立方和与立方差公式-课件ppt
立方和与立方差公式
第一阶梯例1我们来计算a+ba-b=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式,利用这个公式计算：12x+3y2x-3y 21+2a1-2a32x3+5y22x3-5y2 4-a2-b2b2-a2提示：刚开始使用公式,运算格式可分两步走,第一步先按公式特征写出一个"框架",如12x+3y2x-3y = 2- 2,第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在"框架"中填数计算;参考答案：12x+3y2x-3y=2x2-3y2=4x2-9y221+2a1-2a =12-2a2=1-4a232x3+5y22x3-5y2=2x32-5y22=4x6-25y44-a2-b2b2-a2=-a2-b2-a2+b2=-a22-b22=a4-b4说明：平方差公式a+ba-b=a2-b2的特征是：1左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;2右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方,在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整,使它变化为符合公式标准的形式,如第4小题;例2计算a+b2和a-b2,可知a+b2=a+ba+b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2a-b2=a-ba-b=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即a±b2=a2±2ab+b2,这就是说,两数和或差的平方,等于它们的平方和,加上或者减去它们积的2倍,这两个公式叫做乘法的完全平方公式;利用这两个公式计算1x+52 22-y2 33a+2b2 5 -a+2b2提示：在套用完全平方公式进行计算时,一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b;参考答案：1x+52=x2+2·x·5+52=x2+10x+2522-y2=22-2·2·y+y2=4-4y+y233a+2b2=3a2+2·3a·2b+2b2=9a2+12ab+4b25-a+2b2=-a2+2·-a·2b+2b2=a2-4ab+4b2说明：1、a+b2=a2+2ab+b2与a-b2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式;2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘,即二项式的平方形式,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上这两项相加时或减去这两项相减时这两项乘积的2倍;3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等代数式;4、只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式,在运用公式时,注意防止发生a±b2=a2±b2这样的错误;例3计算a+ba2-ab+b2和a-ba2+ab+b2,可知a+ba2-ab+b2=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,a-ba2+ab+b2=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即a±ba2ab+b2=a3±b3,这就是说,两数和或差乘以它们的平方和与它们的积的差或和,等于这两个数的立方和或差,这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个公式计算：1x+2x2-2x+4; 23-y9+3y+y2 ;33x-4y9x2+12xy+16y2;53x2-2y29x4+6x2y2+4y4提示：先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或式是b,最后再代入公式计算;参考答案：1x+2x2-2x+4=x+2x2-x·2+22=x3+23=x3+823-y9+3y+y2=3-y32+3·y+y2=33-y3=27-y333x-4y9x2+12xy+16y2=3x-4y3x2+3x·4y+4y2=3x3-4y3=27x3-64y353x2-2y29x4+6x2y2+4y4=3x2-2y23x22+3x2·2y2+2y22=3x23-2y23=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆1项数特征：两项乘三项→积为二项,2符号特征：二项的因式若两项都为"+",则三项的因式符号为+,-,+,积的符号与二项因式的符号相同,二项的因式符号若为"+","-",则三项的因式符号为+,+,+,积的符号与二项因式的符号相同,即是说公式在各种条件都相符的情况下,所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差",主要看乘积中第一个乘式是"两数和",还是"两数差";2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式;第二阶梯1x+3x-3x2+9 2 a+ba-ba2-b23 x-2x+2x4+4x2+164 a-ba2+ab+b2a6+a3b3+b6提示：1小题可两次使用平方差公式；2小题先使用平方差公式,再使用完全平方公式；3小题先使用平方差公式,再使用立方差公式4小题两次使用立方差公式;参考答案：1x+3x-3x2+9=x2-9x2+9=x22-92=x4-812a+ba-ba2-b2=a2-b2a2-b2=a2-b22=a22-2a2b2+b22=a4-2a2b2+b43x-2x+2x4+4x2+16=x2-4x4+4x2+16=x23-43=x6-644a-ba2+ab+b2a6+a3b3+b6=a3-b3a6+a3b3+b6=a33-b33=a9-b9说明：遇到多项式的乘法问题,首先应看看是否符合某个乘法公式,若有恰当的公式使用可大大简化运算过程;1 