第5章a-应力莫尔圆()..讲课稿
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= 70
R AC AD2 DC2 50
(5)计算主应力及方位角
45 95
25 3
B
A
2
0 25 3
1
1 OC R 120 2 OC R 20
(MPa)
3 0
20 arc
tg
AF FC
60
3
O
2
0 30
(6)在图上画主单元体、主应力
B
A
D
2 0
E C F 1
20MPa
(MPa)
应力圆的 A 点（2 0 ）
（2）斜截面和应力( ， ) —— 应力圆上一点 D 点
Ox
n D( , )
x
和坐标( ， ) （3）单元体上夹角 ——
应力圆上 CA 与 CD 夹角
2 A(x ,xy)
2 且转向一致
C
O
20
B(y ,yx)
（4）主单元体上 1所在面法向
是由x 轴逆时针转 0 ——
OE OC EC
x
2
y
R cos[180o
(
2
2 0
)]
0
x
2
y
R cos(
2
2 0
)
n D( , )
x
2
A(x ,xy)
E
C
20
B(y ,yx)
x
2
y
R(cos
2
cos 20
sin 2
sin 20
)
x
2
y
x
2
y
cos
2
xy
sin 2
y
n
单元体与应力圆的对应关系
x
xy
y
（1）单元体的右侧立面 ——
20= –90°
D2
D2 A2
A1 D1
OC
Biblioteka Baidu
A2
20
O
D1 A1
C
D2
主应力迹线（Stress Trajectories) 主应力方向线的包络线 ——
曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位
实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线
y
1234
i
a
b
c
d
n
x
主应力迹线的画法
1234 i
3 y
D
2 o x 1
0
180 36.86 2
71.57
C
O
5、画出主单元体
B
（1）A点对应于右垂面
（2）右垂面逆时针转 o
30
得主单元体的最大
80
2 80
1
o
拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的
单位：MPa
另一个面
例 求图示单元体的主应力及主平面的位置 (单位：MPa)
解： (1)主应力坐标系如图 (2)在坐标系内画出点
第5章A-应力莫尔圆(2014)..
工 程 力 学 部
圆心？—
(
x
y
,0)
2
半径？—
R
x
2
y
2
2 xy
二、应力圆的画法
•第一种画法
（1）在轴上作出
A0(x,0), B0(y,0) （2） A0, B0的中点为圆心C 0
B0 C
（3）过A0垂直向上取xy 得
B
A， CA为半径
y
x
（4）以C 为圆心、CA为半径
§9.4 梁的主应力及其主应力迹线
q
梁发生横力弯曲， M与Q > 0，试确定截面上 各点主应力大小及主平面 位置
单元体上：
x
My Iz
xy
QS bI
z
z
1 3
x
2
（ x）2
2
2 xy
1
3 3
0 1
3
3 –45°
13
0 1 5 1
D1 A2
A1 D2
CO
D1
A2
20
A1
CO
D1
D2
D1
CO
一、单拉下的本构关系
y
x
x
x
E
y
E
x
z
E
x
ij 0 ( i,j x,y,z )
z
x
y
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
z
xy
x
三、复杂状态下的本构关系
y
z
z
y
x
xy
x
依叠加原理,得
以 AC 为半径画莫尔圆
2、算出心标 0C = -40，半径
R AC AD2 DC2 50
A (80, 30)
3、算出主应力、切应力极值
3 x
D
C
y 1
O
1 3
0C
R
10MPa 90MPa
max - min R 50MPa
B 4、算出方位角
A (80, 30)
ACD arc tg AD 36.86 DC
轴上应力圆最右端
四、应力极值
max
x
21
A(x ,xy)
OC
3 2
20 1
B(y ,yx)
min
1 3
OC
R半径
x
2
y
（
x
y
2
）2
2 xy
max min
R半径
（
x
2
y
）2
2 xy
五、平面应力状态的分析方法
1、解析法 精确、公式不好记 —— 7个 一般公式2个（正、切应力），极值应力5个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角）
max
1
2
3
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力（MPa）
y
B AC
40 50
30
x
z
3
解：
(1)由上图知
y z面为主
面之一 150
（MPa ） （2）建立应力坐标
max
系，画应力圆
2 1 (MPa)
1 58
2
' 1
50
3 27
max 44
§9.6 复杂应力状态下的单元体的变形 ——（广义郑玄 - 虎克定律）
A(95,25 3)
25 3
2
45 95
150° 25 3
0
B(45,25 3)
(3)AB的垂直平分线与
轴的交点 C 即是圆心，
(MPa)
B
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
3
O
2
应力圆
A
2 0
C
1
20MPa
1
(MPa)
(4)按图计算 心标 和 半径
OC = (A 横坐标 + B 横坐标)/2
画圆
A
A0
y
n
x
xy
y
Ox
n D( , )
x
2 A(x ,xy)
C
O
B(y ,yx)
第二种画法 （1）坐标系内画出点
A( x，xy) B (y，yx) （2） AB与 轴的
交点C是圆心
（3） 以 C 为圆心 以AC为半径 画 圆 ——
应力圆 或 莫尔圆
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
n
截截截截 截 截
面面面面 面 面
q
1 3
§9.5 三向应力状态——应力圆法
1、空间应力状态
y
1
2
3
z
x
3
2
1
2、三向应力分析
max
y
1
2
3
2
3
x
z 图a
1
图b
（1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上
的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
（2）整个单元体内的最大剪应力为
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
2、图解法 不必记公式、数值不精确
有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？ 我提出了这种方法 ——
3、图算法 • 前半部 —— 画莫尔圆 • 后半部 —— 看图精确计算
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
30
80
80
30
