2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题(附解析)
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷(二)(解析版)
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（二）一、单选题1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.2．若集合{}|13A x x =-≤≤，{}|2B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}1|2x x -≤≤B ．{}|12x x -≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x ≤≤【答案】C【解析】根据集合的交集运算法则即可求解. 【详解】由题：集合{}|13A x x =-≤≤，{}|2B x x =>， 则A B =I {}|23x x <≤. 故选：C 【点睛】此题考查集合的运算，求两个集合的交集，关键在于根据题意准确求解，易错点在于端点没有考虑清楚. 3．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.4．如图所示的程序框图运行后输出结果为12，则输入的x 值为（ ）A ．-1B 2C ．12D ．-12 【答案】D【解析】根据程序框图的所表达的意思，将框图改写成分段函数即可得解. 【详解】由题：框图的作用即函数：1221log ,041,42,0x x x y x x x ⎧<<⎪⎪⎪=≥⎨⎪⎪≤⎪⎩，当104x <<时，12log x 2>，不可能为12，当14x ≥时，212x =得x =22， 当0x ≤时，122x=得1x =-，所以输入值为-1或22. 故选：D 【点睛】此题考查根据程序框图的输出值求输入值，关键在于准确读懂程序框图，转化成分段函数根据函数值求自变量的取值.5．已知()3,4a =v ，()2,1b =-v 且()()a xb a b +⊥-v vv v ，则x 等于 （ ）A ．23B ．232C ．233D ．234【答案】C【解析】()()()()3,4,2,1,32,4,1,5a b a xb x x a b ==-∴+=+--=v v vv Q v v ，又()()()(),0a xb a b a xb a b +⊥-∴+⋅-=v v v vv v v v Q ，即322050x x ++-=，解得233x =，故选C. 6．已知12cos ,(0,)132παα=∈，则cos()4πα+= （ ）A ．B C D 【答案】D【解析】∵12cos ,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，∴5sin 13α==，∴125cos cos cos sin sin 44413213226πππααα⎛⎫-=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，故选D. 点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题；由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解. 7．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-， 则它的公差为 （ ） A ．2 B ．3C ．2-D ．3-【答案】C【解析】试题分析：由32n a n =-可得12321,3221a a =-==-⨯=-，所以公差21112d a a =-=--=-．故C 正确．【考点】等差数列的定义．8．直线1y x =--的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π 【答案】D【解析】根据直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得到倾斜角. 【详解】由题：直线1y x =--的斜率为-1，即倾斜角的正切值，所以其倾斜角为34π. 故选：D 【点睛】此题考查根据直线方程求直线的倾斜角，关键在于准确识别斜率，根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.9．函数()2log 1y x =+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数()2log 1y x =+的图象是由函数2log y x =的图象向左平移了一个单位得到的，由此可得结论． 【详解】函数()2log 1y x =+的图象是由函数2log y x =的的图象向左平移了一个单位得到的，定义域为()-1+∞，， 过定点()00，，在()-1+∞，上是增函数， 故选C 【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，函数图象的平移变换，属于基础题 10．已知53cos()25πα+=，02πα-<<，则sin 2α的值是（ ）A ．2425B ．1225C ．1225-D ．2425-【答案】D【解析】由已知，sinα＝－35，又02πα-<<，故cosα＝45∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－35）×45＝－2425【考点】三角函数恒等变形，诱导公式，同角关系式，二倍角公式二、填空题11．过点（1，2）且与直线2x ﹣y ﹣1=0平行的直线方程为 ． 【答案】2x ﹣y=0【解析】解：设过点（1，2）且与直线2x ﹣y ﹣1=0平行的直线方程为2x ﹣y+c=0， 把点（1，2）代入，得2﹣2+c=0， 解得c=0．∴所求直线方程为：2x ﹣y=0． 故答案为2x ﹣y=0．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12．已知0a >，0b >，1a b +=，则ab 的最大值是______. 【答案】14【解析】根据基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求得最大值.【详解】由题：0a >，0b >，1a b +=，由基本不等式：2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值是14.故答案为：14【点睛】此题考查根据基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的应用，求最值需要考虑等号成立的条件.13．求满足282144x x -⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合是______.【答案】()4,2-【解析】将不等式化为28244x x -+>，解282x x -+>即可得解.【详解】 由题：282144x x -⎛⎫> ⎪⎝⎭即28244xx -+>，所以282x x -+>，2280x x +-<， 所以()()420x x +-<解得：()4,2x ∈-. 故答案为：()4,2- 【点睛】此题考查求解指数型不等式，关键在于根据指数函数单调性求解，转化为解一元二次不等式.14．圆2222140x y x y +++-=上的点到直线3420x y --=的距离最大值是 . 【答案】215【解析】试题分析：由题可知圆的标准方程为()()221116x y +++=,即圆心为()1,1--,半径为4r =.那么圆心到直线3420x y --=的距离145d ==<,直线与圆相交,则圆上的点到直线3420x y --=的距离最大值是12155r +=.故本题应填215. 【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离；3.数形结合.【思路解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离及数形结合的数学思想方法.本题的关键在于判断直线与圆的位置关系,判断直线与圆的位置关系一般有两种方法（1）几何法:利用圆心到到直线 的距离d 以及圆的半径r 的大小关系来判定,d r >相离,d r =相切,0d r <<相交；（2）代数法,将直线与圆的方程联立,利用得到的一元二次方程的V 判断.由于代数法运算较烦琐,一般使用几何法,如本题解析. 15．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 【答案】①②③【解析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=，所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以②正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以③正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以④错误.故答案为：①②③ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.三、解答题16．已知数列{}n a ，()*1,71,7n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨->⎩.（1）判断数列{}n a 是否为等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和为n S .【答案】（1）数列{}n a 不是等差数列.（2）见解析【解析】（1）检验211a a -=，87781a a -=-=-，根据定义即可判定其不为等差数列；（2）分段讨论求数列的前n 项和为n S . 【详解】解：（1）因为211a a -=，87781a a -=-=-，所以数列{}n a 不是等差数列.（2）①当7n ≤时，()21321222n n n n n S n -=+⨯=+.②当7n >时，()()()()77176353522n n n n n S -+-⎡⎤-+⎣⎦=+=+2142n n-=+.所以当7n ≤时，2322n n n S =+，当7n >时，n S 2142n n-=+.【点睛】此题考查等差数列概念的辨析和数列求和，涉及分组求和，分段讨论，需要熟练掌握等差数列的求和公式.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =.设AB 的中点D ，11B C BC E =I .求证：（1）DE P 平面11AAC C ； （2）11BC AB ⊥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E 为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明1BC ⊥平面1B AC 即可，显然可证111B C B C AC B C ⊥⊥，，因此原命题得证. 试题解析：⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC Q ⊥平面111A B C ，且1BC CC = ∴矩形11BB C C 是正方形，E ∴为1B C 的中点，又D 为1AB 的中点， //DE AC ∴，又DE Q ⊄平面11AA CC ， AC ⊂平面11AA CC ，//DE ∴平面11AA CC⑵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC Q ⊥平面ABC , AC ⊂平面ABC ,1AC CC ∴⊥又AC BC ⊥Q ， 1CC ⊂平面11BCC B ， BC ⊂平面11BCC B ， 1BC CC C ⋂=，AC ∴⊥平面11BCC B ，1BC Q ⊂平面11BCC B ， 1AC B C ∴⊥ Q 矩形11BCC B 是正方形， 11BC B C ∴⊥，1,AC B C Q ⊂平面1B AC ， 1C C C A ⋂B =， 1BC ∴⊥平面1B AC又1AB ⊂Q 平面1B AC ， 11BC AB ∴⊥.点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.18．某城市的甲区、乙区分别对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.（1）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值；（2）规定85分以上（含85分）为优秀企业，若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取一个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率. 【答案】（1）88，87（2）12【解析】（1）根据平均数的公式求解平均数；（2）列举出所有基本事件，得出基本事件总数和两个企业得分的差的绝对值不超过5分包含的基本事件个数即可得解. 【详解】 解：（1）x 甲798488899395886+++++==，x 乙788384869596876+++++==. （2）甲区优秀企业得分为88，89，93，95，乙区优秀企业得分为86，95，96.从两个区选一个优秀企业，所有基本事件为()88,86，()88,95，()88,96，()89,86，()89,95，()89,96，()93,86，()93,95，()93,96，()95,86，()95,95，()95,96，共12个.其中得分的绝对值的差不超过5分的有()88,86，()89,86，()93,95，()93,96，()95,95，()95,96，共6个.故这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61122P ==. 【点睛】此题考查求平均数和古典概型，关键在于准确计算，准确写出基本事件，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.19．