双曲线的标准方程1公开课
1双曲线及其标准方程 精品课件 公开课一等奖课件
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3．方程 mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线，它包 2 2 x y 含焦点在 x 轴和在 y 轴上两种情形，方程变为 ＋ ＝1. 1 1 m n x 2 y2 当 m>0，n<0 时，方程为 － ＝1 表示焦点在 x 轴上 1 1 － m n 1 1 的双曲线，此时 a＝ ，b＝ － ； m n
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解：若以线段 F1F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂 直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形 式．由题意得 2a＝24,2c＝26. 2 2 2 ∴a＝12，c＝13，b ＝13 －12 ＝25. 当双曲线的焦点在 x 轴上时， 2 2 x y 双曲线的方程为 － ＝1. 144 25 若以线段 F1F2 所在直线为 y 轴，线段 F1F2 的垂直平分 线为 x 轴，建立直角坐标系． y2 x 2 则双曲线的方程为 － ＝1. 144 25
8
x2 y2 解析：由于方程 － ＝ 1 只需满足 (k－ 5)与 (|k| k－5 |k|－2 －2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线， k－5>0， k－5<0， ∴ (k－ 5)(|k|－ 2)>0，即 或 解得 k>5 |k|－2>0 |k|－2<0， 或－2<k<2.
解析：(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点， ||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝15＋8 或 15－8.
答案：D
7
x2 y2 2．已知方程 － ＝1 表示的图形是双曲线，那 k－5 |k|－2 么 k 的取值范围是( ) A．k>5 B．k>5 或－2<k<2 C．k>2 或 k<－2 D．－2<k<2
双曲线及其标准方程市公开课一等奖省赛课获奖课件
变式训练
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点分别为 F1(－10,0)，F2(10,0)，且经过点(3 5，－ 4(2))；经过点(3,0)，(－6，－3)． 解：(1)由题设知双曲线的焦点在 x 轴上，且 c＝10.所以可 设它的标准方程为xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)．从而将双曲线 的标准方程化为100x－2 b2－by22＝1，将点(3 5，－4)代入并 化简整理，得 b4－39b2－1 600＝0，解得 b2＝64 或 b2＝－ 25(舍去)，故所求双曲线的标准方程为3x62－6y42 ＝1.
第20页
变式训练
2.设双曲线x2－y2＝ 49
1，
F1、
F2
是其两个焦点，点
M
在双
曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2 的面积； (2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2 的面积是多少？
第21页
解：(1)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13， 设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)． 由双曲线定义得 r1－r2＝2a＝4， 两边平方得 r21＋r22－2r1·r2＝16， 即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16， 即 4S△F1MF2＝52－16， ∴S△F1MF2＝9. (2)若∠F1MF2＝60°，在△F1MF2 中， 由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos 60°， |F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2， ∴r1r2＝36， 则 S△F1MF2＝12r1r2sin 60°＝9 3.
第24页
第18页
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴9m＋0＝1，
§2.3.1 双曲线及其标准方程(第一课时)【公开课教学PPT课件】
实验探究
[1]取一条拉链；
[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；
[3] 拉动拉链（M）。
多么美丽对称 的曲线
2019年8月14日8时31分
实验探究
探究双曲线的定义:
①如图 ������ , ������������1 − ������������2 = ������������2 =2a
②如图 ������ , ������������2 − ������������1 = ������������1 =2a
������2 ������2 9 − 16 = 1.
2019年8月14日8时31分
应用探究
例 1 双曲线的两个焦点坐标分别是������1 −5,0 , ������2 5,0 ,双曲线上的点到
两个焦点的距离之差的绝对值是 6，求双曲线的标准方程. 解: 所求双曲线的标准方程是: ������2 − ������2 = 1
普通高中课程标准实验教科书北师大版 选修1-1
§2.3.1 双曲线及其标准方程 （第一课时）
2019年8月14日8时31分
学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形及标准方程 的推导过程; 2.掌握双曲线的标准方程及其求法; 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单 的问题.