a+b+ca-b-c2 a-2b+3ca+2b-3c3 x+2y+z24 2x-3y-4z2提示：12小题可利用平方差公式进行计算；34小题可利用完全平方公式进行计算;参考答案：1a+b+ca-b-c=a+b+ca-b+c=a2-b+c2=a2-b2+2bc+c2=a2-b2-2bc-c22 a-2b+3ca+2b-3c=a-2b-3ca+2b-3c=a2-2b-3c2=a2-4b2-12bc+9c2=a2-4b2-12bc-9c23x+2y+z2=x+2y+z2=x2+2x2y+z+2y+z2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z242x-3y-4z2=2x-3y+4z2=2x2-2·2x·3y+4z+13y+4z2=4x2-4x3y+4z+19y2+24yz+16z2=4x2-12xy-16xz+9 y2+24yz+16z2说明：进行多项式乘法运算时,一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整;适当地添加括号,将有利于应用乘法公式,添加括号方式的不同,可一题多解,如4小题还可添加括号为2x-3y-4z2,但得出的结果均相同;例3利用乘法公式计算：2a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2提示：1小题前两个因式可利用平方差公式计算,后两个因式也可利用平方差公式计算,也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式,第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式2小题类似;参考答案：1解法一：x+1x-1x2+x+1x2-x+1= x2-1x2+12-x2= x2-1x4+2x2+1-x2= x2-1x4+x2+1= x2-1x22+x2-1+12= x23-13= x6-1解法二：= x+1x2-x+1x-1x2+x+1 =x3+1x3-1= x32-12= x6-12解法一：a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2 = a2-b2a2+b22-ab2= a2-b2a4+2a2b2+b4-a2b2 = a2-b2a4+a2b2+b4= a23-b23= a6-b6解法二：a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2= a+ba2-ab+b2a-ba2+ab+b2= a3+b3a3-b3= a32-b32=a6-b6说明：进行整式乘法运算时,要注意观察题目的特点,统观全局,恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算,以上两道小题的解法中,显然解法二先运用立方和,立方差公式,再运用平方差公式,这样做既简便又不易出错;第三阶梯例11化简化求值：x+2x2-2x+4+x-1x2+x+1,其中2解方程：2x+12-x+1x-1-3xx-1=0提示：用乘法公式进行化简参考答案：1x+2x2-2x+4+x-1x2+x+1= x3+8+x3-1= 2x3+7当时,22x+12-x+1x-1-3xx-1=0解：4x2+4x+1-x2-1-3x2+3x=04x2+4+1-x2+1-3x2+3x=07x=-2说明：在化简求值和解方程的过程中,如果遇到多项式的乘法,应先观察能否运用乘法公式,如果能运用,很多乘法就可直接应用公式写出结果,这充分简化了计算过程;例2已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值;1a2+b2 2 a2-ab+b2 3 a-b2 4 a3+b3提示：由完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=a+b2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值,再分别代入2,3,4,可求出2,3,4式的值;注意,第4小题应逆用立方和公式;参考答案：1 a2+b2=a+b2-2ab=32-2×-8=9+16=252 a2-ab+b2=a2+b2-ab=25--8=25+8=333 a-b2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×-8=25+16=414 a3+b3=a+ba2-ab+b2=a+ba2+b2-ab=3×25--8=3×33=99说明：灵活运用公式变形和逆用公式,这些都是常用的解题技巧;例3若两个连续自然数的平方差是17,求这两个自然数的和提示：设一个自然数为x,另一个自然数为x+1,根据题意,列出方程,求出这两个自然数,进而求出它们的和参考答案：解：设这两个连续自然数是x,x+1根据题意得,x+12 -x2 =17x2+2x+1-x2=172x+1=172x=16x=8∴x+1=8+1=9∴x+x+1=8+9=17答：这两个自然数的和是17;说明：解方程时还可逆用平方差公式x+12-x2 =x+1+xx+1-x=2x+1四、检测题A组选择题1．下列各式能用平方差公式进行计算的是A.a+2-a-2B.-x-yy-xC.D.2x+yx-2y2．若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式,则m的值为 D.±723．a3-27b3的一个因式是+3ab+9b2+3ab+9b2+b2+b24．若x+y=9,xy=16,则 x2+y2=填空题1、3x+2y= = 9x2-4y22、-1+2a-1-2a =3、+y2=4、x2+x+ =5、9x2- +49y2=3x-7y26、2a+3b4a2-6ab+9b2 =7、 m4-m2+1=m6+18、a2+b2=a+b2-9、a+b2=a-b2+10、p2-q =p6-q3B组1、计算：1x+2x-2x2+42x-y+1x+y-13a+b+c24x+3x-3x2-3x+9x2+3x+95620222、化简求值：3、解方程：4x-32-2x+12=3x+11-3x+9x2答案：A组答案：选择题1、B2、D3、A4、C填空题1、3x-2y2、1-4a23、++y24、5、42xy6、8a3+27b37、m2+18、2ab9、4ab10、p4+p2q+q2B组答案：1、1x4-16 2x2-y2+2y-1 3 a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc 4x6-729 6408042、-393、4、。
