欧拉的一笔画原理电子教案

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一笔画问题是图论中一个著名的问题

一笔画问题是图论中一个著名的问题。

一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。

数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题[1]。

一般认为，欧拉的研究是图论的开端。

与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。

目录[隐藏]1 问题的提出2 一笔画定理2.1 定理一2.2 定理二3 例子3.1 七桥问题3.2 一个可以一笔画的例子4 一笔画问题与哈密顿问题5 参见6 参考来源[编辑] 问题的提出一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广，是图遍历问题的一种。

在柯尼斯堡问题中，如果将桥所连接的地区视为点，将每座桥视为一条边，那么问题将变成：对于一个有着四个顶点和七条边的连通图G(S,E)，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。

欧拉将这个问题推广为：对于一个给定的连通图，怎样判断是否存在着一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径？这就是一笔画问题。

用图论的术语来说，就是判断这个图是否是一个能够遍历完所有的边而没有重复。

这样的图现称为欧拉图。

这时遍历的路径称作欧拉路径（一个圈或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路[1]。

一笔画问题的推广是多笔画问题，即对于不能一笔画的图，探讨最少能用多少笔来画成。

[编辑] 一笔画定理对于一笔画问题，有两个判断的准则，它们都由欧拉提出并证明[1]。

[编辑] 定理一有限图G 是链或圈的充要条件是：G为连通图，且其中奇顶点的数目等于0或者2。

有限连通图G 是圈当且仅当它没有奇顶点[2]。

证明[2][3]：必要性：如果一个图能一笔画成，那么对每一个顶点，要么路径中“进入”这个点的边数等于“离开”这个点的边数：这时点的度为偶数。

要么两者相差一：这时这个点必然是起点或终点之一。

注意到有起点就必然有终点，因此奇顶点的数目要么是0，要么是2。

充分性：如果图中没有奇顶点，那么随便选一个点出发，连一个圈C1。

一笔画问题(思维拓展方法)

思维拓展
一笔画问题
• 大数学家欧拉根据著名的“七桥问题”开创了数学新分支----------图论。也就是“一笔画”
七桥问题的分析
• 1、观察上图的七桥图片以及其简化图 • 2、简化图上各线段之间有A、B、C、D四个交点 • 3、一笔画问题就是研究这些交点的
一笔画的问题的第一步
————
通过观察，我们发现 1、A点有三根线相交 2、B点有五根线相交 3、C点有三根线相交 4、D点有三根线相交
有奇数根线相交的点称为奇点有偶数根线相交的点称为偶点
奇点和偶点的概念是重点，后面要用

一笔画的问题的第二步
————
1、回到一笔画问题的起源，一笔画问题实际上就是一个人在走路 2、一个点就是一个地方，一条线就是一条路 3、走路不是随便走，有限制条件：不能重复走同一条路，而且每条路都要走过 4、分析具体的一个地方，要么只有来路；要么只有去路；要么又有来路、又有去路。 5、走路有一个特点：有起点，有中间点，有终点。 6、起点的特点：去，一条线。 7、终点的特点：来，一条线。 8、中间点的特点：来，一条线。去，另一条线。
一笔画的问题的第三步
————
1、奇点要么是起点，要么是终点 2、偶点可以是起点，可以是终点，也可以是中间点
来线和去线是一组，一组是两根线，必然是偶数
3、如果一个图上没有奇点，都是偶点，那每个点都可以来去n次，没有问题
4、如果一个图上只有一个奇点，那么作为起点，就没有终点
5、如果一个图上有两个奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，没有问题 6、如果一个图上有三个以上的奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，其他奇点就必然有缺失来路或者去路
一笔画的问题的第四步
————
1、0个或者两个奇点时，图形是可以一笔画画出来的。 0个奇点时，也就是全是偶点，可以从任意点出发，然后在出发点结束两个奇点时，从一个奇点出发，另一个奇点结束

