高中数学说题稿(黄燕云)
越说越精彩——高中数学课堂“说题”的应用
这 时 候教
实数
一
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则有
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师便 要旁 敲 侧击 地提 示 讲 课 的 学 生
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让 学 生 自主 总结 当 节 课 的 主 要 内容
三 主人
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一 节 课 下 来得分 最 高 的 小 组可 以获 并 且 可 以保持学 生整
数学课程难 度 明 显加 大
”
这样就 能 够 让所 有学 生 的 大脑 动 起来
。
为 了 教师 更 好地 了 解学 生对 数学 知 识 的 理 解 庸况
“
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锻炼学 生 的数 学语
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堂 课都 注意 力 集中
、
说题
让 学 生讲 题 的 过 程 中 要 提醒 学 生大 声 地说 出来 之 所 以 要求 用 说
题
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的 方法代替传 统 的 只 写 不 说
,
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就 是为 了 让 学 生把 解决 问题 的 思考
。
师
生
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哪位 同 学可 以 说说 对 这 道 题 的 理 解
1:
。
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过 程 用 有 声 的 外部语 言表 达 出来 实 际上是对 学 生能 力 的 进一 步考验
高中数学说题示例_说课稿
高中数学说题示例_说课稿
说题题目：已知函数
若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______.
(1)本题是一个分段函数填空题，分段函数一般都有较真实的生活背景，是新课程加强数学应用的重要体现，是高中数学中的重要函数模型，也是高考中的常考题型之一，应该要求学生具备熟练解决分段函数类的多数问题。
(2)求f(x)=k有两个不同实根时k的范围，看似研究方程，实则是考查学生对函数方法的掌握程度，即通过对f(x)的图像分布和值域的探究为载体，考查学生对反比例函数、三次函数等基本函数的图像及其平移变换以及分类思想的把握，最终采用以形助数的方法得到k的范围。
(3)教学中引导学生画出f(x)的图像时，应指出作反比例函数图像要利用好渐近线，作三次型函数图像时要利用y=x3的图像作为基本模型，然后利用平移实现快速准确作出y=(x-1)3的图像，最后是要注意分段函数的分界点的利用。
根据图像看出答案时，要看学生对端点和边界把握情况，必要时作出强调。
板演：教师在黑板上画出函数f(x)图像并写出准确答案即k的取值范围是(0，1)。
(4)如果学生直接利用方程来解本题，我们不能简单否定。
可以从命题者的立意上引导学生主要从数形结合角度去寻找解题思路，同时，也可以给出从解方程的角度的完整解法如下：。
20说题稿(高考数学说替比赛)
2017【15】说题稿 各位评委，老师们，下午好！ 我说的题目是2017年全国Ⅰ卷理科数学第（15）题，我将从以下六个方面进行今天的说题： 1.命题立意；2.解题思路；3.解题过程；4.方法规律5.变式与拓展；6.题目价值。
1 原题呈现2017年全国Ⅰ卷理科第（15）题15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ， 圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。
若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为___。
2 命题立意从学科知识层面看，本题的考点覆盖了直线与圆，双曲线图像、标准方程、渐近线、离心率等核心知识；从思想方法层面看，本题考查了数形结合、转化与化归的思想；从核心素养层面看，需要学生具备较高的直观想象能力和推理能力。
3 解题思路看到题目后的主导思想是：既然是小题，就不可小题大做。
本题目的是双曲线的离心率，通过条件分析，要求离心率c e a= ，我首先想到的是方程思想，通过方程将已知和未知量之间建立等量关系，从而使问题得到解决，这就产生了第一种思路:方程的思想；其次双曲线的渐近线是其独有的，所以抓住这一重点，产生了第二种解法思路:数形结合。
下面我说一下具体解法：4 解题过程解法一：方程思想如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则,M N 为双曲线的渐近线b y x a=上的点，且(,0)A a ，AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=︒，在32Rt PAN PA b =中，， 又点(,0)A a 到直线b y x a =的距离22d a b =+32b =22a b + 所以.23c e a == 数形结合结合思想解法二：渐近线和圆交点构造三角形得解法（一）：2.1作AP MN ⊥，MAN 在等边中， 32AP b = t R AOP 在中，OA a =,2234OP a b ∴=- 由渐近线的斜率：2232tan 34b AP b MOA a OP a b ∠===- ， 得223a b = ，所以.233c e a == 2.2由渐近线的几何意义得解法（二） ：圆心(a,0)A ，渐近线b y x a=必过点(a,b) ， 所以AOM 为直角三角形，知60MAN ∠=︒， 30AOM ∴∠=︒ ，OA a =，OM b =故3tan 30b a =︒= ，得223a b = ， 所以.233c e a ==由题知OA a =，AM b =,点(a,b)在渐近线方程b y x a=上 ， 圆心为 (a,0)，所以AOM 为直角三角形，又60MAN ∠=︒，则OM c =且30AOM ∴∠=︒得1cos ,a a AOM c c e∠=︒==即cos30 所以123cos303e ==︒ 5 变式与拓展从最后一种解法，我们可以清楚的看清题目的本质，因此可以作出以下变式： 变式训练： 将“若60MAN ∠=︒，”改为 （1）“若90MAN ∠=︒，30MAN ∠=︒”，等求C 的离心率?（2）“若MAN θ∠=” 则C 的离心率?对于第一种变式，其方法与原题相同.而作为第二种变式，则完全将这道题目转化为一般的题目，从而得到解决这一类问题的通性通。
高中数学人教版(A版)选择性必修-第一册(2019)-命题说题比赛-公开课
此时 a 的取值范围为 ,8 4,
12
01
题目呈现/ Teacher says lesson
已知函数 f x 2x2 ax b , x 1, 2其中 a,b R 且满足
C
b R,x1, 2 使得 f x 1恒成立，则 a 的取值范围为4,
作出函数 f x 2x2 ax, x 1, 2图像，通过对 a 的范围进行分类讨论，
y 6x 9 ；此时则 M 的最小值为 1
2
4
10
01
题目呈现/ Teacher says lesson
已知函数 f x 2x2 ax b , x 1, 2，其中 a,b R 且 f x M ，
B
则 M 的最小值为 1 4
做出 y 2x2 6x , x 1, 2 图像，
知当 a 6,b 17 时， M 取到最小值 4
将整个函数图像包含住即可，此处选取 x 2 y 9 7 22
此时 M 取到最小值为 7 . 2
14
命题效果
学生反馈
课后提升
03
PART THREE
03
命题效果/ Teacher says lesson
1
4
学生
2
反馈
5
3
6
16
用后反思
教学反思
教学改进
04PART FOUR04用后反思T/eacher says lesson
令 2 b 8 b ，解得： b 5 此时 M 取到最小值为 3.
