沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(2)垂径定理
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 垂径定理 教案 (1)
27.3垂径定理教学目标：（1） 经历利用圆的轴对称性探究垂直于弦的直径的性质的过程，掌握垂径定理（2） 掌握垂径定理的推论，在推导与由一直线经过圆心、垂直于弦、平分弦所对的弧这四组关系构成的定理的过程中，体会分类讨论思想。
（3） 能初步运用垂径定理及其推论解决有关数学问题。
重点：（1）导出垂径定理，并进行初步的运用（2）学生知道“圆是轴对称图形”，在此通过复习帮助学生加深认识教学过程：一、 引入：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形（对称轴是直径所在的直线）问题1在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？问题2把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？ OD猜想：弦AB 在什么情况下会被直径CD 平分？在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当CD ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分 证明猜想：已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为E 。
求证：AE=BE 。
D AOB CE垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。
例1：看下列图形，是否能使用垂径定理？例2 已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB=6cm ， 则弦心距OC= ________cm C OA B例3 例3：已知在⊙O 中，半径OB ⊥弦CD ，BE=1，CD=2√(5) ，求半径OB E OC D例4：如图，在以O 为圆心的两个同心圆，大圆的弦交小圆于C 、D 两点，AB=32cm ，CD=18cm ，大圆的半径为20cm ，求小圆的半径 E D C OA B例5：已知在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，且AC=BD 求证：△OCD为等腰三角形C D巩固练习：(1)已知⊙O半径为4，则圆心角为120度的角所对的弦长为____________(2)已知⊙O半径为1，则弦AB、AC的长分别为1、√(2) ，则∠BAC=______(3)已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=8，以BC为直径作⊙O，求AD的长(3)已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=8，CB(4)如图，AB是⊙O的直径，AB与CD交于点M，已知∠AMC=30°，AM=6cm,MB=2cm，求CD的长A(5)已知⊙O的直径为10cm，⊙O的两条平行弦AB=8cm，CD=6cm，那么这两条平行线之间的距离小结：垂径定理作业：练习册27.3（1）校本作业。
沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》教学设计1
沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》教学设计1一. 教材分析沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》是本节课的主要内容。
该定理是几何中的一个重要定理，它对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
教材通过引入实例，引导学生探究并证明垂径定理的逆定理，培养学生的几何思维和证明能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了垂径定理的相关知识，具备了一定的几何思维和证明能力。
但部分学生对于抽象的几何证明还存在一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的逆定理，并能运用其解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳、证明等方法，培养学生的几何思维和证明能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的逆定理的证明及其应用。
2.难点：对于抽象几何图形的证明和解决问题的方法。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生建立几何模型。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
3.实践操作法：学生动手操作，观察实验现象，归纳总结定理。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、多媒体课件、几何模型等。
2.学生准备：课本、笔记本、作图工具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考如何运用几何知识解决问题。
2.呈现（10分钟）教师展示垂径定理的逆定理，引导学生观察并分析定理的内涵。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同完成一些与垂径定理逆定理相关的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师针对学生的练习情况，进行讲解和辅导，帮助学生掌握垂径定理的逆定理。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理的逆定理解决更复杂的问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容，巩固所学知识。
沪教课标版九年级下册数学：27.3 垂径定理
一、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
条件
CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
ห้องสมุดไป่ตู้
垂径定理的几何语言:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
C
O·
A
E
B
D
• 定理中的直径可以是直径、半径、弦心距 等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定 理的变式：
∴MC=MA
∵∠A=∠C,AB=CG C∴△MBA≌△MCG(SAS)
截长法
∴MB=MG
在△MBG中，MD⊥BG
∴BD=GD
∴CD=CG+GD=AB+BD
M
O N
B DG A
“垂线法” 证明：延长AB，过M点作MN⊥NB,垂 足为N点.