一笔画的数学游戏

分析法：运用数学知识，进行逻辑推理
运用数学知识
一笔画问题涉及到许多数学知识，如图论、组合数学等。可以运用这些知识来分析问题的本质和规律，从而找到解题的关键。
逻辑推理
在运用数学知识的基础上，通过逻辑推理来分析问题的内在联系和规律。可以尝试使用归纳法、演绎法等方法来进行推理，以便更准确地找到解题方向。
解题技巧分享
挑战成功的观众可以分享自己在一笔画游戏中的解题技巧和心得体会。
互动交流
观众之间可以互相交流讨论，分享各自在游戏中的体验和收获。
答疑解惑
针对观众在游戏中遇到的问题和困惑，主持人或专业人士可以进行解答和指导。
总结回顾：对本次活动的总结和展望
活动成果展示
展示本次一笔画数学游戏活动的成果，包括观众参与情况、挑战成绩等。
01
一笔画游戏需要学生在脑海中构建图形的空间结构，有助于培
养学生的空间思维能力。
提高学生解决问题的能力
02
一笔画游戏需要学生不断尝试、调整策略，有助于提高学生解
决问题的能力。
增强学生对数学的兴趣
03
一笔画游戏具有趣味性，可以让学生在游戏中感受到数学的魅
力，从而增强对数学的兴趣。
一笔画在其他领域的应用
解题技巧
总结入门级一笔画问题的解题方法和技巧，如观察节点度数、判断连通性等。
复杂实例：高级一笔画问题挑战
实例3
解析复杂网络中的一笔画问题，探讨如何运用图论知识解决实际
问题。
实例4
挑战高难度一笔画谜题，展示高级一笔画问题的复杂性和挑战性。
解题策略
分享解决高级一笔画问题的有效策略和思路，如逐步推理、尝试不同路径等。
难易程度分级

第九讲一笔画问题 PPT

• 解答：图（1）中无奇点，能一笔画出，从任意点开始再回到这一点，仅举一例：A→B→C→N→F→G→H→M→D→N→E→M→H；
• 图（2）有两个奇点，可以从B开始到E结束，也可以从E开始到B结束，如：B→C→D→E→A→B→E；
• 图（3）不能一笔画出有4个奇点，要想一笔画出至少应该添一笔，可以连接A、B，如图1，其它的任何两个奇点都可以。共有多少连法呢，你能列举出来吗？共有6种分别为AB、AC、AD、BC、BD、CD；
重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连
通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我
们就来探求解决这个问题的方法。
•
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做
奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的
八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
•
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，
得出了一个非常重要的结论，你想知道吗？其实
这就是“一笔画”问题，也是一种数学游戏，学
完了下面的内容，也许你就能像欧拉那样解决
“七桥问题”了。
• 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形能否一笔画出的问题了.
都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或 A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M 与N），像这样的图就不是连通图。
•
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不

3.欧拉图与一笔画-湘教版选修4-8统筹法与图论初步教案

湘教版选修4-8统筹法与图论初步教案3.欧拉图与一笔画一、欧拉图的概念欧拉图是一种无向图，它包含每个节点都恰好出现两次的一条欧拉路径。

如果欧拉路径的起点和终点是同一个节点，则成为欧拉回路。

对于一个图 G，若它是连通的且存在欧拉回路，那么 G 就是欧拉图；若它是连通的且存在欧拉路径但不存在欧拉回路，那么 G 就是半欧拉图；如果G不连通，那么欧拉图就成为各个连通分量均是欧拉图的图的并集。

二、欧拉定理在无向图中，欧拉图存在的充分必要条件是图中每个点的度数都是偶数。

证明：设存在一个欧拉回路 C，从任一点 x 出发，每次走一条没有走过的边可以回到 x。

假设 C 通过一条边 e 两次进入一个点 v。

因为 C 通过其它边并不和 v 相连，此时一定存在一个边 f 相连，f 在 v 的除去 e 的另一个邻居节点上。

将 C 分为两条路径 C1 和 C2，C1 包含 e，而 C2 包含 f。

从 C1 中去掉这条边 e，再将 C2 插入 C1 中。

得到的新回路C1’=C1-e+f 也恰好覆盖了所有边，但是进入和离开 v 的路径已经不再是 C 中的无向边了，而是通过了 e、f 这条双向边。

如果图中每个点的度数都是偶数，那么对于任何一个无向图，都可以找到一个欧拉回路。

我们以任意一个点为起点，将与它相连的一条边不断标记为已经访问过，当找到一个局部环时，就将它转化为一个欧拉回路。

同时，从这个局部环中剪去一条边，使得这条边成为一条伪边，我们就找到了新的起点。

当所有边均成为伪边时，我们得到了一条覆盖所有边的欧拉回路。

注意的是，在有向图中，引理的结论不成立，但是存在一个类似欧拉定理的结论：有些有向图拥有欧拉回路，如果且仅如果图中每个点的入度和出度相等。

三、一笔画一笔画问题源于著名的七桥问题。

七桥问题是指有一座城市连续着两岸，城市内有七座桥，如何能够从每个桥头恰好通行一次过所有桥？这个问题可以转化为一笔画问题：寻找一条路径，从某个点出发，穿越所有边恰好一次，然后回到起点。

