抛物线讲义(备课)
《抛物线的几何性质》 讲义
《抛物线的几何性质》讲义一、抛物线的定义在平面内，到定点 F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
我们可以通过一个简单的实例来理解抛物线的定义。
想象一个手电筒，当灯泡位于焦点位置，光线沿着与准线平行的方向射出，被照亮的区域的边界就是一条抛物线。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、焦点在 x 轴正半轴上：＄y^2 ＝ 2px （p>0)＄，焦点坐标为$（＼frac{p}｛2}， 0)＄，准线方程为$x ＝＼frac{p}｛2}＄。
2、焦点在 x 轴负半轴上：＄y^2 ＝－2px （p>0)＄，焦点坐标为$（＼frac{p}｛2}， 0)＄，准线方程为$x ＝＼frac{p}｛2}＄。
3、焦点在 y 轴正半轴上：＄x^2 ＝ 2py （p>0)＄，焦点坐标为$（0, ＼frac{p}｛2}）＄，准线方程为$y ＝＼frac{p}｛2}＄。
4、焦点在 y 轴负半轴上：＄x^2 ＝－2py （p>0)＄，焦点坐标为$（0, ＼frac{p}｛2}）＄，准线方程为$y ＝＼frac{p}｛2}＄。
在这些方程中，p 表示焦点到准线的距离，它决定了抛物线的开口大小和形状。
例如，对于方程$y^2 ＝8x$，我们可以看出$2p ＝8$，即$p ＝4$，所以焦点坐标为$（2, 0)＄，准线方程为$x ＝－2$。
三、抛物线的几何性质1、范围对于抛物线$y^2 ＝ 2px （p>0)＄，因为$y^2 ＼geq 0$，所以$x ＼geq 0$，即抛物线在 x 轴的右侧；对于抛物线$x^2 ＝ 2py （p>0)＄，＄x ＼in R$，＄y ＼geq 0$，即抛物线在 y 轴的上方。
2、对称性抛物线都是关于其对称轴轴对称的。
例如，＄y^2 ＝ 2px （p>0)＄关于 x 轴对称，＄x^2 ＝ 2py （p>0)＄关于 y 轴对称。
第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
第八章 §8.8 抛物线-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§8.8抛物线课标要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l 的一条直线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F |PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．3．设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，准线x ＝－p2与x 轴相交于点P ，过焦点F l与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为原点，α为AB 与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|，|AB |＝x 1＋x 2＋p ，|AB |＝2p sin 2α.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y ＝4x 2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)标准方程y 2＝2px (p >0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离．(√)(4)焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2＝±2py (p >0)，也可以写成y ＝ax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(√)2．(选择性必修第一册P133T2改编)抛物线x 2＝14y 的准线方程为()A ．y ＝－116B ．x ＝－116C ．y ＝116D ．x ＝116答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y 准线方程为y ＝－116.3．(选择性必修第一册P133T3改编)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x答案B解析由题意可得|MF |＝x M ＋p2，则3＋p2＝4，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点到焦点的最短距离为1，则p 的值为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，则最短距离为p2＝1，所以p＝2.题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为() A．x2＝8y B．x2＝16yC．y2＝8x D．y2＝16x答案A解析因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，所以A(0,2)，B(0，－2)，又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2)，准线为y＝－2，所以P的轨迹方程为x2＝8y.(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p＝42；当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为4141，解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或p ＝22.①②思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y ＝mx 2(m >0)上的点(x 0,2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A ．4B ．3 C.14D.13答案D解析由题意知，抛物线y ＝mx 2(m >0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0,2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13.(2)已知点P 为抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到l ：x ＝1的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是()A.52B.522C ．2D.2答案B解析直线l ：x ＝1为抛物线y 2＝－4x 的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，如图所示，当点P 为所作直线与抛物线的交点时，d 1＋d 2的值最小，为点F 到直线x ＋y －4＝0的距离．∵F (－1,0)，∴(d 1＋d 2)min ＝|－1＋0－4|2＝522.题型二抛物线的标准方程例2(1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________．答案y 2＝163x 或x 2＝－94y解析∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y 中，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，则2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，点A ，B 在抛物线上，且直线AB 过点D －p2，0F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |＝6，则抛物线C 的标准方程为________．答案y 2＝8x解析如图，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义可知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∵2|FB |＝|FA |，∴2|BB 1|＝|AA 1|，则易知B 为AD 的中点．连接OB ，则OB 为△DFA 的中位线，∴2|OB |＝|FA |，∴|OB |＝|FB |，∴点B 在线段OF 的垂直平分线上，∴点B 的横坐标为p4，∴|FB |＝p 2＋p4＝3，∴p ＝4，∴抛物线C 的标准方程为y 2＝8x .思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)(2023·临汾统考)抛物线C 的焦点F 关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C 的方程为()A ．x 2＝6yB ．x 2＝12yC ．x 2＝18yD ．x 2＝36y答案B解析由题可知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，y ＝－p2，所以p2＋(－9)2＝－p 2，解得p ＝6，所以抛物线C 的方程为x 2＝12y .(2)设抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，点P 在抛物线C 上，|PF |＝52，若以线段PF 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C 的方程为________．答案x 2＝2y 或x 2＝8y解析由题意设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，P (x 0，y 0)，，圆的半径为54，由焦半径公式可知y 0＋p 2＝52，得y 0＝5－p 2，并且线段PF 中点的纵坐标是y 0＋p22＝54，所以以线段PF 为直径的圆与x 轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，所以x 0＝±2，即点P 代入抛物线方程x 2＝2py (p >0)，得4＝2p ·5－p2，解得p ＝1或p ＝4，即当点F 在y 轴正半轴时，抛物线方程是x 2＝2y 或x 2＝8y .题型三抛物线的几何性质例3(1)(2023·兰州一中模拟)已知圆x 2＋y 2＝1与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则p 等于()A.52B.25C.522D.255答案D解析因为四边形ABCD 是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p ，所以有＋p 2＝1，解得p ＝255.(2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是()A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE ∥x 轴，所以∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形，所以∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4，故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ∥AE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；因为∠DAE ＝60°，所以∠ADE ＝30°，所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确；因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3(p ＝0舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM →＝2MN →，则|NF |＝________.答案16解析易知焦点F 的坐标为(4,0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM →＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|NF |＝16.课时精练一、单项选择题1．在平面内，已知定点A 及定直线l ，记动点P 到l 的距离为d ，则“|PA |＝d ”是“点P 的轨迹是以点A 为焦点，直线l 为准线的抛物线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析“点P 的轨迹是以点A 为焦点，直线l 为准线的抛物线”⇒“|PA |＝d ”，反之不成立，当直线经过定点A 时，轨迹不是抛物线．因此“|PA |＝d ”是“点P 的轨迹是以点A 为焦点，直线l 为准线的抛物线”的必要不充分条件．2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点M (x 0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A ．6B ．4C ．3D ．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y ＝－p 2，可得1＋p2＝2，解得p ＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p ＝2.3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝－8x答案D解析由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.4．(2023·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于()A．3B．4 C.43D.7 3答案B解析过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为()A．4B．6C．8D．10答案C解析如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则|PF|＝|PA|，当CP垂直于抛物线的准线时，|CP|＋|PA|最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6,2)，半径为2，所以|PQ|＋|PF|的最小值为|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.6．(2024·许昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为()A ．π B.π2C.π3D.π4答案B解析由题意，作图如图所示，设P (t 2,2t )(不妨令t >0)，由已知可得F (1,0)，则所以直线OM 的方程为y ＝2t t 2＋1x ，设k ＝2t t 2＋1，则k ＝2t ＋1t ≤1，当且仅当t ＝1时取等号，所以点F 到直线OM 的距离为|k |k 2＋1＝11＋1k 2≤22，即圆F 的半径最大值为22，面积最大值为π2.二、多项选择题7．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，点F 是抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点，点B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，则下列结论正确的是()A ．C 的准线方程为x ＝24B ．b ＝2C.OA →·OB →＝2D.1|AF |＋1|BF |＝16215答案BD解析点a >0)，B (a ，b )(b >0)在抛物线C 2＝a 22，2＝a 2，＝2，＝2，则抛物线C ：y 2＝2x ，B (2，2)，抛物线C 的准线方程为x ＝－24，故A 错误，B 正确；OA →·OB →＝22×2＋1×2＝1＋2，故C 错误；抛物线C 的焦点则|AF |＝324，|BF |＝524，则1|AF |＋1|BF |＝223＋225＝16215，故D 正确．8．(2024·大庆模拟)已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线上的两点，下列结论正确的是()A ．|MF |的最小值为2B ．若|MF |＋|NF |＝12，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为6C ．若直线MN 过点F ，则x 1x 2＝4D ．若MF →＝λNF →，则|MN |的最小值为8答案AD解析对于A ，x 2＝8y ，则p ＝4，焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2，∴|MF |＝y 1＋2，∵y 1≥0，∴|MF |≥2，当且仅当y 1＝0时等号成立，故A 正确；对于B ，∵|MF |＋|NF |＝12，根据抛物线定义得y 1＋2＋y 2＋2＝12，则y 1＋y 2＝8，而由中点坐标公式得点P 的纵坐标y P ＝y 1＋y 22＝4，即点P 到x 轴的距离为4，故B 错误；对于C ，由题意可知直线MN 斜率存在，∵直线MN 过点F ，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线方程整理得x 2－8kx －16＝0，∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16，故C 错误；对于D ，若MF →＝λNF →，则M ，F ，N 三点共线，由题得|MF |＋|NF |＝y 1＋2＋y 2＋2＝y 1＋y 2＋4＝x 21＋x 228＋4＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 28＋4＝64k 2＋328＋4，当k ＝0时，|MN |的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D 正确．