是V1到V2的满同态，单同态，同构. 例设V=<Z,+>,给定a∈Z,令 h:Z →Z, h(x)=ax, 任意x∈Z 则h是否是V到自身的同态?如果是，称为自同态.
3
二.同态，同构定理
b c b d d c d d
定义同态h:S1→S2,且 h(a)=0,h(b)=1,h(c)=0,h(d)=1 则h是满，单，双同态？V1在h下的同态像为？非单非满同态，<{0,1},*>
5
第四章
作业： P129 1(6,8) P130 7,12,15
6
第四章
定理1 设V1=<S1,f1,f2,..,fm>和V2=<S2,g1,g2,..,gm>是两个同类型的代数系统，h是从V1到V2的同态函数，那么V1的同态像<h(S1),g1,g2,..,gm>是V2的子代数系统. 定理2 设V1=<S1,o>和V2=<S2,*>是两个代数系统，o和*是二元运算，h是从V1到V2的满同态函数，那么 (1) e, θ，x-1分别是o的单位元，零元和x的逆元，则 h(e), h(θ)，h(x-1)分别是关于*的单位元，零元和h(x)的逆元.

同态与同构

离散结构同态与同构教学目标基本要求（1）掌握同态映射与同构映射的定义（2）掌握同态映射与同构映射的判定方法重点难点（1）同态映射的证明同态映射定义：设V1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.同态分类：(1) 如果f是单射，则称为单同态(2) 如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2(3) 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2(4) 如果V1 = V2，则称作自同态实例例：设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1) f(x) = |x| +1(2) f(x) = |x|(3) f(x) = 0(4) f(x) = 2解：(1) 不是同态, 因为f(2×2)=f(4)=5, f(2)×f(2)=3×3=9(2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为f(1)= f(−1), 且 ran f中没有负数.(3) 不是G 的自同态，因为f不是 G 到 G 的函数实例例：(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>．其中Z为整数集，+为普通加法；Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n，f (x)=(x)mod n加. 令f: Z→Znf 是V1到V2的满同态．【f满射，f(x1+x2)=(x1+x2)mod n=(x1 mod n )⊕(x2 mod n)=f(x1)⊕f(x2)】(2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,· >，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令f: R→R*，f (x)= e xf是V1到V2的单同态. 【f单射，f(x1+x2)=e(x1+x2)=e x1· e x2=f(x1) · f(x2)】(3) 设V=<Z,+>，其中Z为整数集，+为普通加法. ∀a∈Z，令f a : Z→Z，f a (x)=ax，f a 是V的自同态. 【f(x1+x2)=a(x1+x2)=ax1+ax2=f(x1)+f(x2)】当a=0时称f为零同态；为自同构；当a=±1时，称fa例. 证明<Z4,+4>与<X, >同构。

离散数学近世代数代数结构

第1节代数运算及其性质第2节代数结构的同态和同构
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构难点：
同态基本定理
第六页，共39页
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题：
集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
第三页，共39页
关于代数结构
研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，
不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领域。
∴★是满足结合律的.
第十二页，共39页
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有a*b =
b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算：
对任何
其中的 +a ，,b 分I别,a 是通b 常a 数b 的 ( 加a 法 b 和)乘法。可以满足交换律吗？第十Leabharlann ，共39页代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类
型的。定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足下
列条件： ① U U； ② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*)是
(U，)的子系统或子代数。
第二十三页，共39页
定理：设代数系统(U，)，运算“ ”满足结合律，且存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则

同态同构同胚

同态同构同胚全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同态、同构、同胚是代数学中常见的概念，它们在不同的数学领域中有着广泛的应用。

