函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)
高三数学周期性和对称性试题答案及解析
高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设是定义在R上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为．【答案】【解析】∵是定义在R上且周期为2的函数，即，∴，即①．又∵，，∴②．联立①②，解得，．∴．2.已知函数，记，，，，则()A．lg109B．2C．1D．10【答案】D【解析】∵，∴，∴，，，，故选D.【考点】1分段函数；2函数的周期性。
3.函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】因为对任意的都有，所以函数的周期为2. 由在区间上函数恰有四个不同的零点，即函数在上有四个不同的零点.即函数与函数在有四个不同的交点.所以.解得.故选D.【考点】1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.4.定义在上的函数满足，则 .【答案】.【解析】当时，，则当时，，故函数在上是周期为的周期函数，所以.【考点】1.分段函数；2.函数的周期性5.定义在上的函数满足则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，故选D.【考点】1.函数的周期性；2.分段函数；3.对数的运算6.设是周期为2的奇函数，当时，=，=______.【答案】．【解析】由题意.【考点】函数的性质及解析式.7.定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A．338B．337C．1678D．2013【答案】B【解析】因为，定义在上的函数满足，所以，，是周期为6的周期函数.又当时,,当时,.所以，，故=，选B.【考点】函数的周期性，函数的概念.8.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( )A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】由知，函数是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出和的图像，有图可知零点个数为4个.【考点】1、周期函数；2、函数的图像；3、函数的零点.9.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】因为，可得，所以是周期为2的函数，又因为是偶函数，且时，，所以当时，.综上时，. 由于函数有4个零点，故与直线有四个交点.如下图：恒过点，要使它们有四个交点，则直线必过，把代入，得，数形结合可得实数的取值范围是.【考点】1.函数的周期性；2.函数的零点.10.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=．【答案】【解析】由知，为函数的对称轴，所以，因为α∈(0,π)，所以，得或.【考点】函数对称性、正弦函数性质.11.给出下列五个命题：①函数在区间上存在零点；②若，则函数在处取得极值；③“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；④函数的图像与函数的图像关于轴对称；⑤满足条件AC=，AB =1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的是 .【答案】①③④【解析】①,,则在处取得极值.故正确;②如函数，，而在R上无极值.故错误；③当时，即为奇函数；由在定义域上是奇函数有，则 . 故正确.④设函数的图像上一点，则关于轴的对称点为，此点在图像上,故正确；⑤，而，故 .则这样的三角形只有1个，故错误.【考点】1.函数的零点；2.函数的极值；3.奇函数的判定；4.解三角形解的个数；5.命题的真假.12.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.13.若对任意的，函数满足，且，则（）A．0B．1C．-2013D．2013【答案】D【解析】由，且，令，可知令，可知依次类推，可得【考点】本小题主要考查抽象函数及其应用.点评：解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”，而且此类问题一般和函数的周期性结合考查.14.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为．【答案】-10.【解析】是定义在R上且周期为2的函数，,,又，...（1）又f(-1)=f(1), (2)由(1)(2)解得a=2,b=-4..15.设偶函数对任意，都有，且当时，,则= A．10B．C．D．【解析】解：因为f（x+3）="-1" /f(x) ，故有f（x+6）="-1" /f(x+3) ="-1/(" -1 /f(x)) =f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）="-1" /f(2.5) ="-1" /f(-2.5) ="-1/" 4×(-2.5) ="1" /10 ．故选B16.若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和且，则的值是A．2009B．2010C．2011D．2012【答案】D【解析】因为，所以又，所以则；故有；所以故选D17.函数与的图象关于（▲ ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称【答案】C【解析】本题考查函数图像的对称性.函数的图像关于y轴对称；函数的图像关于x轴对称；函数的图像关于原点轴对称；设是函数图像上任意一点，即则点关于原点的对称点为于是，即的坐标满足函数的解析式，所以点是函数的图像上的点；因此函数与的图象关于原点对称.故选C18.已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（其中走为不等于l的实数）有四个不同的实根，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】略19.将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（－6，8）重合，则与点（－4，2）重合的点是（）A．（4，－2）B．（4，－3）C．（3，）D．（3，－1）【答案】A【解析】略20.设是定义在上的以为周期的奇函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】根据周期为3，得到f（-2）=f（1），根据函数为奇函数，得到f（-2）=-f（2），从而求出a的取值范围．解：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f（-2）=f（-2+3）=f（1）＞1而f（-2）=-f（2）=＞1解得-1＜a＜故选C．21.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－ w_w_w.k*s 5*u.c o*m于是－＝1 Þ m＝－2答案：A22.若函数的图像关于直线对称，则为A．B．C．D．任意实数【答案】B【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。
高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解
高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（ ）A ．12B ．0C ．12−D ．1−【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x −+=+， 用1122x +代替x 得：()()13f x f x −+=+， 因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x −+=−+， 故()()31f x f x +=−+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=−+②， 由①② 得：()()51f x f x +=+， 所以函数()f x 的周期4T =， 所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x −+=−+，令0x =得：()()11f f =−，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =−，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =−+， 因为()()11f x f x −+=−+， 令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中1111222f ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x −+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫−⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()()11f x f x −+=−+， 令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例2、（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x −为偶函数，()()20f x f x −+−=，当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=．则()131k f k ==∑（ ）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x −是偶函数，所以()2(2)f x f x −−=−，所以()(4)f x f x =−−， 所以函数()f x 关于直线2x =−对称，又因为()()20f x f x −+−=，所以()()2f x f x −−=−， 所以()(2)f x f x =−−−，所以()f x 关于点(1,0)−中心对称， 由()(4)f x f x =−−及()(2)f x f x =−−−得(4)(2)f x f x −−=−−− 所以(4)(2)()f x f x f x −−=−−−=− 所以函数()f x 的周期为4， 因为当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=，所以21424a a −=+−，解得：2a =或4a =−，因为0a >且1a ≠，所以2a =． 所以当[]2,1x ∈−−时，()1()242xf x x =−−，所以(2)4,(1)0f f −=−=，(3)(1)0f f −=−=，(0)(2)4f f =−−=−， (1)(14)(3)0f f f =−=−=，(2)(2)4f f =−=，(3)(1)0f f =−=， (4)(0)4f f ==−，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例3、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（ ）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+， 所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点； ②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =． 当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点； 由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）． 故选：B ．例4、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点， 则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点， 则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈． 故选：D ．例5、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8， 因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B例6、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（ ）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+， 所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =． 当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点； 由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）． 故选：B ．例7、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得， 所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点， 则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点， 则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈． 故选：D ．例8、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8， 因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B。
高三数学周期性和对称性试题