三、填空题9．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若点A 到x 轴的距离是|AF |－2，则p ＝________.答案4解析由抛物线的方程可得设A (x 0，y 0)，则y 0≥0，则|AF |＝y 0＋p2，又点A 到x 轴的距离是|AF |－2，故y 0＝y 0＋p2－2，故p ＝4.10．(2023·洛阳模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm ，碗盖口直径为8cm ，碗体口直径为10cm ，碗体深6.25cm ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计)________．答案7cm解析以碗体的最低点为原点，向上的方向为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设碗体的抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，将点(5,6.25)代入，得52＝2p ×6.25，解得p ＝2，则x 2＝4y ，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm ，则两抛物线在第一象限的交点为(4，h －3)，代入到x 2＝4y ，得42＝4(h －3)，解得h ＝7.11．A ，B 是抛物线x 2＝2y 上的两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为123，则∠AOB ＝________.答案60°解析如图，∵|OA |＝|OB |，∴A ，B 两点关于y 轴对称，设A －a ，a 22B a ，a 22∴S △AOB ＝12×2a ×a 22＝123，解得a ＝23，∴B (23，6)，∴tan θ＝236＝33，∴θ＝30°，∴∠AOB ＝2θ＝60°.12．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为________．答案1或3解析分别过点A ，B 作准线l ：x ＝－p2的垂线，垂足分别为C ，D ，设AB 的中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，根据抛物线的定义，得|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝4，所以在梯形ACDB 中，中位线|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝2，可得x 0＝2－p2，因为线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，所以|x 0－p2|＝1，所以|2－p |＝1，解得p ＝1或p ＝3.四、解答题13．已知动点M 与点F (2,0)的距离与其到直线x ＝－2的距离相等．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)求点M 与点A (6,0)的距离的最小值，并指出此时M 的坐标．解(1)由题意知动点M 到F (2,0)的距离与它到直线x ＝－2的距离相等，所以动点M 的轨迹为以F (2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线，因此动点M 的轨迹方程为y 2＝8x .(2)设由两点间的距离公式得|MA |＝m 464－m 22＋36＝164(m 2－16)2＋32，当m 2＝16，即m ＝±4时，|MA |min ＝42，即当M (2,4)或M (2，－4)时，点M 与点A 的距离最小，最小值为4 2.14．已知动圆过定点(4,0)，且在y 轴上截得的弦长为8.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)已知P 为轨迹C 上的一动点，求点P 到直线y ＝x ＋4和y 轴的距离之和的最小值．解(1)设圆心C 的坐标为(x ，y )，则半径r ＝(x －4)2＋y 2，又动圆在y 轴上截得的弦长为8，所以42＋x 2＝(x －4)2＋y 2，化简得y 2＝8x ，即动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝8x .(2)如图，设轨迹C 的焦点为F ，点P 到直线y ＝x ＋4的距离为|PP 1|，到y 轴的距离为|PP 2|，点F 到直线y ＝x ＋4的距离为|FF 1|，由抛物线的定义，可知|PP 2|＝|PF |－2，所以|PP 1|＋|PP 2|＝|PP 1|＋|PF |－2，由图可知|PP 1|＋|PF |的最小值为点F 到直线y ＝x ＋4的距离，所以(|PP 1|＋|PF |)min ＝|FF 1|＝61＋1＝32，所以|PP 1|＋|PP 2|的最小值为32－2.15.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子中做小球放入实验，如图所示，要求小球能与杯底接触，则他能放入小球的最大半径是()A.14B.12C.22D ．1答案B解析作杯子的截面得一抛物线，如图，建立平面直角坐标系，则点(1,1)在抛物线上，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则1＝2p ，p ＝12，抛物线方程为x 2＝y ，设球心为A (0，a )(a >0)，球半径为r ，P (x ，y )是抛物线上任一点，|AP |＝x 2＋(y －a )2＝y 2＋(1－2a )y ＋a 2，则r ＝|AP |min ，小球与杯底接触，则上式在y ＝0时取得最小值，|AP |＝y －2a －122＋4a －14，此时2a －12≤0，即0<a ≤12，r ＝|AP |min ＝a ，所以r max ＝a max ＝12.16．(2024·宣城模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，S △MNF S △MAF ＝λ，S △NBF S △MNF＝μ，则λμ＝____________.答案4解析如图，设∠MAF ＝θ，|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义可得|AM |＝a ，|BN |＝b ，∠MFO ＋∠NFO ＝∠MFA ＋∠NFB ＝π2，在△MAF 中，由余弦定理可得|MF |2＝2a 2(1－cos θ)，同理|NF |2＝2b 2(1＋cos θ)，故S △MAF ＝12a 2sin θ，S △NBF ＝12b 2sin θ，(S △MNF )2＝14|MF |2·|NF |2＝a 2b 2sin 2θ，故λμ＝(S △MNF )2S △MAF ·S △NBF＝4.。
抛物线基础讲义
抛物线专题复习讲义及练习一、知识梳理1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：【例1】 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A ．2x =-B ．1x =-C ．2y =-D ．1y =-【例2】 抛物线214y x =的焦点坐标是（ ）．A ． (0,1)B ．(0,1)-C ． (1,0)-D ．(1,0) 【例3】 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标是4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22(0)y px p =>的准线与圆670x y x +--=相切，则p 的值为A ．12B ．1C ．2D ．4【例5】 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【例6】 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．【例7】 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．40>p 典例分析【例8】 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23y x =或23y x =-B ．23y x =C ．29y x =-或23y x =D ．23y x =-或29y x =【例9】 已知点(10)M ，，直线:1l x =-，点B 是l 上的动点， 过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．直线【例10】 若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【例11】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线方程为__________．【例12】 ⑴以双曲线221169x y -=的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程为_______．⑵双曲线221x y m n-=的离心率为2，有一个焦点与抛物线24x y =的焦点重合，则mn 的值为 ．【例13】 经过点(24)P --，的抛物线的标准方程为________．。
高三集体备课数学教案(抛物线)
第3节抛 物 线（高三一轮复习 温小鹏）1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)． 2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① px y 22=，焦点为 ，准线为 ． ② px y 22-=，焦点为 ，准线为 ． ③ py x 22=，焦点为 ，准线为 ．④ py x 22-=，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB＝ ，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB＝． 特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB＝ ．iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）． iv)||1||1BF AF +为定值，且等于 ．例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．解：设抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则焦点是F )0,2(p -∵点A(－3，n )在抛物线上，且| AF |＝5故⎪⎩⎪⎨⎧=++-=5)23(6222n p P n 解得P ＝4，62±=n故所求抛物线方程为62,82±=-=n x y变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．解：因为对称轴是x 轴，可设抛物线方程为px y 22=或)0(22>-=p px y ∵62=p，∴p ＝12故抛物线方程为x y 242=或2y x 24-=例2. 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ． (1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB的最小值．解：(1)解法一：设直线l 的方程为：01=-+my x 代入x y 42=整理得，0442=-+my y 设),(),,(2211y x B y x A则21,y y 是上述关于y 的方程的两个不同实根，所以m y y 421-=+ 根据抛物线的定义知：| AB |＝221++x x ＝)1(42)1()1(221+=+-+-m my my 若316||=AB ，则33,316)1(42±==+m m即直线l 有两条，其方程分别为：0133,0133=--=-+y x y x 解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝θ2sin 2P(θ为AB 的倾斜角)易知sinθ＝±23，即直线AB 的斜率k ＝tanθ＝±3，故所求直线方程为：0133=-+y x 或0133=--y x . (2) 由(1)知，4)1(4||2≥+=m AB 当且仅当0=m 时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝θ2sin 2P＝θ2sin 4∴ |AB|min ＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)变式训练2：过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无数条D ．不存在解：B例3. 若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标． 解：抛物线x y 22=的准线方程为21-=x过P 作PQ 垂直于准线于Q 点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |要使| PA |＋| PQ |最小，A 、P 、Q 三点必共线，即AQ 垂直于准线，AQ 与抛物线的交点为P 点从而|PA|＋|PF|的最小值为27213=+此时P 的坐标为(2，2)变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是 。
抛物线(精讲) 讲义
3.3 抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l(点F 不在直线l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线.2．抛物线的标准方程和几何性质焦点在x 轴上时，方程的右端为±2px ，左端为y2；焦点在y 轴上时，方程的右端为±2py ，左端为x2.O(0,0)[常用结论]与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB 是过抛物线y2＝2px(p ＞0)焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB 的倾斜角．则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AF|＝p 1－cos α，|BF|＝p1＋cos α.(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p ＝2p sin2α.(4)1|AF|＋1|BF|＝2p .(5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．【题型精讲】考点一 抛物线的定义【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO+的最小值为（ ）A．B．C．D．【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．82．（2020·全国高二课时练习）若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ）A ．12 B C ．1D ．23．（2020·全国高二课时练习）已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6考点二 抛物线的标准方程【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x = 【玩转跟踪】1．（2020·内蒙古青山。
抛物线专题讲义