2019年8月14日8时31分
双曲线定义的符号表述：
M
| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< 2c) ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
2019年8月14日8时31分
生活中的双曲线
2019年8月14日8时31分
生活中的双曲线
双曲线的标准方程市公开课金奖市赛课一等奖课件
围是
。 2m
m 1 m (1, ) (, 2)
2.求 a 4,b 3,焦点在x轴上双曲线原则方程。 x2 y2 1 16 9
3.求 a 2 5,通过点（2，-5），焦点在y轴上双曲线 原则方程 。
y2 x2 1 20 16
第11页
4、设双曲线
x2 y2 1 16 9
上点P到点 （F52，0）距离为
（第3步, 列式） 由定义可知: MF1 MF2 2a （第4步, 化简） 即：MF1 MF2 2a
MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2
( x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
第5页
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2
设 c2 a2 b2 , (b 0)
(c2 a2 )x2 a2 y2 (c2 a2 )a2
即： b2 x2 a2 y2 a2b2
两边同时除以 a2b2
x2 y2 1, (a 0, b 0, c2 a2 b2 ) a2 b2
这个方程叫做双曲线原则方程, 它所表示双曲线焦点在x轴 上, 焦点是F1 (－c,0) 、F2(c,0) , 这里c2=a2+b2
15，则点P到 F（1 -5，0）距离是
。
7或者23
思考:上题中距离改为： 17
2
第12页
定义 图象
| MF1-MF2 | =2a（０ < 2a<F1F2=2c）
y
M
F1
o
F2
x
y
M F2
x
F1
方程
焦点
❖ a.b.c ❖ 关系
《双曲线的标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《双曲线的标准方程》教学设计第一课时◆教学目标1. 掌握双曲线的定义，提升学生的数学抽象素养．2.掌握双曲线的标准方程的推导过程，提高学生的数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：双曲线的定义及其标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导过程．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习双曲线的标准方程第一课时．（2）学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高．如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章．所以说本节课的作用就是纵向承接双曲线定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、探究新知问题2：如图所示，某中心O 接到其正西、正东、正北方向三个观测点A ，B ，C 的报告： A ，C 两个观测点同时听到一声巨响，B 观测点听到的时间比A 观测点晚4s ，已知各观测点到该中心的距离都是1020m ，假定当时声音传播的速度为340m /s ，且A ，B ，C ，O 均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？师生活动：学生充分思考，并鼓励学生尝试给出答案．设计意图：通过实际问题，引导思考，引出双曲线的定义．发展学生数学抽象，直观想象的核心素养．上述情境中，因为观测点A 与C 同时听到响声，说明P 一定在AC 的垂直平分线上;因为观测点B 听到的时间比观测点A 晚4s ，这说明P 距离B 更远，而且13603404||||=⨯=-PA PB ，那么，满足上式的点P 可能的位置有哪些呢?这与本小节我们要讨论的双曲线有关．一般地:如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.另外，可以看出，双曲线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．问题3：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？师生活动：教师提示，学生自己尝试画出双曲线．预设的答案:画法：如图①所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换，如图②所示，类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.设计意图：通过具体的操作，让学生更加清楚双曲线的形成过程．问题3：这种作双曲线的方法，请问双曲线上的点到两定点21,F F 的距离有何特点? 师生活动：通过实践操作，学生自己总结答案．预设的答案:可以看出拉链M 到21,F F 的距离的差的是一个常数．设计意图：通过观察实践．让学生自己总结结论，发展学生直观想象，数学抽象的核心素养．问题4：怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？师生活动：学生充分思考，并由学生在练习本上写出过程，展台展示．预设的答案：以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设双曲线的焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -．设P 的坐标为),(y x ，因为a PF PF 2||||||21=-，而且221)(||y c x PF ++=，222)(||y c x PF +-=，所以+++22)(y c x a y c x 2)(22±=+-， ①由①得a y c x y c x y c x y c x 2)()(])[()(22222222±=+-++++--++整理得x a c y c x y c x 2)()(2222±=+-+++，②①+ ②整理得)()(22x ac a y c x +±=++，③ 将③式平方再整理得2222222)(a c y ax a c -=-- ④因为0>>a c ，所以22a c >，设222b a c =-，且0>b ，则④式可化为的双曲线的标准方程．设计意图：类比双曲线的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程．发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养．三、初步应用例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程．两个焦点分别是)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上的点P 到两焦点的距离之差的绝对值为8；师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由已知得82=a ，因此4=a ，又因为5=c ，所以9222=-=a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求的双曲线的标准方程为191622=-y x 设计意图：通过典例解析，，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法．发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是双曲线？焦点？焦距？（2）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.（2设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解双曲线的标准方程的有关知识． 布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1．“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义是解决本题的关键．2．若方程221625x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．(5,10)B ．(3,5)C ．(6,)+∞D ．,35),()(∞⋃+∞-设计意图：考查学生双曲线的定义的认识． 