初中数学人教版九年级上册测试
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函数与x轴的交点的横坐标，a≠0.
例1 如图已知点A（-4，8)和点B（2，n）在抛 物线y=ax2上.
(1)求a的值及点B关于X轴对称点P的坐标；
(2)并在X轴上找一点Q，使得ＡＱ+ＱＢ最短，求 点Ｑ的坐标；
.....
.Y
A8
. 6
.
-4
-.2420.Ｑ.
.B
2
.
4
.
x
Ｐ
【解析】 （1）根据待定系数法求出a与n，由与x轴对称
【思路点拨】
（1）由二次函数的图象经过坐标原 点O（0，0），直接代入求出m的值 即可；
（2）把m＝2代入求出二次函数解析 式，令x＝0，求出y的值，得出点C 的坐标；利用配方法或顶点坐标公 式求出顶点坐标即可；
（3）根据当P、C、D共线时根据 “两点之间，线段最短”得出PC＋ PD最短，求出CD的直线解析式，令 y＝0，求出x的值，即可得出P点的 坐标．
（3）先设P、Q坐标，利用MN=PQ,列方程解出答 案，再判断。
【学生解答】
（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，
例2 如图，已知直线y=3x-3分别交x轴y轴于A、 B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C 是抛物线与x轴的另一个交点（与A不重合）。 （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使
△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由； 若存在，求出点M的坐标。
y
C
x O
D
【学生解答】 【解题过程】
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， ∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0， 解得：m＝±1， ∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x； （2）∵m＝2， ∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：
y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1， ∴抛物线的顶点为：D（2，－1）， 当x＝0时，y＝3， ∴C点坐标为：（0，3）， ∴C（0，3）、D（2，－1）；
【练习】
【思路点拨】
（1）先根据已知写出各点坐标，再用待定系数法 列出方程求解析式；
（2）计算BD、CD、BC的长度，利用勾股定理逆 定理判断；要使POC为顶点的三角形为等腰三角形 则OC为底或OC为腰，当OC为底时，p在OC垂直 平分线上与AD交点；当OC为腰,则OP=OC,联列利 用勾股定理得出；
y 随 x 的增大而_减___小____
y 随 x 的增大而_增___大____
最值
当 x＝－2ba时，y 有最小值， y 最小＝4ac4－a b2
当 x＝－2ba时，y 有最大值， 4ac－b2
y 最大＝____4_a___
二次函数的解析式、顶点等的求法
二次函数表达式的三种形式:
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数,a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0). (3)交点式： y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是二次
西藏中考专题之 二次函数综合题
拉萨四中 王红
知识储备： 1.待定系数法求函数解析式； 2.配方法求二次函数对称轴、顶点； 3.方程的方法求与坐标轴的交点； 4.求二次函数与一次函数或反比例函数交点坐标； 5.对称点问题；
表达式
二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数,a≠0).
开口 方向
对称轴 顶点 坐标
【学生解答】
【练习】
1．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0） 时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C， 顶点为D，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P， 使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标； 若P点不存在，请说明理由．
求出P的坐标。 （2）要求ＡＱ+ＱＢ（不可能共线，Q在直线AB
的外侧）最短，则转化为求ＡＱ+ＱP最短，因为 对称得到QB=QP，通过这个转化，得出要使ＡＱ+ ＱP最短，则AQP三点共线（不共线，则组成三角 形，两边之和大于第三边），即Q为直线AP与x轴 交点。于是先求出直线AP解析式，再令y=0，解出 x的值，得出点Q坐标。
a>0
a<0
开口向上，并向上 方无限延伸
开口向下，并向下 方无限延伸
Fra Baidu bibliotek
x＝－__2_ba___
(___－__2b_a____，
4ac－b2 ______4_a_______)
性 质 增减性
当 x>－2ba时，y 随 x 的增大而增 当 x>－2ba时，y 随 x 的增大而减
大；当 x<－2ba时，
小；当 x<－2ba时，
例1 如图已知点A（-4，8)和点B（2，n）在抛 物线y=ax2上.