立方和与立方差
精心整理利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+(立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=-(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 【例解：3(2)ab ，号．【例2232)()b -或23()a -解：(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-强化练习1．因式分解下列各式：(1)31x - (2)338ab +(3)66xy -2．把下列各式分解因式： (1)327a +(2)38m -(3)3278x -+(4)3311864p q --(5)3318125x y -(6)3331121627x y c +(1)34xy x +(2)33n n xx y +-(3)2323()a m n a b +-(4)2232(2)y x x y-+24)c +(1)(3+2y)(9-6y+4y 2)；(2)(5a-2b 2)(25a 2+4b 4+2ab 2)； （3）（4）课堂练习 1立方和或立方差公式：(1)(x-3)()＝x 3-27；(2)(2x+3)()＝8x 3+27；(3)(x 2+2)()＝x 6+8；(4)(3a-2)()＝27a 3-8 2(1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________；(2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)()(41-xy+4y 2)＝__________；(4)()(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是????????????????????????????????????????[???]A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3；B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3；C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3．4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是?????????????????????[???]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5(1)(y+3)(y 2-3y+9)；(2)(c+5)(25-5c+c 2)；(3)(2x-5)(4x 2+25+10x)22424222（5）81+（6）827- 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。
立方和与立方差公式
（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯[例1]利用乘法公式计算：(1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2)(3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：（1）小题可两次使用平方差公式；（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式（4）小题两次使用立方差公式。
参考答案：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9说明：遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
专题2立方和差公式和差的立方公式
反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。
例1计算:1 2 5 1 2(5x -1y )(25x +?xy +1y )；(2x+ 1)(4x 2 +2x+1)。
两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算 解：(1)原式=33+(2y)3 =27+8y 3 ；(2)原式=(5x)3 -(! y)3 =125x 3 -1 y 3 ；2 8(3)原式=8x 3 +4x 2 +2x +4x 2 +2x +1 =8x 3 +8x 2 +4x +1。
说明：第（1）、（ 2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项 式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“ +T 改成“ -1 ”则利用公式计算；若将第二个因 式中“ +2x ”改成“ -2x ”则利用公式计算；若将第二个因式 中“ +2x ”改成“ +4x ”,可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x +1)(2x +1)2 =(2x +1)3=(2X )3 +3(2X )21 +3(2)) 12+13 =8 x 3+12x 2 +6x +1。