8
01
题目呈现/ Teacher says lesson
A
已知函数 f x 2x2 b ，x 1, 2 其中 b R 且 f x M ,则 M 的最小值为 3
说题:多维视角下解析一道高考试题
说题：多维视角下解析一道高考试题傅婷【期刊名称】《中学数学教学》【年(卷),期】2018(000)003【总页数】4页(P37-40)【作者】傅婷【作者单位】浙江省宁波中学 638400【正文语种】中文笔者有幸参加宁波教研室组织的高中数学说题比赛.在参加比赛之前，笔者的学生问了这样一个问题：已知一个抛物线型的酒杯，杯口宽4cm,杯深4cm,若将一个玻璃球放进酒杯中，当玻璃球的半径在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？笔者在给学生解答的过程中，发现这个酒杯中的数学与2016年浙江高考理科数学试卷第19题其实是同一类型的问题.遂选择了这个题目进行说题，题目如下：如图，设椭圆(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.1 解法分析考点弦长公式;圆与椭圆的位置关系;椭圆的离心率几何条件含参圆与椭圆至多有三个交点;离心率范围目标动态圆锥曲线交点问题的转化第(I)题：考查直线与椭圆相交的位置关系，涉及到线段长，可以考虑用弦长公式，解法如下：由题意可得：解得：x1=0,.直线y=kx+b被椭圆截得的线段长为：·第(II)题：考查的是双二次曲线的交点问题，本题中有动态和恒成立两个难点，故问题的解决关键在于交点问题的转化.视角一代数视角由于圆锥曲线的交点个数可以转化为方程有解问题，便有解法1.解法1 方程在区间上根的分布问题由得(a2-1)y2+2y+r2-1-a2=0(*)先考虑有四个交点情况，则需要方程(*)在(-1,1)上有两不同根，由得当时，存在这样的r, 使得方程(*)在(-1,1)上有两解，圆与椭圆有4个交点.故圆与椭圆至多有3个公共点时，1<a≤,椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、根的分布问题策略正难则反思想方程思想方程的有解问题可以转化为函数的交点问题，故有解法2.解法2 函数在区间上的交点个数(1-a2)y2-2y+1+a2=r2.令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2(-1≤y≤1) ，得而1-a2<0，假设存在r，使函数t=f(y)与t=r2在(-1,1)上有两个不同的交点，则需求函数f(y) 在 (-1,1)不是单调函数，只需,即a2>2.当a2>2时，圆与椭圆有4个不同的公共点.所以当1<a≤时符合题意,椭圆的离心率范围是0<e≤.思想函数与方程思想、数形结合思想视角二几何视角椭圆具有对称性，要保证圆与椭圆至多有3个公共点，则圆与椭圆y轴单侧不可能有2个公共点，即弦长在y轴单侧处处不相等.将两条动态曲线的交点问题转化为弦长问题,再代数解决.解法1 弦长相等(浙江省考试院提供的参考答案)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q，满足AP=AQ,记直线AP、AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0，k1≠k2．由(1)知·,·,故··，所以.由于k1,k2>0，k1≠k2，得：.①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是：1+a2(a2-2)>1,所以.因此，以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a2≤2.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、弦长公式思想函数与方程思想在解法1的基础上，若AP=AQ,则三角形APQ为等腰三角形，连接PQ，取其中点M，连接AM，如图所示，则AM垂直PQ.涉及中点、垂直的位置关系，可以考虑用点差法，将弦长相等的数量关系转化为几何的位置关系.解法2 点差法假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q，满足AP=AQ.设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为M(x0,y0).则两式相减得：. 即(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，得x0+a2y0·.②由AP=AQ，得AM⊥PQ,即kAM··.所以,代入②式得：x0+a2y0·,由得：a2>2.因此，以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、点差法思想设而不求思想、函数思想视角三函数视角圆与椭圆至多有3个公共点，即当点P从上定点逆时针旋转到下定点时,PA处处不相等，即弦长在y轴左侧单调.可以考虑构造函数，将交点问题转化为函数的单调性.解法1 弦长在y轴单侧单调递增由(1)知，设k2=t,则在区间(0,+∞)内单调递增.只需t2+t≤,即t≤恒成立，得≥1,即a2≤2.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识弦长公式、单调性思想函数思想在解法1的基础上，弦长单调递增，即意味着弦长是具有最大值的.反思解法1，利用弦长公式构造出的函数，较为复杂，不便于研究.点P为椭圆上的任意动点，可以利用椭圆的方程进行三角换元来设点P的坐标，则PA为P、A两点间的距离公式.解法2 弦长的最大值圆与椭圆至多有3个公共点，即当点P从上顶点逆时针旋转半圈到下顶点时,PA 单调递增，即当且仅当点P(acosθ,sinθ)为下顶点B(0,-1)时，PAmax=2.PA2=a2cos2θ+(sinθ-1)2=(1-a2)sin2θ-2sinθ+1+a2,(-1≤sinθ≤1)因为PA的最大值当且仅当sinθ=-1时取到，且1-a2<0,所以对称轴≤-1,又a>1,得1<a≤.离心率,因此椭圆离心率的取值范围为知识距离公式、二次函数最值思想函数思想、数形结合思想对于一个复杂的动态圆锥曲线的交点问题，若直接处理起来比较困难，有时候可以考虑特殊位置.视角四特殊视角若需满足题目条件，只需当临界情况，即半径r=2时，椭圆完整在圆内，否则只需半径再大一点就会有4个交点.取相同y时，,即(1-y2)a2<4-(y-1)2,所以，当-1<y<1时，a2≤2.离心率∈(0,.策略考虑临界位置思想函数思想、数形结合思想解法小结对于本题，解法众多，但笔者认为最理想的解法是转化为距离(弦长)的最值.2 背景分析2.1 本质研究本题所涉及的动态圆与椭圆的交点问题，其本质是y轴上的定点A到圆锥曲线椭圆上动点P的距离PA的最值问题.解决步骤如下：(1)两点坐标；(2)距离公式;(3)构造函数；(4)函数最值.