汕头市高三理科数学期末考试试题及其答案

合集下载

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(有答案)-推荐

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（） A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ；（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅n m ，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =<DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件（i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=，依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离5d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为TQ TP TA t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ，所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)si n ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(.23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(有答案)-精华版

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(有答案)-优质版

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅DA DC DC DB DB DA ，动点M P ,满足1||=，PM =，则2||的最大值是（） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ；（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n . 18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b AB AP -==，设),,(z y x m =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅BE n PC n ，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =>=<DP n ，所以 60,>=<DP n ，因为PD 与平面PBC 所成角和><DP n ,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件（i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=，依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ，所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx sin cos 1（t为参数，π≤≤t 0）.（2）设)si n ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(有答案)-最新推荐

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差2.2=，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ；（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅AB m AP m ，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b m =，设),,(r q p n =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=n ，)2,2,2(--=DP ，21||||,cos =>=<DP n DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件（i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=，依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E .（ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ，所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

广东省汕头市高三上学期期末统一质量检测数学(理)试题

汕头市高三上学期期末统一检测理科数学本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟．第一部分（选择题满分40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若A ∩B {1,3}=，则b a +的值是( )．A.10B.9C.4D.72．如图在复平面内，复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,，则复数12z z 的值是( )． A ．i 21+- B ．i 22-- C ．i 21+ D ．i 21-3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为( )．A.100B.1000C.90D.9004．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是( )．A ．1=⋅ B.||||b a = C ．⊥-)( D ．//5．如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD 的底面边长为6cm ，侧棱长为5cm ，则它的侧视图的周长等于( )．A.17cmB.cm 5119+C.16cmD.14cm6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝2π对称，则下列的判断正确的是（） A 、p 为真 B 、⌝q 为假 C 、p ∧q 为假 D 、p q ∨为真7、若（9，a ）在函数2log y x =的图象上，则有关函数()x x f x a a -=+性质的描述，正确提（）A 、它是定义域为R 的奇函数B 、它在定义域R 上有4个单调区间C 、它的值域为（0，＋∞）D 、函数y ＝f （x －2）的图象关于直线x ＝2对称8、计算机中常用的十六进制是逢16进1的数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E ＋D ＝1B ，则A×B ＝（）A 、6EB 、72C 、5FD 、5F D 、B0第二部分（非选择题满分110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：．9、已知数列{n a }的前几项为：1925,2,,8,,18222---⋅⋅⋅用观察法写出满足数列的一个通项公式n a ＝＿＿＿10、72()x x -的展开式中，x 3的系数是＿＿＿＿（用数字作答）11、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，c = A ＋B ＝2C ，则sinB ＝＿＿＿＿12、已知x ＞0，y ＞0，且19x y+＝1，则2x ＋3y 的最小值为＿＿＿＿ 13、设f （x ）是R 是的奇函数，且对x R ∀∈都有f （x ＋2）＝f （x ），又当x ∈［0,1］时，f （x ）＝x 2，那么x ∈［2011,2013］时，f （x ）的解析式为＿＿＿＿＿（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14. （坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线21x t y t=--⎧⎨=-⎩（t 为参数）截圆22cos ρρθ+－3＝0的弦长为＿＿＿＿15. （几何证明选讲）已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为AB ＝3，则切线AD 的长为＿＿＿＿三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数1()tan()36f x x π=-(I)求f （x ）的最小正周期；(II)求3()2f π的值；(皿)设71(3)22f απ+=-，求sin()cos())4πααππα-+-+的值.17.（本小题满分12分）汕头市澄海区以塑料玩具为主要出口产品，塑料厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.(I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出3件进行检验.求恰有1件是合格品的概率；(H)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定，该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收，求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E ξ，并指出该商家拒收这批产品的概率。

2022年广东省汕头市第六中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年广东省汕头市第六中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b 的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．2. 与的图像关于A．轴对称B．轴对称C．原点对称 D．对称参考答案：B略3. 设是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A.-2 B. C. D. 2参考答案：C略4. 已知点是的外心，是三个单位向量，且，如图所示，的顶点分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动，是坐标原点，则的最大值为A．B．C．D．参考答案：C5. 已知，，且，则下式一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C试题分析：由题意得，对于A选项而言，当时，，不成立；对于B选项而言，当时，，不成立；对于C选项而言，，成立；对于D选项而言，当时，，不成立，综合故选C．考点：1.指数函数的性质；2.对数函数的性质.6. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象( )A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．[来源:Z_xx_]7. 四棱锥的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右图所示，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A． B．C． D．参考答案：D略8. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D.考点：诱导公式.9. 如图，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的内切球表面积为（）A． B． C． D．参考答案：D10. 若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A．B．C．－45 D．45参考答案：D，所以展开式的第三项系数为，第五项系数为，所以，解得：n=10。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(有答案)-名校版

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差2.2=，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ；（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b AB AP -==，设),,(z y x m =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅AB m AP m ，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b m =，设),,(r q p n =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=n ，)2,2,2(--=DP ，21||||,cos =>=<DP n DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件（i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=，依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E .（ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ，所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学理试题(

参考答案一、选择题：ABCCC ADDBA CC6、试题分析：考点：数学归纳法当时，原式是()()()k k k k ++++......21，当时，变为()()()()()2212......32+++++k k k k k k ，二、填空题：13、 0.9 14、 -5 15、或 16、三、解答题：17.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

