考点跟踪训练47方程与函数相结合型综合问题
2014中考数学 专题 方程与函数相结合型综合问题题型专讲专练(12、13真题为例) (无答案)
方程与函数相结合型综合问题一、选择题（每小题6分，共30分） 1.（2013·某某）已知二次函数y=a 2x ＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A.ac ＞0B.当x ＞1时，y 随x 的增大而减小C.b －2a=0D.x=3是关于x 的方程a 2x ＋bx ＋c=0（a ≠0）的一个根2x ＋bx ＋c ＝0（a>0）的两个实数根1x 、2x 满足1x ＋2x ＝4和1x ·2x ＝3，那么二次函数y ＝a 2x ＋bx ＋c （a>0）的图象有可能是（ ）3.（2013·某某）若二次函数y=a 2x ＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），且1x ＜2x ，图象上有一点M （0x ，0y ）在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）A.a ＞0 B.2b －4ac ≥0 C.1x ＜0x ＜2x D.a （0x －1x ）（0x －2x ）＜04.（2013·某某）目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，占15岁以上总人口数的10%－15%，预防高血压不容忽视.“千帕kpa ”和“毫米汞柱mmHg ”都是表示血压的单位，前者是法定的国际计量单位，而后者则是过去一直广泛使用的惯用单位.请你根据下表所提供的信息，判断下列各组换算正确的是（ ）千帕kpa 10 12 16 … 毫米汞柱mmHg 75 90 120 …A.13kpa=100mmHgB.21kpa=150mmHgC.8kpa=60mmHgD.22kpa=160mmHg5.（2012·某某）二次函数y ＝a 2x ＋bx ＋1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（－1，0）.设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化X 围是（ ）A.0＜t ＜1 B.0＜t ＜2 C.1＜t ＜2 D.－1＜t ＜1二、填空题（每小题6分，共30分）6.（2013·某某）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的部分关系.那么，从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完.7.（2013·某某）若抛物线y=2x ＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且过点A （m ，n ），B （m ＋6，n ），则n=.8.（2013·某某）函数y=x 1与y=x －2图象交点的横坐标分别为a ，b ，则a 1＋b1的值为.9.（2013·某某）设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回.设x 秒后两车间的距离为y 米，y 关于x 的函数关系如图所示，则甲车的速度是米/秒.10.（2013·某某）若关于t 的不等式组⎩⎨⎧≤+≥-4120t a t 恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y=41x-a 的图象与反比例函数y=xa 23+的图象的公共点的个数为.三、解答题（共40分）11.（12分）（2012·某某）已知一元二次方程2x ＋px ＋q=0（2p －4q ≥0）的两根为1x 、2x .（1）求证：1x ＋2x =－p ，1x ·2x =q ； （2）已知抛物线y=2x ＋px ＋q 与x 轴交于A ，B 两点，且过点（－1，－1），设线段AB 的长为d ，当p 为何值时，2d 取得最小值，并求出最小值.12.（12分）（2013·某某）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x 销售量y （件） 销售玩具获得利润w （元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元；（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？13.（16分）（2013·荆州）如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕.他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示.（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？。
高中数学课时跟踪检测：函数与方程
高中数学课时跟踪检测：函数与方程一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1,则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0,即231＋1＋a ＝0,解得a ＝－12. 答案：－122．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m 的取值范围是______．解析：设函数f (x )＝x 2＋mx －6,则根据条件有f (2)＜0,即4＋2m －6＜0,解得m ＜1. 答案：(－∞,1)3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2,f (－1)＝1,则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为______．解析：依题意得⎩⎨⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得b ＝－4,c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0, 该方程等价于⎩⎨⎧x ＞0，－2＋x ＝0， ①或⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2,解②得x ＝－1或x ＝－2. 因此,函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：34．(连云港调研)已知函数f (x )＝2－x 2－x ＋b 有一个零点,则实数b 的取值范围为________．解析：由已知,函数f (x )＝2－x 2－x ＋b 有一个零点,即函数y ＝x －b 和y ＝2－x 2的图象有1个交点,如图,其中与半圆相切的直线方程为y ＝x ＋2,过点(0,2)的直线方程为y ＝x ＋2,所以满足条件的b 的取值范围是b ＝－2或－2＜b ≤ 2.答案：{－2}∪(－2,2]5．(苏州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －cos x ,则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．解析：作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示,可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.答案：36．(泰州中学上学期期中)已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时,f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．解析：在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象,如图,结合图象知,共有10个交点．答案：10二保高考,全练题型做到高考达标1．设x 0为函数f (x )＝2x ＋x －2的零点,且x 0∈(m ,n ),其中m ,n 为相邻的整数,则m ＋n ＝________.解析：函数f (x )＝2x ＋x －2为R 上的单调增函数,又f (0)＝1＋0－2＝－1＜0,f (1)＝2＋1－2＝1＞0,所以f (0)·f (1)＜0,故函数f (x )＝2x ＋x －2的零点在区间(0,1)内,故m ＝0,n ＝1,m ＋n ＝1.答案：12．(镇江中学检测)已知函数f (x )＝2x ＋2x －6的零点为x 0,不等式x －4＞x 0的最小的整数解为k ,则k ＝________.解析：函数f (x )＝2x ＋2x －6为R 上的单调增函数,又f (1)＝－2＜0,f (2)＝2＞0,所以函数f (x )＝2x ＋2x －6的零点x 0满足1＜x 0＜2,故满足x 0＜n 的最小的整数n ＝2,即k －4＝2,所以满足不等式x －4＞x 0的最小的整数解k ＝6.答案：63．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内,则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k , 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1,2)内时,f (1)·f (2)＜0, 即(5－k )(10－k )＜0,解得5＜k ＜10. 当f (1)＝0时,k ＝5.综上,k 的取值范围为[5,10)． 答案：[5,10)4．(太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内,则实数m 的取值范围是________．解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知,⎩⎨⎧m ≠2，f －1·f0＜0，f 1·f 2＜0，即⎩⎨⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1＜0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]＜0，解得14＜m ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，125．(无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥1，x ·log 2x ＋1，x ＜1，若方程f (x )－mx ＝0恰好有3个零点,则实数m 的取值范围为________．解析：当x ≥1时,方程f (x )－mx ＝0变为1－mx ＝0,解得x ＝1m;当－1＜x ＜1时,方程f (x )－mx ＝0变为x [log 2(x ＋1)－m ]＝0,解得x ＝0或x ＝2m －1. 因为f (x )－mx ＝0恰好有3个零点,所以1m≥1,且－1＜2m －1＜1,解得0＜m ＜1,故实数m 的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)6．(镇江调研)已知k 为常数,函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同的解,则实数k 的取值范围为________．解析：作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示,若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同解,当直线y ＝kx ＋2与y ＝ln x 的图象相切时,设切点为(m ,n ),可得n ＝ln m ,y ＝ln x 的导数为y ′＝1x (x ＞1),可得k ＝1m,则n ＝km ＋2,解得m ＝e 3,k ＝e －3,则实数k 的取值范围为(0,e －3)．答案：(0,e －3)7．(苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0，若直线y ＝ax 与y ＝f (x )交于三个不同的点A (m ,f (m )),B (n ,f (n )),C (t ,f (t ))(其中m ＜n ＜t ),则n ＋1m＋2的取值范围是________．