用列表法或画树状图法求概率
9年级 数学北师大版上册课件第3章《用树状图或表格求概率》
球后,球恰好在甲手中的概率为 = .
感悟新知
1-1. 同时抛掷三枚质地均匀的硬币,至少有两枚硬币正面
向上的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
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1-2. 一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的1 个白
球和2 个黑球. 先从袋中摸出一个球后不放回,第二次
再从袋中摸出一个球,那么两次都摸到黑球的概率是
则两人平局.
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(1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少?
解题秘方:抓住小明、小刚同时进行两种相同的操
作的情况列表,利用公式求概率.
解:P(一次出牌小刚出“象”牌)= .
感悟新知
(2)如果用A,B,C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用
A1,B1,C1 分别表示小明的象、虎、鼠三张牌,那么一
一次传球由甲将球随机地传给乙,丙两人中的某一
人,以后的每一次传球都是由上次的接球者随机地
传给其他两人中的某一人.
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(1)求两次传球后,球恰好在乙手中的概率;
解题秘方:先确定试验有几步,再确定每步的情
况,选用画树状图法.
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解:画树状图如图3-1-1.
由树状图知,共有4 种等可能
的结果,两次传球后,球恰
相同,反映在表格中的实质就是舍不舍去表
格中一条对角线上的所有结果来求概率.
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解:记袋中的4 个球为白1,白2,黑1,黑2.
根据题意列表如下:
第一次
白1
第二次
白1
白2
白1 白2
黑1
白1 黑1
九年级数学上册用树状图或表格求概率画树状图法和列表法教案北师大
画树状图法和列表法课题3.1画树状图法和列表法课型新授教学目标用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率.重点用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率.难点用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率.教学用具教学环节说明二次备课复习新课导入阅读教材P60~61,完成下列问题:问题:甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有数字1和2;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有数字3、4和5;从两个口袋中各随机取出1个小球.用列表法写出所有可能的结果.如果还有丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I.从甲、乙、丙三个口袋中各随机取出1个小球.此时可以继续用列表法吗?你有没有更好的方法?与同学交流一下.当一次试验涉及两个因素时,且可能出现的结果较多时,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列表法.当一次试验涉及三个因素时,列表法就不方便了,那么为不重不漏地列出所有可能的结果,我们该怎么办呢?课程讲授活动1 小组讨论例在抛掷硬币试验中,(1)抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?(2)抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面朝上呢?解:(1)可能出现正、反两种结果,它们发生的可能性相同.(2)可能出现正、反两种结果,它们发生的可能性相同.(3)可能出现正、反两种结果,发生的可能性相同,第一枚硬币反面朝上亦然.注意不重不漏地列出每一种可能发生的结果.活动2 跟踪训练1.从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是( )A.0 B.13C.23D .12.“五·一”期间,小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是( ) A.13 B.16C.19D.143.在x 2□2xy □y 2的□中,分别填上“+”或“-”,所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是( ) A .1 B.34C.12D.144.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能左转或右转,如果这三种可能性大小相同,同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时,求下列事件的概率: (1)三辆车全部继续直行;(2)两辆车右转,一辆车左转. 活动3 课堂小结本堂课你学到了哪些知识与方法?在运用时有哪些细节需要注意呢?【预习导学】1 2 3 (3,1) (3,2) 4 (4,1) (4,2) 5(5,1)(5,2)【合作探究】 活动2 跟踪训练 1.B 2.A 3.C 4.(1)127.(2)19. 小结 作业布置板书设计课后反思中考数学模拟试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是25千米,但交通比较拥堵,路线二的全程是30千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10分钟到达.若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时,根据题意,得 A .B .C .D .【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时,根据路线一的全程是25千米,但交通比较拥堵,路线二的全程是30千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程.解:设走路线一时的平均速度为x 千米/小时,故选A .2.已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=,下列说法正确的是A .当k 0=时,方程无解B .当k 1=时,方程有一个实数解C .当k 1=-时,方程有两个相等的实数解D .当k 0≠时,方程总有两个不相等的实数解 【答案】C【解析】当k 0=时,方程为一元一次方程x 10-=有唯一解. 当k 0≠时,方程为一元二次方程,的情况由根的判别式确定: ∵()()()221k 4k 1k 1∆=--⋅⋅-=+,∴当k 1=-时,方程有两个相等的实数解,当k 0≠且k 1≠-时,方程有两个不相等的实数解.综上所述,说法C 正确.故选C .3.已知a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,化简|a+c|-|a-2b|-|c+2b|的结果是( )A .4b+2cB .0C .2cD .2a+2c【答案】A【解析】由数轴上点的位置得:b<a<0<c ,且|b|>|c|>|a|, ∴a+c>0,a−2b>0,c+2b<0, 则原式=a+c−a+2b+c+2b=4b +2c. 故选:B.点睛:本题考查了整式的加减以及数轴,涉及的知识有:去括号法则以及合并同类项法则,熟练掌握运算法则是解本题的关键.4.如图,65,AFD CD EB ∠=︒∕∕,则B 的度数为( )A .115°B .110°C .105°D .65°【答案】A【解析】根据对顶角相等求出∠CFB =65°,然后根据CD ∥EB ,判断出∠B =115°. 【详解】∵∠AFD =65°, ∴∠CFB =65°, ∵CD ∥EB ,∴∠B =180°−65°=115°, 故选:A . 【点睛】本题考查了平行线的性质,知道“两直线平行,同旁内角互补”是解题的关键. 57的值在( ) A .2和3之间 B .3和4之间 C .4和5之间 D .5和6之间【答案】B【解析】分析:直接利用273,进而得出答案. 详解:∵273,∴3<7+1<4,故选B.点睛:此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出7的取值范围是解题关键.6.如图,已知射线OM,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,那么∠AOB的度数是()A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】B【解析】首先连接AB,由题意易证得△AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质,可求得∠AOB的度数.