计算:(X 3 -1)(x 6 +x 3 + 1)(x 9 +1)；(x + 1)(x-1)(x 2 +x +1)(x 2 -X +1)；(X +2y)2(x 2 -2xy +4y 2)2 ； 专题 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 （1）立方和公式 (a + b^a 2 -ab+b 2) =a 3 + b 3 ；（2）立方差公式 (a-b)(a 2 + ab+ b 2) MQ 3 -b 3 ；（3）三数和平方公式 2 2 2 2(a + b+c) =a +b +c +2(ab + bc+ac)；（4）两数和立方公式 . .、3 3 c 2, _ . 2 . 3(a + b) =a +3ab + 3ab +b ；（5）两数差立方公式 , .、3 3 c 2. c ・ 2 . 3 (a — b) =a -3a b+3ab -b 。
立方差公式立方和公式
立方差公式立方和公式
首先，我们来看立方差公式。
设立方数为n^3，则立方差为(n+1)^3-n^3、我们可以展开这个表达式，得到：
(n+1)^3-n^3=(n+1)(n+1)(n+1)-n^3=(n^2+2n+1)(n+1)-n^3
=(n^3+n^2+2n^2+2n+n+1)-n^3=3n^2+3n+1
所以，立方差公式为3n^2+3n+1
接下来，我们来看立方和公式。
若连续的n个数的立方和为S，则立方和公式为S=(1+2+...+n)^2，即连续n个数的和的平方。
我们可以通过数学归纳法来证明立方和公式。
当n=1时，连续1个数的和为1，所以立方和为1^2=1
假设当n=k时，连续k个数的立方和为k^2：
1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2=k^2
当n=k+1时，连续k+1个数的立方和为：
1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=k^2+(k+1)^3
我们可以展开(k+1)^3，得到：
k^3+3k^2+3k+1
将其与k^2相加，得到：
k^2+(k^3+3k^2+3k+1)=(k+1)^3
所以，根据数学归纳法，立方和公式成立。
综上所述，立方差公式为3n^2+3n+1，立方和公式为
S=(1+2+...+n)^2、这两个公式在数学中有广泛的应用，能够帮助我们计算立方数之间的差值和连续立方数的和。
立方和立方差
若将此题改成-27m3+n3 怎样解？把此题作为课堂练习 一种方法：可以看在是-3m 与n 的立方和 另一种方法：根据加法交换律，可以写成n3-27m3 ，再用立方差公式分解因式 课堂练习： 将下列各式分解因式： (1)8p3-q3;(2)125m3+8n3; (3)Q3+8b3; （三）小结 1、立方和（差）公式在运用时一定要注意符号和第二因式中的两个数的积而不是两个数 积的2倍。 2、立方是非奇次主，在写某个数的立方时，要注意原来幂的符号。 二、布置作业 1、填空： (1)1-a3b3=(1-ab)( (2)-m3-8=-(m+2)( (3)-27a3+64=(4-3a)( 1 1 (4) +8a3=( +2a)( 2 8 ); ); ); )
a3b3 a8
分析：让学生观察题目的特点：1可以看在是13，a8 可以看成是 用立方和公式了。 解：1+ =1+( =(1+
ab 2 ab 2
a3b3 a8
a3b3
ab 2
的立方，这样就可以利
)3 )(1ab 2
+ a 2b 2)
4
课堂练习： 1、填空： （1）64a3=( （3）0.001x3=( （1）a3+1 （3）1-27y3 )3; )3; （2）125n6( （4）-27a3b3=( )3; )3
2、把下列各式因式分解： （2）1-3m3 （4）27+x3
注意：由于立方是一个数的奇次幂，因此立方后的符号和底数的符号是一致的，这一点平 方有区别，练习中的-27a3b3=(-3ab)3，而在平方米关系中如(p-q)2=(q-p)2是可以的，而在立 方关系中这个等式不能成立。 例2 将多项式27m3-n3分解因式 分析：27m3可以看成是(3m)3，因此可以用公式。 解：27m3-n3 =(3m)3-n3 =(3m-n)( 9m2|+3mn+n2 ) 说明：注意后面因式中的符号以及积不能写成2倍，这是学生最易出错的地方，教师上课 定要反复说明。
立方和立方差公式
一、立方和與立方差我們可利用分配律來展開22()()a b a ab b +-+即可得到：22()()a b a ab b +-+= 322223a a b ab a b ab b -++-+= 33a b +因此,得到立方和公式：範例利用公式1展開下列各式：1 2(2)(24)x x x +-+2 22(25)(41025)a b a ab b +-+ 解 1 由2(2)(24)x x x +-+=22(2)(22)x x x +-⋅+,與公式1比較可知,以x 取代a ,以2取代b ,可得2(2)(24)x x x +-+=332x +=38x +;2 22(25)(41025)a b a ab b +-+=22(25)[(2)(2)(5)(5)]a b a a b b +-+=33(2)(5)a b +=338125a b +同樣的,我們可以展開22()()a b a ab b -++並經合併化簡後,而得到立方差公式：其實,只要把公式1中的b 以-b 代入,即可得公式2;範例利用公式2展開下列各式：1 2(21)(421)x x x -++ 2 22()()32964a b a ab b -++ 解 1 2(21)(421)x x x -++=22(21)[(2)(2)11]x x x -+⋅+=33(2)1x -=381x - 2 22()()32964a b a ab b -++=22()[()()]323322a