解：（I ）设等差数列的公差为d ，由………………………1分得2111()(3)a d a a d +=+，因为，所以………………………2分所以………………………3分1(1),.2n n an n a na S +==………………………4分（II ）解：因为，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++++=-+………………………6分因为，所以21122211()11111212(1).1212n n n nB a a a a a a --=++++=⋅=--………………………9分当0122,21n n n n n n nC C C C n ≥=++++>+时，………………………11分即所以，当<………………………12分 18、证明：（Ⅰ）BH DC AH DC ⊥⊥, ,…………1分平面,又因为平面………………………3分所以………………………4分(Ⅱ)分别以为轴，建立如图所示的直角坐标系由已知条件不难求得：1,3,3====HC HD HB AH ………………………5分所以, , ,………………………6分又因为点E 为中点，所以点所以,，…………7分设平面的一个法向量为所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02332302523z y x BE n z x 令解得：，所以平面的一个法向量为…………9分又平面,所以向量为平面的一个法向量……10分设所求二面角是，所以29293259253353cos =⨯++==θ……12分 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．解：（Ⅰ）（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为，则，………………………2分得到．故白球有5个．………………………3分（ii ）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是………………………4分0 1 2 3………………………6分注解：（每算对2各给1分）的数学期望155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………8分（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，所以，，故．………9分记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则．………11分所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．故袋中红球个数最少．………12分20. 解：(Ⅰ)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．………1分设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，………2分圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝1. ………3分由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－1＋k 2，………4分从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，………5分所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. ………6分(Ⅱ)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．………7分因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即 |1－k －3－a －b |1＋k 2＝|5＋1k －a －b |1＋1k2，………9分整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，………10分从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，………11分解得⎩⎨⎧ a ＝52，b ＝－12，或⎩⎨⎧ a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件．………12分21.解（Ⅰ）在[，e]上单调递减，0)1()(2,≤+-+=∴a xa ax x f 在[，e]上恒成立………………………1分方法一： x x a a 1112+≤+∴在[，e]上恒成立………2分令),1(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=e e x x x x g ),1(11)(2,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=e e x x x g 令则0)(11,<<≤x g x 时当; 0)(1,><≤x g e x 时当11111)(2+≥+∴+≤+=∴e e x x e e x x x g ………4分 0))(1()1(112222≥--=++-∴+≤+∴e a ea e a e ea e e a a……………6分方法二：（可做如下分类讨论）（1）当时，结论显然成立………………………2分（2）当时，可化为：对任意[，e]上恒成立………3分显然，当时，对钩函数在上是减函数，在上是增函数。

2024年广东汕头市数学高三第一学期期末检测模拟试题含解析

2024年广东汕头市数学高三第一学期期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（） A ． B ．C ．D ．4．231+=-ii（）A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 5．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（） A ．32B ．12C ．78 D ．986．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<7．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（）A ．1-B ．0C ．1D ．28．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）A ．B ．C ．D ．9．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（）A ．且B ．且C ．且D ．且10．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥11．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（）A ．26B ．33C 3D ．2312．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A 15 B ．15C 15D 215二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(有答案)

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （）A ．)0,(-∞B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（）个单位 A ．向左平移6πB ．向左平移6πC. 向左平移6πD ．向左平移6π5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（） A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >>11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅DA DC DC DB DB DA ，动点M P ,满足1||=AP ，MC PM =，则2||BM 的最大值是（） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 585961 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73合计件数1 1 3 5 6 19 33 18 4 42 1 2 1100经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ；（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x -=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b DE b BE PC -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b AB AP -==，设),,(z y x m =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅AB m AP m ，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b m =，设),,(r q p n =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅BE n PC n ，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b n -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅n m ，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=n ，)2,2,2(--=DP ，21||||,cos =>=<DP n DP n DP n ，所以 60,>=<DP n ，因为PD 与平面PBC 所成角和><DP n ,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件（i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=，依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-.设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为TQ TP TA t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y t x x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x -=，∴x e x f x 2)('-=，2)(''-=x e x f ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xx e x g e x e x g ，由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ，所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，所以x x x x e e x +≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x 成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y tx sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

2025届广东省汕头市龙湖区高三数学第一学期期末考试试题含解析

2025届广东省汕头市龙湖区高三数学第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④2．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B3．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =2AB ，则球O 的表面积为（） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π4．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（）A ．925B ．1225C ．35D ．456．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（） A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）7．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必条件8．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（） A ．平均数为20，方差为4 B ．平均数为11，方差为4 C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8 9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯-10．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π ⎪⎝⎭11．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A ．20B ．27C ．54D ．6412．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．23D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省汕头市三河中学高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省汕头市三河中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A解析: 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则.故选A2. 若函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，则g（）的值为（）A．B．1 C．D．﹣1参考答案：D【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得g（x）=log2x，由此能求出g（）．【解答】解：∵函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=log2x，∴g（）=log2=﹣1．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用．3. （3分）在△ABC中，若b=2asinB，则这个三角形中角A的值是（）A．30°或60° B．45°或60° C．30°或120° D．30°或150°参考答案：考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理解得sinA=，从而求得 A的值．解答：在△ABC中，若b=2asinB，则由正弦定理可得 sinB=2sinAsinB，解得sinA=，∴A=30°或150°．故选D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．4. 设直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2：（m﹣1）x﹣y+1=0．则“m=2”是“l1∥l2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当m=2时，两直线方程为l1：2x﹣2y﹣1=0，l2：x﹣y+1=0，满足l1∥l2，当m=0时，两直线方程为l1：2x﹣1=0，l2：﹣x﹣y+1=0，不满足l1∥l2，∴若l1∥l2，则，解得m=2或m=﹣1（舍去），∴“m=2”是“l1∥l2”的充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．5. 如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（）A． B． C． D．参考答案：试题分析：设方格边长为单位长.在直角坐标系内，，由得，所以，解得，所以，，选.考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量基本定理.6. 某宾馆有N间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为A．220元 B．200元 C．180元 D．160元参考答案：C7. 当m＝6，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A ．6B ．30C ．120D．360参考答案：C【知识点】程序框图L1解析：模拟执行程序框图，可得m=6，n=3k=6，S=1，不满足条件k＜m﹣n+1=4，S=6，k=5不满足条件k＜m﹣n+1=4，S=30，k=4不满足条件k＜m﹣n+1=4，S=120，k=3满足条件k＜m﹣n+1=4，退出循环，输出S的值为120．故选：C．【思路点拨】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k＜m﹣n+1=4，退出循环，输出S的值为120．8. 阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值是（）．．．．参考答案：A9. 给出下列命题：①在区间上，函数,,, 中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为( )A. B. C. D.参考答案：C略10. 若变量满足约束条件，则的最大值为A．1 B.2 C.4 D. 3参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，AC=6，BC=7，，O是的内心，若，其中，动点P的轨迹所覆盖的面积为参考答案：12. 已知函数恒过定点(3,2)，其中且，m，n 均为正数，则的最小值是.参考答案：－20013. 下列说法：①“”的否定是“”；②函数的最小正周期是③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题；④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为其中正确的说法是。