解析：由已知条件可得⎩⎨⎧2m ＋1＝am ，ln n ＝an ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋1m ＝a ，ln n n ＝a ，所以n ＋1m ＋2＝n ＋ln nn,令g (n )＝n ＋ln nn,当f (x )＝ln x ,x ＞0与y ＝ax 相切时,由f ′(x )＝1x ,得1x＝a ,又ln x ＝ax ,解得x ＝e,所以要满足题意,则1＜n ＜e.由g ′(n )＝1＋1－ln nn 2＞0,所以g (n )＝n ＋ln nn在(1,e)上单调递增,所以g (n )＝n ＋1m ＋2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e .答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e 8．(南京、盐城一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )＝2x ＋m2x ,设g (x )＝⎩⎨⎧f x ，x ＞1，f－x ，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点,则实数t 的取值范围是________．解析：因为f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x ),解得m ＝－1,故g (x )＝⎩⎨⎧2x －2－x ， x ＞1，2－x －2x，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示)．当x ＞1时,g (x )单调递增,此时g (x )＞32;当x ≤1时,g (x )单调递减,此时g (x )≥－32,所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32时,y ＝g (x )－t 有且只有一个零点．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，329．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ,(1)判断命题：“对于任意的a ∈R,方程f (x )＝1必有实数根”的真假,并写出判断 过程;(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点,求实数a 的取值范围．解：(1)“对于任意的a ∈R,方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意,f (x )＝1有实根,即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根,因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立,即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根,从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意,要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点, 只需⎩⎪⎨⎪⎧f －1＞0，f 0＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.10．(通州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1,g (x )＝a 2x 2＋bx ＋1.若函数f (x )有两个不同零点x 1,x 2,函数g (x )有两个不同零点x 3,x 4.(1)若x 3＜x 1＜x 4,试比较x 2,x 3,x 4的大小关系;(2)若x 1＝x 3＜x 2,m ,n ,p ∈(－∞,x 1),f ′mg n ＝f ′n g p ＝f ′pg m,求证：m ＝n ＝p .解：(1)因为函数g (x )的图象开口向上,且零点为x 3,x 4, 故g (x )＜0⇔x ∈(x 3,x 4)． 因为x 1,x 2是f (x )的两个不同零点, 故f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为x 3＜x 1＜x 4,故g (x 1)＜0＝f (x 1),于是(a 2－a )x 21＜0. 注意到x 1≠0,故a 2－a ＜0. 所以g (x 2)－f (x 2)＝(a 2－a )x 22＜0, 故g (x 2)＜f (x 2)＝0,从而x 2∈(x 3,x 4), 于是x 3＜x 2＜x 4.(2)证明：记x 1＝x 3＝t ,故f (t )＝at 2＋bt ＋1＝0,g (t )＝a 2t 2＋bt ＋1＝0,于是(a －a 2)t 2＝0.因为a ≠0,且t ≠0,故a ＝1. 所以f (x )＝g (x )且图象开口向上．所以对∀x ∈(－∞,x 1),f ′(x )递增且f ′(x )＜0,g (x )递减且g (x )＞0. 若m ＞n ,则f ′(n )＜f ′(m )＜0,1g n＞1g p＞0,从而g (p )＞g (n )＞0,故n ＞p .同上,当n ＞p 时,可推得p ＞m .所以p ＞m ＞n ＞p ,矛盾．所以m ＞n 不成立． 同理,n ＞m 亦不成立． 所以m ＝n .同理,n ＝p . 所以m ＝n ＝p .三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(镇江期中)函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |＋3，x ＞0，－x 2－2x －2，x ≤0，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋4b＋1＝0有4个不同的实数根,则实数b 的取值范围是________．解析：令t ＝f (x ),则原方程等价于t 2＋bt ＋1＋4b ＝0.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知,当t ＞3,－2≤t ＜－1时,函数y ＝t 和y ＝f (x )各有两个交点, 要使方程f 2(x )＋bf (x )＋4b ＋1＝0有4个不同的实数根, 则方程t 2＋bt ＋1＋4b ＝0有两个根t 1,t 2,且t 1＞3,－2≤t 2＜－1.令g (t )＝t 2＋bt ＋1＋4b ,则由根的分布可得⎩⎨⎧g－2＝5＋2b ≥0，g－1＝2＋3b ＜0，g3＝10＋7b ＜0，解得－52≤b ＜－107. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－1072．(南京调研)设函数f k (x )＝2x ＋(k －1)·2－x (x ∈R,k ∈Z)． (1)若f k (x )是偶函数,求不等式f k (x )＞174的解集; (2)设不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4的解集为A ,若A ∩[1,2]≠∅,求实数m 的取值范围; (3)设函数g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )－2,若g (x )在x ∈[1,＋∞)上有零点,求实数λ的取值范围．解：(1)因为f k (x )是偶函数,所以f k (－x )＝f k (x )恒成立, 即2－x ＋(k －1)·2x ＝2x ＋(k －1)·2－x , 所以k ＝2. 由2x ＋2－x ＞174,得4·22x －17·2x ＋4＞0, 解得2x ＜14或2x ＞4,即x ＜－2或x ＞2,所以不等式f k (x )＞174的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}． (2)不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4,即为2x －2－x ＋m ·2x ≤4, 所以m ≤2－x －2x ＋42x ,即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋4·12x －1.令t ＝12x ,x ∈[1,2],则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,设h (t )＝t 2＋4t －1,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,则h (t )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54.由A ∩[1,2]≠∅,即不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4在[1,2]上有解, 则需m ≤h (t )max ,即m ≤54.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(3)函数g (x )＝λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2在x ∈[1,＋∞)上有零点,即λ(2x －2－x )－(22x ＋2－2x )－2＝0在x ∈[1,＋∞)上有解, 因为x ∈[1,＋∞),所以2x －2－x ＞0,所以问题等价于λ＝22x ＋2－2x ＋22x －2－x 在x ∈[1,＋∞)上有解．令p ＝2x ,则p ≥2,令u ＝p －1p,则u 在p ∈[2,＋∞)上单调递增, 因此u ≥32,λ＝u 2＋4u.设r (u )＝u 2＋4u ＝u ＋4u ,则r ′(u )＝1－4u 2,当32≤u ≤2时,r ′(u )≤0,即函数r (u )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上单调递减,当u ≥2时,r ′(u )≥0,即函数r (u )在[2,＋∞)上单调递增,所以函数r (u )在u ＝2时取得最小值,且最小值r (2)＝4, 所以r (u )∈[4,＋∞),从而满足条件的实数λ的取值范围是[4,＋∞)．。
中考数学(要点 自测 题型 易错)复习课件：第49课 方程、函数与几何相结合型综合问题
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一个考向
代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、 方程与不等式、函数、几何中的三角形、四边形、圆等图形 的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内 容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题， 如探究条件、探究结论、探究存在性等．经常考查的题目类 型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图 形运动过程中求函数解析式问题等．
【例 2】 (2012·连云港) 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点， 点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上， 四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2，EF＝3. (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积； (3)将△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°， 点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在 该抛物线上？请说明理由．
解答下列问题：如图②，抛物线顶点坐标为点 C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式； (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接 PA、
PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△CAB 的铅垂高 CD 及 S△CAB； 9
(3)是否存在一点 P，使 S△PAB＝8S△CAB？若存在，求出 P 点的坐 标；若不存在，请说明理由．
2≤x<3
2)．
故选 B.