C
例2 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为
弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，求△ABC
的周长？
A
A
O
D
B
E
C
O D
B FE C
一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
垂径定理的推论: 合作探究
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
条件
CD为直径
AE=BE
D
CD⊥AB
结论
⌒⌒ AC=BC
⌒⌒
AD=BD
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
沪科版初中数学九年级下册【说课稿】-垂径定理
最新沪科版初中数学九年级下册【说课稿】-垂径定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1垂直于弦的直径性质一．教学背景分析1、学习任务分析“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（沪科版）九年级下册第24章《圆》第2节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。
“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。
“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。
2、学生情况分析学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。
对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。
但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。
3、重点难点的定位教学垂点：垂径定理及其推论。
教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，（2）领悟垂径定理中的对称美。
二．教学目标设计:1.知识与技能目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
2.过程与方法目标：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
3.情感、态度与价值观：对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。
从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。
三．课堂结构设计：《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。
因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：1、欣赏美——营造问题情境2、探究美——揭秘核心问题3、徜徉美——问题变式发散4、品味美——重建知识体系课堂教学应以学生为主体，教师为主导。
沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(3)垂径定理
BABA BACA P27.3 垂径定理（3）[学习目标]1、能运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、掌握运用垂径定理及其推论时辅助线的常用添法. [学习重难点]会运用垂径定理及推论解决有关问题.一、课前预习1、已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧.2、已知：如图，线段AB 、交O e 于C 、D 两点，且OA=OB ， 求证：AC=BD.3、如图，有一圆弧形门拱的拱高CD 为1米，跨度AB 为4米，求这个门拱的半径.二、课堂学习例题1 如图，已知O e 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是»AB 的中点. 求AC 的长. （提示：把AC 放到直角三角形中去求，这里可以联结 、 ）（问题：添辅助线时这里可以写“作OC AB ⊥”吗？）例题2 如图，已知AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，,OM AB ON CD ⊥⊥ ，垂足分别是点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P. 求证：PA=PC. （提示：先证明AM=CN 和PM=PN ）例题3 如图，已知O e 的半径长R 为5，弦AB 与弦CD 平行，它们之间的距离为7，AB 长6，求弦CD 的长.（问题：过点O 作,OE AB OF CD ⊥⊥ ，垂足分别为E 、F ，可否马上得到EF=7？）课堂小结POBACDFOE B A C D P ON M B A C DO B CBCE DOA四、课堂练习1、已知：如图，PB 、 PD 与O e 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分BPD ∠.求证：¼¼.ABD CDB =2、如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=o，OF CD ⊥，垂足为点F ，DE=7，EO=2. 求CD 的长.3、已知O e 的半径长为5，弦AB 与弦CD 平行，AB=6，CD=8. 求AB 与CD 之间的距离。
四、课后练习1、已知：如图，O e 中的弦AB 、CD 交于点P ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点，»».AC BD = 求证：PMN V 是等腰三角形.2、如图，已知点A 、B 、C 分别在O e 上，AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求O e 的半径长.3、已知ABC V 是直径长为10厘米的O e 的内接等腰三角形，且底边BC=8厘米，求ABC S V .4、如图，已知O e 中，直径CD 与弦AB 垂直，垂足为E ，10,2CD DE == ，求AB 的长.5、已知：如图，1O e 与2O e 相交于点P 、Q ，点C 是线段12O O 的中点，AB 过点P 且与CP 垂直，点A 、B 分别是AB 与1O e 、2O e 的交点. 求证：.AP BP =。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 垂径定理及其推论 课件
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB
是弦，AB⊥DC，AB、CD交于E，
求证：AE=BE，
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ， ＡＣ ＝ ＢＣ
证明：连接OA、OB
∵OA、OB是⊙O的半径
A
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AEO=∠BEO=90o
CD垂直平分AB ∴ A与B关于CD对
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 思考1 ： AD 与 BD有何关系？ AC 与 BC有何关系？
2：CD与AB有何位置关系？
