信息与计算科学专业计算方法教案(上)

目录

第一章绪论 (4)

第二章插值法 (15)

第三章函数逼近与曲线拟合 (43)

第四章数值积分与数值微分 (77)

武汉工程大学教师教案规范格式《计算方法》课程教案

课程名称计算方法

总学时数68（上机20）

本章名称绪论

本章时数 4

授课对象08信息与计算科学

授课学期2007-2008第2学期

教研室信息与计算科学

授课教师江世宏

第一章绪论

本章主要内容：

计算方法中离散化方法、递推化方法，有效数字与误差估计，数值计算中应注意的四个原则。

教学目的及要求：

使学生初步了解计算方法这门课程主要的研究对象与常用方法，了解误差产生的原因与误差估计方法，了解数值计算中应注意的四个原则。

教学重点：

离散化、递推化方法，有效数字概念，误差估计方法。

教学难点：

离散化、递推化方法。

教学方法及手段：

课堂教学上，主要介绍计算方法这门课程的主要思想与常用方法，以实例说明学习计算方法的必要性，以实例介绍实现数值计算的离散化、递推化方法。

在实验教学中，通过具体实例，让学生学会应用MATLAB进行数值计算实验，对一些典型问题，利用投影仪进行实时讲解，让学生更好地掌握课堂教学的内容，并对这门课程的学习产生兴趣。

教学时间：

本章的教学的讲授时间为4学时，实验学时2学时。

第一章 绪论

计算方法是研究各种数学问题求解的数值计算方法。由于计算是由计算机来完成，所给出的数值计算方法必须适合于计算机来处理。

计算方法=数学问题求解算法+程序设计

第一， 面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括

加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。

第二，

有可靠的理论分析，能任意逼近并达以精度要求，对近似算法要保证收敛性

和数值稳定性，还要对误差进行分析，这都建立在相应数学理论的基础上。

第三， 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性地是指节省

存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。

第四， 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过

数值试验证明是行之有效的。

计算方法有时也称计算方法。

一 学习计算方法的必要性 【引例1-1】计算

一个边长为1的正方形的对角线长度为，是第一个被发现的无理数，它

的发现引发第一次数学危机。古希腊毕达格拉斯学派认为，任何数都可以用直尺在数轴上标出，亦即，数是由整数和分数组成的。而

却无法用直尺在数轴上标出，

只能借助于圆规才能在数轴上画出。

的发现动摇了毕达格拉斯学派的理论基础，

发现的存在性是显然的，但这个数的具体值该如何计算，其实我们并不知道。 构造数列，12x =，112

()2n n n

x x x

+=+，1,2,n =

显然0n x >，112()2n n n x x x +=

+≥=n x 具有下界。 2

1202n

n n n

x x x x +--=≤，1n n x x

+≤，即数列n x 单调下降。

据单调有界数列存在极限的准则，lim n

n x →∞存在，设lim n n x a →∞

=

对112()2n n n x x x +=

+

两边取极限，有12

()2a a a

=+，22a =，a =a =题意，舍去）。 故 lim n n x →∞

=

注：

1、据极限的意义可知，当n 充分大时，n x ≈。

2、如果用户精度为8

10ε-=

，n x ε-≤

，由于

的精值无法知晓，n x -无

法直接计算，我们用1n n x x ε+-≤来近似替代。当1n n x x ε+-≤时，可取

1

n

n x x +⎧≈⎨⎩作为其达到精度要求的近似值。用1n n x x ε+-≤作为计算精度估计的方法，称之为事后估计法。 3、其算法如下：

1 给定12x =，8

10ε-=

2 反复做以下操作

① 计算211

12

()2x x x =+，21e x x =- ② 如果e ε<，则跳出循环；否则，12x x =

3 输出近似值2x

4、引例1-1的求解过程，体现了计算方法中离散化特点。

从数学角度来看，计算，实际上求方程2

20x -=的正实数根，是一个连续型的问题。它被转化成计算数列

12x =，112

()2n n n

x x x +=

+（1,2,n =）

这一离散型的问题。

离散化方法是计算方法中最常用的手段之一。

【引例1-2】设 1.2x =，计算多项式4

3

2

()2345p x x x x x =++++的值。

简单地将 1.2x =代入到()p x 中，计算(1.2)p 的值，是可行的，但这种做法不是计算方法的风格。因为这种做法没有一般性，一旦多项式的次数增高或者多项式的系数被改变，需要重新进行计算。因此，我们需要设计一种算法，它不依赖于某个具体的多项式。

32()(2)345p x x x x x =++++

2((2)3)45x x x x =++++ (((2)3)4)5x x x x =++++

引入变量

22u x =+ 323u x u =⋅+ 434u x u =⋅+ 545u x u =⋅+

观察发现，这些算式的形式基本上是一样的。为了上述算式更一致，引入数组变量[5][1,2,3,4,5]a =，上述式了可改写为

212u x a a =⋅+ 323u x u a =⋅+ 434u x u a =⋅+ 545u x u a =⋅+

再引入变量11u a =，上述式子可进一步改写为

212u x u a =⋅+