一笔画教案

一笔画教案一笔画课时1课时备课时间10．26 所需教具多媒体投影仪、学生一笔画作品教学目标：1.知识与技能目标：让学生体会用数学知识解决问题的方法；通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。

2.过程与方法目标：生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型；通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。

3.情感态度与价值观目标：通过探究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯；通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。

课程内容：一笔画教学重点难点：重点：探究“一笔画”的规律,并运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。

难点：探究“一笔画”的规律。

教学过程：上课之前投影仪轮回播放一笔画线条链接的动画1.引课师：故事18世纪欧洲有个小城叫哥尼斯堡，流经那里有条河流，河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸相连结。

那里风景优美，吸引了众多游客。

在这美丽的地方，当地居民议论着一个问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍这七座桥？这就是我们数学史上著名的七桥问题。

“一个游人怎样才能不重复地一次走遍这七座桥”，在这里人们关心的只是不重复地一次走遍这七座桥，而关心不关心桥的长短和岛的大小呢？（不关心）不关心的话，我们就可把岛和河岸都看作是点。

大家能理解吗？好比说，你家离学校有多远？这和你家和学校的大小有关系吗？同学：没有师：没有的话，我们就可把你家和学校两个地点看作是两个点，（黑板上比划）你家离学校的路呢，用线来表示。

同样，这里我们把岛和河岸这些地点都看作是点，七座桥看作是七条线。

我们不妨把它画出来，这样的话，七桥问题就转化为一个几何图形能否一笔画出的问题了。

建立模型：老师：那么，什么叫做一笔画？这个图形能一笔画出吗？这节课就共同来探究——一笔画问题。

（板书：一笔画问题）2．进入正题师：今天老师带来了清泉小学五年级学生的一些美术作品，我们来欣赏下（展示图片），师：他们画的好看吗？知道他们是怎么画的吗？其实，他们画时遵守了一个规则：笔不离开纸，每条线只画一次，不重复的画完这个图形，像这样画出的图形就是一笔画。

01一笔画问题讲义

01⼀笔画问题讲义《我们⼀起玩数学》第⼀讲⼀笔画问题【⽬的】1.通过⼀笔画游戏培养⼩朋友数学与图形结合、转化的思维⽅式，拓展⼩朋友形象及抽象思维的综合使⽤能⼒；2.激发⼩朋友认知⽣活中的数学问题，使⼩朋友具有⼀定的图论基础。

【热⾝游戏】1.不⾛回头路，⼤家把这两个字分别⼀笔画完，期间笔不能离开纸也不能离开线。

⼩朋友⾃⼰分析规律。

⽇⽥2.怎么添⼀笔，让“⽥”字可以⼀笔画？讲解奇数点、偶数点。

3.房间可以重复进，怎么可以不重复的⾛过这个房间所有的门？讲解⾯到点的抽象及怎么化为⼀笔画问题。

【知识梳理】1.怎么分清奇数点、偶数点？从⼀个点引出的线段数量来判定点的奇偶性，为让⼩朋友易理解，从单、双数导⼊奇数、偶数的概念。

释疑：“⼗”字的⼀笔画2.什么情况下可以⼀笔画，从哪个点画起？如果⼀个图形的奇数点数量不⼤于2，则该图形可以⼀笔画。

可以⼀笔画的图形，有奇数点应从奇数点开始画起，没有奇数点的则可从任⼀点画起。

【知识应⽤】1.请⼀笔画出五⾓星，如图。

考虑⼀下有⼏种画法。

2.怎么可以不重复的⾛过这个房间所有的门？如果⾛不通的话，请说明原因；那让你再建⼀个门，你可以提出⼏种建法以保证不重复⾛过所有门？3.下图是厦门市中⼭公园的湖⼼岛和岛间的桥。