广东省汕头市集星中学高三数学理期末试卷含解析

广东省汕头市集星中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设为公差不为零的等差数列的前项和，若，则（）A.15B.17C.19D.21参考答案：A2. 等比数列的前n项和为，已知，则A．B．C．D．参考答案：A设公比为q,则，选A.3. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．4. 已知向量且与的夹角为钝角，则的取值范围是（）（A） [2，6] （B）（C）（D） (2，6)参考答案：D略5. 过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为( )A. B. C. D.参考答案：C6. 函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．【详解】对于函数且，令，求得，，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，，则，故选：C．7. 若全集，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：B∵，则，选B．8. 如图，在正方体中，，分别是的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A． B．C． D．参考答案：B考点：截面图形的面积及运算．9. 已知，则A.7B. －7C.D.参考答案：D因为，所以＝，故选D.10. ，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：利用定积分的几何意义计算定积分．解答：解：y=，即（x+1）2+y 2=1，表示以（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆，圆的面积为π，∵，∴表示为圆的面积的二分之一，∴m=0，故选：B点评：本题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.__________.参考答案： 1 略12. （坐标系与参数方程选做题）．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且，则．参考答案：略13. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ．参考答案：【知识点】弧度制.C1【答案解析】2 解析：解：由扇形的面积公式可知，再由，所以所对的圆心角弧度数为2.【思路点拨】根据已知条件中的面积可求出弧长，再利用弧度制的概念可求出弧度数.14. 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n 。

广东省汕头市贵屿中学2022年高三数学理期末试题含解析

广东省汕头市贵屿中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2+2 B．2﹣2 C．2D．2参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先将函数变形可得y==（x﹣1）++2，再利用基本不等式可得结论．【解答】解：y==（x﹣1）++2∵x＞1，∴x﹣1＞0∴（x﹣1）+≥2（当且仅当x=+1时，取等号）∴y=≥2+2故选A．2. 已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．9参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2?bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1?x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，故选B．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．3. 已知复数在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上,则实数a=( )(A) (B) (C) 1 (D) -1参考答案：B略4. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为（）A．B．C. D．参考答案：B5. 若一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体可能是一个( )A．棱台B．棱锥C．棱柱D．圆柱参考答案：C6. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A．B．C．D．参考答案：D略7. 将函数的图像向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则，的值为A.，－B.，－C.，D. ，参考答案：A略8. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C9. 设函数，把的图象按向量平移后，图象恰为函数的图象，则的值可以是A. B. C. D.参考答案：D10. 函数的单调递增区是（）A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. “”是“函数在其定义域上为奇函数”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）参考答案：充分不必要12. 已知甲、两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m+n= ．参考答案：11【考点】茎叶图．【专题】计算题；图表型；方程思想；概率与统计．【分析】根据两组数据的中位数相等，可得m值，进而求出n值，可得答案．【解答】解：∵两组数据的中位数相同，∴m==3，又∵平均数也相同，∴n=8，∴m+n=11，故答案为：11．【点评】本题考查的知识点是茎叶图，中位数和平均数，方程思想，难度不大，属于基础题．13. 已知二项式展开式中的常数项为,且函数,则___________.参考答案：14. 已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_______________________．参考答案：解析：圆心的坐标为，所以，圆的方程为．15. 已知、，且，，．参考答案：，所以，，所以。

2022年广东省汕头市东山中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年广东省汕头市东山中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（A）（B）（C）（D）参考答案：B因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。

所以设到准线的距离为,则。

到直线的距离为，所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B.2. 已知偶函数满足，且当时，，关于x的不等式在区间[－200,200]上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据的周期和对称性得出不等式在上的整数解的个数为3,计算的值得出的范围.【详解】因为偶函数满足,所以,所以的周期为且的图象关于直线对称,由于上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,所以关于不等式在上有3个整数解,当时,,由,得,由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,因为,,所以当时,,所以当时,在上有4个整数解,不符合题意,所以,由可得或,显然在上无整数解,故而在上有3个整数解,分别为,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.3. 若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于，两点，则(＋)·＝16 32参考答案：由解得，即，过点的直线与函数的图像交于，两点，根据对称性可知，是的中点，如图，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2＝2×42＝32，故选.4. 已知，则的值是A. B. C. D.参考答案：C略5. 已知数列{}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．B．C．2 D．3参考答案：D略6. 函数图象一定过点 ( )A （1,1）B （1,3）C （2,0）D （4,0）参考答案：B略7. 已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．8. 已知函数，则方程（为正实数）的根的个数不可能为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个参考答案：C9. 函数y=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|?|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A ．y=﹣4sin （）B ．y=4sin （）C ．y=﹣4sin （） D ．y=4sin （）参考答案：A【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先由图象的最高点、最低点的纵坐标确定A （注意A 的正负性），再通过周期确定ω，最后通过特殊点的横坐标确定φ，则问题解决．【解答】解：由图象得A=±4， =8，∴T=16，∵ω＞0，∴ω==，①若A ＞0时，y=4sin （x+φ），当x=6时，φ=2kπ，φ=2kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，∴φ∈?；②若A ＜0时，y=﹣4sin （x+φ），当x=﹣2时，φ=2k π，φ=2k π+，k∈z；又|φ|＜，∴φ=．综合①②该函数解析式为y=﹣4sin （）．故选A ． 10. 定义在上的函数，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是( )A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能参考答案：A显然是偶函数，且在递增.在上恒成立，所以的图象至少向左平移2个单位，即，所以，方程的根有2个.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为．参考答案：【知识点】切割线定理N1解析：连接BO,设圆的半径为，由切割线定理可得，解得，在中根据余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案为。

2022年广东省汕头市城郊中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年广东省汕头市城郊中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为A．B．C．D．参考答案：D略2.表示等差数列的前项和，若，，，则的值为（）A.28B.23C.21D.19参考答案：答案：C3. 为得到的图象，只需要将的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：D 因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向左平移个单位；故选D．4. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A． B. C. D.参考答案：A设椭圆的半长轴为，椭圆的离心率为，则.双曲线的实半轴为，双曲线的离心率为，.，则由余弦定理得，当点看做是椭圆上的点时,有，当点看做是双曲线上的点时,有，两式联立消去得，即，所以，又因为，所以，整理得，解得，所以，即双曲线的离心率为，选A.5. 函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是．．．．参考答案：C6. 已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c==a，即有e==．故选C．7. 有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（）A．甲B．乙C．丙D．丁参考答案：A 若甲猜对，当第一名为3号时，则乙、丙、丁都猜错；若乙猜对，由于只有一个猜对，则丙猜错，即1,2,3都不可能，那么丁就猜对了，不符合题意；若丙猜对，则乙也猜对了，不符合题意；若丁猜对，则乙也猜对了，不符合题意；所以只有一个人猜对，应该是甲。