设函数()()21f x x bx b R =-+∈，()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨->⎪⎩.（1）如果()10f =，求()F x 的解析式；（2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()2221,021,0x x x F x x x x ⎧-+>=⎨-+-<⎩（2）(][),22,k ∈-∞-+∞U【解析】（1）根据()10f =，代入可得2b =即可写出()F x 的解析式；（2）根据函数的奇偶性求出0b =，()()g x f x kx =-有零点即方程210x kx +-=有实数根240k ∆=-≥即可得解. 【详解】解：（1）因为()10f =，所以110b -+=，即2b =.所以()2221,021,0x x x F x x x x ⎧-+>=⎨-+-<⎩. （2）因为()21f x x bx =-+为偶函数，所以0b =，即()21f x x =+.因为()()g x f x kx =-有零点，所以方程210x kx +-=有实数根. 所以240k ∆=-≥， 所以(][),22,k ∈-∞-+∞U . 【点睛】此题考查根据函数取值求参数的取值，根据函数的奇偶性求参数的取值，根据函数的零点求解参数的取值范围.20．某小组共有A B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2） 如下表所示：(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率.【答案】(Ⅰ)12(Ⅱ)310【解析】试题分析：列举法求试验的基本事件个数．（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，共有6种不同的结果，而两人身高在1．78以下的有3种不同的结果，然后由古典概型的概率计算求解即可；（2）从该小组同学中任选2人共有10种不同的结果，选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有有3种结果，由古典概型的概率计算得其概率为．试题解析：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1．78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C），共3个，因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为；从该小组同学中任选2人其一切可能的结果的基本事件：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有：（C，D），（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的概率为．【考点】古典概型的概率计算．。
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷三及答案
湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学（试题卷三）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 三视图如右图的几何体是A. 三棱锥B. 四棱锥C. 四棱台D. 三棱台2.已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（）A. 2-B. 1-C. 0D. 13.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B. 52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， C. 5,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A . 4B. 5C. 6D. 75.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>6.已知直线a α⊂，给出以下三个命题：①若平面//α平面β，则直线//a 平面β；②若直线//a 平面β，则平面//α平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（ ）A. ②B. ③C. ①②D. ①③ 7.函数()1ln f x x =-的零点所在的区间是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,58.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知1a =，2b =，120C =o ，则c =（ ）A. 2B. 5C. 7D. 49.直线4350x y +-=与圆22(1)(2)9x y -+-=相交于A 、B 两点，则AB 的长度等于A. 1B. 2C. 22D. 4210.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）A. 172B. 192C. 10D. 12二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.在△ABC 中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC ＝ .12.在长方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 垂直且异面的棱的条数是______.13.过点()2,3-且平行于直线210x y -+=的直线方程为______.14.水平放置ABC ∆的斜二测直观图如图所示，已知3AC ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的长度为______.15.设1a >，2b >，且2ab a b =+，则+a b 的最小值为______.三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知A 是ABC ∆的一个内角，向量()1,3m =-u r ，()cos ,sin n A A =r 且1m n ⋅=u r r ，求角A 的大小. 17.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.18.已知等差数列{}n a的公差为2，且1a，12a a+，()142a a+成等比数列.（1）设数列{}n a的通项公式；（2）设12nn nb a-=+，求数列{}n b的前n项和n S.19.已知圆C经过(3,2)A、(1,6)B两点，且圆心在直线2y x=上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点(1,3)P-且与圆C相切，求直线l的方程．20.已知函数()()2lnlnaf x x a Rx =+∈.（1）若()1f e=，求a的值；（2）求函数()y f x=的定义域；（3）若对任意的x e≥，不等式()1f x≥恒成立，求实数a的取值范围.湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学（试题卷三）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分. 时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 三视图如右图的几何体是A. 三棱锥B. 四棱锥C. 四棱台D. 三棱台【答案】B【解析】 根据三视图可知，该几何体底面是四边形，侧面是三角形，因此可知该几何体是四棱锥，选B2.已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据A B ⊆可得出关于a 的等式，解出即可.【详解】Q 集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，A B ⊆，21a ∴+=，解得1a =-.故选：B.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 3.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B. 52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， C. 5,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果.【详解】由()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 令22,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈所以522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 函数()f x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 故选：D 【点睛】本题考查正弦型函数的单调递增区间，重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用，使问题化繁为简，属基础题.4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.5.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】B【解析】【分析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=， 中位数为1(1515)152b =+=， 众数为=17c .故选：B.【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6.已知直线a α⊂，给出以下三个命题：①若平面//α平面β，则直线//a 平面β；②若直线//a 平面β，则平面//α平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（ ）A. ②B. ③C. ①②D. ①③【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和面面平行的性质和判定定理对三个命题分析进行选择．【详解】①因为直线a ⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．②因为当平面α与平面β相交时，仍然可以存在直线a ⊂α使直线a ∥平面β．故错误．③只要一个平面内有一条直线不平行与另一个平面，两平面就不会平行．故正确．故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力．7.函数()1ln f x x =-的零点所在的区间是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B【解析】【分析】求出函数()y f x =的零点，即可得出该函数零点所在的区间.【详解】令()0f x =，即1ln 0x -=，解得x e =， ()2,3e ∈Q ，因此，函数()1ln f x x =-的零点所在的区间是()2,3.故选：B.【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查推理能力，属于基础题. 8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知1a =，2b =，120C =o ，则c =（ ）A. 2B.C.D. 4 【答案】C【解析】分析：已知两边和夹角直接应用余弦定理即可.详解：已知1a =，2b =，120C =o ，根据余弦定理得到222c 2cos 7a b ab C c =+-=⇒= 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.9.直线4350x y +-=与圆22(1)(2)9x y -+-=相交于A 、B 两点，则AB 的长度等于A. 1B.C.D. 【答案】D【解析】 试题分析：根据题意可知圆心到直线的距离是46515d +-==，根据圆中的特殊三角形，可知半弦长12AB == D. 考点：直线被圆截得的弦长问题.10.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A. 172 B. 192 C. 10 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由844S S =得()11828446a d a d +=+，解得1101119,922a a a ==+=. 考点：等差数列.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.在△ABC 中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC ＝ .【解析】222222cos 12212cos 603,AC AB BC AB BC B AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯=∴=o 12.在长方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 垂直且异面的棱的条数是______.【答案】4【解析】【分析】作出图形，根据线面垂直的性质可得出结论.【详解】如下图所示：1AA ⊥Q 平面ABCD ，1AA ⊥平面1111D C B A ，与棱1AA 垂直且异面的棱有BC 、CD 、11B C 、11C D ，共4条.故答案为：4.【点睛】本题考查异面垂直的直线的寻找，考查推理能力，属于基础题.13.过点()2,3-且平行于直线210x y -+=的直线方程为______.【答案】280x y -+=【解析】【分析】求出直线210x y -+=的斜率，然后利用点斜式可得出所求直线的方程，化为一般式即可.