抛物线专题讲义一、知识讲义1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下注意：1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F )0,2(的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为)0,4(a ，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是)0,4(a ，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F )0,2(p 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 题组二：教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．63．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． 题组三：易错自纠4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．125．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．三、典型例题题型一：抛物线的定义及应用典例 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．思维升华：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练：P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．题型二：抛物线的标准方程和几何性质 命题点1：求抛物线的标准方程典例如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x命题点2：抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华：(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97D ．2题型三：直线与抛物线的综合问题 命题点1：直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.命题点2：与抛物线弦的中点有关的问题典例 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．思维升华：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练：已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 注意：直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．四、反馈练习1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 22．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( )A ．3B ．4C ．6D ．73．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y4．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x7．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．9．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．12．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点)210(，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．。
5.抛物线-讲义版
课程主题：抛物线【知识点】 1．定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．方程()022>=p pxy 叫做抛物线的标准方程．注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p,0），它的准线方程是2p x -=.2．图像一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=．这四种抛物线的图形．标准方程．焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)y pxp =>22(0)y pxp =->22(0)x pyp =>22(0)x pyp =->图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥，R y ∈0x ≤，R y ∈ 0y ≥，R x ∈ 0y ≤，R x ∈对称性 x 轴 y 轴顶点 (0,0)离心率1e =课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程3．几个重要结论（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线； （3）直线与抛物线的位置关系：①0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件； ②0∆<⇔直线与抛物线相离； ③0∆=⇔直线与抛物线相切．（7）结论：过焦点的直线与抛物线交于A ,B 两点，则： ①θ2sin 2p p x x AB B A =++=②221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(a k Δ+Δ21||k a +③4,y 22p x x p y B A B A =⋅-=⋅．【课堂演练】题型一 抛物线的定义与方程例1 焦点坐标为(2,0)-的抛物线的标准方程为( ) A ．28y x =- B ．24y x =- C ．24x y =- D ．28x y =-练1 抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程是( ) A ．22y x = B ．2y x =- C ．22x y =-D ．2x y =-练2 抛物线的准线方程是1y =-，则抛物线的标准方程是( ) A ．24y x = B ．24y x =-C ．24x y =-D ．24x y =例2 平面上动点M 到点(3,0)F 的距离等于M 到直线:3l x =-的距离，则动点M 满足的方程为( ) A ．26y x = B ．212y x =C ．26x y =D ．212x y =练3 平面上动点M 到点(0,2)F 的距离等于M 到直线4y =-的距离小2，则动点M 满足的方程为 ．例3 抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是( )A ．1(,0)8-和1(0,)2- B ．1(0,)8-和1(,0)2-C ．1(,0)2-和1(0,)8-D ．1(0,)2-和1(,0)8-练4 抛物线22y x =的焦点坐标为( ) A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(,0)2D ．(1,0)练5 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =( )A ．1B ．2C ．1-D ．2-例4 抛物线212y x =的准线方程是( ) A ．3x = B ．3x =-C ．3y =D ．3y =-练6 抛物线281x y -=的准线方程是( ) A ．321=x B .21=xC ．2=yD .4=y练7 抛物线214x y =的准线方程是( ) A ．116y = B .116y =-C ．1y =D .1y =-题型二 性质与应用例5 顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( ) A ．23x y =± B ．26y x =±C ．212x y =±D ．26x y =±练8 顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线的标准方程为 ．练9 如图所示，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -.求p 的值.例6 焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线方程为( ) A ．24y x = B ．28y x = C ．24y x =± D ．28y x =±练10 焦点在y 轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是( ) A ．28y x =或28y x =- B ．24y x =或24y x =- C ．28x y =或28x y =- D ．24x y =或24x y =-例7 已知抛物线2y ax =(0)a >的焦点到准线的距离为1，则a 的值为( )A ．4B ．2C ．14D ．12练11 已知抛物线2y ax =(0)a >的焦点到准线的距离为2，则a 的值为( )A ．4B ．2C ．14D ．12NF M BAx yO练12 点(2,1)A 到抛物线2y ax =准线的距离为1，则a 的值为( ). A ．14-或112-B ．14或112C ．4-或12-D ．4或12例8 抛物线24y x =上的一点M 到x 轴的距离为6，焦点为F ，则=MF ．练13 抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点(5,)m -到焦点距离是6，则抛物线的标准方程是 ．练14 已知抛物线22x py =上的点(,3)M m 到它的焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为 ．例9 设F 为抛物线C ：x y 32=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为( ) A 33B 93C ．6332D ．94练15 设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 ．练16 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，抛物线上一点P 点的横坐标为2，||3PF =． （1）求抛物线的方程；（2）过F 且倾斜角为︒30的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．例10 若抛物线22y px =的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．练17 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．练18 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为26(,33-；求抛物线的方程和椭圆C 的方程．例11 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ．练19 已知抛物线的顶点过原点，其准线过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于33(6),(,6)22A B -，求此两曲线的方程．练20 已知抛物线的顶点过原点，其准线过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点，且与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线的一个交点为(3,26)；求抛物线于双曲线的方程． ➢焦点弦例12 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点(4,)P m 到焦点的距离为6． （1）求抛物线C 的方程； （2）过焦点F 且倾斜角4π的直线与抛物线交于不同的两点,A B ，求弦长||AB ．练21 （2016g 陆川县期末）已知直线:l y x m =+与抛物线28y x =交于,A B （异于原点）． （1）若直线l 过抛物线焦点，求线段||AB 的长度； （2）若OA OB ⊥，求m 的值．练22 已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点(4,4)M -． （1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线交于不同的两点A 、B ，若||8AB =，求直线l 的方程．➢综合例13 已知点1122(2,8),(,),(,)A B x y C x y 在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程．练23 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在的直线方程为4200x y +-=，求抛物线的方程．例14 （2015g 福建文）已知点F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且3AF =．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点()1,0G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，求证：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．FyxB AOG练24 （2016g 临沂期末）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，A 点在抛物线上，且A 的横坐标为4，||5AF =． （1）求抛物线的方程；（2）设l 为过(4,0)点的任意一条直线，若l 交抛物线于,A B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过坐标原点．练25 如图，抛物线顶点在原点，圆224x y x +=的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为,,,A B C D 四点． （1）求抛物线的方程； （2）求||||AB CD +的值．【课后巩固1】1．抛物线24x y =的准线方程是( ) A ．1=y B ．1-=y C ．1-=x D ．1=x2．抛物线22y x =的焦点坐标为( ) A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(,0)2D ．(1,0)3．已知抛物线22y px =的准线经过点(1,1)-，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．)0,1(- B ．)0,1( C ．)1,0(- D ．)1,0(4．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．43- B ．1- C ．34-D ．12-5．设F 为抛物线C ：x y 32=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB |=( )A ．330 B ．6 C ．12D ．376．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．7．抛物线28y x =30x y -=的距离是 ．8．已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点1(,)2A m ，A 点到抛物线焦点的距离为1. 求该抛物线的方程.9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C x y =，直线l 过抛物线的焦点，且与抛物线C 相交于不同的两点,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r的值.10．在平面直角坐标系xOy 中，,A B 分别为直线2x y +=与x 、y 轴的焦点，C 为AB 的中点，若抛物线22(0)y px p =>过点C ．（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线的焦点为F ，且直线AB 与抛物线交于M 、N 两点，求MNF ∆的面积．【课后巩固2】1．以(0,1)F 为焦点的抛物线的标准方程是( ) A ．24x y = B ．22x y = C ．24y x = D ．22y x =2．抛物线的顶点在原点，准线方程为3x =，则抛物线方程为( ) A ．212y x =- B ．26y x =- C ．212y x = D ．26y x =3．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为( )A ．22B 2C ．322D ．224．若点P 到点F （4，0）的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点P 的轨迹方程为 ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ．6．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>.若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程.xCl Oy7．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴，抛物线上一点(3,)M m 到焦点的距离为5，求m 的值及抛物线方程．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的的,A B 两点，如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅u u u r u u u r的值．9．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A 、B 两点，且6OA OB ⋅=u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，求抛物线E 的方程．10．已知动圆M 过定点(1,0)F ，求与直线1x =-相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 且斜率为2的直线交轨迹C 于,S T 两点，求弦ST 的长度．【课后巩固3】 1．以14x =-为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．212y x = B ．2y x =C ．2x y =D ．212x y =2．已知点P 在抛物线24y x =上，且P 到y 轴的距离与到焦点的距离之比为12，则P 到x 轴的距离是( ) A ．41 B ．21 C ．1D ．23．若抛物线)0(22>=p px y 的准线经过双曲线122=-y x 的一个焦点，则=p ．4．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相较于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF ∆F 的面积为 ．5．若抛物线x y 42=上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 ．6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴，又知此抛物线上一点(4,)A m 到焦点的距离为6． （1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值； （3）求||AB 的长．7．已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+158．（已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，抛物线C 上的点(2,)M m 到焦点F 的距离为3． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(2,0)的直线l ，斜率为1，与抛物线C 交于,A B 两点，求||AB 的长．9．（2015g 泉州期末）顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线:21l y x =+与抛物线相交于,A B 两点，求AB 的长度．10．（2017g 福州二模）已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，准线为l .OF 与C 交于,A B 两点，与x 轴的负半轴交于点P .（1）若OF 被l 所截得的弦长为52，求AB ；（2）判断直线PA 与C 的交点个数，并说明理由．11．已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.。