高三数学周期性和对称性试题1.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2015)＝()A．B．C．13D．【答案】B【解析】由f(x)f(x＋2)＝13，得f(x＋2)f(x＋4)＝13，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，故f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝＝，故选B.2.函数图像的对称中心是．【答案】【解析】因为，而函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是【考点】奇函数性质，图像变换3.设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【答案】C【解析】由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C4.已知函数，记，，，，则()A．lg109B．2C．1D．10【答案】D【解析】∵，∴，∴，，，，故选D.【考点】1分段函数；2函数的周期性。
5.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数．6. x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D【解析】因为f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x).所以f(x)是周期函数,故选D.7.设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点【答案】D【解析】因为是函数的极大值点，并不是函数的最大值点所以A选项不正确.B选项中函数的图像表示与函数的图像是关于y轴对称.所以是函数的的极大值点.所以B选项不正确.C选项中函数图像与函数的图像关于x轴对称.所以是函数的的极小值点.所以C选项不正确.因为图像是关于中心对称.所以D选项正确.故填D.【考点】1.函数图像的对成性.2.学会看函数的表达式来了解函数的性质.8.设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）求实数满足的关系式；（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；（3）当时，在上解不等式．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）两个函数的图象关于某条直线对称，一般都是设是一个函数图象上的任一点，求出这个点关于直线对称的点，而点就在第二个函数的图象上，这样就把两个函数建立了联系；（2）函数有且只有一个零点，一般是求，通过讨论函数的单调性，最值，从而讨论零点的个数，当然本题中由于与的图象关于直线对称，因此的唯一零点也就是它们的的唯一交点必在直线上，这个交点是函数图象与直线的切点，这样我们可从切线方面来解决问题；（3）考虑，当然要解不等式，还需求，讨论的单调性，极值，从而确定不等式的解集．试题解析：（1）设是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，，.（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.设切点为，，，，,当时，函数有且只有一个零点；（3）当时，设，则，当时，，，当时，，．在上是减函数.又＝0，不等式解集是．【考点】（1）两个函数图象的对称问题；（2）函数的零点与切线问题；（3）解函数不等式．9.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。
函数的对称性与周期性(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第2讲函数的对称性与周期性【考点分析】1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论考点一：函数常见对称性结论①若函数()x f 对于任意的x 均满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．②若函数()x f 对于任意的x 均满足()()2f a x f a x b ++-=则()y f x =关于点()a b ，对称．考点二：函数常见周期性结论若函数对于任意的x 都满足()()x f T x f =+，则T 为()x f 的一个周期，且()()x f nT x f =±几个常见周期性结论①若函数()y f x =满足()()f x m f x +=-，则2T m =．②若函数()y f x =满足)((1)f x m f x =±＋，则2T m =．③若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x -+=+，则2T m =．④若函数()y f x =满足()()b x f a x f +=+，则a b T -=．⑤若函数()y f x =的图象关于直线x a =，x b =都对称，则()f x 为周期函数且2||b a -是它的一个周期．⑥函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点0()A a y ，、0()B b y ，都对称，则函数()y f x =是以2||b a -为周⑦函数()y f x =()x R ∈的图象关于0()A a y ，和直线x b =都对称，则函数()y f x =是以4||b a -为周期的周期函数．⑧若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x ++=-，则函数()f x 是以4m 为周期的周期函数．【题型目录】题型一：利用周期性求函数值题型二：利用周期性求函数解析式题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】设()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当(11]x ∈-，时，2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，，其中m R ∈．若13(()162f f =，则m 的值是．答案：1解析： ()x f 是定义在R 上周期为2的函数，当(11]x ∈-，时，2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，，∴m m f f +-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛432122121232，41161161==⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴14341=⇒+-=m m 【例2】设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________答案：5.0-解析： (2)()f x f x +=-，∴()x f 是周期为4的函数，所以()()()5.05.05.05.7-=-=-=f f f 【例3】定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于A.14B.12C.13D.35答案：D解析： ()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f =+-++--=+++-=+11111121214，所以()x f 是周期为4的函数，()()()()53212142016=+-==f f f f 【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=,且()11f =,则()()20202019f f -的值为()A.1-B.0C.1D.2答案：C解析： ()()4f x f x +=所以4=T ，所以()()002020==f f ，()()()1112019-=-=-=f f f ，所以()()()20202010119f f =--=-【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，且周期为2，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则132f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．1B ．1C 1D ．1【题型专练】1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【详解】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B2.（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(6)()f x f x +=-，若当[]3,0x ∈-时，()6x f x -=，则(2021)f =（）A ．0B ．1C ．6D ．216【答案】C【分析】由(6)()f x f x +=-可得函数周期为6，进而(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-，最后求出答案.【详解】根据题意，偶函数()f x 满足(6)()f x f x +=-，即(6)()f x f x +=，()f x 是周期为6的周期函数，则(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-，当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则1(1)66f -==，故(2021)6f =故选：C3.（重庆南开高一上期末）函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f ≠.若对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则()2020f =（）A.B.-1C.0D.1答案：D解析：由题意知，令0==y x ，可得()()02022f f =，因()00f ≠，所以()10=f 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以()()0212121=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x f x x f x f x f ，所以()()x f x f -=+1，所以2=T ，所以()()102020==f f 4．（2022·云南红河·高一期末）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，R x ∀∈，都有(4)()f x f x +=，若当[0,1]x ∈时，2()log ()f x x a =+，则(7)f -=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】()f x 是定义在R 上的奇函数得a ，有(4)=()f x f x +得到()f x 是周期函数，利用函数周期性可得答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)=0f ∴，得=1a ，∴当[]0,1x ∈时，2()log (1)=+f x x ，R x ∀∈，都有(4)=()f x f x +，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()7=7811f f f ∴--+==.故选：C.5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，又当(]0,1x ∈时，()3xf x =，则131log 72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．题型二：利用周期性求函数解析式【例1】已知定义在实数集R 上的函数()x f 满足：（1）()()x f x f =-；（2）()()x f x f -=+22；（3）当[]2,0∈x 时解析式为12-=x y ，当[]0,4-∈x 时，求函数的解析式。
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题(含答案)
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题（含答案）一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x −=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x −=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=−，或得到()()31f x f x −=−+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=−+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=−+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=−+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x −=−+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x −=−+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)
【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ， 因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ， 因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称， 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ， 所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ， 又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ， 由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