2022年广东省汕头市丹阳中学高三数学理期末试题含解析

2022年广东省汕头市丹阳中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 随机变量X的概率分布规律为的值为（）A． B． C． D．参考答案：D，故，即.∴.2. 为了得到函数的图像，只要把上所有的点（）A. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C. 纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变D. 纵坐标缩短为原来的，横坐标不变参考答案：B3. （09年湖北重点中学4月月考理）据科学测算，运载神舟七号的长征系列火箭，在点火一分钟上升的高度为1km，以后每分钟上升的高度增加2km，在达到离地面约340km高度时船箭分离，则从点火到船箭分离大概需要的时间是（）A、20minB、18minC、12min D、10min参考答案：B4. 已知都是实数，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略5. 若函数的图象与轴有公共点,则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A6. 函数（，，为常数，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（）A．B．C．D．参考答案：C7. 已知是实数，则“且”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A8. 复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．参考答案：C9. 已知集合A=，则A. B. C. D.参考答案：C略10. 设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩=( )A． B． C ． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 根据下面一组等式：S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S7=22+23+24+25+26+27+28=175 …可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1=．参考答案：n4【考点】归纳推理．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式，可得S n=（n3+n），再以2n﹣1代替n，得S2n﹣1=4n3﹣6n2+4n﹣1，结合和的特点可以求解．【解答】解：由题中数阵的排列特征，设第i行的第1个数记为a i（i=1，2，3…n）则a2﹣a1=1a3﹣a2=2a4﹣a3=3…a n﹣a n﹣1=n﹣1以上n﹣1个式子相加可得，a n﹣a1=1+2+…+（n﹣1）=×（n﹣1）=∴a n=+1S n共有n连续正整数相加，并且最小加数为+1，最大加数∴S n=n?×+×（﹣1）=（n3+n）∴S2n﹣1= [（2n﹣1）3+（2n﹣1）]=4n3﹣6n2+4n﹣1∴S1=1S1+S3=16=24S1+S3+S5=81=34∴S1+S3+…+S2n﹣1=1+15+65+…+4n3﹣6n2+4n﹣1=n4．故答案：n412. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，直观图是两个三棱柱的组合体，底面分别是边长为2，1的等边三角形，高分别为2，1，利用棱柱的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，直观图是两个三棱柱的组合体，底面分别是边长为2，1的等边三角形，高分别为2，1， ∴几何体的体积为=，故答案为．13. 已知函数f （x ）=log a （x 2﹣ax+2）在（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为．参考答案：1＜a≤3【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先讨论外层函数的单调性，发现外层函数只能为增函数，即a ＞1，再将问题转化为内层函数为增函数且内层函数大于零恒成立问题，列不等式组即可得a 的取值范围【解答】解：若0＜a ＜1，y=log a t 在（0，+∞）上为减函数，则函数t=x 2﹣ax+2在（2，+∞）上为减函数，这是不可能的，故a ＞1a ＞1时，y=log a t 在（0，+∞）上为增函数，则函数t=x 2﹣ax+2在（2，+∞）上为增函数，且t ＞0在（2，+∞）上恒成立只需，解得a≤3∴1＜a≤3 故答案为1＜a≤3【点评】本题主要考查了复合函数单调性的判断方法和应用，对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，分类讨论的思想方法14.若判断框内填入，则下面的程序框图输出的结果为_______参考答案：答案：13215. 已知函数f （x ）=ax 3+bx+1，若f （a ）=8，则f （﹣a ）= ．参考答案：﹣6【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f （﹣x ）与f （x ）的关系，从面通过f （﹣a ）的值求出f （a ）的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f （x ）=ax 3+bx+1，∴f （﹣x ）=a （﹣x ）3+b （﹣x ）+1=﹣ax 3﹣bx+1， ∴f （﹣x ）+f （x ）=2， ∴f （﹣a ）+f （a ）=2． ∵f （a ）=8， ∴f （a ）=﹣6．故答案为﹣6．16. 若复数z满足（i为虚数单位），则|z|=．参考答案：【考点】复数求模．【专题】方程思想；数系的扩充和复数．【分析】利用行列式的性质可得z ﹣i （1﹣2i）=0，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z 满足（i 为虚数单位），∴z﹣i （1﹣2i ）=0，化为z=i+2．则|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是．参考答案：6考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=+．由ME⊥MF，可得=0，从而=．求得=6cos＜，＞，从而求得的最大值．解答：解：由题意可得=，∴==+．∵ME⊥MF，∴=0，∴=．由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，再由OM=3，可得=?3?cos＜，＞=6cos＜，＞，即=6cos＜，＞，故的最大值是大为6，故答案为 6．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省汕头市潮阳区实验中学高三数学理下学期期末试题含解析

广东省汕头市潮阳区实验中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点A（﹣3，0），B（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将点的坐标代入椭圆方程可得，解得m2、n2值，将其值代入椭圆方程即可得答案．【解答】解：根据题意，点A（﹣3，0），B（0，2）在椭圆上，则有，解得m2=9，n2=4，即椭圆的标准方程为+=1；故选：B．2. 已知集合，则有A. B. C. D.参考答案：A 3. 已知四棱锥的三视图如图所示，则围成四棱锥的五个面中，最大的面积是A.3B.6C.8D.10参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2C 解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2,4，底面面积为8，可以求得四个侧面的面积分别为，于是最大面积为8. 故选C.【思路点拨】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出棱锥的高及侧面SBC的斜高，代入面积公式计算，比较可得答案．4. 已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）参考答案：C5. （5分）已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】：正弦函数的对称性．【专题】：计算题．【分析】：点在线上，点的坐标适合方程，求出φ，然后确定函数取得最大值的x值就是对称轴方程，找出选项即可．解：把（0，1）代入函数表达式，知sinφ=因为|φ|＜所以φ=当2x+=+2kπ（k∈Z）时函数取得最大值，解得对称轴方程x=+kπ（k∈Z）令k=0得故选C【点评】：本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，是基础题．取得最值的x值都是正弦函数的对称轴．6. 在△ABC中，若B、C的对边边长分别为，，则等于A．B．C．D．或参考答案：D略7. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A．－2 B．2 C．－4 D．4参考答案：D略8. 如果以原点为圆心的圆必经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2:1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为A． B． C． D．参考答案：C9.已知非空集合、、都是全集的子集,且,则( ).A. B. C. D.参考答案：答案：D10. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.给出下列命题：①若集合，，则是的一个二元基底；②若集合，，则是的一个二元基底；③若集合是集合的一个元基底，则；④若集合为集合的一个元基底，则的最小可能值为．其中是真命题的为( )A. ①③B. ②④C. ①③④D. ②③④参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 同时满足条件：①②若，这样的集合M 有个。