本文将分别解释这三个概念的含义，并通过例子阐述它们之间的关系和区别。

同态（Homomorphism）是一种保持代数结构的映射。

具体来说，设有两个代数结构（如群、环、域等）G和H，一个从G到H的映射f 称为同态，如果对于G中的任意两元素a和b，都有f(a*b) = f(a)*f(b)。

这意味着同态将代数结构中的运算保持下来，即先运算再映射等价于先映射再运算。

考虑一个从整数环Z到模2加法群Z/2Z的映射f，定义为将偶数映射为0，奇数映射为1。

这个映射保持整数环的加法运算，因此是一个同态。

同态在代数结构的保持性质上有很多应用，比如在同态定理中，同态映射的核与像之间的关系能够帮助我们理解代数结构的结构和性质。

同构可以看作是一个更强的同态，因为它不仅保持代数结构的运算，还保持了元素之间的一一对应关系。

一个典型的例子是置换群S3和三阶对称群D3之间的同构：置换群S3包括所有的三元置换，而D3包括所有的三角形对称。

这两个群之间存在一个双射同态，它将S3中的置换映射到D3中的三角形对称，这就是它们之间的同构。

同胚（Homeomorphism）是拓扑空间之间的同构。

在拓扑学中，同胚是一种保持拓扑结构的双射映射，即在两个拓扑空间X和Y之间存在一个双射映射f，f及其逆映射f^-1都是连续函数。

同胚能够保持拓扑空间的开集、闭集、极限等性质，因此它们的拓扑结构是完全相同的。

考虑一个从实数轴R到开区间(0,1)的映射f，定义为f(x) =1/(1+e^-x)。

这个映射是一个双射，并且连续，因此是一个同胚，将实数轴上的开集映射为开区间上的开集，保持了拓扑结构上的同构。

同态、同构、同胚都是代数学和拓扑学中重要的概念，它们分别描述了代数结构和拓扑结构之间的关系。

同态是保持代数结构的映射，同构是保持代数结构的双射同态，同胚是保持拓扑结构的双射映射。

代数结构-同态与同构

上次课主要内容：设A＝｛ a , b, c ｝, A上的三个二元运算 * o • 如表所示
* abc o abc • abc a abc a abc a abc b bca b bbb b abc c cab c cbc c abc 如何从运算表中得到运算的运算律及特殊元素＊：满足交换律、结合律、消去律、幺元为a、无零元、每个元素可逆。 o ：满足交换律、结合律、等幂律、幺元为a、零元b、 a可逆 • ：满足结合律、等幂律、无零元、每个元素不可逆注：用运算表给出的二元运算中各种特殊元素的特点：交换律：关于主对角线对称等幂律：主对角线元素与行列标相同幺元：所在行列元素分别与列行标相同零元：行列与行列标相同可逆元：表中的幺元所对应的行列标元素互为可逆元
具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数称为同种类的
对同一种类的代数，根据它的公理集合推出的一切定理对该种类的一切代数都成立
2）相同代数性质(同种类）的代数系统
引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
代数系统 V ＝ < S ， * > 其中 * 是一个可结合的二元运算就代表了一类特殊的代数系统——半群．
代数系统又称：代数结构 1．一个集合，叫做代数的载体。 2．定义在载体上的运算 3．载体的特异元素，叫做代数常数如幺元、零元、等幂元等代数通常用由载体、运算和特殊元素组成的n重组表示代数系统 1、定义9．12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组成的系
统称为一个代数系统，简称代数，记作： < S ，f1，f2，…，fk > ．例如 <N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，·> 都是代数系统， < M(R)，+， * > 其中 + 和 * 分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法将特殊元素也放在系统中V2 ＝ < P(S)，∪，∩，一，ø，S >

8.3同态与同构

如果*（或△）是可交换的（可结合的或等幂的），则○（或⊙)在f(A)中也是可交换的（可结合的或幂等的）

如果*对△是可分配的，则○对⊙在f(A)中也是可分配的。如果*对△是可吸收的，则○和⊙在f(A)中也是可吸收的。如果e是A中关于*运算的单位元，θ 是A中关于 *运算的零元，则f(e)和f(θ )分别是f(A)中关于○运算的单位元和零元
○ 1 1 1 2 2 ◎ a a a b b
2
2
1
b
b
a
V1=({1,2}, ○ )和V2=({a,b}, ◎ ),容易看出可以建立 f:{1,2}{a,b} 的映射， f(1)=a,f(2)=b,则V1和V2是同一个系统。
同态：设 V1=(G，※)和V2=(S，ο)是两个代数系统,※和ο分别是G和S上的二元运算,设f是从G到 S 上的一个映射，且对 a,bG, 有 f(a※b)=f(a)ο ο f(b) f(b)，则称 f 为从 V1 到 V2 的一个 f(a※b)=f(a) 同态映射，简称为同态。同态
④如果 V1=V2＝V，h 是从 V 到 V 的同态 ( 同构 ) ）函数，称f是V的自同态(自同构)。
例1： (Z, +)和(Zn , +n)是两个代数系统，其中+n 是模n加法Zn={ 0,1,2, … , n-1},令映射f : ZZn , f(x)=(x)(mod n),则f是(Z, +),则(Zn , +n) 的满同态。
c
d a b
d
a b c
0
1 2 3
0
1 2 3
1
2 3 0
2
3lt;Z,+>，给定a∈Z，令фa： ZZ， фa(x)=ax，则фa是V到V的自同态。