第六节 抛物线(一) 复习讲义
第六节 抛物线(一)一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的.轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线概念理解(1)定义的实质可以归纳为“一动三定”:一个动点M;一个定点F(焦点);一条定直线l(准线);一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1).(2)定点F∉定直线l,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线,如到点F(1,0)和到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程是x-y-1=0,其轨迹是一条直线.二、抛物线的标准方程及其简单几何性质1.方程及其性质的理解(1)p 的几何意义:表示定点F 到定直线l 的距离,即焦点到准线的距离,p 值的大小(p>0),决定抛物线开口的大小,p 前面的符号决定抛物线开口的方向.(2)抛物线标准方程的特征与其他坐标系中位置之间关系:抛物线的标准方程只含有两项,分别是二次项和一次项,并位于等号两边.抛物线标准方程中一次项中变量的名称与抛物线对称轴名称相同,一次项系数的正负与对称轴所在坐标轴方向正负一致,简单记为“一次定轴,系数定向”.如x 2=-3y,因一次项是-3y,所以对称轴是y 轴,因-3<0,所以该抛物线开口方向向下,即与y 轴负方向一致.抛物线焦点位于对称轴上,焦点纵横坐标中,不为零的坐标等于一次项系数的14. 2.与抛物线标准方程及几何性质相关结论(1)以y 2=2px 为例,抛物线上一点到焦点的距离为|PF|=2p +x 0或|PF|=2p -x 0(x 0为点P 横坐标),结合抛物线在坐标系中位置进行记忆,也即“右加左减”.(2)以y 2=2px 为例,焦点弦AB 的性质有:(其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ,F 为焦点,θ为直线AB 倾斜角) ①x 1x 2=24p ,y 1·y 2=-p 2;②1AF+1BF=2p ;③S △AOB =22sin p θ;④|AB|=x 1+x 2+p=22sin pθ;⑤以AB 为直径的圆与准线相切.1.过点A(4,-2)的抛物线的标准方程为( A ) (A)y 2=x 或x 2=-8y (B)y 2=x 或y 2=8x (C)y 2=-8x (D)x 2=-8y解析:因为A点在第四象限,故设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2my(m>0),将A点代入得2p=1或2m=8,所求抛物线方程为y2=x或x2=-8y.2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是( D )(A)y2=±(B)y2=±2x(C)y2=±4x (D)y2=±解析:由已知可知双曲线的焦点为设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则2p=所以所以抛物线方程为y2=±故选D.3.已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点.若A,B是以点M(0,10)为圆心,OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点,且△ABO为等边三角形,则p的值是( C )(A)52(B)53(C)56(D)59解析: 如图,因为|MA|=|OA|,所以点A在线段OM的垂直平分线上.又因为M(0,10),所以可设A(x,5).由tan 30°=5x,得将,5)代入方程x2=2py,得p=56.4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则抛物线的标准方程是.解析:由x=0得y=-2,由y=0得x=4,即(0,-2)或(4,0)为抛物线的焦点.所以抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案:y2=16x或x2=-8y5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|= .解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标所以所以直线AF的方程为由21),4,y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得1,2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由图知,点B 的坐标为(12所以|BF|=12-(-1)=32.答案:32考点一 抛物线的定义及应用【例1】 设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点.(1)求点P 到点A(-1,1)的距离与点P 到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解:(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1.由抛物线的定义知:点P 到直线x=-1的距离等于点P 到焦点F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P 到点A(-1,1)的距离与点P 到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF 交抛物线于点P, 则所求的最小值为|AF|,解:(2)如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.(1)由抛物线定义,实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+2p或|PF|=|y|+2p.1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A∈l,线段AF交抛物线C于点B,若FA=3FB,则|AF|等于( B )(A)3 (B)4 (C)6 (D)7解析: 由已知B为AF的三等分点,作BH⊥l于H,如图,则|BH|=23|FK|=43,所以|BF|=|BH|=43,所以|AF|=3|BF|=4,故选B.2.已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当|a|>4时,|PA|+|PM|的最小值是.解析:将x=4代入抛物线的方程y2=4x,得y=±4.又|a|>4,所以A在抛物线的外部.由题意知F(1,0),设抛物线上点P到准线l:x=-1的距离为|PN|,由定义知,|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1.画出简图(图略),易知当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,此时|PA|+|PM|也最小,最小值为答案考点二抛物线的标准方程【例2】 (1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则该抛物线的方程为( )(A)y2=±4x (B)y2=±8x(C)y2=4x (D)y2=8x(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为;(3)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的方程为.解析:(1)抛物线y 2=ax(a ≠0)的焦点F 的坐标为 (4a ,0),则直线l 的方程为y=2(x-4a ),它与y 轴的交点为A(0,-2a ),所以△OAF 的面积为12·4a ·2a=4, 解得a=±8,所以抛物线的方程为y 2=±8x.故选B. (2)设满足题意的圆的圆心为M(x M ,y M ). 根据题意可知圆心M 在抛物线上. 又因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,则|MF|=x M +2p =6,即x M =6-2p , 又由题意可知x M =4p ,所以4p =6-2p ,解得p=8.所以抛物线方程为y 2=16x. 解析:(3)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则有21y =2px 1,22y =2px 2,两式相减得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2), 又因为直线的斜率为1, 所以1212yy xx --=1,所以有y 1+y 2=2p,又线段AB 的中点的纵坐标为2, 即y 1+y 2=4,所以p=2, 所以抛物线的方程为y 2=4x.答案:(1)B (2)y2=16x (3)y2=4x求抛物线方程的基本方法(1)定义法:根据抛物线的定义得到p的值、焦点位置,然后根据抛物线方程的标准形式写出其方程.(2)待定系数法:焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y轴上的抛物线方程可以用x2=λy(λ≠0)表示,根据已知得到关于λ的方程,求出λ.用“一次定轴,系数定向”确定抛物线的方程,然后用待定系数法求p 的值.在解决涉及焦点、顶点、准线等问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点.焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为( C )(A)x2=16y或y2=16x (B)y2=16x或x2=12y(C)y2=16x或x2=-12y (D)x2=16y或y2=-12x解析:因为抛物线的焦点在坐标轴上,又在直线3x-4y-12=0上,所以令x=0得y=-3,令y=0,得x=4,所以焦点为(0,-3)或(4,0),所以抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.考点三抛物线的焦点弦问题【例3】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.思路点拨:(1)利用焦点弦长公式求解.(2)由点C为抛物线上一点,可设出C点的坐标,利用OC=OA+λOB表示出点C的坐标,将点C的坐标代入抛物线方程求解.p),解:(1)直线AB的方程是与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,p.所以x1+x2=54p+p=9,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=54所以p=4,从而抛物线的方程为y2=8x.(2)由于p=4,4x2-5px+p2=0可化简为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,则y12从而设C(x3,y3),则OC=(x3,y3λ=(4λ又2y=8x3,即λ-1)]2=8(4λ+1),3即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.解决与抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦有关的问题,常用到x 1x 2=24p ,y 1y 2=-p 2,|AB|=x 1+x 2+p=22sin p(θ为直线AB 的倾斜角),1AF+1BF =2p这些结论,就会带来意想不到的效果.1. 已知抛物线y 2=4x,圆F:(x-1)2+y 2=1,过点F 作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则|AB|·|CD|的值正确的是( A )(A)等于1 (B)最小值是1 (C)等于4 (D)最大值是4解析:设直线l:x=ty+1,代入抛物线方程, 得y 2-4ty-4=0. 设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 根据抛物线定义|AF|=x 1+1, |DF|=x 2+1,故|AB|=x 1,|CD|=x 2, 所以|AB|·|CD|=x 1x 2=214y ·224y =212()16y y ,而y 1y 2=-4,代入上式,得|AB|·|CD|=1. 故选A.2.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B 两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB 的倾斜角的正弦值为 .解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时, 设直线方程为y=k(x-1)(k ≠0), 由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1>0,x 2>0, 则x 1+x 2=2224k k +, ①x 1x 2=1, ②1AF+1BF =111x ++211x +=12121221x x x x x x +++++=22222422411k k k k +++++=1. 当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2, 故1AF+1BF=1.设|AF|=a,|BF|=b,则1a +1b=1, 所以|AF|+4|BF|=a+4b=(1a +1b )(a+4b)=5+4b a+a b ≥9,当且仅当a=2b 时取等号,故a+4b 的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x 1+1=2(x 2+1), ③ 联立①②③得,x 1=2,x 2=12,k=±故直线AB答案考点四 易错辨析【例4】 设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线方程.解:①当m>0时,准线方程为x=-4m , 因为准线与直线x=1的距离为3, 所以准线方程为x=-2即-4m =-2,m=8, 所以抛物线方程为y 2=8x. ②当m<0时,准线方程为x=-4m =4, 所以m=-16,此时抛物线方程为y 2=-16x,综上,所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.只考虑m>0的情况,忽视m<0属于知识错误,对y 2=2px(p>0)中p 几何意义的误解.抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上一点,若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍,且△OAF 的面积为1,O 为坐标原点,则p 的值为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:不妨设A(x 0,y 0)在第一象限,由题意可知0002,211,22OAF p x x p S y ∆⎧+=⎪⎪⎨⎪=⋅⋅=⎪⎩即00,24,px y p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以A(2p ,4p ),又因为点A 在抛物线y 2=2px 上,所以216p =2p ×2p ,即p 4=16, 又因为p>0,所以p=2, 故选B.抛物线的综合应用【例题】 已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=54|PQ|. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,若AB 的垂直平分线 l ′与C 相交于M,N 两点,且A,M,B,N 四点在同一圆上,求l 的方程. 解:(1)设Q(x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8p. 所以|PQ|=8p ,|QF|=2p +x 0=2p +8p . 