合肥工业大学数理统计期末试题

（一）01年1.设X 1，X 2，…,X n 是总体X 的样本，通常指x 1,x 2,…,x n ——X 的样本值是 。

A.来自总体X 的一组具体的实验数据B.与总体X 同分布，但不一定相互独立的随机变量C.与总体X 同分布，且又相互独立的随机变量D.与总体X 不一定同分布，但相互独立的一组随机变量 2.设X i ~N (μ，σ2)(i =1,2,…,n),且相互独立，则统计量221()ni i X μσ=-∑服从 分布。

3.设总体X 的均值E (X )=μ未知，方差已知D (X )=σ2,对样本平均值11ni i X X n ==∑，样本修正方差*2211()1n i i SX X n ==--∑，下列是统计量的是： 。

A.1X μ- B.**1()n X X σ-X 4.设*()n F x 是样本X 的经验分布函数，()F x 是总体X 的分布函数，则格列文科(W. Glivenko)定理指出：对∀ɛ>0，有*lim {sup |()()|}1n n x P F x F x ε→∞-∞<<+∞-<=。

5.假设检验的小概率原则指出： 小概率事件在一次独立实验中几乎不可能发生 。

6.设来自几何分布1211,,{}(1)(1,2,)k pEX DX P X k p p k p p--====-=，则参数p 的矩估计为 。

7.设总体X~N(μ,σ2), X 1，X 2，…,X n 是总体X 的一组样本，σ2未知时，作μ的区间估计时，使用的统计量是： 。

A. X T =B. X T =C. X τ=D.222(1)n S χσ-=8.假设检验中，原假设为H 0，犯第二类错误的概率为ɑ，则 =ɑ。

A.P{接受H0/H0不真}B.P{拒绝H0/H0不真}C.P{拒绝H0/H0为真}D.P{接受H0/H0为真} *此类题目只要记住犯第一类错误是“弃真”、犯第二类错误是“取伪”即可！若考查第一类，则答案应为？。

(改变字体颜色，答案可见，下同)本题还可变形为：假设检验中，备择假设为H1，犯第一类错误的概率为ɑ，则=ɑ；犯第二类错误的概率为β，则=β。

(答案：)A.P{接受H1/H1不真}B.P{拒绝H1/H1不真}C.P{拒绝H1/H1为真}D.P{接受H1/H1为真}（二）02年一、判断题1.（ ）设X~N(1,9)，Y~χ2(9)，则统计量T =~t(9)。

2.（ ）设总体X~P(λ)，则*21X S n-为λ2的无偏估计。

3.（ ）在假设检验中，如果接受H 1，我们可能就要犯第一类错误。

4.（ ）在一元线性回归中，恒有ˆY α-与Y __独立。

5.（ ）在单因子方差分析中，Q E 完全是由于其他随机因素产生的离差，而Q A 完全是由于因子水平的差异产生的离差。

二、填空题1.设(1,2,3,1,2,1)是一个样本观察值，则其经验分布函数*()n F x 是 。

2. 设总体11~1X p p -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，设12(,,,)n X X X 为来自总体X 的一个样本，则p 矩估计为 。

3. 设总体X~N(μ,σ2)，若已知n=25，1n i i X =∑=101.1，21ni i X =∑=412.75，则σ2的置信度为0.90的置信区间为： 。

4.设X 1，X 2，X 3是来自X 的一个样本，则在下列统计量中， 为μ=EX 的最优效估计量。

A.123122555X X X ++B.123111244X X X ++C.123223777X X X ++D.123111236X X X ++ 5.在本课程教学过程中，曾出现过的概率统计学家有(至少列写八位) 贝叶斯、伯努利、泊松、切比雪夫、辛钦、W.Glivenko 、C.R.Rao-H.Crainer 、林德伯格、高斯、皮尔逊 。

三、设（X1，X2，…,X n）是来自总体X~N（10，σ2）的一个样本，求σ2的极大似然估计，并判断其是否为有效估计。

四、平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加某物质的得率（得率=可用钢材量投入炉中的金属总量），用标准方法和新方法交替进行，各炼了10炉，其得率为：设两个样本相互独立，且都来自正态分布，(1)假设两个方差相等，试问建议的方法是否能够提高得率；(2)假设两个方差相等是否合理(ɑ=0.01)。

五、考察温度对产量的影响，测的如下数据：(1)试求经验回归方程；(2)检验Y与x的线性关系是否显著(ɑ=0.05);(3)当x=42℃时，求产量Y的预测区间(ɑ=0.05)。

六、今有某种型号的电池三批，它们分别是A1，A2，A3三个工厂生产的（三个不同水平），为评比其质量，各随机取了5节为样品，经试验测得其寿命（小时）数据整理如下：在ɑ=0.05下检验电池的平均寿命有无显著差异。

若有差异，试问哪个工厂生产的电池较好？哪些工厂生产的电池寿命之间有显著差异？七、在一元线性回归中，证明yy L U Q =+回斜。

(其中，U 回也记为A S ,Q 斜也记为E S ,分别为回归平方和及误差(残差)平方和)（三）03年1.设X 1，X 2，…,X n 是总体X 的一组样本，若满足：（1） X 1，X 2，…,X n 中每一随机变量概率分布是母体分布 ；（2） X 1，X 2，…,X n 中各个体相互独立同分布 ，则称X 是一组简单的随机样本。

