工程数学第四章 概率统计模型

0 n
n
n
d 2G 又 (c a) p(n) 0，所以确实为极大值点。 2 dn
结果解释
n
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
n
p(r )dr P , p(r )dr P
0 1 n

2
P a b 1 取 n使 P2 bc
dG ? (a b)np(n) n (b c) p(r )dr 0 dn (a b)np(n) (a b) p(r )dr
n
n
(b c) p(r )dr (a b) p(r )dr
0

dG 0 dn
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
z
z
0 t (t )dt t (t )dt 0.4
1 pq z t (t )dt 0 第 3项 2 m g ( z ) g b n=300, p=0.05, b/g=0.2, 计算得 m=319
思考：还可以 对第3项做更精 细的估计，从 而得到更高精 度结果。
模型求解
方法三：Monte Carlo模拟（不求数学期望，从最原始 的随机数开始模拟，忽略r）
clear;n=300;p=0.05;g=1000;b=200; for i=0:50; m=n+i; K=binornd(m,p,1,10000); ES(i+1)=mean(g*(m-K).*(m-K<=n)+(n*g-b*(m-K-n)).*(mK>n)); end [maxES,id]=max(ES) m=n+id %计算结果m=321
模型求解
ES0=ES-1; while ES>ES0 m=m+1;ES0=ES; for k=0:(m-n-1) P(k+1)=nchoosek(m,k)*p^k*q^(m-k); end ES=q*m*g-(g+b)*(m-n-(0:(m-n-1)))*P'; end m,ES0 %计算结果m=321(但计算有溢出警告)
来源变量也可以考虑多个，但是如果他们不独 立，是很难处理的。
算例
若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为 1元，退回 价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的 正 态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入 最高？
P1 a b 1 0.75 5 5 3 P2 b c 0.75 0.6 3 P1 ，P 2 8 8 P1 P2 1
4.2 机票超售(overbook )策略
2013-10-21 《北京晚报》：三天前，徐先生网上 为朋友订购了大新华航空公司于昨天下午3点55 分从北京飞往哈尔滨的机票。昨天下午，朋友两 点多就来到了机场，却在换登机牌时被工作人员 告知，登机牌已经换完，飞机上“满座”，已无 空位置。“为什么我买了票却不让我上去？”由 于着急赶时间，徐先生的朋友急切地与工作人员 交涉，结果被告知，“很多航班都会这样售票， 防止有人买票后临时有事退票或改签，导致飞机 坐不满人，浪费资源。”
z
qg 1 pq z q ( z ) t (t )dt 0 g b 2 m mq n 这里z , ( z )和 (t )为N (0,1)分布和密度 mpq
模型求解
由于(-t)= (t) ，所以 可以证明zR
z 0
z 0时, t (t )dt 0
a-b ~售出一份赚的钱
b-c ~退回一份赔的钱
p
P1 0
P2 n r
通常，a-b>b-c, R接近正态分布，n>E(R)
为什么用随机分布模型?
需求R是随机的 由于收入是需求的非线性函数，日平均收入 ES(n)不是简单地由日平均需求E(R)决定
G(n) E (S (n)) [(a b)r (b c)(n r )] f (r )
第四章
概率统计模型
4.1 报童的诀窍（随机分布）
4.2 机票超售策略（随机模拟）
4.3 牙膏的销售量（多元线性回归）
4.4 教学评估（逐步回归）
4.5 Logistic回归
4.6 判别与聚类
确定性因素和随机性因素
确定性是理想化的，随机性是现实中必然存在的 1. 随机因素可以忽略 2. 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 3. 随机因素影响必须考虑 确定性模型
F '( y ) f (b( y ), y )b( y ) f (a ( y ), y )a( y )
b( y ) a( y)
f y ( x, y )dx
为简化计算
求解
n
将r视为连续变量
f (r ) p(r ) (概率密度）