深入研究本问题，还是得到一些其他的结论：在y轴单侧，PA单调递增时，圆与椭圆的交点个数为2或1或0个；在y轴单侧，PA不单调时，圆与椭圆的交点个数为4或3个.2.2 问题链接以下两个问题也是定点到圆锥曲线(椭圆、抛物线)上动点的距离的最值问题. (1990年全国卷)已知椭圆的中心为坐标原点，长轴在x轴上，已知点P(0,到椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.有一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4米，深8米，称之为抛物线酒杯，当玻璃球的半径为多大时，玻璃球一定会触及到酒杯底部.3 拓展变式对于2016年浙江高考理科数学试卷第19题，定点A在y轴上的位置比较特殊，恰为椭圆的上顶点，故对这个问题还可以进行拓展.变式1 点A在y轴上，椭圆外设椭圆,若任意以点A(0，tb)(t>1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点，求离心率e的取值范围.变式2 点A在在y轴上，椭圆内设椭圆,若任意以点A(0，tb)(0<t<1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求离心率e的取值范围.变式3 点A在y轴正方向上运动设椭圆,若任意以点A(0,tb)(t>0)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求e,t满足的条件.解设椭圆上动点为P(acosθ,bsinθ),则PA2=a2cos2θ+(bsinθ-tb)2=(b2-a2)sin2θ-2b2tsinθ+t2b2+a2,(-1≤sinθ≤1),由≤-1得0<e≤.一般结论点A在y轴上时，当0<e≤(t≠0)时，至多有3个交点；点A在y轴上时，当(t≠0)时，有4个交点；变式5 点A在x轴正方向上运动设椭圆,若任意以点A(ta,0)(t>0)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求e、t所满足的条件.解设椭圆上动点为P(acosθ,bsinθ),则PA2=(acosθ-t)2+b2sin2θ=(a2-b2)·cos2θ-2atcosθ+t2+b2(-1≤cosθ≤1),由≥1得0<e≤.一般结论：点A在x轴,当0<e≤(t≠0),至多有3个交点；点A在x轴,当(t≠0),有4个交点；变式6 圆与抛物线的交点问题设抛物线方程为x2=2py(p>0),若任意以点A(0,t)(t>0)为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，求t、p需满足的条件.解设抛物线上点为p(x0,y0),则，当≤0时,t≤p.变式7 点A为平面上任意一点设椭圆,若任意以点A(m,n)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求离心率e的取值范围.4 教学启示通过对这道高考试题的研究，笔者得到了一些启发.任何一个复杂解析几何问题的解决，都需要用到基本知识，因此在教学的过程中应该注重学生基础知识、基本技能的夯实；引导学生从不同视角下进行研究，挖掘问题的本质；关注解析几何问题(比如交点问题)转化中的通性通法，方程与函数、数形结合等思想的应用.通过对问题的变换、推广和转化，可以有效培养学生思维的广阔性.。
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会做得全分——“讲好，练好，考好”基础考点考题佛冈一中数学科组各位评委，各位老师，大家好。
我是8号邓顺平。
基于三角函数在高考中主要以简单、基础题出现，我的说题标题是《会做得全分——“讲好，练好，考好”基础考点考题》，我将从以下六方面展开： 一、原题背景：17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．这是一道07年天津理科高考试卷第17题，也是第一道大题。
主要考查的是高中数学人教版必修4的三角函数。
条件是有关三角函数的解析式，问题是求相关性质：周期，给定定义域范围内最值。
虽然这是一道老题，但这恰恰体现了他的经典。
这一章节知识内容也是我们广东历年高考的必考内容，因为他能够涉及较多高中数学学习的基础内容，思想方法，逻辑思维等。
他的题型设置主要是一道选择题加一道解答题，分值一般17分，考查内容与解三角形、向量结合的较多。
考查难度以简单基础为主。
因此对于数学学的比较薄弱的学生是一个必须拿下的阵地，也是学生学习、考试由浅入深的关口。
该题通过考查三角函数中特殊角三角函数值、倍角公式、化一公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图像性质等基础知识，考查基本运算能力．实现高考考试大纲要求。
（考纲）2．三角函数( 1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin()y A x ωϕ=+ 的图像，了解三角sin()y A x ωϕ=+ 函数的周期性。
(3)理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在定义域内的单调性。
(4)理解同角三角函数的基本关系式： (5)了解三角函数 的物理意义；能画出三角函数的图像。
一题一世界——一次说题的实践和思考
而 (a -#).(b -2#)=(a -#). (-^b -#)
$0,可 知 （a -# ) 丄 ! b -# j ，这样 问题就围绕向量a ，b ，#建构图形解决.如图2 ，设（?$a ，（* $b ，（+ $ # ，. 为线段0 * 中点，则 前 =丄 b ，+ 5 # 丄 b -#，+ ) #
22 a -#.由题意可知，（a -#)丄|~2 b-# j ,即 1 ) + . # 9 0 " ，则点 C 的轨迹是以/为圆心，以 为 直 径 的 圆 上 的 点 .又 I"-#"# 丨+*丨，问题转化为定点* 与圆上动点C 的最值.至此，问题
7 6 十 •？•!{：，■?高中
2018年 7 月
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2
2
这 是 自 由 向 量 的 构 造 ，前 提 是 整 体 性 思 想 较 为 突 出，并且对自由向量数量积运算有/ 定的要求.
解法2 :不难发现，本题给出的两个向量满足夹角是
问题:非零向量！，"满足丨!|#丨"1=!，" = 2 ，且(！-#)，("2# )$0，求丨"-#1最小值.
一 、说解法
本 题 是 向 量 综 合 性 问 题 ，需要从综合性角度思考. 试 想 ，向量问题的主要人手方向是什么？根据向量的两 要素一 长 度和方向，其人手方向自然是代数和几何. 因此可以从不同的角度去探索基本解法.
