(五年高考分类周周练)数学(理科)
5年全国卷高考数学真题与优质模拟题(理科)汇编——专题8
专题8.2 立体几何（解答题）A 组 5年高考真题1．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．2．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．3．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥P ABCDAB AD AC===，AD BC，3-中，PA⊥底面ABCD，//==，M为线段AD上一点，24PA BC=，N为PC的中点．AM MD（1）证明：//MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．4．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．5．（2020全国Ⅰ理18）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．6．（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且112,2DE ED BF FB ==．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）证明：若12,1,3AB AD AA ===时，求二面角1A EF A --的正弦值．7．（2019•新课标Ⅰ，理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．8．（2019•新课标Ⅱ，理17）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．1111ABCD A B C D -14AA =2AB =60BAD ∠=︒E M N BC 1BB 1A D //MN 1C DE 1A MA N --1111ABCD A B C D -ABCD E 1AA 1BE EC ⊥BE ⊥11EB C 1AE A E =1B EC C --9．（2018•新课标Ⅲ，理19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．10．（2017•新课标Ⅰ，理18）如图，在四棱锥中，，且．（1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值．ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC -MABMCD P ABCD -//AB CD 90BAP CDP ∠=∠=︒PAB ⊥PAD PA PD AB DC ===90APD ∠=︒A PB C --11．（2017•新课标Ⅱ，理19）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点． （1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．12．（2017•新课标Ⅲ，理19）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．P ABCD -PAD ABCD 12AB BC AD ==90BAD ABC ∠=∠=︒E PD //CE PAB M PC BM ABCD 45︒M AB D --ABCD ABC ∆ACD ∆ABD CBD ∠=∠AB BD =ACD ⊥ABC AC BD E AEC ABCD D AE C --13．（2016•新课标Ⅰ，理18）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．A B C D E F ABEF 2AF FD =90AFD ∠=︒D AF E --C BE F --60︒ABEF ⊥EFDC E BC A --B 组 能力提升14．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值.15．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角--A PB E 的大小．16．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.17．（2020届江西师范大学附属中学高三一模）如图，ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，4AB =，EB =（1）求证：DE ⊥平面ACD ；（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B -ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．18．（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ； （Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值. 19．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ====.（1）证明：1BC 平面1ACD ； （2）求二面角1D AC E --的余弦值.20．（2020届湖北省黄冈中学高三高考模拟）如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且60DAB ∠=︒，点F 是BC 的中点.（1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角E DF B --的余弦值.21．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）如图，在直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .（1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；（2）求直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值.专题8.2 立体几何（解答题）A 组 5年高考真题1．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【解析】（Ⅰ）连接BD ，设BD A C G =，连接EG 、EF 、FG ，在菱形ABCD 中，不妨设1BG =，由120ABC ∠=︒，可得AG GC =BE ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，可知AE EC =，又AE EC ⊥，所以EG =EG AC ⊥，在直角EBG ∆中，可得BE =DF =，在直角三角形FDG 中，可得FG =，在直角梯形BDFE 中，由2BD =，BE FD =，可得EF从而222EG FG EF +=，则EG FG ⊥， （或由2tan tan 212EB FD EGB FGD BG DG ∠∠===，可得90EGB FGD ∠+∠=︒，则)EG FG ⊥AC FG G =，可得EG ⊥平面AFC ，由EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 为x 轴，y 轴，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(0A ，0)，(1E ，0，(1F -，0，(0C 0)，即有(1AE =，(1CF =-，，故cos AE <，1||||6AECF CF AE CF ->===则有直线AE 与直线CF ．2．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：连接BO ， AB BC ==O是AC 的中点， BO AC ∴⊥，且2BO =，又4PA PC PB AC ====， PO AC ∴⊥，PO =，则222PB PO BO =+， 则PO OB ⊥，OB A C O =，PO ∴⊥平面ABC ；（2）建立以O 坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： (0A，2-，0)，(0P ，0，，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(2BC =-，2，0)，设(2BM BC λλ==-，2λ，0)，01λ<<则(2AM BM BA λ=-=-，2λ，0)(2--，2-，0)(22λ=-，22λ+，0)， 则平面PAC 的法向量为(1m =，0，0)， 设平面MPA 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则(0PA =，2-，-，则20n PA y =--=，(22)(22)0n AM x y λλ=-++= 令1z =，则y =，x =，即(1)(1nλλ+=-，1)，二面角M PA C --为30︒，3cos30|||||2m nm n ∴︒==，213)131λ=++ 解得13λ=或3λ=（舍)，则平面MPA 的法向量(23n=，1)，(0PC =，2，-，PC 与平面PAM 所成角的正弦值sin |cos PC θ=<，23234|||161616n -->===．3．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， N 为PC 的中点，//NG BC ∴，且12NG BC =， 又223AM AD ==，4BC =，且//AD BC ， //AM BC ∴，且12AM BC =， 则//NG AM ，且NG AM =，∴四边形AMNG 为平行四边形，则//NM AG ，AG ⊂平面PAB ，NM ⊂/平面PAB ， //MN ∴平面PAB ；法二、在PAC ∆中，过N 作NE AC ⊥，垂足为E ，连接ME ，在ABC ∆中，由已知3AB AC ==，4BC =，得2224332cos 2433ACB +-∠==⨯⨯，//AD BC ，2cos 3EAM ∴∠=，则sin EAM ∠=，在EAM ∆中， 223AM AD ==，1322AE AC ==，由余弦定理得：3cos 2EM AE AM EAM ∠=， 2233()()4122cos 339222AEM +-∴∠==⨯⨯，而在ABC ∆中，2223341cos 2339BAC +-∠==⨯⨯，cos cos AEM BAC ∴∠=∠，即AEM BAC ∠=∠， //AB EM ∴，则//EM 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA AC ⊥，又NE AC ⊥， //NE PA ∴，则//NE 平面PAB ．NE EM E =，∴平面//NEM 平面PAB ，则//MN 平面PAB ；（2）解：在AMC∆中，由2AM =，3AC =，2cos 3MAC ∠=，得22222cos 9423253CM AC AM AC AM MAC =+-∠=+-⨯⨯⨯=． 222AM MC AC ∴+=，则AM MC ⊥，PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ⋂平面PAD AD =，CM ∴⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连接NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角． 在Rt PAC ∆中，由N 是PC的中点，得1522AN PC ==，在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =，得44PAAM AF PM ==，5sin 52AFANF AN ∴∠===．∴直线AN 与平面PMN ．4．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°．（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，∵AB=1AA ，1BAA ∠=060，∴1BAA ∆是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ⋂=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1AC ； ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向，|EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，有题设知A(1，0，0)，1A (00)，C(0，0，B(－1，0，0)，则BC =（1，01BB =1AA =(－1，0，1AC =(0， ……9分 设n =(,,)x y z 是平面11CBBC 的法向量，则100BC BB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n，即00x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取n =1，-1）， ∴1cos ,AC n =11|A CA C•n |n ||， ∴直线A 1C 与平面BB1C 1C……12分5．（2020全国Ⅰ理18）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【思路导引】（1）要证明PA ⊥平面PBC ，只需证明PA PB ⊥，PA PC ⊥即可；（2）以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB 的法向量为n ，平面PCE 的法向量为m ，利用公式cos ,||||n mm n n m ⋅<>=计算即可得到答案．【解析】（1）由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =，则DO =，1122CO BO AE ===，∴64PO DO ==，44PC PB ====又ABC 为等边三角形，则2sin 60BA OA =，∴BA =，22234PA PB AB +==，则90APB ∠=，∴PA PB ⊥，同理PA PC ⊥，又PCPB P =，∴PA ⊥平面PBC ．（2）过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，∵PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则111(,0,0),((,244E P B C ---，1(,4PC =-，1(4PB =-，1(,0,2PE =-，设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111110x x ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，令1x =111,0z y =-=，∴(2,0,1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =，由00m PC m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222020x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21x =，得22z y ==，∴3(1,3m =，故2cos ,||||3n m mn n m ⋅<>===⋅⨯， 设二面角B PC E --的大小为θ，则cos θ=6．（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且112,2DE ED BF FB ==．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）证明：若12,1,3AB AD AA ===时，求二面角1A EF A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）二面角1A EF A --． 【思路导引】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值． 【解析】证明：（1）在1AA 上取一点M ，使得12A M AM =，分别连结EM ，1B M ，1EC ，1FC ．在长方体1111ABCD A B C D -中，有111DD AA BB ∥∥，且111DD AA BB ==， 又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，∴1DE AM FB ==， ∴四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形． ∴1AF MB ∥且1AF MB =，AD ME ∥且AD ME =，又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11AD B C ∥且11AD B C =， ∴11B C ME ∥且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形， ∴11EC MB ∥且11EC MB =，又1AF MB ∥且1AF MB =，∴1AF EC ∥且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，∴点1C 在平面AEF 内．（2）解：在长方形1111ABCD A B C D -中，以1C 为原点，11C D 所在直线为y 轴，11C B 的直线为y 轴，1C C 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1C xyz -，∵2AB =，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，∴(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ， 则(2,1,1)EF =--，(0,1,1)AE =--，1(0,1,2)A E =-，设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111111102000n x y z y n EF AE z ⎧⋅=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩，取法向量1(1,1,1)n =-；设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2222222120200n x y z y n EF A E z ⎧⋅=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，取法向量2(1,4,2)n =-，∴121212cos ,||||13n n n n n n⋅<>==⋅+ 设二面角1A EF A --为θ，则sin θ==，即二面角1A EF A --． 7．（2019•新课标Ⅰ，理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值．【解析】（1）证明：如图，过作，则，且， 又，，四边形为平行四边形，则， 由，为中点，得为中点，而为中点，，，则四边形为平行四边形，则， ，1111ABCD AB C D -14AA =2AB =60BAD ∠=︒E M N BC 1BB 1A D //MN 1C DE 1A MA N --N NH AD ⊥1//NH AA 112NH AA =1//MB AA 112MB AA =∴NMBH //NM BH 1//NH AA N 1A D H AD E BC //BE DH ∴BE DH =BEDH //BH DE //NM DE ∴平面，平面，平面；（2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，1，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，又平面的一个法向量为， ．二面角．8．（2019•新课标Ⅱ，理17）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．NM ⊂/1C DE DE ⊂1C DE //MN ∴1C DE D DC x DC y 1DD z N 12-2)M 2)1A 1-4)3(3,,0)2NM =11(3,,2)2NA =-1A MN (,,)m x y z =1330213202m NM x y m NA x y z ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩y =(3,2m =-1MAA (1,0,0)n =3cos ,||||133m n m n m n -∴<>===⨯∴1A MA N --1111ABCD A B C D -ABCD E 1AA 1BE EC ⊥BE ⊥11EB C 1AE A E =1B EC C --【解析】证明：（1）长方体中，平面， ，，平面．（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，平面，，，则，1，，，1，，，1，，，0，，，0，， ，面，故取平面的法向量为，0，， 设平面的法向量，，，由，得，取，得，，，，二面角1111ABCD A B C D -11B C ⊥11ABA B 11B C BE ∴⊥1BE EC ⊥BE ∴⊥11EB C C 11AE A E ==BE ⊥11EB C 1BE EB ∴⊥1AB ∴=(1E 1)(1A 0)1(0B 2)1(0C 2)(0C 0)1BC EB ⊥1EB ∴⊥EBC EBC 1(1m EB ==-1)1ECC (n x =y )z 100n CC n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩00z x y z =⎧⎨++=⎩1x =(1n =1-0)1cos ,||||2m n m n m n ∴<>==-∴1B EC C --9．（2018•新课标Ⅲ，理19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【解析】（1）证明：在半圆中，，正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，平面，则，，平面， 平面，平面平面．