【详解】连接AB,根据题意得:OB=OA=AB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°.故答案选:B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.7.如图,△ABC中,∠CAB=65°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AED的位置,使得DC∥AB,则∠BAE等于()A .30°B .40°C .50°D .60°【答案】C【解析】试题分析:∵DC ∥AB ,∴∠DCA=∠CAB=65°. ∵△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置,∴∠BAE=∠CAD ,AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC ﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°. 故选C .考点:1.面动旋转问题; 2. 平行线的性质;3.旋转的性质;4.等腰三角形的性质. 8.函数y =ax 2与y =﹣ax+b 的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】A 选项中,由图可知:在2y ax =,0a >;在yax b =-+,0a ->,∴0a <,所以A 错误;B 选项中,由图可知:在2y ax =,0a >;在y ax b =-+,0a -<,∴0a >,所以B 正确;C 选项中,由图可知:在2y ax =,0a <;在y ax b =-+,0a -<,∴0a >,所以C 错误;D 选项中,由图可知:在2y ax =,0a <;在y ax b =-+,0a -<,∴0a >,所以D 错误.故选B .点睛:在函数2y ax =与y ax b =-+中,相同的系数是“a ”,因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“a ”的符号,看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况,而这与“b”的取值无关.9.如图,△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于12AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为()A.65°B.60°C.55°D.45°【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论.【详解】由题意可得:MN是AC的垂直平分线,则AD=DC,故∠C=∠DAC,∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°,故选A.【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.10.将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是()A.15°B.22.5°C.30°D.45°【答案】A【解析】试题分析:如图,过A点作AB∥a,∴∠1=∠2,∵a∥b,∴AB∥b,∴∠3=∠4=30°,而∠2+∠3=45°,∴∠2=15°,∴∠1=15°.故选A.考点:平行线的性质.二、填空题(本题包括8个小题) 11.如图,直线4y x =+与双曲线ky x=(k≠0)相交于A (﹣1,a )、B 两点,在y 轴上找一点P ,当PA+PB 的值最小时,点P 的坐标为_________.【答案】(0,52). 【解析】试题分析:把点A 坐标代入y=x+4得a=3,即A (﹣1,3),把点A 坐标代入双曲线的解析式得3=﹣k ,即k=﹣3,联立两函数解析式得:,解得:,,即点B 坐标为:(﹣3,1),作出点A 关于y 轴的对称点C ,连接BC ,与y 轴的交点即为点P ,使得PA+PB 的值最小,则点C 坐标为:(1,3),设直线BC 的解析式为:y=ax+b ,把B 、C 的坐标代入得:,解得:,所以函数解析式为:y=x+52,则与y 轴的交点为:(0,52). 考点:反比例函数与一次函数的交点问题;轴对称-最短路线问题.12.为迎接文明城市的验收工作,某居委会组织两个检查组,分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查,则两个组恰好抽到同一个小区的概率是_____. 【答案】13【解析】将三个小区分别记为A 、B 、C ,列举出所有情况即可,看所求的情况占总情况的多少即可. 【详解】解:将三个小区分别记为A 、B 、C , 列表如下:由表可知,共有9种等可能结果,其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种, 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13. 故答案为:13. 【点睛】此题主要考查了列表法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 13.关于x 的分式方程211x ax +=+的解为负数,则a 的取值范围是_________. 【答案】12a a >≠且【解析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a 的范围即可 【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1 解得:x=1-a,由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1 解得:a >1且a≠2, 故答案为: a >1且a≠2 【点睛】此题考查分式方程的解,解题关键在于求出x 的值再进行分析14.若关于x 的方程x 2有两个相等的实数根,则锐角α的度数为___. 【答案】30°【解析】试题解析:∵关于x 的方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根, ∴()2241sin 0,α=--⨯⨯= 解得:1sin 2α=, ∴锐角α的度数为30°;故答案为30°.15.一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5,则k的值为______.【答案】3 4±【解析】首先求出一次函数y=kx+3与y轴的交点坐标;由于函数与x轴的交点的纵坐标是0,可以设横坐标是a,然后利用勾股定理求出a的值;再把(a,0)代入一次函数的解析式y=kx+3,从而求出k的值.【详解】在y=kx+3中令x=0,得y=3,则函数与y轴的交点坐标是:(0,3);设函数与x轴的交点坐标是(a,0),根据勾股定理得到a2+32=25,解得a=±4;当a=4时,把(4,0)代入y=kx+3,得k=34 -;当a=-4时,把(-4,0)代入y=kx+3,得k=34;故k的值为34或34-【点睛】考点:本体考查的是根据待定系数法求一次函数解析式解决本题的关键是求出函数与y轴的交点坐标,然后根据勾股定理求得函数与x轴的交点坐标,进而求出k的值.16.关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣14=0有实数根,则a的取值范围为________.【答案】a≥﹣1且a≠1【解析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠1且△=(﹣1)2﹣4a•(﹣14)≥1,然后求出两个不等式的公共部分即可.【详解】根据题意得a≠1且△=(﹣1)2﹣4a•(﹣14)≥1,解得:a≥﹣1且a≠1.故答案为a≥﹣1且a≠1.【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=1(a≠1)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>1时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=1时,方程有两个相等的两个实数根;当△<1时,方程无实数根.17.如图,一组平行横格线,其相邻横格线间的距离都相等,已知点A 、B 、C 、D 、O 都在横格线上,且线段AD ,BC 交于点O ,则AB :CD 等于______.【答案】2:1.【解析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ,延长EO 交CD 于点F ,可得OF ⊥CD ,由AB//CD ,可得△AOB ∽△DOC ,根据相似三角形对应高的比等于相似比可得AB OE CD OF=,由此即可求得答案. 【详解】如图,过点O 作OE ⊥AB 于点E ,延长EO 交CD 于点F ,∵AB//CD ,∴∠OFD=∠OEA=90°,即OF ⊥CD ,∵AB//CD ,∴△AOB ∽△DOC ,又∵OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,∴AB OE CD OF ==23, 故答案为:2:1.