【课件】小波与小波分析初步4PPT

连续小波变换的图示
用墨西哥帽小波计算出的小波变换
作业 任给一个信号，计算小波变换，并绘
图
一个实际信号的小波变换
连续小波变换的频域表示
•
ˆ

a,b
a,b (t
()
) 的Fourier变换
|
a
பைடு நூலகம்
|
1 2
eit (

t
b a
)dt
| a
1
|2
eibˆ (a)
• 对连续小波变换用Parseval恒等式

0,
|| a,b |||| ||
其中a 为尺度参数，b 为位移参数。
连续小波变换
• 小波变换是对Fourier变换、Gabor变换的进 一步伸延。
• 连续小波变换 设 f L2 (R) ，称
(W
f
)(a,
b)
:|
a
|
1 2

f
(t) (t
b )dt a
积分小波变换，也称为连续小波变换。
W
(
f
)(a, b)


f
,
a,b

1
2

fˆ ,ˆa,b

1

1
| a |2
fˆ ()ˆ (a) eibd
2
F 1
• S是信号；scales是正的实尺度；wname小波名， 计算向量一维小波系数； plot画图； plotmode是 图形着色，它的有效值是：’lvl’—scale-byscale着色模式, ‘glb’ —所有尺度的着色模式, ‘abslvl or lvlabs’ —使用系数绝对值的scale-
by-scale着色模式, ‘absglb or glbabs’ —使用
)
(e
i 2
i
i
2e 2 )

i
exp(
i
2
)
sin
2(


4
)
4
HAAR小波及它的FOURIER变换
SHANNON小波
• Shannon函数s(t) 是由
下述它的Fourier变换
定义的函数 sˆ() (
,2
)
(|

|)

1 0
, | | 2 , 其它
连续小波变换也可写为内积形式
(W f )(a,b) f , a,b
连续小波变换的MATLAB命令
• Cwt函数-----一维连续小波变换函数
• 语法格式： Coefs=cwt(S,scales,’wname’,‘plot’)
• Coefs=cwt(S,scales,’wname’,plotmode, xlim)
小波与小波分析初步
小波 小波变换 小波级数
自动化系---吴
小波分析简史
• 小波分析是自1986年以来由于Y.Meyer， S.Mallat 及I.Daubechies等的奠基工作而迅 速发展起来的一门新兴科学。它是Fourier 变换划时代发展的结果。应用十分广泛。
• 它的发展历史可以追朔到1909年Haar的工 作。
MEXIC帽小波及它的FOURIER 变换
Haar小波，高斯概率密度函数的一
2012-2-23
阶导数生成的小波，墨西哥帽小波
Wavelets analysis
小波族(WAVELETS)
引入小波函数ψ(t) 的平移与伸缩构成函数族

a,b
(t)
|
a
|
1 2

(
t
b a
),
a,b

R,
a
• 取Fourier逆变换得到
s(t)

1
t
(sin
2 t

sin t)

2
t
sin
t
2
cos
3 t
2
• s(t) 满足小波的定义。
s(t)dt 0
sˆ(0) 0
SHANNON小波及它的 FOURIER变换
GAUSS小波与MEXIC帽小波
• Gauss小波是Gauss函数的一阶导数
(t) Cte t2
ˆ (0)
ˆ
()

1
2


iCe
2 4

(t) 0

• Mexic帽小波是Gauss函数的二阶导数

(t
)

(1

t
2
)
exp(
1 2
t
2
)
ˆ ()
2

2
exp(
1 2

2
)

ˆ (0) (t) 0
• 从现代小波分析的观点看，1930年前后有 许多与小波的新方向出现。但是此后的进 展一直不大。
• 1960年Caldero’n及20年后1980年 Grossmann与Morlet的研究的”原子分解” 是小波分析的新开端。
什么是小波
• 小波 对于函数 (t) L2(R)，称ψ(t )是小波，
• Haar小波 Haar小波函数定义为
1 ，
h(t )



1
，
0

t

1 2
1 2

t
1
• h(t) 的Fourier变换
0 ， 其它

12
1
hˆ() exp(it)h(t)dt exp(it)dt exp(it)dt

0
12

exp(
i
2
系数绝对值并考虑所有尺度的着色模式。
• Xlim＝[x1 x2]并且1<=x1 <= x2 <=length(S)。
• %设置有效支撑和网格参数，就是自变量的取值范围和在这个范围内的取值 点的个数
• lb=-5; • ub=5; • n=1000; • % 计算并画出Mexican hat小波 • [psi,x]=mexihat(lb,ub,n); • figure(1); • subplot(311); • plot(x,psi,'r','LineWidth',2); • legend('Mexican hat') • title('连续小波变换');
• % 装载实际信号 • load vonkoch • vonkoch=vonkoch(1:510); • lv=length(vonkoch); • subplot(312); • plot(vonkoch,'LineWidth',2); • legend('被分析信号');
• subplot(313); • % 执行连续小波 Mexican hat变换， • ccfs=cwt(vonkoch,1:32,'mexh','abslvl',[200 400]);
如果

(t)dt 0
或
ˆ (0)＝0

• 小波(函数)特点 在整个实轴上可得，所以
在无穷远处为零。图像是振荡的，即图像
与x 轴所夹的上半平面中的面积和下半平面
的面积是相等的。
• 小波英文中为Wavelet或Wavelets。
• 研究的信号都是能量有限的，所以 f L2 (R)
HAAR 小波