【例 1】 阅读材料：如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与 水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽(a)”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长 度叫△ABC 的“铅垂高(h)”．我们可得出一种计算三角形 1 面积的新方法：S△ABC＝2ah，即三角形面积等于水平宽与铅 垂高乘积的一半．
2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (
中考数学总复习 考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题(无答案)(2021学年)
浙江省中考数学总复习考点跟踪训练５7 方程、函数与几何相结合型综合问题（无答案）编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（浙江省中考数学总复习考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题(无答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题Ａ组基础过关练一、选择题1．(2013苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，顶点A在x轴的正半轴上,反比例函数y=错误!(x>0）的图象经过顶点B,则k的值为( )Ａ. 12 B．20Ｃ。
24 D. 32２. (2012福州)如图,过点C(1，２)分别作x轴、y轴的平行线,交直线y=-x＋6于A、B两点,若反比例函数y=＼f（ｋ,x）(x>0)的图像与△AＢＣ有公共点,则k的取值范围是（)A。
2≤k≤９B。
2≤k≤８C. 2≤k≤5D. 5≤k≤83．（2０14铜仁）如图所示,在矩形ＡBCD中，Ｆ是DＣ上一点,AE平分∠BＡF交BC于点E，且DＥ⊥AF，垂足为点M，BＥ＝3,AE＝2６，则ＭＦ的长是( )A。
错误!B。
错误!C．1 D。
错误!４。
(２0１4丽水)如图，AB=４，射线BＭ和ＡB互相垂直,点Ｄ是AB上的一个动点,点E在射线BM上，BE＝＼f(1，2)DB,作EF⊥ＤE并截取EF=DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设ＢE＝x,BC＝ｙ,则ｙ关于x的函数解析式是( )A。
y＝-＼f(1２x,ｘ－4) B. y＝-＼f（2ｘ,x-1)Ｃ．y=-错误! D. y＝－错误!二、填空题５. (２01４黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1，0），B(2，０）是x轴上的两点,则PＡ+PＢ的最小值为＿＿__＿_＿_.6. (2014孝感)如图,Rt△ＡOＢ的一条直角边OB在x轴上,双曲线ｙ=错误!经过斜边OA的中点Ｃ，与另一直角边交于点D.若S△OＣD＝9，则S△ＯBD的值为____＿_＿_．７。
中考数学 专题 方程、函数与几何相结合型综合问题题型专讲专练课件(12、13真题为例)
3.
【例 3】（2013·宁波）如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标 为（4，0），点C的坐标为（－4，0），点P在射线 AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD.过P，D， B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q 于点F，连接EF，BF.
（1）求直线AB的函数解析式；
解 (1)当 k＝－2 时，A(1，－2)， ∵点 A 在反比例函数图象上， m ∴设反比例函数的解析式为：y＝ ， x m 将 A(1，－2)代入得，－2＝ ，解得 m＝－2， 1 2 ∴反比例函数的解析式为：y＝－ . x
(2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大， 则 k＜0， 1 2 5 2 ∵二次函数 y＝k(x ＋x－1)＝k(x＋ ) － k， 2 4 1 对称轴为直线 x＝－ ， 2 2 要使二次函数 y＝k(x ＋x－1)满足上述条件， 在 k＜0 的情况下，x 必须在对称轴的左边， 1 即 x＜－ 时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大． 2 1 ∴综上所述，k＜0 且 x<－ . 2
对应训练
（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O，B重 合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右 侧），连接OD，BD. ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求 OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于 点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA， PO.是否存在这样的点P，使以P，O，A为顶点的三角 形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标； 若不存在，请说明理由.
中考数学一轮复习考点跟踪训练47方程与函数相结合型综合问题试题
考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题一、选择题(每一小题6分，一共30分)1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( ) A．3 B．2C．1 D．02．(2021·)如下图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a错误．．的有( )A．2个 B．3个C．4个 D．1个3．(2021·)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根x1、x2满足x1＋x2＝4和 x1·x2＝3，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象有可能是( )4．(2021·)如图为反比例函数y ＝1x在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(2021·)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设 t ＝a ＋b ＋1，那么t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜1二、填空题(每一小题6分，一共30分)6.(2021·)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A(3，1)和B(6，0)两点，那么不等式组0＜kx ＋b ＜13x 的解集为________．7．关于x 的分式方程 a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，那么a 的取值范围是________．8．(2021·)新定义：[a ，b]为一次函数y ＝ax ＋b(a≠0，a 、b 为实数)的“关联数〞．假设“关联数〞[1，m －2]的一次函数是正比例函数，那么关于x 的方程1x －1＋1m＝1的解为 ______________．9．(2021·黔东南)设函数y ＝x －3与y ＝2x 的图象的两个交点的横坐标为a 、b ，那么1a ＋1b＝ ________．10．(2021·)如图，第一象限内的图象是反比例函数y ＝1x图象的一个分支，第二象 限内的图象是反比例函数y ＝－2x图象的一个分支，在x 轴的上方有一条平行于x 轴的 直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D.假设四边 形ABCD 的周长为8且AB ＜AC ，那么点A 的坐标为________．三、解答题(每一小题20分，一共40分)11．假如一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐标 为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式．12．(2021·)关于x 的一元二次方程(x －m)2＋6x ＝4m －3有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1·x2－x21－x22的最大值．四、附加题(一共20分)13．(2021·)(1)一元二次方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1、x2.求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q；(2)抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A、B两点，且过点(－1，－1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2获得最小值，并求出最小值．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
中考数学 专题 方程、函数与几何相结合型综合问题题型专讲专练课件(12、13真题为例)
中，得
15 y1＝ 4 .
∴P 点坐标为23，145.