【点睛】本题考查了相似三角形的的判定与性质,熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键. 18.若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2-4x+1=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围为_____________.【答案】5m <且1m ≠【解析】试题解析: ∵一元二次方程()21410m x x --+=有两个不相等的实数根, ∴m−1≠0且△=16−4(m−1)>0,解得m<5且m≠1,∴m 的取值范围为m<5且m≠1.故答案为:m<5且m≠1.点睛:一元二次方程()200.ax bx c a ++=≠方程有两个不相等的实数根时:0.∆>三、解答题(本题包括8个小题)19.如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连结AB,AC.求该反比例函数的解析式;若△ABC的面积为6,求直线AB的表达式.【答案】(1)y6x=;(2)y12=-x+1.【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得;(2)作AD⊥BC于D,则D(2,b),即可利用a表示出AD的长,然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程,求得b的值,进而求得a的值,根据待定系数法,可得答案.【详解】(1)由题意得:k=xy=2×3=6,∴反比例函数的解析式为y6x =;(2)设B点坐标为(a,b),如图,作AD⊥BC于D,则D(2,b),∵反比例函数y6x=的图象经过点B(a,b),∴b6a =,∴AD=36a -,∴S△ABC12=BC•AD12=a(36a-)=6,解得a=6,∴b6a==1,∴B(6,1),设AB 的解析式为y =kx+b ,将A(2,3),B(6,1)代入函数解析式,得2361k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, 所以直线AB 的解析式为y 12=-x+1. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式,熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC ,AD 的长是解题的关键.20.如图,在▱ABCD 中,以点A 为圆心,AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ,交AD 于点E ,延长BA 与⊙O 相交于点F .若EF 的长为2π,则图中阴影部分的面积为_____.【答案】S 阴影=2﹣2π. 【解析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA ⊥AC ,∠ACB=∠B=45°,∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE ,根据弧长公式求出弧长,得到半径,即可求出结果.【详解】如图,连接AC ,∵CD 与⊙A 相切,∴CD ⊥AC ,在平行四边形ABCD 中,∵AB=DC,AB ∥CD ∥BC ,∴BA ⊥AC ,∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°,∵AD ∥BC,∴∠FAE=∠B=45°,∴∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE ,∴EF EC =∴EF 的长度为45=1802R ππ 解得R=2,S 阴=S △ACD-S 扇形=2214522-=2-23602ππ⨯⨯【点睛】此题主要考查圆内的面积计算,解题的关键是熟知平行四边形的性质、切线的性质、弧长计算及扇形面积的计算.21.如图,已知:△ABC 中,AB=AC ,M 是BC 的中点,D 、E 分别是AB 、AC 边上的点,且BD=CE .求证:MD=ME .【答案】证明见解析.【解析】试题分析:根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM ,可证△BDM ≌△CEM ,可得MD=ME ,即可解题.试题解析:证明:△ABC 中,∵AB=AC ,∴∠DBM=∠ECM.∵M 是BC 的中点,∴BM=CM.在△BDM 和△CEM 中,∵{BD CEDBM ECM BM CM=∠=∠=,∴△BDM ≌△CEM (SAS ).∴MD=ME .考点:1.等腰三角形的性质;2.全等三角形的判定与性质.22.观察下列各式:①()()2111x x x -+=- ②()()23111x x x x -++=-③()()324111x x x x x -+++=- 由此归纳出一般规律()()111n n x x x x --++⋅⋅⋅++=__________. 【答案】x n+1-1【解析】试题分析:观察其右边的结果:第一个是2x ﹣1;第二个是3x ﹣1;…依此类推,则第n 个的结果即可求得.试题解析:(x ﹣1)(n x +1n x -+…x+1)=11n x +-.故答案为11n x +-.考点:平方差公式.23.雾霾天气严重影响市民的生活质量。
知识卡片-列表法与树状图法
列表法与树状图法能量储备在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性的大小相等,那么我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率.注意:(1)用列举法求概率时,各种情况出现的可能性必须相同;(2)全面列举出所有可能的结果,各种情况不能重复,也不能遗漏;(3)所求概率是一个准确数,一般用分数表示.通关宝典★基础方法点方法点1:利用概率公式计算某个事件发生的概率时,可利用列表法或画树状图法找全所有可能出现的情况,并将可能出现的全部的结果数作为分母.例1袋中有大小相同、标号不同的白球2个,黑球2个.(1)从袋中连取2个球后不放回,取出的2个球中有1个白球,1个黑球的概率是多少?(2)从袋中有放回地取出2个球的顺序为黑、白的概率是多少?解:(1)根据题意列表如下:共有12种等可能情况,符合题意的有8种,故有1个白球,1个黑球的概率P =812=23. (2)画树状图如图所示.共有16种等可能情况,符合条件的有4种,故取球顺序为黑、白的概率P =416=14. ★ ★ 易混易误点易混易误点1:研究所有等可能结果时重复或遗漏例2 从装有两个红球、两个黄球(每个球除颜色外其他均相同)的袋中任意取出两个球,取出一个红球和一个黄球的概率是( )A.13B.23C.14D.12解析:我们不妨把四个球分别记为红1,红2,黄1,黄2,从中摸出两个球的所有可能结果为(红1,红2),(红1,黄1),(红1,黄2),(红2,黄1),(红2,黄2),(黄1,黄2),共6种,其中一红一黄共有4种,故其概率P =46=23.故选B . 答案:B分析:本题易错误地认为任意取出两个球,共可能出现“两红”“两黄”“一红一黄”三种可能的结果,所以任意取出两个球,取得一个红球和一个黄球的概率为13. 易混易误点2:不能准确区分放回抽样与不放回抽样对事件发生概率的影响例2 有完全相同的4个小球,上面分别标有数字1,-1,2,-2,将其放入一个不透明的盒子中摇匀,再从中随机摸球两次(第一次摸出球后不放回摇匀).把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m ,n ,以m ,n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标,求点(m ,n)不在第二象限的概率.解:用列表法.可以看出,共有12种等可能的情况,其中点(m,n)不在第二象限的有8种情况,所以点(m,n)不在第二象限的概率P=812=23.,注意:对于某一关注的结果,放回抽样与不放回抽样是完全不同的,本题易忽视“不放回”这一条件而错误地列出如下表格求错概率.蓄势待发考前攻略考查用列表法或画树状图法求事件的概率是中考的必考内容,命题形式有填空题、选择题、解答题,难度适中.试题常用的背景有摸球、抽取卡片、转转盘、掷骰子等富有生活气息及与社会生活息息相关的内容,是中考的命题趋势,要引起重视.完胜关卡。
列表法和树状图求概率
例题讲解---树形图
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B; 乙 口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C、D和E;丙 口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。 (1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率 分别是多少? (2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少?
