沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(2)垂径定理

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27.3 垂径定理（2）

[学习目标]

1、掌握垂径定理推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题；

2、在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想. [学习重难点]

能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.

一、课前预习

1、垂径定理： .

2、如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦（不是直径），CD 与AB 交于点M ，

且AM=BM ，问CD 垂直于AB 吗？为什么？

提问：如果AB 是直径结论还成立吗？为什么？

3、如果把第（2）题中的条件“AM=BM ”改成“»»AD BD =”，结论还成立吗？为什么？

4、我们知道过A 、B 两点的圆的圆心一定在线段AB 的 上， 所以，弦AB 的垂直平分线必经过 .

5、如图，在O e 中，弦CD 与弦AB 交于点M.

（1）如果AM =BM ，»

»AD BD =，那么CD 与AB 垂直吗？

（2）如果CD AB ⊥，垂足为点M ，»

»AD BD =，那么AM 与BM 相等吗？

二、课堂学习

1、由课前预习2可以归纳得到：

如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.

2、由课前预习3可以归纳得到：

如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.

3、在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径. 由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上. 于是得到：

如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.

4、由课前预习5可以归纳得到：

如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦.

如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦.

4、总结上面的讨论，可以概括为：

在圆中，对于某一条自线“经过圆心”、“垂直于弦”、 “平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中， 如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.

5、例题1 如图，已知O e 中，C 是»

AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ，

120AOB ∠=o ， AD=8，求OA 的长.

（提示：已经有OC “经过圆心”、“平分弦所对的弧”，

所以由垂径定理推论可以得到“垂直于弦”、“平分弦”）

6、例题2 已知»

AB ，用直尺和圆规平分这条弧. （提示：弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧.）

课堂小结

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三、课堂练习 1、如图，已知AD 是O e 的直径，»

»»AB BC CD ==. （1) 求»BD

所对的圆心角的大小； （2）OC 与BD 垂直吗？为什么？

2、如图是一块残缺的圆形砂轮片，试画出这块砂轮片原来的图形，

3，如图，已知O e 的半径长为3厘米，半径OB 与弦AC 垂直，垂足是点D ，AC 长为3厘米. 求：

(1)AOB ∠的大小； （2）CD 的长.

四、课后练习

1、如图，已知O e 的半径OC 过弦AB 的中点D ，如果»

AC 的长是20厘米，那么»

AB 的长是 厘米.

2、如图，已知C 是»

AB 的中点，半径OC 与弦AB 相交于点D ， 如果60,6OAB AB ∠==o

　厘米，那么AOD ∠= 度， CD= 厘米.

3、已知：如图， AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点.

求证：.

AMN CNM ∠=∠

4、（提高题）已知：如图，MN 是O e 的弦，AB 是O e 的直径，AB MN ⊥，垂足为点P ，半径OC 、OD 分别交MN 于点E 、F ，且OE=OF.

求证：（1）ME=NF ；（2）¼».MC

ND =