函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)

函数的对称性与周期性

【知识梳理】

1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；

2. 周期函数的其它形式

()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()

1

f x a f x +=

⇒ ； ()()1

f x a f x +=-

⇒ ；)

(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)

(1)

(1)(x f x f a x f -+=

+⇔

)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1

)(1

)(+-

=+x f a x f ⇔ ，

3. 函数图像的对称性

1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性

1）函数()()0ax b

f x c cx d

+=≠+的图像关于点 对称；

2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】

题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()23

31

x f x x +=

-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；

4. 函数()3sin 23f x x π⎛

⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；

题型二 平移变换后，函数图像的对称性

1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )

2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；

3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式

1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()21

2f x x x

=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()21

2f x x x

=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()21

2f x x x

=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用

1.若函数()()2,22

x x a b

f x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；

2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；

3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；

4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求

[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；

5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()

121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；

题型五 综合应用

1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。

2．已知定义在2ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

，上的函数y f x =（）的图象关于直线4x π=对称，当时4x π≥，函数sin f x x =（）。

（1）求24f f ππ⎛⎫⎛⎫

-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，的值；（2）求y f x =（）的函数表达式；（3）如果关于x 的方程f x a =（）有解，那么将方

程在a 取某一确定值时所求得所有解的和记为a M ，求a M 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围。 3．已知函数x

f x x R ∈（）（1）求证：函数f x （）的图像关于点1122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； （2）计算：99

1

100i i f =⎛⎫

⎪

⎝⎭∑的值。

函数的对称性与周期性课后练习

1.定义在R 上的函数()()(4),2,()f x f x f x x f x -=-+>满足当时单调递增，如果1212124,(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值

A ．恒小于0

B ．恒大于0

C ．可能为0

D ．可正可负

2.已知函数()y f x =满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1,)+∞上为增函数． 若12120,0,2,x x x x <>+<-且则