(1)指向红色; (2)指向红色或黄色; (3)不指向红色。
解:把7个扇形分别记为红1,红2,红3,绿1,绿2, 黄1,黄2,一共有7个等可能的结果,且这7个结果发生 的可能性相等,
绿(2,3)P(不指指向向红指色向或红黄色色有)= 个47结果,即黄1,黄2,绿1,
练习
二、耐心填一填
3.从一幅充分均匀混合的扑克牌中,随机抽取一张,抽到大王的概率是
( (
15314))。,抽到牌面数字是6的概率是(
2 27
),抽到黑桃的概率是
54
4.四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、平行四边形、等边
三角形、正方形,然后反扣在桌面上,洗匀后随机抽取一张,抽到轴对称图
形的概率是(0.75
),抽到中心对称图形的概率是(0.75
)。
5. 某班文艺委员小芳收集了班上同学喜爱传唱的七首歌曲,作为课前三
1 第第二一张张 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
利用画树状图和列表计算概率课件
解:
大刚
小亮
抽到A组
抽到B 组
抽到C 组
BC
抽到C组
CA CB CC
P(
同组)=
3 9
=1
3
答:他们恰好分到一组的概率是
1 3·
利用树状图或表格可以清楚地表示出某个事件 产生的所有可能出现的结果,从而较方便地求出某 些事件产生的概率.
除上述方法外,还可以用什么方法解决这个问题?
列表
大刚 小亮
走A
走B
走A
AA
AB
走B
BA
BB
所有等可能的4种结果,即AA、AB、BA、BB,其中二人 相
遇的结果有2种.
想一想: 用树状图和列表法来计算概率,有什么优点?
用树状图和列表法来能帮助我们将所有可能的 结果,直观的列出来做到既不重复也不遗漏.
例1. A,B两个盒子里各装入分别写有数字0,1的两 张卡片,分别从每个盒子中随机取出1张卡片,两张 卡片上的数字之积为0的概率是多少?
解:画树状图
从树状图可以看出,两张卡片 上的数字之积共有4个等可能 结果,从中可找出“两数之积 为0”这一事件的结果有3个.
方法二:列表
B
A
0
1
0
0
0
1
0
1
由上表可知,两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结 果,积为0的结果有3种.
次数
54
100
46
(1)根据表格提供的信息分别求出事件A、B、C产生的频率;
(2)你能求出事件A、B、C产生的理论概率吗? (3)比较同一事件的频率与概率是否一致?
通过这节课的学习,你将知道答案.
如图,甲、乙两村之间有两条A,而两条道路,小亮从甲村 去往乙村,大刚从乙村去往甲村,二人同时出发.如果每人 从A,B两条道路中随机选择一条,而且他们都不知道对方 的选择,那么二人途中相遇的概率是多少?