（2）的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，此时为圆弧的中点，建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 正方形的边长为2，，，，，1，，，0，，则平面的法向量，0，，ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC -MABMCD DM MC⊥ABCD CD AD ∴⊥DCM AD MC ⊥ADDM D =MC ∴⊥ADM MC ⊂MBC ∴AMD ⊥BMC ABC ∆∴M ABC -MO ABCD (2A ∴1-0)(2B 0)(0M 1)MCD (1m =0)设平面的法向量为，， 则，2，，，1，， 由，， 令，则，，即，0，， 则，，则面与面所成二面角的正弦值． ．10．（2017•新课标Ⅰ，理18）如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：，，， ，，又，且平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）解：，，四边形为平行四边形，由（1）知平面，，则四边形为矩形， 在中，由，，可得为等腰直角三角形， 设，则．MAB (n x =y )z (0AB =0)(2AM =-1)20n AB y ==20n AM x y z =-++=1x =0y =2z =(1n =2)cos m<1||||11m n n m n>===⨯MAB MCD sin α=P ABCD -//AB CD 90BAP CDP ∠=∠=︒PAB ⊥PAD PA PD AB DC ===90APD ∠=︒A PB C --90BAP CDP ∠=∠=︒PA AB ∴⊥PD CD ⊥//AB CD AB PD ∴⊥PAPD P =PA ⊂PAD PD ⊂PAD AB ∴⊥PAD AB ⊂PAB ∴PAB ⊥PAD //AB CD AB CD =∴ABCD AB ⊥PADAB AD ∴⊥ABCD APD ∆PA PD =90APD ∠=︒PAD ∆2PA AB a ==AD =取中点，中点，连接、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则：，，，0，．，，．设平面的一个法向量为，由，得，取，得． 平面，平面，，又，，平面，则为平面的一个法向量，．由图可知，二面角为钝角， 二面角的余弦值为．11．（2017•新课标Ⅱ，理19）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点． （1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．AD O BC E PO OE O OA OE OP x yz (,0,0)D ,2,0)B a (0P )(,2,0)Ca (,0,)PD =-(2,2,)PB a =(,0,0)BC =-PBC (,,)n x y z =00n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩20ay +=-=⎪⎩1y =(0,1,2)n =AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB PD ∴⊥PD PA ⊥PAAB A =PD ∴⊥PAB PD PAB (,0,)PD =-2cos ,||||2PD n a PD n PD n a -∴<>===⨯A PB C --∴A PB C --P ABCD -PAD ABCD 12AB BC AD ==90BAD ABC ∠=∠=︒E PD //CE PAB M PC BM ABCD 45︒M AB D --【解析】（1）证明：取的中点，连接，，因为是的中点， 所以，，，， 是平行四边形，可得，平面，平面，直线平面；（2）解：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，， ，是的中点．取的中点，在底面上的射影在上，设，则，， ，直线与底面所成角为，可得：，，， 可得：，，作于，连接，，所以就是二面角的平面角，， 二面角．12．（2017•新课标Ⅲ，理19）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）证明：平面平面；PA F EF BF E PD 1//2EF AD =12AB BC AD ==90BAD ABC ∠=∠=︒1//2BC AD ∴BCEF ∴//CE BF BF ⊂PAB CE ⊂/PAB ∴//CE PAB P ABCD -PAD ABCD 12AB BC AD ==90BAD ABC ∠=∠=︒E PD AD O M ABCD N OC 2AD =1AB BC ==OP =60PCO ∴∠=︒BM ABCD 45︒BN MN =CN =1BC =22113BN BN +=BN =MN =NQ AB ⊥Q MQ AB MN ⊥MQN ∠M AB D --MQ ==M AB D --=ABCD ABC ∆ACD ∆ABD CBD ∠=∠AB BD =ACD ⊥ABC（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，． 是等边三角形，．与中，，，，． 是直角三角形， 是斜边，．． ． ． ．又，平面．又平面， 平面平面．（2）解：设点，到平面的距离分别为，．则． 平面把四面体分成体积相等的两部分，． 点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取．则，0，，，0，，，0，，，0，，，． ，0，，，，0，． AC BD E AEC ABCD D AE C --AC O BO ODABC ∆OB AC ∴⊥ABD ∆CBD ∆AB BD BC ==ABD CBD ∠=∠ABD CBD ∴∆≅∆AD CD ∴=ACD ∆AC ∴90ADC ∴∠=︒12DO AC ∴=2222DO BO AB BD ∴+==90BOD ∴∠=︒OB OD ∴⊥DO A C O =OB ∴⊥ACD OB ⊂ABC ∴ACD ⊥ABC D B ACE D h E h D E h DE h BE=AEC ABCD ∴13113ACE DD E ACE E S h h DE h BE S h ∆∆===∴E BD 2AB =(0O 0)(1A 0)(1C -0)(0D 1)(0B 0)1)2E (1AD =-1)1()2AE =-(2AC =-0)设平面的法向量为，，，则，即，取． 同理可得：平面的法向量为，1，． ．二面角．13．（2016•新课标Ⅰ，理18）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）证明：为正方形，．，，，平面， 平面，平面平面；（Ⅱ）由，，可得为二面角的平面角； 由为正方形，平面，， 平面ADE (m x =y )z 00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩0102x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩(3,3,3)m =ACE (0n =2cos ,||||21m n m n m n -∴<>===⨯∴D AE C --A B C D E F ABEF 2AF FD =90AFD ∠=︒D AF E --C BE F --60︒ABEF ⊥EFDC E BC A --ABEF AF EF ∴⊥90AFD ∠=︒AF DF ∴⊥DF EF F =AF ∴⊥EFDC AF ⊂ABEF ∴ABEF ⊥EFDC AF DF ⊥AF EF ⊥DFE ∠D AF E --ABEF AF ⊥EFDC BE EF ⊥BE ∴⊥EFDC即有，可得为二面角的平面角． 可得．，平面，平面， 平面，平面平面，平面， ， ，四边形为等腰梯形．以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，0，，，，，，0，，，， ，，，，，，0， 设平面的法向量为，，，则，则，取，0，． 设平面的法向量为，，，则，则，取． 设二面角的大小为，则， 则二面角的余弦值为． CE BE ⊥CEF ∠C BE F --60DFE CEF ∠=∠=︒//AB EF AB ⊂/EFDC EF ⊂EFDC //AB ∴EFDC EFDC ⋂ABCD CD =AB ⊂ABCD //AB CD ∴//CD EF ∴∴EFDC E FD a =(0E 0)(0B 2a 0)(2a C )(2A a 2a 0)∴(0EB =2a 0)(2a BC =2a -)(2AB a =-0)BEC 1(m x =1y 1)z 00m EB m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩111120202ay a x ay =⎧⎪⎨-+=⎪⎩(3m =1)-ABC 2(n x =2y 2)z 00n BC n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩222220220a x ay ax ⎧-=⎪⎨⎪=⎩(0n =4)E BC A --θcos ||||m nm n θ=41316-==+E BC A --B 组 能力提升14．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，.PO AC ∴⊥ OP 、BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）取AB 的中点M ，连接OM 、OE ， ABCD 是正方形，易知OM 、OE 、OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，以OM 、OE 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在Rt POE ∆中，2OE =，3PE =，PO ∴=()2,2,0B ∴、()2,2,0D --、(P 、()0,2,0E ，设平面PBE 的一个法向量()111,,m x y z =，()2,0,0BE =-，(0,2,PE =， 由00m BE m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =10x =，12z =，()0,5,2m ∴=. 设平面PDE 的一个法向量()222,,n x y z =，()2,4,0DE=，(0,2,PE =，由00n DE n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222224020x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，取2y =，得22z =，2x =-()25,2n =-. 329cos ,29m nm n m n ⋅∴<>==⋅，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为.15．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角--A PB E 的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)60°.【解析】（1）连结PD ，PA=PB ，PD AB ．//DE BC ，BC AB ，DE AB ． 又PD DE D ⋂=，AB 平面PDE ，PE ⊂平面PDE ， ∴AB PE ． （2）法一：平面PAB平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD AB ，PD 平面ABC ． 则DE PD,又ED AB ，PD 平面AB=D ，DE 平面PAB,过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EFPB ，∠DFE 为所求二面角的平面角， 则：DE=32，DFDE tan DFE DF ∠==A PB E --大小为60︒ 法二：平面PAB 平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD AB ，PD 平面ABC ．如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，B (1，0，0)，P (0，0，)，E (0，32，0)， PB =(1，0，3-)，PE =(0，32，3-）． 设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =，30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n =． DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n =．设二面角的A PB E --大小为，由图知，1212121,2n n cos cos n n n n θ⋅===⋅， 所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒.16．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13 .【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以在Rt△PAH中，所以sin∠APH=AHPH=13.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PE n EC ⋅=⋅=得20,{0,x z x y -=+=设x=2，解得n=(2,-2,1). 设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sinα=||n AP n AP ⋅⋅=13=. 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.17．（2020届江西师范大学附属中学高三一模）如图，ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC，4AB =，EB =（1）求证：DE ⊥平面ACD ；（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B -ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．【答案】（1）见解析（2）()4)3V x x x =<<． 【解析】（1）证明：∵四边形DCBE 为平行四边形，∴//CD BE ，//BC DE ．∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥．∵AB 是圆O 的直径，∴BC AC ⊥，且DC AC C =，,DC AC ⊂平面ADC ，∴BC ⊥平面ADC ．∵//DEBC ，∴DE ⊥平面ADC ．（2）解∵DC ⊥平面ABC ，//DC BE ，∴BE ⊥平面ABC ．在Rt ABE △中，4AB =，EB =在Rt ABC △中，∵AC x =，∴4)BC x =<<，∴1122ABC S AC BC x =⋅=∴()4)ABC E V x V x x -==<<三棱锥． ∵()222221616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2216x x =-，即x =∴当x =． 18．（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ； （Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)14. 【解析】 （Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC=, 易知：111,2AC AC D AD DC ⋂==；又2AE EB =，则DE ∥1BC ；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）侧面11AC CA 是梯形，111AA AC ⊥， 1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π；111,ABC A BC ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点()10,0,1A ，()0,4,0,C())12,0,B B ； 设平面11A B BA 的法向量为()111,,m x y z =，则有：()111111001,3,000y m AB m m AB y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⋅=⎪++=⎩；设平面11C B BC 的法向量为()222,,n x y z =，则有：(221222001,3,030y m CB n m CB y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪-+=⎩；1cos ,4m n m n m n⋅==-， 故平面11A B BA 与平面11C BBC 所成的锐二面角的余弦值为14. 19．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ====.（1）证明：1BC 平面1ACD ；（2）求二面角1D AC E --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 3【解析】证明：证明：连接1AC 交1AC 于点F ，则F 为1AC 的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ．（2）由12AA AC CB AB ====，可得：2AB =，即222AC BC AB += 所以AC BC ⊥又因为111ABC A B C -直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线1CA CB CC 、、为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则()10,0,0)C A D E ⎫⎛⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭、、、，()1222,0,2,,,0,0,2,222CA CD CE ⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则0n CD ⋅=且10n CA ⋅=，可解得y x z =-=，令1x =，得平面1ACD 的一个法向量为()1,1,1n =--， 同理可得平面1ACE 的一个法向量为()2,1,2m =-， 则3cos ,3n m <>=所以二面角1D AC E --的余弦值为3.20．（2020届湖北省黄冈中学高三高考模拟）如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且60DAB ∠=︒，点F 是BC 的中点.（1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角E DF B --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：取AB 的中点O ，连结EO ，OF ，AC ，由题意知，EO AB ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以EO BD ⊥，又因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为OF AC ∥，所以BD OF ⊥，所以BD ⊥平面EOF .又EF ⊂平面EOF ，所以BD EF ⊥.（2）连结DO ，由题意知EO AB ⊥，⊥DO AB .又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以DO ⊥平面ABE ， 又O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()0,0,0O，)E，30,2F ⎛ ⎝⎭，()0,1,0B，(D，30,,2DF ⎛= ⎝⎭，(3,0,DE =. 设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020y z ⎧-=⎪⎨-=， 令1x =，所以131,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.又由（1）可知EO⊥平面ABCD ，所以平面DFB 的一个法向量为()21,0,0n =，设二面角E DF B --的平面角为θ，则121221cos 7||||n n n n θ⋅==⋅.21．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）如图，在直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .（1）求证：AC ⊥平面11BB D D； （2）求直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】（1）∵底面ABCD 为菱形， AC BD ∴⊥∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .1AC DD ∴⊥11,,AC BDACDD BD DD D ⊥⊥⋂=.AC ∴⊥平面11BB D D ；（2）如图，取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF 分别为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系： 3,1AE BE ==，点111(0,1,0),(0,1,2),(0,1,2),,12B B D A O ⎫--⎪⎝⎭， 设平面11OB D 的法向量为(,,)n x y z =，1113(0,2,0),,122D B OB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 有1112033022D B n y OB nx y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2x =，0,y z == 得(2,0,3)n =又33,,1,23,||7,||222OB n OB n OB ⎛⎫=--⋅=-== ⎪⎝⎭， 设直线OB 与平面11OB D 所成的角为θ， 所以sin|cos ,|||7n OB θ=<>== 故直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值为7.。
2021版高考数学(理科)(5年高考+3年模拟)精选课件全国卷1地区通用版：第十五章 数系的扩充与复
=i得出z=
i i
1 1
是解题的关键.