【详解】直线210x y -+=的斜率为12，因此，所求直线的方程为()1322y x -=+，即280x y -+=. 故答案为：280x y -+=.【点睛】本题考查利用两直线平行求直线方程，可利用平行直线系方程求解，一般要求出直线的斜率，利用点斜式得出直线的方程，考查计算能力，属于基础题.14.水平放置ABC ∆的斜二测直观图如图所示，已知3AC ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的长度为______.【答案】52【解析】 【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出ABC ∆实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】在直观图中，3AC ''=，2B C ''=，所以在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，C ∠为直角，225AB AC BC ∴=+=，因此，AB 边上的中线的长度为1522AB =.故答案为：52. 【点睛】本题考查的知识点是斜二测画法直观图，其中掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键．15.设1a >，2b >，且2ab a b =+，则+a b 的最小值为______. 【答案】223 【解析】 【分析】将等式2ab a b =+变形为121a b +=，由此得出()12a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可得出+a b 的最小值.【详解】等式2ab a b =+两边同时除以ab 得121a b+=， 1a >Q ，2b >，()1222332322a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b a =时，等号成立，因此，+a b 的最小值为322+故答案为：322+.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及1的妙用，解题时将注意将定值条件化简变形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知A 是ABC ∆的一个内角，向量()1,3m =-u r ，()cos ,sin n A A =r 且1m n ⋅=u r r，求角A 的大小.【答案】3A π=【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算得出cos 3sin 1A A -+=，利用辅助角公式化简得出1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合角A 的取值范围可得出角A 的值.【详解】因为()1,3m =-u r ，()cos ,sin n A A =r 且1m n ⋅=u r r，所以cos 3sin 1A A -+=，所以2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又因为()0,A π∈，所以5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以66A ππ-=，得3A π=. 【点睛】本题考查三角形中角的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算与辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.17.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.【答案】（1）0.003，5；（2）35. 【解析】 【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求得x 的值，求得续驶里程在[)200,300的车辆的概率，再利用频数=频率⨯样本容量求车辆数；（2）由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，利用列举法求出从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况，以及恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的情况，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：()0.0020.0050.0080.002501x ++++⨯=，解得：0.003x =，∴续驶里程在[)200,300的车辆数为：()200.0030.002505⨯+⨯=（辆）. （2）设“恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内”为事件M由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，分别记为A 、B 、C ，落在[)250,300内的车辆数2辆，分别记为a 、b , 从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10种且每种情况都等可能被抽到，事件M 包含的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b 共6种，所以由古典概型概率公式有：()63105P M ==，即恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率为35. 【点睛】本题主要考查直方图的应用，以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.18.已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，12a a +，()142a a +成等比数列.（1）设数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn S n =+-.【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出关于1a 的方程，解出1a 的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列{}n a 的通项公式；（2）求出n b ，然后利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求出n S . 【详解】（1）Q 等差数列{}n a 的公差为2，212a a ∴=+，416a a =+，1a Q ，12a a +，()142a a +成等比数列，()()4212112a a a a a ∴+=⋅+，即()()211122226a a a +=+，解得11a =，()12121n a n n ∴=+-=-；（2）()112212n n n n b a n --=+=-+.()()()0111232212n n S n -⎡⎤∴=+++++-+⎣⎦L ()()()201112121211321222221n n n n n n n -=+++-++++=⎣+-⎡⎤-+=+--⎦L L . 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于基础题. 19.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或 【解析】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为1x =-；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=， 解方程组260{2x y y x -+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C=解得2k =或12k =-． 所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=. 20.已知函数()()2ln ln af x x a R x=+∈. （1）若()1f e =，求a 的值； （2）求函数()y f x =的定义域；（3）若对任意的x e ≥，不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =-；（2）()()0,11,+∞U ；（3）[)1,-+∞. 【解析】 【分析】（1）由()1f e =可得出关于a 的等式，即可得出实数a 的值；（2）根据对数真数大于零、分母不为零可得出关于x 的不等式组，解不等式组即可得出函数()y f x =的定义域；（3）令ln 1t x =≥，由()1f x ≥可得出21at t+≥，参变量分离得22a t t ≥-，求出二次函数22y t t =-在[)1,+∞上的最大值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）()2ln ln af x x x=+Q ，()21f e a ∴=+=，解得1a =-； （2）对于函数()2ln ln af x x x =+，有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠.因此，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞U ；（3）x e ≥Q ，令ln 1t x =≥，由()1f x ≥，得21at t +≥，参变量分离得22a t t ≥-， 二次函数22y t t =-的图象开口向下，对称轴为直线14t =.所以，函数22y t t =-在区间[)1,+∞上单调递减， 当1t =时，该函数取得最大值，即max 1y =-，1a ∴≥-. 因此，实数a的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】本题考查利用函数值求参数、函数定义域的求解以及不等式恒成立问题的求解，考查参变量分离法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。
湖南省衡阳市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题含解析
湖南省衡阳市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()41xf x =-，则在()1,3上，()1f x ≤的解集是（）A ．3(1,]2B ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3[,3)2D ．[2,3)2．已知m ＞0，n ＞0，向量(,1),(1,1),a m b n a b ==-⊥r rr r 且 则12m n+ 的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．322+D ．422+3．已知函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()xf xg x x e +=+，则(1)(1)f g -+的值为（） A ．1e e- B ．1e +C ．1e e+ D ．1e -4．如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（ ）A ．122434B ．82434C ．82438D ．8212385．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角6．设平面向量()()2,1,0,2a b ==-v v ，则与+2a b v v 垂直的向量可以是（ ）A ．()4,6-B ．()4,6C ．()3,2-D ．()3,27．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意x ∈R 都有()2f x '>，(1)3f =，则不等式()210f x x -->的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞8．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ）A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭9．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过其右焦点F 作斜率为2的直线，交双曲线的两条渐近线于,B C 两点（B 点在x 轴上方），则BF CF=（ ）A ．2B ．3C ．D ．11．已知225sin )a x dx -=⎰，且2am π=.则展开式212(1)mx x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中x 的系数为（ ） A ．12B ．-12C ．4D ．-412．若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.则下列命题中是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13． (文科学生做) 若tan(2)2,tan()3αβαβ+=+=，则tan α= ______． 14．曲线21x y xe x +＝﹣在点(0,1)-处的切线方程为_______．15．已知a 是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且 2a ≤，则实数m 的取值范围是________.16．如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==，P 是ABC V 内一动点，120BPC ∠=︒，则AP 的最小值为____________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． (本小题满分12分) 某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在50[，)60的学生人数为1．