高中数学 暑假培训资料 15 函数的奇偶性 新人教A版必修1

高中数学 暑假培训资料 15 函数的奇偶性 新人教A 版必修1

一、知识点：

1．函数的奇偶性的定义：

① 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。

② 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。

③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

2．.函数的奇偶性的判断：

可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式

)0)((1)

()(0)()()()(≠±=-⇔

=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f ,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.

注意： ①若0)(=x f ,则)(x f 既是奇函数又是偶函数,若)0()(≠=m m x f ,则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是奇函数且在0=x 处有定义，则0)0(=f

③若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数。

3．奇偶函数图象的对称性

（1） 若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的

图象关于直线a x =对称；

（2） 若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；

二、基础篇：

1．下列判断正确的是（ ）

A ．函数2

2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-

C ．函数()f x x =+

D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数

2． 若函数2()1

x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________

3．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）

A ．{}|303x x x -<<>或

B ．{}|303x x x <-<<或

C ．{}|33x x x <->或

D ．{}|3003x x x -<<<<或

三、提高篇：

4．判断下列函数的奇偶性：

（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；

（2）2

|2|1)(2

-+-=x x x f ； 5．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 则2(6)(3)f f -+-=__________。

6. 设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1

f x

g x x +=

-,求()f x 和()g x 的解析式.

7. 定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有

)1()()(xy

y x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数；

知识整理、理解记忆要点 1. 2.

3. 4.

四、自主练习：

1. 下列函数中是奇函数的有几个（ ） ①11x x a y a +=- ②2lg(1)33

x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2．函数lg y x = ( )

A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增

B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减

C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增

D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减

3．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ）

A ．递增且无最大值

B ．递减且无最小值

C ．递增且有最大值

D ．递减且有最小值

4．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =______。