3．过点(1，1)，且b a=x 轴上的双曲线的标准方程是（ ） A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -= 设计意图：考查学生对双曲线的标准方程的求法．参考答案：1．【答案】A 若方程22112x y m m +=+-表示双曲线， 则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．2．【答案】B 方程221625x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线 所以50620k k ->⎧⎨-<⎩，即35k << 故选：B3．【答案】D由b a=，知：222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a-=，将点(1，1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=. 故选：A。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的标准方程教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
A．双曲线
B．双曲线一支
C．两条射线 D．一条射线
答案：C
11/56
2．双曲线x32－y22＝1 的焦点坐标是(
)
A．(± 5，0) B．(0，± 5)
C．(±1,0)
D．(0，±1)
答案：A
12/56
3．以 F1(－4,0)、F2(4,0)为焦点，且经过点 M(3， 15)的双曲线的标准方程为________．
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提醒：在x2，y2系数异号前提下，假如x2项系 数是正，那么焦点在x轴上，假如y2项系数是 正，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定 大于b，所以，不能像椭圆那样用比较分母大 小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
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尝试应用
1．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)距离之差绝对 值为2，则点P轨迹是( )
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解：(1)若设所求双曲线方程为xa22－yb22＝1(a>0， b>0)，则将 a＝4 代入，得1x62－yb22＝1.
又∵点 A(1，4 310)在双曲线上， ∴116－196b02 ＝1. 由此得 b2<0，∴不合题意，舍去．
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若设所求双曲线方程为ya22－xb22＝1(a>0，b>0)， 则将 a＝4 代入得1y62 －xb22＝1，代入点 A(1，4 310)， 得 b2＝9，
双曲线及其标准方程 第1课时(上课课件)
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)，求双曲线的标准方程；
(3)已知方程2＋x2m－m＋y2 1＝1 表示双曲线，求 m 的取值范围．
分析：(1)(2)先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a，b 的方程组求
解．(3)只需 x2 项与 y2 项的系数异号．
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(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种情
况都有可能．
(2)设方程：根据焦点的位置，设其方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)或ay22－bx22 ＝1(a>0，b>0)．焦点位置不定时，可设为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)解方程：解方程组，将a，b(或m，n或点的坐标)代入所设方程即可 得标准方程．
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在双曲线的定义中，注意三个关键点： (1)在平面内； (2)差的绝对值； (3)存在定值且定值小于两定点间距离． 在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．
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1.已知平面上定点 F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－ |MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲 线，则甲是乙的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．（设双曲线的一般方程）
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴
9m＋0＝1， 36m＋9n＝1，
高中数学选修1122双曲线说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
(4)当 a>4 时,无轨迹.
2.2.1
问题导学
双曲线及其标准方程
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
迁移与应用
2
2
1.已知双曲线的方程是16 − 8 =1,点 P 在双曲线上,且到其中一个焦
点 F1 的距离为 10,点 N 是 PF1 的中点,求|ON|的大小(O 为坐标原点).
解:由题意知 ON 是△PF1 F2 的中位线,
1
2
∴|ON|= |PF2|.
∵||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10,
∴|PF2|=2 或
1
18,|ON|= |PF2|=1
2
或 9.
2.2.1
问题导学
迹是什么?当 2a=0 时,点 M 的轨迹是什么?当 2a>|F1F2|时,点 M 的轨迹
是什么?当|MF1|-|MF2|=2a<|F1F2|时,点 M 的轨迹是什么?
提示:当 2a=|F1F2|时,点 M 的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射线(包
括端点);当 2a=0 时,点 M 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线;当 2a>|F1F2|
思路分析:(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时,首先应明确
焦点在哪个坐标轴上;
(2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点,则可设双曲线为
2
27-
2
+
=1(27<λ<36),再将点
36-
题方法有一定的技巧性.
双曲线的标准方程公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
【变式2】 已知双曲线x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2，若 双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积． 解 由x92－1y62 ＝1，得 a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 因此102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 因此|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
第8页
研一研·题型解法、解题更高效 问题 3 如图，类比椭圆中 a，b，c 的意义，你能在 y 轴上找一
点 B，使|OB|＝b 吗？
答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心，以线段 OF2 为半径 画圆交 y 轴于点 B.