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70≥”的概率． 18．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x << （1）求实数,a b 的值；（212at bt +.19．（6分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，2,2AB AP ==，．（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角E AF C --的大小．频率/组距 0.0120.0160.01880 60 70 90100 x 0.02420．（6分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，90BAC ∠=︒. （1）求直线1A B 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点1B 到平面1A BC 的距离.21．（6分）为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.（1）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数； （2）已知跑步千米数在[20,30)的人数是跑步千米数在[60,70)的110，跑步千米数在[40,50)的人数是跑步千米数在[50,60)的12，现在从跑步千米数在[20,40)的跑友中抽取3名代表发言，用ξ表示所选的3人中跑步千米数在[20,30)的人数，求ξ的分布列及数学期望.22．（8分）一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C【解析】 【分析】首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线1y =下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可. 【详解】函数满足()()2f x f x =-，则函数关于直线1x =对称， 结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：()1f x ≤的解集即函数位于直线1y =下方点的横坐标，当[]0,1x ∈时，由411x -=可得12x =， 结合()()2f x f x =-可得函数()f x 与函数1y =交点的横坐标为32x =， 据此可得：()1f x ≤的解集是3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．C 【解析】分析：利用向量的数量积为0，求出m ，n 的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m ＞0，n ＞0，向量()(),1,1,1,a m b n a b ==-⊥r rr r 且，可得1m n +=，则()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当1,m n n +==时，表达式取得最小值3+.故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 3．C 【解析】 【分析】根据条件可得2()()x f x g x x e --+=+，与2()()xf xg x x e +=+联立便可解出()f x 和()g x ，从而得到(1)(1)f g -+的值。
2020年湖南省普通高中学业水平合格性仿真考试数学试卷参考答案
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2020年湖南省仿普真通考高中数学学业参水考平答合案格!性第仿!真页考试数学试卷
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2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数学试题(解析版)
2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数 学全卷共19小题，满分100分，考试时间为90分钟一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.2sin 22.5cos22.5︒︒的值为（ ）A.2B.4C.12D.22.已知集合{}1,0,2A =-，}3{B x =，，若{}2A B ⋂=，则x 的值为（ ） A. 3B. 2C. 0D. 1-3.函数()(1)(2)f x x x =-+的零点个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 34.函数()22log 4y x =-的定义域为（ ） A. RB. (,2)(2,)-∞-+∞UC. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (2,)+∞5.已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知直线l 1:y=2x+1,l 2:y=2x+5,则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A. 重合 B. 垂直 C. 相交但不垂直D. 平行7.袋内装的红､白､黑球分别有3，2，1个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少一个白球；都白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球 C. 至少一个白球；一个白球一个黑球D. 至少一个白球；红球､黑球各一个8．在△ABC 中，ab b c a =+-222，则角C 为（ ）A ．45°或135°B ．60°C ．120°D ．30°9.在等差数列{}n a 中，21a =，33a =，则其前10项和为（ ） A. 60B. 80C. 100D. 12010.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01A. y ＝2x －2B. y ＝12(x 2－1) C. y ＝log 2xD. y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．12.已知3a =r ，4b =r ，()(2)23a b a b +⋅+=r r r r，那么a r 与b r 的夹角为____________.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是_______________.14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，*1,n n a S n +=∈N ，则5a =________．15．已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是___________.三､解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）16.已知函数()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 最小正周期.。
2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷三数学（长郡版）
机密★启用前2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷三(长郡版)数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.共4页。
时量90分钟，满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是A.圆柱B.圆锥C.球D.三棱柱2. 己知集合 M = {0, 1, 2), N={1, x},若 MCN = {1, 2},则 x 的值为A3 B.2 C.l D.03. 已知向量a=(l, 2), b=(x, 4).若Mb,则实数x 的值为A.8B.2C.-2D.-84. 己知a>b・ c>d.则下列不等式恒成立的是A・a+c>b+d B.a+d>b+c Ca —c>b —d Da —b>c —d 5. 从一个装有3个红球A ” A 2, Aa 和2个白球B i ，Bz 的盒子中，随机取出2个球，取出的2个球都是红 球的概率为3 5 2 3A.- B.—— C. — D.——5 10 5 106. 己知函数y=x(x-a)的图象如图所示，则不等式x(x-a)<0的解集为A 」xl0WxW2}B (xl0<x<2| CJxlxWO 或 xN2] D.(xlx<0 或 x>2}7. 为了得到函数y=sin(x-：)的图象，只需将y=sinx 的图象A.向左平移!个单位长度B.向左平移;个单位长度C .向右平移［个单位长度D .向右平移生个单位长度3 38. 已知函数f(x)=ag 0且a#l), f(l)=2,则函数f(x)的解析式是1 1A・f(x)=4* Bf(x)=(-尸 C・f(x)=2， D.f(x)=(-尸4 29. 如图，长方形的而积为2,将50颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有30颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的而积为10.己知点P是圆Cl：（x-l）2+y2=l上的动点,点Q是圆C2：x?+（y-3）2=l上的动点，则线段IPQI长的最小值为A.应一2B710-1 C.710+1D>/10二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷(三)(解析版)
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（三）一、单选题1．三视图如右图的几何体是A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台【答案】B【解析】根据三视图可知，该几何体底面是四边形，侧面是三角形，因此可知该几何体是四棱锥，选B2．已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1【答案】B【解析】根据A B ⊆可得出关于a 的等式，解出即可. 【详解】Q 集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，A B ⊆，21a ∴+=，解得1a =-.故选：B. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 3．函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，C ．5,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】D【解析】根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果. 【详解】 由()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令22,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈所以522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 函数()f x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 故选：D 【点睛】本题考查正弦型函数的单调递增区间，重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用，使问题化繁为简，属基础题.4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.5．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）. A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=， 中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c . 故选：B. 【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6．已知直线a α⊂，给出以下三个命题： ①若平面//α平面β，则直线//a 平面β； ②若直线//a 平面β，则平面//α平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β。
2020年湖南省新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷(四)数学试题(解析版)
绝密★启用前
湖南省2020年新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷(四)
数学试题
(解析版)
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.某几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的体积为（）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可得几何体为横放着的四棱锥，其底面是边长为2和3的矩形，一条长为3的侧棱垂直于底面，再结合棱锥的体积公式求解即可.