汕头市2023-2024学年上学期期末调研测试高三数学试题与答案

A.8B.8汕头市2023-2024学年上学期期末调研测试高三数学试题与答案一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知2i 是关于x的方程2x 2+q =0的一个根，则实数q 的值为（）- C.4D.4-【答案】A【分析】利用复数的四则运算即可得解.【详解】因为2i 是关于x 的方程220xq +=的一个根，所以()222i 0q ⨯+=，则()222224i i 8q =-⨯=-⨯=.故选：A.2.设a 表示“向东走10km”，b 表示“向南走5km”，则b a b ++ 所表示的意义为（）A.向东南走 B.向西南走C.向东南走 D.向西南走【答案】A【分析】利用向量加法的可交换性与意义即可得解.【详解】因为a 表示“向东走10km”，b表示“向南走5km”，所以2b a b a b ++=+所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”，等价于向东南走.故选：A.3.已知全集{}08U A B x x =⋃=∈≤≤N ，(){}1,3,5UA B ⋂=ð，则集合B为（）A.{}2,4,6,7 B.{}0,2,4,6,8 C.{}0,2,4,6,7,8 D.{}0,1,2,3,4,5,6,7,8【答案】C【分析】利用韦恩图即可得解.【详解】因为{}08U A B x x =⋃=∈≤≤=N {}0,1,2,3,4,5,6,7,8，又(){}1,3,5UA B ⋂=ð，所以B ={}0,2,4,6,7,8.故选：C.4.已知直线1l ：210x ay -+=和2l ：()10a x y a --+=平行，则实数=a （）A.2或1- B.1C.1- D.2【答案】D【分析】由两直线的不相交可得a 的值，进而分类讨论平行和重合的情形即可..【详解】当1l ：210x ay -+=，2l ：(1)0a x y a --+=平行得()()()211a a ⨯-=-⋅-，解得1a =-或2a =，当1a =-时，1l ：210x y ++=，2l ：210x y ---=，即210x y ++=，此时直线1l 和直线2l 重合，故不符合题意，当2a =时，1l ：2210x y -+=，2l ：20x y -+=，此时直线1l 和直线2l 平行，符合题意；故选：D 5.已知πππ10,,sin cos 2446θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则tan θ=（）A.2B.3C.D.【答案】C【分析】利用正弦倍角公式和诱导公式化解原式，再用降幂公式即可求出答案.【详解】由1ππ1π112sin cos sin 2cos22442226θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅++=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1cos 23θ=-，又由21cos 22cos 13θθ=-=-，解得21cos 3θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3θ=，又因为222sin 1cos 3θθ=-=，得sin 3θ=，所以sin tan cos θθθ==．故选：C．6.关于椭圆221259x y k k +=--与双曲线22197y x -=的关系，下列结论正确的是（）A.焦点相同B.顶点相同C.焦距相等D.离心率相等【答案】C【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程分别考虑其性质即可得解.【详解】对于椭圆221259x y k k+=--，显然259k k ->-恒成立，设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，所以2225,9ak b k =-=-，则()22225916c a b k k =-=---=，则4c =，所以椭圆的焦点为()4,0±，焦距为28c =，顶点和离心率是变化的；对于双曲线22197y x -=，显然其焦点在y 轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为22c ，则229716c =+=，故24c =，所以双曲线的焦距为228c =；所以椭圆与双曲线的焦距相等，故C 正确，其余选项都不正确.故选：C.7.已知函数e(2)()ln x f x x-=，下列函数是奇函数的是（）A.()11f x ++ B.()11f x -+ C.()11f x -- D.()11f x +-【答案】D【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案.【详解】由于e(2)2()ln 1ln x x f x x x--==+，定义域为(,0)(2,)-∞+∞ 故()111ln21x f x x -++=++，定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，()11111ln 2ln 2ln 2(1)1111x x x f x f x x x x --+--++=+=+=-+≠-+--+-+，即()11f x ++不是奇函数，A 错误；()311ln21x f x x --+=+-，定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ，不关于原点对称，即()11f x -+不是奇函数，B 错误；()311ln1x f x x ---=-，定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ，不关于原点对称，即()11f x --不是奇函数，C 错误；()111ln1x f x x -+-=+，定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，()11111ln ln ln [(1)1]111x x x f x f x x x x --+--+===-=-+----++，即()111ln 1x f x x -+-=+为奇函数，D 正确，故选：D 8.已知数列{}n a 的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为P 、Q 、R ，则“{}n a 为等比数列”的一个必要条件为（）A.()2P Q R Q +-= B.()22P Q P Q R +=+C.P Q R += D.2Q PR=【答案】B【分析】先分析得所选条件由“{}n a 为等比数列”推得成立，再举反例排除ACD，利用等比数列的通项公式推得B 选项的条件成立，从而得解.【详解】依题意，要成为“{}n a 为等比数列”的必要条件，则“{}n a 为等比数列”推出该条件成立，对于ACD，当{}n a 为等比数列时，不妨取数列1,2,4，1n =，则1,3,7P Q R ===，此时()()213739P Q R Q +-=+-=-≠=，故A 错误；此时47P Q R +=≠=，故C 错误；此时297QP R ==≠，故D 错误；对于B，当{}n a 为等比数列时，设等比数列{}n a 的公比为q ，则12n P a a a =+++ ，()12212n n n n n n Q P a a a q a a a q P ++-=+++=+++= ，()222122312n n n n n n R Q a a a q a a a q P ++-=+++=+++= ，所以()()2Q P P R Q -=-，即222P PQ Q PR PQ -+=-，所以()222PQ PR PQ PQ P Q R +=-+=+，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析出“{}n a 为等比数列”的必要条件是由其推出，再举反例轻松排除错误选项，从而得解.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（）年龄454036322928人数121321A.中位数是34B.众数是32C.第25百分位数是29D.平均数为34.3【答案】BCD【分析】根据给定数据，利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.【详解】把10个人的年龄由小到大排列为28,29,29,32,32,32,36,40,40,45，这组数据的中位数为32，众数为32，A 错误，B 正确；由25%10 2.5⨯=，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，C 正确；这组数据的平均数28229332362404534.310x +⨯+⨯++⨯+==，D 正确.故选：BCD 10.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：(),0,x y ∀∈+∞，()()()f x f y f xy +=，且当01x <<时，()0f x <，若()21f =，则（）A.