高一数学说题实录优秀范文
高一数学教研—说题尊敬的各位领导，各位老师，大家好！非常感谢葫芦岛市教研中心，给我们提供这个平台，和大家交流。
今天我们把高一数学组的教研过程展示给大家，希望各位同仁能够参与进来，留下宝贵的意见。
必修1教材内容我们已经学习完了，必修2立体几何第一节的教学本周也已经完成了，下面我们即将出一套周测卷。
海盼盼老师已经把我们各个小组的题目进行整合并下发给各位老师。
今天我们对各组所选题目进行说题，大家共同探讨题目的取舍和题目讲解过程中需要注意的问题。
下面我们从试题的来源，课标对知识点的要求，考察的目的，试题的解题思路，涉及到的思想方法，试题的拓展延伸，学情等方面进行说题。
现在由第一小组开始进行说题：第一小组：主发言人（王颖楠老师）：我们小组所选题目主要围绕“集合与函数定义域、值域及表示方法”。
课标中对本部分的要求是理解集合的概念，掌握集合之间的关系与基本运算。
集合作为一种数学语言，在高考中载体比较丰富。
主要与不等式，函数的定义域、值域结合。
单独的集合知识并不难。
针对集合部分的特点，我们组选择了（1）、（2）两个小题。
（1）题主要结合必修1中指对函数内容，主要考察简单指对不等式解法,及集合的基本运算。
第(2)小题要求学生能够由并集运算的出集合间的包含关系，并依据该关系对含参不等式的两端取值进行讨论。
教授过程中提醒学生注意，集合B可能为空集。
当集合B非空时，想使含参不等式成立，不等式两端取值应满足相应条件。
针对定义域值域表示方法，课标中要求会求简单函数的定义域、值域，会根据不同的需要选择恰当的函数表示方法。
（3）、（4）题把二次函数，对数函数与二次根式结合，分别考察了二次函数与具体函数和抽象函数的定义域求法。
（5）、（6）、（7）题主要考察函数的最值与恒成立问题，（5）题可以由a值大小讨论单调性，从而分别得出最值，也可以直接分析函数解析式，发现无论a取何值函数必单调，所以最值必在区间两端点取得。
所以直接加和即可。
说题稿
说题稿设点A 、B 的坐标分别为(50)-，，(50)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4-9，求点M 的轨迹方程．【提示】这个问题的变式、推广、结论的一般化、教学指导．一、来源背景题目来源于高中人教版教材选修2-1第41页例题，选择此题为例的原因是此题题目容易解答，是一道经典的例题，解法经典、实用，由移动点得出的轨迹，一般设此点为（x,y ），再由条件联立方程得到轨迹方程。
此题涵盖斜率、椭圆方程、定义域等几个常用的基础知识点. 题目的背景:此题涉及的知识点有顶点A,B 、直线斜率、椭圆方程公式12222=+by a x 、定义域等.此题所蕴含的思想方法为函数与方程思想方法、数形结合思想方法.体现在解题过程中使用方程及其运算，做出坐标图及图形，在解题过程中更方便.在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系.数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化.教材的地位和作用，椭圆是常见的圆锥曲线之一，在生活和科学技术中的应用十分广泛，椭圆是高中数学的主干内容，是高中数学的核心概念.也是高考的热点内容，是每年高考的必考内容之一，因此，也是学生学习的重点.本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的范例. 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用.课程标准中要求了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质；能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.曲线与方程， 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.考试要求，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质，了解椭圆的参数方程；掌握双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单性质；掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质；了解圆锥曲线的初步应用.考试大纲，椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程；双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质；抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质；高等数学背景与实际生活背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的产物――解析几何，也就在这种背景下问世了．解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线．二、怎样解题审题，这是一道求椭圆轨迹方程的题目，条件有点A 、B 的坐标分别为(50)-，，(50)，，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4-9；要求的结论是点M 的轨迹方程. 椭圆标准方程的推导化简过程的运算变形较复杂，故为难点.题目中建立方程结合椭圆标准方程推导简化得)5(191002522±≠=+x y x .为了突破此难点，关键是抓"怎样建立坐标系" 使所得方程比较简单的问题思考进行突破，是抓"怎样简化方程" 使方程的形式比较简单美观的问题思考进行突破.题目隐含条件为M 点不为A ,B 点.分析，由于点A 、B 的坐标分别为(50)-，，(50)，，直线AM 、BM 相交于点M ，则可设点M 的坐标为(y x ,)，那么直线AM ，BM 的斜率就可以用含y x ,的式子表示，且点M 不为A ,B 点，即5±≠x .则直线AM ，BM 的斜率表示为)5(5);5(5≠-=-≠+=x x y k x x y k BM AM .由于直线AM ，BM 的斜率之积是94-，因此可以建立y x ,之间的关系式)5(94-5*5±≠=-+x x y x y ，整理得出点M 的轨迹方程.形成解题思路的关键点是如何利用M 点与A ,B 两点坐标的关系. 解答过程：设点M 的坐标为(y x ,)，因为点A 的坐标为(50)-，，所以直线AM 的斜率表示为 ；)5(5-≠+=x x y k AM 同理，因为点B 的坐标为(50)，，所以直线BM 的斜率表示为 ；)5(5≠-=x x y k BM 由于直线直线AM ，BM 的斜率之积是94-，则有 )5(94-5*5±≠=-+x x y x y 化简得出点M 的轨迹方程为 )5(191002522±≠=+x y x 解题方法，用的是直接法，求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换.解题步骤：建系，建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.题目中取点A 、点B 的中点为原点，AB 方向为x 轴正方向，过原点，垂直x 轴向上为y 轴正方向. 列式，；)5(5-≠+=x x y k AM ；)5(5≠-=x x y k BM 代换，)5(94-5*5±≠=-+x x y x y .化简,)5(191002522±≠=+x y x . 解题格式与表述 ，首先写设点，设点M 的坐标为(y x ,)，接着写条件，因为点A 的坐标为(50)-，，得出结论，所以直线AM 的斜率表示为 ；)5(5-≠+=x x y k AM 然后同理写条件，因为点B 的坐标为(50)，，得出结论，所以直线BM 的斜率表示为 ；)5(5≠-=x x y k BM由条件直线直线AM ，BM 的斜率之积是94-，联立得出 )5(94-5*5±≠=-+x x y x y 化简得出点M 的轨迹方程为 )5(191002522±≠=+x y x 回顾，设点A 、B 的坐标分别为）（0,a -，）（0,a ，)0(≠a ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是t -，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(y x ,)，因为点A 的坐标为）（0,a -，所以直线AM 的斜率表示为 ；)(a x ax y k AM -≠+= 同理，因为点B 的坐标为）（0,a ，所以直线BM 的斜率表示为 ；)(a x ax y k BM ≠-=由于直线直线AM ，BM 的斜率之积是t -，则有 )(-t *a x ax y a x y ±≠=-+ 化简得出点M 的轨迹方程为 )(**222a x a t y x t ±≠=+解题总结，这道改编题与原题题目类似，解题的过程，方法，步骤也类似，但是难度加深.