【详解】解：由三视图可知,几何体为如图所示的横放着的四棱锥,其底面是边长为2和3的矩形,一条长为3的侧棱垂直于底面,
则
11
2336 33
ABCD
V S SB
=⨯=⨯⨯⨯=,
故选：A.
【点睛】本题考查空间几何体的三视图,由三视图还原几何体是解题的关键,属基础题.
2.已知集合{}1,0,2A =-,}3{B x =，
,若{}2A B ⋂=,则x 的值为（ ） A. 3
B. 2
C. 0
D. 1-
【答案】B
【解析】
【分析】
由{}2A B ⋂=得,2B ∈,可解除答案. 【详解】集合{}1,0,2A =-,}3{B x =，
. {}2A B ⋂=,则2B ∈.
所以2x =.
故选：B
【点睛
本题考查根据两个集合的交集求集合的元素.属于基础题.
3.已知函数()sin cos f x x x =+,则函数()f x 的最大值和周期分别是（ ） 22π 2,π C. 2,2π
D. 2,π
【答案】A
【解析】
【分析】。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱【答案】D【解析】分析几何体的结构，可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱. 故选：D. 【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题.2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据平面向量的坐标运算可求得x 的值. 【详解】已知向量()2,1a =，()11b =-,，则()()1,2,2a b x +==，因此，1x =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题. 3．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ） A ．4πB ．2π C ．π D ．2π【答案】C【解析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A【解析】直接由古典概型的概率公式求解即可 【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球， 所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13, 故选：A 【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题5．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移1个单位长度 C ．向右平移1个单位长度 D ．向左平移1个单位长度【答案】A【解析】由函数图象平移原则即可知如何平移y =sin x 的图象得到y =1+sin x 的图象. 【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A. 【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题. 6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】由已知可得通项公式12n n a ，即可求a 4的值.【详解】由题意a n +1=2a n 可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故可得数列的通项公式为12n na ，∴3428a ==，故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题.7．已知函数2,0()0x x f x x +≤⎧⎪=>，若f (0)=a ，则f (a )=（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】C【解析】先由f (0)=a ，可得2a =，从而可求出f (a )的值 【详解】解：因为f (0)=a ，代入分段函数中可得02a +=，得2a =，所以()(2)f a f ==，故选：C 【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题8．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】利用二倍角的正弦公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 2【答案】C【解析】由已知可得6x y +=，而矩形的面积S xy =，应用基本不等式即可求矩形的最大面积. 【详解】设矩形的长、宽分别为,x y cm ，则有2()12x y +=，即6x y +=， ∵矩形的面积Sxy =，∴2()94x y S xy +=≤= cm 2，当且仅当3x y ==时等号成立，故选：C 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题. 10．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]- ②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]- ③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-= 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④【答案】D【解析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与x 轴交点的个数可得其零点的个数，当1a =时，可得()()0f a f a +-= 【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2-，所以①错误； 由图像可知函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-，所以②正确；由图像可知其图像与x 轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误； 当1a =时，有()()(1)(1)220f a f a f f +-=+-=-+=，所以④正确， 故选：D 【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________. 【答案】1【解析】由A B ⊆，得到1是方程2x a =是方程的根，代入即可求解. 【详解】由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =， 当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆， 所以1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________ 【答案】12【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人， 所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302=， 故答案为：12【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题13．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________. 【答案】-1【解析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k 值. 【详解】由l 1⊥l 2，知：1k =-， 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________. 【答案】15【解析】由题意可得等差数列通项公式n a n =，结合1()2n n n a a S +=可得前n 项和公式，进而求5S 即可. 【详解】由等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，知：公差1d =，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)n a a n d n =+-=， ∴由等差数列前n 项和公式1()(1)22n n n a a n n S ++==， 即可得55(51)152S ⨯+==， 故答案为：15. 【点睛】本题考查了求等差数列前n 项和，属于简单题.15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.【答案】35【解析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可 【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)， 所以223cos 534x r α===+， 故答案：35【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值; （2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【答案】（1）25小时；（2）0.3.【解析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数， ∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=；（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=. 【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 17．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23.（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值. 【答案】（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【解析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦函数的性质直接求其最大值 【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC 3所以222222(23)3cos 222223AB BC AC B AB BC +-===⋅⨯⨯， 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+，所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题18．如图所示，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面PAB ;（2）已知AB =AC =4，PA =6，求三棱锥F -AEC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】（1）连接EF 有中位线//EF PB ，结合,EF PB 与面PAB 的关系，由线面平行的判定即可证//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G 易知FG 是三棱锥F -AEC 的高，结合已知有2ABCAECSS =即可求三棱锥F -AEC 的体积.【详解】（1）连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故//EF PB ，∵EF ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB ∴//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G ，如下图示：∵P A ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点， ∴由P A =6，则32PAFG ==， 又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，知：44424ABCAECSS⨯===， ∴三棱锥F -AEC 的体积143AECV FG S =⋅⋅=.【点睛】本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.19．已知函数(())xxf x ag x a-==，，其中0a >，且1a ≠.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围;（3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2）1a >；（3）证明见解析 【解析】（1）利用函数的奇偶性做出判断;（2）()()xx x f x g a a -⇔≥≥对x ∈R 都成立，可求出a 的范围（3）由(1)2f =，求出2a =，由已知AB BC =得到000222x xx -=-，求得121t t =得证. 【详解】(1) ()f x 是偶函数()x f x a =，))((xxf x aa f x -∴==-=,()f x ∴是偶函数（2）))((xxf x ag ax -==，(())xx x f x g a a-≥⇔≥∴当1a >时0x x x x R ≥-⇒≥⇒∈ 满足题意， 当01a <<时00x x x x ≥-⇒≤⇒= 不满足题意 所以1a >第 11 页 共 11 页 （3）(1)2,2f a =∴= ()22()x x f x g x -∴==，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC = ,设01(,)B x t 则02(,)C x t0122x t t ∴=- ，又00122,2,x x t t -==02122log log x t t ∴==-212212log log 01t t t t ∴+=⇒=故存在实数12t t ，当121t t =使得四边形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
