线性代数：线性代数
线性代数-章节知识点及习题
第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。
练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。
练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。
练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。
练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。
=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。
==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。
线性代数基础知识
线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。
一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。
向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。
向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。
二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。
矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。
其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。
三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。
线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。
3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。
其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。
四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。
内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。
4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。
正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。
五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。
线性代数课件PPT
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
线性代数简介
序 言1.什么是线性代数：线性代数名曰代数，是代数学乃至整个数学的一个非常重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
1.1 那么什么是代数呢？代数英文是Algebra ，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。
也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。
抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。
比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。
也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。
多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。
1.2 那么线性问题又是什么样的问题呢？在大家的科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题，一类非线性问题。
线性问题是研究最久、理论最完善的；而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。
因此遇到一个具体的问题，首先判断是线性还是上非线性的；其次若是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。
下面我们通过介绍一个重要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。
“线性”的意义线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。
线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。
线性函数的概念线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。
第一讲线性代数
an2
a1m
aim
km
a
jm
anm
b1
a11
a12
bj
a
j1
a
j2
k1 k2
bi
ai1
ai 2
bn
an1
an2
a1m
a
jm
km
aim
anm
b1
a11
于是
• 当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解．
bj
a j1
aj2
bn an1 an2
a1m
aim
ka jm
km
a jm
anm
由此可见，若以向量 1,2, ,m ,
为列的矩阵
A 1,2, ,m,
经初等行变换，变成以向量1, 2, , m, 为列的矩阵 B 1,2, ,m,
k11 k22 kmm
由此可见，有的向量可由某一向量组线性表示， 而有的向量则不能。那么如何判断一个向量能否由 某一向量组线性表示呢？
关于向量的线性表示，有以下明显的事实：
b1
a11
a12
bi
ai1
ai 2
k1 k2
b
j
a
j1
a
j
2
bn
an1
1,2 ,3, 1
2
1
4 2
1 1
3
r3 r1
r4 3r1
0
3
6
3
3
1 2 2
0Байду номын сангаас
