计算圆锥的侧面积与全面积

24.4.2圆锥的侧面积

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

(二)能力训练要求

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．

(三)情感与价值观要求

1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．

教学重点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

教学难点

经历探索圆锥侧面积计算公式．

教学过程

一．创设问题情境，引入新课

[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？

[主]见过，如漏斗、蒙古包．

[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．

[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．

二．探索圆锥的侧面展开图的形状

[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．

[生]圆锥的侧面展开图是扇形．

[师]能说说理由吗？

[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．

[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？

[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．

[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？[生]是扇形．

[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．

三．探索圆锥的侧面积公式

[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形

面积公式可知S＝1

·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝π

2

rl．

圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S全＝πr2＋πrl．

四．利用圆锥的侧面积公式进行计算．

1.圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2

分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．

解：设纸帽的底面半径为r cm ，母线长为l cm ，则r ＝582π

l ＝2258(

)202+π

≈22.03cm ， S 圆锥侧＝πrl ≈12×58×22.03＝638.87cm 2． 638.87×20＝12777.4cm 2．

所以，至少需要12777.4cm 2的纸．

2.如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝13cm ，一条直角边AC ＝5cm ，以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．

解：在Rt △ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝5cm ，

∴BC ＝12cm ．

∵OC ·AB ＝BC ·AC ，

∴r ＝OC ＝

． ∴S 表＝πr (BC ＋AC )＝π×

6013

×(12＋5) ＝102013π cm 2． 五．课堂练习

如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD ．已知AD ＝18cm ，AB ＝30cm ，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm 2)．

六．课时小结

本节课学习了如下内容：

探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．七．课后作业

1.习题3．11

2．活动与探究

探索圆柱的侧面展开图

在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆

形柱子等，在小学我们已知圆柱是由两个圆的底面和一个侧

面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之

间的距离是圆柱的高．

圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱

的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的．

如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高．