方法总结 求复数z=a+bi(a,b∈R)的模时,通常只需确定a和b的值,代入公式|z|= a2 b2 计算.
1 2i
A.- 4 - 3 i
55
B.- 4 + 3 i
55
C.- 3 - 4 i
55
D.- 3 + 4 i
55
答案 D 本题主要考查复数的四则运算.
1 2i = (1 2i)2 = 3 4i =- 3 + 4 i,故选D.
1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 5
3.(2018课标Ⅲ,2,5分)(1+i)(2-i)= ( )
实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),由z1·z2=(ac-bd)+
(ad+bc)i∈R,得ad+bc=0,不一定有z1= z2 ,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,b∈R),则由z∈R, 得b=0,所以 z =a∈R成立,故命题p4正确.故选B.
9.(2015课标Ⅰ,1,5分,0.844)设复数z满足1 z =i,则|z|= ( )
1 z
A.1 B. 2 C. 3 D.2
答案 A 由已知1 z =i,可得z= i 1 = (i 1)2 = 2i =i,∴|z|=|i|=1,故选A.
1 z
i 1 (i 1)(i 1) 2
解题关键
利用1
1
z z
≠ z2 ,故命题p3不正确,结合选项可知选B.
解法二(直接法):对于命题p1,设z=a+bi(a,b∈R),由
高三数学上学期周练五理B层 试题
卜人入州八九几市潮王学校信丰2021届高三数学上学期周练五〔理B层〕一．选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．1.假设|cosθ|=cosθ，|tanθ|=﹣tanθ，那么的终边在〔〕A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或者x轴上D．第二、四象限或者x轴上2．在直角坐标系中，假设角的终边经过点，那么〔〕A. B. C. D.3．函数那么的值是〔〕A．B．C．D．4.tan〔+α〕=2，那么sin2α=〔〕A．B．﹣C．﹣D．是上的增函数，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．，假设，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．7.函数f〔x〕=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，假设f〔1〕=0，f′〔x〕是f〔x〕的导函数，函数f′〔x〕在区间〔0，1〕内有两个零点，那么a的取值范围是〔〕A．〔e2﹣3，e2+1〕B．〔e2﹣3，+∞〕C．〔﹣∞，2e2+2〕 D．〔2e2﹣6，2e2+2〕8.f〔x〕定义域为〔0，+∞〕，f′〔x〕为f〔x〕的导函数，且满足f〔x〕＞﹣〔x+1〕f′〔x〕，那么不等式f〔x+l〕＞〔x﹣2〕f〔x2﹣5〕的解集是〔〕A．〔﹣2，3〕 B．〔2，+∞〕 C．〔，3〕D．〔，+∞〕二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．9．f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，那么f(－2)＝________.10.f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，那么函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.11．f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，那么不等式f(x－1)≤2的解集是________．12.设曲线y=x n+1〔n∈N+〕在点〔1，1〕处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，那么log2021x1+log2021x2+…+log2021x2021的值是．三、解答题：(本大题一一共2小题，一共24分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕。
高考数学(理科)(5年高考+3年模拟)精选课件全国卷1地区通用：6.3等比数列
A组统一命题•课标卷题组1.（2017课标II ,3,5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B本题主要考查数学文化及等比数列基本量的计算.由题意可知，由上到下灯的盏数知如偽,・・・,的构成以2为公比的等比数列,・・・S尸笛：）=381,・••妒1 —2 3.故选B.2.（2015课标II ,4,5分,0.834）已知等比数列｛如满足血=3,⑷+偽+血=21，则偽+偽+偽=（）A.21B.42C.63D.84答案B 设｛偽｝的公比为g,由/=3“+4+心=21得1 +q*g"=7,解得g—2（负值舍去）./. a^a^a^a ! q2+a3q1+a5q2=（a ｛+6/3+^5）^2=21 x2=42.思路分析用表示血,血,代入已知等式求出孑值，进而利用如+心+血=側+血+心）孑得结果.3.（2016课标I ,15,5分）设等比数列｛如满足如+妒10心+存5,则羽2・・・為的最大值为_ .答案64解析设㈣的公比为g,于是q（q + q ） = 5,解得G=&q=f,1 2 7 1 7 2 49••心=2二「•。
心…心=2""十…+"=2 2”十2”=2 2 n 2 +8 W2“=64・•：匕心…务的最大值为64.思路分析用⑷禺表示如曲4,列方程组解得G皿进而求出偽=2卜；从而表示出么心3…偽,由此即可求出最大值.解题关键1 7求出如并会求■新+無的最大值是解题关键.4.(2018 课标111,17,12 分)等比数列｛如中//,=1 ,a5=4a⑴求｛如的通项公式；(2)记S”为｛cin｝的前比项和・若S”产63，求加. 解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设｛偽｝的公比为q,由题设得如/ *.由己矢口得cf=4q2,解得可=0(舍去咸g=-2或g=2. 故偽=(・2)"一或偽=2"\(2)若偽=(・2尸，则S尸上yi.由時63得(・2)—188.此方程没有正整数解.若為=2心,则S»=2"-1.由S m=63得2"'=64,解得加=6.综上,"2=6.3・思路分析⑴很据己知建立关于g的方程H求得g并检驹-代入等比数列的通项公式(2)利用等比数列前斤项和公式与已知建立等量关系即可求解.易错警示解方程时，对根的检验求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解.解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略⑴求通项.求出等比数列的两个基本量⑦和g后，通项便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.⑶求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前料项和.直接将基本量代入等比数列的前刃项和公式求解或利用等比数列的性质求解.5.（2016课标III,17,12分）已知数列｛如的前n项和SR+N,其中砌0.⑴证明｛如是等比数列，并求其通项公式；（2）若&=冷，求久.解析⑴由题意得如=5\=1+肋1,故2工1“=亠“工0. （2分）由S n= 1 +/a H,S ll+l= 1 +久偽+［得偽+i=肋“+i J偽，即a ll+i（A-1 ）=久偽.由⑷#= 0,工0得⑦#= 0,所以色壬5 儿一1 因此｛如是首项为丄,公比为2 的等比数列，1-z A-1解得久=1. （12分）方法指导⑴利用如=弘£可得到如与/的关系式，要证数列｛如是等比数列,关键是得出如与“之比为常数，其中说明依工0是非常重要的.⑵利用第⑴问的结论列方程即可求出久.B组自主命题•省（区、市）卷题组考点一等比数列的概念及运算1.（2018北京,4,5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载墳最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献•十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于貶. 若第一个单音的频率为/；则第八个单音的频率为（）A.何B，VF/ C.躯f D.Q答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用.由题意知汁三个单音的频率构成首项为/；公比为貶的等比数列，设该等比数列为｛如,则仏F 乙即妒回,故选D.易错警示本题是以数学文化为背景的应用问题,有以下几点容易造成失分:①读不懂题意，不能正确转化为数学问题.②对要用到的公式记忆错误.③在求解过程中计算错误.2.（2014重氏2,5分）对任意等比数列｛如,下列说法一定正确的是（）賊等比数列B.6/2,6/3^6成等比数列C.dCs成等比数列D.03,06,09成等比数列答案D不妨设公比为g,则居="冷,":讥血心劣当q=^±l时,A、B均不正确;％:= G；q（\a2-a8=cii q,同理,C不正确;由〃:nf孑°,偽・偽=讶“：知D正确.3. ____________________________________________________________________ （201 7北京,10,5分）若等差数列｛切和等比数列｛如满足年也=1“也=&则严________________2答案1解析本题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查运算求解能力. 设等差数列｛如的公差为〃，等比数列&｝的公比为g.T Ui=bi=-1 “=伤=&-1 + 3〃 = & . Jd = 3, -\-q y = & q = -2. /.cb=2,b^=2. /. ^-=—=1.4.（2017江苏,9,5分）等比数列｛偽｝的各项均为实数，其前n项和为已知&=詁,斗，则妒答案32解析本题考查等比数列及等比数列的前n项和.设等比数列｛如的公比为彳当 1 时,S3=3«I ,S（i=6a i=2$3,不符合题意,勺（1 —於）_7・冷知,由题设可得44（1-『）_ 63i-q T解得円T•I= 土x2，=32.q = 2,5.（2015湖南,14,5分）设S”为等比数列｛偽｝的前刃项和•若⑦=1,且3$,2S2』3成等差数列侧為=答案3心解析设等比数列｛為｝的公比为q（qtO）,依题意得色=01?=恥3=。
高考数学(理科)(5年高考+3年模拟)精选课件全国卷1地区通用：7.2 简单的线性规划
则z= x +3 y的最小值是 ,最大值是
解析 本小题考查简单的线性规划. 由约束条件得可行域是以A (1,1),B(2,2),C (4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.
当直线y=- x + 过点C (4,-2)时,z= x +3 y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z= x +3 y取得最大值8.
高考理数 (课标专用)
§7.2 简单的线性规划
五年高考
A 组 统一命题·课标卷题组
考点 简单的线性规划
1.(2017 课标Ⅱ,5,分5 )设x ,y满足约束条件
则z=2 x + y的最小值是 ( )
A.-15 B.- 9 C. 1 D.9
答案 A 本题考查简单的线性规划问题. 根据线性约束条件画出可行域,如图.
思路分析 (1)作出可行域,并求出顶点坐标.
(2)平移直线y=- x ,当在y轴上的截距最小时,z= x +3 y取得最小值,当在y轴上的截距最大时
,z= x +
11 .(2016 江苏,12,5分)已知实数x ,y满足
评析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.