单位：MPa
x 80, y 0, 30
1、取 x , y的中点C为圆心
R AC AD2 DC2 50
(5)计算主应力及方位角
45 95
25 3
B
A
2
0 25 3
1
1 OC R 120 2 OC R 20
(MPa)
3 0
20 arc
tg
AF FC
60
3
O
2
0 30
(6)在图上画主单元体、主应力
B
A
D
2 0
E C F 1
20MPa
(MPa)
应力圆的 A 点（2 0 ）
（2）斜截面和应力( ， ) —— 应力圆上一点 D 点
Ox
n D( , )
x
和坐标( ， ) （3）单元体上夹角 ——
应力圆上 CA 与 CD 夹角
2 A(x ,xy)
2 且转向一致
C
O
20
B(y ,yx)
（4）主单元体上 1所在面法向
是由x 轴逆时针转 0 ——
OE OC EC
x
2
y
R cos[180o
(
2
2 0
)]
0
x
2
y
R cos(
2
2 0
)
n D( , )
x
2
A(x ,xy)
E
C
20
B(y ,yx)
x
2
y
R(cos
2
cos 20
sin 2
sin 20
)
x
2
y
x
2
y
cos
2
xy
sin 2
y
n
单元体与应力圆的对应关系
x
xy
y
（1）单元体的右侧立面 ——
20= –90°
D2
D2 A2
A1 D1
OC
Biblioteka Baidu
A2
20
O
D1 A1
C
D2
主应力迹线（Stress Trajectories) 主应力方向线的包络线 ——
曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位
实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线
y
1234
i
a
b
c
d
n
x
主应力迹线的画法
1234 i
3 y
D
2 o x 1
0
180 36.86 2
71.57
C
O
5、画出主单元体
B
（1）A点对应于右垂面
（2）右垂面逆时针转 o
30
得主单元体的最大
80
2 80
1
o
拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的
单位：MPa
另一个面
例 求图示单元体的主应力及主平面的位置 (单位：MPa)
解： (1)主应力坐标系如图 (2)在坐标系内画出点
第5章A-应力莫尔圆(2014)..
工 程 力 学 部
圆心？—
(
x
y
,0)
2
半径？—
R
x
2
y
2
2 xy
二、应力圆的画法
•第一种画法
（1）在轴上作出
A0(x,0), B0(y,0) （2） A0, B0的中点为圆心C 0
B0 C
（3）过A0垂直向上取xy 得
B
A， CA为半径
y
x
（4）以C 为圆心、CA为半径
§9.4 梁的主应力及其主应力迹线
q
梁发生横力弯曲， M与Q > 0，试确定截面上 各点主应力大小及主平面 位置
单元体上：
x
My Iz
xy
QS bI
z
z
1 3
x
2
（ x）2
2
2 xy
1
3 3
0 1
3
3 –45°
13
0 1 5 1
D1 A2
A1 D2
CO
D1
A2
20
A1
CO
D1
D2
D1
CO
一、单拉下的本构关系
y
x
x
x
E
y
E
x
z
E
x
ij 0 ( i,j x,y,z )
z
x
y
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
z
xy
x
三、复杂状态下的本构关系
y
z
z
y
x
xy
x
依叠加原理,得
以 AC 为半径画莫尔圆
2、算出心标 0C = -40，半径
R AC AD2 DC2 50
A (80, 30)
3、算出主应力、切应力极值
3 x
D
C
y 1
O
1 3
0C
R
10MPa 90MPa
max - min R 50MPa
B 4、算出方位角
A (80, 30)
ACD arc tg AD 36.86 DC
轴上应力圆最右端
四、应力极值
max
x
21
A(x ,xy)
OC
3 2
20 1
B(y ,yx)
min
1 3
OC
R半径
x
2
y
（
x
y
2
）2
2 xy
max min
R半径
（
x
2
y
）2
2 xy
五、平面应力状态的分析方法
1、解析法 精确、公式不好记 —— 7个 一般公式2个（正、切应力），极值应力5个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角）
max
1
2
3
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力（MPa）
y
B AC
40 50
30
x
z
3
解：
(1)由上图知
y z面为主
面之一 150
（MPa ） （2）建立应力坐标
max
系，画应力圆
2 1 (MPa)
1 58
2
' 1
50
3 27
max 44
§9.6 复杂应力状态下的单元体的变形 ——（广义郑玄 - 虎克定律）
A(95,25 3)
25 3
2
45 95
150° 25 3
0
B(45,25 3)
(3)AB的垂直平分线与
轴的交点 C 即是圆心，
(MPa)
B
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
3
O
2
应力圆
A
2 0
C
1
20MPa
1
(MPa)
(4)按图计算 心标 和 半径
OC = (A 横坐标 + B 横坐标)/2
画圆
A
A0
y
n
x
xy
y
Ox
n D( , )
x
2 A(x ,xy)
C
O
B(y ,yx)
第二种画法 （1）坐标系内画出点
A( x，xy) B (y，yx) （2） AB与 轴的
交点C是圆心
（3） 以 C 为圆心 以AC为半径 画 圆 ——
应力圆 或 莫尔圆
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
n
截截截截 截 截
面面面面 面 面
q
1 3
§9.5 三向应力状态——应力圆法
1、空间应力状态
y
1
2
3
z
x
3
2
1
2、三向应力分析
max
y
1
2
3
2
3
x
z 图a
1
图b
（1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上
的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
（2）整个单元体内的最大剪应力为
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
2、图解法 不必记公式、数值不精确
有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？ 我提出了这种方法 ——
3、图算法 • 前半部 —— 画莫尔圆 • 后半部 —— 看图精确计算
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
30
80
80
30
单位：MPa
x 80, y 0, 30
1、取 x , y的中点C为圆心