10(2)伪随机序列及编码

n 2 j0 xi / p 1 i 1 x ( j) n x x / p 1 / p j 0 i i j i 1
形式的码， 称为伪随机码， 又称为狭义伪随机码。
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（10-6）
（2） 凡自相关函数具有
n 2 j0 xi / p 1 i 1 x ( j) n x x / p a 1 j 0 i i j i 1
f ( x) g ( x) (ai bi j ) x i
i 0 j 0
nm i
（10-10）
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若g(x)≠0，则在F(x)总能找到一对多项式q(x)(称为商)和
r(x)(称为余式)使得
f(x)=q(x)g(x)+r(x)
这里r(x)的阶数小于g(x)的阶数。
ρ (x, y)=(A-D)/(A+D)=(A-D)/p
不同的个数。 式(10-3)的自相关函数也表示为 ρ x(j)= (A-D)/(A+D)=(A-D)/p
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(10-4)
式中，A是x和y中对应码元相同的个数； D是x和y中对应码元
(10-5)
式中， A是码字 xi 与其位移码字 xi+j 的对应码元相同的个数： D是对应码元不同的个数。伪随机码具有白噪声的统计特性， 因此， 对伪随机码定义可写为 (1) 凡自相关函数具有
寄存器的原状态所决定。 式(10-15)称为递推关系式。
＋
c0 ＝1 1 a n －1 c1 2 a n －2
＋
c2 n －1 n －1 a1
＋
cn －1 n cn ＝1
a0
输 出 ak
图 10-2 n级线性反馈移位寄存器
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2. 线性反馈移位寄存器的特征多项式
用多项式f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：
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可以证明，一个n级线性反馈移位寄存器能产生 m序列 的充要条件是它的特征多项式为一个 n次本原多项式。若一个n 次多项式f(x)满足下列条件: (1) f(x) 为既约多项式 ( 即不能分解因式的多项式 ) ； (2) f(x)可整除(xp+1), p=2n-1; (3) f(x)除不尽(xq+1),q<p。 则称f(x)为本原多项式。 以上为我们构成m序列提供了理论根 据。
an an3 an4
(10-13)
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a n －1
a n －2
a n －3
a n －4
＋
图 10-1 4级移位寄存器
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当 移 位 寄 存 器 的 初 始 状 态 是 1000 时 ， 即 an-4=1,an3=0,an-2=0,an-1=0,
（10-12）
式（10-12）称为带余除法算式，当余式r(x)=0, 就说f(x) 可被g(x)整除。
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图 10-1 是一个 4 级移位寄存器，用它就可产生伪随机序列。
规定移位寄存器的状态是各级存数从右至左的顺序排列而成的
序列，这样的状态叫正状态或简称状态；反之，称移位寄存器 状态是各级存数从左至右的顺序排列而成的序列叫反状态。图 10-1中的反馈逻辑为
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式中，xi,yi∈（ +1， -1） , i=1, 的互相关函数定义为
2, …， n, 则 x 和 y之间
( x, y) xi yi / p
1 1
(10-2)
若码组x和y正交，则有ρ(x,y)=0。 如果一种编码码组中任意两者之间的相关系数都为 0 ， 即码组两两正交，这种两两正交的编码就称为正交编码。由于
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10.4
m 序 列
10.4.1 线性反馈移位寄存器的特征多项式 1. 线性反馈移位寄存器的递推关系式
递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程。设图 10-2
所示的线性反馈移位寄存器的初始状态为 (a0a1…an-2an-1) ，经 一次移位线性反馈，移位寄存器左端第一级的输入为
形式的码，称为广义伪随机码。
狭义伪随机码是广义伪随机码的特例。
（10-7）
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10.3 伪随机序列的产生
编码理论的数学基础是抽象代数的有限域理论。一个有限
域是指集合 F 元素个数是有限的，而且满足所规定的加法运算 和乘法运算中的交换律、结合律、分配律等。常用的只含（ 0 ， 1）两个元素的二元集 F2,由于受自封性的限制，这个二元集只 有对模二加和模二乘才是一个域。 一般来说，对整数集Fp={0, 1, 2, …, p-1}, 若p为素数， 对于模p的加法和乘法来说，Fp是一个有限域。
序列的排序规律不会改变。 但是，如果改变图10-1 四级移存器的反馈逻辑， 其输出 序列就会发生变化。例如， 当反馈逻辑变成
an an2 an4
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(10-14)
时，给定不同的初始状态1111、0001、1011，可以得到三个完
全不同的输出序列 111100111100…， 000101000001…， 101101101101 它们的周期分别是6、6和3。
正交码各码组之间的相关性很弱，受到干扰后不容易互相混淆，
因而具有较强的抗干扰能力。
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类似地，对于长度为ρ的码组n x的自相关函数定义为
x ( j ) xi xi j / p
i 1
(10-3)
对于{0，1}二进制码， 式(10-2)的互相关函数定义可简化为
f ( x) c0 c1 x cn x n ci x i
i 0
n
(10-16)
式 (10-16) 称为特征多项式或特征方程。其中， xi 存在，表明
ci=1，否则ci=0，x本身的取值并无实际意义。ci的取值决定了
移位寄存器的反馈连接。由于c0=cn=1，因此，f(x)是一个常数 项为 1 的n次多项式，n为移位寄存器级数。
0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
…
…
…
图 10-3 m序列产生器
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…
设 4 级移位寄存器的初始状态为 1 0 0 0。 c4=c1=c0=1,
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当图 10-1 的初始状态是 0 状态时，即 an-4=an-3=an-2=an1=0移存器的输出是一个0序列。