b a a b b -+⋅+ =33()()32a b - =33278-a b類題練習 1 試展開225(5)(25)224b ab b a a -++; 2 試展開2222(3)(2)(24)(39)x y x y x xy y x xy y -+-+++; 3 已知32x =,求2(3)(39)x x x -++的值;二、立方差與立方和的因式分解範例利用立方和或立方差公式,因式分解下列各式：1 31x -2 338a b +3 66x y - 解 1 31x -=331x -=22(1)(11)x x x -+⋅+=2(1)(1)x x x -++2 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-⋅+=22(2)(24)a b a ab b +-+3 66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +-=2222()()()()x y x xy y x y x xy y +-+-++類題練習利用立方和或立方差公式,因式分解下列各式： 1 2713+x 2 331258b a - 3 322x x +-4 6664a b -在範例的第3題中,也可以將66x y -寫成2323()()x y -,因此得到： 66x y -=2323()()x y -=22222222()[()()]x y x x y y -++=224224()()x y x x y y -++。
立方和与立方差公式
3n
3n
B） x ）
y
3n
C） x3n + 75y 3n ） D） x + 125y ）
3n 3n
例2 计算 ( a 1)( a
2
a + 1)
1、对于上式的计算有以下几种说法，你认为那几 对于上式的计算有以下几种说法， 种合理（ 种合理（ ） 不符合立方和或立方差公式的特征， ①不符合立方和或立方差公式的特征，因此只能 用多项式的乘法法则进行运算。 用多项式的乘法法则进行运算。 直接用立方差公式计算， 相当于公式中的“ ②直接用立方差公式计算， a相当于公式中的“a ”， 1”相当于公式中的 ” 相当于公式中的“ “1”相当于公式中的“b 。 将第一个因式变为“ ③将第一个因式变为“ ( a + b)”后，然后用立方 和公式计算。 和公式计算。
3
2 2
B）( a b)( a + b +L) ） C） C）( a + b)( a + b +L)
2 2
Q (a b)(a + b ) = a + ab a b b
2 2 3 2 2
3
∴ (a b)(L) = a b ab
2
2
A） ）
a
B） b ） C） ab ）
) 2） ( a + b（ ）
3
x + 75
3
D） x + 125
3
例3 计算
(a 2b)(a + 2b)(a + 2ab + 4b )(a 2ab + 4b )
2 2 2 2
练习 计算 1 1）(3 x 2 y )(9 x + 6 xy + 4 y )(27 x 8 y )
立方差公式和立方和公式
立方差公式和立方和公式
立方差是指一组数据的每个数值与平均值之差的立方的平均值。
立方
和是指一组数据的每个数值的立方的总和。
设一组数据为x1, x2, x3,..., xn，平均值为x̄，则立方差公式可
表示为：
方差 = [(x1 - x̄)^3 + (x2 - x̄)^3 + (x3 - x̄)^3 + ... + (xn - x̄)^3] / n
立方和公式：
立方和公式可以用于计算一组数据的立方和。
它是通过计算每个数据
值的立方并将其求和得到的。
设一组数据为x1, x2, x3,..., xn
立方和 = x1^3 + x2^3 + x3^3 + ... + xn^3
两者之间的关系：
立方差和立方和公式的应用：
立方差和立方和公式在统计学中有广泛的应用。
例如，在概率分布中，可以使用立方差公式来计算数据的方差，帮助分析数据的分布情况。
在回
归分析中，可以使用立方和公式来计算数据的立方和，从而得到回归方程
的系数。
此外，在工程和自然科学领域，立方差和立方和公式也经常被用于分
析数据的变化趋势和总体变化程度。
例如，在工程项目中，可以使用立方
差公式来计算测量误差的方差，从而评估测量结果的可靠性。
在物理实验
中，可以使用立方和公式来计算各种物理量的立方和，从而获得实验结果的总体变化程度。
总之，立方差公式和立方和公式是数学中常用的计算公式，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和变化程度。
通过应用这些公式，我们可以在统计学、工程学和自然科学等领域中进行更深入的数据分析和实验研究。
立方和差公式
立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍。
注意：下方文本中出现圆圈不用在意，圆圈为文本制作间隔符号。
（例如：）立方和公式：a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²)3项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)推导过程：a³+b³+c³-3abc=(a³+3a² b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a² b+3ab²)=[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)=(ab+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）3项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^21迭代法：我们知道：0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/22次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。
立方差公式和立方和公式