(1)求a的值及点B关于X轴对称点P的坐标；
(2)并在X轴上找一点Q，使得ＡＱ+ＱＢ最短，求 点Ｑ的坐标；
.....
.Y
A8
. 6
.
-4
-.2420.Ｑ.
.B
2
.
4
.
x
Ｐ
【解析】 （1）根据待定系数法求出a与n，由与x轴对称
【思路点拨】
（1）由二次函数的图象经过坐标原 点O（0，0），直接代入求出m的值 即可；
（2）把m＝2代入求出二次函数解析 式，令x＝0，求出y的值，得出点C 的坐标；利用配方法或顶点坐标公 式求出顶点坐标即可；
（3）根据当P、C、D共线时根据 “两点之间，线段最短”得出PC＋ PD最短，求出CD的直线解析式，令 y＝0，求出x的值，即可得出P点的 坐标．
（3）先设P、Q坐标，利用MN=PQ,列方程解出答 案，再判断。
【学生解答】
（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，
例2 如图，已知直线y=3x-3分别交x轴y轴于A、 B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C 是抛物线与x轴的另一个交点（与A不重合）。 （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使
△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由； 若存在，求出点M的坐标。
y
C
x O
D
【学生解答】 【解题过程】
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， ∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0， 解得：m＝±1， ∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x； （2）∵m＝2， ∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：
y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1， ∴抛物线的顶点为：D（2，－1）， 当x＝0时，y＝3， ∴C点坐标为：（0，3）， ∴C（0，3）、D（2，－1）；
【练习】
【思路点拨】
（1）先根据已知写出各点坐标，再用待定系数法 列出方程求解析式；
（2）计算BD、CD、BC的长度，利用勾股定理逆 定理判断；要使POC为顶点的三角形为等腰三角形 则OC为底或OC为腰，当OC为底时，p在OC垂直 平分线上与AD交点；当OC为腰,则OP=OC,联列利 用勾股定理得出；
y 随 x 的增大而_减___小____
y 随 x 的增大而_增___大____
最值
当 x＝－2ba时，y 有最小值， y 最小＝4ac4－a b2
当 x＝－2ba时，y 有最大值， 4ac－b2
y 最大＝____4_a___
二次函数的解析式、顶点等的求法
二次函数表达式的三种形式:
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数,a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0). (3)交点式： y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是二次
西藏中考专题之 二次函数综合题
拉萨四中 王红
知识储备： 1.待定系数法求函数解析式； 2.配方法求二次函数对称轴、顶点； 3.方程的方法求与坐标轴的交点； 4.求二次函数与一次函数或反比例函数交点坐标； 5.对称点问题；
表达式
二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数,a≠0).
开口 方向
对称轴 顶点 坐标
【学生解答】
【练习】
1．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0） 时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C， 顶点为D，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P， 使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标； 若P点不存在，请说明理由．
求出P的坐标。 （2）要求ＡＱ+ＱＢ（不可能共线，Q在直线AB
的外侧）最短，则转化为求ＡＱ+ＱP最短，因为 对称得到QB=QP，通过这个转化，得出要使ＡＱ+ ＱP最短，则AQP三点共线（不共线，则组成三角 形，两边之和大于第三边），即Q为直线AP与x轴 交点。于是先求出直线AP解析式，再令y=0，解出 x的值，得出点Q坐标。
a>0
a<0
开口向上，并向上 方无限延伸
开口向下，并向下 方无限延伸
Fra Baidu bibliotek
x＝－__2_ba___
(___－__2b_a____，
4ac－b2 ______4_a_______)
性 质 增减性
当 x>－2ba时，y 随 x 的增大而增 当 x>－2ba时，y 随 x 的增大而减
大；当 x<－2ba时，
小；当 x<－2ba时，