0
5
0 0 3
4 5
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
大学数学线性代数
大学数学线性代数线性代数是一门研究向量空间、线性变换以及其代数方程组解的数学学科，它在大学数学课程中占有重要地位。
本文将探讨线性代数的基本概念、矩阵运算、向量空间以及线性变换等内容。
一、向量与矩阵1.1 向量的定义与性质向量是线性代数的基本概念之一，它表示一个有大小和方向的量。
一般用箭头或粗体字母表示，如$\vec{v}$。
向量有很多重要性质，包括加法、数乘和点乘等运算。
1.2 矩阵的定义与性质矩阵是由若干个数排列成的矩形阵列，一般用大写字母表示。
矩阵可用于表示线性变换、解线性方程组等。
矩阵也有一些重要的性质，如加法、数乘和乘法等。
二、矩阵运算2.1 矩阵加法与数乘矩阵加法是指将两个具有相同维度的矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
数乘是指将一个矩阵的每个元素乘以一个标量，得到一个新的矩阵。
2.2 矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的重要概念之一。
当两个矩阵相乘时，矩阵的列数等于另一个矩阵的行数。
乘积矩阵的元素由原矩阵的对应行与对应列的元素按一定规则计算得出。
三、向量空间3.1 向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
向量空间包括零向量、闭性、加法逆元等性质。
3.2 子空间与基空间子空间是指向量空间的一个非空子集，且在相同的加法和数乘运算下仍然构成向量空间。
基空间是子空间中最基本的向量组合成的集合，可以表示整个子空间。
四、线性变换4.1 线性变换的定义与性质线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，同时保持向量空间的运算性质。
线性变换有一些重要的性质，如保持向量加法和数乘、保持零向量等。
4.2 线性变换与矩阵的关系线性变换可以用矩阵表示，对应于矩阵乘法。
通过矩阵乘法，可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，便于进行计算。
五、线性代数的应用线性代数在科学、工程以及计算机科学等领域中有广泛的应用。
例如，在图像处理中，可以利用矩阵运算进行图像的变换与处理；在机器学习中，可以利用线性代数理论对数据进行降维和分类等。
什么是线性代数
什么是线性代数
1.把三维的世界转换为⼆维的世界,再把⼆维的世界转换为⼀维的世界,这只是它的⼀个⽅⾯,很⼩很⼩的⼀个⽅⾯;
2.笼统的说,线性代数是⼀门将m维世界与n维世界联系起来的学科;
3.线性代数,⾸先要知道什么是线性,如何描述线性;
4.线性代数⾥,⾸先要知道数,数表(即矩阵),为了更好的分析矩阵,需要认别向量,然后⾛向线性代数的两个概念⾼峰:线性映射(很多国内材料上叫线性变换)和特征值与特征向量;
5.线性代数⼏乎没有⽤,准确的说,⼏乎在很多现实问题中没有⽤,除了数学即理科⼈员和部分⼯科⼈员需要这个基础,其他⼈员的确是⼏乎⽤不到线性代数;
6.如同厨师苦练切菜的⼿艺是为了将来能够独当⼀⾯⽽打好基础⼀样,理⼯科⼈员学习线性代数也是为了将来能够展翅⾼飞,在各⾃的学科领导⾥⾃由的⾏动;
7.学好线性代数的确需要⼤量⽽且复杂的计算和证明,但理解线性代数确实是⼀件⾮常简单的事情.
8.如下的四种情形,其实更让⼈欣慰是的A和C,但对于⼤学⽣来说,可以AB才是最关键的,知识不能改变命运,但知识的确能改变⼈的眼界.
A在线性代数的考试中得⾼分,并且已经理解了线性变换;
B在线性代数的考试中得⾼分,但是并不理解了线性变换;
C在线性代数的考试中得低分,可是已经理解了线性变换;
D在线性代数的考试中得低分,且还没有理解了线性变换;
即从长远来看,C⽐B的效果好,因为B易造成"只见树⽬不见森林"的局⾯,⽽C只能说明参加考试的⼈没有努⼒做练习,⽽不是没有努⼒学习.
现在来看⾃⼰从前的学习，觉得⾃⼰就是B类⼈。
(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念和性质，掌握线性代数的基本运算和应用，提高学生解决实际问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组、矩阵及其运算、线性空间和线性变换。
3. 教学方法：采用讲解、案例分析、练习相结合的方法，引导学生主动探究、积极参与，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、第一节线性代数的基本概念1. 教学目标：使学生了解线性代数的发展历程，理解向量、线性方程组、线性空间等基本概念。
2. 教学内容：a. 线性代数的起源和发展；b. 向量的定义和性质；c. 线性方程组的解法；d. 线性空间的定义和性质。
3. 教学方法：通过讲解和案例分析，让学生了解线性代数的历史背景，通过练习，巩固基本概念。
三、第二节线性方程组1. 教学目标：使学生掌握线性方程组的求解方法，会运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：a. 线性方程组的矩阵表示；b. 高斯消元法求解线性方程组；c. 克莱姆法则；d. 线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握线性方程组的求解方法，培养学生解决实际问题的能力。
四、第三节矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算规则，会运用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容：a. 矩阵的定义和性质；b. 矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；c. 逆矩阵的概念和性质；d. 矩阵的应用。
3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握矩阵的基本运算，培养学生解决实际问题的能力。
五、第四节线性空间和线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间和线性变换的概念，理解它们在数学和其他领域的应用。
2. 教学内容：a. 线性空间的概念和性质；b. 线性变换的定义和性质；c. 线性变换的应用。
3. 教学方法：通过讲解和案例分析，使学生了解线性空间和线性变换的基本概念，培养学生的抽象思维能力。