【点评】
理解“铅垂高(h)”，且能利用“铅垂高”来计算三 角形面积．根据题意，求二次函数解析式时，应用顶点 式 y＝a(x＋m)2＋h，可以简捷地求得函数解析式；是否
9 存在点 P，可由等量关系 S△PAB＝8S△CAB，列出方程，若方 程有实数根，则点 P 存在；反之，点 P 不存在．
近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形 式出现，其解题关键是借助几何直观解题，运用方程、函数 的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综 合运用代数和几何知识解题．值得注意的是近年中考几何综 合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运 动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查 考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作 能力、抽象思维能力、建模能力，力求引导考生将数学知识 运用到实际生活中去．
方程、函数与 几何相结合型综合问题
以几何量为一元二次方程的根或系数构成方程与几何相 结合型综合题，解决这类问题的关键，是把一元二次方程的 知识与几何图形的性质以及计算与证明有机结合起来．
函数与几何相结合型综合题，各地中考常常作为压轴题 进行考查，这类题目难度大，考查知识多，解这类习题的关 键就是善于利用几何图形的有关性质和函数的有关知识，并 注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．
解 (1)设抛物线的解析式为：y1＝a(x－1)2＋4，
把 解 A((31，)设0)抛代物入线解的析解式析，式得为a：＝－ y1＝1，a(x－1)2＋4， ∴ 把yA1(＝3－ ，(0x)－ 代入1)解2＋析4＝式－，x得2＋a2＝x＋－31，， ∴ ∴By1点 ＝－的坐(x标－为1)(2＋0，4＝3)－．x2＋2x＋3， 设 ∴直B 点线的A坐B 的标解为析(0式，为3)：．y2＝kx＋b， 把 设直A(线3，AB0)的，解B(析0，式3为)代：入y2＝y2k＝x＋kx＋ b，b 中， 解 把得A(3k＝ ，0－)，1，B(b0＝，33，)代入 y2＝kx＋b 中，解得 k＝－1，b＝3， ∴ ∴yy22＝ ＝－ －xx＋ ＋33.. ((22))∵ ∵CC 点 点坐 坐标 标为 为((11， ，44))， ，∴当 x＝1 时，y1＝4，y2＝2， ∴ ∴当CD＝x＝4－1 时2＝，2， y1＝4，y2＝2， ∴ ∴SCD△C＝AB＝4－121×2＝3×2，2＝3(平方单位)． ∴S△CAB＝2×3×2＝3(平方单位)．
九年级中考方程、函数与几何相结合型综合问题
明思教育九年级中考方程、函数与几何相结合型综合问题 （附答案）1.阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．2.已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，y 1、⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2、⎝ ⎛⎭⎪⎫16，y 3，y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ． y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3C ． y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 23.如图，在矩形ABCD 中， AB ＝4，BC ＝6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q .BP ＝x ，CQ ＝y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是( )4.如图，直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，C 为OB 上一点，且∠1＝∠2，则S △ABC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．45.如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 与PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( )6．利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝x 2和直线y ＝－x ＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝________和直线y ＝－x ，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y ＝－6x 的图象(如图所示)，利用图象求方程的近似解为：____________________(结果保留两个有效数字)．7.如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作CD ⊥P A ，垂足为D .(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC ＋DA ＝6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度8.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2.点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立即以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S .(1)当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是__________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是__________；(2)当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？9如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O ′与y 轴正半轴交于点C ，连接BC 、AC ，CD 是⊙O ′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝12，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点．(1)求证：∠CAD ＝∠CAB ；(2)①求抛物线的解析式；②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(－1,0)，点B在抛物线y＝ax2＋ax－2上．(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；(2)抛物线的关系式为________________；(3)设(2)中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；(4)将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．答案解析3.D解析 因为BP ＝x ，CQ ＝y ，则AP 2＝42＋x 2，PQ 2＝(6－x )2＋y 2，AQ 2＝(4－y )2＋62.在Rt △APQ 中，有AP 2＋PQ 2＝AQ 2，即(42＋x 2)＋[](6－x )2＋y 2＝(4－y )2＋62，化简，得y ＝－14x 2＋32x ＝－14(x －3)2＋94，根据函数关系式，可知抛物线的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫3，94，选D. 4.C解析 ∵直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点A 、B 两点，∴A (2,0)，B (0,4)，∴OA ＝2，OB ＝4.又∵∠1＝∠2，∠AOC ＝∠BOA ，∴△OAC ∽△OBA ，∴OC OA ＝OA OB ， ∴OC ＝OA 2OB ＝1，BC ＝OB －OC ＝3，S △ABC ＝12×2×3＝3. 5.D解析 设P 点运动速度为v (常量)，AB ＝a (常量)，则AP ＝v t ，PB ＝a －v t .则阴影部分面积S ＝12π⎝⎛⎭⎫a 22－12π⎝⎛⎭⎫v t 22－12π⎝⎛⎭⎫a －v t 22 ＝－πv 24t 2＋a v t 4， 6 (1)x 2－3；(2)x 1≈－1.4，x 2≈4.47.(1)证明：连接OC ，∵点C 在⊙O 上，OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC .∵CD ⊥P A ，∴∠CDA ＝90°，∴∠CAD ＋∠DCA ＝90°.∵AC 平分∠P AE ，∴∠DAC ＝∠CAO .∴∠DCO ＝∠DCA ＋∠ACO ＝∠DCA ＋∠CAO ＝∠DCA ＋∠DAC ＝90°.又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，∴CD 为⊙O 的切线．(2)解：过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCD ＝∠CDA ＝∠OFD ＝90°，∴四边形OCDF 为矩形，∴OC ＝FD ，OF ＝CD .∵DC ＋DA ＝6，设AD ＝x ，则OF ＝CD ＝6－x .∵⊙O 的直径为10，∴DF ＝OC ＝5，∴AF ＝5－x .在Rt △AOF 中，由勾股定理得AF 2＋OF 2＝OA 2.即(5－x )2＋(6－x )2＝25，化简得：x 2－11x ＋18＝0，解得x ＝2或x ＝9.由AD <DF ，知0<x <5，故x ＝2.∴AD ＝2, AF ＝5－2＝3.∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点，∴AB ＝2AF ＝6.8.解 (1)2；4.