七年级数学下册-5.3-简单的轴对称图形(一)-(-新版)北师大版PPT课件
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北师大版七年级下册数学《利用轴对称进行设计》生活中的轴对称PPT教学课件
利用轴对称变换设计美丽图案
轴对称变换：
像上面那样，由一个平面图 形得到它的轴对称图形叫作轴对称 变换.
典例精析
例1 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于 直线l对称的图形.
l
A A′
C B
C′ B′
∴△A′B′C′即为所求.
例2 某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地(如 下图)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案 由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且 使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边长方形中 画出你的设计方案．
是轴对称图形.
走进生活，动手创作
观察图案： （1）它们是轴对称图形吗？ （2）生活中这些图案可以代表什么含义？ （3）自己设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图.
利用两个圆、两条线段、两个三角形设计 一个轴对称图案，并说明你的设计意图和要表 达的含义.
当堂练习
1. 如图给出了一个图案的一半，其中的虚线 l 是这个
解：如图所示．
做一做
取一张长30厘米、宽6厘米的纸条，将它每3厘米一 段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来，并在折 叠好的纸上画出字母E.用小刀把画出的字母E挖去， 拉开“手风琴”，你就可以得到一条以字母E为图 案的花边.
在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再 折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时 会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？
（1）你会得到怎样的图案？先猜一猜，再做一做.
（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过 的轴对称知识试一试.
两次对折折出了2条对称轴，因此图案中一定有2条对称轴.
（3）如果将正方形按上面方式对折3次，然后沿圆 弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？
三次对折折出了4条对称轴，因此图案中一定有4条对称轴. （4）当纸对折2次后，剪出的图案至少部分的面积相等． (2)答案不唯一，如图所示：
北师大版七年级下册532简单的轴对称图形ppt课件
P
M
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段A两个
端点的距离相等。
O
B
8
结论：
(1)无论M点取在直线的何处，线段MA和MB都重合． (2)线段的垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
P
M
A
O
B
9
跟踪训练 1、如图， l 线段AB的垂直平分线， O 、P分别是l上的两点，
A
M
N
B
P
Q
C
13
5、 △ABC中 , ED是线段BC的垂直平分线， ∠A=720,∠ACE=340 求∠B的度数
A
E
B
D
C
探究活动二： 尺规作图
如图，已知线段AB， 你能用尺规作出它的垂直平分线吗？ 已知： 线段AB 求作： 线段AB的垂直平分线
A
B
15
跟踪训练
1自己画一条线段AB，用尺规作出它的垂直平分线。 2完成课本P124的做一做：利用尺规作出三角形的重心
则PA 、PB 、OA 、OB的关系是( D )
A 、PA= OA ，PB=OB
l
B 、PA= OA =PB=OB
O
C 、PA=OB ，OA =PB
D 、OA=OB ，A P=BP
A B
P
10
2、如图,AB是△ABC的一条边， DE是AB的垂直平分线，垂足为
E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________,
16
拓展提高 A ，B ，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它
到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位 置P，请给予说明理由.
17
M
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段A两个
端点的距离相等。
O
B
8
结论：
(1)无论M点取在直线的何处，线段MA和MB都重合． (2)线段的垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
P
M
A
O
B
9
跟踪训练 1、如图， l 线段AB的垂直平分线， O 、P分别是l上的两点，
A
M
N
B
P
Q
C
13
5、 △ABC中 , ED是线段BC的垂直平分线， ∠A=720,∠ACE=340 求∠B的度数
A
E
B
D
C
探究活动二： 尺规作图
如图，已知线段AB， 你能用尺规作出它的垂直平分线吗？ 已知： 线段AB 求作： 线段AB的垂直平分线
A
B
15
跟踪训练
1自己画一条线段AB，用尺规作出它的垂直平分线。 2完成课本P124的做一做：利用尺规作出三角形的重心
则PA 、PB 、OA 、OB的关系是( D )
A 、PA= OA ，PB=OB
l
B 、PA= OA =PB=OB
O
C 、PA=OB ，OA =PB
D 、OA=OB ，A P=BP
A B
P
10
2、如图,AB是△ABC的一条边， DE是AB的垂直平分线，垂足为
E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________,
16
拓展提高 A ，B ，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它
到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位 置P，请给予说明理由.