立方差公式和立方和公式立方差公式和立方和公式是数学中十分重要的公式。
它们在统计学、数学分析和物理等领域都有广泛的应用。
本文将分别介绍这两个公式的定义、用途以及具体应用。
一、立方差公式1. 定义立方差是一组数据的每个数值与平均值的差的三次方的平均值。
它的公式为：$S^3 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i -\bar{x})^3$其中，$S^3$表示立方差，$n$表示数据的数量，$x_i$表示第$i$个数据，$\bar{x}$表示数据的平均值。
2. 用途立方差主要用于刻画一组数据的离散程度，也就是数据的分散程度。
它在统计学中经常用于衡量一组数据的偏态和峰态。
如果一组数据的立方差较大，说明数据较分散，可能存在很多异常值。
反之，如果一组数据的立方差较小，说明数据较集中，不存在很多异常值。
除此之外，立方差还可以用于计算标准差、变异系数等统计指标。
在实际应用中，我们经常使用立方差的平方根来计算标准差。
标准差是衡量一组数据中变异程度的重要指标，它越小说明数据越稳定，越大说明数据越不稳定。
3. 具体应用假设我们有一组数据如下：2, 5, 6, 7, 10, 13我们可以先求出这组数据的平均值：$\bar{x} = \frac{2+5+6+7+10+13}{6} = 7$然后，我们可以用平均值计算每个数据与平均值之间的差值：$(2-7), (5-7), (6-7), (7-7), (10-7), (13-7)$-5, -2, -1, 0, 3, 6接着，我们可以将每个差值的三次方相加并除以数据的数量来求出立方差：$S^3 = \frac{(-5)^3 + (-2)^3 + (-1)^3 + 0^3 +3^3 + 6^3}{6} = 97.17$最后，我们可以使用立方差的平方根来计算标准差：$SD = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i -\bar{x})^2}{n-1}}$$SD = \sqrt{\frac{(2-7)^2 + (5-7)^2 + (6-7)^2 + (7-7)^2 + (10-7)^2 + (13-7)^2}{6-1}}$$SD = \sqrt{\frac{80}{5}} = 4$因此，这组数据的标准差为4。
立方和与立方差
利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法 ( 立方和、立方差公式 )在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(a b)(a2ab b2 )a3b3 (a b)(a2ab b2 )a3b3( 立方和公式 ) ( 立方差公式 )因为因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，因此把整式乘法公式反过来写，就获得：这就是说，两个数的立方和 ( 差) ，等于这两个数的和 ( 差) 乘以它们的平方和与它们积的差( 和) ．运用这两个公式，能够把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例 1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1)8x3(2)27b3剖析： (1)中， 823，(2)中3 , 27b3(3b) 3．解： (1)8x323x3(2x)(4 2 x x2 )(2)27b33(3b) 33b)[0.5 23b(3b) 2 ]说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，常常要逆用幂的运算法例，如 8a3b3 (2ab) 3，这里逆用了法例(ab)n a n b n；(2)在运用立方和 ( 差) 公式分解因式时，必定要看准因式中各项的符号．【例 2】分解因式：(1) 3a3b 81b4(2) a7ab6剖析： (1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现 a6b6，可看着是 (a3 )2(b3 )2或 ( a2 )3(b2 )3．解： (1)3a3b81b43b( a327b3 )3b(a3b)(a23ab 9b2 ) ．(2) a7ab6a(a6b6 )a(a3b3 )(a3b3 )加强练习1．因式分解以下各式：(1)x31(5)8x3 y31125(2)a38b3(6) 1 x3y3 1 c321627(3)x6y62．把以下各式分解因式：2．把以下各式分解因式：(1)xy3x4(1)a327(2)x n 3x n y3(2)8m3(3)a2 (m n)3a2b3(3)27 x38(4)y2 (x22x)3y2(4) 1 p3 1 q3864加强练习答案1．(1)x3 1x313(x1)(x2x112 )(x1)(x2x1)(2)a38b3a3(2b)3[ a (2b)][ a2 a (2b)(2b)2](3)x6y6(x3 )2( y3 )2( x3y3 )( x3y3 )2．(a3)( a23a9),(2m)(42m m2 ),(23x)(4 6x9x2 ),1(2 p q)(4 p2 2 pq q2 ),(2 xy 1)(4 x2 y22xy1),1(xy 2c)( x2 y22xyc 4c2 )645525216 3．x( x y)( y2xy x2 ), x n ( x y)( x2xy y 2 ),立方和与立方差公式22331、 (a+b)(a -ab+b )＝ a +b两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和.2、 (a－b)(a2+ab+b2 ) ＝ a3－b3两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.