G(n) 0 [( a b)r (b c)( n r )] p(r )dr n (a b)np(r )dr
应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的
存在一个合 适的购进量
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的数学期望
准 备 建 模
随机因素的主要来源——每天需求量 为 R ，概率 P(R=r)=f(r), r=0,1,2… • 设每天购进 n 份(不随机)，日平均收入为 G(n) • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c, 日收入为 (a b) R (b c)(n R), R n S (n) (a b)n Rn
随机性模型
4.1
报童的诀窍
假设《新民晚报》 平均每天零售 500份，报亭每 天应该预定多 少份？
4.1 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题
购进太多卖不完退回赔钱
每天购进多少份可使收入最大？
分 购进太少不够销售赚钱少 析
5 R 500 x 500 5 P P ( R x ) ＝ P ( ) ， 1 8 50 50 8 查标准正态分布表： 1 e 2 x 500 0.32 50 516份
0.32 t2 2
5 x 500 dt ， 0.32 8 50
r 0 n r n 1
(a b)nf (r )

R的随机分布对最优决策有影响 若收入是需求的线性函数，日平均收入可用日 平均需求来表示，就不必用随机模型。
怎样运用随机分布模型？
关键：搞清楚随机性的主要来源是什么？ 这个主要来源设为一个随机变量(如报童模型中 每天的需求量R)
这个随机变量的分布是容易得到的； 其他随机变量(如收入)可以写成它的函数。
mnx ( x mp ) 2 exp( )dx 2mpq 2 mpq mq n t mpq 2 t2 exp( )dt 2
mq n mpq
模型求解
令dE(S)/dm=0得
1 pq z qg ( g b)q (t )dt ( g b) t (t )dt 0 2 m
考虑不同客源的模型
第一类顾客(no show概率大)：后付费，高票价。 第二类顾客：先付费，低票价。设打折，打折 票t张，第二类顾客no show概率=0. no show K~B(m-t, p)
k 0
qmg r ( g b)
(m n k ) p
k
(q=1-p).
求m使E(S(m))最大
模型求解
方法一：数值模拟(实际计算适用)
对m=n, n+1, n+2, …., 计算E(S(m)), 求得最优m 注意到最优解与r无关 Matlab程序
n=300;p=0.05;q=1-p;g=1000;b=200; m=n+1; for k=0:(m-n-1) P(k+1)=nchoosek(m,k)*p^k*q^(m-k); end ES=q*m*g-(g+b)*(m-n-(0:(Байду номын сангаас-n-1)))*P'
基本模型
利润
订票数m, 容量n, no-show人数 K~B(m,p)
到来(on-show)人数m-K
(m K ) g r mK n S K n)b m K n ng r (m m m 期望利润 p 1, kp mp
E ( S (m))
n r 0 r n 1
G(n) E (S (n)) [(a b)r (b c)(n r )] f (r )
(a b)nf (r )

求 n 使 G(n) 最大
n=E(R) ？？？
变限积分求导公式
F ( y)
b( y ) a( y)
f ( x, y )dx
问题的推广
现实情况：每天的需求并不完全是随机的，如 周末或重大事件期间销量会上升，天气不好时 销量会下降。 解决途径一：利用历史数据； 解决途径二：利用时间序列分析方法； 解决途径三：利用Monte Carlo数值模拟。
Monte Carlo模拟
若明天需求量依赖于气温T, R=500+-|T-20|, N(0,50^2), U(5,15), 与独立 Matlab程序(明天T=5)求得n0=371(近似). a=1;b=0.75;c=0.6; T=5; N=1000; e=normrnd(0,50,1,N); d=unifrnd(5,15,1,N); R=500+e-d*abs(T-20); S0=0;for n=100:800, S=mean(((a-b)*R-(b-c)*(n-R)).*(R<=n)+(a-b)*n*(R>n)); if S>S0, S0=S;n0=n;end; end;n0,S0