安徽省高一上学期数学段考试卷
安徽省部分重点中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷含答案
姓名______座位号______（在此卷上答题无效）高一数学（答案在最后）（人教版A ）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}250A x x x =-=，则（）A.{}0A∈ B.5A∉ C.{}5A∈ D.0A∈【答案】D 【解析】【分析】用列举法表示出集合A ，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.【详解】依题意，{0,5}A =，所以0A ∈，5A ∈，B 错误，D 正确；显然{}0A ⊆，{}5A ⊆，AC 错误.故选：D2.12+=（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得.【详解】因为1222122log3log3log2==，所以22l11lo3og3g2223622++==⨯=⨯=.故选：B3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）A.01y x=-与0y=B.y=与y=C.y x=与z=D.2y x x=+与32x xyx+=【答案】C【解析】【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得.【详解】对于A，函数01y x=-的定义域为{R|0}x x∈≠，函数0y=的定义域为R，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数y=的定义域为{|2}x x≥，函数y=的定义域为{|2x x≤-或2}x≥，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数y x=的定义域为R，函数z=R，且z y==，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数2y x x=+的定义域为R，函数32x xyx+=的定义域为{R|0}x x∈≠，两个函数定义域不同，D不是.故选：C4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(1,P在角α的终边上，则5πsin(2)6α+=（）A.14 B.14- C.12D.12-【答案】C【分析】根据给定条件，利用正切函数定义求出tan α，再利用二倍角公式结合齐次式法及和角的正弦公式求解即得.【详解】依题意，tan α=，则2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 12ααααααααα====-++，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 12ααααααααα--=-===-++所以5π5π5π111sin(2sin 2cos cos 2sin (66622222ααα+=+=-⨯--⨯=.故选：C5.已知“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A.506a >-B.506a -≥ C.506a -≤ D.506a <-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.【详解】“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则“0x ∃∈R ，20020242024a x x >-”为真命题，而2020012024()506506422022024x x x =≥----，当且仅当012x =时取等号，则506a >-，所以实数a 的取值范围为506a >-.故选：A6.函数()4e xf x x =-在[]3,3-上的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据给定函数的奇偶性，结合(0)1f =-即可判断得解.【详解】依题意，||||()()4||e 4||e x x x f x x f x -=-=---=，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AB ；又(0)1f =-，选项C 不满足，D 符合题意.故选：D7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：22ABl ⨯=+矢弦径.如图，公式中“弦”是指扇形中 AB 所对弦AB 的长，“矢”是指 AB 所在圆O 的半径与圆心O 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O 的直径.若扇形的弦AB =，扇形的圆心角为2π3，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（）A.16π13-B.8π13--C.16π132-D.8π132--【答案】B 【解析】【分析】利用等腰三角形性质求出圆半径及点O 到弦AB 的距离并求出 AB l ，再由弧长公式求出 AB 的实际值即可计算得解.【详解】取弧AB 的中点C ，连接OC 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，且OC AB ⊥，在等腰AOB中，2π3AB AOB =∠=，则π6OAB ∠=，圆O 半径124πcos 6ABR OA ===，122OD R ==，2CD R OD =-=，因此 2212AB CD l AB R=+=，而扇形弧长的实际值为2π8π33R =，所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为8π13-.故选：B8.定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，则不等式()()160x f x +-≤的解集是（）A.(][],11,11-∞-B.(],11-∞C.[]1,11- D.(][),111,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性与单调性得到()f x 在(0,)+∞上单调递增与()50f =，再分类讨论1x +的取值范围，结合偶函数的性质()()fx f x =即可得解.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()()550f f =-=，因为()()160x f x +-≤，当10x +>，即1x >-时，()60f x -≤，即()()65fx f -≤，所以65x -≤，即565x -≤-≤，解得111x ≤≤，故111x ≤≤；当10x +≤，即1x ≤-时，()60f x -≥，即()()65fx f -≥，所以65x -≥，即65x -≤-或65x -≥，解得1x ≤或11x ≥，故1x ≤-；综上：1x ≤-或111x ≤≤.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质()()fx f x =，从而简化运算得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知a b c >>，则下列结论错误的是（）A.33b c >B.22a c > C.> D.a c b->【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A ；举例说明判断BCD.【详解】由b c >及3y x =在R 上单调递增，可得33b c >，A 正确；取1,2a c ==-，满足a c >，而2214a c =<=，B 错误；由a b >，知,a b 是否是非负数不确定，当0b <>C 错误；取3,2,1a b c ===，满足a b c >>，而2a c b -==，D 错误.故选：BCD10.已知集合{}29A x x =<，A B ⊆，则（）A.集合A B B ⋃=B.{}33A B x x ⋂=-<<C.集合A B ⋃可能是{}22x x -<<D.{}44x x -<<可能是B 的子集【答案】ABD 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，由已知结合集合运算逐项判断即得.【详解】集合29{|}{3}3|A x x x x ==<<<-，A B ⊆，则A B B ⋃=，{|33}A B A x x ==-<< ，AB 正确；显然()A A B ⊆ ，即{|33}()x x A B -<<⊆ ，而{}22x x -<<是{|33}-<<x x 的真子集，C 错误；由于{|33}x x B -<<⊆，{}{|33}44x x x x -<<⊆-<<，因此{}44x x -<<可能是B 的子集，D 正确.故选：ABD11.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.1A =B.()g x 的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7π,02⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心D.()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】先利用三角函数的图象求得()f x 的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解.【详解】依题意，由图象可知1A =，3π5π3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故A 正确；因为0ω>，所以2ππω=，则2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+，因为()f x 的图象过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 21π3ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则2ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，则π6ϕ=-，所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到2πsin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，纵坐标变为原来的2倍，得到2π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，向左平移3π4个单位长度，得到函数()23ππ2π2sin 2sin 34633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；因为7π27ππ8π2sin 2sin 023233g ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；令3π2ππ2π2π,Z 2332k x k k -+≤+≤-+∈，解得11π5π3π3π,Z 44k x k k -≤≤-∈，所以()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎣⎦，Z k ∈，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数21,0(),0ax x f x x bx x -≤⎧=⎨+>⎩，则下列结论中正确的是（）A.若函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，则0a >且2b ≤-B.若函数()f x 有2个零点，则a<0且0b <C.若函数()f x 有1个零点，则a<0且0b ≥D.若函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则a<0且32b ≤-【答案】AB 【解析】【分析】分类探讨分段函数()f x 的性质，再结合分段函数单调性、零点及最大值逐项分析判断即得.【详解】当0x ≤时，()1f x ax =-，当a<0时，()f x 单调递增，函数值集合为(,1]-∞，当0a =时，()1f x =，当0a >时，()f x 单调递减，函数值集合为[1,)+∞；当0x >时，2()f x x bx =+，当0b ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0b <时，()f x 在(0,)2b -上单调递减，在[,)2b-+∞上单调递增，对于A ，由函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，得012a b >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得0a >且2b ≤-，A 正确；对于B ，当0x >时，2()f x x bx =+，函数()f x 在(0,)+∞上最多一个零点，由函数()f x 有2个零点，得函数()f x 在(,0]-∞上有一个零点，在(0,)+∞上有一个零点，因此a<0且0b <，B 正确；对于C ，当0a ≤时，()1f x ax =-在(,0]-∞上无零点，当0b <时，()f x 在(0,)+∞上有一个零点，则当0a ≤且0b <时，函数()f x 也只有1个零点，C 错误；对于D ，由于函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则()f x 在(,0]-∞上不能单调递减，即0a ≤，且(0)1f =，当0b ≥时，()f x 在(0,2]上单调递增，(2)424f b =+≥，不符合题意，当0b <时，若22b-≥，即4b ≤-，则()f x 在(0,2]上单调递减，()0f x <，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此4b ≤-，若22b -<，即40b -<<，则()f x 在(0,]2b -上单调递减，在[,2]2b-上单调递增，必有(2)421f b =+≤，解得32b ≤-，则342b -<≤-，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此342b -<≤-，综上所述，函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则0a ≤且32b ≤-，D 错误.故选：AB【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象经过点1(243,)3，那么()f x 的解析式为______；不等式(|)3|f x ≤的解集为______.【答案】①.15()f x x-=②.11(,[,)243243-∞-+∞ 【解析】【分析】利用幂函数过的点求出()f x 的解析式，再利用单调性解不等式即可.【详解】设幂函数()f x x α=，依题意，12433α=，即5133α-=，因此51α=-，解得15α=-，所以函数()f x 的解析式为15()f x x -=；显然函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且1()3243f =，于是不等式(|)3|f x ≤为：2(||)1()43f f x ≤，解得|4|123x ≥，即1243x ≤-或1243x ≥，所以不等式(|)3|f x ≤的解集为11(,][,)243243-∞-+∞ .故答案为：15()f x x -=；11(,][,)243243-∞-+∞ 14.若π02α<<，02βπ<<，()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则cos()4πα+=______.【答案】232130-##【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及和差角的余弦公式计算得解.【详解】由π02α<<，02βπ<<，得0παβ<+<，而()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则4sin()5αβ+==，12sin 13β==，因此3541233cos cos[()]51351365ααββ=+-=-+=，56sin 65α==，所以πππ23356232cos()cos cos sin sin (44426565130ααα+=-=-=-.故答案为：130-15.已知函数())f x x =，若0m >，0n >，且41()(1)(0)f f f m n+-=，则16m n +的最小值为______.【答案】36【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的奇偶性及单调性，由此求出,m n 的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】函数())f x x =中，R x ∀∈||x x >≥，则函数()f x 的定义域为R ，而()()))ln10f x f x x x -+=++-==，则函数()f x 是奇函数，显然函数y y x ==-在(,0]-∞上都单调递减，则函数t x =-在(,0]-∞上单调递减，而函数ln y t =在(0,)+∞上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减，于是函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，因此函数()f x 在R 上单调递减，(0)0f =，由41((1)(0)f f f m n +-=，得411()(1)(1)f f f m n n =--=-，则411m n=-，即411m n +=，于是441616(16)2020236n m m n n m n m n m +++=+=+≥+，当且仅当64n mm n=，即812m n ==时取等号，所以16m n +的最小值为36.故答案为：3616.已知直线y a =与函数()()tan f x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为()1,1-，则函数()y f x =的图象与函数223y x =-（3922x -<<）的图象所有交点的横坐标之和为______.【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，结合正切函数的图象性质求出()f x ，确定函数()y f x =与223y x =-共同具有的性质，再借助图象求解即可.【详解】依题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的最小正周期为2，则π2ω=，解得π2=ω，于是π()tan()2f x x ϕ=+，由π(1)tan()12f ϕ=+=-，得π3ππ,Z 24k k ϕ+=+∈，而π02ϕ<<，取π0,4k ϕ==，因此ππ()tan()24f x x =+，显然33ππ()tan()0244f =+=，则函数()y f x =的图象关于点3(,0)2成中心对称，又函数223y x =-的图象关于点3(,0)2成中心对称，在同一坐标系内作出函数()y f x =和223y x =-的图象，观察图象知，两个函数在39(,)22-的图象共有4个公共点，且关于点3(,0)2成中心对称，所以4个交点的横坐标之和为3462⨯=.故答案为：6【点睛】思路点睛：给定)t )a ()(n(0f x x ωϕω=>＋的性质求解解析式，一般是求出周期定ω，由图象上特殊点求ϕ.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）1105448132()()πlog 816243-++-；（2）2log 33810log log 274lglg303-⋅---.【答案】（1）52；（2）212-.【解析】【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得.（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.【小问1详解】2421111045355448132333335(()πlog 8[(][()]1log 2116243222222-++-=++-=+-=.【小问2详解】2log 3810log log 274lglg303-⋅---2312312log 332232310log 3log 3log 22lg(30)3=-⋅--⨯2log 32232)23321log 3log 2(2lg10013222=-⋅--=---=-.18.已知3πtan()74α-=.（1）求sin 2cos sin 3cos αααα+-的值；（2）若π(π,)2α∈--，求sin 2cos 2αα+的值.【答案】（1）119-；（2）24102510+.【解析】【分析】（1）利用差角的正切公式求出tan α，再利用齐次式法计算即得.（2）利用同角公式求出sin ,cos αα，再利用二倍角公式计算即得.【小问1详解】由3πtan()74α-=，得tan tantan 17n 3π1tan 1ta π4n 3t 4a αααα-+==-+，解得3tan 4α=，所以32sin 2cos tan 21143sin 3cos tan 3934αααααα+++===----.【小问2详解】由π(π,)2α∈--，得ππ(,)224α∈--，则sin 0,cos 0,cos 02ααα<<>，由3tan 4α=，得3sin cos 4αα=，而22sin cos 1αα+=，解得34sin ,cos 55αα=-=-，于是3424sin 22sin cos 2(()5525ααα==⨯-⨯-=，又21cos 1cos 2210αα+==，则cos 210α=，所以0sin 2cos224251αα++=.19.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立.若1x >时，()0f x <.（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求解关于x 的不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，证明见解析（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明；（2）利用赋值法求出164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于x 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】()f x 在()0,∞+上单调递减，证明如下：因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，当1x >时，()0f x <，12,0x x ∀>，且12x x <，则211x x >，则()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.