4级移存器共有16个状态，除去一个0状态外，还有15个状 态。对于图10-1来说，只要随机序列的周期达到最大值，这时
无论如何改变移存器的初始状态，其输出只改变序列的初相，
c3=c2=0。输出序列{ak}的周期长度为 15。
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10.4.3 m序列的性质
1. 均衡特性(平衡性)
m 序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个。由于
经过一个时钟节拍后， 各级状态自左向
右移到下一级，末级输出一位数，与此同时模二加法器输出
加到移位寄存器第一级，从而形成移位寄存器的新状态，下 一个时钟节拍到来又继续上述过程，末级输出序列就是伪随 机序列。 在这种条件下， 图10-1产生的伪随机序列是 {an-4}=1000100110101111000100110101111… P=15 这是一个周期长度p=15的随机序列。
第10章 伪随机序列及编码
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主 要 内 容
10.1 伪随机序列的概念
10.2 正交码与伪随机码
10.3 伪随机序列的产生
10.4 m序列 10.5 M序列 10.6 伪随机序列的应用
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10.1 伪随机序列的概念
在通信技术中，随机噪声是造成通信质量下降的重要因素，
除(x5+1)， 故它不是本原多项式。因此找到两个 4 次本原多
项式(x4+x+1)和 (x4+x3+1) 。由其中任何一个都可产生 m序列。 用f(x)=(x4+x+1)构成的m序列产生器如图 10-3 所示。
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＋
a3
1
a2
2
a1
3
a0
4
ak
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
因式，使各因式为既约多项式，再寻找f(x) 。
x15 1 ( x 1)( x 2 x 1)( x 4 x 1) ( x 4 x 3 1)( x 4 x 3 x 2 x 1)
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其中， 4 次既约多项式有 3 个，但 (x4+x3+x2+x+1)能整
an c1an 1 c2 an 2 cn 1a1 cn a0 ci an i
若经k次移位，则第一级的输入为
i 1
n
al ci al i
i 1
n
(10-15)
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其中，l=n+k-1≥n, k=1,2,3,…
由此可见，移位寄存器第一级的输入，由反馈逻辑及移位
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可以用移位寄存器作为伪随机码产生器，产生二元域F2及
其扩展域F2m中的各个元，m为正整数。可用域上多项式来表示 一个码组， 域上多项式定义为
f ( x) a0 a1 x a2 x an x ai x
2 n
i
（10-8）
称其为 F的 n阶多项式，加号为模二和。式中，ai 是 F的元， anxn 称为f(x)的首项，an是f(x)的首项系数。记F域上所有多项式组 成的集合为F(x)。
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若g(x)是F(x)中的另一多项式， m
i 0
g ( x) bi x i
m
（10-9）
如果n≥m，规定f(x)和g(x)的模二和为
f ( x) g ( x) (ai bi ) x i
i 0
（10-10）
其中, bm+1=bm+2=…=bn=0。 规定f(x)和g(x)的模二乘为
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10.2 正交码与伪随机码
若M个周期为T的模拟信号s1(t)，s2(t)，…，sM(t)构成正
交信号集合，则有

其中两个码组:
T
0
si (t ) s j (t )dt
(10-1)
设序列周期为p的编码中，码元只取值+1和-1, 而x和y是
x ( x1 , x2 ,, xn ) y ( y1 , y2 ,, yn )
因而它最早受到人们的关注。如果信道中存在着随机噪声，对
于模拟信号来说，输出信号就会产生失真，对于数字信号来说， 解调输出就会出现误码。另外，如果信道的信噪比下降，那么 信道的传输容量将会受到限制。
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伪随机序列应当具有类似随机序列的性质。在工程上常 用二元{0，1}序列来产生伪噪声码，它具有以下几个特点： (1) 在随机序列的每一个周期内0和1出现的次数近似相 等。 (2) 每一周期内，长度为 n 的游程取值(相同码元的码 元串)出现的次数比长度为n+1的游程次数多一倍。 (3) 随机序列的自相关类似于白噪声自相关函数的性质。
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10.4.2 m序列产生器 用线性反馈移位寄存器构成m序列产生器， 关键是由特征
多项式 f(x) 来确定反馈线的状态，而且特征多项式 f(x) 必须
是本原多项式。 现以n=4 为例来说明 m序列产生器的构成。用4 级线性反 馈移位寄存器产生的m序列，其周期为p=24-1=15，其特征多项 式f(x)是 4 次本原多项式，能整除(x15+1)。先将(x15+1)分解
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结论： （1）线性移位寄存器的输出序列是一个周期序列。
（2）当初始状态是0状态时，线性移位寄存器的输出是一
个0序列。 （3） 级数相同的线性移位寄存器的输出序列与寄存器的
反馈逻辑有关。
（4） 序列周期p<2n-1(n级线性移位寄存器)的同一个线性 移存器的输出还与起始状态有关。 （5） 序列周期p=2n-1的线性移位寄存器，改变移位寄存起 初始状态只改变序列的起始相位，而周期序列排序规律不变。