例析用列表法或树状图求事件的概率
例析用列表法或树状图求事件的概率列表法或树状图是查找事件所有可能结果的非常有效的方法,要根据“求某事件的概率”的题目的具体特点,选用列表法或画树状图法,找出事件所有等可能结果,才能正确解决这类问题。
利用列举法求概率的关键在于正确列举出实验结果的各种可能性,当事件只有一步或涉及一个因素时,通常用直接列举法。
例1(2022•南宁)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸出一个小球后不放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为()A.B.C.D.【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解:画树状图得:∵共有12种等可能的结果,两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是:=.故选:C.【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.当有两个元素时,可用树形图列举,也可以列表列举.解题时注意:概率=所求情况数与总情况数之比.例2(2022•陕西)端午节“赛龙舟,吃粽子”是中华民族的传统习俗.节日期间,小邱家包了三种不同馅的粽子,分别是:红枣粽子(记为A),豆沙粽子(记为B),肉粽子(记为C),这些粽子除了馅不同,其余均相同.粽子煮好后,小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子,一个豆沙粽子和一个肉粽子;给一个花盘中放入了两个肉粽子,一个红枣粽子和一个豆沙粽子.根据以上情况,请你回答下列问题:(1)假设小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是多少(2)若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子,再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子,请用列表法或画树状图的方法,求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率.【分析】(1)根据题意可以得到小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率;(2)根据题意可以写出所有的可能性,从而可以解答本题.【解答】解:(1)由题意可得,小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是:=,即小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是;(2)由题意可得,出现的所有可能性是:(A,A)、(A,B)、(A,C)、(A,C)、(A,A)、(A,B)、(A,C)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)、(C,C),∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是:.【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式,解答本题的关键是明确题意,写出所有的可能性,利用概率的知识解答.练一练:1、(2022•河南)如图是一次数学活动课制作的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数字﹣1,0,1,2.若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时,不记,重转),则记录的两个数字都是正数的概率为()A. B.C.D.2、(2022•盐城)为了编撰祖国的优秀传统文化,某校组织了一次“诗词大会”,小明和小丽同时参加,其中,有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗,其答案为“山重水复疑无路”.(1)小明回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择,若随机选择其中一个,则小明回答正确的概率是;(2)小丽回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择,若分别随机选择,请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.3、(2022•贵阳)2022年5月25日,中国国际大数据产业博览会在贵阳会展中心开幕,博览会设了编号为1~6号展厅共6个,小雨一家计划利用两天时间参观其中两个展厅:第一天从6个展厅中随机选择一个,第二天从余下的5个展厅中再随机选择一个,且每个展厅被选中的机会均等.(1)第一天,1号展厅没有被选中的概率是;(2)利用列表或画树状图的方法求两天中4号展厅被选中的概率.参考答案:1、解:画树状图得:∵共有16种等可能的结果,两个数字都是正数的有4种情况,∴两个数字都是正数的概率是:=.故选:C.2、解:(1)∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择,∴若随机选择其中一个正确的概率=,故答案为:;(2)画树形图得:由树状图可知共有4种可能结果,其中正确的有1种,所以小丽回答正确的概率=.3、解:(1)根据题意得:第一天,1号展厅没有被选中的概率是:1﹣=;故答案为:;(2)根据题意列表如下:1234561(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)由表格可知,总共有30种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中,两天中4号展厅被选中的结果有10种,所以,P(4号展厅被选中)==.。
用列表法或画树状图法求概率 (3)
用列表法或画树状图法求概率(放回、不放回)【方法】使用列表法或画树状图法求概率时,首先要通过列表或画树状图列出所有可能出现的结果数n ,然后找出符合事件A 出现的结果数m ,用公式求出nmA P =)(即得所求事件的概率。
【分类】放回、不放回类型一:明确写出放回、不放回类型例1:一个不透明的盒子中放入四张卡片,每张卡片上都写有一个数字,分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同,从中随机抽取两张卡片,抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是?例2:一个不透明的盒子中放入四张卡片,每张卡片上都写有一个数字,分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同,从中随机抽取一张卡片后放回再抽取的一张卡片上数字之积为负数的概率是?类型二:隐含放回、不放回类型例3:(指定特殊条件)如图,五一旅游黄金周期间,某景区规定A 和B 为入口,C ,D ,E 为出口,小红随机选一个入口进入景区,游玩后任选一个出口离开,先她选择从A 入口进入、从C ,D 出口离开的概率是( ) A .12B .13C .16D .23答:根据题意,列表如下: 共有 6 种可能的结果,每种结果出现的可能性都相同。
其中恰好选中“A 入口进入、从C ,D 出口”的结果有2种,所以3162)出口D ,C 入口A (==P例4:选人(不放回)(2019济南)该年级学生会宣传部有 2 名男生和 2 名女生,现从中随机挑选 2 名同学参加“防控近视,爱眼护眼”宣 传活动,请用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率.有 8 种,所以32128)(==选择一男一女P 出口出口【同类题】1.(2019历下一模)调查结果中,该校九年级(2)班有四名同学相当优秀,了解程度为“很了解”,他们是三名男生、一名女生,现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“舜文化”知识竞赛,用树状图或列表法,求恰好抽中一男生一女生的概率.2.(2019年市中一模)在被调查的学生中,选修书法的有2名女同学,其余为男同学,现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动,请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.3.(2019长清一模)已知受访的教师中,E 组只有2名女教师,F 组只有1名男教师,现要从E 组、F 组中分别选派1名教师写总结报告,请用列表法或画树状图的方法,求所选派的两名教师恰好是1男1女的概率.例5:选课(放回)(2018济南中考)小明和小亮参加校本课程学习,若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一门校本课程的概率.A (A,A ) (B,A ) (C,A )B (A,B ) (B,B ) (C,B ) C(A,C )(B,C )(C,C )共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种,所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为:39=13.【同类题】1. (2015年中考)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团,请用画树状图或列表的方法,求选取的2人恰好是乙和丙的概率.2. (2014年中考)学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团,如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团,那么征征和舟舟选到同一社团的概率为( ) A .32 B .21 C .31 D .41。
3.1用树状图或表格求概率(放回型或独立型)课件++2023—2024学年北师大版数学九年级上册
(2)若先从中任意抽取1张(不放回),再从余下的3张中任意抽取1张,求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程).
解:画树状图为:
共有12种等可能的结果,其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4,所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率 .
片,卡片除正面图案不同外,其余均相同,其中两张正面印有冰墩墩图案,一张正面印有雪容融图案,将三张卡片正面向下洗匀,从中随机一次性抽取两张卡片,则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是__.
5.(2022·珠海市一模)某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号(分别用 , , 依次表示这三种型号).小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液,上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
(1)甲一定参加比赛,再从其余3名学生中任意选取1名,恰好选中丙的概率是__;
(2)任意选取2名学生参加比赛,求一定有乙的概率.(用树状图或列表的方法求解).
解:树状图如下:
由上可得,一共有12种等可能性,其中一定有乙的可能性有6种,故一定有乙的概率是 .
10.如图,正方形的边长为2,中心为 ,从 , , , , 五点中任取两点.