你能不重复的把所有桥⼀次性⾛完吗？【知识回顾】1.什么是奇数点、偶数点？2.判断能否⼀笔画的条件，⼀笔画的起点判定。

【知识延伸】18世纪，在东普鲁⼠哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结（如下图）。

城中的居民经常沿河过桥散步。

城中有位青年很聪明，爱思考，有⼀天，这位青年给⼤家提出了这样⼀个问题：能否⼀次⾛遍7座桥，⽽每座桥只许通过⼀次，最后仍回到起始地点。

这就是举世闻名的七桥问题，当时的⼈们始终没有能找到答案。

⼤数学家欧拉从朋友那⾥听到这个问题，很快便证明了这样的⾛法不存在，并开创了图论与拓扑学的学科体系。

⼩朋友，你试试⽤有这节课讲的⽅法分析⼀下为什么⾛不通呢？下次课我们再来讲解。

《一笔画问题》教学设计

人民教育出版社六年级数学下册课题：《一笔画问题》教学设计●教学时间：30分钟●执教老师：张春艳一、教学目标1.通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。

2.通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。

3.通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生的知识视野，激发学生学习兴趣。

二、教学重点与难点重点：找出一笔画图形的规律，并能快速准确地判断一个图形是不是一笔画图形。

难点：探究“一笔画”的规律，理解奇点事2时，图形能一笔画成。

三、教学准备多媒体课件四、教学过程（一）导入新课1.介绍概念导语：同学们，今天我们来一起探究“一笔画”问题。

一笔画就是下笔后笔尖不能离开纸，每一条线都只画一次而且不能重复。

我们把这样画成的图形叫一笔画成的图形。

2.教师板书：一笔画问题。

3.学生上台画一笔画图形。

（二）探究规律1.教师由学生画的一个图为例，讲解“奇点”和“偶点”的概念。

2.一起数黑板上“一笔画”图形的奇点个数。

3.教师提问：画图时从哪里开始？哪里结束？4.观察发现：观察这些图，你觉得能够一笔画成的图形有什么样的特点？小组交流后得到答案：当奇点的个数为0时，图形能够一笔画成。

可任选一个点作为起点，起点和终点为同一个点。

5.连通图形（教师出示一个不连通图形）提问：这个图形的奇点个数也为零，它也能一笔画成吗？6.教师小结：一笔画图形有一个前提条件——必须是一个连通图形。

当奇点的个数为0时，能够一笔画成。

7、（教师出示奇点个数是2的连通图）提问：你能一笔画成这个图形吗？8、学生活动：尝试一笔画出上面的图形。

画成的举手9.教师提问：观察图形有几个奇点？起点和终点是怎样的点？10、发现：当奇点个数是2时，图形能一笔画成。

其教师板书：奇点11、（出示奇点个数是4,6的图形）提问：这些图形能一笔画成吗？12、总结规律：规律：①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关.其个数是0或2.②其中若奇点个数为0，可选任一个点做起点，且一笔画后可以回到出发点。

关于一笔画问题的经典探讨PPT培训课件

段。
一笔画定理及其证明
一笔画定理
一个连通图形可以一笔画成当且仅当该图形中奇数个顶点的度数之和为2。
证明过程
首先，根据连通性规则，图形必须是连通的。然后，根据奇偶性规则，如果图形中奇数个顶点的度数之和为2，则该图形可以一笔画成；如果图形中奇数个顶点的度数之和不为2，则该图形不能一笔画成。
一笔画定理的应用实例
应用
一笔画问题在计算机科学、电子工程、运筹学等领域都有广泛的应用。
一笔画问题的重要性和应用领域
理论价值
一笔画问题在数学理论中具有重要的价值，是图论、组合数学等领域的重要研究课题之一。
应用价值
一笔画问题在计算机图形学、电路设计、物流规划等领域都有广泛的应用，可以帮助人们解决一系列实际问题。
06
一笔画问题的实际应用案例
地图着色问题
算法设计
解决地图着色问题需要设计一种有效的算法，能够判断给定的地图是否可以一笔画成，并找出最少所需的颜色数量。常用的算法包括贪心算法、回溯算法等。
实例分析
地图着色问题可以通过实例来分析，例如给定一个包含多个国家的地图，如何使用最少的颜色对各个国家进行着色，使得相邻的国家颜色不同。
判断一笔画图形
通过计算图形中奇数个顶点的度数之和，可以判断该图形是否可以一笔画成。
设计一笔画图案
解决实际问题
一笔画定理在计算机科学、电子工程、机械工程等领域都有广泛的应用，例如在电路设计和布线、机器人路径规划等方面。
利用一笔画定理，可以设计出具有特定形状和结构的一笔画图案。
03
一笔画问题的经典问题解析
THANKS
感谢观看
一个顶点的度数为奇数，意味着该顶点是起点或终点。