3：AE与BE有何数量关系？
探究一：若CD是圆O的直径，CD 垂直于弦AB，你会发现哪些结论？
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ ＢＣ
C
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理及其推论
小红家有一张圆形的餐桌，由于不
小心把上面的转盘打碎了，现有残
余碎片如图所示，小红测量一条弦
AB 长80cm，弦中点和弧中点距离
CD为20cm，小红要去购买同样的
转盘，则半径应多大？
A
C
D
B
（一）、把一个圆沿着它的任意一条 直径对折，重复几次，你发现了什么？ 由此你能得到什么结论？
请同学们回顾今天所学的内容：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧．
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直 于这条弦,并且平分这条弦所对的 两段弧。
作业：课内 P21 3 . 4 课外 同步练习。
·O
可以发现：圆是轴对称图形，经过 圆心的任意一条直线都是它的对称 轴．
沪科版九年级数学下册24.2《垂径定理》教学设计
（1）请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习垂径定理过程中的收获和困惑。
（2）针对自己的困惑，提出改进措施，为下一节课的学习做好准备。
注意事项：
1.要求学生在作业过程中，注重解题步骤的规范性和逻辑性。
2.鼓励学生积极参与思考题，培养他们的探究意识和创新能力。
3.课后总结要认真对待，发现问题并及时解决，提高学习效率。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握垂径定理的内容，能够准确判断圆的直径所对的圆周角是直角。
2.能够运用垂径定理解决实际问题，如求圆的直径、半径等。
3.掌握垂径定理的证明方法，提高演绎推理能力。
4.能够运用垂径定理推导出圆的相关性质，如圆周角定理、弦切角定理等。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论以下问题：“垂径定理在生活中的应用有哪些？”、“如何证明垂径定理？”等。
2.交流分享：各小组汇报自己的讨论成果，其他小组进行评价和补充，教师适时给予指导和点拨。
3.深入探讨：引导学生探讨垂径定理与其他几何定理的联系，如圆周角定理、弦切角定理等。
（四）课堂练习
4.组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，对几何学产生浓厚的兴趣。
2.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，树立自信心。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
1.设计具有层次性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：判断题、选择题、填空题和解答题，涵盖垂径定理的发现、证明和应用等方面。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-26.3垂径定理 教案
26.3垂径定理一、教学目标：（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理的结论进行证明，并能通过构造直角三角形解决一些简单的计算问题；（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．教学重点：垂径定理及运用教学难点：运用垂径定理解决实际问题的能力二、知识点整理：请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【学生答】：这些图形都是轴对称图形。
（那么，你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。
）【学生答】：等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆。
（圆是不是轴对称图形我们还没有研究过，它不算学过的轴对称图形。
刚才**同学提出了圆也是轴对称图形，他的说法对吗？让我们来共同研究一下。
下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。
首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？）【学生答】：圆是轴对称图形。
师：那么你知道它的对称轴是什么样的吗？【学生答】：它的直径经过圆心的直线（有同学说是直径，有同学说是经过圆心的直线，谁说的对呢？同学们讨论一下。
）【学生答】：对称轴是直线而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线。
（现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。
那么看图，AB是⊙O的直径，而CD是垂直AB的弦，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD（学生答）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？）【学生答】：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。
（学生完成） 根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。
垂径定理 优秀教学设计(教案)
垂径定理重难点教学设计
A
B
O E C
D
弦（a ）半径（r ）弦心距（d ），弓高（h ） 四个量关系1、 2、 探究三：
垂径定理推论：平分非直径弦的直径_______，并且__________________。
数学语言：∵CD 是平分_____， CD 是⊙O______，
∴____=____,____=____，_____=______。
例4、已知: 在⊙O 中，弦AB 的长为24 cm ，C 为AB 中点，OC=5 cm ，求⊙O 的半径。
三、当堂训练：
1、已知圆的两条平行弦AB 、CD 长分别是 6cm 和8cm ，圆的半径为5cm ，求两条平行弦之间的距离。
2、
教师引导学生添加辅助线并分析使用方程思想，后学生到前展示答案，并简单讲解
学生复述推论内容，并总结学语言
巩固提高对定理的认
识。
直观引入定理，并上升到理论上。
能够应用。
《垂径定理》教学设计教案完整版
圆的性质包括圆心到圆上任意一点 的距离都等于半径，以及圆上任意 两点间的弧长与这两点间所夹圆心 角的大小成正比。
直径、半径和弧的概念
直径是穿过圆心、连 接圆上任意两点的线 段，其长度等于两倍 的半径。
弧是圆上两点间的部 分，根据圆心角的大 小可分为优弧、劣弧 和半圆。
半径是从圆心到圆上 任意一点的线段，其 长度等于圆的半径。
分享交流探究成果
分享方式
每个小组选派一名代表， 向全班展示他们的探究 过程和成果，可以通过 口头报告、PPT演示、 板书等方式进行。
交流内容
包括问题背景、解决方 法、遇到的困难、取得 的成果以及心得体会等。
互动环节
其他小组可以提问、补 充或发表不同看法，促 进全班范围内的深入交 流和讨论。
教师点评与总结
布置适量练习题，让学生独立完 成，检验学生的学习效果。
课程引入（5分钟）
通过实例引入垂径定理的概念， 激发学生的学习兴趣。
课程总结（5分钟）