例计算：(1)(3+2y)(9-6y+4y2) ；(2)(5a-1b2)(25a2+1b4+5ab2) ；242（3）（4）讲堂练习1立方和或立方差公式：(1)(x-3)()＝ x3-27 ；(2)(2x+3)()＝ 8x3+27；(3)(x2+2)()＝ x6 +8；(4)(3a-2)()＝ 27a3-82(1)()(a2+2ab+4b2) ＝__________ ；(2)()(9a2-6ab+4b 2) ＝ __________；(3)()(1-xy+4y2(4)()(m42＝ __________) ＝ __________ ；+4m+16)43、以下等式能够建立的是????????????????????????????????????????[??? ]A． (a+b)(a2233B．(a-b)(a2233+2ab+b )=a +b ；-ab+b )=a -b ；C． (a-b)(a2+ab+b2)=a 3-b 3；D．(a-b)(a2+2ab+b2)=a 3-b 3．4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是????????????????????? [??? ]A． (m+n)(m323；22+mn+n )B． (m-n)(m +n ) ；C． (x+1)(x2-x+1) ；D． (x 2+1)(x 2-x+1)5(1)(y+3)(y2-3y+9)；(2)(c+5)(25-5c+c2) ；(3)(2x-5)(4x2+25+10x)(4)(x 22424(5)(5-2y)(4y2(6)(2a+b)(4a22 -y )(x+x2y +y )+25+10y)-4ab+b)(7) (1+4x)(16x2+1-4x)(8)(x-1)(x2-x+1)；(9)(a-3)(a2+3a-9)(10)(a-2b)(a+2b)(a 2+2ab+4b2)(a 2-2ab+4b2) ．6已知 x2+y2=6， xy=2，求 x6+y6的值．立方和与立方差习题2 232222333 一、公式 (a+b)(a -ab+b )=a +a b-a b-ab +ab +b =a +b ．二、运用乘法公式计算：1、(l)(3+2y)(9-6y+4y2) ；(5)(x-3)(??? )=x3-27 ；(6)(2x+3)(??? )=8x3+27；(7)(x 2+2)(??? )=x6 +8；(8)(3a-2)(??? )=27a3-8．三、用立方和与立方差公式把以下各式分解因式（ 1327（ 2）3 3（ 3 ）） 1xa b 164( x y)3( x y)3（ 4）x 3my 3m（5） a 3b 3（ ） a 3b 38827 四、已知 a+b=3,ab=-8, 求以下各式的值。
立方和与立方差公式 课件ppt
字母表示：(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
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2020/1/3
b b
b
②直接用立方差公式计算，a 相当于公式中的a “ ”，“1”相当于公b式中的“ ”。
③将第一个因式变为“(a b) ”后，然后用立
方和公式计算。
A）① B）② C）③ D）②③
例2 计算(a 1)(a2 a 1)
A） a3 1 B） a3 1
C） a3 1
D） a3 1
2
C）( x
y )(x2
1
xy
y2 )
x3
1
2
24
8
D）(x y )(x2 1 xy y 2 ) x3 1 y3
2
24
8
3、计算
1） (x2 y2 )(x4 x2 y2 y4 ) A） x3 y3
B） x3 y3
C）x6 y6
D）x6 y6
1）计算 (x 5)(x2 5x 25)
=（ ）
A） x3 125 B） x3 125
C）x3 75 D）x3 125
例3 计算 (a 2b)(a 2b)(a2 2ab 4b2)(a2 2ab 4b2)
练习 计算
1）(3x 2 y)(9x2 6xy 4 y2 )(27x3 8y3)
C）(m 2n)(m2 4n2 2mn)
D）(m 2n)(m2 2mn 4n2 )
数学北师大版七年级下册立方和与立方差公式
a
b a
b b
a b
猜想 什么样的两个多项式相乘得 a 3 b3
A）( a b ) 3
B）(ab )(a2b2 L) C）(ab)(a2b2 L)
Q ( a b ) ( a 2 b 2 ) a 3 a b 2 a 2 b b 3
(a b )( L ) a 2 b a b 2
平方差公式：
Q ( a b ) ( a b ) a 2 a b a b b 2
a2 b2 (ab)(ab)a2b2
a
a
b
a
a-b
b b
完全平方差公式：
Q ( a b ) 2 a 2 a b a b b 2 a22abb2
(ab)2a22abb2
2）x(x 1 )2(x2x 1 )(x 1 )
(a b )(a 2 a b b 2 ) a 3 b 3
b b
b
a
a a
a2(a b)
b2(a b)
ab(a b)
例1 运用立方和公式与立方差公式计算。 1） (4a)(164aa2)
2） (5x1y)(25x25xy1y2)
2
24
1、下列乘法运算中，可以运用立方 和或立方差公式计算的是（ ）
C） x3 75 D） x3 125
例3 计算 ( a 2 b ) ( a 2 b ) ( a 2 2 a b 4 b 2 ) ( a 2 3 x 2 y ) ( 9 x 2 6 x y 4 y 2 ) ( 2 7 x 3 8 y 3 )
③将第一个因式变为“(a b)”后，然后用立方
和公式计算。
A）① B）② C）③ D）②③
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2
C）( x
y )(x2
1
xy
y2 )
x3
1
2
24
8
D）(x y )(x2 1 xy y 2 ) x3 1 y3
2
24
8
3、计算
1） (x2 y2 )(x4 x2 y2 y4 ) A） x3 y3
B） x3 y3
C）x6 y6
D）x6 y6
立方和与立方差公式
平方差公式： 文字表述：两数的和与这两数的差的
积等于这两个数的平方差.