（第3题图）俯视图侧视图正视图2020年普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）A ．15 B ．14 C ．49 D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A B km C ．1.5km D ．2km（第14题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ．14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a =，且4a b =，则b = .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,22παα=∈（1）求tan α的值；（2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.a （第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14； 15、 4三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α=（2）2sin 2cos22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人） 18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩ （2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒< （3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒<112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球2.已知元素{0,1,2,3}a ∈，且{0,1,2}a ∉，则a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A.15 B. 25C.35 D.454.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC 中，若0AB AC ⋅=，则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.sin120的值为A.22B.1-C. 32D. 22-7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 与11A C 的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直 8.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A.{|12}x x -≤≤B. {|12}x x -<<C. {|12}x x x ≤-≥或D. {|12}x x x <->或9.点(,1)P m 不在不等式02<-+y x 表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是 A.1m < B. 1m ≤ C.1m ≥ D.1m >10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11. 样本数据2,0,6,3,6-的众数是 .12. 在ABC ∆中, 角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,sin 3a b A ===，则sin B ＝ .13. 已知a 是函数()22log f x x =-的零点, 则实数a 的值为 . 14.已知函数sin (0)y x ωω=>在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为 .15. 如图1，矩形ABCD 中，2,,AB BC E F =分别是,AB CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个二面角A EF C --（如图2）则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角为 .三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分6分）已知函数,[0,2],()4,(2,4].x x f x x x∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩（1）画出函数()f x 的大致图像；（2）写出函数()f x 的最大值和单调递减区间.17.（本小题满分8分）某班有学生50人，期中男同学300人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.18. （本小题满分8分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，且234,1,a a a +成等差数列. （1）求1n a a 及；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前5项和5S .19. （本小题满分8分） 已知向量(1,sin ),(2,1).a b θ== （1）当6πθ=时，求向量2a b +的坐标；（2）若a ∥b ，且(0,)2πθ∈，求sin()4πθ+的值.20. （本小题满分10分）已知圆22:230C x y x ++-=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于1122(,),B(,)A x y x y 两点，求证：1211x x +为定值； （3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于,D E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDBBACDACA二 、填空题（每小题4分，满分20分） 11.6 12.23 13.4 14.2 15. 45（或4π）三 、解答题（满分40分）16. 解：(1)函数()f x 的大致图象如图所示; ……………………………2分 (2)由函数()f x 的图象得出,()f x 的最大值为2, ………………4分其单调递减区间为[]2,4.…………6分17. 解: (1)305350⨯=(人), 205250⨯=(人), 所以从男同学中抽取3人, 女同学中抽取2人; ……………………………………4分 (2)过程略. 3()5P A =. ……………………………………………………………………………8分18. 解: (1)12n n a -=; ………………………………………………………………4分 (2)546S =. ……………………………………………………………………………8分 19. 解: (1)()4,2; …………………………………………………………………4分 (2)264+. ………………………………………………………………………8分 20. 解: (1)配方得()2214x y ++=, 则圆心C 的坐标为()1,0-,……………………2分 圆的半径长为2; ………………………………………………………………………4分 (2)设直线l 的方程为y kx =, 联立方程组22230x y x y kx⎧++-=⎨=⎩,消去y 得()221230k x x ++-=, ………………………………………………5分则有: 1221222131x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩………………………………………………6分所以1212121123x x x x x x ++==为定值. ………………………………………………7分 (3)解法一 设直线m 的方程为y kx b =+, 则圆心C 到直线m 的距离d =所以DE =, …………………………………8分()2241222CDEd d S DE d d ∆-+=⋅=≤=,当且仅当d =即d =时, CDE ∆的面积最大, …………………………9分=解之得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分解法二 由(1)知2CD CE R ===, 所以1sin 2sin 22CDE S CD CE DCE DCE ∆=⋅⋅∠=∠≤,当且仅当CD CE ⊥时, CDE ∆的面积最大,此时DE = ………………………………………………………8分 设直线m 的方程为y x b =+ 则圆心C 到直线m的距离d =…………………………………………………9分由DE ===,得d=得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
2020年湖南高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷(一)含答案
2020年湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（一）时量：90分钟，满分：100分 班级： 姓名： 学号： 得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，将装有水的长方体固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A. 棱柱B. 棱台C. 棱柱与棱锥的组合体D. 不能确定2.已知集合{}1,3A =，{}3,4B =，则A B U 等于( )A. {}1,3B. {}3,4C. {}3D. {}1,3,4 3.若()1cos 2πα+=-，322παπ<<，则sin α=( ) A. 12 B. 3± C. 3 D. 3- 4.如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 5.6 3.a =v ，1b =v ，9a b ⋅=-v v ，则a v 与b v 的夹角( )A. 120︒B. 150︒C. 60︒D. 30° 6.已知0a >，0b >，1a b +=，则11a b +的最小值为( ) A. -2 B. 2C. 4D. -4 7.函数()23x f x -=的定义域为( ) A . (),0-∞B. [)0,+∞C. [)2,+∞D. (),2-∞ 8.经过点(02) P ，且斜率为2的直线方程为( ) A. 220x y ++=B. 220x y --=C. 220x y -+=D. 220x y +-=9.设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c << B. c b a << C. b a c << D. b c a <<10.函数f(x)=12-cos2π-4x⎛⎫⎪⎝⎭的单调增区间是( )A.ππ2π-,2π22k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k∈Z B.π3π2π,2π22k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k∈ZC.π3ππ,π44k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k∈Z D.πππ-,π44k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k∈Z二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知角的终边过点(1,2)P-，则sinα的值为．12.若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为__ ___．13.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．14.若实数x，y满足约束条件1xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y=+的最大值为______.15.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30°角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75︒角，则河的宽度为______m.三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知23 cos(),(,)41024 x xπππ-=∈.（1）求sin x 的值；（2）求sin(2)3xπ+的值.17. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；18.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l . （1）求直线2l 的方程；（2）求直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积．19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*114n n S a n N =+∈. （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列.2020年湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（一）答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）ADDBB CCCBC二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）25, 18, 16, 3 , ()5031+ 三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是272sin()1cos ()4410x x ππ-=--= sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444x x x x ππππππ=-+=-+-7222241021025=⨯+⨯= （2）因为3(,)24x ππ∈，故2243cos 1sin 1()55x x =--=--=- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=- 所以中2473sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ++=+=-. 17. (1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，BDÌ底面ABCD ，∴SA ⊥BD∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面SAC ，又BDÌ平面EBD∴平面EBD ⊥平面SAC.(2)解：设AC∩BD ＝O ，连结SO ，则SO ⊥BD由AB ＝2，知BD ＝22SO ＝()22224232SA AO +=+= ∴S △SBD ＝12BD·SO ＝12·22·22＝6 令点A 到平面SBD 距离为h ，由SA ⊥平面ABCD, 则12·S △SBD ·h ＝12·S △ABD ·SA ∴6h ＝12·2·2·4 Þ h ＝12∴点A 到平面SBD 的距离为1218.试题分析：(1) 由直线1l ：3410x y ++=,知134l k =- 又因为1l ⊥2l ，所以121l l k k ⋅=-解得243l k =所以2l 的方程为整理得4320x y -+= （2）由2l 的方程4320x y -+= 解得，当0x =时，23y =当0y =时，12x =- 所以11212236S ∆=-⋅=，即该直线与两坐标轴围成的面积为16. 19.（1）由已知条件得：()211114a a =+.∴11a =. 又有()2122114a a a +=+，即222230a a --=. 解得21a =-（舍）或23a =.（2）由()2114n n S a =+得 2n ≥时：()211114n n S a --=+， ∴()()22111114n n n n S S a a --⎡⎤-=+-+⎣⎦ ()2211124n n n n a a a a --⎡⎤=-+-⎣⎦， 即2211422n n n n n a a a a a --=-+-， ∴2211220n n n n a a a a ---+-=， ∴()()1120n n n n a a a a ----+=， ∴120n n a a ---=即()122n n a a n --=≥， 经过验证1n =也成立， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ） A ．4πB ．2π C ．π D ．2π4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．15．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移1个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数2,0()0x x f x x +≤⎧⎪=>，若f (0)=a ，则f (a )=（ ）A ．4B ．2CD ．08．