(2)当0＜t ≤611时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S 矩形EFGH ＝(2t )2＝4t 2；当611＜t ≤65时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S 矩形EFGH －S △HMN ＝4t 2－12×43×[2t －34(2－t )] 2＝－2524t 2＋112t －32；当65＜t ≤2时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S △ARF －S △AQE ＝12×34(2＋t ) 2－12×34(2－t ) 2 ＝3t .(3)由(2)知：若0＜t ≤611，当t ＝611时S 最大，其最大值S ＝144121； 若611＜t ≤65，当t ＝65时S 最大，其最大值S ＝185； 若65＜t ≤2，当t ＝2时S 最大，其最大值S ＝6. 综上所述，当t ＝2时S 最大，最大面积是6.9.解 (1)证明：连接O ′C .∵CD 是⊙O ′的切线，∴O ′C ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴O ′C ∥AD ，∴∠O ′CA ＝∠CAD .∵O ′C ＝O ′A ，∴∠O ′CA ＝∠CAB .∴∠CAD ＝∠CAB .(2)①∵AB 是⊙O ′的直径，∴∠ACB ＝90°.∵OC ⊥AB ，∴∠CAB ＝∠OCB ，∴△CAO ∽△BCO ，∴OC OA ＝OB OC， 即OC 2＝OA ·OB .∵tan ∠CAO ＝tan ∠CAD ＝12， ∴OA ＝2OC .又∵AB ＝10，∴OC 2＝2OC ×(10－2OC )．∵OC ＞0，∴OC ＝4，OA ＝8，OB ＝2.∴A (－8,0)，B (2,0)，C (0,4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝0，64a －8b ＋c ＝0，c ＝4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－14，b ＝－32，c ＝4.∴y ＝－14x 2－32x ＋4. ②设直线DC 交x 轴于点F ，易证△AOC ≌△ADC ，∴AD ＝AO ＝8.∵O ′C ∥AD ，∴△FO ′C ∽△F AD ，∴O ′F AF ＝O ′C AD. ∴5＋BF 10＋BF ＝58， ∴BF ＝103，∴F (163，0)． 设直线DC 的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，163k ＋m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，m ＝4.∴y ＝－34x ＋4. 由y ＝－14x 2－32x ＋4＝－14(x ＋3)2＋254， 得顶点E 的坐标为E (－3，254)． 将E (－3，254)横坐标代入直线DC 的解析式y ＝－34x ＋4中，右边＝－34×(－3)＋4＝254. ∴抛物线的顶点E 在直线CD 上．(3)存在．P 1(－10，－6)，P 2(10，－36)．10.解 (1)A (0,2)，B (－3,1)． (2)y ＝12x 2＋12x －2. (3)如图①，可求得抛物线的顶点D ⎝⎛⎭⎫－12，－178.设直线BD 的关系式为y ＝kx ＋b ，将点B 、D 的坐标代入，求得k ＝－54，b ＝－114， ∴BD 的关系式为y ＝－54x －114. 设直线BD 和x 轴交点为E ，则点E ⎝⎛⎭⎫－115，0，CE ＝65. ∴△DBC 的面积为12×65×⎝⎛⎭⎫1＋178＝158. (4)如图②，过点B ′作B ′M ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ，过点C ′作C ′P ⊥y 轴于点P .在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中，∵AB ＝AB ′，∠AB ′M ＝∠BAN ＝90°－∠B ′AM ，∴Rt △AB ′M ≌Rt △BAN .∴B ′M ＝AN ＝1，AM ＝BN ＝3，∴B ′(1，－1)．同理：△AC ′P ≌△CAO ，C ′P ＝OA ＝2，AP ＝OC ＝1，∴C ′(2,1)．将点B ′、C ′的坐标代入y ＝12x 2＋12x －2，可知点B ′、C ′在抛物线上(事实上，点P 与点N 重合)．∴D 点的坐标为D 1(1，－5)或D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－15.。
2013年中考数学一轮复习 第47课 方程与函数相结合型综合问题
知能迁移 1 (2012·北京通州二模) 已知关于 x 的方程 mx － (3m－1)x＋2m－2＝0. (1)求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根； 2 (2)若关于 x 的二次函数 y＝mx －(3m－1)x＋2m－2 的图象 经过坐标原点(0，0)，求抛物线的解析式； (3)在直角坐标系 xoy 中，画出(2)中的函数图象，结合图 象回答问题：当直线 y＝x＋b 与(2)中的函数图象只有 两个交点时，求 b 的取值范围．
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一个联系
函数与方程虽是两个不同的数学概念，但它们之间相 互联系、相互渗透，一个函数若有表达式，那么这个表达 式就可以看成是一个方程，它的两端可以分别看成函数， 因此，许多有关方程的问题可用函数的方法解决；反之， 许多有关函数的问题也可以用方程的方法解决．
两个思想
方程思想、函数思想的实质是提取问题的数学特征， 用联系和变化的观点研究数学对象，抽象其数量特征，以 建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判 断等一系列的思维过程中，具备深刻、独特的思维品质， 才能构造出函数模型，化归为方程的问题，实现函数与方
2
解 (1)分两种情况讨论： ①当 m＝0 时，方程为 x－2＝0， ∴x＝2，方程有实数根； ②当 m≠0 时，一元二次方程的根的判别式为： 2 2 2 △ ＝[－(3m－1)] －4m(2m－2)＝9m －6m＋1－8m ＋8m 2 2 ＝m ＋2m＋1＝(m＋1) ≥0， 不论 m 为何实数，△≥0 成立， ∴方程恒有实数根． 综合①、②可知，m 取任何实数， 2 方程 mx －(3m－1)x＋2m－2＝0 恒有实数根．
2
当点 P 为(－1，3)时，根据题意， 3＝－k1－1， k1＝－4， 得 k2 解得 k2＝－3， 3＝－1， 3 ∴y＝－4x－1，y＝－ . x 当点 P 为(1，1)时，根据题意， 1＝k1－1， k1＝2， 得 k2 解得 k2＝1， 1＝ 1 ， 1 ∴y＝2x－1，y＝ . x ∴一次函数的解析式为 y＝－4x－1 或 y＝2x－1， 3 1 对应的反比例函数的解析式为 y＝－ 或 y＝ . x x
九年级数学下册综合算式专项练习题函数与方程的应用
九年级数学下册综合算式专项练习题函数与方程的应用九年级数学下册综合算式专项练习题：函数与方程的应用一、函数的应用函数是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本节将介绍一些函数的实际应用例子，并通过综合算式专项练习题来巩固学习。
函数的定义是“自变量和因变量之间的对应关系”，即当自变量取某个值时，因变量也对应取一个值。
其中，自变量通常表示问题中的已知量，而因变量则表示我们要求解的未知量。
例题1：某商品的售价与销量之间存在函数关系，已知该函数的表达式为：售价 = 20 - 0.5 ×销量。
若销量为200时，求售价。
解析：根据函数的定义，我们将销量代入函数表达式中即可求得售价。
代入销量为200，得到：售价 = 20 - 0.5 × 200 = 20 - 100 = 200元。
练习题1：某车厂生产的汽车的价格P（万元）与产量x（台）之间的函数关系是：P = 30 - 0.2 × x。
请问，当产量为500台时，汽车的价格是多少万元？解答略。
二、方程的应用方程是数学中的另一个重要概念，它用于描述未知量之间的关系。
在实际问题中，我们常常通过建立方程来求解未知量。
例题2：某同学参加了一场足球赛，已知他进球的数量加上传球的数量等于10。
设进球的数量为x，传球的数量为y，建立方程求解。
解析：根据题意，我们可以建立方程x + y = 10。
通过解方程，我们可以求解出该同学进球和传球的具体数量。
练习题2：一个长方形的长是宽的三倍，周长为28米。
请问，长方形的长和宽各是多长？解答略。
三、综合应用对于函数和方程的应用，我们在解决实际问题时往往需要综合运用多个概念和方法。
下面的综合应用题将考察你对函数与方程应用的综合运用能力。
例题3：已知一个数减去5，然后再乘以6的结果等于126。
求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，我们可以建立方程6(x - 5) = 126。
通过解方程，我们可以求解出这个数的值。
第47课 方程与函数相结合型综合问题
②当 M 点在 x 轴的负半轴上，N 点在 y 轴的负半轴上时， 设 M2 点坐标为(x2,0)，N2 点坐标为(0，y2)． ∵AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2， ∴N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2. ∴线段 M2N2 与线段 N1M1 关于原点 O 成中心对称． ∴M2 点坐标为(－3,0)，N2 点坐标为(0，－2)． 设直线 M2N2 的函数表达式为 y＝k2x－2， 2 把 x＝－3，y＝0 代入，解得 k2＝－ ， 3 2 ∴直线 M2N2 的函数表达式为 y＝－ x－2. 3 2 2 所以，直线 MN 的函数表达式为 y＝－ x＋2 或 y＝－ x－2. 3 3 (3) (9,2)；(4,5)．
第47课
方程与函数相结合型
综合问题
基础知识
考题分析
自主学习
方程与函数相结合型综合题，历来是各地中考试题中的
热点题型，主要是以函数图象，建立函数的图象及性质和方 程的有关理论的综合，解题时要注意函数的图象信息与方程 的代数信息的相互转化．例如：函数图象与x轴交点的横坐 标即为相应的方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函
解
(1)∵点 A(m－4,0)和 C(2m－4，m－6)在直线 y＝－x＋p 上，
m＝3， 解得： p＝－1.
