食饵捕食者模型

食饵——捕食者模型

摘要

自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲为食饵)(Pr ey ，种群乙为捕食者)(Pr edator ，二者共处组成食饵——捕食者系统（简称P P -系统）。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食饵——捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。

关键词

食饵——捕食者，模型，生态学，Logistic 规律。

问题重述

讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

模型建立

种群甲（食饵）靠丰富的自然资源生长，而种群乙（捕食者）靠捕食种群甲为生，食饵（甲）和捕食者（乙）在t 时刻的数量分别记为)(t x ，)(t y ，r 是甲的固有增长率，种群甲和乙的最大容量分别为N 、M 。数量的演变均遵从Logistic 规律。于是对种群甲有

)1()(N

x

rx t x

-= 其中因子)1(N

x

-反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，

N x

可解释为相对于N 而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量（设食物总量为1）。

当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲

的增长产生的影响，可以合理的在因子)1(N x

-中再减去一项，该项与种群乙的

数量y （相对于M 而言）成正比，于是得到种群甲增长的方程为

)1()(1M

y

N x rx t x

σ--= （1） 这里的意义是：单位数量乙（相对于M 而言）消耗的供养甲的食物量为单位数

量甲（相对N ）消耗的供养甲的食物量的1σ倍。

类似的，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙没有甲的存在会死亡，设其死亡率为d ，甲为乙提供食物，甲对乙的增长起到了促进作用，乙的增长又会受到自身的阻滞作用，于是得到种群乙增长的方程为

)1()(2M y

N x dy t y

-+-=σ （2） 其中：2σ反映食饵对捕食者的供养能力。

稳定性分析

为了研究种群甲、乙的结局，即∞→t 时，)(t x 、)(t y 的趋向，需对它的平衡点进行稳定性分析。

首先根据微分方程（1）、（2）解代数方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧

=-+-≡=--≡0

)1(),(0)1(),(21M y

N x dy y x g M y N x rx y x f σσ （3） 得到4个平衡点：

)0,(1N P ，),0(2M P -，⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+-++21221131)1(,1)1(σσσσσσM N P ，)0,0(4P 。

按照判断平衡点稳定性的方法计算

⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢

⎢⎢⎣

⎡-+----=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=)21()21(2211M y N x d N y d M x r M y N x r g g f f A y x

y x

σσσσ 4,3,2,1,|)(=+-=i g f p i p y x

4,3,2,1,|det ==i A q

i p

将4个平衡点

p ，q 的结果及稳定条件列入下表1.

上表的稳定条件由微分方程稳定性理论分析：“若0>p ，0>q ，则平衡点稳定；若0

在代数方程（3）中记

M

y

N x y x 1

1),(σϕ--

= M

y

N x y x -+-=21),(σψ

对于1σ，2σ的不同取值范围，直线0=ϕ和0=ψ在相平面上的相对位置不同。

模型计算与验证

数值解：记食饵和捕食者的初始数量分别为

0)0(x x =，0)0(y y = （4）

为求微分方程（1）、（2）及初始条件（4）的数值解)(t x ，)(t y （并作图）及相

轨线)(x y ，把⎪⎩

⎪⎨⎧

=-+-≡=--≡0)1(),(0)1(),(21M y

N x dy y x g M y N x rx y x f σσ用⎩⎨⎧=-+-≡=--≡0

)(),(0)(),(my bx d y y x g ay nx r x y x f 代

替，设1=r ，5.0=d ，5.01=σ，2.02=σ，100=N ，10=M ，则有1=r ，5.0=d ，

05.01==

M r a σ，001.02==N d b σ，01.01==N n ，1.01

==M

m 。 MATLAB 代码为：

12<σ

12>σ

r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.001;n=0.01;m=0.1;

xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;

>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];

>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0)

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

设1=r ，5.0=d ，21=σ，2.02=σ，100=N ，10=M ，则有1=r ，5.0=d ，

2.01==

M r a σ，001.02==N d b σ，01.01==N n ，1.01

==M

m 。 MATLAB 代码为：

11<σ，12<σ时，数值解)(t x ，)(t y 的图形。

相轨线)(x y 的图形