重庆交通大学 线性代数试题(全校A卷)

全校各专业《线性代数》课程试卷

试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）

(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。 2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。 3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ） (A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；

(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）

5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。

6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1

(2)A E -+= 。

7、已知方程组⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+43121232

1

213

2

1x x x a

a 无解，则a = 。 8、二次型2221231

2

3

1213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围

2小题，每题8分，满分16分）

9、计算行列式11

11111111111

1

1

1x

x D y y

+-=

+-

10、计算n 阶行列式

12121

2

333

n n n n x x x x x x D x x x ++=

+

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程） 11、若向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关。证明：

(1) 1α能有23,αα线性表出； (2) 4α不能由123,,ααα线性表出。

12、设A 是n 阶矩方阵，E 是n 阶单位矩阵，E A +可逆，且1

()()()f A E A E A -=-+。

证明

（1） (())()2E f A E A E ++=； （2） (())f f A A =。

五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）

13、设2000

3202

3A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

，求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵。

14、已知方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

4020

3221

3

21321x

a x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x 有公共解。 求a 的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1η，2η，3η是它的三个解向量，且 ⎪

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+432132ηη

求该方程组的通解。