5 .(2015 山东,6,5分)已知x ,y满足约束条件
A.3 B. 2 C.- 2 D.-3 答案 B 作出可行域如图.
若z= ax + y的最大值为4,则a=( )
①当a<0 时,显然z= ax + y的最大值不为4;②当a=0 时,z= y在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题 意; ③当0< a<1 时,z= ax + y在B(1,1)处取得最大值,zmax = a+1=4, 故a=3, 舍去;④当a=1 时,z= x + y的 最大值 为2;⑤当a>1 时,z= ax + y在A (2,0)处取得最大值,zmax =2 a=4, 得a=2, 符合题意.综上,a=2.
高考高中数学周练5 理 A必修5 试题
德化一中2021年秋季高中数学周练5 理 新人教A 版必修5全卷满分是150分，考试时间是是120分钟.第一卷〔选择题 一共50分〕一. 选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1. 设,a b R ∈，假设||0a b ->，那么以下不等式中正确的选项是〔 〕 A. 0b a ->B. 220a b +< C. 220a b -< D. 0b a +>2. 数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，那么数列{}n a 的通项公式为〔 〕A. 23n a n =-B. 23n a n =+C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩D.1,123,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩3. 等差数列}{n a 中，121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为〔 〕 A ．7B ．8C ．9D ．104. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，过点(,)n P n S 和1(1,)n Q n S ++ (*n N ∈)的直线的斜率为32n -，那么2459a a a a +++的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．205. 在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-．假设不等式()()1x a x a -+<对任意实数x 成立，那么( )A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 6. 假设221x y +=，那么x y +的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 7. 数列{}n a 中，对任意正整数n ，12321n n a a a a ++++=-，那么2222123n a a a a ++++等于〔 〕A.()221n - B.()1213n - C.()1413n- D.41n-8. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a ＜b)，其全程的平均时速为v ，那么( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b29. 正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。
5年全国卷高考数学真题与优质模拟题(理科)汇编——专题11
专题11.1 坐标系与参数方程A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．3．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=5．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P ． （1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．6．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标．000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3θπ0ρ(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP7．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l ，求a ．11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．12．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．13．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．14．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB l 的斜率．15．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．专题11.1 坐标系与参数方程A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sinx t t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得21,01,01y x x x y =-+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C 方程1,41630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -+=12=136=（舍去），11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44．2．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =， ∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 3．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A ． 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【解析】（1）因为，且，所以C 的直角坐标方程为．的直角坐标方程为．（2）由（1）可设C 的参数方程为（为参数，）．C 上的点到当时，取得最小值7，故C 上的点到5．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P ． （1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解析】（1）因为在C上，当时， 由已知得． 设为l 上除P 的任意一点．在中， 经检验，点在曲线上． 2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=221111t t --<≤+()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+221(1)4y x x +=≠-l 2110x +=cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩αππα-<<l π4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=2π3α=-π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭l 000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3θπ0ρ()00,M ρθ03θπ=04sin 3ρπ==||||cos23OP OA π==(,)Q ρθRt OPQ △cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭(2,)3P πcos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，l 的极坐标方程为． （2）设，在中，即．． 因为P 在线段OM 上，且，故的取值范围是．所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ．6．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标．【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为． （2）设，由题设及（1）知若，则； 若，则或； 若，则． cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(,)P ρθRt OAP △||||cos 4cos ,OP OA θθ== 4cos ρθ=AP OM ⊥θ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP ,,AB BC CD 2cos ρθ=2sin ρθ=2cos ρθ=-1M π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭2M π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=⎪⎝⎭3M 3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(,)P ρθπ04θ2cos θ=π6θ=π3π44θ2sin θ=π3θ=2π3θ=3ππ4θ2cos θ-=5π6θ=综上，P 的极坐标为或或或． 7．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．π6⎫⎪⎭π3⎫⎪⎭2π3⎫⎪⎭5π6⎫⎪⎭【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ； 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ． 又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ． 9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =l 与O 交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．(2)l 的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足2sin 10t α-+=． 于是A B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4a -≥时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-．11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>． 由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-2|sin(2)|3πα=-2≤ 当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为212．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212． 设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．（2）C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M13．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ． 【解析】(1)（均为参数），∴①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为． ∵，∴，即为的极坐标方程．(2)，两边同乘得，，即②：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为，①—②得：，即为，∴，∴．14．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB l 的斜率．【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014k k =+，整理得253k =，则k = 15．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为31(,)22．。
周周练理科628
高三数学(理科)周周练2012628班级___________ 姓名 ___________1 •已知集合M= {x|y lg(1 x)}，集合N {y|y e x, x R}，则M N= _____________________________2. _______________________________________________ 函数y . log o.5(4x23x)的定义域为f x 2 , x 1,3. 已知函数f x 2x 2 1 x 1，则f f 2008 __________2x4 x 1.4•若f (x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) x(1 x)，贝y f(x)的解析式为______________________________ 5. a=1 ”是函数f(x) |x a |在区间1, __ 上为增函数”的条件2 26. ______________________________________________________________________________________ 已知命题p：关于x的方程x ax 4 0有实根；命题q：关于x的函数y 2x ax 4在3, 上是增函数•若p或q”是真命题，p 且q”是假命题，则实数a的取值范围是 _____________________________________________________________2 一7. 已知f(x) lg a 是奇函数，则使f(x)>0的x的取值范围是_________________________1 x&已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(Q Q上是减函数，若f(a-1) > f(2则实数a的取值范围是________________ 9•函数f (x)对于任意实数x满足条件f(x 2) —，若f(1) 5，则f(f(5))= ___________f(x)10已知函数f (x)对一切实数x都有f (3+x) = f ( 3-x)，如果方程f (x) =0恰好有4个不同的实根，则这些实根之和为______________________________11•若不等式(a—2)x2+2(a —2)x—4<0对一切x€ R恒成立，则a的取值范围是 _______________________12 .关于x的方程|x 1|=kx+2有两个不同的实根，则k的取值范围为___________________13 .已知f (x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f (x) lg x .设a f (6)，b f (—)，c彳弓)，则a，b，c的大小关系为_____________________14 .对于函数f(X)定义域中任意的X1，x2 ( X1孜2)，有如下结论：①f(X1+ X2)=f(X1)K X2):② f(X1 X2)=f(X1)+f(X2)；③——>0 二④ f (也生)f "2).人x2 2 2当f(x)=l gx时，上述结论中正确结论的序号是_______________________ 15.设全集是实数集R，A= {x|2x2—7x + 3<0}, B={x|x2+ a v0}.(1)当a= —4时，求A AB和A U B; (2)若(C R A) AB= B，求实数a的取值范围222 216• f(x) 2 log 2 x,x [1,4],求 g(x) f (x) f(x)的值域217.已知二次函数 f(x) ax bx c 同时满足下列条件:①f( 1) 0 ②对任意实数x ,都有f (x) x 0 ③当x (0,2)时，f(x)(1)求 f (1)( 2)求 f(x)(3)当x 1,1时，函数g x f x mx 是单调函数，求 m 的取值范围2a 1sin x a sin x 的最大值为 2，求a 的值4 218 .已知定义域为 R 的函数f(x)(I)求a , b 的值；(H)若对任意的t R ，不等式2x 2x1 b是奇函数.f(t 22t) f (2t 2 k)0恒成立，求 k 的取值范围.19.已知函数y20.对于定义域为D的函数y f(x)，若同时满足下列条件：① f (x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间［a, b］D，使f (x)在［a，b］上的值域为［a，b］；那么把y f (x) ( x D)叫闭函数.(I)求闭函数y x3符合条件②的区间［a, b］;(H)判断函数f(x) ?x 1(x 0)是否为闭函数，并说明理由；4 x(川)若y k . x 2是闭函数，求实数k的取值范围.高二数学(理科)周周练2012.6.28班级1 已知集合M= {x|y lg(1 x)}，集合N { y| y2.函数y ,log0.5(4x23x)的定义域为姓名,x R}，贝U M N = _____ 0,13.已知函数f X f x 2 ,2x 2x 1,1 x 20084.若f (x)是定义在2x4 x 1.R上的奇函数，当x0 时，f(x) x(1 x)，则f(x)的解析式为—f (x) {：(1 x) x 05. a=1 ”是函数f(x) |x a |在区间1, 上为增函数”的充分不必要条件2 6.已知命题p：关于x的方程x ax 420有实根；命题q：关于x的函数y 2x ax 4在3, 上是增函数•若p或q”是真命题，p且q”是假命题，则实数a的取值范围是12 ( 4,4)7.已知f (x) a是奇函数，则使f(x)>0的x的取值范围是_____ 0,1 ______&已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在a 3或a 1-g ,Q上是减函数，若f(a-1) > f(2则实数a的取值范围是9.函数f (x)对于任意实数x满足条件f(x 2) ，若f⑴f(x)5，则f(f(5)) =10已知函数f (x)对一切实数x都有f (3+x) 这些实根之和为12=f ( 3-x)，如果方程f (x) =0恰好有4个不同的实根，则11•若不等式(a- 2)x2+2(a —2)x—4<0对一切x€ R恒成立，则a的取值范围是______ 2,2 ____________ 12 .关于x的方程|x 1|=kx+2有两个不同的实根，则k的取值范围为____ ( 1，) _____13.已知f (x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f(x) lgx .设a f (6)，b5 则a，b，c的大小关系为 ____ c a b ________14 .对于函数f(x)定义域中任意的x1，X2 ( X1孜2)，有如下结论：①f(X1+ x2)=f(X1)K X2):② f(X1 X2)=f(X1)+f(x2)；③——>0 二④ f (“ 生)f (为)f "2).x x2 2 2 当f(x)=l gx时，上述结论中正确结论的序号是______ ②___ ③____15.设全集是实数集R，A= {x|2x2—7x + 3<0}, B={x|x2+ a v0}.(1)当a= —4时，求A AB和A U B; (2)若(C R A) AB= B,求实数a的取值范围5 f (?)，因为是奇雨歌，所以/w = 0,即壬存 "，=人£ 十o又由/T1}—讣知芫「 ---------------- 、第得{ n>St I )»/(*>=*?T7'由上式易知只"直(-«» , 4"上为咸函:ft.又囲八“是奇砺St 从而不毎式乳尸-如)亠e 7) <0 w 于 形亠］-A) *「當 *V- 星鼠函數・由上式推辑- 2* > - 2F + h即对一切兀R fr从而判别武d = 4 + 瑶仇解需k 喘-注：(n)中单调性要有推导过程2 216• f(x) 2 log 2 x,x [1,4],求 g(x) f (x) f(x)的值域无217.已知二次函数 f(x) ax bx c 同时满足下列条件: ① f ( 1)0 ②对任意实数X ,都有f (x) x 0③当 x (0,2)时，f (x)(1)求 f (1)( 2)求 f (x)(3)当x 1,1时，函数g x x mx 是单调函数，求m 的取值范围苏大教师用书P5018 .已知定义域为 R 的函数f(x)(I)求a , b 的值；(H)若对任意的t R ，不等式21 b是奇函数.2 a f (t 22t) f (2t 2 k)0恒成立，求k 的取值范围.2 a 119 •已知函数y sinx心x 4 2的最大值为2，求a的值20.对于定义域为D的函数y f(x)，若同时满足下列条件：① f (x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间［a, b］D，使f (x)在［a，b］上的值域为［a，b］；那么把y f (x) ( x D)叫闭函数.(I)求闭函数y x3符合条件②的区间［a, b］;(H)判断函数f(x) 3x !(x 0)是否为闭函数，并说明理由；(川)若y k x 2是闭函数，求实数k的取值范围.(1｝由题倉在［斗』］上瓏减\则“2 二—1*故所求的区闾为［一I门工(2)取m = 1,卫=101JW /(X!)= #V鴿= ・卑只工)不是4* + *)上的减函數即/(x)^是W.+8〉上的増曲it・所臥畐敎在定文城內不单谄it席版羊调进减，从而宦盛救笳曼闭矗載・(3〉着，=由+ 好国是用亟數°刚存在区间在区间］I刃上，事數/X工〉的值理为C a t b］,即ja a=A+ %/据 + 2；,b=&+ */i+2.为才程工=*+ v^T2W两个实It牴■冲方莊"(2Jfc + l) J卡亭一2込0(工有两卒不等的宾机<2i>Ct煤上所述，Jt€〈-- >-21。
高三理数周考五
为真.
