抛物线讲义(备课)

抛物线的标准方程

知识要点：

1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫

抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

2. 标准方程

①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF 的中点重合。

②设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：

3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。

（1）范围。x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。

（2）对称性。关于x轴对称。（对称轴与准线垂直）

（3）顶点。对称轴与抛物线的交点。

（4）离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。

4. 几个重要的解析结果：

（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。

（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2（p>0）

（3）焦半径公式：

（4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值：

例题：

例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.

例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程：

例3 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?

例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.

例5 直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM ｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.

例6 已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.

(Ⅰ)求a的取值范围.

(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习：

A级

一、选择题

1.抛物线y=-x2的准线方程是( )

A.x=

B.x=

C.y=2

D.y=4

2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )

A.0

B.1

C.2

D.3

3.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的

轨迹方程是( )

A.y2=-16x

B.y2=-32x

C.y2=16x

D.y2=32x

5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准

线距离是( )

A.4

B.8

C.16

D.32

二、填空题

6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是 .

7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是 .

8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两

端，则y1y2= .

三、解答题

9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a

的取值范围.

10.已知A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标

原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.

AA级

一、选择题

1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离

是( )

A.｜x0-｜

B.｜x0+｜

C.｜x0-m｜

D.｜x0+m｜

2.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B两点在

抛物线的准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( )

A.45°

B.60°

C.90°

D.

°120

3.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)

两点，若x1+x2=6，则｜AB｜等于( )

A.4

B.6

C.8

D.10

4.动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P和定点A(0，-1)连线的中点

的轨迹方程是( )

A.y=2x2

B.y=4x2

C.y=6x2

D.y=8x

5.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是( )

A.2

B.

C.3

D.

二、填空题

6.若(4，m)是抛物线y2=2px上的一点，F是抛物线的焦点，且｜PF

｜=5,则抛物线的方程是 .

7.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的

中点M的横坐标是 .

8.若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则

m的值是 .

三、解答题

9.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0)与椭圆在第

一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°，(1)求△F1QF2的面积；(2)求此抛

物线的方程.

10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物

线C的方程.