大学物理 第五章

M = Jβ
m，l
C mg
l ∴ β = 3g 1 2 其中 J = ml , M = mg 2l 3 2
再考虑质心平动，根据质心运动定律：
mg − T = mac
其中
l 3 ac = β = g 2 4
1 ∴T = mg − mac = mg 4
43
(2) 解法一:据刚体机械能守恒定律
l 1 2 - mg sin θ + Jω = 0 2 2
Baidu Nhomakorabea
24
§5.3 刚体转动的功和能
回顾： 质点 质量 牛顿运动定律
M = Jβ
刚体 转动惯量 转动定律
力做功
力矩做功
25
§5.3 刚体转动的功和能
一、力矩的功
轴
dθ dr α r
α
F 在转动平面内
ω
元功： dA = F • dr = F dr cos α = F ( rdθ ) cos α F ( r cos α )dθ = Mdθ
或
A = ∫ Mdθ = Mθ
42
例5.9：一质量为m，长为 l的匀质杆，两端用绳悬挂杆处于水平 状态，现突然将杆右端的悬线剪断，求(1)此瞬间另一根绳受到 的张力 ;(2)剪断绳子之后任一时刻杆的角速度 ω与转过角度 θ之 间的关系。 解： （1）首先考虑杆绕O点的的转动 根据转动定律： T O
可看成全部质量集中在刚体质心上的质点的运动
2
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
3
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
4
§5.1 刚体及其定轴转动描述
刚体定轴转动
特点：每个质元都具有相同 的角位移、角速度和角加速度 角速度： 方向：右手螺旋法则 角加速度：β = dω = d θ 2
总功：A = ∫ dA = ∫ Mdθ = M (θ 2 − θ1 )
θ1
26
θ2
§5.3 刚体转动的功和能
A = ∫ dA = ∫ Mdθ
θ1 θ2
A=
θ2
M = Jβ
Jβ dθ ∫ θ
1
dω A= ∫J dθ dt θ1
θ2
dω β= dt
1 1 2 2 A = ∫ Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2 ω1
§5.2 转动定律
转动惯量的计算 例5.2：求质量为m，长为l的均匀细杆，对下列转轴求其转动惯量。 （1）轴过杆的中心，并与杆垂直；（2）轴通过杆的一端，并与 杆垂直。
解：（1）如图建立坐标系并取质元
杆的线密度 质元的质量 转动惯量
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（2）如图建立坐标系并取质元 线密度和质元的选取同（1）
小结：同一刚体绕不同位置的转轴转动时，其转动
3 g sin θ ∴ω = l
解法二：根据转动定律： O
m，l
θ
ω l 1 2 dω mg mg cos θ = Jβ = ml 2 3 dt 1 dω dθ = ml 2 • θ ω 3 dt dθ l 1 2 mg cos θdθ = ml ωdω 1 2 dω 3 2 = ml ω 0 0 3 dθ
第五章 刚体的定轴转动
质点
力学模型：
刚体 受力时形状和大小均不改变的物体 研究方法：假定为多个质点或小质量元构成的质点系
• 主要内容： 一个定律：转动定律 三个概念：刚体、转动惯量、力矩
1
刚体的运动：平动（translation）和转动（rotation）
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如： v、a 等都相同． 刚体平动 质点运动
解： 确立研究对象
刚体： m；质点： m1和m2 用隔离法对物体进行受力和运动分析， 如下图所示
20
§5.2 转动定律
21
§5.2 转动定律
列方程 解方程
a= m2 − m1 g m1 + m2 + m / 2 m2 − m1 g (m1 + m2 + m / 2) R m1 (2m2 + m / 2) g m1 + m2 + m / 2 m1 (2m1 + m / 2) g m1 + m2 + m / 2
解：以小球和细杆为研究对象
系统的角动量守恒 初态角动量
末态角动量
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根据角动量守恒定律
以细杆为研究对象，细杆摆起过程中，只有重力做功，系统 机械能守恒。我们选择杆竖直时杆的中点为零势能点。
1 J = Ml 2 3
联立以上三式得
40
例 5.8 ：桌面上有一圆盘可绕中心轴在桌面上转动，圆盘质量为 m ， 半径为Ｒ，在外力作用下获得转动的角速度为 ω 0 ，若盘与桌面间 滑动磨擦系数为 µ ，现撤去外力。求： （１）盘从开始减速到停止转动所需的时间； （２）阻力矩的功。 ω0 解：（1）摩檫力矩使圆盘停止转动。 取面积元， R
刚体动能 定义
ω2
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§5.3 刚体转动的功和能
1 1 2 2 A = ∫ Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2 ω1
刚体定轴转动 的动能定理
ω2
刚体动能增量只与外力矩的功有关，与内力矩的功 无关（内力合力矩为零）。
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§5.3 刚体转动的功和能
质心：质心的位置是刚体质量分布的平均坐标
rC =
2
z
O
θ
dθ
ω
(t+dt) r P’.