17
北师大版数学七年级下册5.3 《简单的轴对称图形第3课时》教学课件%28共30张PPT%29
DC相等吗？还有其他相等的线段吗？
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的
平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵∠ADE=180°-∠EAD-∠AED，
∠ADC=180°-∠C-∠CAD，
∴∠ADE=∠ADC，
B
∴△ADE≌△ADC，
∴AE=AC．
∴图中相等的线段：DE=DC，AE=AC．
∴ DB = DC，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ）
√
B
A D
C
典型例题
例2.如图，CD⊥OA，CE⊥OB，D、E为垂足． （1）若∠1=∠2，则有___C_D_=__C_E___; （2）若CD=CE，则有__∠__1_=_∠__2___．
典型例题
例3.有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A 点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平 分线，为什么？
随堂练习
3．如图，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB的两边的距
离相等，并说明你的理由．
A
D
C
O
B
解：作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，两线交 点即为所求点．
随堂练习
4．如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，AB的垂直平分线交AC与D，垂 足为E，若∠A=30°，DE=2，求∠DBC的度数和CD的长．
1 AB•OE+
2
1BC•OD+
2
1
2 AC•OF
=
1 2
×4×（AB+BC+AC）=34
随堂练习
1.（1）如图：OC是∠AOB的平分线， 点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别是D、E，PD=4cm， 则PE=______4____cm.
七年级数学北师大版贵州专版下册课件：5.3简单的轴对称图形(第2课时)
D.50°
解析:因为等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°,所以 ∠ABC=80°,因为DE是线段AB的垂直平分线,所以AE=BE,所 以∠A=∠ABE=20°,所以∠CBE=∠ABC- ∠ABE=80°20°=60°.故选C.
3.如图所示,在△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分 线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.
(3)由此你能得到什么结论?
线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 线段还有一条对称轴,它就是线段AB所在的直线.
线段垂直平分线的定义与性质
【活动内容一条线段,并且平分这条线段的直线,
叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线. 【活动内容2】
线段的对称性
【活动内容】 线段是轴对称图形吗?如果是,你能找出它的一条对称轴吗? 做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出
准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB
使点A,B重合,折痕与AB的交点为O. 想一想:(1)折痕两旁的部分能重合吗?线段是一个轴对称图形吗?这 条折痕是线段的对称轴吗?
(2)点O是线段AB的中点吗?折痕与线段AB垂直吗?为什么?
为AO=BO,∠AOM=∠BOM=90°,OM=OM,所以
△AOM≌△BOM,所以AM=BM.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等.
尺规作图:作线段垂直平分线
已知:线段AB.
C
求作:线段AB的垂直平分线.
(1)分别以点A和B为圆心,任意长为半 径作弧,两弧相交于点C和D. (2)作直线CD.直线CD就是线段 AB的垂直平分线. 你能说明为什么所作的直线就是已知线段 的垂直平分线吗? 只要连接CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC 中,AC=BC,AD=BD,CD=CD, 由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD,再由等腰三角形的 “三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线.
解析:因为等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°,所以 ∠ABC=80°,因为DE是线段AB的垂直平分线,所以AE=BE,所 以∠A=∠ABE=20°,所以∠CBE=∠ABC- ∠ABE=80°20°=60°.故选C.
3.如图所示,在△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分 线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.
(3)由此你能得到什么结论?
线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 线段还有一条对称轴,它就是线段AB所在的直线.
线段垂直平分线的定义与性质
【活动内容一条线段,并且平分这条线段的直线,
叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线. 【活动内容2】
线段的对称性
【活动内容】 线段是轴对称图形吗?如果是,你能找出它的一条对称轴吗? 做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出
准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB
使点A,B重合,折痕与AB的交点为O. 想一想:(1)折痕两旁的部分能重合吗?线段是一个轴对称图形吗?这 条折痕是线段的对称轴吗?
(2)点O是线段AB的中点吗?折痕与线段AB垂直吗?为什么?
为AO=BO,∠AOM=∠BOM=90°,OM=OM,所以
△AOM≌△BOM,所以AM=BM.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等.