C．命题“ x R ，使得 x2 x 1 0 ”的否定是：“ x R ，均有 x2 x 1 0 ”. D．命题“若 x y ，则 sin x sin y ”的逆否命题为真命题.
5. 已知 f (x) 2x 1 ，若 1 f x f a ，则 a 的值为（ ） 0
A. 1 2
4
所示，则函数 f (x) 的解析式为(
)
A.x x 1
B. x 0 x 1 C. x x 2
D.x 0 x 2
2．已知 a log0.2 2,b 0.22, c 30.2 ，则 （ ）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
3.设函数
f
x
1 log2 2 x, x 1,
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
2021 届高三年级数学（理科）周考五
如图所示，在一个黄金三角形 ABC 中，BC 5 1 ,根据这些信息，可得 sin 2340 （
）
AC 2
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的)
2
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
高三数学理下学期科周考五试卷
高三理科数学周考五试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每题只有一项是符合题目要求，共60分．）1.已知集合}12|{1>=-xxA，}02|{2≤-=xxxB，则=BA （）A.)2,1(B.]2,1[C.]3,0(D.]2,1(2.在复平面内，复数iiz+=1（i是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足FBCF2=，那么=EF（）A.ADAB3121- B.ADAB2131+ C.ADAB3221- D.ADAB2141+4.函数1||2+=xexy（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A. B. C. D.5.在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（）A.21B.2πC.12-πD.22π-6.5)11)(13(-+xx的展开式中的常数项为（）A.14B.14- C.16 D.16-7.已知α为锐角，且1)10tan31(cos=+︒α，则α的值为（）A.︒20 B.︒40 C.︒50 D.︒708.设椭圆C：)0(12222>>=+babyax的左、右焦点分别为1F，2F，点),0(tE（bt<<0）.已知动点P在椭圆上，且点P，E，2F不共线，若2PEF∆的周长的最小值为b3，则椭圆C的离心率为（）A.23B.22C.21D.359.设三棱柱111CBAABC-的侧棱垂直于底面，2==ACAB，︒=∠90BAC，231=AA，且三校柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.π24 B.π18 C.π26 D.π1610.设nS是数列}{na的前n项和，若nnnSa2=+，)(22*11Nnaannb n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nnb1的前99项和为（）A.9897B.9998C.10099D.10110011.已知函数21181,2,log2)(21≤≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧+=xxxxfx，若))(()(babfaf<=，则ab的最小值为（）A.22B.21C.42D.3512.已知双曲线C：)0,0(12222>>=-babyax，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间.已知O为原点，且aOA35||=，则=||||FCFA（）A.45B.34C.23D.25二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分共20分．把答案填在题中横线上）13.已知函数xaxxf x cos)12(log)(2++-=)(Ra∈为偶函数，则=a___________.14.已知nS是等比数列}{na的前n项和，且3S，9S，6S成等差数列，652=+aa，则=8a___________.15.若)2sin(2)(ϕ+=xxf)0(>ϕ的图像关于直线12π=x对称，且当ϕ取最小值时，)2,0(π∈∃x，使得axf=)(，则a的取值范围是___________.16. 在四面体ABC P -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6=PA ，8=PB ，10=PC ，则四面体ABC P -的体积为___________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()13,21122n n a S n a n ==++≥， ，1）求{}n a 的通项公式；，2）设()()*211n n b n N a =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()*710n T n N <∈，18.（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)sin()sin(C B c C B A a +=-+. （1）求角C 的值；（2）若62=+b a ，且ABC ∆的面积为3，求ABC ∆的周长.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11是菱形，其对角线的交点为O ，且1AC AB =，C B AB 1⊥. （1）求证：⊥AO 平面C C BB 11；（2）设︒=∠601BC B ，若直线11B A 与平面C C BB 11所成的角为︒45，求二面角B C B A --111的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭图1C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右顶点与抛物线2C ：)0(22>=p px y 的焦点重合，椭圆1C 的离心率为21，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为24.（1）求椭图1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点)0,4(-A 的直线l 与椭图1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论. 21.（本小题满分12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为1:3.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过n （*N n ∈）次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望. 22.（本小题满分12分）已知函数)()1()(R a x a e ae x f x x ∈+--=-，)(x f 既存在极大值，又存在极小值. （1）求实数a 的取值范围；（2）当10<<a 时，1x ，2x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点.且0)()(21>+x kf x f ，求实数k 的取值范围.高三理科数学周考五答案 一：选择题二：选择题13.2114．3 15． ]2,3(- 16．118 三：简答题17.【详解】（1）当2n =时，22231S a =+，解得22a =， 当3n =时，33241S a =+，解得33a =，当3n ≥时，()211n n S n a =++，1121n n S na --=+， 以上两式相减，得()121n n n a n a na -=+-，，11n n a a n n -=-， ，1112n n na a a n n -====-， ，3,12,2n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩，2，()()224,125111,21n n n b a n n ⎧=⎪⎪==⎨+⎪≥+⎪⎩当2n ≥时，()()21111111n b n n n n n =<=-+++，，41111113317252334150110n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查利用放缩法证明不等式，考查裂项相消法求和，意18．（本小题满分12分）19.。
高三数学下学期周练五理 试题
卜人入州八九几市潮王学校正阳县第二高级二零二零—二零二壹下期高三理科数学周练〔五〕一.选择题：{|1,A x x =≤-或者1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，那么〔〕A.{1}A B =B.()R A C B A =C.()(0,1]R C A B =D.A B R = 21z i =+，那么2z =〔〕 3.如下列图为一个8X8的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，那么落在黑方格内的豆子总数最接近〔〕{}n a 中，1344a a a ==，那么为6a =〔〕A.-6B.8±1p ：假设αβ⊥且αγ⊥，那么β∥γ;2p ：假设a⊥b,b⊥c,那么a∥c3p ：假设,a b αα⊥⊥，那么a∥b;4p :假设a⊥α，b⊥β，且αβ⊥，那么a⊥b A.1p ,2p B.2p ,3p C.1p ,3p D.3p ,4p6.九章算术中介绍了一种“更相减损术〞，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示出来如下，假设输入a=20,b=8,那么输出的结果为〔〕A.a=4,i=3B.a=4,i=4C.a=2,i=3D.a=2,i=47.113()2ee m dx x --=⎰，那么m 的值是〔〕 A.14e e - B.12C.12- 3，其三视图如下列图，图中均为正方形，那么该几何体的体积为〔〕A.16B.163C.839.变量x,y 满足22221x y x y y x +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≥⎩，那么z=3y-x 的取值范围为〔〕A.[1,2]B.[2,5]C.[2,6]D.[1,6]10.26(1)(1)x x +-展开式中，3x 项的系数为22(0)y px p =>的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，过着两点向y 轴引垂线交y 轴于D ，C ，假设梯形ABCD 的面积为32，那么p=〔〕 120x x a <<<都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，那么a 的最大值为〔〕 二.填空题： ,a b 满足(),(4)a a b b a b ⊥+⊥+，那么:b a=__________________ 14.圆O ：221x y +=，点12534(,),(,)131355A B -，记射线OA 与x 轴正半轴所夹的锐角为α，将点B 绕圆心O 逆时针旋转α角度得到C 点，那么点C 的坐标是_________22221(0,0)x y a b a a-=>>的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，那么双曲线的离心率为〔〕cos 3n n n b a π=的前n 项和为n S ，201520161,0S S ==，假设数列{}n a 为等差数列，那么2017S =〔〕三.解答题〔一共70分，解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤，第17—21题为必考题，每个试题考生都必须解答，第22,23题为选考题，考生根据要求答题〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2sin 3R a A =〔1〕求角A 的大小〔2〕假设a=2,求△ABC 周长的最大值 18.如下列图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，△PDC 和△BDC 均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC ，点E 为PB 的中点〔1〕求证：AE ∥平面PDC 〔2〕求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值19.某建筑公司在A ，B 两地各有一家工厂，它们消费的建材由公司直接运往C 地，为了减少运费，该公司预备HY 修建一条从A 地或者者B 地直达C 地的公路；假设选择从某地修建公路，那么另外一地消费的建材可先运输至该地再运至C 以节约费用。
高考数学(理科)(5年高考+3年模拟)精选课件全国卷1地区通用：6.2 等差数列
§6.2 等差数列
五年高考
A 组 统一命题·课标卷题组
考点一 等差数列的概念及运算
1.(2018 课标Ⅰ,4,分5 )记Sn为等差数列{an}的前n 项和.若3 S3= S2+ S4,a1=2, 则a5= ( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12
答案 B 本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式.
答案 an=6 n -3
解析 本题主要考查等差数列的通项公式. 设等差数列{an}的公差为d ,则a2+ a5= a1+ d + a1+4 d =2 a1+5 d =6+5 d =36,∴ d =6,∴an= a1+( n 1)d =3+6( n 1)=6 n -3.