【小问2详解】因为因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，所以()()x f f y f x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()()()f x f y f xy +=，因为132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1116422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭可化为3144x f f x ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎡⎤⎣⎦⎭⎥，所以31440304x x x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，解得1x >.所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为()1,+∞.20.已知函数()22f x x ax =+-.（1）若关于()f x 的不等式()0f x <的解集为(),2b ，求a ，b 的值；（2）已知当[]1,2x ∈-时，()336xxf -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =-，1b =-（2）43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于,a b 的方程组，解之即可得解；（2）利用换元法将问题转化为41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，再利用对勾函数的性质求得max4t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而得解.【小问1详解】因为()22f x x ax =+-，且()0f x <的解集为(),2b ，所以b 和2是方程220x ax +-=的两个不等实根，且2b <，由韦达定理可得222b a b +=-⎧⎨=-⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩，故1a =-，1b =-.【小问2详解】因为()22f x x ax =+-，所以()()23332x xx f a ⋅=+-，则()336xxf -≤可化为()233362x x x a ≤+--⋅，整理可得()()21334xx a +⋅≤-，令3x t =，[]1,2x ∈-，所以1,93t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则上式可化为()241t a t ≤+-⋅在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为44t t +≥=，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立，所以由对勾函数的性质可知4y t t =+在1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,9上单调递增，而当13t =时，7313343y +==⨯；当9t =时，485999y +==；所以max 4373t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3713a -≥，所以343a ≤-，所以实数a 的取值范围为43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.21.某学校校园内有一个扇形空地AOB （πAOB ∠<），该扇形的周长为10π203+，面积为50π3，现要在扇形空地AOB 内部修建一矩形运动场馆CDEF ，如图所示.（1）求扇形空地AOB 的半径和圆心角；（2）取CD 的中点M ，记MOD θ∠=.（i ）写出运动场馆CDEF 的面积S 与角θ的函数关系式；（ii ）求当角θ为何值时，运动场馆CDEF 的面积最大？并求出最大面积.【答案】（1）扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3；（2）（i）π200sin(23S θ=+-π(0,6θ∈；（ii ）π12θ=，200-【解析】【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得.（2）（i ）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii ）利用正弦函数的性质求解最值.【小问1详解】设扇形空地AOB 所在圆半径为r ，扇形弧长为l ，依题意，10π2203150π23r l rl ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩或5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，圆心角12ππl AOB r ∠==>，不符合题意，当1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩时，圆心角ππ3l AOB r ∠==<，符合题意，所以扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3.【小问2详解】（i ）由（1）知，π3AOB ∠=，则π(0,6θ∈，在Rt MOD △中，10cos ,10sin OM DM θθ==，则10sin EN DM θ==，在Rt EON △中，π6EON ∠=，tan ENON EONθ==∠，于是10cos MN OM ON θθ=-=-，所以220sin (10cos )S EN MN θθθ=⋅=-2200sin cos 100sin 2cos 2)θθθθθ=-=--π100(sin 22)200sin(23θθθ=+-=+-，π(0,)6θ∈.（ii ）由（i ）知，当π(0,)6θ∈时，ππ2π2(,)333θ+∈，则当ππ232θ+=，即π12θ=时，max 200S =-所以当π12θ=时，运动场馆CDEF 的面积最大，最大面积为200-【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.22.已知函数4(2)4log af x x xb -=+（0a >，1a ≠，2b ≠-）是定义在(2,2)-上的奇函数.（1）求(0)f 和实数b 的值；（2）若()f x 满足2(2)(32)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围；（3）若01a <<，问是否存在实数m ，使得对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立？【答案】（1）(0)0f =，2b =；（2）当01a <<时，01t <<，当1a >时，413<<t ；（3）存在，116m =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合奇函数的定义求解即得.（2）按01,1a a <<>分类，利用单调性解不等式即得.（3）利用奇函数及意识性脱去法则，转化为恒成立的不等式组，再借助二次函数分类求解.【小问1详解】依题意，420(0)log log 1004aa fb -⨯===⨯+，又()f x 是(2,2)-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即42()42log log ()44a a x xb x bx ---=--++，亦即424log log 442aa x bx bx x++=-+-，整理得22216416x b x -=-，于是24b =，而2b ≠-，所以2b =.【小问2详解】由（1）知，424288()log log log (1)(0,1)242424a a a x x f x a a x x x ---+===->≠+++，显然函数8124y x =-+在(2,2)-上单调递减，由奇函数性质及2(2)(32)0f t f t -+-<，得2(2)(32)(23)f t f t f t -<--=-，当01a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，则()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为222232t t -<-<-<，解得01t <<，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(2,2)-上单调递减，不等式化为222322t t -<-<-<，解得413t <<，所以当01a <<时，01t <<；当1a >时，413<<t .【小问3详解】假定存在实数m ，对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立，即2(1(2)()2)f mt f t f t +>-+=--恒成立，当01a <<时，由（2）知函数()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为2212212222mt t mt t ⎧+>--⎪-<+<⎨⎪-<--<⎩，整理得22303140mt t mt t ⎧++>⎪-<<⎨⎪-<<⎩，于是有231mt -<<对任意40t -<<恒成立，则2231m t t-<<，当40t -<<时，223311(,),(,)1616t t -∈-∞-∈+∞，因此311616m -≤≤；有230mt t ++>对任意40t -<<恒成立，设2()3g t mt t =++，①当0m >时，函数2()3g t mt t =++的图象开口向上，对称轴102t m=-<，（i ）当1120m ∆=->，即112m <时，必有(4)1610142g m m-=-≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，则111612m ≤<；（ii ）当1120m ∆=-=，即112m =时，2211()3(6)01212g t t t t =++=+>在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m =；（iii ）当1120m ∆=-<，即112m >时，()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m >；②当0m ≤时，(4)16110g m -=-≤-<，不满足()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，综上得311616m -≤≤且116m ≥，所以存在116m =使得对定义域内的一切t ，都有()2(2)10f t f mt +++>恒成立.。
安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
意交换”.
(1)判断函数 g ( x) = 2x +1与 h ( x) = x -1是否关于 f ( x) = x2 “ n 维交换”，并说明理由；
【详解】由
x
x
3
£
0
，得
ì í î
x x
(x-
¹0
3)
£
0
，解得
0
<
x
£
3
，
所以 M = {x 0 < x £ 3} ，
由 y = x2 +1 ³ 1，所以 N = [1, +¥) ，
图中阴影部分表示的集合为 M Ç (ðU N ) = (0,1) .
故选：A. 7．B
【分析】对
A，判断
f
(x)
的奇偶性可判断；对
C．若方程
f
(
x)
=
1 4
没有实数根，则
a
<
-1
) ( D．若函数 f ( x) 在 0,+∞ 上单调递增，则 a >0
( ) 8．已知函数
f
(x)
=
2x 图象与函数 2x-1 +1
g
(x)
=
x3
- 3x2
+
3x
图象有三个交点，分别为
x1, y1
、
( ) x 2, y 2 、 ( x3, y3 ) ，则 x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 = （ ）
树人高级中学2020_2021学年高一数学上学期第一次阶段考试试题
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一数学上学期第一次阶段考试试题时间：120分钟 满分：150分一．单选题（每题5分，共8题）1.若0a b >>,则下面不等式中成立的是( ） A 。
2a ba b ab +>>> B.2a ba ab b +>>> C.2a ba b ab +>>>D 。
2a ba ab b +>>> 2.下面关于集合的表示正确的个数是；; ；． A 。
0B. 1C. 2D 。
33。
已知1(0,)4x ∈，则(14)x x -取最大值时x 的值是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．1104。
命题“所有能被2整除的整数都偶数"的否定（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B 。
所有能被2整除的整数都不是偶数 C 。
存在一个不能被2整除的整数是偶数 D 。
存在一个能被2整除的整数不是偶数5。
已知0,0,22x y x y >>+=，则x y 的最大值为（ ） A.2B 。
1 C.12D.146.给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt>;③22x y >;④110x y<<.其中能成为x y >的充分条件的是（ ）A 。
①②B 。
②③C 。
③④D 。
①④7。
函数的最小值是A. 4B. 6C. 8D 。
108.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5302R ⎛⎫- ⎪⎝⎭万件,要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A.[]4,8B.[]6,10C 。
[]4%,8%D.[]6%,100%二、不定项选择题（本题共4小题，每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期段一考试数学试卷 PDF版
即 A = 3, +) ，
则 U A = (− ， 3），
故选：B．
11.【解答】解：根据题意， 1 + 2 5 3x − 4 − 5 0 5x2 − 27x + 26 0
x −1 x − 2 4 ( x −1)( x − 2) 4
(x −1)(x − 2)
解得 x 1 或 x 1 ， 2
第4页（共9页）
所以不等式的解集为 (− ， 1) (1 ， +) ． 2
故答案为： (− ， 1) (1 ， +) ． 2
16.【解答】解：观察发现 2 m + 1和 n + 3 的平方的和为定值，故平方。
令 y= 2 m + 1 + n + 3 ，
y2 = 4m + 4 + n + 3 + 4 (m + 1)(n + 3)=16 + 4 (m +1)(n + 3) ，
命题 p 的否定是：“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
故答案为：真，“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
15.【解答】解：关于 x 的不等式 ax + b x + c 0 的解集为 (1, 4) ，令 x = y ，
则关于 y 的不等式 ay2 + by + c 0 的解集为 (1, 2) ，
x
x
第5页（共9页）
当造价写为 200 60 + (x + 200) 2 400 + 100x x
= 12000 + 900x + 160000 12000 + 2 900x 160000 = 36000（元 ) ，当且仅当 900x = 160000 ，
安徽省高一上学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，，则（ ） {}1,2,3,4,5,6U ={}25A x x =∈<≤Z {}1,5B =()U A B = ðA ．B ．C ．D ．{}2{}3,4{}1,4,6{}2,3,4【答案】B【分析】化简集合A ，根据补集的定义求出，再求出即可．U B ðU A B ð【详解】解：，{}{}253,4,5A x x =∈<≤=Z ， {}2,3,4,6U B =ð故，(){}3,4U A B = ð故选：B ．2．设，则“”是“”的（ ）R a ∈1a >21a >A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由得或，因此“若，则”是真命题，“若，则”是假命21a >1a >1a <-1a >21a >21a >1a >题，所以“”是“”的充分不必要条件.1a >21a >故选：A3．命题“，”的否定是（ ）()0,1x ∃∈20x x -<A ．，B ．， ()0,1x ∃∉20x x -≥()0,1x ∃∈20x x -≥C ．，D ．， ()0,1x ∀∉20x x -<()0,1x ∀∈20x x -≥【答案】D【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定方法判断作答.【详解】命题“，”为存在量词命题，其否定是全称量词命题，()0,1x ∃∈20x x -<所以命题“，”的否定为：，．()0,1x ∃∈20x x -<()0,1x ∀∈20x x -≥故选：D4．若函数，且，则（ ）(1)f x x +=()8f a ==a A ．11 B ．10 C ．9 D ．8【答案】C【分析】运用换元法求出函数的解析式，再利用代入法进行求解即可.()f x 【详解】令，1x t +=由，可得，即，(1)f x x +=()1f t t =-()1f x x =-由，可得，()8f a =()189f a a a =-=⇒=故选：C5．如果函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）()224(1)1f x x a x =--+[2,)+∞a A ．B ．C ．D ．(,1]-∞-(,4]-∞[1,)-+∞[4,)+∞【答案】C 【分析】求得函数的对称轴的方程，结合二次函数的图象与性质，得到，即可求解.()f x 12a -≤【详解】由题意，函数，可得其图像开口向上，对称轴为，()224(1)1f x x a x =--+1x a =-要使得函数在区间上是增函数，则满足，解得，()f x [2,)+∞12a -≤1a ≥-即实数的取值范围是.a [1,)-+∞故选：C.6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．B ． 1()|1|f x x =-1()1f x x =-C ． D ． 21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得()01f =-正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ，()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ，0x =()01f =-()01f =故选：B.7．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量与死亡年数之间的函数关系式P t 为（其中为常数）.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，12t aP ⎛⎫= ⎪⎝⎭a 则可推断该文物属于（ ）参考数据：2log 0.850.23=-参考时间轴：A ．宋代B ．唐代C ．汉代D ．战国时期 【答案】B 【分析】根据半衰期的定义可求，进而结合对数的公式即可求解.573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】由题意可知：经过5730年衰减为原来的一半，所以， 573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，因此，由此解得，5730=0.8512t ⎛⎫ ⎪⎝⎭122lo g 0.85log 0.855730t ==-1317.91318t =≈，由此可推断该文物属于唐代，20221318=704-故选：B8．若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（ ） ()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,8πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭θA ． B ． 4π78πC ． D ． 58π38π【答案】B【分析】根据所给角的范围及正弦函数的性质可确定的范围即可得解.24+πθ【详解】由， ,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πθ则 2(,2).424x +∈+πππθ若使在开区间上取得最小值则必须， ()f x 3242ππθ+>解得， 58πθ>故选：B二、多选题9．已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）a b c d ,,,A ．若则.,a b c d >>a d b c ->-B ．若则.,a b c d >>ac bd >C ．若，则 ,0a b c d >>>a b d c>D ．若，则0,0ab bc ad >->c d a b>【答案】AD 【分析】由不等式的性质，逐个判断选项.【详解】若，则，又，则，A 选项正确；c d >d c ->-a b >a d b c ->-若，满足，但，不成立，B 选项错误； 2,1,1,2a b c d ===-=-,a b c d >>2ac bd ==-ac bd >若，，满足，但，不成立，C 选项错误； 1,2a b =-=-2,1c d ==,0a b c d >>>1a b d c ==-a b d c>，则，又，∴，即，D 选项正确. 0bc ad ->bc ad >0ab >bc ad ab ab>c d a b >故选：AD 10．已知函数的图象经过点则（ ） ()a f x x =1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．的图象经过点B ．的图象关于y 轴对称 ()f x (3,9)()f xC ．在上单调递减D ．在内的值域为()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞(0,)+∞【答案】CD【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案. 1a =-【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭()a f x x =1a =-1(),()=f x f x x ()3,9A 错误；在上单调递减，C 正确；根据反比例函数的图象与性质可得B 错误，D 正确． ()f x (0,)+∞故选：CD.11．（多选）已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在()f x [],a b ()()0f a f b ⋅<区间上（ ）[],a b A ．方程没有实数根()0f x =B ．方程至多有一个实数根()0f x =C ．若函数单调，则必有唯一的实数根()f x ()0f x =D ．若函数不单调，则至少有一个实数根()f x ()0f x =【答案】CD【分析】根据零点存在定理可得答案.