由题设得2p +8p =54×8p, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C 的方程为y 2=4x.解:(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D(2m 2+1,2m),1-y 2|=4(m2+1).又l ′的斜率为-m,所以l ′的方程为x=-1m y+2m 2+3.将上式代入y 2=4x,并整理得y 2+4m y-4(2m 2+3)=0.设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则y 3+y 4=-4m ,y 3y 4=-4(2m 2+3). 故MN 的中点为E(22m +2m 2+3,-2m ),|y 3-y 4,由于MN 垂直平分AB,故A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|, 从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2, 即4(m 2+1)2+(2m+2m )2+(22m +2)2=22244(1)(21)m m m ++. 化简得m 2-1=0, 解得m=1或m=-1.所求直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.规范要求:利用待定系数法求抛物线的标准方程时,既要定位(确定抛物线开口方向),又要定量(确定参数p 的值). (1)中,需要计算p 值.(2)中,A,M,B,N 四点共圆,等价于|AE|=|BE|=12|MN|. 温馨提示: (1)问解答中,需要注意p>0的条件,即应舍去p=-2. (2)问解答中,要注意分析直线的斜率不存在的情形.【规范训练】 (2017·浙江卷) 如图,已知抛物线x 2=y,点A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)(-12<x<32),过点B 作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP 斜率的取值范围; (2)求|PA|·|PQ|的最大值. 解:(1)设直线AP 的斜率为k, k=21412x x -+=x-12, 因为-12<x<32, 所以直线AP 斜率的取值范围是(-1,1). 解:(2)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是x Q =22432(1)k k k -+++.因为12(x Q2,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3. 令f(k)= -(k-1)(k+1)3, 因为f ′(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间(1,12)单调递增,在(12,1)上单调递减,因此当k=12时,|PA|·|PQ| 取得最大值2716.类型一 抛物线的定义及应用1.已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( A ) (A)2 (B)3 (C)115(D)3716解析: 如图所示,过点P 作PM ⊥l 1,PN ⊥l 2,过抛物线焦点F(1,0)作FQ ⊥l 1于Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点F,P,Q 三点共线时,动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小,最小值为465+=2,故选A.2.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点为坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( B )(C)4 解析:因为抛物线关于x 轴对称,且M(2,y 0)在抛物线上, 所以抛物线的标准方程可设为y 2=2px(p>0),其准线方程为x=-2p .由抛物线的定义, M 到准线x=-2p 的距离为3,即2+2p =3,故p=2,所以抛物线的标准方程为y 2=4x. 因为M(2,y 0)在抛物线上,所以2y =8.由两点间的距离公式知.故选B.3.若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P 的轨迹方程为( C ) (A)y 2=8x (B)y 2=-8x (C)x 2=8y (D)x 2=-8y解析:由题意,P 到F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,故P 的轨迹是以F 为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P 的轨迹方程为x 2=8y.4.过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A,B 两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( B ) (A)有且只有一条 (B)有且只有两条 (C)有且只有三条 (D)有且只有四条 解析:设该抛物线焦点为F,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),则|AB|=|AF|+|FB|=x A +2p +x B +2p=x A +x B +1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.故选B.5. 如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )(A)11BF AF --(B)2211BF AF --(C)11BF AF ++ (D)2211BF AF ++解析: 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A 作AA 1⊥y 轴于点A 1,过B 作BB 1⊥y 轴于点B 1, 则BCF ACFSS∆∆=1sin 21sin 2CF BC FCB CF AC FCB ∠∠=BC AC=11BB AA =11BF AF --.类型二 抛物线的标准方程6.若抛物线y 2=2px(p>0)上一点P(2,y 0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( C ) (A)y 2=4x (B)y 2=6x (C)y 2=8x (D)y 2=10x解析:因抛物线y 2=2px(p>0),其准线方程为x=-2p,点P(2,y 0)到准线的距离为4,所以︱-2p -2︱=4,得p=4.故抛物线的标准方程为y 2=8x.7.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则抛物线C 的方程为( C ) (A)y 2=4x 或y 2=8x (B)y 2=2x 或y 2=8x(C)y 2=4x 或y 2=16x (D)y 2=2x 或y 2=16x解析:由已知得抛物线的焦点F(2p,0),设点A(0,2),M(x 0,y 0),则AF =(2p ,-2),AM =(22y p,y 0-2).由已知得,AF ·AM =0, 即20y -8y 0+16=0,因而y 0=4,M(8p,4). 由|MF|=5得,8p +2p =5, 又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x. 类型三 抛物线的焦点弦问题8.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)两点,若x 1+x 2=2,|PQ|=4,则抛物线的方程是( A ) (A)y 2=4x (B)y 2=8x (C)y 2=2x (D)y 2=6x解析:由抛物线定义知|PQ|=x 1+x 2+p=4, 又x 1+x 2=2, 所以p=2,所以抛物线方程为y 2=4x. 故选A.9.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点,O 为坐标原点,若|AB|=6,则△AOB 的面积为( A )(D)4解析:因为抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),当直线AB 垂直于x 轴时,|AB|=4,不满足题意,所以设直线AB 的方程为y=k(x-1),与y 2=4x 联立,消去x 得ky 2-4y-4k=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4k,y 1y 2=-4,所以|y 1-y 2因为1-y 2|=6,所以4(1+21k)=6,解得k=所以|y 1-y 2所以△AOB 的面积为12×1×故选A.。
抛物线讲义
抛物线讲义(总9页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第五讲 抛物线教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 3.理解数形结合的思想.一、知识回顾 课前热身知识点1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．知识点2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0F ⎝⎛⎭⎫0，p 2F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2 |PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2例题辨析推陈出新例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.变式练习1．(1)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y(2)8例2(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝13，则抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段FA 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)324变式练习2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p 2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36.例3已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值．[自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.变式练习3．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，求k 的值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8k 2－4， x 1x 2＝4.又由抛物线的定义可知|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2， 所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4 得2(x 2＋1)x 2＝4，解得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，将x 2＝1，x 1＝4代入x 1＋x 1＝8k 2－4得k 2＝89，由已知k >0，所以k ＝223.三、归纳总结 方法在握归纳4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)； (2)x 1x 2＝p 24； (3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．四、拓展延伸 能力升华例1(2012·陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 26变式练习 1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图所示．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t . (1)当t ＝时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船解：(1)t ＝时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P ＝3. 由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由vt ＝7t 2＋?12t 2＋12?2， 整理得v 2＝144⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋337.因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立． 所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．五、课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a 2＝1，解得a ＝－32.2．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.3．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.则26＝1＋12·x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 2·2p －2?2－4. 解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .4．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．5．(2013·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，则(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，得2p 1＝9或2p 2＝13，故抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，则y 2＝9x 或y ＝－3x 2.6．(2013·衡水模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4.得a ＝±8故抛物线方程为y ＝±8x .二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________． 解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝48．(2013·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，－22－02－1＝所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．则直线AB 的斜率为k ＝－22，直线AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立错误!消去y得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等，故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝kx ＋1?消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1. 设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.11．若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的上顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， 所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2， 当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0， 则Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12．(2013·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)， M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝x 0－1?2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．。
抛物线讲义
抛物线一、定义:平面内到定点F 和定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F 不在l 上).定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线.注：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线。