()10f = B.()f x 在()0,∞+上单调递减C.()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()()()22022255f f f +++= 【答案】AC【分析】利用赋值法可判断AC；利用函数单调性的定义，结合题设条件可判断B ，利用条件推得()()()1n n f f x x f x -=+，从而利用累加法与等差数列的求和公式可判断D.【详解】对于A，因为(),0,x y ∀∈+∞，()()()f x f y f xy +=，令1x y ==，得()()()111+=f f f ，则()10f =，故A 正确；对于C，令1y x =，得()()110f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，则()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，故C 正确；对于B，设()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则1201xx <<，则()()()112222x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭()()112222x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为当01x <<时，()0f x <，所以120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对于D，令1n y x -=，得()()()1n n f f x x f x -=+，则()()()2x f f xf x =+，()()()32f x f x x f =+，L，()()()1nn f f x xf x -=+，上述各式相加，得()()()()()1nx x x f n f f x nf =-+=，又()21f =，所以()()()()()()22020120222122022102f f f f ⨯++++=++== ，故D 错误；故选：AC.11.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系ekx by +=（e 2.71828=⋅⋅⋅，k ，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A.0k <且0b >B.在10℃的保鲜时间是60小时C.要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D.在零下2℃的保鲜时间将超过150小时【答案】AB【分析】本题首先可根据题意得出ekx by +=是减函数，且120e 1b =>，可判断出A 正确；根据120e 1b =>及2030e k b +=，可得101e2k=，则可求得10e k b +的值，判断出B 正确；解不等式e 15kx b +≥得30x ≤，则C 错误；当2x =-时，可求得2e 150k b -+<，则D 错误.【详解】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，易得ekx by +=是减函数，结合复合函数的单调性可知0k <，又120e 1b =>，可知0b >，所以A 正确；又2030e k b +=，即2030e e k b =⋅，故201e 4k=，101e2k=，则10101ee e 120602k bk b +=⋅=⨯=，故B 正确；若e 15kx b+≥，则1e 8kx ≥，结合101e2k=，不等式化为30e e kx k ≥，即30kx k ≥，又0k <，所以30x ≤，故C 错误；当2x =-时，11221055e (e )e (e )120(2)120150k b k bk--+-=⋅=⋅=⋅<，故D 错误；故选：AB.12.在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，22PA AB BC AC ====，E 是底面ABC 上（含边界）的一个动点，F 是三棱锥-P ABC 的外接球O 表面上的一个动点，则（）A.当E 在线段AB 上时，PE BC ⊥B.EF 的最大值为4C.当//FA 平面PBC 时，点F 的轨迹长度为2πD.存在点F ，使得平面PAC 与平面PFB 夹角的余弦值为3【答案】ACD【分析】对于A：通过证明BC ⊥面PAB 来判断；对于B：三棱锥-P ABC 补成正方体，求其外接圆半径，进而可得EF 的最大值；对于C：点F 的轨迹为过点A 且与面PBC 平行的平面与外接球的交线，产生的轨迹是一个圆，求该圆的半径，进而可得轨迹长度；对于D：设平面PAC 与平面PFB 的交线为l ，作出两个平面的夹角，求出其夹角的三角函数值的范围，从而可以判断.【详解】对于A：由已知222AB BC AC +=，即AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，且BC⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又,PA AB ⊂面PAB ，PA AB A = ，所以BC ⊥面PAB ，又PE ⊂面PAB ，所以PE BC ⊥，A 正确；对于B：设三棱锥-P ABC 的外接球O 半径为R ，将三棱锥-P ABC 补成正方体ABCD PGHI -，如图：三棱锥-P ABC 的外接球O 即为正方体ABCD PGHI -的外接球，则222444322PA BA BC R ++++===则EF 的最大值为外接球的直径，即223R =，B 错误；对于C：当//FA 平面PBC 时，点F 的轨迹为过点A 且与面PBC 平行的平面与外接球的交线，产生的轨迹是一个圆，设其半径为r 设点A 到面PBC 的距离为h ，因为P ABC A PBC V V --=，所以11112222223232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯2h =所以221r R h =-=，所以点F 的轨迹长度为2π2πr =，C 正确；对于D：取线段AC 的中点M ，连接BM ，在正方体ABCD PGHI -中，明显有BM⊥面PAC ，即点B 到面PAC 距离为线段BM 的长，且2B M =设平面PAC 与平面PFB 的交线为l ，平面PAC 与平面PFB 的夹角为θ，过B 做BN l ⊥交l 与N ，连接MN ，明显有BM l ⊥，BN l ⊥，BM BN B = ，,BM BN ⊂面BMN ，所以l⊥面BMN ，则BNM ∠为平面PAC 与平面PFB 夹角，则BM BNMBN BN∠==BM BN BP =≤≤=，所以21sin ,12BN θ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ62θ≤≤，所以0cos 2θ≤≤，又230,⎡⎢⎣⎦∈，所以存在点F ，使得平面PAC 与平面PFB 夹角的余弦值为3.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：关于面面角的范围问题，关键是要确定哪些量在变，哪些量不变，变的量在哪个范围变化，通过确定角的三角函数值的范围可确定角的范围.三、填空题：本题共4小题.13.二项式()()*1nx n N +∈的展开式中2x的系数为15，则n 等于______．【答案】6【分析】根据题意，()()*1nx n N +∈展开式的通项为1r r r n T C x +=，令2r =即可求解n 可得答案．【详解】根据题意，()()*1nx n N +∈展开式的通项为1r r r n T C x +=，令2r =，则2156n C n =⇒=故答案为6．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，区分某一项的系数与二项式系数．14.若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为__________.【答案】3##【分析】作出正棱台的图象，结合其侧面积求得正四棱台的斜高，再利用棱台体积公式即可得解.【详解】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为2,4，可得上、下底面面积为124,16S S ==，如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为1,O O ，再取,E F 分别为11,BC BC 的中点，分别连接11,,,O O OE OF E F ，过点E 作EM OF ⊥，因为该正四棱台的侧面积为，易得EF 为等腰梯形11BCC B 的高，所以()14242EF ⨯⨯+⨯=E F在Rt EMF △中，可得EM ===，则该正四棱台的高为1OO EM =，所以该棱台的体积为()141633V==.故答案为：3.15.