0＝－m－4＋p， ∴ m－6＝－2m－4＋p，
∴A(－1,0)，B(3,0)，C(2，－3)． 设抛物线 y＝ax2＋bx＋c＝a(x－3)(x＋1)， ∵过 C(2，－3)，∴a＝1. ∴抛物线解析式为： y＝x2－2x－3.
(其中a>b)的图象如下图所示，则函数
y＝ax＋b的图象可能正确的是( )
初三数学下册综合算式专项练习题函数方程运算
初三数学下册综合算式专项练习题函数方程运算初三数学下册综合算式专项练习题：函数方程运算一、函数与方程的概念数学中，函数和方程是常见的概念。
函数通常表示两个变量之间的关系，表示为y=f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示函数关系。
方程则是等式的形式，通过求解方程可以找到满足等式的未知数的值。
二、函数的运算1. 函数的加法运算对于给定的两个函数f(x)和g(x)，它们的加法运算表示为h(x) = f(x) + g(x)。
具体运算时，我们将两个函数中的对应的项进行相加，即将f(x)和g(x)的同次幂的系数进行相加。
例如，已知f(x) = 2x² + 3x， g(x) = x² - 5x，则h(x) = f(x) + g(x)为：h(x) = (2x² + x²) + (3x - 5x) = 3x² - 2x。
2. 函数的减法运算对于给定的两个函数f(x)和g(x)，它们的减法运算表示为h(x) = f(x) - g(x)。
具体运算时，我们将两个函数中的对应的项进行相减，即将f(x)和g(x)的同次幂的系数进行相减。
例如，已知f(x) = 2x² + 3x， g(x) = x² - 5x，则h(x) = f(x) - g(x)为：h(x) = (2x² - x²) + (3x + 5x) = x² + 8x。
3. 函数的乘法运算对于给定的两个函数f(x)和g(x)，它们的乘法运算表示为h(x) = f(x) * g(x)。
具体运算时，我们将f(x)中的每一项与g(x)中的每一项进行相乘，并将结果进行合并。
例如，已知f(x) = 2x + 3， g(x) = x² - 5x，则h(x) = f(x) * g(x)为：h(x) = (2x * x²) + (2x * -5x) + (3 * x²) + (3 * -5x) = 2x³ - 10x² + 3x² - 15x = 2x³ - 7x² - 15x。
考点跟踪训练45方程型综合问题
考点跟踪训练45 方程型综合问题一、选择题1．已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片．若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？( )A. 0B. 3C. 7 D ．10 答案 C解析 设这包饼干有y 片，则y >23x ＋3(x 是大于0的整数)，而10y ＝230x ＋30，因而10y23＝10x ＋3023＝10x ＋1＋723，考虑余数723，故最少剩7片．2．一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根 答案 C解析 由x 2＋x ＋2＝0，得x 2＋x ＋14＝－74，所以⎝⎛⎭⎫x ＋122＝－74，方程没有实数根．3．(2010·攀枝花)下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋1＝0B ．9x 2－6x ＋1＝0 C ．x 2－x ＋2＝0 D ．x 2－2x －1＝0 答案 D解析 x 2－2x －1＝0，x 2－2x ＋1＝2，(x －1)2＝2，x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. 4．(2010·莆田)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )A ．x (x －1)＝10 B.x (x －1)2＝10C ．x (x ＋1)＝10 D.x (x ＋1)2＝10答案 B解析 设有x 人参加聚会，则每个人需握手(x －1)次，所以x (x －1)2＝10.5．设a 、b 是方程x 2＋x －2009＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为( ) A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 答案 C解析 根据题意，有a 2＋a －2009＝0，a 2＋a ＝2009；又a ＋b ＝－1，所以a 2＋2a ＋b ＝2008.二、填空题6．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．答案 60解析 450×0.8－450÷(1＋50%)＝360－300＝60. 7．(2009·牡丹江)五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了________折优惠．答案 九解析 设贵宾卡又享受x 折优惠，则有10000×0.8×⎝⎛⎭⎫x 10＝10000－2800,800x ＝7200，x ＝9.8．(2011·铜仁)当k ________时，关于x 的一元二次方程x 2＋6kx ＋3k 3＋6＝0有两个相等的实数根．答案 ±1解析 当(6k )2－4×1×(3k 2＋6)＝0时，方程有两个相等的实数根，解这个方程，得k ＝±1.9．(2011·苏州)已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式()a －b ()a ＋b －2＋ab 的值等于________．答案 －1解析 由根与系数的关系得a ＋b ＝2，ab ＝－1，所以(a －b )(a ＋b －2)＋ab ＝(a －b )×0＋(－1)＝－1.10．(2009·江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程__________．答案 7800(1＋x )2＝9100 三、解答题11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E .(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式； (2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF ＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，得C (3,0)，D (2,2)， ∵∠ADE ＝90°－∠CDB ＝∠BCD ， 又∠AOD ＝∠COD ＝∠ADO ， ∴AD ＝AO ＝BC ＝2. 又∠DAE ＝∠B ＝90°， ∴△ADE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ＝1，∴OE ＝1， ∴E (0,1)．设过点E 、D 、C 的抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．将点E 的坐标代入，得c ＝1.将c ＝1和点D 、C 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋1＝2，9a ＋3b ＋1＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－56，b ＝136.故抛物线的解析式为y ＝－56x 2＋136x ＋1.(2)EF ＝2GO 成立，证明如下：∵点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65，∴点M 的纵坐标为125.设DM 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，将点D 、M 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b 1＝2，65k ＋b 1＝125.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b 1＝3. ∴DM 的解析式为y ＝－12x ＋3.∴F (0,3)，EF ＝2.如图①，过点D 作DK ⊥OC 于点K ，则DA ＝DK .∵∠ADK ＝∠FDG ＝90°，∴∠FDA ＝∠GDK . 又∵∠FAD ＝∠GKD ＝90°，∴△DAF ≌△DKG . ∴KG ＝AF ＝1.∴GO ＝1.∴EF ＝2GO .(3)∵点P 在AB 上，G (1,0)，C (3,0)，设P (t,2)． ∴PG 2＝(t －1)2＋22，PC 2＝(3－t )2＋22，GC ＝2.①若PG ＝PC ，则(t －1)2＋22＝(3－t )2＋22， 解得t ＝2.∴P (2,2)，此时点Q 与点P 重合，∴Q (2,2)． ②若PG ＝GC ，则(t －1)2＋22＝22，解得t ＝1，∴P (1,2)，此时GP ⊥x 轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73.∴Q ⎝⎛⎭⎫1，73. ③若PC ＝GC ，则(3－t )2＋22＝22， 解得t ＝3，∴P (3,2)，此时PC ＝GC ＝2，△PCG 是等腰直角三角形．如图②，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则QH ＝GH ，设QH ＝h ， ∴Q (h ＋1，h )．∴－56(h ＋1)2＋136(h ＋1)＋1＝h .解得h 1＝75，h 2＝－2(舍去)．∴Q ⎝⎛⎭⎫125，75.综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即Q 1(2,2)或Q 2⎝⎛⎭⎫1，73或Q 3⎝⎛⎭⎫125，75. 12．已知，如图抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 的面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)∵对称轴x ＝－3a 2a ＝－32，又∵OC ＝3OB ＝3，a >0，∴C (0，－3)． 把B (1,0)、C (0，－3)代入y ＝ax 2＋3ax ＋c 得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，a ＋3a ＋c ＝0，解得a ＝34，c ＝－3.∴y ＝34x 2＋94x －3(2)过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N .∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝152＋12·DM ·(AN ＋ON )＝152＋2DM .∵A (－4,0)，C (0，－3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入求得：y ＝－34x －3，令D ⎝⎛⎭⎫x ，34x 2＋94x －3，M ⎝⎛⎭⎫x ，－34x －3， 则DM ＝－34x －3－⎝⎛⎭⎫34x 2＋94x －3 ＝－34(x ＋2)2＋3.当x ＝－2时，DM 有最大值3，此时四边形ABCD 面积有最大值272.(3)如图①所示，讨论：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形，∵C (0，－3)，令34x 2＋94x －3＝－3得x 1＝0，x 2＝－3，∴CP 1＝3.