.P(t)
ω ω

x
质元与转轴 的垂直距离
dt
dt
与线量关系： v
= rω , at = rβ , an = rω
2
5
§5.1 刚体及其定轴转动描述
刚体绕定轴
匀速转动
质点沿直线
匀速运动
匀变速转动
ω = ω0 + β t
1 2 θ = θ 0 + ω0t + β t 2 ω2 =ω 0 2 +2 β (θ − θ 0 )
惯量是不同的。
17
§5.2 转动定律
例5.3：求质量为m，半径为R，密度均匀的圆盘，对过圆心且与
盘垂直的转轴的转动惯量。
解：如图建立坐标系，并把
圆盘分成许多宽度很小的圆环 作为质量元。 面密度 质量元 转动惯量
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§5.2 转动定律
平行轴定理：
J = J c + md 2
A O
JC为通过质心的转动惯量
匀变速运动
6
§5.1 刚体及其定轴转动描述
例5.1：一汽车发动机的转速在5s内由200r（转）/min均匀地增加 到3000r（转）/min。（1）求在这段时间内的初角速度、末角速 度和角加速度；（2）求这段时间内转过的角度；（3）发动机轴 上装有一半径为R=0.15m的飞轮，求轮边缘上一点在这第5s末的 切向加速度、法向加速度和总加速度。
dm = σds = σ 2πrdr
面元所受摩檫力矩
dM = µ ( dm ) gr
摩擦力矩 角动量定理:
2 µmg M = ∫ dM = R2
2 ∫0 r dr = 3 µmgR 3 Rω 0 − Mt = 0 − Jω 0 → t = 4 µg
R 2
41
（2）由转动的动能定理
1 1 2 2 2 A = 0 − Jω 0 = − mR ω 0 2 4
2
2
总加速度与切向的夹角：
8
§5.2 转动定律
对固定转轴的力矩：
外力在平面内 外力不在平面内
定义：力的大小F与O点到F作
用线间垂直距离d（力臂）的乘 积。
定义：力在垂直于转轴的平面内
的大小F⊥与O点到 F⊥作用线间 垂直距离d（力臂）的乘积。
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§5.2 转动定律
力矩的方向 右手螺旋法则 合力矩等于各分力矩的矢 量和
∑m r
i
i i
M
质心运动定律：
∑ F = Ma
i i
C
注意：1. 质心不一定在刚体上； 2. 质量均匀分布的刚体质心在几何中心处； 3.质心和重心是两个不同的概念；
§5.3 刚体转动的功和能
刚体的重力势能
C
∆m i
hc hi
刚体的平动动能
刚体的转动动能
C
vr ri ∆m i
各质元平动 速度相同
时，
刚体定轴转动的 角动量守恒定律
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§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
例5.6：如图，质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴
转动，阻力忽略不计，质量为m的人站在台的边缘，人和台原来都 静止，如果人沿转台的边缘绕行了一周，问相对地面转台转过了多 少角度？
解：把人和转台看做一个系统
系统的角动量守恒 规定：逆时针转动为正方向，以 地面为参考系。 设人的角速度为ω，转台的角速度为Ω。
FT 2 R − FT 1 R = Jβ
β=
FT 1 =
a = Rβ
FT 2 =
思考题：如果不考虑定滑轮质量，以上结果又将如何？
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小结
• 主要内容： 一个定律：转动定律 三个概念：刚体 转动惯量
M = Jβ
力矩
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§5.3 刚体转动的功和能
• 主要内容： 二个定理：动能定理和角动量定理 二个定律：角动量守恒和机械能守恒定律 四个概念：力矩的功、动能和势能、角动量
M
F
θ *
P
z
O
M = M1 + M 2 + M 3 +
d
r
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§5.2 转动定律
质点的力矩
2 a = rβet + rω en
力矩大小
M
O
z
r
Ft
m
→ F (a)
θ
Fn
M = mr β
2
方向满足右手螺旋法则
11
§5.2 转动定律
回顾: 刚体→质点系
A’
d
O’
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§5.2 转动定律
例5.4：如图是阿特武德机的示意图。一轻绳跨过一定滑轮，绳