尺规作图:作线段垂直平分线
已知:线段AB.
C
求作:线段AB的垂直平分线.
(1)分别以点A和B为圆心,任意长为半 径作弧,两弧相交于点C和D. (2)作直线CD.直线CD就是线段 AB的垂直平分线. 你能说明为什么所作的直线就是已知线段 的垂直平分线吗? 只要连接CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC 中,AC=BC,AD=BD,CD=CD, 由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD,再由等腰三角形的 “三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线.
北师大版七年级数学下册5.3简单的轴对称图形优秀课件ppt
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• 1单. 如击图此，处是编由辑大母小版不文等本的样等式边三角形组 成–的第图二案级，请找出它的对称轴.
• 第三级
– 第四级 » 第五级
2024/7/16
6
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
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把一张长方形的纸片对折(折痕为ED),在ED边上取点A，
•在 把单另它一展击边 开此取,观处点察B编，,并辑连说接母明A得B版并到文剪的下本三三角样角形式形的(特注点意.包括折痕),
– 第二级
• 第三级
E
– 第四级 D »折第一五折级 E
A
D 剪一剪
A
D
B B
2024/7/16
• 第三级
2.2、 若– 第等四级腰三角形的一个内角为120°,则它 的另外两»个第内五级角为__3_0°__,_3_0_°_
2024/7/16
11
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
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4.已单知击等腰此三处角形编的辑腰母长比版底标边题长多样式
2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰 •三单角击形此的处各编边辑长母. 版文本样式 解：– 第设二三级角形的底边长为xcm,则其腰长为 (x+2)•c第m，三级根据题意得：
– 第四级
» 第2五(级x+2)+x=16
解得 x=4
∴等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm.
3.1 一等腰三角形的两边长为2和4， • 单则击该此等处腰编三辑角母形版的文周本长样为式__1_0_____
• 1单. 如击图此，处是编由辑大母小版不文等本的样等式边三角形组 成–的第图二案级，请找出它的对称轴.
• 第三级
– 第四级 » 第五级
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6
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
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把一张长方形的纸片对折(折痕为ED),在ED边上取点A，
•在 把单另它一展击边 开此取,观处点察B编，,并辑连说接母明A得B版并到文剪的下本三三角样角形式形的(特注点意.包括折痕),
– 第二级
• 第三级
E
– 第四级 D »折第一五折级 E
A
D 剪一剪
A
D
B B
2024/7/16
• 第三级
2.2、 若– 第等四级腰三角形的一个内角为120°,则它 的另外两»个第内五级角为__3_0°__,_3_0_°_
2024/7/16
11
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
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4.已单知击等腰此三处角形编的辑腰母长比版底标边题长多样式
2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰 •三单角击形此的处各编边辑长母. 版文本样式 解：– 第设二三级角形的底边长为xcm,则其腰长为 (x+2)•c第m，三级根据题意得：
– 第四级
» 第2五(级x+2)+x=16
解得 x=4
∴等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm.
3.1 一等腰三角形的两边长为2和4， • 单则击该此等处腰编三辑角母形版的文周本长样为式__1_0_____
北师大版数学七年级下册第2课时线段垂直平分线的性质课件(17张P)
所以 AC = CE．所以 AB = AC = CE．
所以 AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE.
3.如图，A，B，C 三点表示三个工厂，现要建一供
水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标
出供水站的位置 P，并说明理由.
A
●
提示：连接 AB，AC，分别
作 AB，AC 的垂直平分线， B
线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( B )
A. 6
B. 5
C
C. 4
D. 3
P
A
D
B
2. 如图，AB 是△ABC 的一条边，DE 是 AB 的垂直平 分线，垂足为 E，并交 BC 于点 D，已知 AB = 8 cm， BD = 6 cm，那么 EA =___4__cm，DA =___6__cm.
A
D E
B
C
2. 如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直
平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
解：因为 AD⊥BC，BD = DC，
所以 AD 是 BC 的垂直平分线.
所以 AB = AC．
B DC
E
因为点 C 在 AE 的垂直平分线上，
2
两弧相交于点 C 和 D；
A•
B•
•D
2. 作直线 CD．直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
做一做
利用尺规作如图所示的 △ABC 的重心.