思路分析 (1)已知anan+1 = λSn-1,用n +1 代替n 得an+1 ·an+2 = λSn+1 -1,两式相减得结论. (2)利用a1=1, a2= λ-1,a3= λ+1 及2 a2= a1+ a3,得λ=4. 进而得an+2 -an=4. 故数列{an}的奇数项和偶 数项分 别方组法成总公结差 为对4于的含等a差n、数S列n的,分等别式求的通处项理,,进往而往求可出转{换an}为的关通于项a公n的式递,从推而式证或出关等于差Sn数的列递.推式;对于 存在 自主命题· 省(区、市)卷题组
考点一 等差数列的概念及运算
1.(2015 重庆,2,5分)在等差数列{an}中,若a2=4, a4=2, 则a6=( ) A.-1 B. 0 C. 1 D.6
答案 B 设数列{an}的公差为d ,由a4= a2+2 d ,a2=4, a4=2, 得2=4+2 d ,d =-1,∴ a6= a4+2 d =0. 故选B. 2.(2014 福建,3,5分)等差数列{an}的前n 项和为Sn,若a1=2, S3=12, 则a6等于 ( ) A.8 B.1 0 C.12 D.14
高三数学周周清5理科试题
高三数学周周清〔5〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题 1．f (1)=3，f (n+1)=31[3f (n)+1]，n ∈N *，那么f (100)的值是〔 〕{}n a 中,2311,,2a a a 成等差数列,那么4534a aa a ++的值是( )C.3．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且132+=n nT S n n ，那么55b a 〔 〕 A ．32 B ．97 C ．3120 D ．149{}n a 各项都是负数,且22383829a a a a ++=, 那么它的前10项和10S 为( )A.15B.13C.13-D.15-5．关于x 的函数y =log 21〔a 2－ax +2a 〕在［1，+∞)上为减函数，那么实数a 的取值范围是A ．〔-∞，0〕B ．〔1-，0〕C ．〔0，2]D ．〔－∞，－1〕6．假设f 〔x 〕是偶函数，且当x ∈［0，+∞)时，f 〔x 〕 = x – 1，那么不等式f 〔x －1〕 >1的解集是A ．{x |1-< x < 3}B ．{x | x <1-，或者x >3}C ．{x | x > 2}D ．{x | x > 3}7数列｛a n ｝满足a 1=4, a n+1 +a n =4n+6(n ∈N*),那么a 20 =( ) A 40 B 42 C 44 D 468．函数()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，它们的定义域为[]ππ-，，且它们在[0]x π∈，上的图象如下列图所示，那么不等式()()f xg x ＞0的解集为〔 〕 A ．(0)()33πππ-，， B ．()(0)33πππ--，，C ．(0)()44πππ-，，D ．()()33ππππ--，，9．假设关于x 的方程21(1)10(01)x xa a a a m+++=>≠，有解，那么m 的取值范围是〔 〕A ．1[0)3-，B ．1[0)(01]3-，，C ．1(]3-∞-，D ．[1)+∞，10在数列{}n a 中，假如存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，数列{}n x 满足11(2,)n n n x x x n n +-=-≥∈N ，假如121,(,0)x x a a R a ==∈≠，当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2021项和是〔 〕二、填空题11数列｛a n ｝的通项公式a n =log 2(n+1n+2) (n ∈N*),其前n 项之和为S n ，那么使S n <-5成立的正整数n 的最小值是_____ 12．命题p ：1122k ->；命题q ：函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ，那么p 是q 的___________________条件．(填必要不充分、充分不必要、充分必要、既不充分也不必要〕 13．数列}{n a 满足*),2(113121,113211N n n a n a a a a a n n ∈≥-++++==- . 假设2006=n a ，那么=n __ _.14．假设数列{}n a 的通项公式为)(524525122+--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=N n a n n n ，{}n a 的最大值为第x 项，最小项为第y 项，那么x+ y 等于__________________．15、在如下图的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一 列出，构成一个数列{n a }：11C ，02C ，22C ，13C ，04C ， 33C ，24C ，15C ，06C ，……，那么22a = ；〔用数值答题〕 2009a = 。
周练数学试卷(理科)
周练数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）1．设集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y的值为（）A． 0 B． 1 C． e D．2．在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）A． B．﹣ C．i D．﹣i3．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（） A． 0.852 B． 0.8192 C． 0.75 D． 0.84．过点P（0，﹣2）的双曲线C的一个焦点与抛物线x2=﹣16y的焦点相同，则双曲线C的标准方程是（）A． B． C． D．5．在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A． 22 B． 23 C． 24 D． 256．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一实数λ使=λB．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”C．已知向量、为非零向量，则“、的夹角为钝角”的充要条件是“＜0”D．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞07．设函数f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）（w＞0）的最小正周期为π，则（） A． f（x）在（0，）上单调递增 B． f（x）在（0，）上单调递减C． f（x）在（0，）上单调递增 D． f（x）在（0，）上单调递减8．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A． 29 B． 44 C． 52 D． 629．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A． B． C． 4 D． 810．平行四边形ABCD中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A． 4 B．﹣4 C． 2 D．﹣211．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D 上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f （x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和为4．其中正确的是（）A．甲、乙、丁 B．乙、丙 C．甲、乙、丙 D．甲、丙二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.14．曲线y=x 3+x 在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ．15．已知函数f （x ）=，则f （a ）+f （1）=0，则实数a 的值等于 ．16．设F 1、F 2分别是椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点，与直线y=b 相切的⊙F 2交椭圆于点E ，且E 是直线EF 1与⊙F 2的切点，则椭圆的离心率为 ．三、解答题：17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知=，（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c 的取值范围．18．濮阳市黄河滩区某村2010年至2016年人均纯收入（单位：万元）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2012年至2017年该村人均纯收入的变化情况，并预测该村2018年人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小乘法估计公式分别为： =，=﹣．19.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．20如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点11()()24P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值. 21．已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=．（1）当k=e 时，求函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）的单调区间和极值；（2）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数k 的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，设圆C 1：ρ=4cos θ 与直线l ：θ=（ρ∈R ）交于A ，B 两点．（Ⅰ）求以AB 为直径的圆C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C 1任取一点M ，在圆C 2上任取一点N ，求|MN|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣|x+3|，a ∈R ． （Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f （x ）≤1；（Ⅱ）若当x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求a 的取值范围．理科科参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分驻马店市2014-2015学年度第二学期期终考试高二数学（文科）试题1．A．2．A．3.C．4.C5.A6.B．7.B．8.A．9.C．10.A．11.C．12.A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．1/2 14，． 15.﹣3或1． 16.e==．三、解答题：本大题共5小题，共70分17．解：（Ⅰ）由正弦定理知==，∴sinA=cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A= (5)（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，由余弦定理得36=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6， (9)∴6＜b+c≤12，即b+c的取值范围是（6，12]． (12)18解：（Ⅰ）由题所给的数据样本平均数==4，==4.3∴（x i﹣）（y i﹣）=（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+0+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14................．. (3)（x i﹣）2=9+4+4+0+1+4+9=28．∴==∴=4.3﹣×4=2.3，∴y关于x的线性回归方程为：y=x+2.3． (6)（Ⅱ）由（Ⅰ）可得线性回归方程为y=x+2.32018年人均纯收入，即x=8，可得y=（万元）．即预测该村2018年人均纯收入为6.3万元． (12)19，⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC (5)⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒ ∵AB EF ∥ AB ⊄平面EFDCEF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，FD a =()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，()020EB a =，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，.0m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ==-，()301m =-，， (8)设面ABC 法向量为()222n x y z =，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即222220220a x ay ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩22204x y z ==， ()034n =，设二面角E BC A --的大小为θ.cos 3m n m nθ⋅===+⋅.........10 ∴二面角E BC A --的余弦值为.. (12)（Ⅱ）由（Ⅰ）知P （x ，x 2），-12<x <32，故PA =（-12-x ，14-x 2），设直线AP 的斜率为k ，则AP ：y =kx +12k +14，BP ：y =13924x k k -++，...............................5 由112413924y kx k y x k k ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩222234981(,)2244k k k k Q k k +-++⇒++ (7)故1(PQ +=，又(1PA =--332(1)1)(1)k k PA PQ PA PQ k +--==即3(1)(1)PA PQ k k =+-，令3()(1)(1),11f x x x x =+--<<， (9)则22()(1)(24)2(1)(21)f x x x x x '=+-=-+-，当112x -<<时，()0f x '>，当112x <<时，()0f x '< (10)PA PQ 的最大值为21 解：（1）注意到函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， ∴h （x ）=lnx ﹣，当k=e 时， ∴h （x ）=lnx ﹣，∴h ′（x ）=﹣= (2)若0＜x ＜e ，则h ′（x ）＜0；若x ＞e ，则h ′（x ）＞0． ∴h （x ）是（0，e ）上的减函数，是（e ，+∞）上的增函数， 故h （x ）min =h （e ）=2﹣e ，故函数h（x）的减区间为（0，e），增区间为（e，+∞），极小值为2﹣e，无极大值． (5)（2）由（1）知，h′（x）=﹣=，当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，注意到h（1）=0，∴0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0； (7)若x＞k，h′（x）＞0．∴h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，故只需h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≥0．令u（x）=lnx﹣x+1（x＞0），∴u′（x）=﹣1= (9)当0＜x＜1时，u′（x）＞0；当x＞1时，u′（x）＜0．∴u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．∴当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，即k=1为所求． (12)22 解：（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意得圆C1：ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ，∴圆C1的直角坐标方程 x2+y2﹣4x=0．直线l的直角坐标方程 y=x． (3)由，解得或．∴A（0，0），B（2，2）．从而圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，即x2+y2=2x+2y．将其化为极坐标方程为：ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ． (6)（Ⅱ）∵，∴|MN|max=|C1C2|+r1+r2=+2+=2+2． (10)23（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（5分）（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[﹣7，7]．…（10分）。
高三周练理科数学试卷(5)
高三周练理科数学试卷（5）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合2{|10}M x x =-≤,11{|24,}2x N x x Z +=<<∈,则M N =A ．}1{B ．}1,0,1{-C ．}0,1{-D ．∅2. 已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 3. 已知命题;32,:xxR x P <∈∀命题231,:x x R x q -=∈∃则下列命题中为真命题的是： .A p q ∧ q p B ∧⌝. q p C ⌝∧. q p D ⌝∧⌝. 4. 已知函数()()x x f a -=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()21log x x g a -=的单调增区间是A. (]0,∞-B. (]1,0-C. [)+∞,0D. [)1,0 5. 对数函数a x x f -=ln )(在[]1,1-区间上恒有意义，则a 的取值范围是:[].1,1A - (][).,11,B -∞-+∞ .(,1)(1,)C -∞-+∞ .(,0)(0,)D -∞+∞6. 已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件： ①()f x 的值域为M ，且M ⊆[],a b ；②对任意不相等的x ，y ∈[],a b ， 都有|()f x －()f y |<|x －y |． 那么，关于x 的方程()f x =x 在区间[],a b 上根的情况是A ．没有实数根B ．有且仅有一个实数根C ．恰有两个不等的实数根D ．有无数个不同的实数根 7. 设=)(x f R x x x ∈+,3，当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则m 的取值范围是 A ．（0,1） B ．)0,(-∞ C ．)21,(-∞D ．)1,(-∞8. 函数221()log x f x x-=的定义域为 A.()+∞,0 B.()+∞,1 C.()1,0 D.()()+∞,11,0 9. 已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为 A.1 B.2 C.0 D.0或210. 已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为A ．2或7-B ．2或8-C ．1或7-D ．1或8-11. 设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)-∞+∞上，()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式3()2()05f x f x x--<的解集为A.(1,0)(1,)-+∞B.(,1)(0,1)-∞-C.(,1)(1,)-∞-+∞D.(1,0)(0,1)-12．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时， ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩则关于x 的函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为A ．12a -B ．21a-C ．12a--D ．21a--二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知幂函数21()(1)mf x m m x-=--在(0,)+∞上是增函数，则实数m ＝__________；14．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是____ _；15．若等比数列{ n a }的首项为23，且441(12)a x dx =+⎰，则公比等于 ；16.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数： ①1()f x x =；②()sin f x x =；③()f x =ln ()x f x x= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 . (写出所有正确的序号)三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 17. (本小题满分12分)已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-∈=≤+<∈=221,510x R x B ax R x A （Ⅰ）B A ,能否相等？若能，求出实数a 的值，若不能，试说明理由？（Ⅱ）若命题,:A x p ∈命题B x q ∈:且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；18. (本小题满分12分)已知函数122()log 1ax f x x -=-(a 为常数).（Ⅰ）若常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;（Ⅱ）若()f x 在区间(2,4)上是减函数,求实数a 的取值范围.19. (本小题满分12分)设函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且是定义域在R 上的奇函数． （Ⅰ）若2(1)0,(2)(4)0f f x x f x >++->试求不等式的解集； （Ⅱ）若223(1),()2()[1,)2x x f g x a a mf x -==+-+∞且在上的最小值为—2，求m 的值．20. (本小题满分12分）已知函数)0(21)(,ln )(2≠+==a bx ax x g x x f （Ⅰ）若2-=a 时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设函数)(],2ln ,0[,)(2x x be e x x xϕϕ求函数∈+=的最小值.21. (本小题满分12分)已知函数1()ln ln 22ef x x x =-+,32()()2x g x f x x =--.（Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）设函数2()4h x x mx =-+,若存在1(0,1]x ∈,对任意的2[1,2]x ∈,总有12()()g x h x ≥成立,求实数m 的取值范围.22. （本小题满分10分）极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷（5）参考答案一．选择题：1.C2. B3. B4. D5. C6. B7. D8. D9. C 10.A 11. D 12.A9、由题意，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，即()()0x f x f x x'⋅+>，∴当0x >时，()()0x f x f x '⋅+>；当0x <时，()()0x f x f x '⋅+<。