高中数学《函数的周期性与对称性》针对练习及答案
第二章 函数2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）针对练习针对练习一 周期性与对称性的判断1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =C ．ln y x =D ．3y x =2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值3．函数221()f x x x =+的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称4．函数5x y =与5-=x y 的图象（ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称针对练习二 由函数周期性求函数值6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则(2019)f 等于（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．987．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．-1C ．0D ．28．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6-9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+，则(2022)f =（ ） A ．5 B ．12C ．2D ．－210．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当(]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（ ）.A ．403B ．405C ．806D ．809针对练习三 由函数对称性求函数值11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．12- B ．13-C ．14-D ．15-12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =A ．3B ．3-C ．7D ．7-13．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1,1)x 时，()2x f x =，则(2021)(2022)+=f f （ ）A ．1B ．4C ．8D ．1014．函数()y f x =为偶函数，且图象关于直线32x =对称，()54f =，则()1f -=（ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-15．已知函数()2f x x ax =+对定义域内任意的x 都有()()22f x f x -=+，则实数a 等于（ ） A ．4 B ．-4C ．14D ．14-针对练习四 由周期性与对称性求函数解析式16．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为 A ．()21x f x =+ B ．4()21x f x -+=-- C ．4()21x f x -+=+ D ．()21x f x -=+17．函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝x +1，则在x ∈（1，2）时f （x ）＝（ ） A ．﹣x ﹣3 B ．3﹣x C ．1﹣x D ．x +118．设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈；满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A ．4x + B ．2x - C ．21x ++ D ．31x -+19．函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（ ） A ．2x B ．2x - C ．2log ()x - D ．21log x20．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（ ） A ．()ln 2x + B ．()ln 2x -C ．()ln 4x -D ．()ln 4x +针对练习五 由周期性与对称性比较大小21．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（ ）A ．313(1)()()23f f f << B ．313()(1)()23f f f << C ．133()(1)()32f f f << D ．133()()(1)32f f f <<22．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >；②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； ②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+，则13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，83f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．813332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．138323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．381233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23．定义在R 上的函数()f x 满足：()()111f x f x -=-+成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：②任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；②()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>针对练习六 由抽象函数周期性与对称性求函数值26．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且满足()()2f x f x +=-,()01f =,则()()()()1232018f f f f ++++= ( )A ．1-B ．0C ．1D ．201827．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且对任意x ∈R 有()1f x +是偶函数,且()11f -=,则()()20202021f f +=. A ．1- B ．0 C ．1 D ．228．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且函数()f x 与直线y x =有一个交点()()1,1f ，则()()()()()12320182019f f f f f +++++=（ ）A ．2-B ．0C ．1-D ．129．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f = A ．132B ．134C ．2D ．430．已知函数()f x 对任意的R x ∈都有()()()21f x f x f +-=.若函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，且()08f =，则()()99100f f +=（ ）A ．0B ．4C ．5D ．8第二章 函数2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）针对练习针对练习一 周期性与对称性的判断1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =C ．ln y x =D ．3y x =【答案】A 【解析】 【详解】根据函数的奇偶性定义可知函数3sin ,y x y x ==为奇函数，sin y x =为周期函数，选A.2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质直接进行分析即可. 【详解】因为()3lg x f x x =+的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，排除A 和B ； 又因为3,lg x y y x ==在()0,∞+上单调递增， 所以()f x 易知不是周期函数，排除C ，()f x 在()0,∞+上单调递增没有最大值，故D 正确，故选：D. 3．函数221()f x x x =+的图像关于（ ） A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【答案】A 【解析】 【分析】函数221()f x x x =+，观察知该函数是一个偶函数，解答本题要先证明其是偶函数再由偶函数的性质得出其对称轴是y 轴. 【详解】函数的定义域为R ， ()()()()222211f x x x f x x x -=-+=+=-， ()221f x x x ∴=+是一个偶函数， 由偶函数的性质知函数221()f x x x=+的图像关于y 轴对称. 故选：A . 【点睛】本题考点是奇偶函数图象的对称性，考查了偶函数的证明以及偶函数的性质，属于一道基本题.4．函数5x y =与5-=x y 的图象（ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称【答案】A 【解析】 【分析】设()5x f x =，得()5xf x --=，根据函数()y f x =与函数()y f x =-之间的对称性可得出正确选项. 【详解】设()5x f x =，得()5x f x --=，由于函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于y 轴对称，因此，函数5x y =与5-=x y 的图象关于y 轴对称. 故选A. 【点睛】本题考查函数图象之间对称性的判断，熟悉两函数关于坐标轴、原点对称的两个函数解析式之间的关系是关键，考查推理能力，属于基础题. 5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【答案】C 【解析】 【分析】作出函数cos y x =与函数cos y x =-的简图，即可得到答案． 【详解】根据余弦函数的图像，作出函数cos y x =与函数cos y x =-的简图如下：由图可得函数cos y x =与函数cos y x =-的图象关于x 轴对称， 故答案选C 【点睛】本题考查余弦函数的图像问题，属于基础题．针对练习二 由函数周期性求函数值6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则(2019)f 等于（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件判断出()f x 的周期，由此求得()2019f 的值. 【详解】由于(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()22019505411212f f f =⨯-=-=⨯-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的周期性化简求值，属于基础题.7．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【详解】函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数, (2)(2)(2)(2)0f f f f ∴-==-⇒=,又122711()()()log 1222f f f =-=-=-=,所以()7212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选A. 8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6-【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期为3，结合函数为奇函数可得1(2021)(2022)(2023)2()2f f f f -+--=即可求解.【详解】因为3()()2f x f x -=-，所以(3)()f x f x -=，因此函数的周期为3，所以(2021)(2022)(2023)f f f -+--(2)(0)(1)f f f =-+--， 又函数()f x 是R 上的奇函数，所以(3)()()f x f x f x -==--， 所以(1)(2)f f -=--，即(2)(1)f f =-，所以原式1(2)(0)(1)(2)(1)2(1)2()2f f f f f f f =-++=-+==，又当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，可得1()22f =-，因此原式1242f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+，则(2022)f =（ ） A ．5 B ．12C ．2D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，先确定函数以4为周期，利用函数周期性，再由给定区间的解析式，即可求出结果. 【详解】由()()2=-+f x f x 可得()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 以4为周期，又当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+， 所以()()222450522log 25(2022)f f f =+⨯==+=.故选：A.10．