•
三角形的三条中线交于一点，
这点称为三角形的重心.
C
•
A
《简单的轴对称图形》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE.(1)若∠A=35°,则∠AED= ______；(2)若BE=3，EC=1，则AC=______.
A
B
C
D
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
55°
4
因为DE是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定义可知DE⊥AB，AE=BE.
所以∠AED=90°-∠A=55°，AC=AE+CE=BE+CE=3+1=4.
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
C
C2
O
思路二：利用SAS可证△AOC△BOC，所以AC=BC.
C1
成立
利用尺规，作线段AB(如图)的垂直平分线.
A
B
已知：线段AB，如图.求作：AB的垂直平分线.
作法：
(1)分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D.
因为∠ACE=48°，所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=72°.
所以∠A=180°－∠ABC－∠ACB=180°－48°－72°=60°.
3.画一个△ABC，利用尺规求作它的外心.
解：如图所示：
(3)点O即为△ABC的外心.
A
B
C
(2)分别作AB，BC，AC的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O.
O
(3)分别以点A和C为圆心，以AD的长度为半径作弧，两弧在AC下方相交于点D.
.
例1 如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有：_______.①AB⊥MN；②AD=DB；③MD=DN；④AB是MN的垂直平分线.
A
B
A
B
C
D
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
55°
4
因为DE是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定义可知DE⊥AB，AE=BE.
所以∠AED=90°-∠A=55°，AC=AE+CE=BE+CE=3+1=4.
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
C
C2
O
思路二：利用SAS可证△AOC△BOC，所以AC=BC.
C1
成立
利用尺规，作线段AB(如图)的垂直平分线.
A
B
已知：线段AB，如图.求作：AB的垂直平分线.
作法：
(1)分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D.
因为∠ACE=48°，所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=72°.
所以∠A=180°－∠ABC－∠ACB=180°－48°－72°=60°.
3.画一个△ABC，利用尺规求作它的外心.
解：如图所示：
(3)点O即为△ABC的外心.
A
B
C
(2)分别作AB，BC，AC的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O.
O
(3)分别以点A和C为圆心，以AD的长度为半径作弧，两弧在AC下方相交于点D.
.
例1 如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有：_______.①AB⊥MN；②AD=DB；③MD=DN；④AB是MN的垂直平分线.
A
B
北师大版七年级数学下册 5.3简单的轴对称图形1
(1)若∠A=50°，则∠B=______°，∠C=______°；
(2)若∠B=45°，则∠A=______°，∠C=______°；
(3)若∠C=60°，则∠A=______°，∠B=______°；
(4)若∠A=∠B，则∠A=______°，∠C=______°。
1、有两边相等的三角形是等腰三角形，它是_______图形。
（2）等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是_______．
8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠BAC和∠ADC的度数。
A
B
C
D
课后反思：
例3、ABC是等边三角形，AE是它的高，AB=5，求∠BAE的度数和BE的长.
三、当堂检测：
1．等腰三角形的一腰为6，底边长为4，则这个等腰三角形的周长为（）
A．13；B．14；C．15；D．16．
2、如图（7），△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
3．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果
∠BAF=60°，那么∠DAE=_________．
四、总结反思：
(1)等腰三角形和等边三角形的轴对称性质
(2)三线合一
五、课后练习：
1.等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．
2．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____．
3．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____
课题：5.3.1简单的轴对称图形（一）
A
B
C
图（2）
A
B
C
图（5）
学习目标：1.等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质；
(2)若∠B=45°，则∠A=______°，∠C=______°；
(3)若∠C=60°，则∠A=______°，∠B=______°；
(4)若∠A=∠B，则∠A=______°，∠C=______°。
1、有两边相等的三角形是等腰三角形，它是_______图形。
（2）等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是_______．
8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠BAC和∠ADC的度数。
A
B
C
D
课后反思：
例3、ABC是等边三角形，AE是它的高，AB=5，求∠BAE的度数和BE的长.