2.设X i ~N （0,1），(i=1,2,…,n)且相互独立，则统计量21ni i X =∑服从 。

A.标准正态分布B.2()n χC.()t nD.以上均不正确3.设总体X 的均值为E(X)=μ未知，方差D(X)=σ2已知，而11ni i X X n ==∑是样本的平均值，*211()1ni i S X X n ==--∑是样本方差，以下是统计量的为 。

A.X 1 B.X μ-XX 4.设总体的一组样本值：3,2,0,2,1,3,0，则中位数M e 为： 。

5.假设检验依据的基本原理是： 。

6.设总体X 服从泊松分布，分布律为：{}(0,1,2,,,)!kP X k e k n k λλ-===，X 1，X 2，…,X n 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计ˆλ= 。

7.设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…,X n 是来自X 的样本，若σ2未知，作μ的区间估计，要使用的统计量为是： 。

8.假设检验中，原假设是H 0，犯第一类错误的概率是ɑ，则 的概率可表示为ɑ。

A.P{拒绝H 0/H 0不真}B.P{接受H 0/H 0不真}C.P{拒绝H 0/ H 0为真}D.P{接受H 0/ H 0为真}9.设X 1，X 2，…,X n 是X 的样本，总体方差是D(X)=σ2,则σ2的无偏估计是 。

A.11n i i X X n ==∑B.2211()n n i i S X X n ==-∑C.*2211()1n ii S X X n ==--∑ D.2211()n i i X X n ==∑ 10.设12ˆˆ,θθ是未知参数θ的无偏估计，若满足 ，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

11.设总体X 服从指数分布，其密度函数为0(;)00x e x f x x λλθ-⎧≥=⎨<⎩，，，X 1，X 2，…,X n是X 的样本，求λ的极大似然估计，且对样本值：0.21，0.10，0.16，0.20，0.26，0.18，求出估计量的区间。

12.用仪器间接测量工作温度5次，所测温度值为：1250,1265,1245,1260,1275(单位：℃)，且假设温度测量值服从正态分布，试求温度真值的置信区间。

(置信度1-ɑ=95%)13.某批矿石砂的9个样品中，镍含量经测定为x i (i =1,2,…,9),样本均值为x __=3.27,样本标准差为S *=0.02301，假定测定值服从正态分布，试求在显著水平ɑ=0.05下，这批矿石砂的(平均)镍含量是否明显大于3.25。

14.设一颗骰子，在投掷120次所得的六个面面朝上结果如下表所示：检验这颗骰子的均匀性。

(ɑ=0.05) 15.测得某物体在不同温度下的长度如下：求：(1)y 关于x 的线性回归方程；(2)对模型2(1,2,3,4),(0,)(1,2,3,4)i i i iY x i N i αβεεσ=++==，作σ2的点估计。

16.设X1，X2，…,X n为总体X~N(μ,σ2)的样本，求证1211()ni iiC X Xτ-+==-∑在12(1)Cn=-时为σ2的无偏估计。

（四）04年一、填空题1.设总体X 的样本为：2.0,1.5,3.0,2.6,6.1,2.0，则对应的经验分布函数是：Fn *(x)={2.设1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1是总体服从指数分布的简单随机样本，对应的密度函数为：f(x)={1θe−x θ，x ≥00 ，x ＜0(θ＞0)，且X ——为样本均值时，E (X ——)的极大似然估计为： 。

3.设X ——与Y ——是来自两个相互独立的正态总体分布N (μ1，σ12)与N (μ2，σ22)，且容量分别为n 1及n 2的简单随机样本的样本均值，则Z=X ——-Y ——的分布为： 。

4.从某批产品中任取100件，其中有4件次品，则这批产品的次品率p 的置信度为0.95的置信区间为： 。

5.若非线性回归函数y=a 0+Aa -Bx (a 0是已知参数，A 和B 是未知回归参数)，将其化为一元线性回归时对应的变换为： 。

二、设X 1，X 2,…,X n 为来自具有有限方差σ2＞0的总体X 的简单样本，则 （1）试推导样本方差S 2的数学期望；（2）如果总体是正态分布N (μ，σ02)，其中σ02为已知参数，求未知参数μ的优效估计量。

注：本卷中所用的方差均为：S 2=211()1ni i X X n =--∑ 三、总体X 服从正态分布N (0，σ2)，X 1，X 2，…,X n ,X n+1,…,X n+m 是来自总体X的简单随机样本，记统计量niX Y =，求Y 2的分布（仅写出服从何种分布，不需要写出密度函数的表达式）四、设总体X 具有分布律：其中θ(0＜θ＜1)为未知参数，现有样本x 1=1,x 2=2,x 3=1,求参数θ的矩估计值和最大似然估计值。

五、用某种计算机程序产生随机个位数，在300次试验中，0,1,2,3，…,,8,9相应出现了22,28,41,35,19,25,25,40,30,35。

问在显著水平ɑ=0.05时，0至9这十个数字是否等可能由此计算机产生？说明理由。

(注：ɑ=0.05，2(8) 2.3060,t α=(8) 1.8595,t α=2(9)16.92,αχ=22(9)19.02,αχ=2(10)18.31,αχ=22(10)20.48.αχ=)六、两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为x __=2600,y __=2700(单位：元)。