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当(]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（ ）.A ．403B ．405C ．806D ．809【答案】B 【解析】 【分析】由函数的周期性计算． 【详解】由()()5f x f x +=得()f x 是周期函数，周期是5，2(1)log 10f ==，2log (2)21f ==，(3)(2)(2)11f f =-=---=，(4)(1)0f f =-=，(5)011f =--=-，所以(1)(2)(3)(4)(5)1f f f f f ++++=，()()()1220224041(1)(2)405f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=．故选：B ．针对练习三 由函数对称性求函数值11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．12- B ．13-C ．14-D ．15-【答案】C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的奇偶性和对称性可分别求得()3f 和32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，相加即可求得结果. 【详解】由于函数()y f x =为R 上的奇函数，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-， 则()()()()()()()()31322121100f f f f f f f f =-=-=-=--=--===，2333111112222224f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，()31324f f ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =A ．3B ．3-C ．7D ．7-【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到答案； 【详解】由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.故选：D. 【点睛】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.13．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1,1)x 时，()2x f x =，则(2021)(2022)+=f f （ ）A ．1B ．4C ．8D ．10【答案】A 【解析】根据函数的奇偶性，对称性判断函数的周期并求解. 【详解】因为(1)f x +是定义在R 上的奇函数，所以()y f x =图象的对称中心为(1,0)，且(1)0f =． 因为(4)(2)f x f x +=-，所以()y f x =图象的对称轴方程为3x =， 故()f x 的周期8T =，(2021)(5)==f f (1)0f =，(2022)(6)(0)1===f f f ，从而(2021)(2022)1+=f f ， 故选：A ．14．函数()y f x =为偶函数，且图象关于直线32x =对称，()54f =，则()1f -=（ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的对称性和偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数()y f x =的图象关于直线32x =对称，所以()(2)54f f -==， 又因为函数()y f x =为偶函数，所以()2(2)4f f -==，()1(1)f f -=， 而函数()y f x =的图象关于直线32x =对称，所以()1(1)(2)4f f f -===.故选：B15．已知函数()2f x x ax =+对定义域内任意的x 都有()()22f x f x -=+，则实数a 等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】B 【解析】 【分析】根据()()22f x f x -=+得到()f x 关于2x =对称，利用对称轴公式得到答案. 【详解】()()22f x f x -=+则()f x 关于2x =对称，故242aa -=∴=-故选：B 【点睛】本题考查了函数的对称问题，根据()()22f x f x -=+确定函数的对称轴是解题的关键.针对练习四 由周期性与对称性求函数解析式16．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为 A ．()21x f x =+ B ．4()21x f x -+=-- C ．4()21x f x -+=+ D ．()21x f x -=+【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=，可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围[)2,0-转化到(]4,6上，则f (x )在区间[)2,0-上的表达式可求． 【详解】当[2,0)x ∈-时，(]0,2x -∈，(]44,6x ∴-+∈又②当(]4,6x ∈时，()21x f x =+，4(4)21x f x -+∴-+=+又(4)()f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4T =，(4)()f x f x ∴-+=-又②函数()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-∴4()21x f x -+-=+，∴当[)2,0x ∈-时，4()21x f x -+=--．故选：B ． 【点睛】本题综合考查函数的周期性､奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内．17．函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝x +1，则在x ∈（1，2）时f （x ）＝（ ） A ．﹣x ﹣3 B ．3﹣xC ．1﹣xD ．x +1【答案】B 【解析】 【分析】先设x ∈（1，2），根据周期性和奇偶性将x 转化到（0，1），代入函数解析式，然后根据性质化简求出解析式即可． 【详解】设x ∈（1，2），则﹣x ∈（﹣2，﹣1），2﹣x ∈（0，1）， ∴f （2﹣x ）＝2﹣x +1＝3﹣x ，函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数， ∴f （x +2）＝f （x ），f （﹣x ）＝f （x ）， 则f （2﹣x ）＝f （﹣x ）＝f （x ）＝3﹣x . 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等有关性质，同时考查了函数解析式的求解方法，属于基础题．18．设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈；满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A ．4x + B ．2x - C ．21x ++ D ．31x -+【答案】D 【解析】 【详解】试题分析:由3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得 (2)()f x f x +=，则当[2,1]x ∈--时，4[2,3],()(4)413x f x f x x x +∈=+=+=++；当 [1,0]x ∈-时，[0,1]x -∈， 2[2,3]x -∈，()()(2)231f x f x f x x x =-=-=-=--，应选D.考点：分段函数的解析式及分类整合思想.【易错点晴】函数的周期性、奇偶性及分类整合思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的已知条件3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭入手，探究出其周期为 2，再分类求出当[]2,0x ∈-时，和当[1,0]x ∈-时函数的解析表达式分别为4[2,3],()(4)x f x f x +∈=+413x x =+=++和 [0,1],2[2,3]x -∈-，()()(2)231f x f x f x x x =-=-=-=--，从而使得问题巧妙获解．19．函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（ ） A ．2x B ．2x - C ．2log ()x - D ．21log x【答案】D 【解析】任取函数()f x 上的一点(),x y ，先求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -，又点(),x y -在曲线2log y x =上，整理即可得出结果.【详解】任取函数()f x 上的一点(),x y ，由函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称， 则点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -， 又点(),x y -在曲线2log y x =上， 可得222log log log 1y y xx x -=⇒=-=， 则()21log f x x=. 故选：D. 【点睛】关键点睛：求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标是解题的关键.20．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（ ） A ．()ln 2x + B ．()ln 2x -C ．()ln 4x -D ．()ln 4x +【答案】C 【解析】 【分析】在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ，由对称性的知识可知，点(),x y 关于直线2x =的对称点在函数ln y x =的图象上，然后计算即可得解. 【详解】在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ， 则点(),x y 关于直线2x =对称的点为()4,x y -，且点()4,x y -在函数ln y x =的图象上，所以()ln 4y x =-. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.针对练习五 由周期性与对称性比较大小21．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（ ）A ．313(1)()()23f f f <<B ．313()(1)()23f f f <<C ．133()(1)()32f f f << D ．133()()(1)32f f f <<【答案】D 【解析】 【分析】由f （x+2）=﹣f （x ），得f （x+4）=f （x ），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小． 【详解】②f （x+2）=﹣f （x ），函数f （x ）是奇函数， ②f （x+2）=﹣f （x ）=f （﹣x ）， ②函数f （x ）关于x=1对称， 且f （x+4）=f （x ），②函数是周期为4的周期数列． ②f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，②f （x ）在[﹣1，1]上是增函数，f （x ）在[1，2]上是减函数， f （133）=f （4+13）=f （13）=f （53），②f （x ）在[1，2]上是减函数，且1＜32＜53， ②f （1）＞f （32）＞f （53）， 即f （133）＜f （32）＜f （1），故选D ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题． 22．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件： ②对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >； ②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； ②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+ 则13f ⎛⎫⎪⎝⎭，32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，83f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．813332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．138323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．381233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据②可得()y f x =在()1,2上单调递减，根据②可得()y f x =的图象关于1x =对称，根据②可得()y f x =周期为2，根据单调性、周期性、对称性即可比较大小. 【详解】因为②对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >； 可得()y f x =在()1,2上单调递减， 因为②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； 可得()y f x =的图象关于1x =对称， 因为②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+， 所以()y f x =周期为2，因为()y f x =的图象关于1x =对称，所以1533f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()y f x =周期为2，所以824333f f f ⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()y f x =在()1,2上单调递减，435323<<， 所以435323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：A.23．