(1)求取到的两点间的距离为2的概率;
解:从 , , , , 五点中任取两点,所有等可能出现的结果有: , , , , , , , , , ,共有10种,满足两点间的距离为2的结果有 , , , 这4种,则 两点间的距离为 .
(2)求取到的两点间的距离为 的概率;
共有6种等可能的结果,它们为 , , , , , .
(2)求点 在 轴上的概率.
[答案] 点 在 轴上的结果数为3, 点 在 轴上的概率 .第2课 用树状图或表格求概率 (不放回型)
利用画树状图和列表计算概率
解:
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果,从而较方便地求出某些事件发生的概率. 当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树状图法,当试验在三步或三步以上时,用画树状图法方便.
解析:
如果画树状图,需要42个箭头,太麻烦,故用列表法较简单
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
+
1
2
3
4
5
6
解:
点数之和
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
小方格数
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
由图表看出,点数之和为7的情况最多,有6种,概率最大.点数之和为2和12的情况最少,各1种,概率最小.
利用画树状图和列表计算概率
1.会用画树状图的方法求简单事件的概率;2.会用列表的方法求简单事件的概率.
Байду номын сангаас1.三种事件发生的概率及表示:
人教九年级数学上册《用画树状图法和列表法求概率》课件
1 4
故与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是 9
36
=
14.
解析
关闭
关闭
答案
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
关闭
画树状图如下图.
A.12可能的结果,数字和为偶数的有 4 种情况. C 故指针指向的数字和为偶数的概率是49.
关闭
解析 答案
1
2
3
3.如图所示,小明和小龙做转陀螺游戏,他们同时分别转动一个陀螺,当两个
陀螺都停下来时,与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率
谢谢观赏
You made my day!
我们,还在路上……
名师指导(1)列表法适用于一次试验中涉及两个因素的情
况,并且所有可能出现的结果数目较多时. (2)列表法的优点是:①避免重复、遗漏;②直观、简明、自检性强. (3)用列表法求事件发生的概率时,要注意列表时数据或事件的顺序不
能相互混淆.
课标要求 知识梳理
2.用画树状图法求概率 画树状图法是列举随机事件发生的所有可能结果的重要方法之一,因
故从 C
1,3,4,5
中任选两数,能与
2
组成“V
沪科版数学九年级下册26 第2课时 用“树状图”或“列表法”求概率教案与反思
26.2等可能情形下的概率计算知人者智,自知者明。
《老子》原创不容易,【关注】,不迷路!第2课时用“树状图”或“列表法”求概率1.进一步学习概率的计算方法,能够进行简单的概率计算;2.理解并掌握用树状图法求概率的方法,能够运用其解决实际问题(重点,难点).3.理解并掌握用列表法求概率的方法,能够运用其解决实际问题(重点,难点).一、情境导入学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘,每个转盘被分成面积相等的四个区域,分别用数字“1”“2”“3”“4”表示.固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止,若两指针所指数字的积为奇数,则甲获胜;若两指针所指数字的积为偶数,则乙获胜;若指针指向扇形的分界线,则重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是多少?二、合作探究探究点一:用树状图法求概率【类型一】转盘问题有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A、B,游戏规定,转动两个转盘各一次,指向大的数字获胜.现由你和小明各选择一个转盘游戏,你会选择哪一个,为什么?[来源:Z+xx+]解析:首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果.其中A大于B的有5种情况,A小于B的有4种情况,再利用概率公式即可求得答案.解:选择A转盘.画树状图得:∵共有9种等可能的结果,A大于B的有5种情况,A小于B的有4种情况,∴P(A大于B)=59,P(A小于B)=49,∴选择A转盘.方法总结:树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比.【类型二】游戏问题甲、乙、丙三位同学打乒乓球,想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打.规则如下:三人同时各用一只手随机出示手心或手背,若只有两人手势相同都是手心或都是手背),则这两人先打;若三人手势相同,则重新决定.那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是________.解析:分别用A,B表示手心,手背.画树状图得:∵共有8种等可能的结果,通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的有4种情况,∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是48=12,故答案为12.方法总结:列表法或画树状图法可不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合于两步或两步以上完成的事件. 【类型三】数字问题 将分别标有数字1,2,3的三张卡片洗匀后,背面朝上放在桌上.(1)随机抽取一张,求抽到奇数的概率;(2)随机抽取一张作为十位上的数字(不放回),再抽取一张作为个位上的数字,能组成哪些两位数?用树状图(或列法)表示所有可能出现的结果.这个两位数恰好是4的倍数的概率是多少?解析:(1)将分别标有数字1,2,3的三张卡片匀后,背面朝上放在桌上,直接利用概率公式求解即可求得答案;(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数恰好是4的倍数的情况,再利用概率公式即可求得答案.解:(1)∵将分别标有数字1,2,3的三张卡片洗匀后,背面朝上放在桌上,∴(抽到奇数)=;(2)画树状图得:∴能组成的两位数是12,13,21,23,31,32.∵共有6种等可能的结果,这个两位数恰好是4的倍数的有2种情况,∴这个两位数恰好是4的倍数的概率为26=13. 方法总结:用树状图法求概率时,要做到不复不遗漏.本题的解题关键是准确理解题意,求出符合题设的数的个数.