【详解】由函数零点存在定理，知函数在区间上至少有一个零点，()f x [],a b 所以若函数不单调，则至少有一个实数根，()f x ()0f x =若函数单调，则函数有唯一的零点，即必有唯一的实数根，()f x ()f x ()0f x =故选：CD ．12．已知函数，则下列结论中错误的是（ ） ()2π32sin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x 2πB ．的图象关于点中心对称 ()f x 2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的图象关于直线对称 ()f x π=6x D ．在上单调递增 ()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABC【分析】根据给定的函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断作答.【详解】函数的周期，A 不正确； ()2π32sin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22T ππ==当时，，点不是图象的对称中心，B 不正23x π=222sin 2033π3f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 确；当时，，直线不是图象的对称轴，C 不正确； 6x π=π32sin 2266f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π=6x ()f x 当时，，因函数在上单调递增， 5ππ1212x -≤≤ππ2232x π-≤+≤sin y x =[,]22ππ-因此在上单调递增，D 正确. ()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：ABC三、填空题13．已知是一次函数，，，则的解析式为()f x 2(2)3(1)5f f -=2(0)(1)1f f --=()f x 【答案】()32f x x =-【分析】设f （x ）=kx+b ，k≠0，由已知得(4k+2b)-(3k+3b)=52b-(-k+b)=1，由此能求出f （x ）=3x-2．【详解】∵f (x )是一次函数,2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，∴设f (x )=kx +b ，k ≠0，则f (2)=2k +b ,f (1)=k +b ,f (0)=b ,f (−1)=−k +b ，因为，， 2(2)3(1)5f f -=2(0)(1)1f f --=， (42)(33)52()1k b k b b k b +-+=⎧∴⎨--+=⎩解得k =3，b =−2，∴f (x )=3x −2.故答案为：3x −2.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求一次函数的解析式，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.14．函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则()()log 1039a f x x =-+A A ()g x ()7g =_______【答案】49【分析】令真数等于，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标．1x ()f x ()f x 【详解】解：对于函数，令，求得，，()log (103)9a f x x =-+1031x -=3x =()9f x =可得它的的图象恒过定点．(3,9)A 点在幂函数 的图象上，，，，A ()g x x α=39α∴=2α∴=2()g x x =则，()27749g ==故答案为．49【点睛】本题主要考查对数函数图象的性质及幂函数的定义，属于基础题．15．若角的终边经过点，则___________． α(P -cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【分析】根据定义求得. sin α=【详解】角的终边经过点, α(P -则sin α==所以. cos()sin 2παα-==16．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件()2cos()f x x ωϕ=+的最小正整数x 为________． 74()()043f x f f x fππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可()f x 7(),()43f f π4π-得最小正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知，即，所以； 313341234T πππ=-=2T ππω==2ω=由五点法可得，即；232ππϕ⨯+=6πϕ=-所以. ()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，； 7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭所以由可得或； 74(()())(()(043f x f f x f ππ--->()1f x >()0f x <因为，所以， ()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， ()0f x <cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭解得，令，可得， ,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z 0k =536x <<ππ可得的最小正整数为2.x 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可()0f x <(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭得的最小正整数为2.x 故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点ω求解.ϕ四、解答题17．已知集合，集合. {}2340A x x x =+-≥20x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭（1）若，且，求实数的取值范围.{}21C x a x a =<<+()C A B ⊆⋂a （2），若是的必要不充分条件，判断实数2112022D x x m x m m ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-+++≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭x A B ∈ x D ∈m 是否存在，若存在求的范围.m 【答案】（1）；（2）存在，. 1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭31,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）解一元二次不等式以及分式不等式，求出，讨论或，利用集合的A B ⋂C =∅C ≠∅包含关系即可求解（2）由题意可得且，由集合的包含关系可得且等号不同时取，()D A B ⊆ ()D A B ≠ 1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩解不等式即可求解.【详解】（1）由题意可得或，， {4A x x =≤-}1x ≥{}02B x x =<≤∴.{}12A B x x ⋂=≤≤当时，有，即；C =∅12a a +≤1a ≥当时，有，解得. C ≠∅12112a a a <⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩112a ≤<综上所述，. 1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭（2）由题意可得，且，()D A B ⊆ ()D A B ≠∵， ()11022D x x m x m x m x m ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎧⎫=--+≤=≤≤+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎩⎭⎣⎦⎩⎭∴且等号不同时取，解得，∴. 1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩312m ≤≤31,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）xm ﹣2在（0，+∞）上单调递减.(1)求f （x ）的解析式；(2)若正数a ，b 满足2a +3b ＝4m ，若不等式≥n 恒成立，求实数n 的最大值. 32a b+【答案】(1)1()f x x -=(2)6【分析】（1）利用幂函数的性质即可求解m 的值；（2）利用基本不等式求出的最小值，即可求解n 的最大值. 32a b+【详解】（1）幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）xm ﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以，解得m ＝1， 244120m m m ⎧-+=⎨-<⎩所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）正数a ，b 满足2a +3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a +3b ＝4，， 所以＝（）（2a +3b ）＝（12+）≥6，当且仅当＝，即a ＝1，b ＝时32a b +1432a b +1449a b b a +4a b 9b a 23等号成立，故的最小值为6， 32a b+又不等式≥n 恒成立， 32a b+所以n ≤6，即实数n 的最大值6.19．已知是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >2()2f x x x =-+（1）求函数在上的解析式；()f x R （2）作出函数的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间；()f x （3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.()f x [1,2]a --a 【答案】（1）；（2）图象见解析，；（3）. ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩(,1],[1,)-∞-+∞(]1,3【解析】（1）先分析时，，即可求解出的解析式，然后由奇函数的性质运算即可0x <0x ->()f x -得解；（2）作出图象，数形结合即可得函数的单调递减区间；（3）根据函数的单调性，数形结合即可得关于的不等式，由此可求解出的取值范围.a a 【详解】（1）∵是定义在R 上的奇函数，∴，()f x (0)0f =又当时，，0x >2()2f x x x =-+当时， ∴0x <()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦∵满足，； ()0f ()22f x x x =+()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>∴=⎨+≤⎩（2）作出函数的图象如图所示：()f x由图象可知，函数的单调递减区间为；(,1],[1,)-∞-+∞（3）在区间上单调递增()f x [1,2]a --由函数的图象可得，解得∴121a -<-≤(]1,3a ∈的取值范围为.a ∴(]1,3【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析()f x 0x >式）：（1）先设，则，根据的解析式求解出；0x <0x ->0x >()f x -（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式； ()f x ()f x ()f x -0x <()f x （3）结合（1）（2）可求解出的解析式. ()f x20．已知函数. ()4,0e 3,0+<⎧=⎨+≥⎩x x x f x a x (1)若在上单调递增，求的取值范围；()f x R a (2)讨论函数的零点个数.()()3g x f x =-【答案】(1)1a ≥(2)当时，有一个零点；当时，且当时，有两个零点，当时，0x <()g x 0x ≥23a ≤()g x 23a >()g x 有一个零点．【分析】（1）由、都是单调递增函数可得的单调性，利用单调性可()4f x x =+()3x f x e a =+()f x 得答案；（2）时有一个零点；0x <()0g x =当时，利用单独单调性求得，分和讨论可得答案.0x ≥()g x min ()g x min 0()≤g x min ()0g x >【详解】（1）当时，单调递增，0x <()4f x x =+当时，单调递增，0x ≥()e 3=+x f x a 若在上单调递增，只需，()f x R 04e 3a ≤+.1a ∴≥（2）当时，，此时，即，有一个零点；0x <()1g x x =+()0g x ==1x -当时，，此时在上单调递增，0x ≥()e 33=+-x g x a ()g x [)0,∞+，()min ()013332g x g a a ==+-=-若，即，此时有一个零点； 320a -≤23a ≤()g x 若，即，此时无零点， 320a ->23a >()g x 故当时，有两个零点，当时，有一个零点． 23a ≤()g x 23a >()g x 21．已知的最小正周期为． ()()π2sin 206f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π（1）求的值，并求的单调递增区间；ω()f x （2）求在区间上的值域． ()f x 70,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；单调递增区间为；（2）． =1ω()ππππZ 63k k k ⎡⎤⎢⎥∈⎣⎦-+，，[]1,2-【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求的值，再由正弦函数的单调增区间即可求的单调ω()f x 递增区间；（2）由的范围求得范围，再由正弦函数的性质即可求值域.x π26x -【详解】（1）因为的最小正周期为， ()()π2sin 206f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π所以，则，则， 2π=π2ω=1ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，解得， ()πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈()ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈所以函数的单调递增区间为 ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()ππππZ 63k k k ⎡⎤⎢⎥∈⎣⎦-+，，（2）由得， 70,π12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2,π66x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以， π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以．()[]1,2f x ∈-22．已知函数的部分图象如图所示. ()πsin()0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭(1)求的解析式及对称中心坐标：()f x (2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当()f x π6()g x 时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围. ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ()210g x a +-=a【答案】(1)， π()2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππ,126k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()k ∈Z (2) 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最A B 7ππ21212T =-2πT ω=ω高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；ϕ()f x ()f x （2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值()g x ()g x 12a -为的值域，解不等式即可求解.()g x 【详解】（1）由题意可得：，可得，所以， 13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩21A B =⎧⎨=-⎩()2sin()1f x x ωϕ=+-因为，所以，可得， 7πππ212122T =-=2ππT ω==2ω=所以，()2sin(2)1f x x ϕ=+-由可得， ()ππ22πZ 122k k ϕ⨯+=+∈()π2πZ 3k k ϕ=+∈因为，所以，，所以. π2ϕ<0k =π3ϕ=()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令可得，所以对称中心为. ()π2π3x k k +=∈Z ()ππZ 26k x k =-∈()ππ,1Z 26k k ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭（2）由题意可得：， ()ππ2π2sin 2112sin 2633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，，， ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2ππ2,π36x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]2πsin 20,13x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()[]0,2g x ∈若关于的方程有实数根，则有实根，x ()210g x a +-=()12a g x -=所以，可得：. 0122a ≤-≤1122a -≤≤所以实数的取值范围为. a 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学题
安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学题一、单选题1．已知R x ∈，R y ∈，则“1x >且1y >”是“2x y +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}210A x x =-≥，集合102B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，则()A B =R U ð（）A ．1{2x x ≤或≥1B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．{1}∣<xx 3．已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则y =）.A ．[]1,4-B ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎣⎦D ．(]1,94．设a ，b ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）.A ．11a b <B ．22ac bc >C ．a b >D ．33a b >5．不等式10ax x b+>+的解集为{|1x x <-或}4x >，则()()10x a bx +-≥的解集为（）A ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,[1,4∞∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦ ）C ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．(]1,1,4∞∞⎡⎫---+⎪⎢⎣⎭6．已知0a >，0b >，3a b ab +=-，若不等式2212a b m +≥-恒成立，则m 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．77．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()11,A x y ，()22,B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，若点()2,1M ，点P 是直线3y x =+上的动点，则(),d M P 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭C ．5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的是（）A．y =与y =B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．若命题0p x ∃≥：，23x =，则0p x ⌝∃<：，23x ≠D ．若命题q ：对于任意R x ∈，220x x a +->为真命题，则1a <-10．下列选项正确的有（）A ．当()1,x ∈+∞时，函数2221x x y x -+=-的最小值为2B ．(),1x ∈-∞，函数31y x x =+-的最大值为-C．函数2y 的最小值为2D ．当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b的最小值为3211．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足()103431x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪-⎩，，下列叙述正确的是（）A ．函数()f x 的值域为[]22-,B ．关于x 的方程()12f x =的所有实数根之和为11C ．关于x 的方程()0f x =有且只有两个不等的实根D ．当[)3,0x ∈-时，()f x 的解析式为()1=-+f x x三、填空题12．已知a ，b ∈R ，{}21,3,A a =，{}1,2,B a b =+，若A B =，则a b +=13．已知)=fx ()f x 的解析式为.14．已知方程2620x x a -+=的两根分别为1x ，2x ，12x x ≠，若对于[]2,3t ∀∈，都有22121t x x t-≥+恒成立，则实数a 的取值范围是四、解答题15．已知集合{}121A xa x a =+≤≤-∣，{}16B x x =-≤≤∣.(1)当4a =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．已知幂函数()()222433mm f x m m x+-=-+为定义域上的偶函数.(1)求实数m 的值；(2)求使不等式()()21f t f t -<成立的实数t 的取值范围.17．已知函数()21f x ax bx =++.(1)若21a b =+，且0a <，求不等式()3f x >的解集（结果用a 表示）；(2)若()13f =，且a ，b 都是正实数，求111a b ++的最小值.18．已知函数()21x f x ax b+=+是其定义域上的奇函数，且()12f =.(1)求a ，b 的值；(2)令函数()()()2212R h x x mf x m x=+-∈，当[]1,3x ∈时，()h x 的最小值为8-，求m 的值.19．一般地，若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],ka kb 为()f x 的“k 倍跟随区间”，若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.(1)写出二次函数()212f x x =的一个“跟随区间”；(2)求证：函数()11g x x=-不存在“跟随区间”；(3)已知函数()()()221R 0aa x h x a a a x+-=∈≠，有“4倍跟随区间”[]4,4m n ，当n m -取得最大值时，求a的值.。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。
