工程力学中压杆稳定PPT课件

Asikn l 0
注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于 零，否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持 微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由 此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0
满足此条件的kl为
k l0， π, 2π，
或即
Fcrl 0，π，2π， EI
由于
Fcr EI
l
0 意味着临界力Fcr
w Asinπ x l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。
n=1
FPcr
Asin kxAsin πx
l
n=2
4FPcr
Asik nxAsin 2πx
l
n=3
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9FPcr Asik nxAsin 3πx
l
用上述方法还可推导出另一些杆端约束条件下压杆临界 力的欧拉公式，如表13-1所示。
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表13–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
本节以两端球形铰支(简称两端铰支) 的细长中心受压杆件(图a)为例，推导出 求临界力的欧拉(L.Euler)公式。
(a)
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(a)
(b)
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在图a所示微弯状态下，两端 铰支压杆任意x截面的挠度(侧向 位移)为w，该截面上的弯矩为 M(x)=Fcrw（图b）。杆的挠曲线 近似微分方程为
E w I M x F cw r (a)
细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至导致 整个结构破坏。
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1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后， 仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈 曲而毁坏。
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1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现 了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人 们才可看到斜杆失稳后的情景。
直线平衡构形转变为弯曲
平衡构形，扰动除去后，
直
不能恢复到直线平衡构形， 线
则称原来的直线平衡构形
平
是不稳定的。
衡 构
形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
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稳定性:压杆在外力作用下保持其直线平衡构形的能力。
失稳与屈曲? 在扰动作用下,直线平衡构形转变为弯曲平衡
构形,扰动去除之后,不能恢复到直线平衡构形的过 程,称为失稳或屈曲。
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工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 嫦娥奔月中的压杆
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高压输电线路保持相间距离的受压构件
9
稳定问题:主要针对细长压杆
课堂讨论:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?
F
若l取 2c, m 按屈服 s 强 23M 度 5计 Pa算，
Fmax 235 16026 10 6 61N 10
若取 l 30cm,按两端铰接方轴 式向 使压 其 , 力 受
l
当产生明显变 Fma形 x时 180， N
若取 l 10cm ,则产生明显F变 max形 50N 时，
若取 l20cm ,则产生明显Fm 变 a x1形 2.80 时 N
26mm
10
1mm
不稳定平衡
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2 、 稳定平衡
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3 、稳定平衡和不稳定平衡
表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：
Fcr
π 2 EI
l 2
式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l
称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束
情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端
铰支压杆的临界力。表13-1的图中从几何意义上标出了各种杆
小球在不同 的位置状态 保持平衡状 态的能力不 同。
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如何判断压杆的稳定与不稳定?
F<Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲
平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形，
直 线
则称原来的直线平衡构形
平
是稳定的。
衡
构
形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
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如何判断压杆的稳定与不稳定?
F>Fcr :在扰动作用下，
左图桥下侧面观察，右图桥上看：长15.372米的 斜杆一根鼓出1.46米，另一根鼓出0.905米。
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2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
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工程事故平面示意图改进的脚手架
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§13-2 细长压杆的临界力
1
§13-1 压杆稳定性的概念
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 压杆
2
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸顶杆
3
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸 顶杆
4
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 木结构中的压杆
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工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
脚手架中的压杆
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工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 桁架中的压杆
令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成
wk2w0
(b)
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
w A sikn x B ck ox s
(c)
此式中有未知量A和B以及k。
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(a)
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w A sikn x B ck ox s
(c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
＝0，也就是杆根本未受
轴向压力，所以这不是真实情况。在kl≠0的解中，最小解 kl
＝p 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
Fcr
π
2 EI l2
且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
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此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取
kl＝p，以此代入式(c)得
端约束情况下的相当长度 l。
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两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内 因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设 0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。
Fcr
p 2EI (0.7l)2
p 2EI Fcr (0.5l)2
Fcr
p 2EI (2l)2
p 2EI
Fcr l 2
2长8 度因数μ =1 0.7 =0.5 =2
=1
表13-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面 细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，
压杆的临界力也就越高。
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线
形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
百度文库
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
p 2EI Fcr l 2