三、当堂检测：
1．等腰三角形的一腰为6，底边长为4，则这个等腰三角形的周长为（）
A．13；B．14；C．15；D．16．
2、如图（7），△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
3．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果
∠BAF=60°，那么∠DAE=_________．
四、总结反思：
(1)等腰三角形和等边三角形的轴对称性质
(2)三线合一
五、课后练习：
1.等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．
2．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____．
3．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____
课题：5.3.1简单的轴对称图形（一）
A
B
C
图（2）
A
B
C
图（5）
学习目标：1.等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质；
七年级 下册 数学 PPT课件 精品课 第5章生活中的轴对称 角平分线的性质
（来自《点拨》）
知2－练
1 【中考·怀化】如图，OP为∠AOB的平分线， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列 结论错误的是( B ) A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若 AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC， DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.
解：∵CD是∠ACG的平分线， DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD DE
CD, DF,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
总结
因为∠AEB＝∠AOB＝90°， 所以∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°. 所以∠OAF＝∠OBD. 又因为OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°， 所以△AOF≌△BOD(ASA)． 所以AF＝BD. 所以BD＝2AE.
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方 法 4 截取作对称图形法
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝ 2∠B.
即为所求．
（来自《点拨》）
知识点 2 角的平分线的性质
做一做
(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的
两边将角剪下，将这个角对折，使 角的两边重合，折痕就是∠AOB的 平分线. (2)在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C 且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将 ∠AOB再次对折， 线段CD与CE能重合吗？ 改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?
北师大版七年级下册数学《4利用轴对称进行设计》课件(1)
对两村居民运送垃圾如何做到公平快捷？
P
公路L
村庄A
村庄B
问题：怎样作出线段AB的垂直平分线呢？
例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线
已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线. A
B
作法：
1、分别以点A和B为圆心，
以大于
1 2
AB的长为半径作
弧，两弧相交于点C和D.
2、作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
怎么称呼 它呢？
B
线段垂直平分线的定义：
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.
探究线段垂直平分线的性质
折纸活动： 按照下面的步骤做一做： （1）展开一面只画有线段AB的纸片，
对折线段AB使点A与点B重合， 折痕与线段AB的交点为O；
（2）在折痕上任取一点C， 沿线段CA将纸折叠；
C
你还有其它方法说明AC=BC吗？
证明：
在△ AOC和△ BOC中，
因为 AO=BO
A
B
∠AOC=∠BOC=90°
0
CO=CO
所以 △ACO≌ △BCO(SAS)
所以 AC=BC(全等三角形的对应边相等)
验证： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
距离 相-等--。运用了全等三角形的判定进行说明！
CC
（3）把纸展开，得到折痕CA和CB.
（4）线段CA与线段CB相等吗？ 改变点C的位置再试一试.
AA O BB
符号语言：
因为 CD⊥AB于O, AO=BO
图形语言： m
C
所以 AC=AB
A
0
B
结论：
北师大版数学七年级下册《简单的轴对称图形第1课时》教学课件
CD
随堂练习
6.已知AB＝AC，AD＝AE，且点B，D，E，C在同一直线上，求证： BD＝EC． 证明：证:1：作AH⊥BC于点H． ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BH＝CH，DH＝EH． ∴BH－DH＝CH－EH． 即BD＝EC．
随堂练习
证法2：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵AB＝AC， ∴△ADB≌△AEC，∴BD＝EC．
随堂练习
2.（1）一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为___1_0____ （2）一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为_1_0_或___1_1 （3）已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm, 求这个等腰三角形的各边长.
解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm，根据题意得： 2(x+2)+x=16 解得 x=4
A
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC，
BD＝CD，
AD＝AD，
B
D
C
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC．
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．
探究新知
几何语言表示：
在△ABC中，
（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
A
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
B
A
E DC
课堂小结
1．等腰三角形的性质 2．等边三角形的概念及性质
再见
A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80°
（3）如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ C ）．
5.3 简单的轴对称图形(1)
20°
.
数学
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名师点拨:
(1)若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况
进行讨论计算;
(2)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角,而底角只能是
锐角.
数学
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知识点三 等边三角形的定义和性质
1.定义:三边都相等的三角形是 等边三角形 ,也叫正三角形.
2.性质:等边三角形是特殊的等腰三角形,它除了具有等腰三角
等腰三角形的 顶角 ,腰与底边的夹角叫做等腰三角形的
底角
.