2023-2024学年安徽省高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，集合N ＝{x ∈R |x 2＝2x }，则M ∩N ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0}C ．{0}D ．∅2．已知命题p ：∃x ∈R ，4x ＞x 4，则¬p 是（ ） A ．∃x ∈R ，4x ≤x 4 B ．∀x ∈R ，4x ＜x 4C ．∀x ∈R ，4x ＞x 4D ．∀x ∈R ，4x ≤x 43．若α是β的必要不充分条件，γ是β的充要条件，则γ是α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x α（α∈Z ），具有如下性质：f 2（1）+f 2（﹣1）＝2[f （1）+f （﹣1）﹣1]，则f （x ）是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，且f （a ﹣3）＝f （a +2）（a ∈R ），则f （a ）＝（ ）A ．2B ．1C ．√2D ．06．已知实数a ，b ，c 满足3×2a ﹣2b +1＝0，且a ＝c +x 2﹣x +1（x ∈R ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a7．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出的速度如图甲乙所示．某天零点到六点该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下三个论断：①零点到三点只进水不出水；②三点到四点不进水只出水；③四点到六点不进水也不出水．其中正确论断的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①8．设函数f(x)=√ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ，且a ＜0）的定义域为D ，若所有点（s ，f （t ））（s ，t ∈D ）构成一个正方形区域，则a ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省宣城市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题含答案
宣城市2023——2024学年度第一学期期末调研测试高一数学试题（答案在最后）考生注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3．考生作答时，请将答案答在答题卷上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．考试结束时，务必将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A.{}|1x x >B.{}1|x x ≥-C.{}|12<≤x x D.{}|12x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2.设x ∈R ，使得不等式2650x x -+<成立的一个充分不必要条件是（）A.{}|15x x << B.{}|0x x > C.{}|4x x < D.{|23}x x ≤≤【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解.【详解】由题意()()265015015x x x x x -+<⇔--<⇔<<，对比选项可知不等式2650x x -+<成立的一个充分不必要条件是{|23}x x ≤≤.故选：D.3.若命题“[]1,2x ∃∈-，使21x m +>”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.(],1-∞ B.(),2-∞ C.(),5-∞ D.()5,+∞【答案】C 【解析】【分析】由存在性问题得()22max1215x +=+=即可得解.【详解】由题意命题“[]1,2x ∃∈-，使21x m +>”是真命题，所以()2max1415m x <+=+=，当且仅当2x =，有()22max1215x +=+=，所以实数m 的取值范围是(),5-∞.故选：C.4.已知,a b ∈R ，且a b >，则下列不等式中正确的是（）A.22a b >B.2ab b < C.1111a b <++ D.33a b >【答案】D 【解析】【分析】根据特值法可判断ABC ，构造函数可判断D.【详解】对于A ：若0,1a b ==-满足a b >，则不满足22a b >，故A 错误；对于B ：若2,1a b ==满足a b >，则不满足2ab b <，故B 错误；对于C ：若0,2a b ==-满足a b >，则不满足1111a b <++，故C 错误；对于D ：令()3f x x =，易知函数()3f x x =在R 上增函数，因为a b >，所以()()f a f b >，则33a b >，故D 正确.故选：D.5.已知函数()f x 满足()()()1f xy f x f y =+-，且()0,x y ∈+∞,，则()()()1112332f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.0B.1C.5D.52【答案】C 【解析】【分析】通过赋值得()11f =，()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，由此即可得解.【详解】由题意在()()()1f xy f x f y =+-中令1x y ==，则()()1211f f =-，解得()11f =，令1y x =，则()()1111f f x f x ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()()()()()()111112312312253223f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.6.设0.50.2a =，5log 3b =，0.25c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c b a<< D.c a b<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法即可得解.【详解】0.5100.2552a <==<=，125511log 3log 52b >=>=，0.20551c =>=，所以a b c <<.故选：A.7.已知1x y +=，且0x >，0y >，则1221x y ++的最小值是（）A.43B.94C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】由1x y +=得1122x y ++=，于是1212111511212122441441x y y x y xx y x y x y x y ⎛⎫+++⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，又0x >，0y >，所以10,041y xx y +>>+，因此515591441444y x x y +++≥++=+，当且仅当141y x x y +=+，即2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立.故129214x y +≥+.故选：B.8.已知定义在R 上的函数()221f x x tx =-+，在(],1-∞上单调递减，且对任意的[]12,0,1x x t ∈+，总有()()122f x f x -≤，则实数t 的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1- C.[]0,1 D.[]1,3【答案】A 【解析】【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求t 的取值范围．要使对任意的[]12,0,1x x t ∈+，都有()()122f x f x -≤，只要()()max min 2-≤f x f x 成立即可，进而列出不等式即可求出结果．【详解】二次函数()()222211f x x tx x t t =-+=-++的对称轴为x t =，所以在(],t -∞上单调递减，在(],t +∞上单调递增，又已知()f x 在(],1-∞上单调递减，所以(](],1,t -∞⊆-∞，可得1t ≥.因为函数()f x 在[]0,t 上单调递减，在[],1t t +上单调递增，又01,11t t t -≥+-=，由对称性可知()()01f f t ≥+，所以当0x =时，取得最大值，即最大值为()01f =，在当x t =时取得最小值，即最小值为()21f t t =-+，要使对任意的[]12,0,1x x t ∈+，都有()()122f x f x -≤，只要()()max min 2-≤f x f x 成立即可，所以()()()2max min 112f x f x t -=--+≤，解得t ≤≤又1t ≥，所以t的取值范围1t ≤≤t ⎡∈⎣.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省淮南市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷含答案
数学试题（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}23,1,1,3,202A B x x x ⎧⎫=--=+-<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （）A.{}1 B.{}1,1- C.3,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ D.3,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，然后利用交集概念运算即可.【详解】因为{}220{21}B xx x x x =+-<=-<<∣∣，又3,1,1,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，所以3,12A B ⎧⎫⋂=--⎨⎬⎩⎭.故选：C .2.()sin 120tan210-的值为（）A.12B.12-C.6D.6-【答案】B 【解析】【分析】由诱导公式化简直接得出答案.【详解】()()1sin 120tan210sin120tan 180+30sin120tan30232-=-=-=-⨯- ．故选：B ．3.已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠），若点()11,A x y ，()22,B x y 都在()f x 的图象上，则下列各点一定在()f x 的图象上的是（）A.()1212,x x y yB.()1212,x x y y +C.()1212,x x y y ++ D.()1212,x x y y +【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算求解.【详解】解：因为点()11,A x y ，()22,B x y 都在()f x 的图象上，所以1212,xxy a y a ==，则121212x x x x a a a y y +=⋅=⋅，故选：D4.若实数a ，b 满足110b a>>>，则下列结论正确的是（）A.1ab >B.222a b +> C.a b ab+< D.12a b a+>【答案】D 【解析】【分析】利用不等式性质判断AD ，举反例判断BC.【详解】因为实数a ，b 满足110b a>>>，所以01a <<，所以01ab <<，故选项A 错误；当11,22a b ==时，满足110b a >>>，但是221112222⎛⎫⎛⎫+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足222a b +>，故选项B 错误；当11,22a b ==时，满足110b a >>>，但是11111122224+=>⨯=，不满足a b ab +<，故选项C 错误；1111122a b a a+=+>+=>，即12a b a +>，故选项D 正确.故选：D5.将函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()f x 的图象，则()f x 图象的一条对称轴方程是（）A.π6x =B.5π6x =C.4π3x =D.3π2x =【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律，求得()f x 的解析式，再利用余弦函数图象的对称性求出对称轴，逐个检验即可求解.【详解】由题意得()πππcos cos 636f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ,6x k k +=∈Z ，得ππ,6x k k =-∈Z ，取1k =，得曲线()f x 的一条对称轴的方程为5π6x =.故选：B .6.数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的x ∈R ，函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数；记[]x 为不超过x 的最大整数，则称()[]f x x =为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（）A.()()1D f x =B.()()1D x D x +=C.()()0f x f x +-=D.()()f D x 的值域为{}0,1【答案】C 【解析】【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得.【详解】由高斯函数的定义知，()[]R,x f x x ∀∈=都是整数，即都是有理数，所以()()1D f x =，A 正确；若x 为有理数，则1x +也是有理数，()()11D x D x +==；若x 为无理数，则1x +也是无理数，()()10D x D x +==，B 正确；取0.5x =-，则()()()()0.50,0.51,0.50.51f f f f =-=-+-=-，C 错误；()D x 的值域是{}()()0,1,00,11f f ==，所以()()f D x 的值域为{}0,1，D 正确．故选：C7.若函数y t =与函数()2231x x f x x -+=-的图象有两个不同的交点()()11,A x f x ，(()22,B x f x ，则1212x tx x x +-的取值范围是（）A.,44⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ B.,00,44⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.(- D.()(0,-⋃【答案】B 【解析】【分析】由题意方程2231x x t x -+=-有两个不同的解12,x x ，利用韦达定理得()()12112x x --=，则1212x t x x x +-转化为求1t-的范围即可.【详解】()2232111x x f x x x x -+==-+--，作出函数图象如图：因为函数y t =与函数()2231x x f x x -+=-的图像有两个不同的交点，所以t >或t <-，且方程2231x x t x -+=-即()()21120x t x ---+=有两个不同的解12,x x .故()()12112x x --=，所以()()1212121111x x x x x x t t t---+-==-，因为t >或t <-，所以1204t <<或2104t-<<，所以12121,00,44x x x x t t ⎛⎫⎛⎫+-=-∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B 8.若sin 41tan 3αα=+，则sin cos αα+=（）A.3B.3C.3D.13【答案】A 【解析】【分析】利用sin cos sin cos αααα+，之间的关系和题给条件即可求得分别求得sin cos sin cos αααα+，的值，进而得到sin cos αα+的值.【详解】因为sin sin cos 41tan cos sin 3αααααα==++，设sin cos =t αα+（0t ≠），则21sin cos 2t αα-=，所以21423t t -=，28103t t --=，即()1303t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以13t =-或3t =（舍）所以21s 24in cos 09t αα-==-<，sin cos 3αα+=．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.()tan 0αβ+=的充要条件可以是（）A.()πk k αβ+=∈Z B.()1π2k k αβ+=∈Z C.()sin 0αβ+= D.tan tan 0αβ+=【答案】AC 【解析】【分析】利用正切函数知识及同角三角函数关系，结合充要条件的概念分析判断即可.【详解】对于A ,因为()tan 0αβ+=，所以()πk k αβ+=∈Z ，故()πk k αβ+=∈Z 是()tan 0αβ+=的充要条件；对于B ,当()2k n n =∈Z 时，()πn n αβ+=∈Z ，则()tan 0αβ+=，当()21k n n =+∈Z 时，()ππ2n n αβ+=+∈Z ，则()tan αβ+无意义，所以()1π2k k αβ+=∈Z 是()tan 0αβ+=的必要不充分条件；对于C ,因为()tan 0αβ+=，所以()()sin 0cos αβαβ+=+，即()sin 0αβ+=，故()sin 0αβ+=是()tan 0αβ+=的充要条件；对于D ，由tan tan 0αβ+=可得()tan tan tan 01tan tan αβαβαβ++==-，取π2αβ==，可得()tan 0αβ+=，但tan tan αβ+无意义，所以tan tan 0αβ+=是()tan 0αβ+=的充分不必要条件.故选：AC .10.已知函数()2212x x xf x =+--，则下列结论正确的是（）A.()f x 的定义域为RB.()f x 是奇函数C.()f x 是偶函数D.对任意的()(),00,x ∈-∞⋃+∞，()2f x >-【答案】CD 【解析】【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可.【详解】A ：由2100x x -≠⇒≠，所以该函数的定义域为()(),00,∞-+∞U ，因此本选项结论不正确；B ：因为()()222021221221x x x xx x x x x xf x f x x --⋅---=----+=-=---，所以有()()f x f x -=，因此()f x 是偶函数，所以本选项不正确；C ：由上可以确定本选项正确；D ：()()()()212212221xx x x x x f x +--=+=--，当(),0x ∈-∞时，0221210x x <=⇒-<，而20x >，于是有()()()()2120212221x xxx x x f x +--=+=>--，当()0,x ∈+∞时，0221210x x >=⇒->，而20x >，于是有()()()()2120212221x xx x x x f x +--=+=>--，综上所述：对任意的()(),00,x ∈-∞⋃+∞，()2f x >-，因此本选项正确，故选：CD11.若存在m ，()1n m n <-，使得20x ax b c x ≤++≤-的解集为{1x m x m ≤≤+或}x n =，则下列结论正确的是（）A.20x ax b ++≥的解集为{1x x m ≤+或}x n ≥B.2x ax b c x ++≤-的解集为{}1x m x n +≤≤C.c n=-D.2244a a b c +>-【答案】AD 【解析】【分析】AB 选项，根据不等式解集得到2x ax b c x ++≤-的解集为{}x m x n ≤≤，20x ax b ++≥的解集为{1x x m ≤+或}x n ≥；C 选项，根据韦达定理得到mn b c =-，()1m n b +=，得到n c =；D 选项，根据1n m ->和n m -=，得到答案.【详解】AB 选项，因为1m n <-，故1m n +<，由题意得2x ax b c x ++≤-的解集为{}x m x n ≤≤，20x ax b ++≥的解集为{1x x m ≤+或}x n ≥，A 正确，B 错误；C 选项，()210x a x b c +++-=的两个根为,m n ，20x ax b ++=的根为1,m n +，故1m n a +=--，mn b c =-，()1,1m n a m n b ++=-+=，由于mn b c =-，()1m n b +=，故b c n b -+=，所以n c =，C 错误；D 选项，因为1n m ->，n m -==，1>，两边平方得2244a a b c +>-，D 正确.故选：AD12.函数()()7π5ππcos 2sin sin 018189f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()0,π上有3个零点，则（）A.ω的取值范围是811,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.()f x 在()0,π取得2次最大值C.()f x 的单调递增区间的长度（区间右端点减去左端点得到的值）的取值范围是()1,3D.