第5章a-应力莫尔圆()..讲课稿

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材料力学应力圆法课件

o
（1）主应力数值
B1 B
A1 和 B1 两点为与主平面
y
D′
E D
2 20
C F A A1
对应的点,其横坐标为主应力
1,2
x 1
OA1

OC

CA1

x

2
y

(
x

2
y )2

2 xy

max
1
OB1

OC

CB1

x

2
y

(
x

2
y )2

2 xy
角坐标系内的轨迹是一个圆.
1.圆心的坐标

C(
x

y
,0)
（Coordinate of circle center）
2
2.圆的半径（Radius of circle）
R

(
x
2

y
)2

2 xy
此圆习惯上称为应力圆（ plane stress circle）,或称为莫尔圆（Mohr’s circle）
y
20

tan1( 2 xy x y
)
0 确定后,1 对应的主平面方位即确定
3.求最大切应力（Determine

maximum shearing stress by
2
using stress circle）
G1和G两点的纵坐标分别代 o B1
表最大和最小切应力
CG1
2

应力莫尔圆(课堂PPT)

下面寻求：由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2a 2a0 )] R sin( 2a 2a0 )
( R cos 2a0 ) sin 2a ( R cos 2a0 )cos 2a
解： (1)主应力坐标系如图 (2)在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 95
150° 25 3
a0
B(45,25 3)
(3)AB的垂直平分线与sa
轴的交点 C 即是圆心，
a (MPa)
B
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
s3
O
s2
应力圆
A
2a 0
C
s1
20MPa
s1
sa
(MPa)
§9.3 应力圆（ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
《来由》一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
或者说，
把a看成参数，能否找到 s a与 a的函数关系？
sy
一、斜截面应力
s3 s y
D
2a o s x s1
a0
180 36.86 2
71.57
C
O
s 5、画出主单元体
B
（1）A点对应于右垂面
（2）右垂面逆时针转a o
30
得主单元体的最大
80
s 2 80
s1

莫尔应力圆

τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状态时，两个滑移面：S 和S’
滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力方面论文，成为经典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
3.5.1 詹森（Janssen)公式

4
D2 zz

4
D2B gz

4
D2 ( zz
yy pP* (1 sini ) cБайду номын сангаасcoti
P

1 sin i 1 sin i
yy

2c cosi 1 sin i
P
1 sini 1 sin i
yy

1 sini 1 sin i
B gy

KP B gy
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
2 w w
3.3 壁面最大主应力方向
若壁面应力状态对应D点：
2 w 180o ( w ) Rsin psin R p sini sin sin

莫尔应力圆(课堂PPT)

滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
1p (1 sin i) cc o ti
最小主应力
3p (1 sini) cc o ti
x x p R c o s 2 c c o s i p ( 1 s i n i c o s 2 ) c c o ti
切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑总结出粉体（土）的抗剪强度规律。
库仑定律是莫尔强度理论的特例。此时莫尔破坏包线为一直线。以库仑定律表示莫尔破坏包络线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力方面论文，成为经典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
库仑粉体：符合库Biblioteka 定律的粉体 CC粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在（σ，τ）坐标中是直线：IYF
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力。
粉体的极限平衡条件
τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律

