2012哈工大数值分析试卷

2012.1数值分析试卷

1（10）设f(x)具有连续的m 阶导数，x*是f(x)=0的m 重根，其中m ≥2.

{}k x 是由newton 迭代法产生的序列且收敛，证明1*1

lim

1*k x k x x x x m

+→∞

-=-- （2）试把newton 迭代公式加以改进提高迭代公式的收敛速度。

2（10）newton 法解方程组22

224

1

x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取初值00(,)(1.6,1.2)T x y =求出

迭代两步的结果，计算结果保留5位小数。

3（1）试用Doolittle 分解方法求解方程组123126125153615469x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2）试用乘幂法求出系数矩阵126251561546⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

按模最大特征值及对应的特征向量，初始向量为（1,0,0）T ，求出迭代两步的结果，计算结果保留4位小数。

4已知线性方程组123223124211212316x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦写出Gauss-seidel 迭代法的迭代格式并分析收敛性。 5已知一组实验数据：

试用最小二乘法确定拟合公式b y ax =中参数是a ，b 。 6试求出过平面五点（-2,3）（-1,2）(0,5) (1,9

2

) (2,

33

7

)的有理多项式

7推导求积公式3"()

()()(

)()224

b

a

a b f f x dx b a f b a η+=-+-⎰其中η∈[a,b]并指明代数精度。

8用复化梯形公式适当的选取分段长度h 使得误差在（0.03,0.06）之间并用其计算积分1

0x e dx ⎰的近似值（计算中保留小数点后4位）

9利用显示的Euler 方法计算函数2

()x

t y x e dt =⎰在点0.5,1,1.5,2x =的近似

值，步长h=0.5（计算中保留小数点后4位）。 10

对求解初值问题

0'(,)

()y f x y y x a

=⎧⎨

=⎩的二步方法

[]111313''224

n n n n n h

y y y y y +--=

-+- （1）确定方法的局部截断误差主项，并指出方法的阶数。 （2）讨论方法的收敛性并求出绝对稳定区间。

（3）如果(,)30f x y y =-，用绝对稳定区间确定步长h 应取多大（Cr 公式已知）