已知函数()()2π2sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有三个零点，则ω的取值范围是__________.【答案】710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由题意求得2ππ3ω+的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于ω的不等式，从而得解.【详解】因为[0,π]x ∈，0ω>，则2π2π2ππ333x ωω≤+≤+，又因为函数()2π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,π]上恰有三个零点，则π23πππ43ω+≤<，解得71033ω≤<，所以ω的取值范围为710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点1F ，2F 的椭圆C 与双曲线S 构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经S 与C 反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经C 两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒．若C 与S 的离心率之比为2:3，则21t t =______．【答案】6【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得1ABF 和1CDF 的周长，再根据光速相同，时间比等于路程比，再结合C 与S 的离心率之比为2:3，即可求解.【详解】在图①中，由椭圆的定义得：1212BF BF a +=，由双曲线的定义得2122AF AF a -=，两式相减得12211222BF BF AF AF a a +-+=-，所以1ABF 的周长为1222a a -，在图②中，1CDF 的周长为14a ，因为光速相同，1221112422422t a a a a a t -==-因为C 与S 的离心率之比为2:3，即11221223c e a a c e a a ===，所以21462223t t ==-⨯.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sin sin 2B Cb a B +=．（1）求角A 的大小；（2）M 为ABC 的重心，A M 的延长线交BC 于点D，且AM =ABC 的面积．【答案】（1）π3（2）【分析】（1）在ABC 中，利用诱导公式，正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果；（2）分别在ABC ，ABD △和ACD 中，利用余弦定理建立等量关系，利用三角形面积公式可得结果.【小问1详解】在ABC 中，因为πsin sin cos sin 2222B C A A b b b a B +⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，由正弦定理可得sin cossin sin 2A B A B =,0πB << ，0sinB ∴≠，即cos sin 2AA =，所以cos 2sin cos 222A A A =，π0π,022A A <<∴<< ，cos 02A∴>，故1sin 22A =，即π3A =.【小问2详解】因为M 为ABC 的重心，A M 的延长线交BC 于点D，且AM =所以点D 为BC 中点，且A D =，在ABC 中，6a =，22261cos 22b c A bc +-==，即2236bc b c =+-，在ABD △和ACD 中，222222cos cos 22AD BD c AD CD b ADB ADC AD BD AD CD+-+-∠==-∠=-⋅⋅,化简得2272b c +=，所以2236723636bc b c =+-=-=，故11πsin 36sin 223ABC S bc A ==⨯⨯= ，所以ABC的面积为18.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a，已知424S S =，且221n n a a =+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列(){}1nna -⋅的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-（2）()1nn T n=-⋅【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于1a ，d 的方程组，解之即可得解；（2）利用错位相减法即可得解.【小问1详解】依题意，设等差数列{}n a 的公差为d，因为424S S =，221n n a a =+，所以()1111143442(21)22(1)1d a a a d a n d a n d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+-=+-+⎩，即1121d a a d =⎧⎨=-⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-.【小问2详解】由（1）得()()()1121nnn a n -⋅=-⋅-，设数列(){}1nna -⋅的前n 项和为n T ，则()()()()()123111315121nn T n -⨯-⨯-⨯-+++⋅=+- ，则()()()()()2341111315121n n n T +-=++++-⨯-⨯-⨯-⋅- ②，两式相减，得()()()()()()23411212121212121n n n T n +-⨯-⨯-⨯-⨯=-++++-⋅+-- ()()()()()()21111121111221n n n n n -⎡⎤-⎣⎦=-+-+⨯=-⨯--⋅-⋅--，故()1nn T n =-⋅.19.如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，将AEF △沿EF 翻折至1AEF ，得四棱锥1A EFCB -，设P 为1AC的中点.（1）证明：//FP 平面1ABE ；（2）若平面1AEF ⊥平面EFCB ，求平面BPF 与平面BCF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）7【分析】（1）取1AB 的中点Q ，可得四边形EFPQ 为平行四边形，则//FP EQ ，再由直线与平面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面垂直的性质定理可得1AO ⊥平面EFCB ，从而建立空间直角坐标系，求出面BPF 与平面BCF 的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】取1AB 的中点Q ，连接,PQ EQ ,则有//PQ BC ，且12PQ BC =，又E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，则//EF BC ，且12EF BC =，故//PQ EF ，且PQ EF =，则四边形EFPQ 为平行四边形，则//FP EQ ，又FP ⊄平面1ABE ，EQ ⊂平面1ABE ，故//FP 平面1ABE ．.【小问2详解】取EF 中点O ，BC 中点G ，连接1,AO OG ，在ABC 中，易得AE AF =，所以,OG EF AO EF ⊥⊥，则1AO E F ⊥，又平面1AEF ⊥平面EFCB ，且交线为EF ，1AO ⊂平面1AEF ，所以1AO ⊥平面EFCB ，则1,,O A OE O G 两两垂直，故以O 为原点，1,,OE OG OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得13AO OG ==，则(10,3A ，()1,0,0F -，()3,0B ，()2,3,0C -，由P 为1AC 中点，故331,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则330,22FP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3,0)FB =，设平面BPF 的一个法向量(),,n x y z = ，则00n FP n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33022330y z x +=⎪⎨⎪=⎩，取3y =-，则1,3x z ==，故(1,3,3n =，易得平面BCF 的一个法向量()0,0,1m =，设平面BPF 与平面BCF 的夹角为θ，π02θ<<，则3||21cos cos ,7||||71n m n m m n θ⋅====⨯ ，所以直线1AF 与平面BFP 所成的角的正弦值为217．20.