导数的极值点偏移问题

导数极值点偏移问题

如上图所示，0x 为函数的极值点，0x 处对应的曲线的切线的斜率为0

极值点左移：0212x x x >+，22

1x x x +=

处切线与x 轴不平行 极值点右移：0212x x x <+，2

2

1x x x +=处切线与x 轴不平行

由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有()020'

21'

=<⎪⎭

⎫

⎝⎛+x f x x f ；当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有

()020'21'=>⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x f x x f 。当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，()020'21'=>⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x f x x f ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有()020'21'=<⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x f x x f 。

如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，1x 和2x 处对应的函数值相等，我们可以作2x 关于0x 的对称点3x ，则12032x x x x >-=，且03x x <，故()()13x f x f >，即

()()1202x f x x f >-，故我们可以构造函数()()()1202x f x x f x F --=，只需要判断函数

()x F 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足()0min >x F ，我们就可以得

到0212x x x <+。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。

做题步骤：

（1）求极值点0x ；

（2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移；

（4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论；

（5）若极值点求不出来，由'

0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.

经典题型：

1.已知函数()2

ln f x x ax =-，其中a R ∈

（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 有极大值为1

2

-

，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>.

2.已知函数()()x

f x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数.

（1）讨论函数()y f x =的单调性；

（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln x x a +<.

（1）试讨论函数()f x 的单调性；

（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>.

(Ⅰ)求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设()f x 极值点为0x ，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，使()()12f x f x =，求证：1202.x x x +>

（1）试讨论函数()f x 的单调性；

（2）设()()

22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程

()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'02x x h +⎛⎫

>

⎪⎝⎭

.

6.设函数()()2

11ln .2

f x x a x a x =

--- （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫

> ⎪⎝⎭

'

7.设函数()2

ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x . (1)求满足条件的最小正整数a 的值； (2)求证：1202x x F +⎛⎫

> ⎪⎝⎭

'.

8. （2016年全国卷1）已知函数()()()2

12-+-=x a e x x f x

有两个零点

（1）求a 的取值范围；

（2）设21,x x 是()x f 的两个零点，证明：221<+x x

9.（2018年湖北省七市州联考）已知函数()()R a x axe x f x ∈--=-,122

2 （1）当4-=a 时，谈论函数()x f 的单调性；

（2）当10<+x x

10.（广西桂林2017年第一次联合模拟考试）已知函数()()R m x x m x f ∈-+=1ln 21的两个零点为()2121,x x x x <

（1）求实数m 的取值范围；

（2）求证：

e x x 21121>+

11.已知函数()ax e x f x -=-有两个零点

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设21,x x 是函数()x f 的两个零点，证明：221-<+x x

12.已知函数()k kx e x f x 21--=+

（1）讨论函数()x f 的单调性；

（2）当函数()x f 有两个零点21,x x 时，证明：221->+x x