有一定的规律，同是给出两点A 、B 的坐标及一个动点M 和两条直线AM 、BM 的斜率之积，求M 的轨迹方程．解题过程中同样是设点M 的坐标，列出两条直线的斜率，由条件两条直线AM 、BM 的斜率之积，代换出方程，化简得出轨迹方程.三、延伸拓展变式题 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．解：设点M 的坐标为（x ，y ），因为点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1） ， 则 x y k AM 1+=(x≠0)， xy k BM 1-= (x≠0)， 因为它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]，所以有 t xy x y -1*1-=+（x≠0)， 整理得出点M 的轨迹方程为 1*22=+x t y (x≠0)（1）当t ∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）．变式题的推广，已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-a ），B （0，a ），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．解：设点M 的坐标为（x ，y ），因为点A 、B 的坐标分别是A （0，-a ），B （0，a ） ， 则 x a y k AM +=(x≠0)， xa y k BM -= (x≠0)， 因为它们的斜率之积是-t ，所以有t x a y x a y -*-=+（x≠0)， 整理得出点M 的轨迹方程为222*a x t y =+(x≠0)(1) 当t ∈），（）（∞+⋃11,0时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）．（3）当t=0时，M 的轨迹为两条直线a y ±=（除去A和B 两点）．（4）当t ∈）（0,∞-时，M 的轨迹为双曲线（除去A 和B 两点）；四、教学分析学情预测：椭圆的学习，对学生而言知识基础是，前面直线方程的学习，曲线的方程与方程的曲线的关系的学习， 圆的定义及其方程的学习；思维基础是学生初步掌握了解析几何的基本思想与方法，具有一定的分析与归纳能力.但是学生对坐标法解决几何问题掌握不够深刻， 不够灵活，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.“最近发展区”就是在探究椭圆的定义时，需要在动手画椭圆的操作基础上，做观察分析。
说题稿(参赛)
第五届中小学教师素养大赛初中数学说题稿——新洲镇中心学校李家海根据课标及本次赛事规则, 结合说题过程实际, 现就参赛所分的说题题目1, 即在八下十九章《一次函数》第3课时《用待定系数法求一次函数解析式》学习基础上的综合运用题做如下说课设计:一、说题流程为更好的达到说题效果, 说题将从题目分析、解题分析、价值探讨三个大的角度, 围绕说题意、说思想、说思路、说推广、说价值五个基本维度展开论述。
二、原题呈现已知一次函数的图像过点（3, 5）与（-4, -9）, 图像与x、y轴分别交于A.B两点。
（1）求这个一次函数的解析式（2）在直线AB上是否存在一点H, 使S△AOH= S△AOB,若存在求出H的坐标；若不存在说明理由。
（3）坐标轴上是否存在一点C, 使△ABC为等腰三角形, 若存在写出C的坐标。
三、题目分析1.说题意——本题涉及知识点:本题选自人教版八下第十九章《一次函数》中19.2.2中第3课时《用待定系数法求一次函数解析式》；解决此题除了要掌握最基本的函数及其用待定系数法求一次函数的解析式相关知识外, 涉及到的知识点还有三角形的面积、解一元一次方程、平面直角坐标系、勾股定理或两点间距离公式、等腰三角形等相关数学知识点。
当然, 不同的切入点和解题方法可能会导致所选用知识点略有出入, 但万变不离其宗。
1.说题意——已知和未知关系:本题已知两个点的坐标, 且表明两坐标经过直线；需要根据一次函数相关知识求出函数解析式, 并在此基础上结合函数图像与坐标轴所围成的面积, 根据现有条件求出函数与坐标轴为所围成的面积与在满足特有条件前提下的点的坐标。
1.说题意——题目基本背景:（1）本题第1问以数学课本93页例4原题为基础背景全真出现, 再次检验学生对用待定系数法求解一次函数解析式的掌握程度；第2.3问是在此基础上结合其他所学知识的变式运用。
考量学生的知识迁移和运用能力。
（2）说思想:解答本题需要学生拥有懂得把握题目关键点, 找到已知和未知间相互联系, 及灵活运用所学知识解决问题的能力和技巧。
数学说题稿
2
1 1 lnx1–lnx2 2 lnx1–lnx2 2 x1–x2 1 x1 f ′(x0)= –2ax0–a+2= – = – = ( – ln )= x0 x0 x1–x2 x1+x2 x1–x2 x1–x2 x1+x2 2 x2
x1 1 x2 2 1 x （ ln 1 ) (0<x1<x2) x1 x 2 x1 1 2 x2 x2 x 1 1 ln x (0<x<1),单调分析,容易证明 F(x)>0,问题得证. 记函数 F(x)= x 1 2
所以 x2
（利用函数性质脱掉ຫໍສະໝຸດ 数符号）法二：解法分析:若该问没有其所在题的第 2 问的铺设,如何给出更一般的证明? 一般证明如下: 首先 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)单减,不符合 f(x)有两个零点的条件,故 a>0 设 f(x)的两个零点为 x1,x2,且 0<x1<x2,x1+x2=2x0 lnx1–ax12+(2–a)x1=0 lnx1–lnx2 lnx1–lnx2 联立 作差(两边同除以 x1–x2)a(x1+x2)+a–2= 2ax0+a–2= 2 x – x x1–x2 lnx – ax + ( 2 – a ) x =0 1 2 2 2 2
归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划 归为函数最值的划归思想。 （Ⅲ）分析：判断 f ' ( x0 ) 的正负，由（Ⅰ）中单调性，可知，即确定 判断
x1 x 2 1 与 的大小关系，又可等效成 a 2
2 2 x1 与 x2 的大小关系， 根据 （Ⅱ） 中不等式可确定 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系， 结合 （Ⅰ） 中 f ( x) a a
高中数学立体几何说题稿
高中数学立体几何说题稿(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--南海区高中数学教师说题比赛立体几何第1题说题稿南海区狮山高级中学题目：如图，在锥体P ABCD-中，ABCD是边长为1的菱形，且60∠=，DAB =PA PDPB=，E，F分别是BC，PC的中点。
2=2（1）证明：AD⊥平面DEF；（2）求二面角P AD B--的余弦值。
本题是2011年广东高考理科数学第18题，可以用传统几何方法进行推理求解，亦可以用向量坐标法进行计算。
下面从4各方面进行分析。
一、题目考查的目标与难度1、考查目标：本题涉及的数学知识甚广，包括等腰三角形、等边三角形、菱形的性质；勾股定理；余弦定理；中位线定理；三角形的中线长公式；线线平行、线线垂直；线面垂直；面面平行；二面角的概念与计算；空间直角坐标系；点与向量的坐标；向量的垂直、平行、数量积；法向量。
考查了所涉及知识点的概念理解、原理应用能力；逻辑推理能力；基本运算能力；化归的数学思想。
2、难度分析：本题对于我校理科学生来说应该算是偏难的题目。
理由是：若用几何法，在证明垂直过程前要先作若干条辅助线，学生容易混乱；用坐标法，学生难以入手，因为途中没有明显的“三条两两互相垂直的直线”二、解题分析1、题意分析：（1）ABCD是边长为1的菱形——菱形具有对角线互相垂直的性质，为能建立空间直角坐标系创造条件。
（2）︒DAB——能结合菱形的性质，得出90°角，找出“垂直关系”=∠60（3）2PA——产生等腰三角形，底边上中线与底边垂直。