已知t ∈R ，若存在t ，ω，使得()f x 在[](),0t t s s +>上的值域为[]1,1-，则3π11s ≥【答案】ABD 【解析】【分析】化简()f x πcos 6x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，由题意得5π7ππ262πω<-≤，求解即可判断A ；()f x 在()0,π上取得2次最大值，可判断B ；()2π6π3π,,114T f x ω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭的单调递增区间的长度为2T ，可判断C ；由题意min3π211T s ⎛⎫≥=⎪⎝⎭，可判断D ．【详解】()7π5ππ5ππ5ππ5ππ5ππ5πππcos 2sin sin cos 2sin sin cos cos sin sin cos cos 181891891891891891896f x x x x x x x x x ωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=----=---=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()0,πx ∈时，ππππ666x ωω-<-<-，所以5π7π811π,26233πωω<-≤<≤，A 正确；由A 选项分析可知当()0,πx ∈时，有πππ5ππ6662x ωω-<-<-<，所以当6π0x ω-=或2π6πx ω-=时，()f x 在()0,π上取得2次最大值，B 正确；由A 选项可知811,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以周期2π6π3π,114T ω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，所以3π3π,2118T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()f x 的单调递增区间的长度范围为3π3π,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 错误；若存在811,,33t R ω⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，使得()f x 在[](),0t t s s +>上的值域为[]1,1-，则min 3π211T s ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，D 正确．故选：ABD ．【点睛】易错点睛：本题易错的地方在于C 选项中对区间长度的定义没有理解正确，从而错选C 选项导致错误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,∞+上单调递减，则m =______.【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 值，再根据在()0,∞+上单调递减求值即可.【详解】因为()()224122m m f x m m x-+=--为幂函数，所以2221m m --=；解得1m =-或3m =，又因为()f x 在()0,∞+上递减，所以2410m m -+<，故3m =.故答案为：314.将函数()32log f x x =+图象上所有点的横坐标变化到原来的()0m m >倍，纵坐标保持不变，得到()3log g x x =的图象，则m =______.【答案】9【解析】【分析】设()32log f x x =+图象上点(),x y ，变换后得到(),mx y ，代入()3log g x x =中，从而得到方程，求出答案.【详解】设函数()32log f x x =+图象上点(),x y ，横坐标变化到原来的()0m m >倍得到(),mx y ，又(),mx y 在()3log g x x =，故3log y x m =，又32log y x =+，即332log log x x m +=，即33l g 9o log x x m =，故9m =.故答案为：915.正五角星是一个有趣的图形，如图，顺次连接正五角星各顶点，可得到一个正五边形，正五角星各边又围成一个小的正五边形，则大五边形与小五边形的边长之比为___________．（参考数据1sin184-︒=）【答案】32+【解析】【分析】画出图形，根据题意得到12cos36ABAD =︒，21cos 72DE AD︒=，再结合二倍角公式求解即可.【详解】如图，ABD △为等腰三角形36BAD ∠=︒，12cos36ABAD =︒，ADE V 为等腰三角形，72ADE ∠=︒，21cos 72DEAD ︒=，所以2cos3612sin 185135cos72sin1822AB DE ︒-︒+====︒︒．故答案为：32+16.已知函数()cos2sin x af x x+=，若对任意()0,x π∈恒有()3f x ≤，则a 的取值集合为________．【答案】{}1-【解析】【分析】由绝对值不等式解得3sin cos23sin cos2a x xa x x≤-⎧⎨≥--⎩对()0,x π∈恒成立，再结合二次函数的图象和单调性即可得到答案.【详解】因为()0,π,sin 0x x ∈>，所以()33sin cos23sin f x x x a x ≤⇔-≤+≤⇔3sin cos23sin cos2a x xa x x ≤-⎧⎨≥--⎩，因为223173sin cos 23sin 2sin 12sin 48x x x x x ⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为sin 0x >，则23sin 2sin 11x x +->-，2223173173sin cos22sin 3sin 12sin 2014848x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--=--<--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a -≤≤-，故1a =-，所以a 的取值集合为{}1-．故答案为：{}1-.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合(){}2log 2,{1}A xy x B x x a ==-=-<∣∣.（1）若2a =-，求A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）{31}xx -<<-∣（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）由题意得化简集合，结合交集的概念即可得解.（2）由题意B A ⊆，即问题转化为12a +≤恒成立，由此即可得解.【小问1详解】(){}2log 2{2}A x y x x x ==-=<∣∣，由21x +<解得31x -<<-，所以2a =-时，{31}B x x =-<<-∣，所以{31}A B xx =-<<- ∣.【小问2详解】若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，由（1）知{2},{11}A xx B x a x a =<=-<<+∣∣，所以对任意x B ∈，有x A ∈，所以问题转化为12a +≤恒成立，所以1a ≤，即a 的取值范围为(],1-∞.18.（1）已知π02α-<<1cos 2sin 21cos 2sin 2αααα-++++；（2）已知πsin 25αβ++=，1tan 27β=，α，()0,πβ∈，求2βα+的值．【答案】（1）1cos α；（2）π24βα+=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答.（2）利用同角公式求出tan 2αβ+，利用二倍角的正切求出tan()αβ+，再利用差角的正切求解作答.【详解】（1）因为π02α-<<，则cos 0α>，sin 0α<，1sin 0α->，221cos 2sin 22sin 2sin cos 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααααα-++=+++()()1sin 2sin sin cos 1sin sin 1cos 2cos cos sin cos cos cos ααααααααααααα-+-=+=+=+．（2）因为α，()0,πβ∈，即有0π2αβ+<<，而π25sin cos 225αβαβ+++==，因此π022αβ+<<，sin 25αβ+==，5sin152tan 22cos 2αβαβαβ++===+，于是()2212tan2422tan 311tan 122αβαβαβ+⨯+===+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又1tan 27β=，则()()()41tan tan372tan tan 141221tan tan 1237βαβββααββαβ-+-⎛⎫⎡⎤+=+-=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+++⨯，而π022αβ+<<，π022α<<，即有0π2βα<+<，所以π24βα+=．19.已知函数()πsin cos 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()πcos ,02g x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，与()f x 的最大值相同，最小值相同，单调递增区间相同，求()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】19.()π7ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z20.1,224⎡--⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用两角和正、余弦公式化简函数，然后代入正弦函数单调递减区间求解即可；（2）先根据函数性质求得()1πcos 2264g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后根据π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，确定ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合余弦函数的性质求解即可.【小问1详解】()2π111πsin cos sin cos sin 22sin 232423f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+==+-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，k ∈Z ，解得π7πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为()π7ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】ππππsin 2cos 2cos 23236x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意知()1πcos 2264g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos 262x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以1πcos 2264x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,224⎡∈--⎢⎣⎦，故π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()g x的值域为1,224⎡--⎢⎣⎦.20.已知2()1x b f x a b =+-（0a >且1a ≠）是R 上的奇函数，且()325f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()22(2)0f mx x f mx -++≥对x R ∈恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）2()121x f x =-+（2）{|66m m -≤≤+【解析】【分析】(1)根据奇函数性质()0=0f ，再根据()325f =，列方程即可求出答案.(2)首先判断()f x 的单调性，根据复合函数内外函数与单调性关系列出不等式计算.【小问1详解】∵()f x 是R 上的奇函数，∴()0=0f ．由21+=01231+=5bbb a b --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可得1b =-，24a =，∵0a >，∴1b =-，=2a ．经检验，此时221()12121x x xf x -=-=++为奇函数，满足题意．∴2()121xf x =-+【小问2详解】∵2()121x f x =-+，∴()f x 在R 上单调递增，又()f x 为R 上的奇函数．∴由()22(2)0f mx x f mx -++≥，得()22(2)(2)f mx x f mx f mx -≥-+=--，∴222mx x mx -≥--，即2(2)20mx x m +-+≥恒成立，当0m =时，不等式220x -+≥不可能对R x ∈恒成立，故0m =不合题意；当0m ≠时，要满足题意，需2>0Δ=()80m m x m --≤⎧⎨⎩，解得66m -≤≤+．∴实数m的取值范围为{|66m m -≤≤+．21.甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪.（1）甲小组得出该种蓅菜在1-8月份的价格P （元/kg ）与月份t 近似满足关系4843P t =--，月交易是Q （单位：吨）与月份t 近似满足关系3009000Q t =-+，求月交易额y （万元）与月份t 的函数关系式.并估计1-8月份中第几个月的月交易额最大；（2）乙小组通过追踪得到该种疏菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模拟价格()f x （单位：元/kg ）与月价x 之间的函数关系：①()xf x ka =（0a >，且1a ≠）；②()2f x x bx c =++；③()πcos4f x A x B =+.①为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数并说明理由；②若()48f =，()84f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数的定义域是[]1,11，其中1x =表示1月份，2x =表示2月份，…，以此类推），并估计价格在5元/kg 以下的月份有几个.【答案】（1）2240160012000,484011202400,14t t t y t t t ⎧-+≤≤=⎨-++≤<⎩；4月（2）①应选③，理由见解析；②π()2cos 64f x x =-+，估计有4个月价格在5元/kg 以下【解析】【分析】（1）求出关于y 的解析式即可求解；（2）①根据各函数的性质即可求解；②先求出()f x ，列出不等式求解即可.【小问1详解】由题意得：48431000(3009000)10000t y t --=-+⋅，所以2240160012000,484011202400,14t t t y t t t ⎧-+≤≤=⎨-++≤<⎩，当48t ≤≤时，根据二次函数的性质得4t =时取最大月交易额为6240万元，当14t ≤<时，同理可得3t =时取得最大月交易额为5400万元，所以估计4月的月交易额最大；【小问2详解】①①函数()xf x ka =是单调函数，不符合题意，②二次函数()2f x x bx c =++的的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，③当0A >时，函数()πcos4f x A x B =+在[1,4]上的图象时下降的，在[4,8]上的图象是上升的，在[8,11]上的图象是下降的，满足条件，应选：③；②因为()48f =，()84f =，所以cos π8cos 2π4A B A B +=⎧⎨+=⎩，所以2A =-，6B =，所以π()2cos 64f x x =-+，令πcos 4x t =，所以2[1,2t ∈-，()26f t t =-+，由一次函数图象易知12t >时价格在5元/kg 以下，即1月、6月、7月、8月价格在5元/kg 以下,所以有4个月价格在5元/kg 以下.22.（1）已知(),3,a b ∈+∞，若对任意()1,x ∈+∞，都有2331xa b ab x ≥+--，求a b +的最小值；（2）解关于x 的不等式()()()21log 200xx a a -<>.【答案】（1）6+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）2331x a b ab x ≥+--恒成立，转化为2min331x a b ab x ⎛⎫≥+- ⎪-⎝⎭，利用基本不等式求2min41x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得334a b ab +-≤，结合22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即可得到a b +的最小值；（2）不等式()()()21log 200xx aa -<>可化为()()()211+log 00x x a a -<>，讨论二次项系数2log 0a >，2log 0a =，2log 0a <，再讨论方程()()211+log 0x x a -=的两根1,log 2a -的大小关系，即可得到结论.【详解】（1）因为对任意()1,x ∞∈+，都有2331x a b ab x ≥+--，所以只需要2min 331x a b ab x ⎛⎫≥+- ⎪-⎝⎭，又因为()21122411x x x x =-++≥=--，当且仅当111x x -=-即2x =时等号成立，所以334a b ab +-≤，又因为(),3,a b ∞∈+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()233342a b a b a b ab +⎛⎫+-≤+-≤ ⎪⎝⎭，所以()2342a b a b +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，解得6a b +≥+或6a b +≤-当且仅当3a b ==+a b +的最小值为6+.（2）不等式()()()21log 200xx aa -<>可化为()()()211+log 00x x a a -<>当1a >时，2log 0a >，方程()()211+log 0x x a -=的两根分别为1,log 2a -，且1log 2a >-，不等式的解集为{}log 21a x x -<<；当1a =时，不等式()()211+log 0x x a -<可化为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当112a <<时，2log 0a <，方程()()211+log 0x x a -=的两根分别为1,log 2a -，且1log 2a <-，不等式的解集为{log 2a x x >-或}1x <；当12a =时，不等式()()211+log 0x x a -<可化为()210x ->，不等式的解集为{}1x x ≠；当102a <<时，2log 0a <，方程()()211+log 0x x a -=的两根分别为1,log 2a -，且1log 2a >-，不等式的解集为{log 2a x x <-或}1x >；综上所述，当1a >时，不等式的解集为{}log 21a x x -<<；当1a =时，不等式的解集为{}1x x <；当112a <<时，不等式的解集为{log 2a x x >-或}1x <；当12a=时，不等式的解集为{}1x x≠；。
安徽省多校联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含答案)