离散数学-同态和同构

所以, 代数<F, ·, f 0>和<N4, +4, 0>同构。
一、同态与同构
例1(c)：证明代数< N, +>和< I+,·>是不同构的。
证明：使用反证法。假设h是从<N, +>到<I+, ·>的一个同构。因为h
是从N到I+的一个满函数, 必有x∈N( x≥2) 和某质数p(p≥3), 使h(x)=p
(h(x1)*′h(x2))*′h(x3)=h(x1*x2)*′h(x3)=h((x1*x2)*x3) =h(x1*(x2*x3))=h(x1)*′h(x2*x3) =h(x1)*′(h(x2)*′h(x3))
所以, *′是可交换(或可结合的)。证毕。
二、同态代数的性质
例2：设S = {a, b, c, d}, S′={0, 1, 2, 3}, 代数A=<S, *>和B=<S′,* >由下表
· f0 f1 f2 f3 f0 f0 f1 f2 f3 f1 f1 f2 f3 f0 f2 f2 f3 f0 f1 f3 f3 f0 f1 f2
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
一、同态与同构
例1(b)证明：<F, ·, f 0>，F={f 0, f 1, f 2, f 3};< N4, +4, 0>，N4={0, 1, 2, 3}
作映射h∶F→N4, h(f i) = i (i=0, 1, 2, 3) (1) h∶F → N4双射； (2) h(f 0) =0； (3)任取f i， f j∈F， i， j∈ N4, 因为h(f i) = i ， h(f j) = j ,所以 h(f i·f j) = h(f i+j) = h(f (i+j) mod 4) = (i+j) mod 4 = i +4 j = h(f i) +4h(f j)。

代数系统的同态和同构

第二节代数系统的同态和同构设S 是一个非空集合，12,,...,k f f f 分别是S 上的12,,...,k n n n 元运算。

由S 和12,,...,k f f f 组成的系统称作一个代数系统，简称代数，记作12,,,...,k S f f f <>。

例如，<R,＋>,<R,－>,<R,×>，<R +,+,×>等都是代数系统，而,R <÷>，,R +<−>都不是代数系统。

定义2.1 设1S 和2S 是两个非空集合，f 和g 分别是1S 和2S 上的n 元运算。

如果映射12:S S ϕ→满足121,,...,n x x x S ∀∈：1212((,,...,))((),(),...,())n n f x x x g x x x ϕϕϕϕ=则称ϕ关于f 和g 是保持运算的，简称是保持运算的，特别地，当f 和g 分别为二元运算*和o 时，上式为1,x y S ∀∈，ϕϕϕ=o (*)()()x y x y如果12,,...,k f f f 分别与12,,...,k g g g 同是12,,...,k n n n 元运算，则称代数系统1112,,,...,k V S f f f =<>和2212,,,...,k V S g g g =<>是同类型的，如果映射12:S S ϕ→关于每一个i f 和(1,2,...,)i g i k =都是保持运算的，则称ϕ是1V 到2V 同态映射，简称同态(homomorphism)。

称112(,,,...,)k S g g g ϕ<>是1V 在ϕ下的同态象。

当ϕ是单射，满射和双射时，分别称作单射同态(injective homomorphism)，满同态(surjective homomorphism)和同构(isomorphism)。

离散数学第十二章代数结构基本概念及性质

第十二章

代数结构概念及性质
12.1 代数结构的定义与例 12.2 代数结构的基本性质

12.3 同态与同构
12.4 同余关系 12.5 商代数 12.6 积代数
12.1 代数结构的定义与例
在正式给出代数结构的定义之前，先来说明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个概念是代数结构中不可缺少的基本概念。定义 12.1.1 设 S 是个非空集合且函数 s n 或 f : Sn →S，则称 f 为一个n元运算。 f S 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1 时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算，等等。
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是
谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交
是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讨论的代数结构中，主要限于一元和二元运算，将用'、┐或ˉ等符号表示一元运算符；用、、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶
如果令∑+＝ ∑*－{}，则<∑+，//>也是一个代数结构。这两种代数结构都是计算机科学中经常要用到的代数结构。
例：设有一计算机它的字长是32位，它
以定点加、减、乘、除及逻辑加、逻辑乘为
运算指令，并分别用01，02，…，06表示之。则在该计算机中由232有限个不同的数字所组成的集合S以及计算机的运算型机器指令就构成了一个代数结构<S，01，02，…，06>。
2.交换律给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足交换律或 “⊙”是可交换的，即 (x)(y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。