2.性质:①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是它的顶角平分
线所在的直线;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、
底边上的中线重合(简称“ 三线合一 ”).
数学
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▶▶ 典型例题
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点
腰三角形的个数是
3
.
数学
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三、解答题
1.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且
∠2=36°,BD=2,求∠BAC,∠B的度数及BC的长.
解:因为AD为∠BAC的平分线,∠2=36°,
所以∠1=∠2=36°,∠BAC=2∠2=72°.
又因为AB=AC,所以AD⊥BC,BD=CD,
解:因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
所以BD=CD.
因为△ABC的周长为16,
1
所以AB+BD= ×16=8.
2
因为△ABD的周长为12,所以AD=12-8=4.
数学
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6.如图,A,B是直线l同侧的两点.请在直线l上找一点C,使得
AC+CB最小,并说明理由.
北师大版七年级下5.3简单的轴对称图形和5.4利用轴对称进行设计课件ppt(金榜学案配套)
AC+CD+AD+AB=10+7=17.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知 △BCE的周长是8，且AC-BC=2，求AB，BC的长.
【解析】∵DE⊥AB,AD=BD, ∴AE=BE, ∴△BCE的周长=BC+CE+BE
=BC+CE+AE=BC+AC=8.
又∵AC-BC=2，
＝AC.将图中的等腰三角形全都写出来，并求∠B的度数.
【解题探究】(1)图中有几个等腰三角形，判断的理由是什么？
答：有三个等腰三角形，因为AB＝AC，BD＝AD，DC＝AC，由两 边相等的三角形是等腰三角形可得△ABC, △ADB, △ACD为等腰 三角形. (2)图中有哪几对角相等？判断的理由是什么？ 答：∠B=∠C，∠B=∠BAD，∠DAC=∠ADC， 理由是等腰三角形的两底角相等.
2.等边三角形是轴对称图形吗?它还有什么性质？ 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，等边三角形 答：___________________________________________________ 的三个角都是60° ________________. 3.线段是轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 线段是轴对称图形,它有两条对称轴,一条是线段所在的直 答：___________________________________________________ 线,一条是线段的垂直平分线 ___________________________.
线段的垂直平分线 【例2】(5分)小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠, 使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三 角形纸片,使点A和D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图 ②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗? 请说明理由.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知 △BCE的周长是8，且AC-BC=2，求AB，BC的长.
【解析】∵DE⊥AB,AD=BD, ∴AE=BE, ∴△BCE的周长=BC+CE+BE
=BC+CE+AE=BC+AC=8.
又∵AC-BC=2，
＝AC.将图中的等腰三角形全都写出来，并求∠B的度数.
【解题探究】(1)图中有几个等腰三角形，判断的理由是什么？
答：有三个等腰三角形，因为AB＝AC，BD＝AD，DC＝AC，由两 边相等的三角形是等腰三角形可得△ABC, △ADB, △ACD为等腰 三角形. (2)图中有哪几对角相等？判断的理由是什么？ 答：∠B=∠C，∠B=∠BAD，∠DAC=∠ADC， 理由是等腰三角形的两底角相等.
2.等边三角形是轴对称图形吗?它还有什么性质？ 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，等边三角形 答：___________________________________________________ 的三个角都是60° ________________. 3.线段是轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 线段是轴对称图形,它有两条对称轴,一条是线段所在的直 答：___________________________________________________ 线,一条是线段的垂直平分线 ___________________________.
线段的垂直平分线 【例2】(5分)小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠, 使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三 角形纸片,使点A和D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图 ②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗? 请说明理由.