应力莫尔圆的概念及其意义

应力莫尔圆的概念及其意义应力是物体受到力作用时，内部产生的相互作用力。

应力莫尔圆是一种表示应力和应变之间关系的图形。

本文将从应力的合成与分解、应变协调、材料力学性能和工程应用等方面，阐述应力莫尔圆的概念及其意义。

1.应力的合成与分解应力合成是指将物体上各点的应力按照一定规则组合起来，得到主应力和主应变。

应力分解是将主应力分解为正应力和剪切应力。

平面应力状态下，应力计算公式为：σ=F/A，其中σ为应力，F为作用力，A为受力面积。

合成方法为将各点的应力乘以相应的系数，再相加得到主应力，主应变则通过胡克定律计算。

2.应变协调应变协调是指在整个物体内部，应变是连续变化的，没有突变。

应变和应力之间的关系可以通过胡克定律描述：σ=E*ε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。

通过测量应变可以推导应力和材料的力学性能。

3.材料力学性能材料力学性能是指材料在受到外力作用时，其内部产生的应力和应变之间的关系。

材料的力学性能可以通过实验测定，如拉伸、压缩、弯曲等实验。

这些实验可以得出材料的弹性模量、屈服强度、抗拉强度等指标。

不同材料具有不同的力学性能特点和应用范围。

例如，弹性模量低表明材料容易变形，高弹性模量则表明材料不易变形；金属材料的抗拉强度和屈服强度较高，常用于结构件制造；而塑料材料重量轻、易加工，常用于制品制造。

4.工程应用在工程应用中，应力、应变和材料强度等参数的计算和表示非常重要。

例如，在结构设计时需要考虑材料的极限强度和屈服强度，以防止结构在使用过程中发生破坏或变形。

同时，在制造过程中也需要对材料进行应力测试，以确保其达到所需的强度和稳定性。

在工程应用中还需要注意一些问题。

例如，在复杂结构分析时需要考虑整体和局部之间的相互作用；在高温或低温环境下需要考虑材料的热膨胀系数和收缩率对结构的影响；在腐蚀环境下需要考虑材料的耐腐蚀性对结构寿命的影响等。

总之，应力莫尔圆是描述应力和应变之间关系的有效工具，在材料力学、工程应用等领域具有广泛的应用价值。

莫尔应力圆 ppt课件

⑸根据莫尔—库仑强度理论可建立粉体体极限平衡条件。
【例题】某砂土地基的ф=30°，C=0，若在均布条形荷载p作用下，计算土中某点σ1=100kPa，σ3=30kPa ，问该点是否破坏（你可以用几种方法来判断？）
【解】用四种方法计算。
⑴σ3、Φ、c→σ1：
1 3 ta n 2 ( 4 5 2 ) 3 0 ta n 2 6 0 9 0 k P a 1 0 0 k P a
P 1 1 s siin nii y y 1 1 s siin nii B g y K PB g y
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
KP
1 sini 1 sini
Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时，
最大主应力与最小主应力之比。被动态应
莫尔-库仑定律：粉体内任一点的莫尔应力圆在 IYF的下方时，粉体将处于静止状态；粉体内某一点的莫尔应力圆与IYF相切时，粉体处于临界流动或流动状态
二莫尔-库仑定律
把莫尔应力圆与库仑抗剪强度定律互相结合起来。通过两者之间的对照来对粉体所处的状态进行判别。把莫尔应力圆与库仑抗剪强度线相切时的应力状态，破坏状态—称为莫尔－库仑破坏准则，它是目前判别粉体(粉体单元)所处状态的最常用或最基本的准则。
3 粉体静力学
3.1 莫尔应力圆 3.2 莫尔库仑定律 3.3 壁面最大主应力方向 3.4 朗肯应力状态 3.5 粉体应力计算
3.1 莫尔应力圆
一、粉体的应力规定
粉体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的剪应力达到其抗剪强度。
xx xy xz
yx yy yz zx zy
这表明：在σ3=30kPa的条件下，该点如处于极限平衡，则最大主应力为90kPa。故可判断该点已破坏。

材料力学应力圆法课件ppt课件

(
x

2
y )2

2 xy
max
y
CG2

(
x

2
y )2

2 xy
min
G1 D
B
20
C
A A1
D′
x
G2
1
径
因为最大最小切应力等于应力圆的半
max min

1
2
2
例7-4-1 已知 x 1MPa， y 0.2MPa， xy 0.2MPa， yx 0.2MPa，求此单元体在＝
一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力
(the maximum normal stress and shear stress in
30°和＝-40°两斜截面上的应力。
-40
80°
30
0 0.2 0.4 0.6
30
60° -40
例7-4-2 ：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。
解：1．取单元体ABCD，其中 x y 0,
xy ，
T
WP
，这是纯剪切应力状态。
2．作应力圆主应力为 1 , 3 ，并可
1.圆心的坐标（Coordinate of
circle center）
2.圆的半径（Radius of circle）