定义在R 上的函数()f x 满足：()()111f x f x -=-+成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】由()()111f x f x -=-+，可得函数()f x 周期4T =，将自变量的值利用周期转化到[]2,0-，结合单调性，即得解 【详解】由题意，()()111f x f x -=-+，则()()113f x f x +=-+ ()1(3)f x f x ∴-=+()(4)f x f x ∴=+，可得函数()f x 周期4T =()6(2)a f f ∴==-，(()4b f f ==，()4(0)c f f ==由于()f x 在[]2,0-上单调递增(2)4)(0)f f f ∴-<<即a b c ∴<< 故选：D 【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：②任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；②()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】由条件②确实单调性，条件②确定周期性，条件②确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间[4,8]上，再由单调性得大小关系、 【详解】因为任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[4,8]上是增函数，因为()()4f x f x +=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，周期是8； 由()4y f x =+是偶函数，得()f x 的图象关于直线4x =对称，(11)(3)f f =(5)f =，(2025)(1)(7)f f f ==，又(5)(6)(7)f f f <<，所以b a c <<． 故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>【答案】B 【解析】根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小．【详解】解：②函数()f x 满足：(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称； (2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =， 而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．针对练习六 由抽象函数周期性与对称性求函数值26．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且满足()()2f x f x +=-,()01f =,则()()()()1232018f f f f ++++= ( )A ．1-B ．0C ．1D ．2018【答案】A【解析】【分析】 首先求得函数()f x 为周期函数,周期为4,故()()()()()()()()()()1232018504123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦,分别求得()()()()1,2,3,4f f f f ,问题得解．【详解】解：因为()()2f x f x +=-,()()()()()222,42,f x f x f x f x f x ++=-++=-+=则 所以函数()f x 为周期函数,且周期为4,所以()()()()1232018f f f f ++++()()()()()()504123412f f f f f f ⎡⎤=+++++⎣⎦．因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且()01f =,所以()()401f f ==,当1x =-时,()()()111f f f =--=-,所以()10f =,当0x =时,()()201f f =-=-,当1x =时,()()310f f =-=,所以()()()()12340f f f f +++=,所以()()()()1232018f f f f ++++()()()()()()504123412f f f f f f ⎡⎤=+++++⎣⎦1=-． 故选A ．【点睛】本题考查函数的周期性以及奇偶性,比较基础．27．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且对任意x ∈R 有()1f x +是偶函数,且()11f -=,则()()20202021f f +=.A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得()()()2f x f x f x +=-=-，进而可得()()()42f x f x f x +=-+=，即可得()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()()20202021f f +的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()1f x +是偶函数，则()()11f x f x -+=+，变形可得()()2f x f x +=-.又由()f x 是R 上的奇函数，则()()()2f x f x f x +=-=-，变形可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4得周期函数.因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，则()()()20200505400f f f =+⨯=；()()()()202115054111f f f f =+⨯==--=-.故()()202020211f f +=-.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题． 28．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且函数()f x 与直线y x =有一个交点()()1,1f ，则()()()()()12320182019f f f f f +++++=（ ） A ．2-B ．0C ．1-D ．1【答案】B【解析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，并求出()()()()1234f f f f +++以及()2020f 值，结合周期性可求得所求代数式的值.【详解】因为函数()y f x =为奇函数，()1f x -为偶函数，所以()()()111f x f x f x -+=--=-，则()()()311f x f x f x +=-+=-，所以函数()y f x =是周期为4的周期函数.因为奇函数()y f x =的定义域为R ，所以()00f =.因为函数()y f x =与直线y x =有一个交点()()1,1f ，所以()11f =.所以()()200f f =-=，()()311f f =-=-，()()400f f ==.所以()()()()()410120130f f f f =++++++-=.故()()()()()12320182019f f f f f +++++=()()()()()()()()123201820192020202002020000f f f f f f f f ++++++-=-=-=. 故选：B.【点睛】本题考查抽象函数值的计算，涉及函数对称性的应用，推导出函数的周期性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.29．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f = A ．132 B ．134 C ．2 D ．4【答案】A【解析】先由题意推出函数()f x 为周期函数且周期为4，则有()(99)3f f =，然后由()(2)13f x f x ⋅+=和(1)2f =解得13(3)2f =，即可得出答案. 【详解】由题意定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，则有(2)(4)13f x f x +⋅+=，联立解得()(4)f x f x =+，则得函数()f x 为周期函数且周期为4，则有()()(99)42433f f f =⨯+=；又因(1)2f =，则由(1)(3)13f f ⋅=解得13(3)2f =，所以可得13(99)2f =. 故选：A.【点睛】本题考查了函数周期性的判断与求解，考查了函数周期性的应用，属于一般难度的题.30．已知函数()f x 对任意的R x ∈都有()()()21f x f x f +-=.若函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，且()08f =，则()()99100f f +=（ ）A ．0B ．4C ．5D ．8 【答案】D【解析】【分析】由函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，可得()f x 为偶函数，再对()()()21f x f x f +-=赋值1x =-可得()10f =，从而可得()()+2f x f x =，即()f x 的最小正周期为2，从而可得()()()()9910010f f f f +=+.【详解】因为()+2=y f x 的图象关于直线2x =-对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，即()f x 为偶函数.因为()()()+21-=f x f x f ，所以()()()1211f f f -+--=，又()()11f f -=，所以()10f =，可得()()+2f x f x =，所以()f x 的最小正周期为2，所以(99)(1)0f f ==，(100)(0)8f f ==，所以(99)(100)8f f +=.故选：D.【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题.。
函数的对称性、奇偶性与周期性习题
函数的对称性、奇偶性与周期性习题一．求函数值：1.函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若,5)1(-=f 则____))5((=f f2.设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+x f x f ，若2)1(=f ，则=)99(f （ ）A.13 B .2 C.213 D.132 3.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则___)6(=f4.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（ ） A.0 B.12 C.1 D.525、已知)(x f 是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=6、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为7.已知函数()f x 为奇函数，且)2()2(x f x f -=+，当02≤≤-x 时，x x f 2)(= 则____)3log 2(2=+f8.(2009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( C )A.-1B. 0C.1D. 29.在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，则100x =10. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （ ） A. 5.0 B. 5.0- C. 5.1 D. 5.1-二．比较函数值大小：1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( D ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<2. 已知定义为R 的函数()x f 满足()()4x f x f +-=-，且函数()x f 在区间()∞+,2上单调递增.如果21x 2x <<，且4x x 21<+，则()()21x f x f +的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负三．确定函数图象与x 轴交点的个数及与x 轴交点横坐标和的问题1.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有___个交点.2.定义在 R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若方程0)(=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能是( )A 0B 1C 3D 53.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上是增函数，若方程()0)(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根432,1,,x x x x ，则____432=+++x x x x4、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）A 、5B 、10C 、15D 、18三、求函数解析式1.设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f ，当11≤<-x 时，12)(-=x x f ，求当31≤<x 时，)(x f 的解析式_______2.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式________3.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，12)(+-=x x f ，则当[]6,4∈x 时求)(x f 的解析式________四．判断函数奇偶性、对称性及周期性1、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于______对称。