∴P 1(－3，－3)．②如图②，平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴可令P (x,3)，由34x 2＋94x －3＝3得：x 2＋3x －8＝0，解得x 1＝－3＋412或x 2＝－3－412，此时存在点P 2⎝⎛⎭⎫－3＋412，3和P 3⎝⎛⎭⎫－3－412，3.综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2⎝⎛⎭⎫－3＋412，3，P 3⎝⎛⎭⎫－3－412，3.13．(2011·北京)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m >0)的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C .(1)求点A 的坐标； (2)当∠ABC ＝45°时，求m 的值；(3)已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P (n,0)是x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数的图象于N .若只有当－2<n <2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．解 (1)∵ 点A 、B 是二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3 (m >0)的图象与x 轴的交点，∴ 令y ＝0，即mx 2＋(m －3)x －3＝0，解得x 1＝－1, x 2＝3m.又∵ 点A 在点B 左侧且m >0，∴ 点A 的坐标为(－1,0)．(2)由(1)可知点B 的坐标为(3m，0)．∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC ＝45°，∴3m＝3，∴m ＝1.(3)由(2)得，二次函数解析式为y ＝x 2－2x －3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ＋b ＝5，2k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1. ∴ 一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1.。
中考数学复习考点跟踪训练49-方程函数与几何相结合型综合问题
考点跟踪训练49 方程、函数与几何相结合型综合问题二、填空题6．已知平面上四点A (0,0)，B (10,0)，C (10,6)，D (0,6)，直线y ＝mx －3m ＋2将四边形分成面积相等的两部分，则m 的值为__________．答案 12解析 ∵直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，∴直线必经过矩形的中心对称点O ′.∵根据矩形中心对称，可知O ′(5,3)，将它代入y ＝mx －3m ＋2中，得：3＝5m －3m ＋2，即m ＝12.7．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．答案 10解析 由题意，得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝3，所以x 2x 1＋x 1x 2＝x 12＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝36－63＝10.8．如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1, x 2＝3；③a ＋b ＋c ＞0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的说法有_____________．(把正确的答案的序号都填在横线上)答案 ①②④解析 当－1<x <3时，y <0；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c <0，所以说法③错误．9．利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝x 2和直线y ＝－x ＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝________和直线y ＝－x ，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y ＝－6x的图象(如图所示)，利用图象求方程的近似解为：____________________(结果保留两个有效数字)．答案(1)x2－3；(2)x1≈－1.4，x2≈4.410．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，(1) 请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来；(2) 当容器中的水恰好达到一半高度时，请在函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．答案解析图象(1)是均匀变化的，为B；图象(2)是先慢后快，为A；图象(3)是先快后慢，为D；图象(4)是先快后慢，最后再变快，为C.三、解答题11．(2011·芜湖)如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O 上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．解(1)证明：连接OC，∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵CD⊥P A，∴∠CDA＝90°，∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵AC平分∠P AE，∴∠DAC＝∠CAO.∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形OCDF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD.∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5－x.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＋OF2＝OA2.即(5－x)2＋(6－x)2＝25，化简得：x2－11x＋18＝0，解得x＝2或x＝9.由AD<DF，知0<x<5，故x＝2.∴AD＝2, AF＝5－2＝3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6.12．(2011·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP ＝2.点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB 的同侧，设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.(1)当t＝1时，正方形EFGH的边长是__________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是__________；(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？解 (1)2；4.(2)当0＜t ≤611时(如图)，S 与t 的函数关系式是：S ＝S 矩形EFGH ＝(2t )2＝4t 2；当611＜t ≤65时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S 矩形EFGH －S △HMN ＝4t 2－12×43×[2t －34(2－t )] 2＝－2524t 2＋112t －32；当65＜t ≤2时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S △ARF －S △AQE ＝12×34(2＋t ) 2－12×34(2－t ) 2＝3t .(3)由(2)知：若0＜t ≤611，当t ＝611时S 最大，其最大值S ＝144121；若611＜t ≤65，当t ＝65时S 最大，其最大值S ＝185； 若65＜t ≤2，当t ＝2时S 最大，其最大值S ＝6. 综上所述，当t ＝2时S 最大，最大面积是6.13．(2011·襄阳)如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O ′与y 轴正半轴交于点C ，连接BC 、AC ，CD 是⊙O ′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝12，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点．(1)求证：∠CAD ＝∠CAB ；(2)①求抛物线的解析式；②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：连接O ′C .∵CD 是⊙O ′的切线，∴O ′C ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴O ′C ∥AD ，∴∠O ′CA ＝∠CAD . ∵O ′C ＝O ′A ，∴∠O ′CA ＝∠CAB . ∴∠CAD ＝∠CAB .(2)①∵AB 是⊙O ′的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵OC ⊥AB ， ∴∠CAB ＝∠OCB ， ∴△CAO ∽△BCO ， ∴OC OA ＝OB OC ， 即OC 2＝OA ·OB .∵tan ∠CAO ＝tan ∠CAD ＝12，∴OA ＝2OC . 又∵AB ＝10，∴OC 2＝2OC ×(10－2OC )． ∵OC ＞0，∴OC ＝4，OA ＝8，OB ＝2. ∴A (－8,0)，B (2,0)，C (0,4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，64a －8b ＋c ＝0，c ＝4，解之得⎩⎨⎧a ＝－14，b ＝－32，c ＝4.∴y ＝－14x 2－32x ＋4.②设直线DC 交x 轴于点F ，易证△AOC ≌△ADC ，∴AD ＝AO ＝8. ∵O ′C ∥AD ，∴△FO ′C ∽△F AD ，∴O ′F AF ＝O ′CAD .∴5＋BF10＋BF ＝58，∴BF ＝103，∴F (163，0)．设直线DC 的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，163k ＋m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，m ＝4.∴y ＝－34x ＋4.由y ＝－14x 2－32x ＋4＝－14(x ＋3)2＋254，得顶点E 的坐标为E (－3，254)．将E (－3，254)横坐标代入直线DC 的解析式y ＝－34x ＋4中，右边＝－34×(－3)＋4＝254.∴抛物线的顶点E 在直线CD 上． (3)存在．P 1(－10，－6)，P 2(10，－36)．。