C(
x

y
,0)
2
R

(
x
2

y
)2

2 xy
此圆习惯上称为应力圆（ plane stress circle）, 或称为莫尔圆（Mohr’s circle）

应力莫尔圆公式推导

应力莫尔圆公式推导应力莫尔圆公式是应用于材料力学领域的一种重要公式，它描述了应力状态下的主应力和主应力方向之间的关系。

应力莫尔圆公式的推导是基于材料的应力变形关系和平衡条件的基础上进行的。

我们需要了解一些基本概念。

在材料力学中，应力是指单位面积上的力。

应力分为正应力和剪应力两种，正应力是垂直于某个截面的力在该截面上的投影与该截面的面积之比，剪应力是相邻两个平行截面上的力之间的比值。

根据应力分析的原理，我们可以得到应力莫尔圆公式。

设某一平面上的正应力为σ，剪应力为τ，该平面的方向与x轴的夹角为θ。

根据三角函数的性质，可以得到该平面上的应力分量为σx = σcos^2θ，σy = σsin^2θ，τxy = σsinθcosθ。

根据平衡条件，我们可以得到该平面上的剪应力方向与主应力方向之间的关系。

设该平面上的剪应力方向与x轴的夹角为α，则有τxy = τcos(α - θ)。

根据三角函数的性质，我们可以得到τxy = (σx - σy)sinαcosθ - τ(cos^2θ - si n^2θ)cosα。

根据应力分量的定义，我们可以得到σx - σy = σ(cos^2θ - sin^2θ)。

将其代入上式，得到τxy = 2σsinαcosθ。

这是应力莫尔圆公式的一般形式。

根据应力莫尔圆公式，我们可以得到一些重要的结论。

首先，当剪应力为零时，应力莫尔圆退化为一个圆心在主应力方向上的圆。

其次，当剪应力不为零时，应力莫尔圆的圆心不在主应力方向上，而是偏离主应力方向一定角度。

最后，当剪应力方向与主应力方向重合时，应力莫尔圆退化为一个直线。

应力莫尔圆公式的推导过程相对简单明了，但其应用却非常广泛。

通过应力莫尔圆公式，我们可以对材料在复杂应力状态下的应力进行准确的分析和计算，进而指导工程实践中的设计和施工。

应力莫尔圆公式是材料力学中的重要工具，它描述了应力状态下的主应力和主应力方向之间的关系。

通过对应力莫尔圆公式的推导和分析，我们可以更好地理解和应用这一公式，为工程实践提供准确的力学分析依据。

莫尔应力圆

2

2 这表明：在σ 3=30kPa的条件下，该点如处
于极限平衡，则最大主应力为90kPa。故可判断该点已破坏。
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体：
C C
t
IYE
粉体在壁面处的滑移
WYF
B
条件在（σ，τ）坐标中
也是直线：WYF；壁
A
Φ D C WYE IYF
s
面粗糙时， WYF与
Christian Otto Mohr (1835-1918)
2、研究内容研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。
1）主应力与主应力面
2）主应力相互正交 3）任意一面上：正应力和剪应力一点应力状态的表示方法：？？？
◇任意斜面上的应力
在微元体上取任一截面，与大主应力面即水平面成角，斜面上作用法向应力和剪应力。现在求、与1、3之间的关系。取厚度为1，按平面问题计算。根据静力平衡条件与竖向合力为零。
3.2 莫尔-库仑定律
莫尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪
切破坏，在破坏面上τ f=f(σ )，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑总结出粉体（土）的抗剪强度规律。库仑定律是莫尔强度理论的特
例。此时莫尔破坏包线为一直
线。以库仑定律表示莫尔破坏包络线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
1 sin i 1 sin i P yy B gy K P B gy 1 sin i 1 sin i
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
1 sin i KP 1 sin i
Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时，最大主应力与最小主应力之比。被动态应力σP与主动态应力σA之比等于

应力莫尔圆

(

1

2
)2

2

(
1
2
)2
2
2
应力莫尔圆的概念与特点(以双轴应力状态为例)
以横坐标代表正应力，纵坐标代表剪应力，建立
－坐标系，一点的应力状态在该坐标系中可以表
示为一个圆的方程
(