欧拉图简述---（一笔画问题）

欧拉图简述---（⼀笔画问题）欧拉图欧拉图是在⼤家⼩学时学奥数都学习过的⼀个类型的题，⽆论你学得好不好，你都听过它的另外⼀个名字：⼀笔画问题；⼀，⾸先来定义⼀下：1.欧拉回路：图G的⼀个回路，如果恰通过图G的每⼀条边，则该回路称为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。

欧拉图就是从图上的⼀点出发，经过所有边且只能经过⼀次，最终回到起点的路径。

2.欧拉通路：即可以不回到起点，但是必须经过每⼀条边，且只能⼀次。

也叫"⼀笔画"问题。

3.基图：基图是针对有向图的说法，是忽略有向图的⽅向得到的⽆向图。

4.欧拉图:存在欧拉回路的图。

欧拉回路⼀定要⾸尾相连，，通路不⼀定。

⼆.性质与定理先说说有向图和⽆向图，显⽽易见，有向图就是有向的图，⽽⽆向图反之亦然。

性质与定理定理1⽆向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。

证明：必要性设图G的⼀条欧拉回路为C。

由于C经过图G的每⼀条边，⽽图G没有孤⽴点，所以C也经过图G的每⼀个顶点，G为连通图成⽴。

⽽对于图G 的任意⼀个顶点 v，经过C时都是从⼀条边进⼊，从另⼀条边离开，因此v经过C的关联边的次数为偶数。

⼜由于C不重复地经过了图G的每⼀条边，因此的度为偶数。

充分性假设图G中不存在回路，⽽G是连通图，故⼀定是G树，那么有|E|=|V|−1 |E|=|V|−1|E|=|V|-1由于图G所有顶点的度为偶数⽽且不含孤⽴点，那么图G的每⼀个顶点的度⾄少为2。

推论1⽆向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。

证明：将两个度为奇数的顶点连接，由定理⼀得该图为欧拉图，故去掉环上⼀边为半欧拉图。

定理2有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图连通，且所有顶点的⼊度等于出度。

推论2有向图G为半欧拉图，当且仅当G的基图连通，且存在顶点u的⼊度⽐出度⼤1 、v的⼊度⽐出度⼩ 1，其它所有顶点的⼊度等于出度。

证明同定理1相似。

一笔画教学设计

《一笔画问题》教学设计教学目标：知识技能1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。

2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。

过程与方法：生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型。

通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。

情感态度价值观1、通过探究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。

2、通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。

教学重点：运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。

教学难点：探究“一笔画”的规律。

教学过程：一、展示问题引入新课1、教师作画，生观察特点1、这节课老师要送你一幅画，请看老师画的是什么？怎么画的？生：老师画的是一个小鸭子的图案，老师是一笔就画出来了。

2、揭示课题，出示一笔画概念这节课我们就研究和一笔画有关的问题。

那谁再来说说什么上一笔画？（揭示笔画概念：所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复. ）二、简介欧拉，分析问题1、简介欧拉这个问题与数学家欧拉有着密切的关系，我们先来认识认识他。

（课件出示欧拉的简介）欧拉(Euler，1707～1783)，18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。

他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

欧拉被称为有史以来最伟大的四位数学家之一。

2、介绍一笔画问题的由来一笔画问题是他在1736年访问哥尼斯堡时偶然间发现的。

让我们和他一起回到18世纪那个风景秀丽的哥尼斯堡吧！（课件出示故事）他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

一笔画问题（欧拉定理+图的连通性）

⼀笔画问题（欧拉定理+图的连通性）描述zyc从⼩就⽐较喜欢玩⼀些⼩游戏，其中就包括画⼀笔画，他想请你帮他写⼀个程序，判断⼀个图是否能够⽤⼀笔画下来。

规定，所有的边都只能画⼀次，不能重复画。

输⼊第⼀⾏只有⼀个正整数N(N<=10)表⽰测试数据的组数。

每组测试数据的第⼀⾏有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表⽰这个画中有多少个顶点和多少条连线。

（点的编号从1到P）随后的Q⾏，每⾏有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表⽰编号为A和B的两点之间有连线。