==PD（4）2PB——实际上PB的长度只影响了二面角的大小，对解题思路影响=不大；若用坐标向量法，给PB长度，以便求P坐标；（5）E，F分别是BC，PC的中点——两个中点，考虑到中位线性质。
2、思路分析：（1）用传统几何法：第一问是解题的难点，第一问解决了，第二问就显得简单。
乱花渐欲迷人眼,透过现象看本质——从全国卷三道三角函数与导数综合问题谈起
乱花渐欲迷人眼,透过现象看本质——从全国卷三道三角函数
与导数综合问题谈起
蒋桃俊
【期刊名称】《中学生数理化（高二数学、高考数学）》
【年(卷),期】2024()4
【摘要】函数与导数是高中数学的核心知识,是历年高考考查力度最大的主线之一,也是数学思想方法与能力、学科核心素养的载体。
三角函数与导数的综合问题,在高考卷中往往以压轴题的形式呈现,由于此类问题立意新颖、灵活多变,创新性与综合性并存,与常规导数问题有所区别,对同学们有很大的挑战。
它体现高考的选拔功能,实现命题“能力立意”向“素养导向”转变,因此备受命题者青睐。
【总页数】4页(P34-37)
【作者】蒋桃俊
【作者单位】南京市溧水区第二高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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5.透过现象看本质不以模型固思维——一道几何中考题的思考
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高中数学说题课件
二、解题分析
1、策略分析
二、解题分析
2、解题分析及评价：第1问
解法 1：利用基本元与基本关系求解（等差数列通常转化为首项和公差来求解）——方程思想 由题知 sn sn1 (n 1)d a1 (n 1)d sn a1 2(n 1)d a1 (n 1)2 d 2 当 n 2时 an sn sn1 2d a1 3d 2 2nd 2 （﹡） 又 2a2 a1 a3 2(2d a1 d 2 ) a1 2d a1 3d 2 得 a1 d 代入（﹡）得当 n 2时 an (2n 1)d 2 又 a1 d 2 适合上式 所以 an (2n 1)d 2 (n N )
点评：从等差数列定义出发，利用等差中项的知识把问题转发为对 sn 的前 3 项研究，
最后化归为对an 的研究，体现了有一般到特殊及化归思想。
二、解题分析
2、解题分析及评价：第1问
解法 4：利用数列性质求解： sn 是公差差数列，则从第 2 项起an 是等差数列，
n 3
an an1 (sn sn1) (sn1 sn2 ) ( sn sn1 )( sn sn1 ) ( sn1 2d 2
二、解题分析
3、变式与拓展：不改变题目条件下由题目背景及推广可产生一系列变式题
第①问
变式 1：求 a1
变式 2：求证数列an 为等差数列
第②问 变式 3：设 c 为实数，对满足 m n tk （ t 为非零常数）且 m n 的任意正整数，
不等式 sm
sn
csk 都成立，求证 c
t2 2
（或求 c 的取值范围）
②《新课程标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习， 掌握数列中各量之间的基本关系，注重应用，关注学生对等差等比数学模型本质的理解，探 究并掌握它们的一些基本关系，感受这两种模型的应用，并利用它们来解决实际问题。
数学高考综合能力题选讲26南海实验学校
数学高考综合能力题选讲26建构数列模型的应用性问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．范例选讲例1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？ （Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为0a ，经过n 年后全县绿地面积占总面积的百分比为n a ，则我们所要回答的问题就是：（Ⅰ）是否存在自然数n ，使得n a >80% ？ （Ⅱ）求使得n a >60%成立的最小的自然数n .为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列{}n a 的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．由题可知：0330%10a ==，()()254541%16%411+=-+-=+n n n n a a a a 所以，当1n ≥时，254541+=-n n a a ，两式作差得： ()1154-+-=-n n n n a a a a又100004441152525510a a a a a ⎛⎫-=+-=-= ⎪⎝⎭，所以，数列{}1n n a a --是以10110a a -=为首项，以54为公比的等比数列．所以，()()()112100n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+14(1())3414105()41052515n n -=+=-⋅-由上式可知：对于任意N n ∈，均有54<n a ．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．（Ⅱ）令53>n a ，得42()55n <， 由指数函数的性质可知：()4()5n g n =随n 的增大而单调递减，因此，我们只需从0n =开始验证，直到找到第一个使得42()55n <的自然数n 即为所求．验证可知：当0,1,2,3,4n =时，均有42()55n >，而当5n =时，42()0.3276855n =<，由指数函数的单调性可知：当5n ≥时，均有42()55n <．所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%． 点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定n 的值．例2．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为()1051014%+元．设每年还款x 元．则第1次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为()914%x +； 第2次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为()814%x +； ……；第10次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为x 元．于是： 105×(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x由等比数列求和公式可得：105101.04-110 1.04=1.04-1x ⨯⋅．其中 10102341.04=(1+0.04)=1+100.04+450.04+1200.04+2100.04+ 1.4802⨯⨯⨯⨯≈所以，510 1.48020.04=123300.4802x ⨯⨯≈法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱．仍然设每年还款x 元．则第一年还款后，欠银行的余额为：()51014%x ⎡⎤+-⎣⎦元；如果设第k 年还款后，欠银行的余额为k a 元，则()114%k k a a x -=+-． 不难得出：10a ＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有100a =．由此布列方程，得到同样的结果．点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化．例3．将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？讲解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n 边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：设n 边形（各边依次为12,,,n a a a …）满足条件的涂色方法有n b 种．考虑n ＋1边形的涂法：从边1a 开始考虑，对于1a ，有3种涂法；对于边2a ，由于要不同于边1a ，故有2种涂法；……；对于n a ，有2种涂法；最后考虑边1n a +，如果不考虑这条边是否与边1a 同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为32n ⨯．