高三数学周期性和对称性试题
高三数学周期性和对称性试题1.已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】由题意可得，存在，使得成立，即．，，令，若：则问题等价于在上存在零点，易证，当时，，在上单调递增，∴只需，即，若：则问题等价于在上存在零点，易证，当时，，在上单调递增，∴只需当时，，易得当时，，∴符合题意，综上所述，实数的取值范围是．【考点】函数的性质与应用．2. .函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，而与关于原点对称，结合已知可得的反函数是，即，故选D．【考点】1.函数图象的对称性；2. 互为反函数的两个函数的图像性质．3.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝()A．10B．C．－10D．－【答案】B【解析】因为f(x＋3)＝－，故有f(x＋6)＝－＝f(x)．函数f(x)是以6为周期的函数．f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－＝－＝－＝.故选B.4.函数图像的对称中心是．【答案】【解析】因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是.【考点】奇函数性质，图像变换5.函数的最小正周期．【答案】【解析】，．【考点】函数的周期．6.函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.【答案】原点【解析】由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．7.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2 014)＋f(2 015)＝()A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3.8.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．【答案】－10【解析】因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝，又f＝f＝f ⇒＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.9.已知集合M={f(x)}，有下列命题①若f(x)=，则f(x)M；②若f(x)=2x，则f(x)M；③f(x)M，则y=f(x)的图像关于原点对称；④f(x)M，则对于任意实数x1,x2(x1x2)，总有﹤0成立；其中所有正确命题的序号是_______。
高三数学周期性和对称性试题答案及解析
高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝()A．10B．C．－10D．－【答案】B【解析】因为f(x＋3)＝－，故有f(x＋6)＝－＝f(x)．函数f(x)是以6为周期的函数．f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－＝－＝－＝.故选B.2.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数．3.定义在上的函数满足则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，故选D.【考点】1.函数的周期性；2.分段函数；3.对数的运算4.定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A．338B．337C．1678D．2013【答案】B【解析】因为，定义在上的函数满足，所以，，是周期为6的周期函数.又当时,,当时,.所以，，故=，选B.【考点】函数的周期性，函数的概念.5.已知函数，正项等比数列满足，则．【答案】【解析】对任意的，都有，又可以证明对任意，，所以，所以用倒序相加法可求出结果为.【考点】函数的对称性、对数的运算性质.6.已知定义在R上的函数满足条件，且，则 .【答案】【解析】由可知，，所以函数是周期为3的周期函数，.【考点】1.抽象函数及其应用；2.函数的周期性7.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由已知为上奇函数且周期为2，对于任意的实数，都有，.【考点】函数的性质.8.函数对于任意实数满足条件，若，则________.【答案】【解析】因为，所以，，则，所以，得周期Ｔ＝４，则＝＝＝＝.【考点】函数的周期性.9.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】,,所以＋＝.【考点】函数的周期性.10.设是以2为周期的函数，且当时， .【答案】-1【解析】∵是以2为周期的函数，且时，，则.【考点】函数求值11.已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数在区间上的图像与x轴的交点个数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】当0≤x＜2时，令=0，则x（x-1）（x+1）=0，解得x=0或1；又f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，∴f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0，故在区间[0，6]上，方程f（x）=0共有7个根，∴函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．故选B．【考点】本题考查了根的存在性及根的个数判断．点评：正确求出一个周期内的根的个数和理解周期性是解题的关键12.定义在上的函数满足且时，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为根据题意可以，函数是奇函数，且周期为4，那么根据时，则，选C.13.设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数f(x)=y是周期为5的奇函数，且f(2)>1,那么可知，因此可知f(3)="f(-2)=-f(2)=" <-1，解得a的范围是A14.（本小题满分12分已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (Ⅰ)求证：f(x)是周期函数.(Ⅱ)已知f(-4)=2，求f(2012).【答案】（1）证明∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x+2)=f∴f(x+3)=f……………5分f (x+6)=f∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期. …………………7分(2)解f(2 012)=f(335×6+2)=f(2)=f(6+（-4）)=f（-4）=2.……12分【解析】略15.已知为R上的奇函数，且，若，则A．0B．±1C．1D．【答案】D【解析】故选D16.已知定义在R上的函数的图像关于点对称，且满足，，，则的值为A．B．0 C．1D．2【答案】D【解析】由得周期为T=3，由函数的图像关于点对称得，所以=217.已知是R上的偶函数，且满足时，= 。
高三数学周期性和对称性试题
高三数学周期性和对称性试题1.函数图像的对称中心是．【答案】【解析】因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是.【考点】奇函数性质，图像变换2.定义在R上的函数满足，则的值为( )A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】由已知得，，，，，，，，所以函数的值以6为周期重复性出现．所以，故选C．3.定义在R上的函数满足．当时，，当时，．则（）A．335B．338C．1678D．2012【答案】B【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，所以在一个周期内有，所以4. x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D【解析】因为f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x).所以f(x)是周期函数,故选D.5.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2014)＋f(2 015)＝()A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3.6.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点成中心对称，对任意实数x都有f(x)＝－，且f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(0)＋f(1)＋…＋f(2013)＝________.【答案】－2【解析】由函数关于点对称可知，f(x)＋f＝0，所以f(1)＋f＝0，又f(x)＝－，所以＝＝－1，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以f(x－3)＝－＝f(x)，即f(x)是以3为周期的函数，故f(3)＝f(0)＝－2，f(2)＝f(－1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋(2013)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]×671＝f(0)＝－2.7.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数:①；②；③；④.能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【解析】①对于函数：满足非负性：，当且仅当时取等号；满足对称性：；∵，对任意的实数均成立，因此满足三角形不等式：．可知能够成为关于的、的广义“距离”的函数．②，但是不仅时取等号，也成立，因此不满足新定义：关于的、的广义“距离”的函数；③，若成立，则不一定成立，即不满足对称性；④同理不满足对称性．综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的、的广义“距离”的函数．故选A．【考点】新定义，函数的概念与表示.8.设定义如下面数表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为___________________。
(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)
函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.fa+x = fa-x ==> fx 关于x=a对称2.fa+x = fb-x ==> fx 关于x=a+b/2 对称3.fa+x = -fa-x ==> fx 关于点a,0对称4.fa+x = -fa-x + 2b ==> fx 关于点a,b对称5.fa+x = -fb-x + c ==> fx 关于点a+b/2 ,c/2 对称6.y = fx 与y = f-x 关于x=0 对称7.y = fx 与y = -fx 关于y=0 对称8.y =fx 与y= -f-x 关于点0,0 对称例1：证明函数y = fa+x 与y = fb-x 关于x=b-a/2 对称;解析求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解;证明：假设任意一点Pm,n在函数y = fa+x 上,令关于x=t 的对称点Q2t – m,n, 那么n =fa+m = f b – 2t – m∴b – 2t =a , ==> t = b-a/2 ,即证得对称轴为x=b-a/2 .例2：证明函数y = fa - x 与y = fx – b 关于x=a + b/2 对称;证明：假设任意一点Pm,n在函数y = fa - x 上,令关于x=t 的对称点Q2t – m,n, 那么n =fa-m = f 2t – m – b∴2t - b =a , ==> t = a + b/2 ,即证得对称轴为x=a + b/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零,若：1.函数y = fx 存在fx=fx + a ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = fx 存在fa + x = fb + x ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = fx 存在fx = -fx + a ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = fx 存在fx + a =1/fx ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = fx 存在fx + a = fx + 1/1 – fx ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析;第2点解析：令X=x+a ,fa +x –a = fb +x – a∴fx = fx + b – a ==> T=b – a第3点解析：同理,fx + a = -fx + 2a ……①fx = -fx + a ……②∴由①和②解得fx = fx+2a∴函数最小正周期T=|2a|第4点解析:fx + 2a =1/fx + a ==> fx + a =1/fx + 2a又∵fx + a =1/fx∴fx = fx + 2a∴函数最小正周期T=|2a|第5点解析:∵fx + a = {2 – 1 – fx}/1 – fx = 2/1 – fx – 1∴1 – fx = 2/fx + 1移项得fx = 1 – 2/fx + a + 1那么fx - a = 1 – 2/fx +1,等式右边通分得fx - a = fx – 1/1 + fx ∴1/fx - a = 1 + fx/fx – 1 ,即- 1/fx - a = 1 + fx/1 - fx∴- 1/fx - a = fx + a ,- 1/fx – 2a = fx ==> - 1/fx = fx - 2a ①, 又∵- 1/fx = fx + 2a ②,由①②得fx + 2a = fx - 2a ==> fx = fx + 4a∴函数最小正周期T=|4a|。