高三数学上学期周练五理试题
2021-2021学年高三上期理科数学周练五一.选择题〔12X5=60分〕：1.命题p :xa x f =)((a ＞0且a ≠1)是单调增函数：命题)45,4(:ππ∈∀x q ,x x cos sin ＞那么以下命题为真命题的是〔 〕A.q p ∧B.q p ⌝∨C.q p ⌝∧⌝D.q p ∧⌝ 2. 复数z 满足(z+2i)(3+i)＝7-i ，那么复数z 在复平面内对应的点在〔 〕 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，那么长方体的外表积为〔 〕A ．44 B ．54 C ．88 D ．1084. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔 〕A.263π+B.83π+ C.243π+ D.43π+5. .以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的HY 方程为〔 〕A.()()22115x y -+-= B.()()22115x y +++= C.()2215x y -+= D.()2215x y +-= 6. 函数1ln --=x ey x的图像大致是〔 〕7. 在ABC ∆中，(3sin cos )(3sin cos )4cos cos B B C C B C --=，且4AB AC +=，那么BC 长度的取值范围为〔 〕A ．(]0,2B ． [)2,4C ． [)2,+∞D ． ()2,+∞ 8. 如下图，程序框图的功能是〔 〕 A ．求{n 1}前10项和 B ．求{n 21}前10项和 C ．求{n 1}前11项和 D ．求{n21}前11项和 9. y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-301205x y x y x ，那么22(1)z x y =++的最小值是 ．A.15 B.25C.45D. 35 10. 抛物线28,y x P =为其上一点,点N(5,0),点M 满足||1,.0MN MN MP ==,那么||MP 的最小值为〔 〕A.3 B.4C.23D.2611. 定义一种运算bc ad d c b a -=*),(),(，假设函数))51(,413(tan)log 1()(3xx x f π*=，，0x 是方程0)(=x f 的解，且100x x <<，那么)(1x f 的值( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0 12.正实数是自然对数的底数其中满足、、e c c a b c ace c b a ,ln ln ,21+=≤≤，那么abln的取值范围是( ) A. [)∞+，1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2ln 21,1 C. (]1,-∞-e D. []11-e ，1 12 2 A1122 B1 12 2 C1 12 2 D第5题图二.填空题〔4X5=20分〕：13. 函数的方程，假设方程恰有8个不同的实根，那么实数k 的取值范围是 .14. 曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，那么P 的坐标为_____15. 在中，边的垂直平分线交边于，假设,那么的面积为 .16. 椭圆C ：的上顶点为A ，右焦点为F ，椭圆C 上存在点P 使线段OP 被直线AF 平分，其中O 为原点，那么椭圆C 的离心率的取值范围是______．三.解答题：17. 〔本小题满分是12分〕向量＝(sinx,-cosx),＝(3cosx,cosx),设函数f(x)＝.〔1〕求函数f(x)在(0,π)上的单调增区间；〔2〕在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，A为锐角，假设f(A)＝0，sin(A+C)=3sinC,C＝3，求边a的长18.假设时递增的等比数列，成等差数列〔1〕求数列的通项〔2〕令，求数列的前n 项和19. (本小题满分是12分〕如图，等边中，分别为边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.〔I)求证：平面平面；(II)求二面角的余弦值.20.椭圆的中心为，它的一个顶点为，离心率为，过其右焦点的直线交该椭圆于两点．〔1〕求这个椭圆的方程；〔2〕假设，求的面积．21. 在区间D上，假如函数f〔x〕为增函数，而函数为减函数，那么称函数f〔x〕为“弱增函数〞．函数f〔x〕=1﹣．〔1〕判断函数f〔x〕在区间〔0，1]上是否为“弱增函数〞；〔2〕设x1，x2∈[0，+∞〕，且x1≠x2，证明：|f〔x2〕﹣f〔x1〕|＜；〔3〕当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，务实数a，b的取值范围．选做题：22.〔本小题满分是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程圆在极坐标方程为，直线的参数方程为〔为参数〕.假设直线与圆相交于不同的两点.〔Ⅰ〕写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；〔Ⅱ〕假设弦长，求直线的斜率.23.设.〔Ⅰ〕求的解集；〔Ⅱ〕当时，求证：.参考答案：1-6.DBCCAD 7-12.ABBCAD13.14.〔1,1〕15.或者16.17.〔1〕〔2〕18.〔1〕〔2〕19.〔1〕略〔2〕20.〔1〕〔2〕21.〔1〕略〔2〕略〔3〕或者22.〔1〕〔2〕0或者23.〔1〕[-5,5](2)略励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
5年全国卷高考数学真题与优质模拟题(理科)汇编——专题6
专题6.2 数列（解答题）A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅲ理17）设等差数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-． （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S ．2．（2016•新课标Ⅲ，理17）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53132S =，求λ．3．（2014新课标Ⅰ，理17）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．4．（2018•新课标Ⅲ，理文17）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．5．（2014新课标Ⅱ，理17）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+． （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+．6．（2019•新课标Ⅱ，理19）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式． ．7．（2016•新课标Ⅱ，理17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．8．（2011新课标，理17）等比数列{n a }的各项均为整数，且1223a a +=1，23a =269a a ，（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设n b =31323log log log n a a a +++，求数列{1nb }的前n 项和．B 组 能力提升9．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .10．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.11．（2020届江西师范大学附属中学高三一模）已知数列{}n a 中，a 1=1，其前n 项和为n S ，且满足()(21)n n S n a n +=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围．12．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足12112nn nc c c b a a a ++++=,求数列{}n c 的前2020项的和．13．（2020届湖北省黄冈中学高三高考模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()32nn n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .专题6.2 数列（解答题）A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅲ理17）设等差数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-． （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =+；（2）1(21)22n n S n +=-+．【思路导引】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可．【解析】（1）由13a =，134n n a a n +=-，21345a a =-=，323427a a =-⨯=， …猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+．证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立；（1） 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈， 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++（2） 故假设成立，综上（1）（2），∴21n a n =+*(N )n ∈（2）解法一：令2(21)2n n n n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++（1） 由（1）两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++（2） 由（1）-（2）的322112(12)3222...2(21)26(21)212n nn n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-，化简得1(21)22n n S n +=-+．解法二：由（1）可知，2(21)2n n n a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2nn n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+．2．（2016•新课标Ⅲ，理17）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53132S =，求λ． 【解析】（1）1n n S a λ=+，0λ≠． 0n a ∴≠．当2n 时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-， 即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠， 即11n n a a λλ-=-，(2)n ， {}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=， 即111a λ=-， 11()11n n a λλλ-∴=--． （2）若53132S =， 则若451311[()]1132S λλλλ=+=--，即5311()113232λλ=-=--， 则112λλ=--，得1λ=-． 3．（2014新课标Ⅰ，理17）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．【解析】(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2nm =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列． 4．（2018•新课标Ⅲ，理文17）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【解析】（1）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =． 4214(1)q q ∴⨯=⨯⨯，解得2q =±，当2q =时，12n n a -=， 当2q =-时，1(2)n n a -=-，{}n a ∴的通项公式为，12n n a -=，或1(2)n n a -=-．（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．当11a =，2q =-时，1(1)1(2)1(2)11(2)3n n nn a q S q -----===---，由63m S =，得1(2)633mm S --==，m N ∈，无解；当11a =，2q =时，1(1)1221112n nn n a q S q --===---， 由63m S =，得2163m m S =-=，m N ∈， 解得6m =．5．（2014新课标Ⅱ，理17）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+． （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+．【解析】（Ⅰ）∵131n n a a +=+，∴1113()22n n a a ++=+，即：11231()2n n a a ++=+ 又11322a +=，∴1{}2n a +是以32为首项，3为公比的等比数列．∴113322n n a -+=⋅，即312n n a -=（Ⅱ）由（Ⅰ）知312n n a -=，∴1121()313n n n n a -=≤∈-N*∴21211()11111131331[1()]133323213nn n n a a a -++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+==-<- 故：1211132n a a a ++⋅⋅⋅+< 6．（2019•新课标Ⅱ，理19）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式．【解析】（1）证明：1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--； 114()2()n n n n a b a b ++∴+=+，114()4()8n n n n a b a b ++-=-+；即111()2n n n n a b a b +++=+，112n n n n a b a b ++-=-+；又111a b +=，111a b -=， {}n n a b ∴+是首项为1，公比为12的等比数列， {}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：11()2n n n a b -+=，12(1)21n n a b n n -=+-=-；11()22n n a n ∴=+-，11()22n n b n =-+．7．（2016•新课标Ⅱ，理17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =． 可得44a =，则公差1d =． n a n =，[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==， 11[11]1b lg ==， 101[101]2b lg ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==． 1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893⨯+⨯+⨯+=．8．（2011新课标，理17）等比数列{n a }的各项均为整数，且1223a a +=1，23a =269a a ，（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设n b =31323log log log n a a a +++，求数列{1nb }的前n 项和． 【解析】（Ⅰ）设数列{n a }的公比为q ，由23a =269a a 得23a =249a ，所以2q =19， 由条件可知q ＞0，故q =13． 由122+3a a =1得112+3a a q =1，所以1a =13， 故数列{n a }的通项公式为n a =13n． （Ⅱ）n b =31323log log log n a a a +++=(12)n -+++=(1)2n n +-故1nb =2(1)n n -+=112()1n n --+， 12111nb b b +++=111112[(1)()()]2231n n --+-++-+=21n n -+所以数列{1nb }的前n 项和为21n n -+．B 组 能力提升9．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）12n n a ；（Ⅱ）()()3234212n n S n n +=-++. 【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，即2320-+=q q ，解得2q或1q =（舍去），2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；（Ⅱ）()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪. 10．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）证明见解析，21n n a =-；（2）11202. 【解析】（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()1112n n S n a --+-=()2n ≥.②①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()1121n n a a -+=+()2n ≥. 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-.（2）根据（1）求解知，()22log 121121nn b n =+--=-，11b =，所以12n n b b ，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()7127212107(1213)107214222772212-⨯+⨯⎡⎤=-+++-=-+⎣⎦-281072911202=-+=.11．（2020届江西师范大学附属中学高三一模）已知数列{}n a 中，a 1=1，其前n 项和为n S ，且满足()(21)n n S n a n +=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围．【答案】（1）()n a n n +=∈N （2）(),2-∞ 【解析】（1）∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S n a ++=+，∴()()11221n n n a n a n a ++=+-+， 即()11n n na n a +=+，∴11n na a n n+=+， ∴11111n n a a a n n -====-， ∴()n a n n +=∈N ． （2）23n n b n λ=-．()()2121313n n n n b b n n λλ++-=-+--=2·3n -λ（2n+1）． ∵数列{}n b 为递增数列，∴()23210nn λ⋅-+>，即2321nn λ⋅<+．令2321nn c n ⋅=+，即112321631232323n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+．∴{}n c 为递增数列，∴12c λ<=， 即λ的取值范围为(),2-∞．12．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足12112nn nc c c b a a a ++++=,求数列{}n c 的前2020项的和． 【答案】（1）2n a n =，2n n b =； （2）2022201928⨯+. 【解析】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ， 所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a =2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++=① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+=② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅，又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩ . 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯③， 则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ，所以20222020201924T =⨯+， 所以2020S =202220204201928T +=⨯+.13．（2020届湖北省黄冈中学高三高考模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()32nn n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）22n n T n +=⋅ 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，∵465218a a a +==，∴59a =，()11111611111212a a S a +===，∴611a =， ∴651192d a a =-=-=，∴5(5)92(5)21n a a n d n n =+-=+-=-. （2）由（1）可知()132(213)2(1)2nnn n n b a n n +=+=-+=+，∴数列{}n b 的前n 项和为2341223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+++，3451222232422(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++++，两式作差，得2341222222(1)2n n n T n ++-=⨯++++-+()122228128(1)2828(1)2212n n n n n n n n -++++-=+-+=+--+=--，∴22n n T n +=⋅.。