两端分别悬挂质量为m1和m2的两个物体（m1<m2），滑轮可看作 密度均匀的圆盘，半径为R，质量为m，转轴对滑轮的摩擦可忽略， 绳子不可伸长，绳子与滑轮间无相对滑动，求物体m1和m2的加速 度、滑轮的角加速度和绳中的张力。
外力
内力
合外力的 力矩
内力的 合力矩
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§5.2 转动定律
M ij
O 内力的合力矩 为零
rj
M ji
d
F ri ij
j F i ji
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§5.2 转动定律
刚体力矩的大小：
2 M = ∑ ∆m j rj × a j = ∑ ∆m j rj a jt = ∑ ∆m j rj β
vt
各质元转动 角速度相同
ω
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§5.3 刚体转动的功和能
质点系功能原理对刚体仍成立：
A外 + A内非 = E 2 − E1
系统机械能包括刚体重力势能、刚体 平动动能及刚体定轴转动动能 当
A外 + A内非 = 0 时，系统机械能守恒
E 2 − E1 = 0，即E 2 = E1
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§5.3 刚体转动的功和能
例5.5：如图，一根长为l，质量为m的均匀细杆OA，可绕通过
其端点且与杆垂直的水平轴在竖直平面内转动，杆与轴之间的摩 擦可忽略。若杆从水平位置开始自由下滑，求杆摆到竖直位置时 端点A的速度。
解：
选取系统：地球和杆 受力分析：只受重力 系统机械能守恒
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选取零势能：以杆所在的水平位置 初始的机械能: 杆竖直时的机械能:
解：
（1）初角速度： 末角速度： 角加速度：
β= ω - ω0
t 314 − 20.9 = rad / s 2 = 58.6rad / s 2 5
（2）转过的角度：
1 2 θ = ω0t + βt = 8.37 ×10 2 rad 2
7
（3）边缘上一点的切向加速度： 法向加速度： 总加速度：
at = βR = 58.6 × 0.15m / s = 8.79m / s
M + 2m M + 2m ω人台dt = ∫ − Ωdt = − Ωdt ∫ ∫ 2m 2m 0 0 0
t t t
=2Π
转台相对 地面转过 的角度?
4πm ϕ = ∫ Ωdt = − M + 2m 0
t
38
例5.7：如图，质量为M，长为l的均匀细杆，可绕过O端的水
平轴在竖直平面内自由转动，在杆自由下垂时，质量为m的小 球在离杆下端距离为a处垂直打击细杆，设小球在碰撞后速度为 零，因而自由下落，细杆被碰撞后最大偏转角为θ，求小球击 中细杆前的速度。
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初始角动量：0 末态角动量：人的角动量+转台角动量
1 mR ω + MR 2 Ω 2
2
角动量守恒
1 mR ω + MR 2 Ω = 0 2 2m ω Ω=− M
2
根据相对运动
ω人台 + ω台地 = ω人地 ⇒ ω人台 = ω人地 - ω台地
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ω人台 = ω人地 - ω台地
=ω −Ω M + 2m =− Ω 2m
根据机械能守恒: 得
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§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
M = Jβ
dω β= dt
dω d ( Jω ) = M = Jβ = J dt dt
动量
回忆：质点的动量定义
角动量定义
注：角动量的方向与 角速度的方向相同
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§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
刚体定轴转动 的角动量定理 （动量矩定理）
刚体各部分角加速度相等
M = (∑ ∆m j rj ) β
2
定义：转动惯量
M = Jβ
刚体绕定轴转 动的转动定律
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§5.2 转动定律
理解： 1、 转动惯量是描述刚体转动惯性大小的量度； 2、rj为质元j到转轴的垂直距离； 3、转动惯量的大小不仅与刚体的质量有关， 而且和质量相对于轴的分布有关。
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