二、抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图形对称轴x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点(,0)2p F (,0)2p F - (0,)2p F (0,)2p F - 顶点原点(0,0) 准线2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 离心率 e =1通径为2p ，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.例：已知抛物线22(0)y px p =>，过焦点的直线l ：y=kx-2kb 交抛物线于A 、B 两点,直线的倾斜角为θ，求AB 的长（用θ表示）。
三．位置关系焦点弦结论： 已知AB 是过抛物线px y 22=(p>0)的焦点的弦,F 为抛物线的焦点, ),(),,(2211y x B y x A ,则(1) 4221221p x x p y y =⋅-=⋅， （2）1222||();sin p AB x x p AB θθ=++=为直线的倾斜角 （3）θsin 241221p y y p S ABC =-=∆ （4）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明：【例】设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 抛物线的方程及性质【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：⑴过点P ()3,2-； ⑵焦点在直线240x y --=上； ⑶准线方程是x ＝－14⑷顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点()3,M m -到焦点的距离等于5； ⑸顶点在原点，对称轴为x 轴且截直线210x y -+=所得弦长为15.⑹过抛物线px y 22=的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝6.【例2】⑴已知抛物线的标准方程为0522=+x y ，则它的焦点坐标为________，准线方程为________⑵已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知抛物线上一点A (4，m )到准线距离为6，则m ＝_______. ⑶抛物线221x y -=的焦点坐标为________ ⑷设点F(2,0)，动点P 到y 轴的距离为d ，求满足条件|PF|－d ＝2的点P 的轨迹方程【例】 ⑴已知正方形的一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，顶点C 、D 在抛物线x y =2上，求该正方形的边长．⑵已知抛物线方程为)0(22>=p px y ，直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值练习：1、若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ． 2、以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=3、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别是，F 12F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成3:5的两段,则此椭圆的离心率为( ) A. 1716 B. 1774 C. 54 D. 552 4、过（1，0）作直线，使它与抛物线y x 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ）（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条5、已知抛物线px y 22=，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）A 、相离B 、相交C 、 相切D 、不确定6、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线y ＝2x ＋1交于P 、Q 两点，已知PQ ＝15,求抛物线的方程7、已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P(2,2)为AB 的中点，求抛物线C 的方程。
抛物线讲义(备课)
抛物线的标准方程知识要点：1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2. 标准方程①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF 的中点重合。
②设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。
（1）范围。
x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。
（2）对称性。
关于x轴对称。
（对称轴与准线垂直）（3）顶点。
对称轴与抛物线的交点。
（4）离心率。
同椭圆、双曲线离心率定义。
e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。
4. 几个重要的解析结果：（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。
（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2 （p>0）（3）焦半径公式：（4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值：例题：例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1 截得的弦长为，求抛物线方程：例3 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.例5 直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM ｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.例6 已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.(Ⅰ)求a的取值范围.(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习：A级一、选择题1.抛物线y=-x2的准线方程是( )A.x=B.x=C.y=2D.y=42.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )A.0B.1C.2D.33.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )A.4B.8C.16D.32二、填空题6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是.7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是.8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两端，则y1y2=.三、解答题9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.10.已知A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.AA级一、选择题1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是( )A.｜x 0-｜B.｜x 0+｜C.｜x 0-m ｜D.｜x 0+m ｜2.过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点在 抛物线的准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.60°C.90°D. °1203.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线，交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) 两点，若x 1+x 2=6，则｜AB ｜等于( )A.4B.6C.8D.104.动点P 在曲线y=2x 2+1上移动，则点P 和定点A(0，-1)连线的中点 的轨迹方程是( )A.y=2x 2B.y=4x 2C.y=6x 2D.y=8x5.F 是抛物线y 2=2x 的焦点，P 是抛物线上任一点，A(3，1)是定点， 则｜PF ｜+｜PA ｜的最小值是( )A.2B.C.3D.二、填空题6.若(4，m)是抛物线y 2=2px 上的一点，F 是抛物线的焦点，且｜PF ｜=5,则抛物线的方程是 .7.抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点F 的距离之和是5，则线段AB 的 中点M 的横坐标是.8.若抛物线y 2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则 m 的值是.三、解答题9.已知椭圆+y 2=1的焦点为F 1、F 2，抛物线y 2=px(p ＞0)与椭圆在第 一象限的交点为Q ，若∠F 1QF 2=60°，(1)求△F 1QF 2的面积；(2)求此抛 物线的方程.10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.AAA级一、选择题1.抛物线y=2ax2 (a≠0)的焦点坐标是( )A.( ,0)B.(0, )C.(,0) D.(0, )2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB的中点M的纵坐标的最小值为( )A.B.1C.2D.43.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是( )A.(，)B.(1，1)C.(，)D. (2，4)4.已知抛物线y2=2px(p＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为( )A.1B.C.2D.25.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则｜PQ｜的最小值等于( )A. -1B.-1C.2D. (-2)二、填空题6.已知抛物线y2=4ax(a＞0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，则m= ,n= .7.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离｜PF｜=；8.定点A(3，2)是抛物线y 2=2px(p ＞0)内部的一点，F 是抛物线的焦 点，点Q 在抛物线上移动，已知｜AQ ｜+｜QF ｜的最小值为4，则P= 三.、解答题9.设抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 交x 轴于点R ，过P 、Q 分别作x 轴的 垂线，垂足分别为M 、N ，求证：｜OR ｜是｜OM ｜和｜ON ｜的等比中项.10.设抛物线C：y2=2px(p＞0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴)，F 为焦点，且｜AF｜+｜BF｜=8，又线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6，0).(1)求抛物线C的方程；(2)求△AQB的面积最大值.。
抛物线讲义
抛物线一、课前热身：1.简单介绍自己并与学生互动，拉近彼此间的距离，同时增强其学好数学的信心。
2.了解他在学校的学习情况。
3.解决他在学习上的疑问。
二、内容讲解：考点一 抛物线的定义抛物线的定义：平面内到一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
例1 若动点P 到点)0,2(F 的距离与它到直线02=+x 距离相等，求点P 的轨迹方程。
（定义法）【随堂练习】（写出解题步骤）1.顶点在原点，准线是x =－5的抛物线方程是？（定义法）2．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为？（定义法）3.在抛物线y px 22=上横坐标为4的点到焦点的距离为5，求p 的值。
考点三：求抛物线标准方程的两种常见方法 常见方法：数形结合法、待定系数法 数形结合法：借助图象直观判断。
例2 设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为？【随堂练习】（写出解题步骤）1、若动点P 到点)0,2(F 的距离与它到直线02=+x 距离相等，则点P 的轨迹方程为？2、在抛物线y px 22=上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为？3、动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程。
4、动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，求点P 的轨迹方程。
待定系数法：根据已知条件设出抛物线方程，求出系数，进而求得抛物线方程。
例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是？【随堂练习】（写出解题步骤）1. 顶点在原点，焦点为（0，-2）的抛物线的方程为？2. 抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴且焦点在双曲线22194y x -=上，则抛物线的标准方程为？（复习双曲线的基础知识、数形结合法与待定系数法的综合应用）3. 求顶点在原点，对称轴为坐标轴，过点（2，-8）的抛物线方程。
3.3抛物线的简单几何性质讲义
3．3.2 抛物线的简单几何性质第1课时 抛物线的简单几何性质学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 导语在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，这一节我们利用方程研究抛物线的几何性质．图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0) ⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0) ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0) ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0) ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2一、抛物线的几何性质问题1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法， 你认为应研究抛物线y 2＝2px (p >0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 提示 1.范围当x >0时，抛物线y 2＝2px (p ＞0)在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x ，y )的横坐标满足不等式x ≥0；当x 的值增大时，|y |的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 2．对称性观察图象，不难发现，抛物线 y 2 ＝ 2px (p ＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0)． 4．离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，e ＝1. 知识梳理标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0,0) 离心率e ＝1注意点：只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33xC ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33x二、抛物线的几何性质的应用例2 (1)已知正三角形AOB 的一个顶点O 位于坐标原点，另外两个顶点A ，B 在抛物线y 2(2)已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．反思感悟 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题．跟踪训练2 (1)(多选)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，|MF |＝5，若y 轴上存在点A (0,2)，使得AM →·AF →＝0，则p 的值可以为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(2)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线上一点，且∠AFO ＝120°(O 为坐标原点)，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是________．1．知识清单： (1)抛物线的几何性质． (2)抛物线的几何性质的应用． 2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误．