第9页
2．双曲线原则方程
• 原则方 程
焦点坐标
• a，b， c关系
焦点在x轴上
出a，b值．若焦点位置不拟定，可按焦点在x轴和y轴上两种情 况讨论求解，此办法思绪清楚，但过程复杂，注意到双曲线过
两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即 可拟定m、n，避免了讨论，实为一个好办法．
第18页
题型二 双曲线定义应用
【例2】 如图，若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝ 1 的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它一个焦点距离等 于16，求点M到另一个焦点距离； (2)若P是双曲线左支上点，且|PF1|·|PF2|＝ 32，试求△F1PF2面积． [思绪摸索] (1)由双曲线定义得||MF1|－|MF2||＝2a，则点M到 另一焦点距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．
《双曲线及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计第1课时“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．1．使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．2．在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导．复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，（a >b >0）；（2）焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，（a >b >0）．3．a 、b 、c 之间有何种关系？ a 2＝c 2＋b 2． 探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：（A ） （B ）活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支． 下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ ②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？（几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解）请学生回答：1．不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ．3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线（一部分）．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2|且大于零）下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，类比椭圆找到两种简单的建系方法，并找学生到黑板板演，教师巡视指导其他学生，必要时给板演的学生给予指导．（推导过程以焦点在x轴上为例）学生板演，先请学生评讲，教师再评讲．以线段F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系．设P（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），又设点P与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a．则有：x－c2＋y2－x＋c2＋y2＝±2a，①移项，得x＋c2＋y2＝x－c2＋y2±2a．两边平方，得x－c2＋y2＝|a－ca x|．②②式再两边平方并整理得（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2），（※）根据双曲线的定义c＞a，c2－a2＞0．设b2＝c2－a2，代入上式，得x2a2－y2b2＝1．这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标是F1（－c，0）、F2（c，0）．学情预测：一般情况下，得到方程（※）后，学生会类比椭圆设b2＝c2－a2，但要注意证明的严密性，帮助学生在证明过程中完善步骤．提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A 1，A 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题．提出问题：你能在y 轴上找一点B ，使得|OB |＝b 吗？学情预测：学生会发现在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B 1，B 2，则|B 2A 1|＝|B 2A 2|＝c ＝|B 1A 1|＝|B 1A 2|．这样，因为△B 2OA 2为直角三角形，且|B 2A 2|＝c ，|OA 2|＝a ，所以，c 2－a 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的c 2－a 2有明显的几何意义．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），双曲线的方程又如何呢？类比椭圆，如果双曲线的焦点在y 轴上，把方程x 2a 2－y 2b 2＝1中的x 、y 互换，得到它的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，这也是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程有两个．教师应指出：我们所得的两个方程x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0）都是双曲线的标准方程．提出问题：已知双曲线标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许． 活动结果：看x 2，y 2的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上． 练习：写出以下双曲线的焦点坐标．1．x 216－y 29＝1 2．x 29－y 216＝1 F （±5，0） 3．y 216－x 29＝1 4．y 29－x 216＝1 F （0，±5） 理解新知1．观察双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1；（3）双曲线标准方程中三个参数a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2（a >0，b >0）； （4）双曲线焦点的位置由标准方程中x 2，y 2的系数的正负确定； （5）求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填下表．c2＝a2＋b2c2＝a2＋b2（±c，0）（0，±c）在x轴上在y轴上3．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系？运用新知例题研讨，变式精析1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a，b，c的值．①x24－y22＝1，②x22－y22＝1，③x24－y22＝－1，④4y2－9x2＝36．思路分析：双曲线标准方程的形式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2．解：①是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；②是双曲线，a＝2，b＝2，c＝2；③是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；④是双曲线，a ＝3，b ＝2，c ＝13．2已知双曲线的焦点为F 1（－5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．思路分析：巩固双曲线的标准方程，解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）． 根据题意知2a ＝6，2c ＝10． ∴a ＝3，c ＝5 ∴b 2＝52－32＝16．∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1．点评：焦点定位，a 、b 、c 三者知二定形．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知双曲线x 216－y 29＝1，你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）2．