六、第五节行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，会运用行列式解决实际问题。
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
线性代数-第4章
第4章《线性代数》习题解读1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。
2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。
要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。
4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。
5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。
7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。
所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。
8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。
9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。
10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。
矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。
11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，它主要研究了代数结构及其相关性质。
下面是关于高等代数的一些常见知识点的总结。
1.环论：环是一种代数结构，它包含了一个集合以及对于这个集合中的元素定义的加法和乘法运算。
环的一些基本概念包括单位元、零元、可逆元、交换性、零因子、整环等。
环论研究了环的性质、子环、理想、同态等内容。
2.域论：域是一个包含了加法和乘法运算的交换环，且除了零元以外的所有元素都有乘法逆元。
域的一些基本概念包括素域、代数闭域、有限域等。
域论研究了域的性质、子域、扩域、代数元、素元、不可约多项式等内容。
3.矩阵论：矩阵是一个有限个数按一定顺序排列的数构成的数组，在高等代数中起到了很重要的作用。
矩阵的一些基本运算包括矩阵的加法、乘法、转置、逆等。
矩阵论研究了矩阵的行列式、特征值、特征向量、秩、相似矩阵等内容。
4.向量空间：向量空间是一个满足一定性质的集合，其中的元素称为向量。
向量空间的一些基本概念包括线性组合、线性相关性、线性独立性、子空间、基、维数等。
向量空间论研究了向量空间的性质、线性变换、内积空间、正交性、最小二乘法等内容。
5.线性代数：线性代数是研究向量、矩阵和线性方程组等问题的一门学科，它是高等代数的一个重要分支。
线性代数的一些基本概念包括线性变换、行列式、特征值、特征向量等。
线性代数研究了线性方程组的解的存在唯一性、线性变换的特征值分解、矩阵的相似对角化等内容。
6.线性空间：线性空间是一个满足一定性质的集合，其中的元素称为向量。
线性空间的一些基本概念包括线性组合、线性相关性、线性独立性、子空间、基、维数等。
线性空间论研究了线性空间的性质、线性变换、内积空间、正交性、最小二乘法等内容。
7.线性映射：线性映射是一个保持线性结构的映射，也就是满足线性变换的条件。
线性映射的一些基本概念包括核、像、像空间、零空间等。
线性映射论研究了线性映射的性质、线性变换的特征值分解、线性方程组的解的唯一性等内容。
线性代数是什么
线性代数总览线性代数（－）线性方程组线性代数是解一次方程的学问。
线性 = 一次 = 简单由于一个未知数的线性方程ax=b 的解的状况在小学时即已被大家完全掌握，所以本课程面临的问题将是解两个以上未知数即下面形式的线性方程组：=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""22112222212111212111 (1)这是一个含有n 个未知数m 个方程的线性方程组，是线性代数的基本研究对象。
当m=n=2时，方程组（1）就是我们非常熟悉的=+=+22221211212111b x a x a b x a x a (2)或者=+=+222111c y b x a c y b x a (3)当12210a b a b −≠时，方程组(3)有唯一解：1221122112211221,c b c b a c a c x y a b a b a b a b −−==−−。
注意上述解中的分母相等，均为1221ab a b −，且该数与方程组（3）的系数关系密切，我们愿意用一个特殊的符号表示它(这样做最大的好处是：易记)，即1122a b a b ，称此数为方程组（3）的系数行列式。
如此一来，上述解中的分子也分别变为了1122c b c b 以及1122a c a c 。
这样的结果当然非常美妙，足以令我们心旷神怡。
高兴之余，我们必然要问：m=n=3时如何？m=n>3时如何？容易计算（只是较麻烦，这是不可避免的），当m=n=3时，如果方程组（1）有唯一解，则解是1223312233132321322312233123321112233122331132132132231122133112332b a a a a b a b a a a b a b a b a a x a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−=++−−−其余两个未知数的表达式类似。
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n阶行列式的定义
a11 a12 D a21 a22
a1n
a1n
(1)t a1p1 a2 p2
三阶行列式
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
aa2311
x1 x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
b2 b3
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
第一章
2、 全排列及其逆序数
排列
❖ 全排列 123,231,312 ……,一共 Pn n!