探究点二:用列表法求概率[【类型一】摸球问题一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球,上面分别标有1,2两个数字,若随机地从中摸出一个小球,记下号码后放回,再随机地摸出一个小球,则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是( )A.14B.13C.12D.34解析:先列表列举出所有可能的结果,再根据概率计算公式计算.列表分析如下:第一次第二次1 21(1,1)(1,2)2(2,1)(2,2)由列表可知,两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况,号码之积为偶数共有3种:(1,2),(2,1),(2,2),∴P=34,故选D.【类型二】学科内综合题从0,1,2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标,再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标,则点P落在抛物线y=-x2+x+2上的概率为________.解析:用列表法列举点P坐标可能出现的所有结果数和点P落在抛物线上的结果数,然后代入概率计算公式计算.用列表法表示如下:第一次第二次01 20——(0,1)(0,2)1(1,0)——(1,2)2(2,0)(2,1)——共有6种等可能结果,其中点P落在抛物线上的有(2,0),(0,2),(1,2)三种,故点P落在抛物线上的概率是36=12,故答案为12.方法总结:用列表法求概率时,应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果.三、板书设计转盘问题↓用树状图法求概率↙↘游戏问题数字问题[教学过程中,强调在面对多步完成的事件时,通常选择树状图求概率.【素材积累】辛弃疾忧国忧民辛弃疾曾写《美芹十论》献给宋孝宗。
3.1 用树状图或表格求概率(分层练习)(解析版)
3.1用树状图或表格求概率分层练习考查题型一列表法或树状图法求概率(1)求:吉祥物“冰墩墩(2)求:吉祥物“冰墩墩【详解】(1)吉祥物1故答案为:考查题型二判断游戏公平性1.小董利用均匀的骰子和同桌做游戏,规则如下:①两人同时做游戏,各自投掷一枚骰子,也可以连续投掷几次骰子;②当掷出的点数和不超过10,如果决定停止投掷,那么你的得分就是掷出的点数和;当掷出的点数和超过10,必须停止投掷,并且你的得分为0;(1)随机地摸出一张,求摸出牌面图形是轴对称图形的概率;(2)小华和小明玩游戏,规则是:随机地摸出一张,放回洗匀后再摸一张.若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌,则小华赢;否则,小明赢.你认为该游戏公平吗?请用画树状图或列表法说明理由.用A,B,C表示)【详解】(1)解:由题意,随机地摸出一张共有3种等可能的结果,其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有纸牌,A B,共2种,则摸出牌面图形是轴对称图形的概率为23 P=.由图可知,摸出两张牌共有9种等可能的结果,其中摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果有考查题型三概率在转盘游戏的应用(1)转得非负数的概率是多少?(2)转得整数的概率是多少?(3)若小丽和妈妈做游戏,请说明理由.【详解】(1)解:由题意可知,转盘中有所以转得非负数的概率为(2)解∶由题意可知,转盘中有9所以转得整数的概率为(1)求转动一次转盘获得购物券的概率;(1)请你用列表法(或画树状图法)求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率.(2)如果一名顾客当天在本店购物满200【详解】解:(1)整个圆周被分成了∴获得一等奖的概率为:整个圆周被分成了16份,黄色为∴获得二等奖的概率为:1.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是:齐王有上、中、下三匹马111,,A B C ,田忌也有上、中、下三匹马222,,A B C ,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下:121212A A B B C C >>>>>(注:A B >表示A 马与B 马比赛,A 马获胜).一天,齐王找田忌赛马,约定:每匹马都出场比赛一局,共赛三局,胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势,田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马,并采用孙膑的策略:分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛,即借助对阵(212121,,C A A B B C )获得了整场比赛的胜利,创造了以弱胜强的经典案例.假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况,试回答以下问题:(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”,他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利?并求其获胜的概率;。
用列表法、画树状图求概率
一个试验
中涉及3个因素,第
一个因素中有2种 第一个因素 A
B
可能情况;第二个
因素中有3种可能 第二个 的情况;第三个因
1
2
31
2
3
素中有2种可能的
情况,
第三个 a b a b a b a b a b a b
则其树状图如图:
n=2×3×2=12
例:有一个不透明的袋子中装有红、白、绿 三种颜色的小球各1个。除了颜色外无其他 差别。随机摸出1个小球后,记下球的颜色, 然后放回,再随机摸出一个。求下列事件的 概率。(列表或画树状图分析)
(1)两次颜色相同的概率 (2)第一次为红色,第二次为白色的概率 (3)一个白色、一个绿色的概率
知识回顾 Knowledge Review
放映结束 感谢各位的批评指导!
谢 谢!
让我们共同进步
A1
A2
B1
B2
A2 B1 B2 A1 B1 B2 A1 A1 B2 A1 A2 B1
P(小明正好穿相同的一双袜子)=
4 12
1 3
1、什么时候要用列表法? 方法归纳:
当一次试验要涉及两个因素(两组量,或一组
量操作2次),并且可能出现的结果数目较多时。
列表法中表格构造特点:
一个因素所包含的可能情况
另一
个因素
不ห้องสมุดไป่ตู้
所包含 的可能
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
重
情况
不
漏
2、用列表法求概率的关键是什么?
关键在于正确列举出试验结果的各种可能性。
方法归纳:
当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列 表法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果, 通常采用“树状图”.