安徽省多校联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题2024~2025学年高一第一学期10月联考数学试题考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教版必修第一册第二章结束.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列不正确的是（ ）A B. C. D.2. 已知命题，，则命题p 的否定为（ ）A. ， B. ，C ， D. ，3. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D.4. 已知，，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 满足的集合M 的个数是（ ）A 6B. 7C. 8D. 156. 设，，且，则xy 的最大值是（ ）A.B.C.D. 100...N ⊇∅{}∅=∅1R 2-∈πQ∉:R p x ∃∈29304x x -+≤R x ∃∈29304x x -+>R x ∃∈29304x x -+<R x ∀∈29304x x -+≤R x ∀∈29304x x -+>{}2,1,0,1,2A =--{}12B x x =-≤A B = {}1,2{}0,1,2{}1,0,1-{}1,0,1,2-:10p x -<<:2q <{}0,1,2M ⊆n {}0,1,2,3,4,50x >0y >430x y +=225412544527. 已知集合，若，则，则称为集合“亮点”，若，则集合的所有“亮点”之和为（ ）A. B. C. D. 8. 关于x 的不等式恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（ ）A. 且B. C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为11. 若a ，b 均为正实数，且满足，则（ ）A. 最大值为B. 的最小值为4C.的最小值为4 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.的的M a M ∈11a M a +∈-a M 6Z16M x x ⎧⎫=∈≥⎨⎬-⎩⎭M 3456()2214ax x -<7934a a ⎧-≤<-⎨⎩9743a ⎫<≤⎬⎭7934a a ⎧-≤≤-⎨⎩9743a ⎫≤≤⎬⎭7934a a ⎧-<≤-⎨⎩9743a ⎫≤<⎬⎭7934a a ⎧-<<-⎨⎩9743a ⎫<<⎬⎭{}2,1,0,1,2,3,4U =--{}2Z 6A x x x =∈-<{}2,0,1,3B =-{}1,2-()A B B⋃ð()U A B⋂ð()()U U A B⋂ðð2y ax bx c =++2-30b >0c <24b a c=+20bx c +<{}3x x >-20cx bx a -+>1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭21a b +=ab 1811416a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1aa b+1421a b ++9212. 在中，“”是“为锐角三角形”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）13. 已知，，设，则的取值范围是______.14. 二次函数的最大值记为，最小值记为，其中常数.若实数满足，则______，的最小值为__________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 设集合，.（1）若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围；（2）若，求的取值范围.16. （1）若关于x 的方程的两个根为，，且，求实数m的取值范围；（2）若关于x 的不等式在R 上恒成立，求实数b 的取值范围.17. （1）设，，比较与的大小；（2）求关于的不等式的解集.18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）分别写出与时，年利润y （万元）与年产量x （百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？19. 对于正整数集合，如果对于M 中的任意两个元素x ，y ，都有，则称M 为“好集合”.ABC V 90A B ∠+∠>︒ABC V 23x y -<-<34x y <+<23t x y =-t 24(4814)y x x k x =--+≤≤A a 0k <T {}{}(1)(7)11(9)1k k a A k T a A --<-⊆⋅-<+A a -=T {}43A x x =-≤≤{}312B x m x m =-<<+1m =:p x A ∈:q x B ∈,p q x A B A = m ()210x m x m +-+=1x 2x 12402x x -<<<<()()2212110b x b x ----≤22p m m =-+212q m m =++p 4q x ()22120ax a x +-->*(N )x x ∈()W x 045x <<()23260W x x x =+45x ≥4900()501495020W x x x =+-+045x ≤<45x ≥*12{,,,}(N ,2)n M a a a n n =∈≥ 2x y ->（1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由；（2）若集合，证明：C 不可能是“好集合”；（3）若，D 是S 的子集，且D 是“好集合”，求D 所含元素个数的最大值.{}5,7,9,13A ={}2,5,8,11B ={}{}1212,,,1,2,,18C a a a =⊆ }1,2,3,2{,026S =⋯2024~2025学年高一第一学期10月联考数学试题考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教版必修第一册第二章结束.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】BC 【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】必要不充分【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①.②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）或【16题答案】【答案】（1）；（2）【17题答案】【答案】（1）；（2）答案见解析【18题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元【19题答案】【答案】（1）集合A 不是“好集合”， 集合B 是“好集合”，理由见解析 （2）证明见解析（3）{}|76t t -<<46-23x <<{11m m -≤≤32m ⎫≥⎬⎭203-<<m {}01b b ≤≤4p q ≥676。
2024-2025学年安徽省芜湖市第一中学高一上学期期中考试数学题(含答案)
2024-2025学年安徽省芜湖市第一中学高一上学期期中考试数学题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知x ∈R ，y ∈R ，则“x >1且y >1”是“x +y >2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知集合A ={x |x 2−1≥0}，集合B ={x |x−12≤0}，则(∁R A )∪B =( )A. {x |x ≤12或 x ≥1}B. {x |−1<x ≤12}C. {x |12≤x <1}D. {x∣x <1}3.已知函数y =f (x )的定义域为[−1,4]，则y =f (2x +1) x−1的定义域为( )．A. [−1,4] B. (1,32] C. [1,32] D. (1,9]4.设a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )．A. 1a <1bB. ac 2>bc 2C. |a |>|b |D. a 3>b 35.不等式ax +1x +b >0的解集为{x|x <−1或x >4}，则(x +a )(bx−1)≥0的解集为( )A. [14,1] B. (−∞,14]∪[1,+∞)C. [−1,−14] D. (−∞,−1]∪[−14,+∞)6.已知a >0，b >0，a +b =ab−3，若不等式a +b ≥2m 2−12恒成立，则m 的最大值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 77.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼−闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)的曼哈顿距离d (A,B )=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|，若点M (2,1)，点P 是直线y =x +3上的动点，则d (M,P )的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 58.已知f(x),g(x)是定义域为R 的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax 2+x +2，若对任意的1<x 1<x 2<2，都有g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2>−5成立，则实数a 的取值范围是( )A. [0,+∞) B. [−54,+∞) C. (−54,+∞) D. [−54,0]二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年安徽省区域联考高一上册期末考试数学试卷1(含解析)
2023-2024学年安徽省皖北县高一下册3月联考数学试题一、单选题1．下列说法中不正确的是（）A ．零向量与任一向量平行B ．方向相反的两个非零向量不一定共线C ．单位向量是模为1的向量D ．方向相反的两个非零向量必不相等【正确答案】B【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.【详解】根据规定：零向量与任一向量平行，A 正确；方向相反的两个非零向量一定共线，B 错误；单位向量是模为1的向量，C 正确；根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，D 正确；故选:B.2．下列函数中值域为[)0,∞+的是（）A ．1y x =-B ．y=C ．2sin y x=D ．21y x =+【正确答案】A【分析】根据函数的性质逐项进行分析验证即可求解.【详解】对于A ，函数10y x =-≥，值域为[)0,∞+，故选项A 正确；对于B ，函数0y=<，值域为(,0)-∞，故选项B 错误；对于C ，函数2sin [0,1]y x =∈，值域为[0,1]，故选项C 错误；对于D ，函数211y x =+≥，值域为[)1,+∞，故选项D 错误，故选：A.3．sin 3cos3+的值所在的范围是（）A ．()1,0-B ．(C ．()0,1D ．()1-【正确答案】A【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可得解.【详解】πsin 3cos334⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为3π3π4<<，所以π5ππ344<+<，所以πsin 3024⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，所以sin 3cos3+的值所在的范围是()1,0-.故选：A.4．在ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且3AE EC = ，则ED =（）A ．1124AB AC -+B ．1223AB AC -C ．1124AB AC-D ．1223AB AC-+【正确答案】C【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解.【详解】由E 为AC 边上的点，且3AE EC =，得()111111424224ED EC CD AC CB AC CA AB AB AC =+=+=++=- .故选：C5．将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，则π2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．2C ．2D ．1【正确答案】B【分析】先根据周期变换和平移变换的原则得出函数()g x 的解析式，再将π2x =代入即可.【详解】将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得1πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向右平移π3个单位长度，得1ππ1πcos cos sin 233222x y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()sin2xg x =，所以ππsin 242g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：B.6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin b C c B a +=，6b =，则2sin 2sin a bA B+=+（）A ．4B ．6C ．D ．【正确答案】D【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.【详解】因为cos sin b C c B a +=，由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C C B A +=，则()sin cos sin sin sin πB C C B B C +=--，()sin cos sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos sin B C C B B C B C C B B C B C +=+⇒+=+sin sin cos sin C B B C ∴=，sin 0C ≠ ，sin cos B B ∴=，tan 1B ∴=，B 为ABC 内角，π4B ∴=2sin sin sin 456a b R A B ====︒a A =，b B =，226sin 2sin sin 2sin a b A BA B A B++⨯∴==++故选：D.7．已知函数()22πsin sin 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若函数()f x a +的图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【正确答案】B【分析】根据三角恒等变换公式以及正弦函数的性质即可求解.【详解】()222π1cos 2π1cos 23sin sin 322x x f x x x ⎛⎫-+ ⎪-⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝⎭11cos 221cos 21222cos 21224x xx x x ++-=+=-+所以()1πsin(2)126f x x =-+，所以()1πsin(22)126f x a x a +=+-+图象关于y 轴对称，则有πsin(2)16a -=±即ππ2π,Z 62a k k -=+∈，所以ππ,Z 32k a k =+∈，所以当1k =-时，a 最小等于π6，故选:B.8．已知1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为θ，若()1212e te t +≥∈R，则θ的取值范围为（）A ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦C ．π5π,66⎡⎢⎣⎦D ．π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】将()1212e te t +≥∈R两边平方，则可转化为关于t 的二次不等式恒成立问题，再利用根的判别式即可得解.【详解】()1212e te t +≥∈R，即()21214e te +≥ ，即2112cos 4t t θ++≥，即232cos 04t t θ+⋅+≥对任意的t ∈R 恒成立，则24cos 30θ∆=-≤，解得θ≤≤又因为[]0,πθ∈，所以π5π,66θ⎡⎤∈⎢⎣⎦.故选：C.关键点点睛：解决本题的关键是将已知平方，转化为关于t 的二次不等式恒成立问题.二、多选题9．对于任意的平面向量a ，b ，c，下列说法错误的是（）A ．若a b ≠，则a 与b 不是共线向量B ．()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b cC ．若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠，则b c= D ．()()a b c b c a⋅=⋅【正确答案】ACD【分析】根据共线向量的定义即可判断A ；根据数量积的运算律即可判断B ；举反例即可判断C ；根据数量积的定义即可判断D.【详解】对于A ，当a b =-时，a b ≠ ，但,a b 是共线向量，故A 错误；对于B ，()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ，故B 正确；对于C ，若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠ ，则cos ,cos ,b a b c a c =r r r r r r，不妨取π,,1,,023,b a b c a c ==== ，此时b c ≠ ，故C 错误；对于D ，()a b c ⋅表示的是与c 共线的向量，()b c a ⋅ 表示的是与a 共线的向量，而向量,a c 的方向不确定，所以无法确定()a b c ⋅与()b c a ⋅ 是否相等，故D 错误.故选：ACD.10．已知向量()1,1a m =+-，()1,2b m =- ，则下列说法正确的是（）A ．若//a b，则3m =B ．存在m ∈R ，使得a b⊥C ．a b +=D ．当1m =时，a 在b上的投影向量的坐标为()0,1-【正确答案】CD【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A ；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B ；根据向量的模的坐标计算即可判断C ；根据投影向量的计算公式即可判断D.【详解】对于A ，若//a b，则()2110m m ++-=，解得3m =-，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅= ，即2120m --=，方程无解，所以不存在m ∈R ，使得a b ⊥，故B 错误；对于C ，()2,1a b += ，所以a b +=，故C 正确；对于D ，当1m =时，()2,1a =-，()0,2b = ，则a 在b 上的投影向量的坐标为()()0,220,122a b b b b⋅-⋅=⨯=- ，故D 正确.故选：CD.11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是（）A ．A ．若2220a c b +->，则ABC 为锐角三角形B ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．若2cos c a B =，则ABC 是等腰三角形【正确答案】BD【分析】利用余弦定理即可判断A ；根据ABC 为锐角三角形，可得π2A B +>，且ππ022A B >>->，再结合正弦函数的单调性及诱导公式即可判断B ；根据sin 2sin 2A B =，可得22A B =或22πA B +=，即可判断C ；利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简即可判断D.【详解】对于A ，若2220a c b +->，则222cos 02a c b B ac+-=>，则B 为锐角，不能判定ABC 为锐角三角形，故A 错误；对于B ，若ABC 为锐角三角形，则π2A B +>，且ππ022A B >>->，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对于D ，因为2cos c a B =，所以sin 2sin cos C A B =，即()sin 2sin cos A B A B +=，所以sin cos sin cos =B A A B ，因为(),0,πA B ∈，所以tan tan A B =，所以A B =，所以ABC 是等腰三角形，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=>，若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则（）A ．πtan 63ω⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()2πf x f x +=C ．1ω≥D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上无最值【正确答案】ABC【分析】根据()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得()max π6f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭从而可得112,Z k k ω=+∈，进而可求解.【详解】对A ，()πsin 2sin()3f x x x x ωωω=+=+，因为()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以πππ2sin()2663f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以πππ2π,Z 632k k ω+=+∈，则ππ2π,Z 66k k ω=+∈，所以πππtan tan 2πtan 666k ω⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 正确；对B ，由ππ2π,Z 66k k ω=+∈可得112,Z k k ω=+∈，所以()f x 的最小正周期为2π2π121k ω=+，又因为2π2π(121)(121),Z 121k k T k k =+=+∈+，所以()()2πf x f x +=，B 正确；对C ，112,Z k k ω=+∈且0ω>，所以1ω≥，C 正确；对D ，若13ω=，由π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得ππ5π13,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上既有最大值又有最小值，D 错误，故选:ABC.三、填空题13．若函数()2π2cos 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω=__________．【正确答案】1【分析】利用二倍角的余弦公式和周期公式求解.【详解】因为2ππ2cos cos 2163y x x ωω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为最小正周期为π，所以2ππ2T ω==解得1ω=，故答案为:1.14．已知平面向量()1,2a =- ，()4,b y = ，若a 与a b +的夹角为锐角，则y 的取值范围为__________．【正确答案】()9,88,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】由a 与a b + 的夹角为锐角，可得()0a a b ⋅+> ，且a 与a b +不同向，先由()0a a b ⋅+>，再排除()//a a b + 时y 的值，即可得解.【详解】由题意可得()5,2a b y +=-，因为a与a b +的夹角为锐角，所以()0a a b ⋅+> 且a 与a b +不同向，由()0a a b ⋅+> ，即()5220y -->，解得92y <，当()//a a b + 时，则2100y -+=，解得8y =-，综上y 的取值范围为()9,88,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.故答案为.()9,88,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭15．一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75︒，距离C 在A 的北偏西30︒，距离为A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则cos CDA ∠=__________．【正确答案】12##0.5【分析】在ABD △中，利用正弦定理求出AD ，在ACD 中，先利用余弦定理求出CD ，再利用余弦定理即可得解.【详解】如图，在ABD △中，75,60,BAD ADB AB ∠=︒∠=︒=则180756045B =︒-︒-︒=︒，因为sin sin AB ADADB B=∠，所以24AD ==，在ACD 中，30,123,24CAD AC AD ∠=︒==，则2222cos 144CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠=，所以12CD =，则2221cos 22CD AD AC CDA CD AD +-∠==⋅.故答案为.1216．函数()sin cos sin cos x xf x x x +=-__________．（答案不唯一）【正确答案】3ππ(,44--（答案不唯一）【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正切两角差公式、正切型函数的和符合函数的单调性进行求解即可.