❖ 标准排列 12345(不妨假设是从小到大排列)
❖ 逆序：两个元素的排序相反。 53,21,……
❖ 逆序数：所有逆序的数量总和。321->3
❖ 54321->10 ❖ n,n-1,n-2,…,3,2,1 －>
代数
❖ 多项式方程（超过四次方程没有求根公式）
3x 5 12 x2 2x 15 0 x3 4x2 5x 6 0 x4 5x 1 0
线性代数
❖ 多元一次方程组
a11x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12
a1n
a21 a22
a1n
an1 an2
ann
(1)t a1p1 a2 p2 anpn
(a11a22 a12a21 )x1 b1a22 b2a12
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
二阶行列式
行
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a 列
12
元素 行标、列标
克拉默法则（p22）
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 2
1 2 4 D 2 2 1 (4) 32 (6) 24 8 4
3 4 2
11 1 2 3 x 0 4 9 x2 3x2 18 4x 2x2 9x 12 x2 5x 6 (x 2)(x 3) 0
范德蒙德行列式（P18)
推广到n阶
❖ 三阶行列式 ❖ 3个元素相乘 ❖ 不同行、不同列 ❖ 全部可能组合都出现 ❖ 一半正号，一半负号
两个主要概念
行列式
2x 3y 8 3x 4y 5
矩阵（P29）
2
3
3 4
x y
8 5
23 3 4
2 3
3
4
第一章 行列式
1、 二阶与三阶行列式
二阶与三阶行列式
二元线性方程组与二阶行列式
消元法解二元方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 a31 a32 a33
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 D1 , a12 D a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 D2 a12 D a22
3x 2 y 12
2x y 1
3 2
D
7
21
12 2
D1 1
14 1
3 12
D2 2
31 2 12 21 1
x D1 2 D
y D2 3 D
anpn
an1 an2
ann
t是p1, p2 , , pn的逆序数
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
按照定义共有24项，计算比较复杂。 其中出现0,会减少一些单项。
对角行列式
1 2
稀疏行列式
a11
12 n D a21 a22
n
an1 an2
a11 a12
1
D
a22
amn xn bm
鸡兔同笼问题
❖ 鸡和兔子一共有10只 ❖ 一共有28条腿
x y 10 2x 4y 28
a c
b
线性组合(P82)
❖ 能否用两个向量线性组合出另一个向量？
2 3 8
x1
3
x2
4
5
32xx1143xx22
8 5
齐次线性方程组(P25)
❖ 是否存在一个向量和已知的两个向量垂直？
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
0
n
0
a11a22 ann ann
下三角行列式
a1n a2n a11a22 ann ann
上三角行列式
简化行列式
❖ 如何让行列式中尽量多出现0 ❖ 行列式可以什么样的变换？
线性变换
Cn2
❖ 逆序数奇偶性区分排列：奇排序，偶排列。
32514
逆序数＝5
第一章
3、 N阶行列式的定义
观察二阶和三阶行列式定义
❖ 将行标排列成标准顺序 ❖ 观察列标的逆序数以及单项的符号
❖ 二阶：12 偶排列 正号，21 奇排列 负号
❖ 三阶：123、231、312 偶排列 正号 aa121113aa212、22 2a1113a、22 3a2121a2奇1 排列 负号
x
1 4
y
z
2
5
3 6
x 2y 3z 0 4x 5y 6z 0
线性相关(P87)
❖ 三个向量是否能组合出零向量？
1 2 3 0
k1
4
k2
5
k3
6
0
3 6 9 0
k1 2k2 3k3 0 4k1 5k2 6k3 0 3k1 6k2 9k3 0