高等工程数学课件--2.1 代数运算,同态与同构

(2) 若对适合右分配律，则对适合右分配律。
(1) 若对适合左分配律，则对适合左分配律；
定理2.1.4 设 A, B, C 是三个非空集合，，，
分别是A, B, C 上的代数运算。如果是A到B 的同构映射，是B到C的同构映射，则 (1) 是B到A的同构映射；
a b b a e,
则称 b 为 a 的逆元，记为 b a 1 。半群G上的代数运算一般用通常的乘法符号“ . ”表示，并且通常省略。
定理2.2.1 设G是一个半群，则
（1）如果G有单位元，则单位元是唯一的；（2）如果 a G有逆元a ，则 a 是唯一的，并且 (a 1 ) 1 a ；（3）如果 a, b G 是可逆的，则 ab 也是可逆的，并且
(2) Ker ( )是G的子群； (3) 是一个单映射 Ker ( ) {e}.
定理2.2.11 设 G , G, G是三个群，如果是G到
G的同构映射，是G到G的同构映射，则 (1) 是G到G的同构映射； (2) 是G到G的同构映射。
－1
2.2.4
(2)
A A到C的映射称为A到C的代数运算；
A对代数运算是封闭的。
(3) A A 到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算，也称集合
一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A 与B到C的一个代数运算记为“ ”, 则由定义，对任意 A, b B ，经过代数运算得唯一的 C ， c a 即 :(a,b)→c，记为c=a b . 例2.1.1 R
第2章代数结构与线性空间
2.1 代数运算，同态与同构
2.2 群 2.3 环与域 2.4 线性空间
2.5 模

离散数学十二代数结构基本概念及性质(精品)

定理12.2.4 给定<S，⊙>且θl和θr分别为关于⊙的左零元和右零元，则θl=θr=θ且零元θ是唯一的。
定理12.2.5 给定<S，⊙>且|S|＞1。如果θ， e∈S，其中θ和e分别为关于⊙的零元和幺元，则θ≠e。
例：代数结构<Z，×>上的零元是“0”，因为对于任何整数x，均有x×0＝0×x＝0。
例：前面例子中关于串的并置运算，它的单
位元素是空串，因为对任一串A，均有 // A = A // = A。
7.零元
给定<S，○>及θl，θr，θ∈S，则 θl为关于○的左零元 :=( x)(x∈S→θl○x=θl) θr为关于○的右零元 :=( x)(x∈S→x○θr=θr) θ为关于○的零元
:=( x)(x∈S→θ○x=x○θ=θ)
Байду номын сангаас
因此，一个代数结构需要满足二个条件： (1)有一个非空集合S (2) 在集合S上定义的运算一定是封闭的
此外，我们把集合S的基数即|S|，定义为代数结构的基数。如果S是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构.
有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个是否同类型之说，请看下面定义：
例：代数结构<N，＋>与代数结构<Z，×> 是相同类型的，因为它们都有一个二元运算符。
例：代数结构<Z，＋，×>与<N，＋>的类型是不相同的，因为它们的运算符的个数不同。
例：设S是非空集合，P(S)是它的幂集。对任意集合A，B∈P(S)上的运算和如下:
AB =(A－B)∪(B－A)
AB = A∩B 则<P(S)，，>是一代数结构。因为，显然和是闭运算。 <R，＋，×>与<P(S)，，>是同类型代数结构的。

12代数结构-同态与同构12-8

线性空间的同构与同态

离散数学-同态和同构

同态和同构

代数系统间的同构与同态

400浅谈代数系统上的同态与同构

同态和同构的关系

4.2 代数系统的同构与同态

同态与同构

离散数学近世代数代数结构

同态 同构 同胚

代数结构-同态与同构

8.3同态与同构

离散数学-同态和同构

代数系统的同态和同构

离散数学第十二章 代数结构基本概念及性质

高等工程数学课件--2.1 代数运算,同态与同构

离散数学十二代数结构基本概念及性质(精品)

同态同构同胚

离散数学第十二章代数结构基本概念及性质