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 210．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]- ②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]- ③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-= 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________. 12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________13．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________. 15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值; （2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.17．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.18．如图所示，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面P AB ;（2）已知AB =AC =4，P A =6，求三棱锥F -AEC 的体积. 19．已知函数(())x x f x a g x a -==，，其中0a >，且1a ≠. （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围;（3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.参考答案1．D 【分析】分析几何体的结构，可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱. 故选：D. 【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题. 2．B 【分析】根据平面向量的坐标运算可求得x 的值. 【详解】已知向量()2,1a =，()11b =-,，则()()1,2,2a b x +==，因此，1x =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【分析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积. 【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题. 4．A 【分析】直接由古典概型的概率公式求解即可 【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13, 故选：A 【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题 5．A 【分析】由函数图象平移原则即可知如何平移y =sin x 的图象得到y =1+sin x 的图象. 【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A. 【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题. 6．B 【分析】由已知可得通项公式12n n a ，即可求a 4的值.【详解】由题意a n +1=2a n 可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故可得数列的通项公式为12n na ，∴3428a ==，故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题. 7．C 【分析】先由f (0)=a ，可得2a =，从而可求出f (a )的值 【详解】解：因为f (0)=a ，代入分段函数中可得02a +=，得2a =，所以()(2)f a f ==，故选：C 【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题 8．B 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．C 【分析】由已知可得6x y +=，而矩形的面积S xy =，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为,x y cm ，则有2()12x y +=，即6x y +=， ∵矩形的面积Sxy =，∴2()94x y S xy +=≤= cm 2，当且仅当3x y ==时等号成立，故选：C 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题. 10．D 【分析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与x 轴交点的个数可得其零点的个数，当1a =时，可得()()0f a f a +-= 【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2-，所以①错误； 由图像可知函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-，所以②正确；由图像可知其图像与x 轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误； 当1a =时，有()()(1)(1)220f a f a f f +-=+-=-+=，所以④正确， 故选：D 【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题 11．1 【分析】由A B ⊆，得到1是方程2x a =是方程的根，代入即可求解. 【详解】由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =， 当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆， 所以1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题. 12．12【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人， 所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302=， 故答案为：12【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题 13．-1 【分析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k 值. 【详解】由l 1⊥l 2，知：1k =-， 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题. 14．15 【分析】由题意可得等差数列通项公式n a n =，结合1()2n n n a a S +=可得前n 项和公式，进而求5S 即可. 【详解】由等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，知：公差1d =，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)n a a n d n =+-=， ∴由等差数列前n 项和公式1()(1)22n n n a a n n S ++==， 即可得55(51)152S ⨯+==， 故答案为：15. 【点睛】本题考查了求等差数列前n 项和，属于简单题. 15．35【分析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可 【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===， 故答案：35【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题 16．（1）25小时；（2）0.3. 【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数， ∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=； （2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=. 【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 17．（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值 【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC所以222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅ 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+， 所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】 此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题18．（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）连接EF 有中位线//EF PB ，结合,EF PB 与面PAB 的关系，由线面平行的判定即可证//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G 易知FG 是三棱锥F -AEC 的高，结合已知有2ABC AEC S S=即可求三棱锥F -AEC 的体积.【详解】（1）连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故//EF PB ，∵EF ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB∴//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G ，如下图示：∵P A ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点，∴由P A =6，则32PA FG ==， 又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，知：44424ABC AEC S S ⨯===， ∴三棱锥F -AEC 的体积143AEC V FG S =⋅⋅=.【点睛】 本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题. 19．（1）偶函数，理由见解析；（2）1a >；（3）证明见解析 【分析】 （1）利用函数的奇偶性做出判断;（2）()()x x x f x g a a -⇔≥≥对x ∈R 都成立，可求出a 的范围（3）由(1)2f =，求出2a =，由已知AB BC =得到000222x x x -=-，求得121t t =得证.【详解】 (1) ()f x 是偶函数 ()x f x a =，))((x x f x aa f x -∴==-=,()f x ∴是偶函数 （2）))((x x f x a g a x -==，(())x x x f x g a a -≥⇔≥∴ 当1a >时0x x x x R ≥-⇒≥⇒∈ 满足题意， 当01a <<时00x x x x ≥-⇒≤⇒= 不满足题意所以1a >（3）(1)2,2f a =∴= ()22()x x f x g x -∴==，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC = ,设01(,)B x t 则02(,)C x t 0122x t t ∴=- ，又00122,2,x x t t -== 02122log log x t t ∴==-212212log log 01t t t t ∴+=⇒=故存在实数12t t ，当121t t =使得四边形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.。
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷(五)(解析版)
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（五）一、单选题1．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定【答案】A【解析】运用图形判断，结合棱柱的概念． 【详解】如图，∵平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形（水面与两平行平面的交线）因此呈棱柱形状． 故选A 【点睛】本题考查了空间几何体长方体的性质及概念，考查空间想象能力，属于中档题． 2．已知集合{}1,3A =，{}3,4B =，则A B U 等于（ ） A ．{}1,3 B ．{}3,4 C ．{}3 D ．{}1,3,4【答案】D【解析】直接利用并集的定义求出即可 【详解】因为{}1,3A =，{}3,4B = 所以{}1,3,4A B ⋃= 故选：D 【点睛】本题考查的是集合的基本运算，较简单. 3．若()1cos 2πα+=-，322παπ<<，则sin α=（ ） A ．12 B ．32±C ．3D ．3-【答案】D【解析】先由诱导公式得()1cos cos 2παα+=-=-，然后再由平方关系求出sin α 【详解】因为()1cos cos 2παα+=-=- 所以1cos 2α=，因为322παπ<< 所以23sin 1cos 2αα=--=- 故选：D 【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式和平方关系，较简单.4．如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】输入x ＝2后，该程序框图的执行过程是：输入x ＝2， x ＝2>1成立， y2， 输出y ＝2． 选B.5．a =v 1b =v ，9a b ⋅=-v v ，则a v 与b v 的夹角（ ）A ．120︒B ．150︒C ．60︒D ．30°【答案】B【解析】由向量数量积定义计算两向量夹角余弦后可得角的大小． 【详解】由已知cos a b a b a b ⋅<⋅>===r rr r r r∴150a b <⋅>=︒r r． 故选：B ． 【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量数量积的定义． 6．已知0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为（ ） A ．-2 B ．2C ．4D ．-4【答案】C【解析】将()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开，然后运用基本不等式求解【详解】 因为1a b += 所以()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭当且仅当b aa b =即12a b ==时取得等号 所以11a b+的最小值为4 故选：C【点睛】本题考查的是运用基本不等式求最值，属于常考题型. 7．函数()23x f x -=的定义域为（ ） A ．(),0-∞ B ．[)0,+∞C ．[)2,+∞D ．