七年级数学下册第五章生活中的轴对称3简单的轴对称图形教学课件新版北师大版
知识点❷ 角的平分线的性质 3．(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( D ) A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分 ∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等
教学课件
数学 七年级下册 北师大版
第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形
5．3 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的性质
知识点❶ 等腰三角形的性质 1．已知等腰△ABC中，顶角∠A＝40°，则底角的大小为 ( B) A．40° B．70° C．100° D．40°或70° 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结 论中不一定成立的是( D ) A．AB＝AC B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
第3课时 角的平分线的性质
知识点❶ 作角的平分线 1．观察图中尺规作图痕迹，下列结论不一定正确的是 (C ) A．PQ为∠APB的平分线 B．PA＝PB C．PA＝AB D．∠APQ＝∠BPQ
2．如图，作已知∠AOB 的平分线 OC，合理的顺序是( C ) ①作射线 OC；②在 OA，OB 上分别截取 ON，OM，使 ON＝OM； ③分别以 N，M 为圆心，以大于21NM 为半径画弧，两弧在∠AOB 内交 于点 C. A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点P在AD 上，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，试说明：PE＝PF. 解：由等腰三角形的三线合一可知AD平分∠BAC，再由角平分 线的性质可得PE＝PF
14．如图，点B在AG上，点C在AH上，BP平分∠GBC，CP平 分∠HCB，PD⊥AG于点D，PE⊥AH于点E，试说明：PD＝ PE. 解：过点P作PM⊥BC于点M，由角平分线的性质可得PD＝ PM，PE＝PM，∴PD＝PE
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第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形(第1课时)
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形, 能找出对称轴吗？
认识等腰三角形：
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
顶角Байду номын сангаас
腰
腰
) 底角 底角（
底边
生活中的等腰三角形
思考
1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。 2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的 对称轴吗？ 3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的 对称轴吗？底边上的高所在直线呢？ 4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪 些特征？说说你的理由。
° 2、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的 另外两个内角为__30_°__,_30°
1. 一等腰三角形的两边长为2和4，则 该等腰三角形的周长为____1_0___
2. 一等腰三角形的两边长为3和4，则该等
腰三角形的周长为_1_0__或__1_1_
已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm, 并且它的周长为16cm,求这个等腰三角 形的各边长。
小组合作交流
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有 一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质 吗？ 拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发 现什么现象？
看看你本组其 他同学的情况, 共同交流, 能得 出什么结论?
A
现象：
(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2)∠B =∠C
B
C
(3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 D
如果ΔABC是轴对称图形，则它的对 称轴一定是（ C ） A. 某一条边上的高。 B. 某一条边上的中线。 C. 平分一角和这个角的对边的直线。 D. 某一个角的平分线。
1、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另 外两个内角为__7_0_°__,_7_0_°__或_4_0_°__，__100
(4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高
(5 )BD=CD，AD为底边上的中线。
归纳：
A
现象(2)能用一句话归纳出来吗？
等腰三角形的两个底角相等 B
C
D
现象(3)、(4)、(5)能用一句话归纳出来吗？
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边 上的中线互相重合（简称“三线合一”）
三线合一吗？ 在ΔABC中∵ AD是角平分线,
∴∠BAD=∠CAD。
A
在ΔABD和ΔACD中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
∴ΔABD≌ΔACD
∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚
B
C ∴AD是ΔABC的角平分线、底边
D
上的中线、底边上的高。
1.等腰三角形是轴对称图形 2.等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高重合 （也称“三线合一”），它们所 在的直线都是等腰三角形的对称 轴。
解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为 (x+2)cm，根据题意得：
2(x+2)+x=16
解得 x=4
∴等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm。
开动脑筋
如图，P，Q是△ABC边上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。
A
B
P
Q
C
谈谈你的收获吧！
我学到了......
1. 等腰三角形的性质。 2. 等边三角形的性质。 3. 相关计算。
3.等腰三角形的两个底角相等。
想一想
三边都相等的三角形是等边三角形也叫 正三角形 （1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴 （2）你能发现它的哪些特征？
折叠一下 试试！
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对 边上的中线、高线重合（“三线合一”）， 它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 等边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
议一议
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？ 与同伴交流。
1.按下面的步骤做一做： （1）将长方形纸片对折 （2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开。
2.你能尝试用圆规吗？
随堂练习1
如图，是由大小不等的等边三角形组成 的图案，请找出它的对称轴。
随堂练习2
A
B
C
1. 如图，在等腰ΔABC中，AB=AC顶角∠A=100° 那么底角∠B=__4_0_°___∠C =___4_0_°__ .
