系统频率响应分析

实频特性
d
一个系统
dt
可以用微分
方程或传递
函数来描述，s
也可以用频 传递函数
率特性来描
述。
s
虚频特性
d
微分方程
dt
系统
j
频率特性
j
第五章 系统频率响应分析
5.1.2 频率特性的特点和作用 1. 频率特性可通过频率响应试验求取
根据频率特性的定义，首先改变输入正弦信
号 Xie jt 的频率 并测出相应的输出幅值 Xo ( ) 与
输入信号为 Xi t Xi sint
稳态输出是一 个与输入同频 率的正弦信号
2. 频率特性 线性系统在正弦输入作用下，
其稳态输出幅值和相位随频率
的变化而变化，这恰好反映
了系统本身特性，将反映该特
性的表达式 Xo ()和 arctanT
称为系统的频X率i 特性，记为
A() Xo ()
Xi
幅频特性
2j
B*
s j G( j)
Xi 2j
G( j)
e jG( j)
Xi 2j
则系统的稳态响应为
xo(t)
|
G( j)
|
Xi
e j[tG( j )]
e j[tG( j )] 2j
| G( j) | Xisin[t G( j)]
第五章 系统频率响应分析
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特 性和相频特性分别为
bmsm ansn
bm1sm-1 b1s bo
a
s n1
n1
a1s
a
o
当输入信号为正弦信号，即 xi (t) Xisint
Laplace变换为
Xi (s)
Xi s2 2
第五章 系统频率响应分析
Xo(s)
G(s)Xi(s)
bmsm ansn
bm1sm-1 b1s bo an1sn1 a1s ao
的衰减快。所以 tkesjt 的各项随着t→∞也都趋
于零。因此，对于稳定的系统不管系统是否有 重极点，其稳态响应都如上式所示。
第五章 系统频率响应分析
待定系数 B和B*
B
G(s)
(s
Xi j)(s
j)
(s
j)
s j
G(s) Xi s j
s j
G(
j)
Xi 2j
G( j) e jG( j) Xi
() arctanT
相频特性
第五章 系统频率响应分析
3. 频率特性与传递函数的关系
设描述系统的微分方程为
a
n
x
(n) o
(t)
a
x (n-1)
n1 o
(t)
a1x
o
(t)
a
o
x
o
(t)
b
m
x
(m) i
(t)
b x (m1) m1 i
b1x i (t)
boxi (t)
传递函数为
G(s)
Xo (s) Xi (s)
Xi s2 2
若系统无重极点，则Xo (s)
n i1
Ai s si
( B
s j
B* )
s j
其中，si 为系统特征方程的根；Ai、B、B*(B*为B
的共轭负数)为待定系数。对上式进行Laplace
逆变换可得系统的输出为
n
xo(t)
A
esi
i
t
(Be
jt
B*e jt )
i1
对稳定系统而言，系统的特征根 si 均具有负实部,
当t→∞时，将衰减为零。
第五章 系统频率响应分析
则上式只剩下其稳态分量，故系统的稳态 响应为
xo (t) Be jt B*e jt
若系统含有k 个重极点，则xo (t)将含有t k esjt
(k=1，2，…，k-1)这样一系列项。对于稳定的
系统，由于 si 的实部为负，t k 的增长没有 esjt
xo
0
t
()
输出信号也图是5.2一系个统正及稳弦态信的输号入，输出其波形频率与输入信 号相同，但幅值和相位发生了变化，如图所示。
第五章 系统频率响应分析
证明：设系统的传递函数为 G(s) K
Ts 1
输入信号为 Xi t Xi sint
Laplace变换为
Xi
(s)
Xi s2 2
La1p/输lTac为出e变G的换(s)为的极X点o (或s) 系 G统(s微)X分i (s方) 程T的sK特1 征s2根Xi， 2
相移 ()。然后作出幅值比 Xo() / Xi 对频率 的
函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相移 ( ) 对
频率 的函数曲线，此即相频特性曲线。
2. 频率特性是单位脉冲响应函数的频谱
设某系统的输出为 Xo (s) G(s)Xi (s)
频率特性与传 递函数的关系
Xo ( j) G( j)Xi ( j)
线性定常系统对正弦输入的稳态响应称为频率 响应。
假 设
线性定 常系统
X i (t)
G(s)
X i (t)
系 统
若输入为
图5X.1i t线 性X定i s常in系统t
稳 定
则稳态输 出信号为
Xo t Xo sin t
第五章 系统频率响应分析
xi (t) Xi sin t
xi
xo (t) X o sin[t (t)]
第五章 系统频率响应分析
第五章 系统频率响应分析
本章主要内容： 5.1 频率特性概述 5.2 频率特性的极坐标图（Nyquist图） 5.3 频率特性的对数坐标图（Bode图） 5.4 闭环频率特性 5.5 最小相位系统与非最小相位系统
第五章 系统频率响应分析
5.1 频率特性概述
5.1.1 频率特性的概念 1. 频率响应
第五章 系统频率响应分析
当 xi (t) (t)时，Xi ( j) F[ (t)] 1 故 Xo ( j) G( j) 或 F[Xo (t)] G( j) 这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函 数的Fourier变换或其频谱，所以对频率特性的 分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
3. 在研究系统结构及参数的变化对系统性能的 影响时，许多情况下(例如对于单输入、单输出 系统)，在频域中分析比在时域中分析要容易。
因推移si 为，负即值t→，∞取所时L以，a系瞬pla统态ce是分逆稳量变定迅换的速得，衰随减着至时零间。的
xo (t)
Xi KT 1 T 2 2
e tT
Xi K sin(t arctanT) 1 T 2 2
瞬态分量
稳态分量
第五章 系统频率响应分析
此时系统只剩下稳态输出
Xo t
X iK sin(t arctanT) 1 T 22
A()
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Xo ()
Xi
|
G( j)
|
() G( j)
故G( j) G( j) ejG( j) 就是系统的频率特性，
它是将 G(s)中的s用j 取代后的结果，是 的复
变函数。
第五章 系统频率响应分析
由于 G( j ) 是一个复变函数，故可写成实部和虚部
之和，即 G( j) ReG( j) ImG( j) u() jv()