(),2-∞【答案】C【解析】解出不等式20x -≥即可 【详解】 要使得()23x f x -=有意义，则有20x -≥，即2x ≥所以()23x f x -=的定义域为[)2,+∞故选：C 【点睛】本题考查的是求函数的定义域，较简单. 8．经过点且斜率为2的直线方程为( ) A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】由直线的点斜式方程，可得经过点且斜率为2的直线方程，得到答案.【详解】由直线的点斜式方程，可得经过点且斜率为2的直线方程为，即，故选C.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中熟记直线的点斜式方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】试题分析：由题化简所给式子判断a ，b ，c 范围即可得到其大小；13133331214log log 21,log log 0,log 1,2323a b c b a c ==<==-=∴<<Q ，故选C ． 【考点】对数式的大小比较10．函数f (x )=12-cos 2π-4x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调增区间是( ) A ．ππ2π-,2π22k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z B ．π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z C ．π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z D ．πππ-,π44k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z 【答案】C【解析】先根据二倍角余弦公式以及诱导公式化简，再根据正弦函数性质求单调增区间. 【详解】∵f (x )=π1cos -21222x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=-cos π-22x ⎛⎫⎪⎝⎭=-sin 2x ,令π2+2k π≤2x ≤32π+2k π,∴π4+k π≤x ≤34π+k π, ∴增区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . 选C 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、诱导公式、正弦函数性质，考查基本求解能力.二、填空题11．已知角的终边过点(1,2)P -，则sin α的值为 ．【解析】试题分析：由题角的终边过点(1,2)P -：因为：sin yrα=，r ==则；sin 5α=【考点】三角函数的定义.12．若x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则xy 的最大值为_____． 【答案】18． 【解析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，所以2x y +≥18xy ≤， 当且仅当2x y =，即12x =，14y =时，等号成立，所以xy 的最大值为18.故答案为：18【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值，应用基本不等式注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.13．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______． 【答案】16【解析】【详解】甲同学从四种水果中选两种共246C =种方法，乙同学从四种水果中选两种共246C =种方法，则甲、乙两位同学选法种数共2244C C ⋅，两同学相同的选法种数为246C =， 所以24224416C C C =⋅。
2020年湖南省普通高中学业水平和合格性考试仿真卷数学试题PDF版含答案
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2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题（附解析）一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．15．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ）A ．向上平移1个单位长度B ．向下平移1个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数2,0(),0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若f (0)=a ，则f (a )=（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ．08．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ）A ．2π B ．π C ．2π D ．4π9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 210．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]-②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-=其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________13．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________.15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.17．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=23.（1）求内角B的大小;（2）设函数f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.18．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F分别为BC，PC的中点.（1）求证: EF //平面PAB ;（2）已知AB =AC =4，PA =6，求三棱锥F -AEC 的体积.19．已知函数(())x x f x a g x a -==，，其中0a >，且1a ≠.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围;（3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题（解析）一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱【答案】D 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱.故选：D.2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】已知向量()2,1a =，()11b =-,，则()()1,2,2a b x +==，因此，1x =.故选：B. 3．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==，故选：C4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．1【答案】A【详解】由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13, 故选：A5．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ）A ．向上平移1个单位长度B ．向下平移1个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度【答案】A【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A.6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】B【详解】由题意a n +1=2a n 可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，故可得数列的通项公式为12n n a ，∴3428a ==， 故选：B.7．已知函数2,0(),0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若f (0)=a ，则f (a )=（ ） A ．4B ．2C ．2D ．0 【答案】C【详解】因为f (0)=a ，代入分段函数中可得02a +=，得2a =，所以()(2)2f a f ==，故选：C 8．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 故选：B.9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 2 【答案】C【详解】设矩形的长、宽分别为,x y cm ，则有2()12x y +=，即6x y +=，∵矩形的面积S xy =， ∴2()94x y S xy +=≤= cm 2，当且仅当3x y ==时等号成立， 故选：C10．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]-②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-=其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】D【详解】由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2-，所以①错误；由图像可知函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-，所以②正确；由图像可知其图像与x 轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误；当1a =时，有()()(1)(1)220f a f a f f +-=+-=-+=，所以④正确，故选：D二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________.【答案】1【详解】由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =，当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆，所以1a =.故答案为：1.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________ 【答案】12【详解】因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人， 所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302=， 故答案为：1213．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________.【答案】-1【详解】由l 1⊥l 2，知：1k =-，故答案为：-1.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________.【答案】15.【详解】由等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，知：公差1d =，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)n a a n d n =+-=，∴由等差数列前n 项和公式1()(1)22n n n a a n n S ++==， 即可得55(51)152S ⨯+==， 故答案为：15.15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________. 【答案】35【详解】因为角α的终边经过点(3，4)，所以2233cos 534x r α===+，故答案：35三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=； （2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)， ∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=.17．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23.（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC =23. 所以2222222(23)23cos 222223AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+， 所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈18．如图所示，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面PAB ;（2）已知AB =AC =4，PA =6，求三棱锥F -AEC 的体积.【详解】（1）连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故//EF PB ，∵EF ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB∴//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G ，如下图示：∵P A ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点， ∴由P A =6，则32PA FG ==， 又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，知：44424ABC AEC S S⨯===， ∴三棱锥F -AEC 的体积143AEC V FG S =⋅⋅=. 19．已知函数(())x x f x a g x a -==，，其中0a >，且1a ≠.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围; （3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.【详解】 (1) ()f x 是偶函数 ()x f x a =，))((x x f x aa f x -∴==-=,()f x ∴是偶函数 （2）))((x x f x a g a x -==，(())x x x f x g a a -≥⇔≥∴ 当1a >时0x x x x R ≥-⇒≥⇒∈ 满足题意， 当01a <<时00x x x x ≥-⇒≤⇒= 不满足题意所以1a >（3）(1)2,2f a =∴= ()22()x x f x g x -∴==，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC = ,设01(,)B x t 则02(,)C x t 0122x t t ∴=- ，又00122,2,x x t t -== 02122log log x t t ∴==-212212log log 01t t t t ∴+=⇒=故存在实数12t t ，当121t t =使得四边形ABCD 为正方形.。