高考数列压轴题汇总

高考数列压轴题汇总The document was prepared on January 2, 2021

高

考数列压轴题 1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n n n b b b T a b +++== 21,2

，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n

对一切*N n ∈均成立的最大实数p . 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2n a f x x x

=+ 的图象上．

（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明； （Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；

（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭

的前n 项积，是否存在实数a

，使得不等式3()2n a A f a a

+-对一切*n N ∈都成立若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由

3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=•+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，.

(1)若()()*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；

(2)已知点B

()0a ，，记()

*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；

(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：a a S n --<21 。

4、已知()f x 在(1,1)-上有定义，1()12f =且满足,x y (1,1)∈-时有()()(),1x y f x f y f xy --=- 若数列{}n x 满足 112

21

,21n n n x x x x +==+。 （1）求(0)f 的值，并证明()f x 在(1,1)-上为奇函数；

（2）探索1()()n n f x f x +与 的关系式，并求()n f x 的表达式；

（3）是否存在自然数m ，使得对于任意的*n N ∈，有 12311118()()()()4n m f x f x f x f x -++++<恒成立若存在，求出m 的最小值，若不存在，

请说明理由。

5、数列{}n a 满足11

,2a =112n n

a a +=-． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；

（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S ，证明2ln()2

n n S n +<-． 6、已知二次函数2()()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()f x ≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立，设数列｛n a ｝的前n 项和()n S f n =．

（1）求函数()f x 的表达式；

(2) 设各项均不为0的数列｛n b ｝中，所有满足10i i b b +⋅<的整数i 的个数称为这个数列｛n b ｝的变号数，令1n n

a b a =-（n N *∈）,求数列｛n b ｝的变号数； （3）设数列｛n c ｝满足：11

1n

n i i i c a a =+=⋅∑，试探究数列｛n c ｝是否存在最小项若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

7、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a S a a =

--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设21=+n n n S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：123n T n >-．

8、已知21

4)(x x f +-=数列}{n a 的前n 项和为n S ，点)1,(1

+-n n n a a P 在曲线)(x f y =上)(*N n ∈且0,11>=n a a .

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）数列}{n b 的前n 项和为且n T 满足

3816221

21--+=++n n a T a T n n n n ，设定1b 的值使得数列}{n b 是等差数列； （3）求证：*,1142

1N n n S n ∈-+>. 9、已知函数)(x f 的定义域为]1,0[，且同时满足：对任意]1,0[∈x ，总有2)(≥x f ， 3)1(=f ； 若01≥x ，02≥x 且121≤+x x ，则有2)()()(2121-+≥+x f x f x x f ．

（1）求)0(f 的值；

（2）试求)(x f 的最大值；

（3）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*)3(2

1,11N n a S a n n ∈--==， 求证：121321223)()()(-⨯-+≤

+++n n n a f a f a f ． 10、已知函数112

y x =-+的图象按向量(2,1)m =平移后便得到函数()f x 的图象，数列{}n a 满足1()n n a f a -=（n≥2，nN *）．

（Ⅰ）若135a =，数列{}n b 满足11n n b a =

-，求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）若13

5a =，数列{}n a 中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若112a <<，试证明：112n n a a +<<<．

11、设数列{}n a 满足：11a =，且当n N *∈时，3211(1)1n n n n a a a a +++-+=

(1) 比较n a 与1n a +的大小，并证明你的结论；

(2) 若2211(1)n n n n a b a a +=-，其中*∈N n ，证明：1

0 2.n k k b =<<∑