输出如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

样例输⼊24 31 21 31 44 51 22 31 31 43 4样例输出NoYes分析欧拉定理如果⼀个⽹络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以⼀笔画出；否则它不可以⼀笔画出。

判断⼀笔画的⽅法： ①是连通的。

⼀个图，如果图上任意⼆点总有线段连接着，就称为连通的。

不是连通的就不能⼀笔画出。

②奇点个数是0或者是2。

图上线段的端点可以分成⼆类，奇点和偶数。

⼀个点，以它为端点的线段数是奇数就称为奇点，线段数是偶数就称为偶点。

⼀个图是否是⼀笔画就看奇点的个数，奇点个数是 0 或者 2，就是⼀笔画，否则就不是⼀笔画。

所以这个问题完全可以转化策略为：第⼀步：⾸先我们不管它三七⼆⼗⼏，先进⾏连通性的判断。

第⼆步：（1）如果是连通的，我们来判断此图的度的奇点的个数是0或者是2 ，如果是，则说明这个是欧拉图，即可以⼀笔画出，反之则不能⼀笔画出（2）如果是⾮连通的，这说明这个图很定不能⼀笔画出。

#include<bits/stdc++.h>#define maxv 1001using namespace std;int p,q;int vest[maxv];int du[maxv];void init(int n){for(int i=0;i<=n;i++ )vest[i]=i;memset(du,0,sizeof(du));}int findx(int t){if(vest[t]==t)return t;return vest[t]=findx(vest[t]); }void mergex(int a,int b){int x=findx(a);int y=findx(b);if(x!=y)vest[x]=y;}int main(){//freopen("2.txt","r",stdin); int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&p,&q); init(q);for(int i=0; i<q; i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b); du[a]++;du[b]++;mergex(a,b);}int sum1=0;for(int i=1;i<=p;i++){if(vest[i]==i)sum1++;if(sum1>=2)break;}if(sum1>=2){printf("No\n");}else{int sum2=0;for(int i=1;i<=p;i++)if(du[i]%2==1){sum2++;}if(sum2==0||sum2==2) printf("Yes\n");else printf("No\n");}}return 0;}。

数学人教版六年级下册微课教案：《一笔画里的数学秘密》

微课教案：《一笔画里的数学秘密》一、教学内容人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》六年级下册，解决七桥问题中的“一笔画”规律。

二、教学目标1．通过“一笔画”问题及其结论的了解，使学生对点、线有进一步的认识，来解决一些实际问题。

2．通过探究“一笔画”规律的活动，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。

三、教学流程设计及意图1、导语：同学们，今天老师跟你们分享一个画画里的数学秘密，下面请同学们跟老师一起画一画吧！2、讲述“一笔画”的含义a.下笔后笔尖不能离开纸。

b.每条线都只能画一次而不重复、不遗漏。

3、探究“一笔画”的规律a.不连通的图形不可以一笔画b.连通的图形有可能可以一笔画（1）画一画9个连通的图形能否都一笔画成？发现图2、3、7可以一笔画成，图4、5、8不能一笔画成，但是图1、6、9有的同学可以一笔画成，有的同学不能一笔画成。

（2）“一笔画”与奇、偶点的关系通过以图1为例，继续探究能否一笔画成与出发点的位置有关，引出奇、偶点概念。

a.奇点：有奇数条边相连的点b.偶点：有偶数条边相连的点（3）填表格老师让学生自己完成两个表格的奇、偶个数。

同时，让学生观察“一笔画”与奇偶点个数之间的关系。

（4）总结“一笔画”的规律老师引导学生一起总结出“一笔画”的规律。

如下：规律1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图；规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关，其个数是0或2.规律3：如果有0个奇点，那么每个点都能作为起点；如果有2个奇点，那其中一个必为起点，另一个必为终点。

4、“一笔画”的历史和应用介绍数学家欧拉解决“七桥问题”发现的“一笔画”规律。

同时，介绍了现在生活中“一笔画”的影子。

用“一笔画”规律设计出来的唯美图画。

5、结束语世界是美的，只要有一双发现美的眼睛；数学是美的，只要有一颗发现美的心灵。

同学们，这就是老师今天要告诉大家画画里的数学秘密，你学会了吗？谢谢大家观赏！四、教学设计流程图课题：一笔画里的数学秘密1、导语2、讲述“一笔画“的含义连通图3、探究“一笔画”的规律画一画填一填总结“一笔画”的规律4、“一笔画”的历史和应用5、结束语。