1
2
)2

2

(
1
2
)2
2
2
这个圆就是该点的应力莫尔圆，圆上某点的坐标
T A( , )
应力莫尔圆的概念与特点以双轴应力状态为例在双轴应力状态下以材料内部任意考察点为中心体积微小的立方体内法呈夹角的任意截面上所受正应力与剪应力示意图作用的情况下任意截面上同时考虑21消除可以得到应力莫尔圆方程应力莫尔圆的概念与特点以双轴应力状态为例以横坐标代表正应力纵坐标代表剪应力建立坐标系一点的应力状态在该坐标系中可以表示为一个圆的方程平面应力状态的应力莫尔圆这个圆就是该点的应力莫分别代表法线与最大主应力轴呈夹角的那个截面上所受到的正应力与剪应力
T A( , )
等于1＋2；
N
O
（3）最大剪应力作用在与
C2
M
B
最大主应力轴呈45和135
A
的两个截面上。
双轴应力状态的应力莫尔圆
2008年5月12日汶川地震造成的映秀璇口中学校舍墙壁上的X型剪切破裂破裂受制于两组最大剪应力作用面
（据嵇少丞，2009）
安徽省巢湖市平顶山东南侧下三叠统殷坑组泥灰岩中X型剪节理
（，）分别代表法线与最大主应力轴1呈夹角的那个截面上所受到的正
N O
C2
M
B

应力莫尔圆的相关理论

B1D1 2t x tg (-2a 0 ) = = CB1 (s x - s y )
再根据应力圆判断α0的合理范围
t
σ2
o
D1
由此可定出主应力s1 所在平面的
A2
sy
B2 C
位置。由于A1A2 为应力圆的直径, 则s2
所在的另一主平面与s1 所在的主平面垂直。
B1
A1
s
D2
2
αo
σx
σ1
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa ,
(b)
B2 C
B1 s
τy
σy
σx τx
τy
σx τx
σy
t
该圆的圆心 C 点到坐标
原点的距离为
(b)
D1
sx +s y
2
o
2 +tx
B2 C sy D2 sx
B1 s
半径为
(
s x -s y
2
)
2
该圆就是相应于该单元体
应力状态的应力圆
D1 点的坐标为 ( sx , tx ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面上的应力。
a 0 = -19.3
a 0 = -19.30
s1
主平面及主应力如图所示。
(122.5 , 64.6)
D1
A2
τy
s A1
σ3 σx
B2
O C
2α 0
B1
σx τx
τy
D1 (0 , - 64.6)
τx σ1
α0

莫尔应力圆

x 0 sin ds cos ds 3 sin ds 0
y 0 cos ds sin ds 1 cos ds 0
1 3 1 3 cos 2
2
2
1 3 sin 2
2
◇用摩尔应力圆表示斜面上的应力由前两式平方并相加,整理得
(
1
3
)2
2
(
1
3
)2
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
被动土压
主动土压
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
yy Bgy
朗肯主动应力状态,根据莫尔－库仑定律为
A p * A R A c c o ti p * A ( 1 s i n i) c c o ti
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
Mohr 提出了用应力圆表示一点应力的方法（所以应力圆也被成为 Mohr 圆），并将其扩展到三维问题。应用应力圆，他提出了第一强度理论。 Mohr 对结构理论也有重要的贡献，如计算梁挠度的图乘法、应用虚位移原理计算超静定结构的位移等。
Christian Otto Mohr (1835-1918)
3.5 粉体应力计算
3.5.1 詹森（Janssen)公式
4 D 2z z 4 D 2B g z 4 D 2 (z zz z )D z
dzz
dz
4
D
Bg
Molerus I 类粉体
rr tan
r
τw
z
D
σzz z
τw δz
δσzz
3.5.1 詹森（Janssen)公式
σrr和σzz是主应力,根据朗肯应力关系
f tan c
⑵粉体的强度破坏是由于粉体中某点的剪应力达到粉体的抗剪强度所致(τ＝τf);