5年全国卷高考数学真题与优质模拟题(理科)汇编——专题9
专题9.1 解析几何（选填题）A 组 5年高考真题1．【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 2．【2018高考全国2理12】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △等腰三角形，12120F F P ∠=，则C 的离心率为 （）A ．23 B ．12 C ．13 D ．143．（2017新课标Ⅲ文理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．134．（2016年全国III 文理）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．345．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a （）A ．1B ．2C ．4D ．86．【2019年高考全国Ⅱ理】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A BC ．D ．8．【2018高考全国1理11】已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN △为直角三角形，则=MN（）A ．23 B ．3 C ．32 D ．49．（2018全国Ⅰ理8）设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为32的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ⋅= （）A ．5B ．6C ．7D ．810．（2017新课标Ⅰ理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．1011．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=12．【2020全国Ⅰ理4】已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p = （）A ．2B ．3C ．6D ．913．（2015新课标1理）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．B 组 能力提升14．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知点P 是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC D ．215．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y +=B ．221916x y -=C ．221916x y -=（0x <）D ．221916x y -=（0x >）16．（2020届河南省洛阳市高三第二次统考）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ） A ．8B ．4C ．2D ．117．（2020届河南省濮阳市高三模拟）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．B ．8C ．D ．418．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知双曲线22221x y C a b -=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )AB ．3C D ．19．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为,A B ，则线段AB 长度的取值范围为__________.20．（2020届河南省濮阳市高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线的左，右两支分别交于A ，B 两点，若2AB AF =，27cos 8BAF ∠=，则双曲线C 的离心率为__________.21．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），直线l ：4x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若OAB ∆（点O 为坐标原点）的面积为32，且双曲线C 的焦距为C 的离心率为________.22．（2020届河南省新乡市高三第二次模拟）已知双曲线22x a -22y b=1(a>0，b>0)与抛物线y 2=8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|FP|=5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为_____.23．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）已知点F 为双曲线2221(0)y E x b b-=>：的右焦点，M N ，两点在双曲线上，且M N ，关于原点对称，若MF NF ⊥，设MNF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线E 的焦距的取值范围是________.24．（2020届湖北省黄冈中学高三高考模拟）过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22:20C x y y ++=引两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若[1,4]k ∈，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为________．25．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，1F B 与y 轴相交于D .若1AD F B ⊥，则双曲线C 的离心率为_________.26．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.27．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）经过椭圆2212x y +=中心的直线与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E .设直线NE 与椭圆的另一个交点为P .则cos NMP ∠的值是________________．专题9.1 解析几何（选填题）A 组 5年高考真题1．【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．2．【2018高考全国2理12】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △等腰三角形，12120F F P ∠=，则C 的离心率为 （）A ．23 B ．12 C ．13 D ．14【答案】D【解析】试题分析：先根据条件得22PF c =，再利用正弦定理得,a c 关系，即得离心率． 试题解析：因为12PF F △为等腰三角形，12212120,2F F P PF F F c ∠=︒==， 由AP 斜率为得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠∴∠=∴∠，由正弦定理得22222sin 221,,4,sin 54sin 3PF PAF c a c e AF APF a c PAF ∠=∴===∴=∴=∠+-∠ ⎪⎝⎭，故选D ． 3．（2017新课标Ⅲ文理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）ABCD ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，3c e a ==，故选A ．4．（2016年全国III 文理）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||||()FM k a c =-，||||OE k a =，设OE 的中点为H ，由OBH FBM △∽△，得1||||2||||OE OB FM BF =，即||2||()k a a k a c a c=-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ． 5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a （）A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案． 【解析】解法一：5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ， 又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ． 6．【2019年高考全国Ⅱ理】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A BC ．22D ．32【答案】A【解析】由222,2,6,a b c a b ===+=6,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a =上，则263222P P b y x a =⋅=⨯=， 1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．8．【2018高考全国1理11】已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN △为直角三角形，则=MN（）A ．23 B ．3 C ．32 D ．4【答案】B【解析】【基本解法1】（直接法）∵双曲线221,(2,0)3x y F -=，∴渐近线方程为 33y x =±，倾斜角分别为30,150，∴60MON ∠=， 不妨设90MNO ∠=，∴30,30OMN FON ∠=∠=，∵2OF =，∴在Rt FON ∆中，3cos30232ON OF =⋅=⨯=， ∴在Rt MON ∆中，tan60333MN ON =⋅=⨯=． 【基本解法2】（直接法）根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为()2,0F ， 从而得到30FON ∠=︒，∴直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为()32y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立，求得(33,,,,32M N MN ⎛∴ ⎝⎭，故选B ． 9．（2018全国Ⅰ理8）设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为32的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ⋅= （）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点()2,0-且斜率为23的直线方程为()223y x =+，与抛物线方程联立()222,34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()()()1,0,0,2,3,4F FM FN ∴==，从而可以求得8FM FN ⋅=，故选D ．10．（2017新课标Ⅰ理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【答案】A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为1k ，2l 的斜率为2k ，由题意有121k k ⋅=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-，取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理得22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥ 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号．11．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=【答案】B 【解析】由题意可得：2b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =， 则C 的方程为2145x y 2-=，故选B ． 12．【2020全国Ⅰ理4】已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p = （）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案．【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p ，故选13．（2015新课标1理）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．【答案】22325()24-+=x y 【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)三个点，设圆心为(,0)a ，其中0a ，由4-=a 32a ，所以圆的方程为22325()24-+=x y ．B 组 能力提升14．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】A【解析】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选A 。
高三数学下学期周考试题五理 试题
二中2021届高三二轮复习周考〔五〕高三数学〔理〕试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分。
每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上〕1．设集合A=⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0, B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21, 函数f(x)=()⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+,,12,21B x x Ax x 假设x 0A ∈, 且 f [ f (x 0)]A ∈,那么x 0的取值范围是( ) A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B ．⎥⎦⎤⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,0 2．假如随机变量),1(~2σξ-N ，且4.0)13(=-≤≤-ξP ，那么=≥)1(ξP 〔 〕 A ．4.0B ． 3.0C ．2.0D ．1.03．，那么( )A. B. C.D.4．dx x a )212(sin 22⎰-=π，那么9)21(axax +展开式中，含x 的一次项的系数为〔 〕 A ．1663-B ．1663C ．6316-D ．6316 5．假如以原点为圆心的圆经过双曲线22a x -22by =1(a>0,b>0)的焦点，而且被直线c 2ax=分成的两段圆弧弧长之比为2∶1，那么该双曲线的离心率e 等于〔 〕A.5B.25C.2D.3 6．在平面区域()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥=20,y x x x y y x M 内随机取一点P ，那么点P 在圆222x y +=内部的概率〔 〕 A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π 7．网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔 〕 A. ()3641752π++-B. B. ()3641751π++-C. ()3621751π++-D. 364175π++8．定义一种运算：()()a ab a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，函数()2(3)xf x x =⊗-，那么(1)y f x =+的大致图象是〔 〕xy 2（A ）Oxy2（B ）Oxy2（C ）Oxy2（D ）O9．对任意的n ∈N *，数列{a n }满足21cos 3n a n ≤﹣且22sin 3n a n +≤，那么a n 等于〔 〕创作；朱本晓 2022年元月元日 A.22sin 3n - B. 22sin 3n - C . 21cos 3n - D. 21cos 3n +10． 函数()231cossin (0,)222wx f x wx w x R =+->∈，假设()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，那么w 的取值范围是〔 〕 A ．5(0,)12πB ．5(0,]12πC ．5(0,]6D ．5511(0,][,]1261211．设P 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-≥≥310,0y x y x y x 表示的平面区域内的任意一点，向量)1,1(=→m ，)1,2(=→n ，假设→→→+=n m OP μλ〔μλ,为实数〕，那么μλ-的最大值为〔 〕 A ．4B ．3C ．-1D ．-212．函数()()()22sin 12017f x x x x x =--++在[]2016,2018-上的最大值为M ，最小值m ，那么M m +=〔 〕 A. 2021B. 2018C. 4034D. 4036二、填空题〔每一小题5分，一共20分，把答案填写上在答题纸的相应位置上〕 13．i 为虚数单位，复数z 满足43zi i+=，那么复数z 的模为 ． 14．函数3221()13f x x ax b x =+++，假设a 是从1,2,3三个数中 任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，那么该函数有 两个极值点的概率为 .15．?算学启蒙?值中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物， 包括面积、体积、比例、开方、高次方程等问题，?算学启蒙?中 有关于“松竹并生〞的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等〞，如图是源于其思想的一个程序框图， 假设输入a ，b 分别为8，2，那么输出的n 等于__________.16. 圆C ：4)2(22=+-y x ，点P 是圆M ：1)7(22=+-y x 上的动点，过P 作圆C 的切线，切点为E 、F ，那么CF CE ⋅的最大值是_____________.三、解答题(本大题一一共70分=12×5分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题12分)设函数()21cos 3sin cos 2f x x x x =-+〔1〕求()f x 的最小正周期及值域；〔2〕ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，假设()32f B C +=， 3a =， 3b c +=，求ABC ∆的面积．18．(本小题12分)为研究某种图书每册的本钱费y 〔元〕与印刷数x 〔千册〕的关系，搜集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.表中1i iu x =， 8118i i u u ==∑.〔1〕根据散点图判断： y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为每册本钱费y 〔元〕与印刷数x 〔千册〕的回归方程类型？〔只要求给出判断，不必说明理由〕〔2〕根据〔1〕的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程〔回归系数的结果准确到〕； 〔3〕假设每册书定价为10元，那么至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元？〔假设可以全部售出，结果准确到1〕 〔附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v v v ωωω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆni ii nii v v ωωβωω==--=-∑∑， ˆˆˆv αβω=-〕19．(本小题12分)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形， AC BD O ⋂=， 1A O ⊥底面ABCD ，2AB =， 13AA =.〔1〕证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； 〔2〕假设60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值.20．(本小题12分) 设，，，是椭圆：〔〕的四个顶点，四边形是圆：的外切平行四边形，其面积为.椭圆的内接的重心〔三条中线的交点〕为坐标原点.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕的面积是否为定值？假设是，求出该定值，假设不是，请说明理由.21．(本小题12分) 函数()21ln 2f x x ax x =-+， 1a <. 〔1〕当0a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程； 〔2〕令()()()1g x f x ax =--，讨论函数()g x 的零点的个数；〔3〕假设2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明1251x x -+≥选考题：一共10分。