1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭⎫116，02. (多选)以y 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y3．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，±24B.⎝⎛⎭⎫18，±24C.⎝⎛⎭⎫14，24 D.⎝⎛⎭⎫18，244．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，直线x ＝m 与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1＋y 2＝________.课时对点练1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A.12 B.14 C.16 D.182．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x3．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 24．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.146．(多选)点M (1,1)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为2，则a 的值可以为( )7．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 是FN 的中点，则|FN |＝________.9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．10．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．11．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22) B ．(1，±2) C ．(1,2) D ．(2,22)12．已知P 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若|PF |＝2，∠PFO ＝π3，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝2xC ．y 2＝xD ．y 2＝4x13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x14．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝__________.15．如图，已知P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 分别作y 轴与直线x －y ＋4＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则|P A |＋|PB |的最小值为________．16．已知抛物线y 2＝8x .(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB 的重心，求△OAB的周长．。
高中数学教案 第7讲 抛物线
第7讲抛物线1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解抛物线的简单应用.1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质1.y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为(a4，0)，准线方程为x＝－a 4 .2.过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O(0，0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A，B.则直线AB过定点M(2p，0)；反之，若过点M(2p，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于两点A，B，则必有OA⊥OB.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()(3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦，是抛物线过焦点最短的弦.()(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标是x＝－a4.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.回源教材(1)抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是.解析：抛物线的方程为y2＝10x，则p＝5，所以抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是5.答案：5(2)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为.解析：当抛物线的焦点在x轴上时，设其方程为y2＝mx，又过点P(－2，3)，则9＝－2m，得m＝－9 2，故抛物线方程为y2＝－92 x，当抛物线的焦点在y轴上时，设其方程为x2＝ny，又过点P(－2，3)，则4＝3n，得n＝43，故抛物线方程为x2＝4 3 y.答案：y 2＝－92x 或x 2＝43y(3)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上一点，若|AF |＝3，则点A 的横坐标为.解析：设A (m ，n )，由抛物线的方程可知p ＝2，由抛物线的定义可知，|AF |＝m ＋p2＝m ＋1＝3，所以m ＝2.答案：2抛物线的方程与几何性质例1(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD ⊥l ，交l 于D .若|AF |＝4，∠DAF ＝60°，则抛物线C 的方程为.解析：根据抛物线的定义可得|AD |＝|AF |＝4，又∠DAF ＝60°，所以|AD |－p ＝|AF |cos 60°＝12|AF |，所以4－p ＝2，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为.解析：法一：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.法二：由题意得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.答案：x ＝－32反思感悟1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练1(1)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A.y 2＝9xB.y 2＝6xC.y 2＝3xD.y 2＝3x解析：C如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM→＝2MN →，则|FN |＝.解析：易知焦点F 的坐标为(4，0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM→＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|FN |＝16.答案：16抛物线的定义及应用求轨迹方程例2(2024·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝－4xD.y 2＝－8x解析：D 由题意知动点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以(－2，0)为焦点，x ＝2为准线的抛物线，所以p ＝4，轨迹方程为y 2＝－8x .最值问题例3若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为.解析：如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P及P 到准线的垂足Q 三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为(－14，1).答案：(－14，1)反思感悟与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.训练2(1)已知抛物线y ＝mx 2(m ＞0)上的点(x 0，2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A.4B.3C.14D.13解析：D 由题意知，抛物线y ＝mx 2(m ＞0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0，2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135C.145D.3解析：A由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.抛物线的综合问题例4已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.解：设直线l的方程为y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F(34，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3 2 .又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝5 2 .＝32x＋t，2＝3x，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)＞0，则x1＋x2＝－12（t－1）9，从而－12（t－1）9＝52，得t＝－78(满足Δ＞0)，所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→，可得y1＝－3y2.＝32x ＋t ，2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t ＞0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3，3)，B (13，－1)，故|AB |＝4133.反思感悟1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.训练3过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程.解：(1)抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F (0，p2).∵当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝（－2）24＝1.又F (0，1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.＝kx ＋1，2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)，MB →＝(x 2＋2，y 2－1).∵MA ⊥MB ，∴MA→·MB →＝0，∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M ，舍去，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.限时规范训练(六十三)A 级基础落实练1.(2023·临汾第一次适应性训练)已知抛物线C 的焦点F 关于其准线对称的点为(0，－9)，则C 的方程为()A.x 2＝6yB.x 2＝12yC.x 2＝18yD.x 2＝36y解析：B由题可知，抛物线C 开口向上，设C 的方程为x 2＝2py (p ＞0)，则抛物线C 的焦点坐标为(0，p 2)，准线方程为y ＝－p 2，所以p2＋（－9）2＝－p 2，解得p ＝6，所以C 的方程为x 2＝12y ，故选B.2.(2024·昆明一中月考)过抛物线y 2＝8x 的焦点的直线l 与抛物线相交于M ，N 两点.若M ，N 两点到直线x ＝－3的距离之和等于11，则这样的直线l ()A.不存在B.有且仅有一条C.有且仅有两条D.有无穷多条解析：C由题意知M ，N 两点到准线x ＝－2的距离之和等于9，由抛物线定义得|MN |＝9.又抛物线y 2＝8x 的通径长为2p ＝8＜|MN |＝9根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选C.3.(2024·榆林模拟)如图①，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图②所示的抛物线C ：x 2＝－2py (p ＞0)的一部分，P为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点.若∠OFP＝120°，且|OP|＝212，则p＝()图①图②A.1B.2C.3D.4解析：A由题意知F(0，－p2)，设|PF|＝2a，则P(3a，－p2－a)，由抛物线的几何性质知p2＋a＋p2＝2a，则a＝p，所以P(3p，－3p 2 )，所以|OP|＝3p2＋94p2＝212，解得p＝1.故选A.4.(2024·河南十所名校第四次阶段测试)已知A为抛物线C：y2＝4x上在第一象限内的一个动点，M(－1，0)，O为坐标原点，F为C的焦点.若tan∠AMO＝22 3，则直线AF斜率的绝对值为()A.322B.22C.1 3D.4 3解析：B设A(y214，y1)，则tan∠AMO＝k AM＝y1－0y214＋1＝223，解得y1＝2或y1＝22，则有A(12，2)或A(2，22).又F(1，0)，所以k AF＝2－012－1＝－22或k AF＝22－02－1＝22，所以|k AF|＝22，故选B.5.(2024·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于()A.3B.4C.4 3D.7 3解析：B过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF ＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F 且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是()A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10解析：ACD由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，故B错误；则y21＝8x1，y22＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴y21－y22＝8x1－8x2，即y1－y2x1－x2＝8y1＋y2＝84＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.7.(2023·全国乙卷)已知点A(1，5)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为.解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－54，所以A到准线的距离为1－(－54)＝94.答案：9 48.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为.解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案：y2＝4x9.(2024·武汉检测)抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形的三个顶点，则该三角形的边长为.解析：由抛物线的对称性知，要使△OAB为等边三角形，则AB⊥x轴.设该三角形的边长为a，不妨取A(32a，12a).代入抛物线方程，得(12a)2＝2×32a，解得a＝43.答案：4310.已知F为抛物线C：x2＝12y的焦点，直线l：y＝kx＋4与C相交于A，B 两点.(1)O为坐标原点，求OA→·OB→；(2)M 为C 上一点，F 为△ABM 的重心(三边中线的交点)，求k .解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 的方程代入C 得，x 2－12kx －48＝0，所以x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－48，y 1y 2＝（x 1x 2）2122＝16，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32.(2)依题意得F (0，3)，设M (x 3，y 3)，因为F 为△ABM 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9，从而x 3＝－(x 1＋x 2)＝－12k ，y 3＝9－(y 1＋y 2)＝9－x 21＋x 2212＝9－（x 1＋x 2）2－2x 1x 212＝1－12k 2.因为M (x 3，y 3)在抛物线C 上，所以(－12k )2＝12(1－12k 2)，即k 2＝124.故k ＝612或k ＝－612.11.已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 相交于A ，B 两点.(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CF A ＝∠CFB ，求直线l 的方程.