【详解】因为πtan tansin cos tan 1π4()tan πsin cos tan 141tan tan 4x x xx f x x x xx x +++⎛⎫=-=-+⎪--⎝⎭-要使函数()sin cos sin cos x xf x x x+=-则有πtan()04x +≤，所以ππππ()24k x k k -+<+≤∈Z ，解得：3ππππ()44k x k k -+<≤-∈Z ，所以函数的定义域为3ππ{|ππ()}44x k x k k -+<≤-∈Z ，πtan tansin cos tan 1π4()tan πsin cos tan 141tan tan 4x x xx f x x x xx x +++⎛⎫=-=-+⎪--⎝⎭-，令πππππ()242k x k k -+<+<+∈Z ，则3ππππ()44k x k k -+<<+∈Z ，因为函数的定义域为3ππ{|ππ()}44x k x k k -+<≤-∈Z ，由复合函数的单调性可知：函数()sin cos sin cos x xf x x x+=-3ππ(,)44--故函数()f x 的一个单调减区间为3ππ(,)44--.故3ππ(,)44--（答案不唯一）.四、解答题17．求tan 204sin 20tan 30+的值．【正确答案】3【分析】利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简求值.【详解】因为sin 204sin 20cos 20sin 202sin 40tan 204sin 20cos 20cos 20+++==()()sin 3010sin 3010sin 40cos 20-+++=sin 30cos10cos30sin10sin 30cos10cos30sin10sin 40cos 20-+++=2sin 30cos10sin 40cos10sin 40sin 80sin 40cos 20cos 20cos 20+++===()()sin 6020sin 6020cos 20++-=sin 60cos 20cos 60sin 20sin 60cos 20cos 60sin 20cos 20++-=2sin 60cos 20cos 20=所以tan 204sin 203tan 303+==.18．已知2= a ，4b =，且a b +=(1)求a 与b的夹角；(2)若()()2a b a kb -⊥+ ，求实数k 的值．【正确答案】(1)2π3(2)12k =【分析】（1）将a b +=（2）根据()()2a b a kb -⊥+ ，可得()()02a b a kb ⋅=-+ ，再结合数量积的运算律即可得解.【详解】（1）由a b += ()212a b += ，即22212a b a b ++⋅= ，由2= a ，4b = 可得41616cos ,12a b ++= ，所以1cos ,2a b =- ，又0,πa b ≤≤ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3；（2）因为()()2a b a kb -⊥+ ，所以()()02a b a kb ⋅=-+ ，即()222210a kb k a b -+-⋅= ，即()8164210k k ---=，解得12k =.19．如图，在平面四边形ABCD 中，若6AB =，10BC =，12CD =，AD =()2cos cos cos 0AC BAC BC B B AB ∠++=．(1)求B ；(2)求证：ACB ACD ∠=∠．【正确答案】(1)2π3B =(2)证明见解析【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；（2）在ABC 中，先利用正弦定理求出AC ，再在ABC 和ACD 中，利用余弦定理证明cos cos ACB ACD ∠=∠，即可得证.【详解】（1）在ABC 中，因为()2cos cos cos 0AC BAC BC B B AB ∠++=，所以()2sin cos sin cos cos sin 0B BAC BAC B B ACB ∠+∠+∠=，即()2sin cos sin 0B BAC B ACB +∠+∠=，所以2sin cos sin 0ACB B ACB ∠+∠=，又sin 0ACB ∠≠，所以1cos 2B =-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =；（2）在ABC 中，2π,6,103B AB BC ===，则2222cos 3610060196AC AB BC AB BC B =+-⋅=++=，所以14AC =，则2221961003613cos 22141014AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，在ACD 中，12CD =，AD =14AC =，则2221961442813cos 22141214AC CD AD ACD AC CD +-+-∠===⋅⨯⨯，因为(),0,πACB ACD ∠∠∈且cos cos ACB ACD ∠=∠，所以ACB ACD ∠=∠.20．已知点G 在ABC 内部，且0GA GB GC ++= ．(1)求证：G 为ABC 的重心；(2)过G 作直线与AB ，AC 两条边分别交于点M ，N ，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r ，0,0x y >>，求x y +的最小值．【正确答案】(1)证明见解析(2)43【分析】（1）分别取,,AB BC AC 的中点,,D E F ，连接,,GD GE GF ，证明,,A G E 三点共线，可得AE 为BC 边上的中线，同理可证得CD 是AB 边上的中线，BF 是AC 边上的中线，即可得证.（2）根据已知得出()13AG AB AC =+ ，结合AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r ，根据M 、N 、G 三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，可得,x y 的关系，再结合基本不等式即可得解.【详解】（1）分别取,,AB BC AC 的中点,,D E F ，连接,,GD GE GF ，因为0GA GB GC ++= ，所以GB GC GA +=- ，即2GE GA =- ，所以//GE GA ，又G 点为两向量的公共端点，所以,,A G E 三点共线，所以AE 为BC 边上的中线，同理可得CD 是AB 边上的中线，BF 是AC 边上的中线，又,,AE CD BF 交于点G ，所以G 为ABC的重心；（2） 点G 为ABC 的重心，()2133AG AE AB AC ==+ ，MG AG AM ∴=- ()13AB AC x AB =+- 1133x AB AC ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，GN AN AG =- ()13y AC AB AC =-+ 1133AB y AC ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ，MG 与GN 共线，∴存在实数λ，使得MG GN λ= ，则11113333x AB AC AB y AC λ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，根据向量相等的定义可得11331133x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，消去λ可得30x y xy +-=，两边同除xy ，整理得113x y+=，所以()111114223333y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当y x x y =，即23x y ==时，取等号，所以x y +的最小值为43.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6c =．(1)若1cos 3A =-，D 为AC边的中点，BD =a ；(2)若2sin 6sin b C B =，求ABC 面积的最大值．【正确答案】(1)a =(2)9【分析】（1）在ABD △和BCD △中，利用余弦定理结合πADB CDB ∠+∠=，可得,a b 的关系式，在ABC 中，利用余弦定理可得,a b 的关系式，即可得解；（2）根据2sin 6sin b C B =，6c =，结合正弦定理化角为边，即可求得角C ，再利用余弦定理即可基本不等式即可得解.【详解】（1）在ABD △中，2222124cos 2b BD AD AB ADB BD AD ++-∠=⋅在BCD △中，22222484cos 2b a BD CD BC CDB BD CD +-+-∠=⋅因为πADB CDB ∠+∠=，所以cos cos 0ADB CDB ∠+∠=，2221248440b b a ++-，化简得22602b a =+，在ABC 中，由2222cos a b c bc A =+-，得22364a b b =++，所以22603642b b b +=++，解得4b =或12-（舍去），所以2260682b a =+=，所以a =（2）因为2sin 6sin b C B =，6c =，所以sin bc C bc =，所以sin 1C =，又()0,πC ∈，所以π2C =，则2222c a b ab =+≥，所以18ab ≤，当且仅当a b ==时，取等号，所以192ABC S ab =£，即ABC 面积的最大值9．22．已知函数()cos 1cos 22cos f x x x =--．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程()()()sin 2sin cos 2f x x x a a ++=∈R 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数根12,x x ，求证：123π2x x +<．【正确答案】(1)2()222,(11)f x x x x =--+-≤≤(2)证明过程见详解【分析】（1）令cos [1,1]x t =∈-，利用二倍角的余弦公式将函数式化简，然后换元即可求解；（2）结合（1）结论和题意可得12cos cos 1x x +=-且12π,(,π)2x x ∈，12x x ≠，利用两角和与差的余弦公式，以及余弦函数的单调性即可证明.【详解】（1）令cos [1,1]x t =∈-，因为()2cos 1cos 22cos 2cos 2cos 2f x x x x x =--=--+，则2()222f t t t =--+，所以函数()f x 的解析式为2()222,(11)f x x x x =--+-≤≤.（2）结合(1)可知：()()22sin 2sin cos 2sin 2sin 22sin 2cos 2cos 2cos 2f x x x x x x x x x a ++=--+++=+=则2cos cos x x a +=，由题意可知：方程2cos cos x x a +=在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数根12,x x ，所以221122cos cos cos cos x x a x x +==+，则221212cos cos cos cos 0x x x x -+-=，即1212(cos cos 1)(cos cos )0x x x x ++-=，因为12π,(,π)2x x ∈，且12x x ≠，所以12cos cos 1x x +=-，则12121212121cos cos cos()cos(2222x x x x x x x x x x +-+--=+=++-1212121212121212cos cos sin sin cos cos sin sin 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+-+-=-++12122coscos 22x x x x +-=，因为12π,(,π)2x x ∈，所以12ππ(,)22x x -∈-，则12ππ424x x --<<且1202x x -≠，所以121cos22x x ->>，因为12π,(,π)2x x ∈，所以12π(,π)22x x +∈，则12cos 02x x +<，则1212122coscos 222x x x x x x +-+<，所以1212x x +-<则12cos 2x x +>123π24x x +<，所以123π2x x +<.。
2023-2024学年安徽省A10联盟高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省A10联盟高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＞0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{﹣2}C ．{﹣2，﹣1}D ．{0，1，2}2．“α＝2k π+π6，k ∈Z ”是“sin α=12”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．计算log 54﹣2log 510＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣54．已知正数x ，y 满足8x +1y=1，则x +2y 的最小值为（ ）A ．18B ．16C ．6√2D ．6√2−15．计算sin50°cos10°+sin40°sin10°＝（ ） A ．−√32B ．√32C ．−12D ．126．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝﹣3x 上，则tan （2θ+π4）＝（ ） A ．−17B ．17C ．7D ．﹣77．将函数f （x ）＝cos （2x +π3）向右平移2π3个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）＝﹣cos x B ．g （x ）＝cos xC ．g （x ）＝cos （x −π3）D ．g （x ）＝cos （4x −π3）8．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x 2+bx +c ．f （3）﹣f （2）＝6，则f （752）＝（ ） A ．94B ．32C ．−74D ．−52二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0涂在答题卡上）9．已知a ，b 为实数，且a ＜b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．sin a ＜sin bB ．(12)a ＞(12)bC．a3＜b3D．ln（a2+1）＜ln（b2+1）10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数f(x)=e x−1e x+1，令函数g（x）＝[f（x）]，则g（x）的值域为（）A．（﹣1，1）B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}11．已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．ab≤4B．2a+2b≥8C．a2+b2≥8D．log2a+log2b≥212．已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=−7π12对称，则（）A．f(0)=√32B．函数y＝f（x）的图象关于点(2π3，0)对称C．函数f（x）在区间(19π24，π)上单调递增D．函数f（x）在区间[π12，5π6]上的值域为[−1，√32]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.13．命题“∀x∈R，ln（x2+1）＞0”的否定是．14．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（−52）＝．15．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（﹣2）＝0，若f（log2m）＞0，则实数m的取值范围是．16．已知函数f（x）＝2sin（2x+π3）−√3，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝f（x）在区间[a，b]上至少含有20个零点．在所有满足此条件的区间[a，b]中，b﹣a的最小值为．三、解答题，本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝x2+（k+2）x+k+2，设集合A＝{x|1＜2x＜2}，集合B＝{x|f（x）＜0}．（1）若B＝∅，求实数k的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数k的取值范围．18．（12分）已知函数g（x）＝2sin（ωx−π6）周期为π，其中ω＞0．（1）求函数g（x）的单调递增区间；（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数g（x）在[0，π]上的简图．19．（12分）已知函数f （x ）=2a4x+1−1是奇函数． （1）求实数a 的值并判断函数单调性（无需证明）；（2）若不等式f （4x +1）+f （t ﹣2•2x +5）＜0在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．20．（12分）中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本C （x ）（万元），当年产量不足70台时，C （x ）=12x 2+60x （万元）；当年产量不小于70台时，C （x ）＝121x +8100x−2180（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． （1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时．该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？21．（12分）已知函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）﹣2cos 2（ωx+φ2）+1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2．（1）求h （x ）＝f （x ）+sin x ﹣cos x 的最小值．（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图象，记方程g(x)=23在x ∈[0，4π3]上的根从小到依次为x 1，x 2，x 3，…x n ﹣1，x n ，试确定n 的值，并求x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n 的值．22．（12分）对于函数f （x ）（x ∈D ），D 为函数定义域，若存在正常数T ，使得对任意的x ∈f （x +T ）≤f （x ）成立，我们称函数f （x ）为“T 同比不增函数”．（1）若函数f （x ）＝kx +sin x 是“π2同比不增函数”，求k 的取值范围；（2）是否存在正常数T ，使得函数f （x ）＝﹣x ﹣|x ﹣1|+|x +1|为“T 同比不增函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年安徽省A10联盟高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＞0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{﹣2}C ．{﹣2，﹣1}D ．{0，1，2}解：因为集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＞0}＝{x |x ＞3或x ＜﹣1}， 则M ∩N ＝{﹣2}． 故选：B ．2．“α＝2k π+π6，k ∈Z ”是“sin α=12”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当α＝2k π+π6，k ∈Z 时，一定可推出sin α=12，但是当sin α=12时，不一定可推出α＝2k π+π6（k ∈Z ），例如α=5π6+2k π（k ∈Z ），所以“α＝2k π+π6，k ∈Z ”是“sin α=12”的充分不必要条件．故选：A ．3．计算log 54﹣2log 510＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣5解：log 54﹣2log 510＝log 54﹣log 5100＝log 5125=−2．故选：C ．4．已知正数x ，y 满足8x +1y=1，则x +2y 的最小值为（ ）A ．18B ．16C ．6√2D ．6√2−1解：∵8x +1y =1，∴x +2y ＝（x +2y ）•（8x +1y）＝10+x y +16yx ≥10+8＝18，当且仅当x y=16y x即x ＝4y ＝12时等号成立，∴x +2y 的最小值为8． 故选：A ．5．计算sin50°cos10°+sin40°sin10°＝（ ） A ．−√32B ．√32C ．−12D ．12解：sin50°cos10°+sin40°sin10°＝sin50°cos10°+cos50°sin10°＝sin （50°+10°）＝sin60°=√32．故选：B ．6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝﹣3x 上，则tan （2θ+π4）＝（ ） A ．−17B ．17C ．7D ．﹣7解：由题意，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝﹣3x 上，可知tan θ＝﹣3，tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=2×(−3)1−(−3)2=34，则tan （2θ+π4）=tan2θ+11−tan2θ=34+11−34=7．故选：C ．7．将函数f （x ）＝cos （2x +π3）向右平移2π3个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）＝﹣cos x B ．g （x ）＝cos xC ．g （x ）＝cos （x −π3）D ．g （x ）＝cos （4x −π3）解：将函数f （x ）＝cos （2x +π3）向右平移2π3个单位，可得y ＝cos （2x ﹣π）＝﹣cos2x 的图象；再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数y ＝g （x ）＝﹣cos x 的图象． 故选：A ．8．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x 2+bx +c ．f （3）﹣f （2）＝6，则f （752）＝（ ） A ．94B ．32C ．−74D ．−52解：根据题意，f （x +1）为奇函数，则函数f （x ）关于点（1，0），必有f （1）＝0，且f （﹣x ）＝﹣f （x +2）， 又由f （x +2）偶函数，则函数f （x ）关于直线x ＝2对称，必有f （﹣x ）＝f （4+x ）， 综合可得：f （x +4）＝﹣f （x +2），变形可得f （x +2）＝﹣f （x ）， 则有f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），f （x ）是周期为4的周期函数；函数f （x ）关于直线x ＝2对称，则f （3）＝f （1）＝2+b +c ＝0，变形可得b +c ＝﹣2①， 同时f （2）＝﹣f （0）＝﹣c ，若f （3）﹣f （2）＝6，即0+f （0）＝c ＝6，则b ＝﹣8， 故当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x 2﹣8x +6，f （752）＝f （36+32）＝f （32）＝﹣f （12）＝﹣（2×14−4+6）=−52．