回顾本课所学内容，总结垂径定 理及其逆定理的应用方法，鼓励 学生课后继续探究相关问题。
02 基础知识回顾
圆的性质与定义
01
圆是平面上所有与定点（圆心）距 离等于定长（半径）的点的集合。
05 学生自主探究活动
分组探究垂径定理的应用
分组
将全班学生分成若干小组，每组4-6人，确保每组学生具有不同 的数学能力和背景。
探究任务
给每个小组分配一个与垂径定理相关的数学问题或应用场景，例 如求解圆的弦长、判断点与圆的位置关系等。
探究过程
学生小组内进行讨论、分析、尝试解决问题，并记录探究过程和 结果。
垂径定理的表述
在平面内，垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分 弦所对的两条弧。
九年级数学下册27.1.3垂径定理教案沪教版五四制.doc
垂径定理及其推论（运用平行线分线段成比例定理证明H 是EF 的中点，图二0H 是CD 垂直平分线证明EH 二EF ）例3如图，00的直径AB=15cm,有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A,点D 与B 不重合）, 且CE 丄CD 交AB 于E, DF 丄CD 交AB 于F.（1） 求证：AE=BF （过点0作CD 的垂线）（2） 在动弦CD 滑动的过程屮，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由.（定值S 二54） ” ----- 、—例4如图，在O0内，弦CD 与直径AB 交成45°角,若弦CD 交直径AB 于点P,且半+ PD 22•如图1, OO 的半径为6cm, AB. CD 为两弦，且AB 丄CD,垂足为点E,若CE=3cm, DE 二7cm,则AB 的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 4迈cmD. 8近cm3•有下列判断：①肓径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③肖•径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴冇无A. 1cmB. 2cmC. y[2cmD. y/Scm数条.其中正确的判断冇（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.如图2,同心圆中，大圆的弦交AB于C. D若AB二4, CD二2,圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为（）6. 如图，00的直径为10,弦AB 二& P 是弦AB 上的一个动点，那么0P 长的取值范|韦I 是 _____ .7. 如图，已知有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB 二16cm,拱高CD 二4cm,那么拱形的半径是 _____ m.8. 如图,直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分）,水面的宽度昇〃为800mm,求水的最大深度⑦A. 3:2B. V5 :2C. 75 : V2D. 5:45.等腰 外接圆三角形腰长为4cm,底角为3（）。
九年级数学下册 27.1.3 垂径定理教案 沪教版五四制
垂径定理及其推论教学目标垂径定理的内容及其推论重点、难点垂径定理的内容及其推论考点及考试要求会灵活运用垂径定理的内容及其推论计算及证明。
教学内容知识点梳理垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且 ．推论1：①平分弦（不是 ）的直径 ，并且 ． ②弦的 经过 ，并且 ．③平分弦所对的一条孤的直径, ，并且 ． 推论2．圆的两条平行弦 ．垂径定理及推论1中的三条可概括为：经过 ； ②垂直于 ； ③平分 (不是直径)； ④平分弦所对的 ； ⑤平分弦所对的 ． 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】 例1 如图AB ．CD 是⊙O 的弦，M ．N 分别是AB ．CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ．(联结OM,ON)例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．求证：CE=DF ．A BD C O ·N M O DC MA Bl•问题一图1 OHFE D CBA l•问题一图2 O H F E DC BAl•问题一图3OH FE D C BA(运用平行线分线段成比例定理证明H 是EF 的中点，图二OH 是CD 垂直平分线证明EH=EF)例3 如图，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE⊥CD 交AB 于E ，DF⊥CD 交AB 于F ． （1）求证：AE ＝BF （过点O 作CD 的垂线）（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由．（定值S=54）例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：22PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． （联结OC ，过点O 作CD 的垂线，定值等于2）【课堂练习】1．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）． A ．1cm B ．2cm C ．cm 2 D ．cm 32．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB ．CD 为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ） A ．10cm B ．8cm C ．cm 24 D ．cm 283．有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条．其中正确的判断有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C ．D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）O A B C D E FmA BCDPO．A BDCO 800 A ．3:2 B ．5:2 C ．5:2 D ．5:45．等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm6．如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 ． 7．如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _ __m ．8．如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．9．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为 ． 10．已知在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA 的3倍,C 为弧AB 的中点,AB ．OC 相交于点M ．试判断四边形OACB 的形状,并说明理由．A B C D BP A O D CBA MCBAO A D EC B ·图1A ·C DB 图211．如图，在⊙O 中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC ．BD 交直径MN 于E 、F ．求证：ME=NF ．（作AB 的垂线）【课后作业】 1． 已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD⊥AB，垂足为M ．且OM=3cm ，则CD= ．2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB= cm ． 3．若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是 ．4．已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R= ，⊙O 的周长为 ． ⊙O 的面积为 ． 5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是 ．6．⊙O 中，AB ．CD 是弦，且AB∥CD，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD ．BC ，则梯形ABCD 的面积等于 ．7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB ．CD 交于E 点，AC=BC ，OF⊥CD 于F ，OF=2cm ，则∠BED= ．8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN∥EF，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 ．O A B D C E FM N · A E F BC DO。
【沪科版】2019年春九年级数学下册：全册配套学案设计： 垂径分弦【含反思】
24.2 圆的基本性质第2课时 垂径分弦［学习目标］1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. ［学法指导］本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用，学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明；学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用. ［学习流程］一、导学自习1．阅读教材p16有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？2. 阅读教材p14“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？归纳：圆是__ __对称图形， ____________ ________都是它的对称轴； 3. 阅读教材内容，自己动手操作：按下面的步骤做一做：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个O ，沿圆周将圆剪下，作O 的一条弦AB ；第二步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂足为E ； 第三步，将O 沿着直径折叠.你发现了什么？归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有 ，相等的弧有 .二、研习展评活动1：（1）如图2，怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论. 叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧. 定理的几何语言：如图2CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥____________,____________,_____________∴(3)推论：___________________________________________________________________________． 活动2 ：垂径定理的应用如图3，已知在O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离（弦心距）为3cm ，求O 的半径.(分析：可连结OA ，作OC AB ⊥于C ) 解：小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
（图1）O（图2）（图3）(2)如图4，根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦心距”构成直角三角形，则r d a 、、的关系为 ，知道其中任意两个量， 可求出第三个量. ［课堂小结］1.垂径定理是 ，定理有两个条件，三个结论。
上海科学技术出版社初中数学九年级下册 垂径定理【全国一等奖】
九年级数学圆的基本概念和性质教学设计几何中重要的内容之一。
本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。
讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。
第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。
教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。
数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。
利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。
教学目标知识与技能：1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。
过程与方法：1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。
情感态度价值观：体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
教学重难点重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。
难点：垂径定理探索及其应用。
教学方法启发式教学教学媒体多媒体，圆规，直尺，半透明纸课时安排2课时教学过程设计第一课时一、观察与思考观察汽车和皮带转动轮的视频或图片提问：车轮是什么形状的生：圆形（问题简单，一起回答）教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等”生：“不能！”“它们无法滚动！”出示小人骑不同轮子小车的课件师：那我们这样吧，把轮子作成椭圆的，可不可以，同时在黑板上画一椭圆。
生：不行，这样一来，车子前进时，就会一忽儿高，一忽儿低。
教师再进一步启发：为什么做成圆形就不会一下高，一下低呢学生思考，同桌讨论，并回答：因为车轮上的任何一点到轴心的距离都相等的。
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27.3 垂径定理（2）
[学习目标]
1、掌握垂径定理推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题；
2、在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想. [学习重难点]
能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.