解：由已知可得F (0，1)，设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，＝kx ＋2，2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，①x 1x 2＝－8.②(1)|F A |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 24＋2.当k ＝1时，由①②得|F A |＋|FB |＝10.(2)由题意可知F A →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224－1)，FC →＝(－3，－3).由∠CF A ＝∠CFB ，得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA→·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1，所以由FA→·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|所以－3x 1－3（x 214－1）32（x 214＋1）＝－3x 2－3（x 224－1）32（x 224＋1），可得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，即4＋8k ＋8＝0.解得k ＝－32，所以所求直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0.B 级能力提升练12.已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点.过抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点B 作直线y ＝－2的垂线，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为()A.8B.2C.－1D.1解析：D 易知抛物线C 1的焦点为点(1，0)，所以其方程为y 2＝4x .2＝4x ，x －1）2＋y 2＝4，得A (1，2).易知抛物线C 2的焦点为F (0，2)，准线方程为y ＝－2，如图，连接BF ，则由抛物线的定义知|BM |＝|BF |.连接AF ，可得|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |，当且仅当A ，B ，F 三点共线，且点B 在第一象限时，等号成立.故所求最大值为|AF |＝1.故选D.13.(多选)抛物线C ：y 2＝mx (m ＞0)的焦点为F (4，0)，直线l 经过点F ，交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若PB→＝2BF →，则()A.m ＝16B.点B 的坐标为(83，±463)C.|AB |＝503D.弦AB 的中点到y 轴的距离为133解析：ACD 抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点坐标为(m 4，0)，由题意可得m4＝4，解得m ＝16，∴A 选项正确.过B 作BB ′垂直于y 轴于点B ′，由PB→＝2BF →得|PB ||PF |＝|BB ′||OF |＝23，∴|BB ′|＝23|OF |＝83，∴点B 的横坐标为83，代入抛物线的方程，可得y 2＝16×83，∴y ＝±863，∴B 选项不正确.根据抛物线的对称性，不妨取B (83，－863)，则k AB ＝k BF ＝8634－83＝26，∴直线AB 的方程为y ＝26(x －4)，与抛物线的方程y 2＝16x 联立并消元，可得3x 2－26x ＋48＝0，设A (x 1，y 1)，则x 1＋83＝263，由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝x 1＋83＋162＝263＋8＝503，∴C 选项正确.∵AB 的中点的横坐标为x 1＋832＝133，∴AB 的中点到y 轴的距离为133，∴D 选项正确.故选ACD.14.已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.解：(1)证明：设D(t，－12)，A(x1，y1)，则x21＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点(0，1 2 ).(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.＝tx＋12，＝x22，可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝1＋t2|x1－x2|＝1＋t2×（x1＋x2）2－4x1x2＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t2＋1，d2＝2t2＋1.因此，四边形ADBE的面积S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)t2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2＋12).因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB→与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。
人教版选修21第二章抛物线抛物线的几何性质讲义
人教版选修21第二章抛物线抛物线的几何性质讲义案例(二)——精析精练 课堂 合作 探究重点难点突破知识点 抛物线的几何性质 (1)范围:因为0>p ，将方程()022>=p px y变为py x 22=，知0≥x ，由此可知，抛物线()022>=p px y 上的点在y轴上或在y 轴的右侧(不可能在y 轴的左侧)，当x 增大时，y 也随之增大，焦点 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p F准线 2p x -= 2p x =范R y x ∈≥,0Ry x ∈≤,0轴 x 轴 顶()0,0O 离1=e开口方向向右向左向右并且向右上方和右下方无限伸展。
(2)对称性 将抛物线()022>=p px y 中的y用—y 代方程不变，说明抛物线()022>=p px y 关于x轴对称(结合图形也可看出)。
抛物线的对称轴也叫做拋物轴。
(3)顶点 在方程()022>=p px y 中，令=y ，得=x ，(0，0)点是抛物线pxy 2=与它的对称轴轴)的交点，我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
由此可见，抛物线()022>=p px y 的顶坐标原点(0，0)。
(4)离心率和开口方向①抛物线的离心率：拋物线上的点到焦点和质 类型 ()022>=p py x()022>-=p pyx图象类型()022>=p py x ()022>-=p py x性质 焦点 ⎪⎭⎫⎝⎛2,0p F⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p F准线2py -=2p y =范0,≥∈y R x 0,≤∈y R x 对y 轴顶()0,0O 离1=e 开向上 向下 典型例题分析题型1 抛物线的几何性质应用【例1】 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x相交的公共弦长等于32，求这条抛物线的方程。
解析 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于32，可知交点织坐标为3±。
高中数学必修2-1抛物线教学讲义(精品)
03-抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质()：11.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1)x0+，(2)，－p2(3) 弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p(4) 若AB的倾斜角为θ，则=（5）+=2. 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。
过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长或b. 中点,，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在涉及斜率问题时，b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点1 抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为31.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［解析］C 由抛物线定义，即：．2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是( )A. B.C.D.[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程[例2 ]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点(-3,2) ∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线的标准方程
知识要点：
1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫
抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2. 标准方程
①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF 的中点重合。
②设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：
3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。
（1）范围。
x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。
（2）对称性。
关于x轴对称。
（对称轴与准线垂直）
（3）顶点。
对称轴与抛物线的交点。
（4）离心率。
同椭圆、双曲线离心率定义。
e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。
4. 几个重要的解析结果：
（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。
（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2（p>0）
（3）焦半径公式：
（4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值：
例题：
例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.
例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程：
例3 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?
例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.
例5 直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM ｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.
例6 已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.
(Ⅰ)求a的取值范围.
(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习：
A级
一、选择题
1.抛物线y=-x2的准线方程是( )
A.x=
B.x=
C.y=2
D.y=4
2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的
轨迹方程是( )
A.y2=-16x
B.y2=-32x
C.y2=16x
D.y2=32x
5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准
线距离是( )
A.4
B.8
C.16
D.32
二、填空题
6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是 .
7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是 .
8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两
端，则y1y2= .
三、解答题
9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a
的取值范围.
10.已知A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标
原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.
AA级
一、选择题
1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离
是( )
A.｜x0-｜
B.｜x0+｜
C.｜x0-m｜
D.｜x0+m｜
2.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B两点在
抛物线的准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.
°120
3.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)
两点，若x1+x2=6，则｜AB｜等于( )
A.4
B.6
C.8
D.10
4.动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P和定点A(0，-1)连线的中点
的轨迹方程是( )
A.y=2x2
B.y=4x2
C.y=6x2
D.y=8x
5.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是( )
A.2
B.
C.3
D.
二、填空题
6.若(4，m)是抛物线y2=2px上的一点，F是抛物线的焦点，且｜PF
｜=5,则抛物线的方程是 .
7.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的
中点M的横坐标是 .
8.若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则
m的值是 .
三、解答题
9.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0)与椭圆在第
一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°，(1)求△F1QF2的面积；(2)求此抛
物线的方程.
10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物
线C的方程.
AAA级
一、选择题
1.抛物线y=2ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A.( ,0)
B.(0, )
C.(
,0) D.(0, )
2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB
的中点M的纵坐标的最小值为( )
A.
B.1
C.2
D.4
3.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是( )
A.(，)
B.(1，1)
C.(，)
D.
(2，4)
4.已知抛物线y2=2px(p＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为
5，则△OFM的面积(O为原点)为( )
A.1
B.
C.2
D.2
5.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则｜PQ｜的最小
值等于( )
A. -1
B.-1
C.2
D.
(-2)
二、填空题
6.已知抛物线y2=4ax(a＞0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，则
m= ,n= .
7.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离
｜PF｜= ；
8.定点A(3，2)是抛物线y2=2px(p＞0)内部的一点，F是抛物线的焦
点，点Q在抛物线上移动，已知｜AQ｜+｜QF｜的最小值为4，则P= .
三、解答题
9.设抛物线y2=2px(p＞0)的弦PQ交x轴于点R，过P、Q分别作x轴的
垂线，垂足分别为M、N，求证：｜OR｜是｜OM｜和｜ON｜的等比中项.
10.设抛物线C：y2=2px(p＞0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴)，F 为焦点，且｜AF｜+｜BF｜=8，又线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6，0).(1)求抛物线C的方程；(2)求△AQB的面积最大值.。