应力莫尔圆的相关理论ppt课件

A2 B2
B1
C
sy
α D2
2o
σx
σ1
s
A1
α o 确定后， s1 对应的主平面方位即确定。
12
tg (-2a0 )
=
B1D1 CB1
=
2t x (s x -s y )
t
再根据应力圆判断α0的合理范围
σ2
D1
由此可定出主应力s1 所在平面的 o 位置。由于A1A2 为应力圆的直径, 则s2 所在的另一主平面与s1 所在的主平面垂直。
应力莫尔圆的相关理论
一、应力圆的概念
由
sa
=sx
+sy
2
+sx
-s y
2
cos2a
-t x sin2a
ta
=sx
-s y
2
sin2a
+tx cos2a
削去α得到
(sa
-sx
+s
2
y )2
+ ta2
=
s
(
x
-s
2
y )2
+
t
2 x
1
(sa
-sx
+s y )2
2
+ ta2
=
s
(
x
-s y )2
2
+
t
mpa95mpa26mpa68mpa36mpa95mpa2618250kn16m2m200kn50kn首先计算支反力并作出梁的剪力图和弯矩图80kn?m200kn191201088270111300120121215015120横截面c上a点的应力为mpa20例题72两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a所示梁的横截面尺寸示于图c中

应力莫尔圆的相关理论

(b)
D1
B1 s
连接D1D2两点的直线与 s 轴相交于C 点, 以C为圆心, CD1或CD2为半径作圆
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
t
(b)
D1
o
B2
B1
C
s
sy
D2
sx
该圆的圆心 C 点到坐标
原点的距离为
sx +sy
2
半径为
s
(
x
2
s
y
)2
+
t
2 x
该圆就是相应于该单元体
应力状态的应力圆
（1）绘出相应的应力圆（2）确定此单元体在 a =30°和a = - 40°两斜面上的应力。
σy τy
σx τ x
σx
τx
x
τy σy
σ x = -1 τ x = -0.2 σ y = -0.4 τ y = 0.2
解: (1) 画应力圆 OB1 = sx= - 1MPa , B1 D1 = tx= - 0.2MPa,定出 D1点;
, 得到半径 CE ,
圆周上 E 点的 s ¸t 坐标就依次为 sa ¸ta 。（证明略）
说明
点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。
夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。
t
B1 2 A1
A

s
B
o
c
四、利用应力圆求主应力数值和主平面位置
s
s y = 0 t y = -20
s 1 = 57 s 2 = 0 s 3 = -7 2a0 = -38.60 a0 = -19.30

2.3应力莫尔圆、应力平衡微分方程

应力平衡微分方程
同理，得平衡微分方程
x yx zx 0 x y z xy y zy 0 x y z xz yz z 0 x y z
即每个面上在x方向的应力对所在面偏导之和或一个方向所有应力对各自所在平面求偏导的和为0。简记为
第二章
金属塑性变形的力学基础
应力分析
河南科技大学材料学院
平面应力状态下的应力莫尔圆
若已知平面应力状态的三个应力分量 z xz yz 0，如何求任意斜微分面AC上的正应力σ和切应力τ？
AC面的方向余弦对于AC面
l cos
m cos sin 2
ij xi 0
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
z
dq

dq
rz rz dz dr r rq rq dr r
dr dz
r
q
q r r
q
r
rz
zr
dr
q z
o
y
z
q

z
r
r dr r
q
x
r
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
n cos

2
0
S x x l xy m x cos xy sin S y xy l y m xy cos y sin
S x m S y l ( xl yx m)m ( xyl y m)l
ij
10
0
10
ij 4 1
0 0
0 4

材料力学应力圆法课件

y n

E 2 20 D
e
yx x
f
x
x
o
y
B
CF
D′
A

xy
a
x
证明：
OF OC CF OC CE cos(20 2 ) OC CD cos 20 cos 2 CD sin 20 sin 2 x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
§ 7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state)
平面应力状态下，已知一点的应变分量x ,y , xy ，欲求方向上的线应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件,分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x ,y , xy在此方向上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理. 一、任意方向的应变(The strain of any direction）
)
2
2 xy
max 1
（2）主平面方位
由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时针转 0 （负值）即到 1对应 o 的主平面的外法线
2
B1 B 20 D
C
A
y
D′
A1

2 xy DA tan( 2 0 ) CA x y 2 xy tan 2 0 x y
x
（4）连接 DD′两点的直线与轴相交于C 点（5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆
2.证明(Prove)

D
（1）该圆的圆心C点到坐标原点的距离为
x y
2
（2）该圆半径为
o
y