函数的对称性与周期性例题习题(供参考)
函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )()()(). 012A f f f <-< ()()(). 102B f f f -<< ()()(). 120C f f f -<< ()()(). 210D f f f <-<2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称；题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。
高三一轮复习函数的性质周期性和对称性复习练习题
函数周期性和对称性（知识点，练习题）f(x T)f(x)恒成立为非零常数，对于定义域内的任一x，使一．定义：若T则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论xfy T aaxffx为周期的周期函数；是以1、，则2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
xfa fa xfx T2a为周期的周期函数是以若函数，则3、1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
4、y=f(x)满足f(x+a)=xf1 是它的一个周期。
f(x)为周期函数且2a5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则xf1f(x)xf T2a为周期的周期函数.6、是以，则a)f(x1f(x)1f(x)xf T4a为周期的周期函数7、是以，则.f(x a)1f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。
ba yB,ba,xRyA f(x))(xy f是以、9、函数都对称，则函数的图象关于两点00ab2为周期的周期函数；b ayaR,A x f(x))(xy f bx的图象关于和直线是以都对称，则函数10、函数0a4b 为周期的周期函数；a是它的一个周期。
2的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且11、若偶函数y=f(x)a 是它的一个周期。
x=a对称，则f(x)为周期函数且412、若奇函数y=f(x)的图像关于直线13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
T)f(=0. ，T≠0), 则(x14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)∈R2函数的轴对称：三a b xfa x fb xfyy fx x对的图象关于直线定理1：如果函数满足，则函数2.称x y fxffa x fa xy ax. 的图象关于直线1推论：如果函数对称，则函数满足xffy xfx xfy0x轴）对称y（的图象关于直线，则函数满足：如果函数2推论四函数的点对称：b,axf a xfy f x2fba xy对称. 如果函数的图象关于点满足，则函数定理2：,0axf a xfy f x0fya x对称：如果函数的图象关于点. 满足，则函数推论30,0xf fy xy f xf x0对称.的图象关于原点4：如果函数特满足，则函数推论别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.五函数周期性的性质：xfxb)f x f(b f(a x)fxaa b）（其中R在上满足，则函数定理3：若函数，且bxa2y f为周期.以xfxb f f(b xf(a x)f)a x a b）（其中，在R上满足，定理4：若函数且则函ba2y f x为周期数以.xfxf bb x)x)f a x f(f(aa b）（其中定理5：若函数上满足，则函，且在R b4f xay为周期数.以以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.xxff x4f2,xf上单调递，且函数满足在区间例1．已知定义为R的函数xfxf4x2xx x的值（）如果，且.，则增.221121A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.44ff xfx x fx不过我们可以取特殊值代分析：，形似周期函数但事实上不是，4f fx x x2x变形，使入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替xf02,2,f2xfx2上单对称 3.因此图象关于点.为在区间.它的特征就是推论2,上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位调递增，在区间.（如图）x,2?2x4上单调递增，所以，且函数在124x x f x f4xff，，又由12xf f x444f()x f x402，有1111x0fxfxfxf4xfxf A.选.111121．当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为 A.[1,2])(x x)fx)f(x)f(2f(上是减函数，则若上定义的函数是偶函数，且在区间.练1：在R f(x)( ) [2,1][3,4]上是减函数上是增函数，在区间 A.在区间[2,1][3,4]上是减函数 B. 在区间上是增函数，在区间4][3,1]2,[上是增函数上是减函数，在区间 C. 在区间4][3,1]2,[上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间1))f(xx)f(2xf(对称，即分析：由可知图象关于x)(xf0x可得到为偶函数图象关于的应用.又因为对称，推论12][1,)f(xf(x)上是，结合在区间为周期函数且最小正周期为2)(xf B.减函数，可得如右故选草图)(xf0)f(xT若将方程练 2.定义在R上的函数是它的一个正周期既是奇函数，又是周期函数，.nn T,T）可能为（上的根的个数记为在闭区间，则 D.5 C.3A.0B.1TTTT)(f)f(T)f()f(0T)f()f(T，，分析：2222TT n0f())f(？∴可能为，则 5 22xfy xxf1x2x40x.都对称，且当时，．已知函数例2和的图象关于直线 5.f19.的值求xy f x ff2x22x分析：由推论1对称，即的图象关于直线，可知，xy f xfx ff4x4.为周期的函数43同样，知是以，现由上述的定理满足xf50 f. 5.0f443.5.f3.55f4f19是偶函数，所以，同时还知50.5.0.5f0f.2fff01999f x3214ffx f398x f2158x中．例3，，…，，则，. ）个不同的值最多有（D.199B.177C.183 A.1651056f f2158xf x3214xxffx398分析：由已知352704f fx1760x fx.1056xf2158x fffx3214f398xx又有x46x ff1102x1056f1102x1056f2158，351,ff0,,ff11,0,ff999,)f(x. 有周期352于是，于是中找到能在,ff,f2335124,23x)xf(对称，故这些值可以在又又的图像关于直线中找到.19924,f23,,ff199x)xf(.故这些值可以在个.对称，共有的图像关于直线177中找到 B.选x1fxxffxf ffxxx fffx f，3：已知，，，…，练n111n2x31f2.）则（20041xx11x xfx f x xff xx ff. ）知，，，可令分析：由x=f（x2131x313x3x11xf xxffx f2ff2)(xf，，为迭代周期函数，故20042004n37带进原函数中即将x=-21xf0f2005g x)(xff(x)是奇函数，是偶函数，且练4：函数上有定义，且满足在R，2005f .则的值为11ff x x f1x1gxx f x g1y x则，，令，解：0a ff y2ffxxy fx220050aa a，，即有，令，则，其中0n n2n200520052005n2005n f2005a0a i i i a i，，1n2005222005ff2003ffx f x22001f19990，得. 或有01f.21x的奇偶性判断函数练习：1、 f ( x ) =2|2|x解：由题0)1)(x1(x1x1201x24x2x0x且0||2x2( 0 , 1 ] 函数的定义域为∴[∪1 , 0 ) －2222x1)x(1x1x1又f(x)xx f ( x )22x()故是奇函数x六、抽象函数奇偶性的判定与证明f(x)x,y Rf(x y)f(x)f(y)，，都有对一切例 4.已知函数a)xf(f(12)af(3)表示）若，用是奇函数；（1）求证：（2f(x)f(x y)f(x)f(y)R中，，它关于原点对称．在的定义域是解：（1）显然y x f(0)f(x)f(x)x y0f(0)f(0)f(0)f(0)0，，得，令，得，∴令f(x))(x f(x)ff(x)f(x)0是奇函数．∴∴，即，f(x))(y f(x)ff(3)af(x y)是奇函数，）由（2及，f(12)2f(6)4f(3)4f(3)4a．得七、利用函数奇偶性求函数解析式或求值3x)x(1f(x))(xf)x(0,R，时，练习：已知是上的奇函数，且当30x),xx(1f(x))xf(则的解析式为30x),xx(11x1111f()f()f()ff(x)x log()的值+已知函数例7+，求+21x20052004200420051x0(1,1)得函数的定义域是解：由1x1x1xf(x)f(x)log log log10又2221x1x f(x)f(x)函数是奇函数成立，1111)f()f()f()f(=0 =0 ++20042005200520041111)()f(ff()()f=0∴+++2005200420052004设函数为奇函数，则－例81－∴f (－x∵解析:f(x)=)= ,又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=－f (－x).22a1(a)x)(x a1xax1.－.∴=∴=∴ a12bax)x3bxa(fa1a,2a，练习：，则偶函数，定义域为是已知b=03．1aa12ab0，？解：31f(x3)23x,)f(x)(113.5(fx)2xf Rx都有，3、,则，且当设偶函数时，对任意)xf(的值为(D)1221 D. C.A. B.575711f(x6)f[(x3)3]f(x)?f(x3)解：)(x3f(x)f f(x)是以T6为周期的周期函数f（113.5）f（1865.5）f(5.5)f(60.5)f(0.5)111f(30.5)f( 2.5)53,2x)xf(f(x)xf(6.5),f( 1.5)f(5.5)是周期为4、已知的偶函数，当，时，，求例13f(x)f(x)f(x4)f(x)f(6.5)f(4 2.5)f(2.5) 2.5解：，f( 1.5)f( 1.54)f(2.5) 2.5f(5.5)f(5.54f(1.5)f( 1.5)f( 1.54)f(2.5) 2.5例14、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 DA．2 B．3 C．4 D．5解析：依题可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0.又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴f（－2）=－f（2）=0.∴f（－2）=f（1）=f（4）=0.又∵奇函数有f（0）=0，∴f（3）=f（6）=0.∴在（0，b）内f（x）=0解的个数最小值为 5.练习：1、已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则Df(10)＞D.f(7)f(9) ＞C.f(7)f(9) ＞B.f(6)f(7) ＞A.f(6)．解析：∵y=f(x+8)为偶函数，∴y=f(x)图象关于x=8对称.又∵y=f(x)在(8，+∞)上为减函数，∴y=f(x)在(－∞，8)上为增函数.∴f(7)=f(9)，f(9)＞f(10).∴f(7)＞f(10).2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，则f(6)的值为 B(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2∵（）（）∴（）（）（）（）（）. f46=-f=f=f解析：f4+2x+22=-f=-fx2.（）（）∴（）=0.2 -f又=0 x6为R上的奇函数，∴ff，则使得的是定义在R上是减函数，且上的偶函数，在 3、x若函数的取值范围是（D）．D．（－2，．B2．C） A解析：∵f（2）=0且f（x）为偶函数，∴f（－2）=0.又∵f（x）在（－∞，0］递减，∴f（x）在（－2，0］递减.∴对于x∈（－2，0）必有f（x）<0.由对称性得对于x∈［0，2）必有f（x）<0.∴使得f（x）<0的范围是（－2，2）.=, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5x4、设函数f（x）（∈R）为奇函数，f（1））等于（C）C. D.5B.1 A.0=1）R）为奇函数，f（）且f（x）（x∈）（解：fx+2）=f（x+f（2f(1)f(12)f(1)f(2)f(1)f(2) 111)2f(2)2f(25f(5)f(32)f(3)f(2)f(12)f(2)2f(2)f(1)2。
函数的对称性与周期性例题、习题