一、课前预习
1、垂径定理： .
2、如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦（不是直径），CD 与AB 交于点M ，
且AM=BM ，问CD 垂直于AB 吗？为什么？
提问：如果AB 是直径结论还成立吗？为什么？
3、如果把第（2）题中的条件“AM=BM ”改成“»»AD BD =”，结论还成立吗？为什么？
4、我们知道过A 、B 两点的圆的圆心一定在线段AB 的 上， 所以，弦AB 的垂直平分线必经过 .
5、如图，在O e 中，弦CD 与弦AB 交于点M.
（1）如果AM =BM ，»
»AD BD =，那么CD 与AB 垂直吗？
（2）如果CD AB ⊥，垂足为点M ，»
»AD BD =，那么AM 与BM 相等吗？
二、课堂学习
1、由课前预习2可以归纳得到：
如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.
2、由课前预习3可以归纳得到：
如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.
3、在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径. 由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上. 于是得到：
如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.
4、由课前预习5可以归纳得到：
如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦.
如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦.
4、总结上面的讨论，可以概括为：
在圆中，对于某一条自线“经过圆心”、“垂直于弦”、 “平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中， 如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.
5、例题1 如图，已知O e 中，C 是»
AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ，
120AOB ∠=o ， AD=8，求OA 的长.
（提示：已经有OC “经过圆心”、“平分弦所对的弧”，
所以由垂径定理推论可以得到“垂直于弦”、“平分弦”）
6、例题2 已知»
AB ，用直尺和圆规平分这条弧. （提示：弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧.）
课堂小结
B
A
三、课堂练习 1、如图，已知AD 是O e 的直径，»
»»AB BC CD ==. （1) 求»BD
所对的圆心角的大小； （2）OC 与BD 垂直吗？为什么？
2、如图是一块残缺的圆形砂轮片，试画出这块砂轮片原来的图形，
3，如图，已知O e 的半径长为3厘米，半径OB 与弦AC 垂直，垂足是点D ，AC 长为3厘米. 求：
(1)AOB ∠的大小； （2）CD 的长.
四、课后练习
1、如图，已知O e 的半径OC 过弦AB 的中点D ，如果»
AC 的长是20厘米，那么»
AB 的长是 厘米.
2、如图，已知C 是»
AB 的中点，半径OC 与弦AB 相交于点D ， 如果60,6OAB AB ∠==o
厘米，那么AOD ∠= 度， CD= 厘米.
3、已知：如图， AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点.
求证：.
AMN CNM ∠=∠
4、（提高题）已知：如图，MN 是O e 的弦，AB 是O e 的直径，AB MN ⊥，垂足为点P ，半径OC 、OD 分别交MN 于点E 、F ，且OE=OF.
求证：（1）ME=NF ；（2）¼».MC
ND =。