二年级《一笔画成》奥数教案

备课教员：第三讲一笔画成一、教学目标： 1.让学生体会用数学知识解决问题的方法。

2.通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。

3.通过探究“一笔画成”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。

4.通过“一笔画成”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。

二、教学重点：运用“一笔画成”的规律，快速正确地解决问题。

三、教学难点：探究“一笔画成”的规律。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（10分钟）师：同学们，喜欢画画吗？生：喜欢。

师：让老师看看你们画画的技术如何，每人画一幅画给老师看下好吗？生：好。

师：但是老师有个小要求哦。

生：什么要求？师：你们要画的这个图形很简单，只要画一个长方形就可以，要求是什么呢？要求就是你们在画这个长方形时笔不能离开纸，也就是要一笔画成这个图形，能做到吗？生：能。

师：那让我们一起来挑战下，最先画完的小朋友将可以有奖励哦。

生：（一笔画长方形）师：同学们都好厉害呢，都能一笔画成这个长方形，想不想挑战更难的？生：想。

师：我们同桌两人为一组，一人戴上眼罩，另一人从老师手中随意抽出一张卡片，指挥蒙眼睛的同学（即笔不能离开纸）一笔画出这个图形，注意指挥者不能直接说这个图形是什么形，只能告诉蒙眼睛的同学画的路线或方向。

3分钟内最先完成的一组将可以获得一次开宝箱的机会哦。

（卡片中一笔画图形）（学生操作，老师巡视）师：哪组小朋友完成了，并且画出来的图形跟卡片中是一样的？生：（有或没有）师：有的同学画出来了，有的同学却没画出来，老师相信这跟指挥官有很大的关系，如果他指挥你画的路线是正确的你肯定能画出这个图形，如果指挥你画的路线是错的，你肯定不能很顺利的一笔画出这个图形，所以今天老师就要教你们怎样一笔去画这样的图形。

(板书课题：一笔画成)二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）下面的图形能不能一笔画成？如果能，应怎样画？师：同学们，你们知道什么是一笔画成吗？生：就是一笔画完这个图形。

高二数学最新教案-“一笔画”的规律精品

“一笔画”的规律
2 ．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。例如，图 1 图的线路是：①→② →③→①→④
3．其他情况的图都不能一笔画出。
“一笔画”的规律
请试一试： 1．画出图1和图2的其他线路。
2．图3能一笔画吗？有多少条线路？
“一笔画”的规律
3．下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？如果能，请你把它画出来。
“一笔画”的规律
4．在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥（如图）。当时有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？
“神奇”的图形
“一笔画”的规律
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的（双数）条边相连的点叫做偶点。如图1中的①、④为奇点，②、③为偶点。
“一笔画”的规律
数学家欧拉找到一笔画的规律是什么呢? 1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如，图2都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①
问题一、比较下列两条线段的长短
“神奇”的图形
问题二、正方形怎么不“正” 了？
到底有多宽？
若有足够长的绳子将地球环绕一周（如图一），现将绳子放宽一米（如图二），则绳子与地球的均匀宽度有多少，能放进一根手指吗？
图一
图二
人教版九年义务教育六年制小学数学第六册有这样一道思考题：
[题目］你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）
“一笔画”的规律

一笔画问题、欧拉回路与中国邮递员问题

一笔画问题、欧拉回路与中国邮递员问题(不重复（重复）地行遍所有的边再回到终点)欧拉定理[学习目标]1.会表述欧拉回路与中国邮递员问题的定义；2.会用弗罗莱算法求解一些简单的中国邮递员问题．18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡, 那里有七座桥。

如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。

问：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？这个例子是历史上非常有名的哥尼斯堡7桥问题。

哥尼斯堡现在是立陶宛共和国的一个城市，图1是当地奈发夫岛附近的地域图，此例子就是当地人民中间流传久远的一个难题。

直到1736年，数学家欧拉首次系统研究并完全解决了这类问题。

图 1 图 2七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。

他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

欧拉定理:如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

定义经过G的每条边的迹叫做G的Euler迹；闭的Euler迹叫做Euler回路或E 回路；含Euler 回路的图叫做Euler 图。

直观地讲，Euler 图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图，即不重复地行遍所有的边再回到出发点。