上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边1n a +与边1a 的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为1n b +；第二种是边1n a +与边1a 的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边1n a +与边1a 看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n 边形的要求，故涂色方法总数应该为n b ．由此，不难得出：132n n n b b ++=⨯．所以，11132n n n b b -+--=⨯．另一方面，显然有33216b =⨯⨯=．所以，()()()212121212353321233213232323222k k k k k k k k b b b b b b b b ++-----+=-+-++-+=⨯+⨯++⨯+⨯=-222213222k k k k b b +=⨯-=+，(),2k N k ∈≥且显然，418b =．点评：本题的难点在于递推数列模型的建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n 有关．高考真题1. （1999年全国高考）右图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．度为β，若每对轧辊的减薄率（Ⅰ）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚不超过0r ．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ (一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=)（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ．若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为k L ．为了便于检修，请计算123L L L 、、并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）2. (2001年全国高考) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，估计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41．（Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n n b a ,的表达式． （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 3. （2002年全国高考）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？[答案与提示：1．（Ⅰ）至少需要安装不小于()0lg lg lg 1r βα--的整数对轧辊；（Ⅱ）1233125,2500,2000L L L ===． 2．（Ⅰ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=n n a )54(14000，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=1)45(1600n n b ；（Ⅱ）5年． 3．每年新增汽车数量不应超过3.6万辆]。
数学“说题”活动,还解题于学生——一道试题的讲评实录 陈玉凤
考试复习数学“说题”活动，还解题于学生———一道试题的讲评实录陈玉凤（江苏省常州高级中学，213003）学生“说题”是指学生运用数学语言，口述探寻数学问题解决的思维过程以及所采用的数学思想方法和解题策略．具体的讲，是让学生在课堂上“说出题目的条件、结论和涉及的知识点；说出题目的条件、结论的转化；说出与学过的哪一类问题相似；说出可能用到的数学思想方法；说出自己的想法和猜测；说出解题方法是如何想到的等等．教师则根据学生说的情况适时点拨、引导，避免学生离题太远．数学说题是“数学交流”的重要形式，是“说数学”的一个重要方面，是一种新型的教学活动．在高三试卷讲评课中采用“说题”的教学方法，有利于发掘学生的各种真实的想法，暴露思维过程中存在的问题，并且通过多种思想交锋、碰撞，激活数学思维，点燃智慧火花，提升解题能力，提高学习兴趣．本文结合一道试题的学生“说题”活动案例，谈谈如何将解题教学还给学生．【案例】若m 2x －1mx +1＜0（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是．学生1：原不等式等价于：（m 2x －1）（mx +1）＜0（m ≠0）．图1若m ＞0，则x －1m()2x +1()m ＜0，此不等式对应的二次函数y =x －1m()2x +1()m 开口向上（图1），不可能对一切x ≥4恒成立；若m ＜0，则x －1m()2x +1()m ＞0，此不等式对应的二次函数y =x －1m()2x +1()m （图2和3），由图象知要对一切x ≥4恒成立，则需1m 2＜4且－1m ＜4，解得m ＜－12．图2图3学生2：可用函数思想来解决，分子对应的函数是y 1=m 2x －1，分母对应的函数是y 2=mx +1，分别过定点（0，－1），（1，1），m 2是正数，则函数y 1=m 2x－1在Ｒ上单调递增，当m ＞0时如图4，函数是y 2=mx +1在Ｒ上单调递增，不满足题意．当m ＜0时如图5或图6知，函数是y 2=mx +1在Ｒ上单调递减，由题意则有1m2＜4且－1m ＜4，解得m ＜－12．图6师：漂亮！是不是该给点掌声？（教室里顿时发出热烈的掌声）两位同学从不同的角度给我们解决了这个问题，一个从解不等式角度思考，一个从函数与方程角度思考，殊途同归．两种方法中都用了数形结合的思想方法，许多数学问题既要借助于“形”的直观，同时又离不开“数”的分析，数形互助，在解题中运用数形结合的思想，充分体现了“数”与“形”之间相互联系，互为转化的关系．（趁着班里热烈的讨论氛围，老师接着问）还有没有其他的解法？学生3：老师，前两天我们研究了用主元思想解题，我尝试了一下，不知道对不对？师：勇于尝试，很好！那你说说看，让大家来·48·评价！学生3：原不等式等价于：（m 2x －1）（mx +1）＜0（m ≠0），将x 看成参数，m 看作变量，得（槡m x －1）（槡m x +1）（mx +1）＜0（m ≠0），零点为m =1槡x ，m =－1槡x ，m =－1x ．ȵx ≥4，ʑ－1槡x ＜－1x ＜1槡x ．由序轴标根法作图：ʑm ＜－1槡x 或－1x ＜m ＜1槡x ．当x →+ɕ，－1x 与1槡x都趋向于0，所以只需m ＜－1槡4，即m ＜－12．（学生3说完后，只有很少一部分学生理解了他的想法，大部分学生露出疑惑的眼神，原来他们对最后一步没有听明白．）师：听起来好像是有道理，但是为什么最后一步只需m ＜－1槡4呢？谁能给大家解释的更清楚一点？学生4：我认为这个方法实质就是解决不等式恒成立的基本方法“分离参数”．由m ＜－1槡x 或－1x ＜m ＜1槡x 对一切x ≥4恒成立，则m ＜－1槡()x min，或－1()xmax＜m ＜1槡()x min，即m ＜－1槡4或m =0（不合题意，舍）．下面的学生包括学生4，思路豁然开朗，都向学生3与学生4投来了佩服的目光．教室里说题的气氛更浓了！学生5：老师，解决不等式恒成立的基本方法还有“最值法”，这道题能用此法解决吗？前面的方法很好了，可我最先想到用最值法，只是…只是我无法得到正确的答案．师：“最值法”能解决这个不等式恒成立问题吗？我们大家都来试试，好吗？（当学生说题时出现困难，教师不用自己的思维替代学生思维，而是充分发展学生的思维成果，为学生提供宽松民主的说题氛围，通过展示多个学生说题的方法，让学生主动分析，比较各种方法的特点，学会从水同角度审视问题，择优采用，自觉提高自己的反思鉴赏水平．）学生开始忙碌地计算着，老师来回巡视，过了一会，有学生成功的算出来了．学生6：利用必要性解题先缩小m 的范围，将x =4代入（m 2x －1）（mx +1）＜0（m ≠0），得m ＜－12或－14＜m ＜0或0＜m ＜12．令f （x ）=（m 2x －1）（mx +1）=m 3x 2+（m 2－m ）x －1，问题转化为f （x ）=m 3x 2+（m 2－m ）x －1＜0，在对一切x ≥4恒成立，即f （x ）max ＜0．