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考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题一、选择题1．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－1与x 轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 B解析 令y ＝0，得x 2－1＝0，x ＝1或－1，抛物线交x 轴于点(1,0)，(－1,0)．2．(2011·兰州)如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac >0；(2)c >1；(3)2a －b <0；(4)a ＋b ＋c <0.你认为其中错误．．的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 答案 D解析 由抛物线与x 轴交于两点，可知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0；又抛物线的对标轴直线x ＝－b 2a >－1，而a <0，所以b >2a,2a －b <0；当x ＝1时，函数值y ＝a ＋b ＋c <0，信息(1)，(3)，(4)正确；抛物线与y 轴交于点(0，c )，在点(0,1)下方，c <1，信息(2)错误．3．(2011·潍坊)已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4和x 1·x 2＝3，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象有可能是( )答案 C解析 由x 1＋x 2＝4和x 1x 2＝3，可解得两根为1、3，抛物线与x 轴交点为(1,0)，(3,0)，选C.4．(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点⎝⎛⎭⎫－45，y 1、⎝⎛⎭⎫－54，y 2、⎝⎛⎭⎫16，y 3，y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ． y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3 C ． y 3<y 1<y 2 D ．y 1<y 3<y 2答案 A解析 当方程的一根为x ＝－3时，(－3)2－3b －3＝0，b ＝2，所以y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴对称轴x ＝－1，∴x ＝－54与x ＝－34时y 值相同，∵在x ＝－1右侧，y 随x 增大而增大，∴y 1<y 2<y 3，选A.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是( )A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根 答案 D解析 画直线y ＝－2，与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于两点，且在第四象限，故方程ax 2＋bx ＋c ＝－2，有两个不等的正数根．二、填空题 6．(2008·义乌)李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式____________________．答案 形如y ＝kx ＋b (k >0，b >0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b >0)7．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A 点的坐标为(0,3)，B 点的坐标为(6,5)，则从A 、B 两点到奶站距离之和的最小值是__________．答案 10解析 如图，画点A 关于x 轴的对称点A 1，其坐标为(0，－3)，根据两点之间线段最短，可知AC 、BC 距离之和的最小值为线段A 1B ，画BD ⊥y 轴于D ，在Rt △A 1BD 中，A 1D ＝3＋5＝8，BD ＝6，所以A 1B ＝62＋82＝10.8．(2010·绥化)已知关于x 的分式方程 a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是____________．答案 a ≤－1且a ≠－2解析 去分母，a ＋2＝x ＋1，∵x ≠－1，a ≠－2，x ＝a ＋1≤0，∴a ≤－1且a ≠－2.9．(2008·西宁)如图所示的是函数y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx ＋n 的解关于原点对称的点的坐标是___________．答案 (－3，－4)解析 两直线y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 交于点(3,4)，所以关于原点对标的点的坐标为(－3，－4)．10．如图，点D 的纵坐标等于______________；点A 的横坐标是方程______________的解；大于点B 的横坐标是不等式______________的解集；点C 的坐标是方程组______________的解；小于点C 的横坐标是不等式______________的解集．答案 b ；k 1x ＋b 1＝0；kx ＋b ＜0；⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝kx ＋b；kx ＋b ＞k 1x ＋b 1三、解答题11．如果一个二次函数的图象经过点A (6,10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐标为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式．解 ∵这个二次函数的图象与x 轴交于B (x 1,0)、C (x 2,0)两点，∴这个二次函数的解析式是y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，即y ＝a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]． ∵x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5， ∴y ＝a (x 2－6x ＋5)．∵这个二次函数的图象经过点A (6,10)， ∴a ×(62－6×6＋5)＝10， 解之，得a ＝2，∴所求二次函数的解析式为：y ＝2x 2－12x ＋10.12．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为(－1,0)，点B 在抛物线y ＝ax 2＋ax －2上．(1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________； (2)抛物线的关系式为________________；(3)设(2)中抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积； (4)将三角尺ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达△AB ′C ′的位置．请判断点B ′、C ′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．解 (1)A (0,2)，B (－3,1)． (2)y ＝12x 2＋12x －2.(3)如图①，可求得抛物线的顶点D ⎝⎛⎭⎫－12，－178.设直线BD 的关系式为y ＝kx ＋b ，将点B 、D 的坐标代入，求得k ＝－54，b ＝－114，∴BD 的关系式为y ＝－54x －114.设直线BD 和x 轴交点为E ，则点E ⎝⎛⎭⎫－115，0，CE ＝65. ∴△DBC 的面积为12×65×⎝⎛⎭⎫1＋178＝158.(4)如图②，过点B ′作B ′M ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ，过点C ′作C ′P ⊥y 轴于点P .在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中，∵AB ＝AB ′，∠AB ′M ＝∠BAN ＝90°－∠B ′AM ， ∴Rt △AB ′M ≌Rt △BAN .∴B ′M ＝AN ＝1，AM ＝BN ＝3，∴B ′(1，－1)．同理：△AC ′P ≌△CAO ，C ′P ＝OA ＝2，AP ＝OC ＝1， ∴C ′(2,1)．将点B ′、C ′的坐标代入y ＝12x 2＋12x －2，可知点B ′、C ′在抛物线上(事实上，点P与点N 重合)．13．已知抛物线y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m 的顶点D 在双曲线y ＝－5x上，直线y ＝kx＋c 过点D 和点C (a ，b )，且y 随x 的增大而减小，a 、b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－3＝0，2a 2－5ab ＋2b 2＝0.求直线y ＝kx ＋c 的解析式．解 ∵y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m ，∴抛物线的顶点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1m ＋3，3m 2＋10m －3m ＋3.∵点D 在双曲线y ＝－5x 上，∴⎝⎛⎭⎫－1m ＋3·⎝⎛⎭⎫3m 2＋10m －3m ＋3＝－5， 整理得：m 2＋10m ＋24＝0， 解之，得m 1＝－4，m 2＝－6，∴D 点的坐标为D 1(1，－5)或D 2⎝⎛⎭⎫13，－15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－3＝0，2a 2－5ab ＋2b 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，b 1＝－1，，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴C 点的坐标为C 1(－2，－1)或C 2(2,1)．∵直线y ＝kx ＋c 经过D 、C 两点，且y 随x 的增大而减小， ∴点C 2(2,1)不合题意，舍去．∴直线x 1y ＝kx ＋c 经过点D 1(1，－5)和点C 1(－2，－1)或点D 2⎝⎛⎭⎫13，－15和C 1(－2，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋c ＝－5，－2k ＋c ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋c ＝－15，－2k ＋c ＝－1，解之，得⎩⎨⎧k ＝－43，c ＝－113，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6，c ＝－13. ∴这条直线的解析式为y ＝－43x －113或y ＝－6x －13.。