定理: （i ）G 是Euler 图的充分必要条件是G 连通且每顶点皆偶次。

（ii ）G 是Euler 图的充分必要条件是G 连通且 di i C G 1==，i C 是圈，)()()(j i C E C E j i ≠Φ= 。

（iii ）G 中有Euler 迹的充要条件是G 连通且至多有两个奇次点。

一笔画问题(欧拉图)

2010-10-18 17:32 by EricZhang(T2噬菌体), 3556 visits, 网摘, 收藏, 编辑关于一笔画问题的数学分析（对一道面试题的总结与扩展思考）摘要前几天参加了一个公司的面试，其中被问到了一个题。

面试官在纸上画了一个图形（具体图形见下文），问我能不能一笔画出这个图形，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。

当时我没有试着去画，而是凭着自己图论方面的知识在几秒钟之内告诉面试官不可能做到，然后简单说了一下理由。

面试结束后我翻阅了图论相关的资料，发现当时自己虽然给出了正确答案，但理由并不完全正确。

昨天我花了几个小时仔细研究了一下相关的理论，总结了一下这类问题的类型和解法，写成此文，分享给大家。

问题的提出当时面试官给我出的问题是这样的：对于下面这个图形，让我一笔画出，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。

面试时我给出的回答是不可能做到，面试结束后我也从数学上证明了这个这个回答。

当然有兴趣的朋友可以试着画画看。

这个问题其实就是我们小时候会玩到的一笔画游戏。

这类问题看似简单直观，但是仔细研究下来却蕴含了很多东西，而且涉及了图论中一个非常重要的研究课题——欧拉迹。

而且这类问题可以扩展出很多东西，例如任意给一个图可不可以完成一笔画且最后回到起始点？再如到底什么样的图可以一笔画出来？什么样的图一笔画不出来？如果一个图可以一笔画出来，那么应该如何画？有没有对一切可一笔画图形的通用解法？下面我们将这个问题抽象成一般问题，然后从图论角度寻找上述疑问的答案。

图论中的一些概念因为在下文论述过程中需要用到一些图论的基本概念，为了照顾在这方面不熟悉的朋友，我先将要用到的定义和概念列出来，如果您对图论的基本内容已经了然于胸，可以跳过这一节。

另外如不做特殊说明，下文所有的“图”都默认指“无向图”，本文的讨论不涉及“有向图”。

简单图——一个简单图可表示为G=(V, E)，其中V是顶点集合，其中每个元素是图的一个顶点；E是边集合，其中每一个的元素是一个顶点对(a, b)，其中a和b均属于V，这个顶点对表示顶点a和b 间有一条边相连。

欧拉一笔画原理

数学家欧拉
不满10岁就开始自学《代数学》，这本书连他的几位老师都没读过。

13岁就考上了大学。

（我们很多同龄人正在上七年级）正当他事业上有所成就的时候，他的一只眼睛失明，但是他依然废寝忘食的进行数学研究。

令人遗憾的是，后来他的另外一只眼睛也失明了。

即使如此，欧拉也没有放弃，口述让助手帮他撰写书籍。

不幸的是，一场大火将他的研究资料烧毁，欧拉没有气馁，重新编写，新书的内容更加完美。

尽管欧拉命途多舛，但是他毅然坚守自己热爱的数学事业，这种百折不挠的精神值得我们学习。

背景：
一个城市，有七座桥（如图所示），有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最
后回到出发点。

因为有成千上万种走法，谁也回答不了。

因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

后来欧拉把它转化成一个数学问题——一笔画问题。

提出：
一、连到一点的线段数量如果是奇数条，就称为奇点；如果是偶数条，就称为偶点。

二、奇点的数目是0或2的时候就能完成一笔画。

三、0个奇点，无论从哪一点出发都能完成一笔画；2个奇点，必须从其中的一个奇点出发就能完成一笔画。

题目1：一共10个点，全是偶点（即：奇点为0，可以完成一笔画）。

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欧拉的一笔画原理
欧拉的一笔画原理是：
(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；
(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；
(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；
(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。

因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。

顺便补充两点：
(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。

因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。

如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。

所以一个图形的奇点数目一定是偶数。

(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。

例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。

如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。

将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。

一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。

如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。

所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。

到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画。

1.下列图形分别是几笔画？怎样画？
2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？
3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？
4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸。

问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？。