当0＜m ＜12时，f （x ）在x ∈［4，+ɕ）上无最大值，不满足题意．当m ＜－12或－14＜m ＜0时，对称轴x =1－m 2m 2=121m －()122－14．由f （x ）=（m 2x －1）（mx +1）知函数与x 轴必有两个交点，则它的对称轴必需满足小于4．当－14＜m ＜0时，1m ＜－4，此时x =1－m2m2＞1－－()142－()142=10＞4，故舍去．当m ＜－12时，－2＜1m ＜0，此时x =1－m2m 2＜1－－()122－()122=3＜4，故满足题意，所以m ＜－12．师：非常好！学生3与6，从不等式恒成立问题的基本解法，给我们展示了如何用通解通法处理问题．至此，我们已经见识了这个问题的多种解法．通过本题的评析，我们得到哪些解题体会与收获？请大家自由发言．通过生生、师生互动的基础上，得到以下的解题收获：（下转第88页）·58·A B CDEO图7AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC 槡=62，则另一直角边BC 的长为．分析：抓住特殊图形———四边形AOBC ，问题即可解决．ABPO xy 图8变式3（苏州市2010年中考卷第18题）如图8，已知A ，B 两点的坐标分别为（2槡3，0），（0，2），P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP =45ʎ，则点P 的坐标为．分析：本题从表面看没有上题中的四边形，但是细读条件，∠AOP =45ʎ，就会发现∠AOP =∠BOP ，所以弧AP =弧BP ，则弦AP =弦BP ，连结PA 、PB ，就凸显出四边形PAOB ，问题得以解决．ABCDO图94．3纵向延伸：特殊图形一般化变式4如图9，在⊙O 中，点C 是劣弧AB 上一点，弦AC =6，弦BC =8，∠ACB =120ʎ，且∠ACB 的平分线交⊙O 于点D．求CD 的长．分析：在变式3的基础上，进一步延展开来，虽然四边形ACBD 的条件弱化了，但是基于上面几题的铺垫，学生可以轻松解决此题．总之，每个问题都有其本质，如果未能发现，就会觉得难而复杂，没有思路．一旦挖掘出其图形的特征，解法就会自然生成，并且可以触类旁通，举一反三．参考文献：［1］李玉国．顺图摸“法”道法自然．中学数学教学参考：中旬，2016，（5）：41－44．［2］邓昌滨．“七性”引领微课助力高效讲评．中学数学教学参考：中旬，2016，（5）：檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸48．（上接第85页）（1）求解含参不等式恒成立问题可以从代数与几何两个角度双向思考，注重数形结合思想的应用．（2）求解含参不等式恒成立问题可能用到数形结合、分类讨论、等价转化、函数与方程、特殊与一般等数学思想方法．（3）含参不等式恒成立问题等价转化的途径有多种，但必须明确其等价的依据．几点思考：（1）数学“说题”活动渗透了《课程标准》中有关“高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”，“关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神”等新理念．（2）试卷中对于出现典型错误的题目，让学生“说错因”，师生共同寻究错误的根源，引起大家共同的警示，同时寻找避免错误的方法和措施，提高在关键步骤的自查策略．有些题目虽然答案对，但学生并不是真正会做，只是运用猜、蒙、特殊值等答题策略，这样的解题过程暗藏“危机”，让学生“说困惑”，帮助学生认清自己解题思维中的缺陷，针对自己的错误制订在平时解题时的防范措施．（3）试卷讲评课上说题不仅要说“错因”和“困惑”，还要说试题的变式延伸．说题时，老师通过合理地引导，对试卷中的典型试题进行条件结论推广，变式与引申，让学生“说变式”，说出题目的本质的异同，是提高学生分析问题、解决问题能力的好途径．对于做对但是方法不恰当的题目，让学生“说妙解”，展示与评析多种不同的解题思路，引导学生在掌握通性通法的基础上还要关注题目的特别条件，避免盲目套用，要结合具体的条件特点选择修正改造通解通法，优化解题方法．数学“说题”活动，还“解题”于学生，确保学生从试卷讲评中在知识和方法上得到巩固和强化，在分析问题和解决问题上得到提高和发展，在数学学习方法上和习惯上得到修正和改善．我们在课堂中尽可能把握探究的每一个机会，以“发展学生的思维”来开展说题活动，让说题成为解题教学的常态，这样的数学课堂必将焕发勃勃生机．参考文献：［1］殷伟康．“数学说题”教学的原则与教育功能［J ］．教育理论与实践，2011，（5）．［2］教育部．普通高中数学课程标准［M ］．北京：人民教育出版社，2007．［3］李大永，白永潇，张思明．高中数学特别教案［M ］．福州：福建教育出版社，2011．12·88·。
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《2011福州市质量检查数学试题5》说题稿
长乐二中 数学组 黄燕云
各位.老师你们好：
我今天说题的题目是《一题多解，多题归一》，我说题的内容分为以下几个方面：
一. 原题再现:
本题出自2011年福州市质量检查试卷的选择题第五题：
5．已知函数
则它的最大值为（ C
B . 2 D.
二. 能力考查：
它选自2011年福州数学质检卷，知识点涉及已知函数求最值问题，可考查学生的观察
与归纳，化归与转化，函数与方程，数与形等知识能力
三. 设计理念：
在教学中引导学生从不同角度、不同知识、不同的思想方法来思考同一个问题，能使各
个层次的学生都达到一定的效果，也能使学生从单一的思维模式中解放出来，达到以创新方式来解决问题，培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。
四. 解题指导：
（1）、数学思想：转化、数形结合的数学思想
（2）、解题方法：四种
（3）、解法如下：
解法1，函数单调性 1、求导;
2、令导数为零，求出相应方程的根;
3、求出极值，端点的函数值;
4、比较得出最值.
解法2，平方法
解法3，基本不等式 22max 13443,118y y x x y x y y ⎡⎤⎣⎦==-+++=+=+=-=-=把函数的根据二次函数的性质，显然当时的最大值为，即C ）2
222222222222224222a b ab a b a b ab a b a b a b a b +≥++≥+++++⎛⎫≥≤ ⎪⎝⎭
在基本不等式，有两边同时除以，整理得，即，
y =+3
解法4，三角代换
五．拓展变化
1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，式子结构进行变式
2、该题的变式题可以设计出如下一些：
变式1：
变式2：
变式3：
六、小结：
这道简单的模拟题我想到了四种思路解法和三个变式题，一叶而知秋，我们可想数学世
界里有多少这样的“数学美”。
所以在我们数学教学的过程中，不能盲目的追求数量不顾质量，
采用题海战术，而更应该去教会学生思考，善于思考，进行一道题目多思路解法的训练和变
式训练，更能让学生的思维迁移、发散、开拓和活跃，提高学生思维的敏捷性和灵活性，从
而提高分析与解答数学题的能力。
通过对一道题目多思路解法，多变式训练，既能促使学生
沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，从中学到了“转化策略、数形结合、函数
与方程”等基本的数学思想。
同时学生可以通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自
身的潜能，从而提高自己的解题能力，这不仅引导学生多方法，多视角思考问题和发现问题，
形成良好的思维品质，而且使自己感受到成功的喜悦和增强自信心，也极大地激发学生学习
数学的积极性和浓厚的兴趣，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。
22max 42cos 2sin 0,22cos 2sin 4C 4y πθθθπθθθπθ+=⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭==注意到容易想到其中,当时，有
）
y =求函数
.
y =已知函数
则它的最小值为,1,2
a b a b +=+≤已知为正实数，且
()()(
)(
)
2
2222222221,1,(1113)118C ac bd a b c d a b c d x x +≤++====⎡⎤-++≤++=⎢⎥⎣⎦+≤我们大家都知道著名的柯西不等式对于本题来讲，我们令则有）。