《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：①男生所占比例为60%；②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.（1）完成22⨯列联表，依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？性别体育锻炼合计喜欢不喜欢男女合计（2）（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A =“至少有2名男生”、B =“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、C =“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算()P B A 和()P ABC 的值.（ⅱ）对于随机事件,,A B C ，()0P A >，()0P AB >，试分析()P ABC 与()()()P A P B A P CAB ⋅⋅的大小关系，并给予证明参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.100.050.0100.001αχ 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析；有关联（2）（ⅰ）()98187P B A =，()98285P ABC =；（ii）()()()()P ABC P A P B A P C AB =⋅⋅，证明见解析【分析】（1）依题意完善22⨯列联表，求得2χ，从而利用独立性检验即可得解；（2）（i）分析分层抽样所得的样本情况，再分析事件B A 与ABC 的意义，利用组合数结合古典概型的概率公式即可得解；；（ii）利用条件概率公式即可得证明.【小问1详解】因为男生所占比例为60%，所以男生有20060%120⨯=人，因为不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%，所以不喜欢体育锻炼的学生有20045%90⨯=人，则喜欢体育锻炼的学生有20090110-=人，又喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人，所以喜欢体育锻炼的男生有80人，喜欢体育锻炼的女生有30人，所以22⨯列联表如下：性别体育锻炼合计喜欢不喜欢男8040120女305080合计11090200假设0H ：是否喜欢体育锻炼与性别无关联.根据表中数据，计算得到()222008050403016.49810.8281208011090χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，我们推断0H 不成立.即认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联.【小问2详解】（ⅰ）依题意，随机抽取的20名学生中，喜欢体育锻炼的男生有8人，不喜欢体育锻炼的男生有4人，喜欢体育锻炼的女生有3人，不喜欢体育锻炼的女生有5人，事件BA 表示：“在至少有2名男生的条件下，至少有2名男生喜欢体育锻炼”，事件ABC 表示：“2男生1女生都喜欢体育锻炼”和“3男生中至少两人喜欢体育锻炼”，所以()()211138435821312812C C C C C 98C C C 187PB A +++==+，()()211213835848320C C C C C C 98C 285P ABC +++==；（ⅰⅰ）对于随机事件,,A B C ，()0PA >，()0P AB >，有()()()()P ABC P A P B A P C AB =⋅⋅，证明如下：()()()()()()()()()P AB P ABC P A P B A P C AB P A P ABC P A P AB ⋅⋅=⋅⋅=.21.已知圆心在y 轴上移动的圆经过点()0,4A -，且与x 轴、y 轴分别交于(),0B x 、()0,C y 两个动点，过点B 垂直于x 轴的直线与过点C 垂直于y 轴的直线交于点M .（1）求点M 的轨迹T 的方程；（2）点P 、Q 在曲线T 上，以P Q 为直径的圆经过原点O ，作OH PQ ⊥，垂足为H .试探究是否存在定点R ，使得RH 为定值，若存在，求出该定点R 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）24x y=（2）存在，(0,2)R 【分析】（1）根据题意得知AC 为动圆的直径，从而利用平面向量垂直的坐标表示即可得解；（2）根据题意假设直线P Q 的方程，联立直线P Q 与曲线T 的方程，结合韦达定理求得1212,x x y y ，再利用平面向量垂直的坐标表示求得m ，从而推得直线P Q 经过定点(0,4)N ，进而推得点H 在以ON 为直径的圆上，由此得解.【小问1详解】因为圆心在y 轴上移动的圆经过点()0,4A-与()0,C y ，所以AC 为动圆的直径，又动圆经过点(),0Bx ，故AB CB ⊥，于是(,4)(,)0AB CB x x y ⋅=⋅-= ，即24x y =，而过点B 垂直于x 轴的直线与过点C 垂直于y 轴的直线交于点M ，则(),M x y ，故点M 的轨迹T 的方程为24x y =.【小问2详解】依题意，直线P Q 的斜率存在且截距大于0，故设其方程为()()1122(0),,,,y kx m m Px y Q x y =+>，联立24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，消去y 得，2440x kx m --=，故()2Δ160k m =+>，则124x x m =-，故222121216x x y y m ==，因为以P Q 为直径的圆经过原点O ，所以OP OQ ⊥，则12120OP OQ x x y y +=⋅=，则240m m -+=，解得4m =或0m =(舍去)，故直线P Q 为4y kx =+，显然经过定点(0,4)N ，又因为OH PQ ⊥，则点H 在以ON 为直径的圆上，取ON 中点(0,2)R ，则122RH ON ==，因此，存在定点(0,2)R 使得RH 为定值2.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数()()ln 1f x x x a x =--，R a ∈.（1）若()0f x ≥，求实数a 的值；（2）当*N n ∈时，证明：1111sin sin sin sin ln 21232n n n n++++<+++ .【分析】（1）根据题意推到()10f '=，从而求得1a =，再检验当1a =时，()0f x ≥成立，从而得解；（2）利用小问（1）得不等式1ln 1x x≥-，再构造函数()sin g x x x =-证得sin x x <，从而证得()()1sinln ln 1n k n k n k<+-+-+，再利用累加法即可得解.【小问1详解】因为()()()ln 10f x x x a x x =-->，注意到()10f =，所以当()0f x ≥恒成立时，1x =是()f x 的最小值点，也是极小值点，则()10f '=，而()1ln f x x a '=+-，所以1ln10a +-=，解得1a =，当1a =时，()ln 1f x x x x =-+，()ln f x x '=，令()0f x '<，得01x <<，则()f x 在区间()0,1上单调递减，令()0f x ¢>，得1x >，则()f x 在区间()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=，所以1a =．【小问2详解】由（1）得，ln 10x x x -+≥，即1ln 1x x≥-，当且仅当1x =时等号成立，令1n k x n k +=+-，则1ln 1n k n k n k +>+-+，{}1,2,,k n ∈ ，*N n ∈，所以()()1ln ln ln 11n kn k n k n k n k +<=+-+-++-，{}1,2,,k n ∈ ，*N n ∈，令()()sin 0gx x x x =-≥，则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以函数()gx 在[)0,∞+上单调递增，故当0x >时，()()00g x g >=，即sin x x <．所以()()11sinln ln 1n k n k n k n k <<+-+-++，{}1,2,,k n ∈ ，*N n ∈，所以111sinsin sin 122n n n+++++ ()()()()()ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21n n n n n n <+-++-+++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ln 2ln lnln 2nn n n=-==.【点睛】关键点睛：本题求解的关键是借助1ln 1x x ≥-得出()()1sinln ln 1n k n k n k<+-+-+，结合累加求和可证结论.。