已知a ＝2，c ＝4，则你可以得到双曲线的哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 3．已知a ＝4，______________，可以求得双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流． 学情预测：1．a ＝4，b ＝3，c ＝5，两焦点坐标为（－5，0），（5，0）． 2．b ＝23，双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1或y 24－x 212＝1等．3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝5，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，5）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，更会把学生的基础知识巩固得更广、更深．达标检测1．求a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．2．求a ＝25，经过点（2，－5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程． 3．证明椭圆9x 2＋25y 2＝225与双曲线x 2－15y 2＝15的焦点相同．4．若方程x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点（5，0）的距离为15，则P 点到（－5，0）的距离是…（ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或23 答案：1．x 216－y 29＝1；2．y 220－x 216＝1； 3.9x 2＋25y 2＝225 x 225＋y 29＝1 F （±4，0）．x 2－15y 2＝15x 215－y 2＝1 F （±4，0）；4．D x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线⎩⎨⎧sinα<0cosα>0α在第四象限，所以选D ．5．D |d －15|＝2a ＝8 d ＝7或23．课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善） （1）双曲线的定义（与椭圆的区别） （2）标准方程（两种形式）（3）焦点位置的判断（与椭圆的区别） （4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）让学生对本节课进行总结．目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力．作业布置教材习题2.3 A 组第1题，第2（1）题． 补充练习 基础练习 1．填空题：（1） x 252－y 232＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（2）x 242－y 262＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（3）x 29－y 24＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ．2．求下列椭圆的焦点坐标： ①x 29－y 24＝1；②16x 2－7y 2＝112． 拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F 1（0，－13），双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为焦点坐标为F 1（0，－13）． 所以c ＝13．又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24． 所以2a ＝24，即a ＝12． 所以b 2＝c 2－a 2＝169－144＝25．所以所求双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1．1．在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验——观察——类比——证明——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理．这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点．2．在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．。
双曲线及其标准方程(公开课)公开课一等奖
双曲线的焦点距离公式是根据双曲线的标准方程中的系数计算得出的。这个公式可以帮助我们了解双 曲线的形状和大小，以及焦点在双曲线上的位置。通过焦点距离公式，我们可以进一步研究双曲线的 性质和特点。
05 双曲线与其他曲线的对比
CHAPTER
与椭圆的对比
01 02
形状
双曲线和椭圆都是二次曲线，但它们的形状和结构有所不同。双曲线有 两个分支，分别向两个方向无限延伸，而椭圆则是一个封闭的形状，由 两个焦点和连接它们的线段所形成。
此时，双曲线的两个顶点位于y轴上，坐标分别为 $(0, -a)$ 和 $(0, a)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线标准方程的推导
通过平面几何的方法，我们可以推导出双曲线的标准方程。
首先，设双曲线的焦点到任一点 $P(x, y)$ 的距离之差为常数 $2a$，即 $|PF_1 - PF_2| = 2a$。
此时，双曲线的两个顶点位于x轴上， 坐标分别为 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
焦点在y轴上
焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，分别表示双曲线的实 半轴和虚半轴的长度。
根据平面几何的性质和勾股定理，我们可以推导出双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$。
03 双曲线的应用
CHAPTER
优质实用教学课件精选双曲线及其标准方程PPT课件公开课
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点 所在位置与分母的大小无关。
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
• 例曲线3、，如求果m方的程范m围x-21+2-ym2 = 1 表示双 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，线
(公开课) 双曲线的标准方程教学设计
(公开课) 双曲线的标准方程教学设计引言本教学设计旨在帮助学生理解和掌握双曲线的标准方程。
通过一系列的教学活动和练，学生将学会如何确定双曲线的方程以及其图形的一些特征。
教学目标- 理解双曲线的定义和基本特性- 掌握双曲线的标准方程的推导和使用方法- 能够确定双曲线图形的一些基本特征- 运用所学知识解决相关问题教学内容1. 双曲线的定义和基本特性- 介绍双曲线的定义和基本特性- 解释双曲线与直线、椭圆以及抛物线的区别2. 双曲线的标准方程- 推导双曲线的标准方程- 解释方程中各项的含义- 演示如何将方程转化为标准形式3. 确定双曲线图形的基本特征- 指导学生如何通过标准方程确定双曲线图形的中心、焦点、顶点等基本特征- 通过练题加深学生对基本特征的理解和掌握4. 解决相关问题- 提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决- 指导学生如何建立方程模型并求解教学活动- 讲解双曲线的定义和基本特性，引导学生思考与其他曲线的区别- 演示推导双曲线的标准方程过程，并解释各项的含义- 给予学生一些练题，要求他们将方程转化为标准形式- 指导学生如何通过标准方程确定双曲线图形的基本特征，例如中心、焦点、顶点等- 给予学生一些练题，加深他们对基本特征的理解和掌握- 提供一些实际问题，要求学生建立方程模型并求解，加强他们的问题解决能力教学评估- 在教学过程中观察学生的参与状况和理解程度- 批改和评价学生的练题和问题解决过程- 给予学生反馈，鼓励他们继续努力提高参考资源- 教材中关于双曲线的章节- 相关练题和题答案- 互动教学工具或软件，用于可视化双曲线的图像以上是本教学设计的简要内容，请根据实际教学情况进行调整和补充。
希望本设计能够帮助学生更好地理解和掌握双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程第一课时公开课教学PPT课件
b>0)
y2 x2
2 1
2
a b
① 方程用“－”号连接。
,b0但 a , b 大小不定。
② 分母是 a2,b2,a0
2
2
2如果 x 的系数是正的,则焦点在 x轴上;
7/16/2024 12:512 AM
如果 y 的系数是正的,则焦点在 y
轴上.
