双曲线的标准方程1公开课

?1
?a ? b ? 0?
y2 a2
?
x2 b2
? 1(a
?
0, b ?
0).
相同点：
1.焦点坐标相同 , 焦距相等；
2.焦a , b, c大小满足勾股定理 .
不同点：
1.椭圆中a最大a 2 ? b2 ? c2 , 在双曲线中 c最大, c2 ? a 2 ? b2；
2.椭圆方程中 ? , 双曲线中 ? ； 3.判断焦点位置方法不同。
不存在
结论：
1、当||MF1|-|MF 2||= 2a<|F 1F2|时，M点轨迹是双曲线 其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线 中靠近F2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点 轨迹是双曲线中靠近 F1的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F 1F2|时，M点轨迹是在直 线F1F2上且以 F1和F2为端点向外的两条射线。
练习1.根据方程，写出焦点坐标及 a, b的值:
(1) x2 ? y2 ? 1和x2 ? 15 y2 ? 15 25 9
焦点(?4,0),a ? 5,b ? 3 焦点(?4,0),a ? 15,b ? 1
x2 (2)
?
y2
? 1和
y2
?
x2
?1
43
34
焦点(?1,0),a ? 2,b ? 3
焦点(0,? 7),a ? 3,b ? 2
F1?
设点M与F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a.
y
?M
O
?F2 x
由定义知 MF1 ? MF2 ? 2a
? MF1 ? ?x ? c?2 ? y2 , MF2 ? ?x ? c?2 ? y2 ,
? ?x ? c?2 ? y2 ? ?x ? c?2 ? y2 ? ?2a.
化简得：(c2 ? a 2 )x2 ? a 2 y2 ? a 2 (c2 ? a 2 ).
x2 －y2＝ 12 8
1.
方法二 设双曲线方程为 16x－2 k－4＋y2 k＝1 (－4<k<16)，
将点(3 2，2)代入得 k＝4， ∴所求双曲线方程为 1x22 －y82＝1.
小结 (1)双曲线标准方程的求解方法是 “先定型，后计
算”．先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出
F1,F2 ---焦点 |F1F2| ---焦距（设为 2c） 设常数||MF1| - |MF2|| = 2a
注意：对于双曲线定义须抓住三点：
1、平面内的动点到两定点的
M
距离之差的绝对值是一个常数；
2、这个常数要小于 |F1F2|；
F1
F2
3、这个常数要是非零常数。
数学实验：
[1] 取一条拉链；
[2]如图把它固定在板 上的两点F1、F2；
[3] 拉动拉链（M）。
思考：拉链运动的轨迹 是什么？
思考：
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？
双曲线的一支
2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？
是在直线 F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线
3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？
由双曲线定义知 2c ? 2a,即c ? a, 因此c2 ? a 2 ? 0 令c 2 ? a 2 ? b2 (b ? 0), 得
y
?M
b2x2 ? a 2 y2 ? a 2b2 ,
x2 a2
?
y2 b2
?
1(a
?
0, b
?
0).
双曲线的标准方程.
F1?
O
? F2 x
说明: 1.焦点在x 轴;
2. 焦点F1(-c,0),F 2(c,0);
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点 F1, F2 的距离和的等于常
数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。
问题2：如果把上述定义中“距离的和”改为 “距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变 化？
平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数2a (小于 F点1F2的) 轨迹叫做双曲线。
方程
焦点 a.b.c 的关系
x2 a2
?
y2 b2
?1
F ??c,0?
c2 ? a2 ? b2
y2 a2
?
x2 b2
?1
F ?0,?c?
谁正谁对应 a
椭圆的标准方程：
x2 a2
?
y2 b2
?1
?a ? b ? 0?
双曲线的标准方程：
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b ?
0).
y2 a2
?
x2 b2
例 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3， －4 2)和???94，5???，求双曲线的标准方程； (2)求与双曲线1x62－y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双
曲线方程． 解 (1)由已知可设所求双曲线方程为 ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)，
则???3a22 －b92＝1， ?? 2a52 －1861b2 ＝1，
3.a,b 无大小关系; 4.c 2=a 2+b 2 , c最大.
焦点在X 轴上的双曲线标准方程是:
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b
?
0).
焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:
y2 a2
?
x2 b2
?
Hale Waihona Puke Baidu1(a
?
0, b
?
0).
y
F1?
O
x
?M ? F2
定义 图象
? ? MF1 ? MF2 ? 2a，0 ? 2a ? F1F2
相应的标准方程．
(2)在求双曲线的方程时， 若不知道焦点的位置，则进行讨
论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0)．
(3)与双曲线xa22－by22＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为
a
x2 2－
－ λ
b2y＋2 λ＝1(－
b2<λ<a
2)．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点 P (3，145)，Q(－136，5)； (2) c＝ 6，经过点 (－5，2)，焦点在 x 轴上．
解得
?? ? ??
a 2＝16， b2＝9，
∴双曲线的方程为 1y62 －x92＝1.
(2)方法一 设双曲线方程为 xa22－yb22＝1.
由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点 (3 2，2)，∴?3a22?2－b42＝1.
又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为
3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F 1F2|时,M点的轨迹不存在
4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0 时，M点的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线 。
如图建立直角坐标系xOy使x轴经过点
F1、F2且点O与线段F1、F2的中点重合.
设M(x，y)是双曲线上任意一点，
|F1 F2| =2c，F1(-c,0),F2(c,0),又