用列表法、树状图法求概率
用列表法、树状图法求概率有招刘琛概率问题是中考中的热点问题,与概率有关的题目形式多样,但其中最主要的是考查利用列表法或树状图法求随即事件的概率.而利用列表法或树状图法求随即事件的概率,关键要注意以下三点:(1)注意各种情况出现的可能性务必相同;(2)其中某一事件发生的概率=各种情况出现的次数某一事件发生的次数;(3)在考察各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏.(4)用列表法或树状图法求得概率是理论概率,而实验估计值是频率,它通常受到实验次数的影响而产生波动,因此两者不一定一致,实验次数较多时,频率稳定于概率,但并不完全等于概率.例1 田忌赛马是一个为人熟知的故事,传说战国时期,齐王与田忌各有上、中、下三匹马,同等级的马中,齐王的马比田忌的马强.有一天,齐王要与田忌赛一次,赢得两局者为胜,看样子田忌似乎没有什么胜的希望,但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强.(1). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛,那么田忌的马如何出阵,田忌才能取胜? (2). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,田忌获胜的概率是多少?(要求写出双方对阵的所有情况)分析:正确理解题意,将齐王和田忌的马正确排列,而后恰当列表. 解:(1)由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强,当齐王的马按上、中、下顺序出阵时,田忌的马按下、上、中的顺序出阵,田忌才能取胜.(2).当田忌的马随机出阵时,双方马的对阵情况如下表:双方马的对阵中,只有一种对阵情况田忌能赢,所以田忌获胜的概率 P=61. 例2 “石头、剪刀、布”是广为流传的游戏,游戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种,规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”,同样手势不分胜负,假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势,用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人同种手势的概率和甲获胜的概率.(提示:为书写方便,解答时可以用S 表示“石头”,用J 表示“剪刀”,用B 表示“布”)解析:解法一:一次游戏、甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下图:所有可能出的结果:(S ,S )(S ,J )(S ,B )(J ,S )(J ,J )(J ,B )(B ,S )(B ,J )(B ,B )从上面的树状图可以看出,一次游戏可能出现的结果共有9种,而且每种结果出现的可能性相同.所以,P (出同种手势)=93=31 P (甲获胜)=93=31解法二:一次游戏,甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下表:以下同解法一 评注:(1)利用列表法、树状图法求概率必须是等可能事件.(2)对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能.例3.有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ,都被分成了3等份,并在每份内均标有数字,如图所示,规则如下:①分别转动转盘A 、B ;②两个转盘停止后,将两个指针所指份内的数字相乘(若指针停止在等分线上,那么重转一次,直到指针指向某一份为止).(1).用列表法(或树状图)分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率;(2).小亮和小芸想用这两个转盘做游戏,他们规定:数字之积为3的倍数时,小亮得2分;数字之积为5的倍数时,小芸得3分,这个游戏对双方公平吗?请说明理由;认为不公平的,试修改得分规定,使游戏对双方公平. 解析:(1)每次游戏可能出现的所有结果列表如下:AB表格中共有9种等可能的结果,其中数字之积为3的倍数的有五种,数字之积为5的倍数的有三种,所以P (3的倍数)=95;P (5的倍数)93. (2)这个游戏对双方不公平∵小亮平均每次得分为2×95=910(分), 小芸平均每次得分为3×93=99=1(分).∵910≠1,∴游戏对双方不公平. 修改得分规定为:若数字之积为3的倍数时,小亮得3分;若数字之积为5的倍数时,小芸得5分即可.。
3.1.1用树状图或表格求概率(第1课时)(课件)2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
1.1. 用树状图或表格求概率
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.会用画树状图或列表的方法计算简单随机事件发生的概率;
(重点)
2.能用画树状图或列表的方法不重不漏地列举事件发生的所有
可能情况.(难点)
3.会用概率的相关知识解决实际问题.
情境&导入
1.什么叫事件的概率?
2.一般地,如果在一次试验中有n种可能结果,并且它们发生的可
由于硬币是均匀的,因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和
“反面朝上”的概率相同。无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果,
抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相
同的。所以,抛掷两枚均匀的硬币,出现的(正,正)(正,反)
(反,正)(反,反)四种情况是等可能的。
因此,我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果。
探索&交流
我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果.
树状图
第一枚 第二枚硬币
硬币
正
开始
反
正
所有可能出现的结果
(正,正)
(正,反)
反
正
(反,正)
反
(反,反)
探索&交流
第二枚硬币
表格 第一枚硬币
正
反
正
反
(正,正)
(正,反)
(反,正)
(反,反)
总共有4中结果,每种结果出现的可能性相同.其中:
1
小明获胜的概率:
概率是( A )
3
A.
10
3
B.
20
7
C.
20
7
D.
10
小结&反思
用列表法和树状图法求概率
用树状图来研究上述问题
开始
第一张牌的 牌面的数字
1
2
第二张牌的 1
牌面的数字
21 2
所有可能出 (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
现的结果
例3、同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件 的概率:
本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H
A
B
C
D
E
C
D
E
H
IH
IH
IH
IH
IH
I
A
AA
AA
A
BBB
BBB
C
CD
DE
E
CCD
DEE
H
IH
IH
I
HI
H
I
HI
解:由树形图得,所有可能出现的结果有12个,它们出现的可能性 相等。
(1)满足只有一个元音字母的结果有5个,
则P(1个元音)=
5 12
(1)两个骰子的点数相同
(2)两个骰子点数之和是9
(3)至少有一个骰子的点数为2
1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
)
3
2、一组数据5、7、9、11、5,则选中5的机会是( 2 )
3、3男1女工4人行,从其中任意选出两人性别不同的5 概率为(
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用列表法或画树状图法求概率(放回、不放回)
【方法】使用列表法或画树状图法求概率时,首先要通过列表或画树状图列出所有可能出现的结果数n ,然后找出符合事件A 出现的结果数m ,用公式求出
n
m A P )(即得所求事件的概率。
【出错点】求m 或n 的值。
【分类】放回、不放回
(一)明确写出放回、不放回类型
例1:(2018·威海中考)一个不透明的盒子中放入四张卡片,每张卡片上都写有一个数字,分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同,从中随机抽取两张卡片,抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是?
例2:一个不透明的盒子中放入四张卡片,每张卡片上都写有一个数字,分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同,从中随机抽取一张卡片后放回再抽取的一张卡片上数字之积为负数的概率是?
(二)隐含放回、不放回类型
例3:选人(不放回)(2019济南)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团,请用画树状图或列表的方法,求选取的2人恰好是乙和丙的概率。
例4:选课(放回)(2016济南中考)某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程,若小波和小容两名同学每人随机选择其中一门课程,则小波和小睿选到同一课程的概率是?。