由方程定焦点:
椭圆看大小;
双曲线看正负.
学习目标
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1.了解双曲线的定义、几何图形及标准方程
的推导过程;
2.掌握双曲线的标准方程及其求法;
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单
的问题.
作业
必做:课本第 41 页 练习第 1 题
课本第 44 页 A 组第 1 题
选做:课本第 44 页 A 组第 4 题
课后思考
思考 1 若方程
2
2+
−
围为
2
+1
= 1 为双曲线标准方程,则 m 的取值范
;
思考 2 若方程
2
2+
−
2
+1
值范围为
7/16/2024
AM
思考
3 12:51
若 1 − 2 = 12呢?
轨迹不存在
题后反思：
求标准方程要做到先定型,后定量.
7/16/2024 12:51 AM
应用探究
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
高二数学双曲线的标准方程1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
(4) 焦点F（1 5，0）, F2 (5,0),双曲
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a 3,b 4,焦点在x轴上；
（2）a 2 5,经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
练习3、已知双曲线旳焦点在y 轴上，而且双曲线上两点Ｐ1 ,Ｐ2
焦点在X 轴上旳双曲线原则方程是: 焦点在y 轴上旳双曲线原则方程是:
y
F1•
O
x
•M • F2
定义 图象
MF1 MF2 2a，0 2a F1F2
方程
焦点
a.b.c旳关 系
x2 y2 1 a2 b2
F c,0
c2 a2 b2
y2 a2
x2 b2
1
F 0, c
谁正谁相应 a
椭圆旳原则方程：
思索：拉链运动旳轨迹 是什么？
思索：
1、平面内与两定点旳距离旳差等于常数 2a（不大于|F1F2| ）旳轨迹是什么？
双曲线旳一支
2、平面内与两定点旳距离旳差旳绝对值等于 常数（等于|F1F2| ）旳轨迹是什么？
是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外旳两条射线
3、平面内与两定点旳距离旳差旳绝对值等于 常数（不小于|F1F2| ）旳轨迹是什么？
设常数||MF1| - |MF2|| = 2a
注意：对于双曲线定义须抓住三点：
1、平面内旳动点到两定点旳
M
距离之差旳绝对值是一种常数；
2、这个常数要不大于|F1F2|； F1
F2
3、这个常数要是非零常数。
数学试验：
[1]取一条拉链；
[2]如图把它固定在板 上旳两点F1、F2；
[3] 拉动拉链（M）。
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4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0 时，M点的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线 。
如图建立直角坐标系xOy使x轴经过点
F1、F2且点O与线段F1、F2的中点重合.
设M(x，y)是双曲线上任意一点，
|F1 F2| =2c，F1(-c,0),F2(c,0),又
练习1.根据方程，写出焦点坐标及 a, b的值:
(1) x2 ? y2 ? 1和x2 ? 15 y2 ? 15 25 9
焦点(?4,0),a ? 5,b ? 3 焦点(?4,0),a ? 15,b ? 1
x2 (2)
?
y2
? 1和
y2
?
x2
?1
43
34
焦点(?1,0),a ? 2,b ? 3
焦点(0,? 7),a ? 3,b ? 2
x2 －y2＝ 12 8
1.
方法二 设双曲线方程为 16x－2 k－4＋y2 k＝1 (－4<k<16)，
将点(3 2，2)代入得 k＝4， ∴所求双曲线方程为 1x22 －y82＝1.