函数的对称性与周期性例题、习题2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x =+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式；3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x =+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式；题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x xa b f x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系； 2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数； 题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在kI 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|kMa =使方程f x ax=（）在kI 上有两个不等实根}。
2．已知定义在2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的函数y f x =（）的图象关于直线4x π=对称，当时4x π≥，函数sin f x x =（）。
（1）求24f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的值；（2）求y f x =（）的函数表达式；（3）如果关于x 的方程f x a =（）有解，那么将方程在a 取某一确定值时所求得所有解的和记为aM ，求aM 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围。
函数的周期性,奇偶性,对称性经典小题练(含答案)
函数的周期性练习题一．选择题（共15小题）1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．29．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．5 11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9D．1015．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为．19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f （8）﹣f（14）=．23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，又∵偶函数f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5 故选D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作图如下：∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二．填空题（共10小题）16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案为：﹣3．19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f （2010）=0；故答案为0．20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即为＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共5小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．设0＜x1＜x2＜1，则因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）。
高三数学文科函数y = f x对称性与周期性关系例题解析试题
高三数学文科函数y = f (x)对称性与周期性关系例题解析本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一. 本周教学内容：函数)(x f y =对称性与周期性关系【典型例题】1. 定义在R 上的函数)(x f ，假设总有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数)(x f 的图象是关于直线a x =成轴对称图形。
反之，假设函数)(x f 的图象关于直线a x =成轴对称图形，那么必有)()(x a f x a f -=+推论，对于定义在R 上的函数，假设有)()(x b f x a f -=+，那么)(x f 图象关于直线2ba x +=成轴对称图形，反之亦真。
证明：假设对R x ∈，总有)()(x a f x a f -=+，设点))(,(00x f x ，在)(x f y =的图象上，点))(,(00x f x 关于a x =的对称点))(,2(00x f x a -，由=--=)]([)(00x a a f x f)2()]([00x a f x a a f -=-+，那么点))(,2(00x f x a -在函数)(x f y =的图象上，由0x 的任意性知)(x f 的图象关于直线a x =对称，反之证明略。
推论，由)2()2()()(2t ba f tb a f x b f x a f t x b a -+=++⇔-=+=+-显然 [例1]c bx x x f ++=2)(，满足)1()1(x f x f --=+-且3)0(=f ，当0≠x 时，比拟)(xb f 与)(xc f 的大小。
解：由)1()1(x f x f --=+-知)(x f 关于1-=x 对称，故2=b ，又由3)0(=f 知3=c ，那么)(x f 在]1,(--∞递减，在),1[+∞-上递增。
当0>x 时，123>>xx ∴ )2()3(xxf f >即)()(xxc f b f <当0<x 时，1230<<<xx ∴ )2()3(x x f f <，即)()(xx c f b f >[例2] 函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且),0(+∞∈x 时xx f 1)(=，那么当)2,(--∞∈x 时，)(x f 的解析式为 。
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函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。
2．已知定义在2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的函数y f x =（）的图象关于直线4x π=对称，当时4x π≥，函数sin f x x =（）。
（1）求24f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的值；（2）求y f x =（）的函数表达式；（3）如果关于x 的方程f x a =（）有解，那么将方程在a 取某一确定值时所求得所有解的和记为a M ，求a M 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围。
3．已知函数xf x x R ∈（）（1）求证：函数f x （）的图像关于点1122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； （2）计算：991100i i f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值。
函数的对称性与周期性课后练习1.定义在R 上的函数()()(4),2,()f x f x f x x f x -=-+>满足当时单调递增，如果1212124,(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负2.已知函数()y f x =满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1,)+∞上为增函数． 若12120,0,2,x x x x <>+<-且则1()f x -与2()f x -的大小关系是A ．1()f x ->2()f x -B ．1()f x -<2()f x -C ．1()f x -=2()f x -D ．1()f x -与2()f x -的大小关系不能确定 3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(3)f x f x -=--，当02x ≤≤时，()2x f x =，那使1()2f x =成立的x 的集合为A ．{|2,}x x n n =∈ZB ．{|21,}x x n n =-∈ZC ．{|41,}x x n n =-∈ZD ．{|41,}x x n n =+∈Z4.已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 010)＝________.5..若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝（ ） A.52B.3C.72D.4 6.设指数函数x y a =与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象分别为C 1、C 2，点M 在曲线C 1上，线段OM （O 为坐标原点）交曲线C 1于另一点N ．若曲线C 2上存在一点P ，使点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点P 的纵坐标是点N 的横坐标的2倍，则点P 的坐标是A.（4，4a ）B.(2,log 2)aC.4(,4)aD.(4,log 4)a7.（1）(2)(4)f x f x -=+，则函数()y f x =图像关于 对称； （2）(2)(4)f x f x -=-+，则函数()y f x =图像关于 对称；（3）若(1)(4)3f x f x -++=，则函数()y f x =图像关于 对称． 8.（1）函数(4)y f x =+是奇函数，则函数()y f x =图像关于 对称； （2）函数(4)2y f x =++是奇函数，则函数()y f x =图像关于 对称．9.定义在[0,1]上的函数()f x 满足(0)0f =，()(1)2f x f x +-=，1()()52x f f x =，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2010f =______． 10.若(2)(4)f x f x +=-+，则()f x 的周期性是： ．11.（1）定义域是R 的奇函数()f x 又是周期为(0)T T ≠周期函数，则(0)f = ，()2T f = ． （2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)()f x f x +=-，则(2009)f =______； （3）若(1)f x +和(1)f x -都是定义域是R 的奇函数，则(5)(7)f f += ．12.定义域是R 的奇函数()f x 图像关于直线12x =对称，当(2.5)0f =时，则当(6,6)x ∈-时，函数()f x 零点个数是 ．13.已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，若(2)2f =-，则(2008)(2006)f g += ．14.（1）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且(2)()3f x f x +⋅=，当[2,3]x ∈时，()f x x =，则(9.5)f = ．（2）设定义在R 上的函数()f x 满足(2)()12f x f x +⋅=，若(1)2f =，则(99)f =15.已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =-，那么在区间[1,4]x ∈- 内，关于x 的方程1()kx k f x ++=有5个不同的根，则实数k 的取值范围是 ．16.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有)4()(+=x f x f ，且当∈x [－2，0]时，1)21()(-=xx f ，若在区间（－2，6]内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+=-a x x f a 恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为A.（1，2）B.（2，∞+）C.（1，34）D.（34，2）17.函数()23x f x x =+-和2()log 3g x x x =+-的零点分别是,αβ，求证3αβ+=．答案4.已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 010)＝________.解析：∵f (1)＝14，令y ＝1得f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，① f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，②由①②得f (x ＋2)＝－f (x －1)，即f (x ＋3)＝－f (x )，则f (x ＋6)＝f (x )．∴该函数周期为6.∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)． 令x ＝1，y ＝0得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)，∴f (0)＝12.∴f (2 010)＝12.答案：125..若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝ A.52 B.3 C.72D.4 解析：由题意11225x x += ① 22222log (1)5x x +-= ② 所以11252x x =-,121log (52)x x =- 即21212log (52)x x =-令2x 1＝7－2t,代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1) ∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2 于是2x 1＝7－2x 2【答案】C 16.D.。