2. 在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么 ∠A=___3_6_°_
3. 在等腰三角形△ABC中，有一个角为50°， 那么另外两个角分别是多少？
如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)因为AD⊥BC
所以∠ B_A_D__= ∠_C_A_D__;_B_D__=__C_D_
A
(2) 因为AD是中线
所以_A_D__⊥B_C___; ∠_B_A_D__=∠__C_A_D_
(3) 因为 AD是角平分线
所以__A_D_ ⊥_B_C__;_B_D___=__C_D_ B
C D
每一幅图画后面都有一道习题，选 择一幅你喜欢的图画吧！
3 简单的轴对称图形(第1课时)
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形, 能找出对称轴吗？
认识等腰三角形：
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
顶角Байду номын сангаас
腰
腰
) 底角 底角（
底边
生活中的等腰三角形
思考
1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。 2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的 对称轴吗？ 3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的 对称轴吗？底边上的高所在直线呢？ 4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪 些特征？说说你的理由。
° 2、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的 另外两个内角为__30_°__,_30°
1. 一等腰三角形的两边长为2和4，则 该等腰三角形的周长为____1_0___
2. 一等腰三角形的两边长为3和4，则该等
腰三角形的周长为_1_0__或__1_1_
已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm, 并且它的周长为16cm,求这个等腰三角 形的各边长。
小组合作交流
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有 一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质 吗？ 拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发 现什么现象？
看看你本组其 他同学的情况, 共同交流, 能得 出什么结论?
A
现象：
(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2)∠B =∠C
B
C
(3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 D
如果ΔABC是轴对称图形，则它的对 称轴一定是（ C ） A. 某一条边上的高。 B. 某一条边上的中线。 C. 平分一角和这个角的对边的直线。 D. 某一个角的平分线。
1、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另 外两个内角为__7_0_°__,_7_0_°__或_4_0_°__，__100
(4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高
(5 )BD=CD，AD为底边上的中线。
归纳：
A
现象(2)能用一句话归纳出来吗？
等腰三角形的两个底角相等 B
C
D
现象(3)、(4)、(5)能用一句话归纳出来吗？
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边 上的中线互相重合（简称“三线合一”）
三线合一吗？ 在ΔABC中∵ AD是角平分线,
∴∠BAD=∠CAD。
A
在ΔABD和ΔACD中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
∴ΔABD≌ΔACD
∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚
B
C ∴AD是ΔABC的角平分线、底边
D
上的中线、底边上的高。
1.等腰三角形是轴对称图形 2.等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高重合 （也称“三线合一”），它们所 在的直线都是等腰三角形的对称 轴。
解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为 (x+2)cm，根据题意得：
2(x+2)+x=16
解得 x=4
∴等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm。
开动脑筋
如图，P，Q是△ABC边上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。
A
B
P
Q
C
谈谈你的收获吧！
我学到了......
1. 等腰三角形的性质。 2. 等边三角形的性质。 3. 相关计算。
3.等腰三角形的两个底角相等。
想一想
三边都相等的三角形是等边三角形也叫 正三角形 （1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴 （2）你能发现它的哪些特征？
折叠一下 试试！
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对 边上的中线、高线重合（“三线合一”）， 它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 等边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
议一议
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？ 与同伴交流。
1.按下面的步骤做一做： （1）将长方形纸片对折 （2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开。
2.你能尝试用圆规吗？
随堂练习1
如图，是由大小不等的等边三角形组成 的图案，请找出它的对称轴。
随堂练习2
A
B
C
1. 如图，在等腰ΔABC中，AB=AC顶角∠A=100° 那么底角∠B=__4_0_°___∠C =___4_0_°__ .
2. 在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么 ∠A=___3_6_°_
3. 在等腰三角形△ABC中，有一个角为50°， 那么另外两个角分别是多少？
如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)因为AD⊥BC
所以∠ B_A_D__= ∠_C_A_D__;_B_D__=__C_D_
A
(2) 因为AD是中线
所以_A_D__⊥B_C___; ∠_B_A_D__=∠__C_A_D_
(3) 因为 AD是角平分线
所以__A_D_ ⊥_B_C__;_B_D___=__C_D_ B
C D
每一幅图画后面都有一道习题，选 择一幅你喜欢的图画吧！