字母表示：(a b)(a b) a2 b2
完全平方公式： 文字表述：两数的和（或差）的平方，等
于它们的平方和，加上（或者 减去）它们的积的2倍.
字母表示：(a b)2 a2 2ab b2
1）计算 (x 5)(x2 5x 25)
=（ ）
A） x3 125 B） x3 125
C）x3 75 D）x3 125
例3 计算 (a 2b)(a 2b)(a2 2ab 4b2)(a2 2ab 4b2)
练习 计算
1）(3x 2 y)(9x2 6xy 4 y2 )(27x3 8y3)
C）(m 2n)(m2 4n2 2mn)
D）(m 2n)(m2 2mn 4n2 )
2、下列计算正确的是（ ）
A）(x y )(x2 xy y 2 ) x3 1 y3
2
4
8
B）(x y )(x2 1 xy y 2 ) x3 1 y3
2
24
(a b)(a2 b2 ) a3 ab2 a2b b3
(a b)( ) a2b ab2
A） a
B） b
C）ab
2） (a b（=)
A）a2 b2
）a3 b3
B） a2 ab b2
C）a2 ab b2
D）a2 2ab b2
立方和与立方差公式：
a
a a
a2 (a b)
b2 (a b)
ab(a b)
例1 运用立方和公式与立方差公式计算。 1）(4 a)(16 4a a2 )
2）(5x 1 y)(25x2 5 xy 1 y2 )
2
24
1、下列乘法运算中，可以运用立方 和或立方差公式计算的是（ ）
A）(m n)(m2 2mn n2 ) B）(m n)(m2 mn n2 )
②直接用立方差公式计算，a 相当于公式中的a “ ”，“1”相当于公b式中的“ ”。
③将第一个因式变为“(a b) ”后，然后用立
方和公式计算。
A）① B）② C）③ D）②③
例2 计算(a 1)(a2 a 1)
A） a3 1 B） a3 1
C） a3 1
D） a3 1
完全平方差公式：
(a b)2 a2 ab ab b2 a2 2ab b2
(a b)2 a2 2ab b2
a
a
b a
b b
a b
猜想 什么样的两个多项式相乘得a3 b3
A）(a b)3
B）(a b)(a2 b2 ) C）(a b)(a2 b2 )
2）x(x 1)2 (x2 x 1)(x 1)
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(a b)2 a2 2ab b2
这两个公式是如何证明的（ ） A）整式的加减与乘法运算 B）反证法 C）图形的拼凑
平方差公式：
(a b)(a b) a2 ab ab b2
a2 b2 (a b)(a b) a2 b2
a
abaaFra bibliotekbb b
2） (xn 5 yn )(x2n 5xn yn 25 y2n )
A） x3n y3n
B） x3n y3n
C）x3n 75y3n
D）x3n 125y3n
例2 计算(a 1)(a2 a 1)
1、对于上式的计算有以下几种说法，你认为那几 种合理（ ）
①不符合立方和或立方差公式的特征，因此只能 用多项式的乘法法则进行运算。
文字表述：两数的和（或差）乘以它 们的平方和与它们的积的 差（或和），等于这两个 数的立方和（或差）.
字母表示：(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
SUCCESS
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2020/1/3
b b
b