小结 (1)双曲线标准方程的求解方法是 “先定型，后计
算”．先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出
?1
?a ? b ? 0?
y2 a2
?
x2 b2
? 1(a
?
0, b ?
0).
相同点：
1.焦点坐标相同 , 焦距相等；
2.焦a , b, c大小满足勾股定理 .
不同点：
1.椭圆中a最大a 2 ? b2 ? c2 , 在双曲线中 c最大, c2 ? a 2 ? b2；
2.椭圆方程中 ? , 双曲线中 ? ； 3.判断焦点位置方法不同。
由双曲线定义知 2c ? 2a,即c ? a, 因此c2 ? a 2 ? 0 令c 2 ? a 2 ? b2 (b ? 0), 得
y
?M
b2x2 ? a 2 y2 ? a 2b2 ,
x2 a2
?
y2 b2
?
1(a
?
0, b
?
0).
双曲线的标准方程.
F1?
O
? F2 x
说明: 1.焦点在x 轴;
2. 焦点F1(-c,0),F 2(c,0);
F1,F2 ---焦点 |F1F2| ---焦距（设为 2c） 设常数||MF1| - |MF2|| = 2a
注意：对于双曲线定义须抓住三点：
1、平面内的动点到两定点的
M
距离之差的绝对值是一个常数；
2、这个常数要小于 |F1F2|；
F1
F2
3、这个常数要是非零常数。
数学实验：
[1] 取一条拉链；
[2]如图把它固定在板 上的两点F1、F2；
[3] 拉动拉链（M）。
思考：拉链运动的轨迹 是什么？
思考：
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？
双曲线的一支
2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？
是在直线 F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线
3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？
例 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3， －4 2)和???94，5???，求双曲线的标准方程； (2)求与双曲线1x62－y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双
曲线方程． 解 (1)由已知可设所求双曲线方程为 ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)，
则???3a22 －b92＝1， ?? 2a52 －1861b2 ＝1，
问题1：椭圆的定义什么？
平面内与两个定点 F1, F2 的距离和的等于常
数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。
问题2：如果把上述定义中“距离的和”改为 “距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变 化？
平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数2a (小于 F点1F2的) 轨迹叫做双曲线。
解得
?? ? ??
a 2＝16， b2＝9，
∴双曲线的方程为 1y62 －x92＝1.
(2)方法一 设双曲线方程为 xa22－yb22＝1.
由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点 (3 2，2)，∴?3a22?2－b42＝1.
又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为
不存在
结论：
1、当||MF1|-|MF 2||= 2a<|F 1F2|时，M点轨迹是双曲线 其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线 中靠近F2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点 轨迹是双曲线中靠近 F1的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F 1F2|时，M点轨迹是在直 线F1F2上且以 F1和F2为端点向外的两条射线。
相应的标准方程．
(2)在求双曲线的方程时， 若不知道焦点的位置，则进行讨
论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0)．
(3)与双曲线xa22－by22＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为
a
x2 2－
－ λ
b2y＋2 λ＝1(－
b2<λ<a
2)．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点 P (3，145)，Q(－136，5)； (2) c＝ 6，经过点 (－5，2)，焦点在 x 轴上．
3.a,b 无大小关系; 4.c 2=a 2+b 2 , c最大.
焦点在X 轴上的双曲线标准方程是:
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b
?
0).
焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:
y2 a2
?
x2 b2
?
1(a
?
0, b
?
0).
y
F1?
O
x
?M ? F2
定义 图象
? ? MF1 ? MF2 ? 2a，0 ? 2a ? F1F2
F1?
设点M与F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a.
y
?M
O
?F2 x
由定义知 MF1 ? MF2 ? 2a
? MF1 ? ?x ? c?2 ? y2 , MF2 ? ?x ? c?2 ? y2 ,
? ?x ? c?2 ? y2 ? ?x ? c?2 ? y2 ? ?2a.
化简得：(c2 ? a 2 )x2 ? a 2 y2 ? a 2 (c2 ? a 2 ).
方程
焦点 a.b.c 的关系
x2 a2
?
y2 b2
?1
F ??c,0?
c2 ? a2 ? b2
y2 a2
?
x2 b2
?1
F ?0,?c?
谁正谁对应 a
椭圆的标准方程：
x2 a2
?
y2 b2
?1
?a ? b ? 0?
双曲线的标准方程：
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b ?
0).
y2 a2
?
x2 b2