故选：D ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0涂在答题卡上）9．已知a ，b 为实数，且a ＜b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．sin a ＜sin b B ．(12)a ＞(12)bC ．a 3＜b 3D ．ln （a 2+1）＜ln （b 2+1）解：当a ＝0，b ＝2π时，A 显然错误；因为y ＝（12）x 在R 上单调递减，当a ＜b 时，（12）a ＞（12）b ，B 正确；因为y ＝x 3在R 上单调递增，由a ＜b 可得，a 3＜b 3，C 正确； 当a ＝﹣1，b ＝1时，D 显然错误． 故选：BC ．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为y ＝[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数f(x)=e x −1e x +1，令函数g （x ）＝[f （x ）]，则g （x ）的值域为（ ）A ．（﹣1，1）B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}解：因为e x +1＞1，所以0＜21+e x＜2， f(x)=e x −1e x +1=1−21+e x∈（﹣1，1），则g （x ）＝[f （x ）]的值域{0，﹣1}． 故选：C ．11．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝4，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ≤4 B ．2a +2b ≥8C ．a 2+b 2≥8D ．log 2a +log 2b ≥2解：因为a ＞0，b ＞0，且a +b ＝4， 所以ab ≤(a+b 2)2=4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，A 正确； 2a +2b ≥2√2a ⋅2b =2√2a+b =8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确； 因为a 2+b 2≥2×(a+b 2)2=8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，C 正确； log 2a +log 2b ＝log 2ab ≤log 24＝2，D 错误． 故选：ABC ．12．已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=−7π12对称，则（）A．f(0)=√32B．函数y＝f（x）的图象关于点(2π3，0)对称C．函数f（x）在区间(19π24，π)上单调递增D．函数f（x）在区间[π12，5π6]上的值域为[−1，√32]解：因为f（x）的图象关于直线x=−7π12对称，所以φ−7π6=kπ，即φ=7π6+kπ，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以φ=π6，即f(x)=cos(2x+π6)，f(0)=cosπ6=√32，故A正确；f(2π3)=cos3π2=0，所以函数y＝f（x）的面象关于点(2π3，0)对称，故B正确；令t=2x+π6，由x∈(19π24，π)，可得t∈(21π12，13π6)，因为21π12＜2π＜13π6，所以函数f（x）在区间(19π24，π)上不是单调函数，故C不正确；令t=2x+π6，由x∈[π12，5π6]，可得t∈[π3，11π6]，所以cost∈[−1，√32]，所以f(x)∈[−1，√32]，故D正确．故选：ABD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.13．命题“∀x∈R，ln（x2+1）＞0”的否定是∃x0∈R，ln（x02+1）≤0．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，ln（x2+1）＞0”的否定是：∃x0∈R，ln（x02+1）≤0．故答案为：∃x0∈R，ln（x02+1）≤0．14．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（−52）＝﹣2．解：根据题意，函数f（x）是周期为2的周期函数，则f（−52）＝f（−12），又由函数f（x）为奇函数，则f（−12）＝﹣f（12），又由当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（12）=412=2，则有f（−52）＝f（−12）＝﹣f（12）＝﹣2，故答案为：﹣2．15．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （﹣2）＝0，若f （log 2m ）＞0，则实数m 的取值范围是 （14，4） ． 解：根据题意，f （x ）为偶函数，则f （log 2m ）＝f （|log 2m |），f （﹣2）＝f （2）＝0， 又由函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，若f （log 2m ）＞0，则有f （|log 2m |）＞f （2），则有|log 2m |＜2， 解可得：14＜m ＜4，即m 的取值范围为（14，4）．故答案为：（14，4）．16．已知函数f （x ）＝2sin （2x +π3）−√3，区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）满足：y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上至少含有20个零点．在所有满足此条件的区间[a ，b ]中，b ﹣a 的最小值为55π6．解：f(x)=0⇒sin(2x +π3)=√32⇒x =k π或x =kπ+π6，k ∈Z ，即f （x ）的零点相离间隔依次为π6和5π6，故若y ＝f （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点， 则b ﹣a 的最小值为10×π6+9×5π6=55π6． 故答案为：55π6．三、解答题，本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f （x ）＝x 2+（k +2）x +k +2，设集合A ＝{x |1＜2x ＜2}，集合B ＝{x |f （x ）＜0}． （1）若B ＝∅，求实数k 的取值范围；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数k 的取值范围． 解：（1）若B ＝∅，则f （x ）＝x 2+（k +2）x +k +2≥0恒成立， 所以（k +2）2﹣4（k +2）≤0，解得，﹣2≤k ≤2， 故k 的取值范围为[﹣2，2]；（2）A ＝{x |1＜2x ＜2}＝{x |0＜x ＜1}，B ＝{x |x 2+（k +2）x +k +2＜0}， 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， 则（0，1）⊆{x |x 2+（k +2）x +k +2＜0}， 则{k +2≤01+k +2+k +2≤0，解得k ≤−52，故k 的取值范围为{k |k ≤−52}．18．（12分）已知函数g （x ）＝2sin （ωx −π6）周期为π，其中ω＞0．（1）求函数g （x ）的单调递增区间；（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数g （x ）在[0，π]上的简图．解：（1）∵函数g （x ）＝2sin （ωx −π6）周期为π，其中ω＞0，∴2πω=π，解得ω＝2，∴g （x ）＝2sin （2x −π6），令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 解得kπ−π6≤x ≤k π+π3，k ∈Z ， ∴函数g （x ）的单调递增区间为[k π−π6，k π+π3]，k ∈Z ．（2）列表：描点，连线，作出函数g （x ）在[0，π]上的简图：19．（12分）已知函数f（x）=2a4x+1−1是奇函数．（1）求实数a的值并判断函数单调性（无需证明）；（2）若不等式f（4x+1）+f（t﹣2•2x+5）＜0在R上恒成立，求实数t的取值范围．解：（1）因为函数y＝f（x）的定义域为R，所以f（0）=2a2−1＝a﹣1＝0，所以a＝1，当a＝1时，f（x）=24x+1−1=1−4x4x+1，f（﹣x）=24−x+1−1=2×4x4x+1−1=4x−14x+1=−1−4x4x+1=−f（x），所以f（x）为奇函数，所以a＝1；因为f（x）=24x+1−1，y＝4x，y＝4x+1为单调增函数，所以y=24x+1为单调递减函数，所以f（x）=24x+1−1为单调递减函数；（2）由（1）可知，函数是R上的单调递减的奇函数，所以f（4x+1）+f（t﹣2•2x+5）＜0⇔f（4x+1）＜﹣f（t﹣2•2x+5）＝f（﹣t+2•2x﹣5），所以4x+1＞﹣t+2•2x﹣5在R上恒成立，即4x﹣2•2x+t+6＞0在R上恒成立，令m＝2x＞0，则有m2﹣2m+t+6＞0，即t＞﹣m2+2m﹣6在m∈（0，+∞）上恒成立，令g（m）＝﹣m2+2m﹣6，由g（m）的开口向下，对称轴为m＝1，所以g（m）max＝g（1）＝﹣5，所以t的取值范围为（﹣5，+∞）．20．（12分）中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本C（x）（万元），当年产量不足70台时，C（x）=12x2+60x（万元）；当年产量不小于70台时，C（x）＝121x+8100x−2180（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时．该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？解：（1）由题意可得：y＝120x﹣c（x）﹣500，x∈N，第11页（共13页）当0≤x ＜70时，y =120x −(12x 2+60x)−500=−12x 2+60x ﹣500， 当x ≥70时，y =120x −(121x +8100x −2180)−500=1680−(x +8100x)， 综上所述：y ={−12x 2+60x −500，0＜x ＜701680−(x +8100x)，x ≥70，x ∈N ， （2）当0≤x ＜70时，y =−12x 2+60x −500=−12(x −60)2+1300， 所以当x ＝60时，y 取得最大值1300（万元），当x ≥70时，则y =1680−(x +8100x )≤1680−2√x ⋅8100x ，当且仅当x =8100x，即x ＝90时，y 取到最大值为1500（万元），综上所述：当产量为90台时，该企业在这一电 子设备中所获利润最大，最大值为1500万元．21．（12分）已知函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）﹣2cos 2（ωx+φ2）+1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2． （1）求h （x ）＝f （x ）+sin x ﹣cos x 的最小值．（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图象，记方程g(x)=23在x ∈[0，4π3]上的根从小到依次为x 1，x 2，x 3，…x n ﹣1，x n ，试确定n 的值，并求x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n 的值．解：（1）由题意，函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）﹣2cos 2（ωx+φ2）+1=√3sin （ωx +φ）﹣cos （ωx +φ）＝2sin （ωx +φ−π6）， 因为f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T =2πω=π，可得ω＝2， 又由函数f （x ）为奇函数，可得f （0）＝2sin （φ−π6）＝0，所以φ−π6=k π，k ∈Z ， 因为0＜φ＜π，所以φ=π6，所以函数f （x ）＝2sin2x ， 所以h （x ）＝f （x ）+sin x ﹣cos x ＝2sin2x +sin x ﹣cos x ，令t ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4），t ∈[−√2，√2]， 则t 2＝1﹣sin2x ，y ＝﹣2t 2+t +2，t ∈[−√2，√2]，其对称轴为t =14，在t ∈[−√2，14]单调递增，在t ∈[14，√2]单调递减， 且−2×(√2)2+√2+2＞−2×(−√2)2−√2+2，第12页（共13页）所以当t =−√2时，y ＝﹣2t 2+t +2有最小值−√2−2，即h （x ）的最小值为−√2−2．（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2sin[2（x −π6）]＝2sin （2x −π3）， 再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝2sin （4x −π3）的图象， 由方程g(x)=23，即2sin （4x −π3）=23，即sin （4x −π3）=13， 因为x ∈[0，4π3]，所以4x −π3∈[−π3，5π]， 设t ＝4x −π3，其中t ∈[−π3，5π]，即y ＝sin t ， 结合正弦函数y ＝sin t 在t ∈[−π3，5π]的图象如图所示，由图可知，y ＝sin t 与y =13共有6个交点， 得方程g(x)=23在x ∈[0，4π3]上有6个解，即n ＝6， 其中t 1+t 2＝π，t 2+t 3＝3π，t 3+t 4＝5π，t 4+t 5＝7π，t 5+t 6＝9π，即t 1+2t 2+2t 3+2t 4+2t 5+t 6＝（t 1+t 2）+（t 2+t 3）+（t 3+t 4）+（t 4+t 5）+（t 5+t 6）＝25π，所以（4x 1−π3）+2（4x 2−π3）+2（4x 3−π3）+2（4x 4−π3）+2（4x 5−π3）+（4x 6−π3）＝25π， 所以4x 1+8x 2+8x 3+8x 4+8x 5+4x 6=85π3， 故x 1+2x 2+2x 3+2x 4+2x 5+x 6=85π12． 22．（12分）对于函数f （x ）（x ∈D ），D 为函数定义域，若存在正常数T ，使得对任意的x ∈f （x +T ）≤f （x ）成立，我们称函数f （x ）为“T 同比不增函数”．（1）若函数f （x ）＝kx +sin x 是“π2同比不增函数”，求k 的取值范围； （2）是否存在正常数T ，使得函数f （x ）＝﹣x ﹣|x ﹣1|+|x +1|为“T 同比不增函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，若函数f （x ）＝kx +sin x 是“π2同比不增函数”， 则f （x +π2）≤f （x ）恒成立，则有k （x +π2）+sin （x +π2）≤kx +sin x ， 变形可得：k ×π2≤sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4），第13页（共13页） 又由sin （x −π4）≤1，则有k ×π2≤−√2恒成立，变形可得k ≤−2√2π， 即k 的取值范围为（﹣∞，−2√2π]； （2）存在正常数T ，使得函数f （x ）＝﹣x ﹣|x ﹣1|+|x +1|为“T 同比不增函数”，证明：f （x ）＝﹣x ﹣|x ﹣1|+|x +1|={−x −2，x ≤−1x ，−1＜x ＜1−x +2，x ≥1，其图象如图：f （x +T ）的图象是由f （x ）的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当T ≥4时，对任意的x ∈D ，都有f （x +T ）≤f （x ）成立，即存在正常数T ，使得函数f （x ）＝﹣x ﹣|x ﹣1|+|x +1|为“T 同比不增函数”．。
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安徽省高一上学期数学段考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2019 高一上·浙江期中) 已知集合
，则
（）
A . {3}
B.
C.
D.
2. （2 分） 三个数 70.2 ， 0.27 ， ln0.2 从大到小的顺序是（ ）
A.
，
， ln0.2
B.
， ln0.2，
C . ， ln0.2，
D . ln0.2， ,
3. （2 分） (2019 高三上·平遥月考) 设
，
A.
B.
C.
D.
4. （2 分） (2019 高一上·淄博期中) 若集合 合为（ ）
，
，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
，
，则图中阴影部分表示的集
第 1 页 共 17 页
A.
B.
C.
D.
或
5. （2 分） 函数 f(x)=ex- 的零点所在的区间是 （ ）
A . （0， ）
B . （ ， 1）
C . （1， ）
D . （ ， 2）
6. （2 分） (2019·汉中模拟) 函数
的部分图象大致为（ ）
A. B.
第 2 页 共 17 页
C.
D.
7. （2 分） (2020 高二下·吉林月考) 已知函数 A.1
，则
的值为（ ）
B.2
C.3
D . –3
8. （2 分） (2020 高三上·北京月考) 在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位
mol/L，记作
）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作
）的乘积等于常数
．已知
pH 值的定义为 以为（参考数据：
，健康人体血液的 pH 值保持在 7．35～7．45 之间，那么健康人体血液中的
可
，
）（ ）
A. B.
C. D. 9. （2 分） (2020 高一上·柳州期末) 函数
的零点所在的区间为（ ）
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A.
B.
C.
D. 10. （2 分） (2016 高一上·铜仁期中) 函数 f（x）=3 的值域为（ ） A . [0，+∞） B . （﹣∞，0] C . [1，+∞） D . （﹣∞，+∞）
11. （2 分） (2019 高一上·深圳期中) 已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A.
是偶函数，递增区间是
B.
是偶函数，递减区间是
C.
是奇函数，递减区间是
D.
是奇函数，递增区间是
12. （2 分） (2019 高二下·玉林期末) 已知定函数 A.
B. C. D.
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，则
（）
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2019 高三上·盐城月考) 若幂函数 ________．
的图象经过点
，则其单调递减区间为
14. （1 分） (2017 高二下·中原期末) 已知函数 f（x）是 R 上的偶函数，g（x）是 R 上的奇函数，且 g（x） =f（x﹣1），若 f（﹣2）=2，则 f（2018）=________．
15. （1 分） (2020 高一上·宁波期末) 已知
,定义运算“ ”:
,
,则
________;
的值域为________.
,设函数
16. （1 分） (2019 高一上·成都月考) 已知函数 成立，则实数 的取值范围为________．
三、 解答题 (共 6 题；共 75 分)
17. （10 分） (2020 高一上·上海期中)
（1） 已知 （2） 已知
，且
，求实数 的值；
，
，试用 、 表示
，
18. （10 分） (2019 高三上·扬州月考) 已知集合
（1） 若
，求集合
；
（2） 若
，求实数 的取值范围.
19. （10 分） (2020 高一上·天水月考) 已知定义域为 都有
（1） 求证:
是奇函数；
（2） 设
，且当
时，
，求不等式
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，若存在唯一的整数 ，使得
. .
的函数
满足对任意 ，
的解集.
20. （15 分） 要建造一个容积为 1 600 立方米，深为 4 米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米 200 元，池底的造价为每平方米 100 元．
（1） 把总造价 y 元表示为池底的一边长 x 米的函数；
（2） 由于场地原因，蓄水池的一边长不能超过 20 米，问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价 最低是多少？
21. （15 分） (2016 高一上·临川期中) 已知函数 （1） 求 a 的值；
是偶函数，g（x）=t•2x+4，
（2） 当 t=﹣2 时，求 f（x）＜g（x）的解集；
（3） 若函数 f（x）的图象总在 g（x）的图象上方，求实数 t 的取值范围．
22. （15 分） (2016 高一上·景德镇期中) 已知函数 f（x）=4x+a•2x+3，a∈R．
（1） 当 a=﹣4 时，且 x∈[0，2]，求函数 f（x）的值域；
（2） 若关于 x 的方程 f（x）=0 在（0，+∞）上有两个不同实根，求实数 a 的取值范围．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
答案：1-1、 考点：
参考答案
解析： 答案：2-1、 考点：
解析： 答案：3-1、 考点：
解析： 答案：4-1、 考点：
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解析： 答案：5-1、 考点： 解析：
答案：6-1、 考点：
解析： 答案：7-1、 考点：
解析：
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答案：8-1、 考点： 解析：
答案：9-1、 考点：
解析： 答案：10-1、 考点：
解析： 答案：11-1、
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考点： 解析：
答案：12-1、 考点： 解析：
第 10 页 共 17 页
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共75分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、
答案：21-3、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。